011 đề hsg toán 7 huyện nga sơn 2009 2010

Kẻ BH, CK cùng vuông góc với AE H và K thuộc đường thẳng AE.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN NGA SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7

NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi: TOÁN

Câu 1 ( 4 điểm) Tìm x biết:

13 13

21 25

2

x x

Câu 2 (3 điểm) So sánh:

a) 3500và 7300 b)

9 1 243

 

 

  và

13 1 83

 

 

 

c)

19 20

10 1

10 1

 và

20 21

10 1

10 1



Câu 3 (4 điểm) Tìm ba số tự nhiên có tổng các bình phương là 1201; số thứ nhất

và số thứ hai có tỉ lệ là 3 và 4; số thứ nhất và số thứ ba tỉ lệ với 5 và 8

Câu 4 (8 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân ở A Gọi M là trung điểm BC, điểm

E nằm giữa M và C Kẻ BH, CK cùng vuông góc với AE (H và K thuộc đường thẳng AE) Chứng minh rằng:

a) BH = CK

b) MBH MAK

c) Tam giác MHK là tam giác vuông cân

d) Khi E di động trên đoạn thẳng MC thì BH2CK2luôn không đổi

Câu 5 (1 điểm) Cho ba số chính phương x y z; ; Chứng minh rằng

      12

ĐÁP ÁN HSG 7 NGA SƠN 2009-2010 Câu 1.

a)

Vậy

4 5

x 

b) 3x 12 46 2.3 3

3x 12 46 54   3x 12 100  3x 12  10 2

3x  1 10 hoặc 3x  1 10

*Nếu

11

3

*Nếu 3x  1 10  x 3

Vậy

11

3

c) 2 1 2x  2  160  2x 32  x 5

Vậy x 5 d)

1

2 3 (*) 2

*) Xét x  0 VT  0, VP < 0 nên không có giá trị nào của x thỏa mãn

*) Xét x 0

1 0 2

x

và x  2 0 nên

Khi đó (*) trở thành:

Vậy

1 2 2

x 

Câu 2

a) Ta có: 3 500  3 5 100 243 100 ;7 300  7 3 100 343 100

Vì 243 100  343 100 nên 3500 7300

Vậy 3500 7300

b) Ta có:

             

             

             

Vậy

243 83

   



   

   

c) Ta có

20

21

P Q





Vì 20 21

10  1 10  1 nên từ (1) và (2) suy ra 10P10Q P Q

Vậy P > Q

Câu 3

Gọi 3 số tự nhiên cần tìm là x y z, , Theo đề bài ta có:



và 5 8 15 20 24

Đặt 15 20 24 ( 0) 15 ; 20 ; 24

 2  2  2

2

15 20 24 1201 1201

Vậy x15;y20;z24là ba số phải tìm

Câu 4

H

K

A

a) Xét ABH và CAK có:

  90 ( ); 0 ( ) ;  

b) Dễ thấy ABM AMC cgc( ) AMB AMC

Mà AMB AMC  1800 AMB AMC  900 AM BC

Do ABCvuông cân nên ABC 450  AMBvuông cân tại M MA MB

Xét MBH và MAK có: BH AK(chứng minh câu a)

MBH MAK (cùng phụ với AEB); MA = MB (chứng minh trên)

( )

c) Theo câu b) MBH MAK MH MK và KMA HMB (1)

Mà HMB900HMA KMA KMH HMA ;    KMH 90 (2)0

Từ (1) và (2)  MKH vuông cân tại M

d) Khi E khác M và C

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ACK ta có:

*Khi E trùng với C thì BH2CK2 AB2 02 AB2 AC2

*Khi E trùng với M thì BH2KC2 MA2MC2 AC2

Vậy khi E di động trên đoạn thẳng MC thì tổng BH2KC2luôn không đổi

Câu 5 Theo đề bài x y z; ; là 3 số chính phương Mà một số chính phương khi chia cho 3 hoặc cho 4 đều chỉ có thê dư 0 hoặc dư 1

Do đó trong 3 số chính phương x; y; z khi chia cho 3 phải có hai số có cùng số dư, nên 3 số x y y z z x ;  ;  phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 suy ra

x y y z z x        3

Chứng minh tương tự ta cũng có x y y z z x       4

Mà 3, 4 1nên Ax y y z z x       12