124 đề hsg toán 7 trường lê hồng phong 2018 2019

Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: Bài 2.. điểm I trên đoạn FC sao cho FI AH.Gọi K là giao điểm của FH và AI.

TRƯỜNG THCS

LÊ HỒNG PHONG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2018-2019 Môn: TOÁN 7

Bài 1 (4 điểm)

1 Rút gọn

100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1

2 Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện:

Bài 2 (5 điểm)

1 Tìm các số , ,x y z biết:

2 2 2

2 2 2

2 Chứng minh rằng không thể tìm được số nguyên , ,x y z thỏa mãn :

2017

x y  y z  z x 

Bài 3 (3 điểm)

Chứng minh rằng: 2 2 2 23 24 25  2 99 2100chia hết cho 31

Bài 4 (3 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P2x 5y2  15y 6x2  xy 90

Bài 5 (5 điểm)

Cho ABC có 3 góc nhọn, AB AC BC  .Các tia phân giác của góc Avà góc C cắt nhau tại O Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC Lấy .

điểm I trên đoạn FC sao cho FI AH.Gọi K là giao điểm của FH và AI.

a) Chứng minh FCH cân

b) Chứng minh AK KI

c) Chứng minh 3 điểm , ,B O K thẳng hàng.

ĐÁP ÁN Bài 1.

100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1

100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1

100 1.2 2.3 97.98 98.99 99.100

A

A

A

A



1

A







    

1.2) 2.22 3.23 4.24 n 1 2 n1 n.2n 2n34

Đặt

3 4

2.2 3.2 4.2 1 2 2

2 2 2.2 3.2 4.2 1 2 2

2 2.2 3.2 4.2 1 2 2

2 2.2 3.2 4.2 1 2 2

2.2 3.2 4.2 1 2 2

2 2

B











  

2 2 2 2.2

2 2 2 2 2 2

n n





Đặt

3 4 5

1 3

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

n

n

C

C

C C

C







Khi đó B 2n 1 23 n.2n 1 23

Vậy từ (1) ta có: n 1 2 n 1 2n 34

 

n

n



Vậy n 2331

Bài 2.

1 Xét x 0 y 0,z  0 2y4z  (vô lý)0

Suy ra x0;y0;z0

Khi đó từ đề suy ra :

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

Đặt 2 4 6 1k 0

x   y z k  thì

2 2 2

2 2 2



Suy ra : x 2 ;k y 4 ;k z 6k và x2 y2 z2 28 (3)k

Thay x2 ,k y 4 ,k z6k vào (3) ta được:

 2  2  2

2

0( )

( ) 2







 

 Với

1

1; 2; 3 2

Vậy x1,y2,z 3

2.2 Ta có: x y  y z  z x  x y x y  y z y z  z x z x 

Với mọi số nguyên x ta lại có

x





 





Suy ra x  luôn là số chẵn với mọi số nguyên x x

Từ đó ta có:

   



  





  

 là các số chẵn với mọi số nguyên , ,x y z Suy ra x y x y  y z  y z  z x z x là một số chẵn với mọi số nguyên , ,x y z

Hay x y  y z  z x là một số chẵn với mọi số nguyên , ,x y z

Do đó, không thể tìm được số nguyên , ,x y z thỏa mãn:

x y  y z  z x =2017

Bài 3.

Đặt D  2 22 2324 25  2 99 2100(có 100 số hạng)

296 297 298 299 2100

(có 20 nhóm)

2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2.31 2 31 2 31

D

D

chia hết cho 31 Vậy D  2 22 23 24 25  2 99 2100chia hết cho 31

Bài 4.

Ta có: P2x 5y2  15y 6x2 xy 90

2

Ta thấy 2x 5y2  với mọi ,x y nên 0 8 2 x 5y2  với mọi ,x y0

90 0

xy   với mọi ,x y

Khi đó 8 2 x 5y2  xy 90 0 với mọi ,x y

Suy ra  8 2 x 5y2  xy  90 0

Hạy P  với mọi ,0 x y

Dấu " " xảy ra khi

2 5 2 0

5 2





Đặt 5 2

k

 

ta được x5 ,k y2k

Mà xy  nên 90

3

k

k





     

 Nếu k  3 x15,y6

Nếu k  3 x15,y6

Vậy

0

MaxP





Bài 5.

E

G K

I

H

F O A

a) Chứng minh

Ta có CHO CFO  90 (0 vì OH AC OF, BC)

Xét CHO vuông và CFO vuông có: OC chung; HCO FCO OC  ( là phân giác C )

Vậy CHO CFO(cạnh huyền – góc nhọn)

CH CF

  (hai cạnh tương ứng) Vậy FCH cân tại C

b) Qua I vẽ IG/ /AC G FH  

Ta có FCH cân tại C (cmt) CHF CFH  (1)

Mà CHF FGI  (đồng vị, IG/ /AC) (2)

Từ (1) và (2)  CFH FGI hay IFG IGF , Vậy IFG cân tại I

FI GI

  , mặt khác : FI AHnên GI AH(FI)

Ta lại có : IGK AHK HAK GIK;  (so le trong , IG/ /AC)

Xét AHK và IGK có: IGK AHK cmt GI( ); AH cmt HAK GIK cmt( );  ( )

c) Vẽ OE AB tại E, Chứng minh được BO là tia phân giác của ABC (*)

Chứng minh được AB BI

Chứng minh được: ABK IBC c c c( ) ABK IBK

Từ đó suy ra BK lầ tia phân giác của ABC **

Từ (*) và (**) suy ra tia BK BO trùng nhau,

Hay , ,B O K là ba điểm thẳng hàng.