001 đề hsg toán 7 huyện thanh oai 2014 2015

Chứng minh rằng a AIJcân b DA là tia phân giác của góc LDK d Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh BC.. Chứng minh rằng góc IAJ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh BC để IJ có

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

THANH OAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7 Năm học 2014-2015

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút

(không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (6,0 điểm) Tìm x biết

5

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng đa thức x2 2x 2vô nghiệm

b) Cho tỉ lệ thức .

3 2

b

d  Chứng minh:

2 2

2 2

Câu 3 (4,0 điểm)

a) Tìm x biết x 3 2x x 4

b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức

8 3

x B

x





 đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 4 (5,0 điểm)

Cho ABCnhọn, AD vuông góc với BC tại D Xác định I; J sao cho AB là trung trực của DI, AC là trung trực của DJ;IJ cắt AB ; AC lần lượt ở L và K Chứng minh rằng

a) AIJcân

b) DA là tia phân giác của góc LDK

d) Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh BC Chứng minh rằng góc IAJ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ nhất

Câu 5 (1,0 điểm)

Tìm x, y thuộc biết : 25 y2 8x 20092

ĐÁP ÁN HSG 7 THANH OAI 2014-2015 Câu 1.

a)

Vậy

5 6

x 

b) 2x1 x1

Nếu

1 2

x 

ta có 2x  1 x  1 x 2(thỏa mãn) Nếu

1 2

x 

ta có:  2x  1 x  1 x 0(thỏa mãn) Vậy x 2hoặc x 0

c)

5 2 x 5

5 2x 5 x 5

hoặc

2

5 2 x  5 x

Vậy

2 5

x 

hoặc x 2

Câu 2

2

x  x x  x   x 

Vì x12 0xnên x12  1 1 x Do đó đa thức đã cho vô nghiệm

b) 1) Với

;

2)a c a c a c (1)





b d  b d bd

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Câu 3 a x)  3 2x x 4 (1)

Lập bảng xét dấu

x -3 4

x+3 - 0 + +

x – 4 - - 0 + Xét khoảng x 3,ta có (1) trở thành 2x 7 x3,5(thuộc khoảng đang xét)

Xét khoảng    3 x 4, ta có (1) trở thành 0.x 1(không có giá trị nào của x thỏa mãn)

Xét khoảng x 4, ta có (1) trở thành: 2x7 x3,5(không thuộc khoảng đang xét)

Kết luận : Vậy x 3,5

b) Biến đổi

1

x x

B

 



B đạt giá trị nhỏ nhất

5 3

x



 nhỏ nhất

Xét x 3và x 3, ta được

5 3

x  có giá trị nhỏ nhất bằng  5 tại x 2

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của B bằng – 6 tại x 2

Câu 4.

2

2 1 1

K L

J

I

D

A

a) Do AB; AC là trung trực của AB

Nên AI = AD; AD=AJ AI AJ  AIJ cân tại A

b) ALI ALD c c c( )  I1 D1

Tương tự AKDAKJ c c c( )  D 2 J2

Mà AIJ cân (câu a) I1 J2

 

1 2

   là tia phân giác của LDK

c) Chứng minh được KC là phân giác ngoài tại đỉnh K của tam giác DLK

Chứng minh được DC là phân giác ngoài tại đỉnh D của tam giác DLK

Suy ra LClà tia phân giác trong tại đỉnh L của tam giác DLK

Mà AB cũng là phân giác ngoài tại đỉnh L của tam giác LDK

Hay CL vuông góc với AB tại L

Chứng minh tương tự : BK vuông góc với AC tại K

d) Chứng minh được IAJ  2BAC (không đổi)

*AIJ cân tại A có IAJ không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nhất nến cạnh bên AI nhỏ nhất Ta có AI ADAH(AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC) Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi D H

Vậy khi D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC thi IJ nhỏ nhất

Câu 5.

2 2

25  y  8 x 2009

2

Vì y 2 0 nên  

2 25 2009

8

, suy ra x  20092 0 hoặcx  20092 1 Với x  20092 1, thay vào (*) ta có: y 2 17(loại)

Với x  20092 0thay vào (*) ta có y 2 25,suy ra y 5 (do y  )

Từ đó tìm được x2009,y5