TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ
TẬP HỢP VÀ PHẦN TỬ
Tập hợp và phần tử của tập hợp là những khái niệm toán học nguyên thủy không thể định nghĩa mà chỉ có thể mô tả và nêu ra các thuộc tính đặc trưng thông qua hệ tiên đề Trong tài liệu này, thuật ngữ "tập" sẽ được sử dụng để thay thế cho "tập hợp" nhằm tránh nhầm lẫn.
Một cách trực quan, ta có thể hình dung một tập hợp là được tạo thành bởi nhiều đối tượng gọi là các phần tử của tập hợp đó
Nếu x là một đối tượng trong tập A, thì x được gọi là phần tử của A và ký hiệu là $x \in A$ Ngược lại, nếu x không phải là phần tử của A, thì ký hiệu là $x \notin A$.
Có nhiều phương pháp để xác định một tập hợp cụ thể cho nghiên cứu Trong bài viết này, chúng ta sẽ tập trung vào hai phương pháp phổ biến nhất.
Phương pháp liệt kê là cách mô tả một tập hợp bằng cách đưa ra danh sách đầy đủ các thành phần của nó Đây là phương pháp đơn giản và trực quan nhất để thể hiện nội dung của tập hợp.
Thí dụ 1.Gọi B là tập hợp gồm các “phần tử” là các con số: 2, 4, 5, 6, 8
Phương pháp này giúp đơn giản hóa quy trình xác định xem một đối tượng có thuộc về một tập hợp đã cho hay không Đối với những đối tượng không có trong bảng liệt kê, tức là không nằm trong "danh sách" các phần tử, việc nhận diện trở nên dễ dàng hơn.
A thì đối tượng đó không phải là phần tử của A
Chẳng hạn trong thớ dụ trờn: 7 B, 9 Bẽ ẽ cũn 4 Bẻ , …
Khi áp dụng phương pháp liệt kê, các đối tượng trong danh sách không cần phải có tính chất chung nào.
Thí dụ 2 C là tập gồm 4 phần tử là các ký hiệu: 0; a; Hà Nội; *
Trong nhiều trường hợp, việc liệt kê đầy đủ các phần tử của một tập hợp là rất khó hoặc không thể Để chỉ rõ một tập hợp xác định, cần nêu ra các tính chất đặc trưng S của các đối tượng trong tập hợp Mọi đối tượng thuộc tập hợp đều phải có tính chất này, và bất kỳ đối tượng nào sở hữu tính chất đặc trưng đó đều là phần tử của tập hợp.
Ký hiệu : C = {x: x có thuộc tính S} : Tập C gồm các đối tượng x có thuộc tính S
Thí dụ 1: A = {x: x 2 =1} có nghĩa là: “A là tập hợp gồm các phần tử x sao cho bình phương của x bằng 1”
Thí dụ 2 Tập hợp các số nguyên dương N +
N + ={1, 2, 3, , n, } Khi đó các số 1, 2, 3, … là các phần tử của N + Các phần tử của N + có 2 tính chất chung: đó là số nguyên và dương
Thí dụ 2 A {1, 3, 5, 7, }= là tập hợp các số nguyên dương lẻ Các phần tử của A có 3 tính chất chung là nguyên, dương và lẻ
Nếu x là một đối tượng trong tập A, thì x được gọi là phần tử của A, ký hiệu là $x \in A$ Ngược lại, nếu x không phải là phần tử của A, ta ký hiệu là $x \notin A$.
Phương pháp mô tả tập hợp cần đảm bảo rằng các tính chất đặc trưng được nêu ra là điều kiện cần và đủ để xác định xem một đối tượng có phải là phần tử của tập hợp hay không.
Trong thí dụ 2: số 15 AỴ ; số 16 Ạ vì 16 khơng cĩ tính chất lẻ
1.1.1 Tập hữu hạn và tập vô hạn
Nếu A là một tập hợp có số lượng phần tử hữu hạn, thì số lượng các phần tử trong tập A được gọi là bản số hay lực lượng của tập A, ký hiệu là |A| hoặc N(A) Giá trị này là một số nguyên dương, và khi đó |A| là một số hữu hạn, do đó tập A được gọi là tập hữu hạn.
Nếu A không phải tập hữu hạn thì ta gọi A là tập vô hạn
Trong các bài toán ứng dụng thuộc lĩnh vực toán rời rạc ta chỉ xem xét những tập hữu hạn
N {0, 1, 2, ,n, }= : tập các số tự nhiên là tập vô hạn
Z {0, 1, 2, , n, }= ± ± ± : tập các số nguyên là tập vô hạn
=ớ ạ ẻ ẻ ý ợ ỵ: tập cỏc số hữu tỉ là tập vụ hạn
R {= Các số thực} là tập vô hạn
Trong quá trình tính toán, khái niệm tập rỗng sẽ được đưa vào Định nghĩa tập rỗng: Nếu $| A | = 0$, thì $A$ được gọi là tập rỗng, tức là tập không chứa bất kỳ phần tử nào Tập rỗng được ký hiệu là $\emptyset$.
A là tập các nghiệm số thực của phương trình x 2 -3x 2 0+ = thì
Còn tập nghiệm thực của phương trình x 2 + + =x 1 0 là một tập rỗng vì phương trình này không có nghiệm thực
1.1.3 Sự bao hàm và tập con Định nghĩa 2: Nếu với mọi phần tử x Aẻ ị ẻx B hoặc sử dụng mệnh đề tương đương: Với mọi x Bẽ ị ẽx A thì ta nói:
• A bao hàm trong B hoặc A chứa trong B
• A là tập con của B Để diễn đạt điều này ta viết AÌB hay BÉA
1.1.4 Tập hợp bằng nhau Định nghĩa 3: Hai tập A và B gọi là bằng nhau (ta viết A = B) nếu chúng bao gồm những phần tử như nhau, nghĩa là mọi phần tử thuộc A đều thuộc B và ngược lại: x Aẻ Û ẻx B
A {x, 2, 5, 4}= vàB {5, x, 4, 2}= là hai tập bằng nhau
Thứ tự hay vị trí của các phần tử không quan trọng
A là tập gồm 2 phần tử {-1; +1} và B là tập {nghiệm số thực của phương trình bậc 2: x 2 – 1 =0} thì A = B
Từ 3 định nghĩa trên có thể suy ngay ra các mệnh đề sau đây:
• A chứa các phần tử của nó
Tập rỗng ặ là tập con của mọi tập A, điều này sẽ được chứng minh sau Để hình dung mối liên hệ giữa các tập trong quá trình nghiên cứu, người ta sử dụng sơ đồ Venn, trong đó mỗi tập được biểu diễn bằng một miền kín trong mặt phẳng Mỗi điểm bên trong miền kín đại diện cho một phần tử của tập đó Quan hệ AÌB được thể hiện qua sơ đồ Venn, trong đó miền A nằm trong miền B.
Tập vũ trụ, ký hiệu là U, được định nghĩa là tập bao hàm tất cả các tập có thể có trong vấn đề đang khảo sát Trong sơ đồ Venn, tập U được biểu diễn bằng hình vuông hoặc hình chữ nhật, trong khi các tập khác được xem xét sẽ nằm trong các miền của hình vuông hoặc hình chữ nhật đó.
1.1.6 Tập lũy thừa Định nghĩa 5:Cho tập A, ta gọi tập lũy thừa của A ký hiệu là P(A) hay 2 A là tập mọi tập con của A (bao gồm cả tập rỗng và bản thân tập A)
Chú ý:Phần tử của tập lũy thừa là mọi tập con của A, bao gồm cả các phần tử của A xem như những tập con chỉ có 1 phần tử
CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP
Từ hai tập hợp A và B đã cho trong U, chúng ta có thể định nghĩa một số quy tắc để tạo ra một tập hợp mới, được gọi là các luật hợp thành.
Mỗi luật hợp thành trong cũng gọi là một phép toán tập hợp
1.2.1 Phép hợp Định nghĩa: Hợp của 2 tập A và B, ký hiệu là A È B, là tập chứa tất cả các phần tử thu ộ c A ho ặ c thu ộ c B , nghĩa là: x Aẻ ẩB Û {x Aẻ hoặcxẻB}
A ÈBđược biểu diễn bởi sơ đồ Venn như hình 3
Giao của hai tập hợp A và B, ký hiệu là \( A \cap B \), là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc cả A và B Cụ thể, nếu \( x \) là phần tử thuộc A và cũng thuộc B, thì \( x \) sẽ nằm trong tập giao \( A \cap B \) Ví dụ, với A = \{1, 3, 5\} và B = \{1, 2, 3\}, giao của A và B là \( A \cap B = \{1, 3\} \).
Biểu diễn của A ÇB bằng sơ đồ Ven có dạng như hình 4
Thí dụ.Cũng trong thí dụ trên A {1, 3, 5}, B {1, 2, 3}= = thì
AÇB {1, 3}Nếu AầB=ặ thỡ ta núi rằng A và B là hai tập rời nhau
Thí dụ:A {1, 3, 5, 7, 9}, B {2, 4, 6, 8}= = là hai tập rời nhau vì
1.2.3 Phép trừ Định nghĩa: Hiệu của hai tập A và B ký hiệu là A\B, là tập chứa các phần tử thu ộ c A mà không thu ộ c B Biểu diễn của A\B bằng sơ đồ Venn có dạng như hình 5
1.2.4 Tập bù Định nghĩa: Nếu A ÌE thì E\A là t ậ p bù c ủ a A trong E
Trường hợp đặc biệt nếu E = U thì U\A được gọi ngắn gọn là t ậ p bù hay t ậ p đố i l ậ p của Avà ký hiệu là A.Dễ dàng nhận thấy A = A
1.2.5 Tính chất của các phép toán tập hợp
Các phép toán tập hợp nêu trên thỏa mãn các đẳng thức dưới đây mà ta gọi đó là các luật
Có thể dễ dàng kiểm tra lại từ các định nghĩa của phép toán hoặc sử dụng sơ đồ Venn
Aầ ặ=ặ Luật lũy linh (vai trũ của ặ )
(2) AÈU U AÇU A= Luật lũy đẳng (vai tò của U)
AÇB B= ÇA Luật giao hoán
AÇ(BÇC) (A= ÇB)ÇC Luật kết hợp
AÇ(BÈC) (A= ÇB) È(AÇC) Luật phân phối
AÇB A= ÈB Luật De Morgan
Các luật (3) (4), (5), (6) đều có thể có thể mở rộng cho n tập
Chẳng hạn khi đó quy tắc De Morgan sẽ có dạng tổng quát sau đây: i i i IA i IA ẻ = ẻ
Cấu trúc dàn Boole đại số:
- Tập hợp và các phép toán tập hợp định nghĩa như trên là trường hợp riêng của một dạng cấu trúc đại số quan trọng
Định nghĩa về các phần tử trong một tập hợp M có thể được xây dựng thông qua ba quy luật cơ bản: phép hợp (hay phép cộng), phép giao (hay phép nhân) và phép phủ định (hay phép bù) Những quy luật này đảm bảo rằng kết quả của các phép toán giữa các phần tử của M vẫn thuộc về tập hợp M.
Nếu như 3 phép toán đó thỏa mãn 6 tính chất (tiên đề) là (1), (2), (3), (4),
(5), (6) nêu trên - thì M được gọi là một dàn Boole đạ i s ố
- Như vậy: Các t ậ p con trong m ộ t t ậ p v ũ tr ụ U v ớ i 3 phép toán t ậ p h ợ p: Giao, H ợ p và Ph ủ đị nh l ậ p thành m ộ t c ấ u trúc dàn Boole
Cho S {A , A , , A }= 1 2 n trong đó A (i 1, n) i = là các tập con của E Nếu n i 1Ai E
= ! thì S gọi là một phủ của E
Nếu S là một phủ của E và A i ầA j =ặ " ại j thỡ S gọi là một phõn hoạch của E
E {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};= A 1 ={1, 3, 5, 7, 9};A 2 ={0, 2, 4, 6, 8}; thìS {A , A }= 1 2 là một phân hoạch của E
Dễ thấy rằng số các phần tử của E đúng bằng tổng số các phần tử của
A1 và A 2 cho nên khái niệm phân hoạch là cơ sở của “nguyên lý cộng” trong bài toán đếm mà ta sẽ nghiên cứu ở chương sau
Tích Đề-các của 2 tập A và B, ký hiệu là A B´ , là một tập được định nghĩa như sau:
Dễ dàng nhận thấy A B´ không có tính giao hoán
Mở rộng cho tích Đề-các của n tập:
A ´A ´ ´ A ={(a , a , , a ): a ẻA , i 1, n}Nếu A 1 =A 2 = = A n = A thì tích Đề-các được ký hiệu là A n , nghĩa là:
Dễ dàng chứng minh được A B´ = A ´ B
Do đó tích Đề-các là cơ sở của “nguyên lý nhân” trong bài toán đếm ở chương sau.
QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ QUAN HỆ THỨ TỰ
Ta đưa vào tập E một khái niệm được gọi là quan hệ R có liên quan đến mỗi cặp gồm 2 phần tử của E
Xét 2 phần tử a và b của E, nếu a có quan h ệ R v ớ i b thì ta viết aRb; khi đó R là quan h ệ 2 ngôi trên t ậ p E
Trên tập số thực : quan hệ bé hơn: < giưa 2 số a và b là một quan hệ 2 ngôi: aRb Ûa < b là quan hệ 2 ngôi trên tập số thực
3< 7 nên cặp số (3,7) 3, và 7 thỏa mãn quan hệ <
13 nhưng 8 không bé hơn 5 nên cặp số (8,5) không thỏa mãn quan hệ R
E là tập các đường thẳng trên một mặt phẳng P nào đó aRb Ûa / / b – Song song là quan hệ 2 ngôi trong tập các đường thẳng trên mặt phẳng P
Tập hợp E bao gồm các sinh viên trong một lớp học, trong đó quan hệ aRb được định nghĩa là "a cùng năm sinh với b" Quan hệ cùng năm sinh là một quan hệ hai ngôi giữa các sinh viên trong lớp học.
* Quan hệ 2 ngôi trên một tập E có thể có các tính chất sau đây: a) Tính phản xạ:- tự ứng
Quan hệ R cú tớnh chất phản xạ nếu aRa " ẻa E
- Quan hệ “cùng năm sinh” có tính phản xạ
- Quan hệ “nhỏ hơn” (a < b) không có tính phản xạ vì không thể có a < a b) Tính đối xứng:
Quan hệ R cú tớnh đối xứng nếu aRb ịbRa
- Quan hệ “cùng năm sinh” có tính đối xứng
- Quan hệ “nhỏ hơn” (a < b) không có tính đối xứng vì từ a < b không thể suy ra b < a c) Tính bắc cầu – truyền ứng:
Quan hệ R gọi là cú tớnh bắc cầu nếu (aRb và bRc) ịaRc
Quan hệ “cùng năm sinh” có tính bắc cầu; quan hệ “nhỏ hơn” cũng có tính bắc cầu vì từ (a < b và b < c) suy ra a < c
Trên tập các số nguyên dương N + ta đưa vào quan hệ như sau: aRb Û a và b là 2 số nguyên tố cùng nhau
Quan hệ R này không có tính bắc cầu; vì (4R5 và 5R8) không thể suy ra 4R8 vì 4 và 8 không nguyên tố cùng nhau do chúng có 2 ước chung khác
1 đó là 2 và 4 d) Tính phản xứng
Quan hệ R gọi là cú tớnh phản xứng nếu (aRb và bRa) ịa = b
Quan hệ aRb Û £a b có tính phản xứng vì từ a £ b và b a£ ta suy ra a = b (trên tập số thực)
E là tập các cán bộ trong một cơ quan, ta đưa vào quan hệ R như sau: aRb Û lương của a không cao hơn lương của b
Quan hệ R không có tính phản xứng, vì từ điều kiện (aRb và bRa) chỉ cho ta biết rằng lương của a bằng lương của b, nhưng không thể kết luận rằng a và b là một Điều này có nghĩa là a và b có thể là hai cán bộ khác nhau trong cùng một cơ quan.
1.3.2 Các phương pháp biểu diễn quan hệ 2 ngôi a) Ph ươ ng pháp li ệ t kê
Theo định nghĩa, mọi quan hệ hai ngôi R trên tập E đều là tập con của tập tích Đề-các E x E', tức là R luôn có thể được viết dưới dạng R ⊆ E x E' Do đó, một trong những phương pháp để biểu diễn R là liệt kê tất cả các phần tử của R.
Thí dụ.Cho E {a , a , a }= 1 2 3 Tìm trong E một quan hệ 2 ngôi có tính phản xạ, đối xứng nhưng không bắc cầu
R là tập hợp các cặp (a, a), thể hiện tính phản xạ ở 3 phần tử đầu Bốn phần tử còn lại thể hiện tính đối xứng Trong tập hợp này, ta có (a, a) và (a, a) thuộc R, nhưng (a, a) không thuộc R, do đó không có tính chất bắc cầu Phương pháp sơ đồ cũng được áp dụng để minh họa.
Mỗi phần tử trong tập hợp E đại diện cho một đỉnh của đồ thị Nếu có quan hệ $a R a_i a_j$, thì sẽ có cung nối từ $a_i$ đến $a_j$ Ví dụ, trong trường hợp này, ta có các đỉnh $a_1$, $a_2$, và $a_3$ Phương pháp ma trận quan hệ được áp dụng để mô tả cấu trúc này.
Nếu E {a , a , , a }= 1 2 n thì R được biểu diễn bởi ma trận vuông cấp n: ij n n
1 khi a Ra r 0 khi không có a Ra hay (a , a ) R
Trong thí dụ trên ta có:
Quan hệ 2 ngôi trên tập E gọi là quan h ệ t ươ ng đươ ng nếu nó có 3 tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu Dễ dàng thấy rằng:
- Quan hệ “cùng năm sinh” trên tập các sinh viên của một lớp là quan hệ tương đương
- Quan hệ “song song” trên tập các đường thẳng trong một mặt phẳng nào đó là quan hệ tương đương
- Quan hệ “a < b” trên tập số thực không phải là quan hệ tương đương Nếu R là quan hệ tương đương thỡ aRb cú thể viết là a ằ b
Khi đưa vào tập E một quan hệ tương đương R, các phần tử tương đương với nhau sẽ được xếp vào một lớp, được gọi là lớp tương đương.
Ta có đị nh ngh ĩ a sau:
Giả sử R là một quan hệ tương đương trên tập E và x thuộc E Khi đó, lớp tương đương chứa x được định nghĩa là tập hợp các phần tử y thuộc E sao cho yR x Nếu R là quan hệ tương đương trên E, thì lớp tương đương chứa x sẽ được xác định như vậy.
2) "x, y E, xRyẻ Û x y3) Nếu x ầ ạ ặy thỡ 2 lớp tương đương x và y trựng nhau
1) Do tớnh phản xạ ta cú xRx, do đú x xẻ
2) Giả sử xRy và z xẻ thỡ zRx Từ zRx và xRy nờn do tớnh bắc cầu ta có zRy, suy ra x Ì y Mặt khác do tính đối xứng nên ta có yRx, chứng minh tương tự trên ta suy ra yÌ x Vậy x y=
Ngược lại, giả sử x y= , vỡ x xẻ nờn x yẻ , nghĩa là xRy Điều phải chứng minh
3) Giả sử x ầ ạ ặy Vậy z xẻ ầ y, nghĩa là zRx và zRy Do 2) ta cú x z y= • Khi đưa quan hệ tương đương R vào E thì chúng chia E thành các lớp tương đương Hai phần tử của E có quan hệ R thuộc cùng 1 lớp tương đương và ngược lại
Trong số tự nhiên, hai số a và b được gọi là đồng dư theo modulo 5 nếu chúng có cùng số dư khi chia cho 5 Ký hiệu cho mối quan hệ này là \( a \equiv b \, (\text{mod} \, 5) \).
Quan hệ đồng dư theo mod 5 trong tập hợp các số tự nhiên tạo thành các lớp tương đương, cho thấy đây là một quan hệ tương đương dễ dàng kiểm chứng.
- Lớp đồng dư với sô 0 – chia hết cho 5: {0, 5, 10, 15, …}
- Lớp đồng dư với số 1 – chia cho 5 dư 1: [1 6, 11, 16,… }
- Lớp đồng dư với số 2 - chia cho 5 dư 2: {2 7 12 17 }
- Lớp đồng dư với số 3 – chia cho 5 dư 3: {3 8, 13 18,…}
- Lớp đồng dư với số 4 – chia cho 5 dư 4: {4 9 14 19,…}
Năm lớp đó đã vét cạn và tạo thành 5 tập con không giao nhau cua tập hợp các số tự nhiên
Các lớp tương đương được sinh ra từ một quan hệ tương đương R là rời nhau và tạo thành một phủ của tập hợp E, do đó chúng tạo thành một phân hoạch của E.
Việc đưa vào tập E một quan hệ tương đương giúp tìm ra một phân hoạch của E thành các lớp tương đương theo quan hệ R Mỗi lớp tương đương cho phép chọn một phần tử đại diện, từ đó giảm thiểu khối lượng công việc nghiên cứu Thay vì xem xét tất cả phần tử trong tập hợp E, ta chỉ cần tập trung vào các phần tử đại diện, giúp tiết kiệm thời gian và công sức.
Quan hệ hai ngôi R trên tập E được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó thỏa mãn ba tính chất: phản xạ, phản xứng và bắc cầu Quan hệ (a ≤ b) hoặc (a ≥ b) là ví dụ điển hình của quan hệ thứ tự trên tập các số tự nhiên và tập các số thực Một trong những loại quan hệ thứ tự đặc biệt là quan hệ thứ tự toàn phần.
Quan hệ R được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần trên tập E nếu với mọi cặp phần tử a, b thuộc E, ta luôn có aRb hoặc bRa Điều này có nghĩa là mọi phần tử trong E đều có thể so sánh với nhau theo quan hệ R.
17 sắp xếp theo một thứ tự xác định theo quan hệ R và E là một tập có thứ tự toàn phần b) Quan h ệ th ứ t ự không toàn ph ầ n
Nếu R là một quan hệ thứ tự trên E nhưng không phải là quan hệ thứ tự toàn phần thì ta nói R là quan hệ thứ tự không toàn phần
ÁNH XẠ
1.4.1 Các định nghĩa Đị nh ngh ĩ a 1 f gọi là ỏnh xạ từ tập A vào tập B nếu " ẻx A, y$ duy nhất ẻB mà ta ký hiệu là f(x) và gọi là ảnh của x qua ánh xạ f Ta viết: f : A B x f (x) ®
Nếu E Ì A thì ảnh của E qua f là tập: f (E) {y B: x E; y f (x)}= ẻ $ ẻ Hoặc ta cũng viết: f (E) {f (x) : x E}= ẻ
- Nếu f (y) x - 1 = thì x là phần tử duy nhất có ảnh là y Đị nh ngh ĩ a 3
Cho f là một ánh xạ từ tập A vào tập B a) f là toàn ánh hay ánh x ạ tràn nếu có điều kiện: mọi phần tử của
B là ảnh của một phần tử nào đó từ A, và ảnh f(A) bao phủ toàn bộ B Hàm f được gọi là đơn ánh hoặc ánh xạ tiêm nếu với mọi cặp phần tử khác nhau trong A, ảnh của chúng là một cặp phần tử khác nhau trong B.
" ẻ và x 1 ạ x 2 ị f (x ) f (x ) 1 ạ 2 c) f là một song ánh hay là ánh x ạ sánh nếu f vừa là toàn ánh vừa là đơn ánh
Nếu f là một song ỏnh từ A lờn B thỡ ta viết f : A ôB Khi đú y B, x
" ẻ $ duy nhất ẻA để cho y =f (x); như vậy sự tương ứng yđ x là một ánh xạ từ B vào A mà ta ký hiệu f - 1 f : B - 1 ®A y! f (y) x - 1 = với y= f (x)
Và trong trường hợp này ta nói f - 1 là ánh xạ ngược của f
Ký hiệu $R$ là tập số thực và $R^+$ là tập số thực không âm Hàm $f: R \to R$ được cho bởi $y = x^2$ là một ánh xạ nhưng không phải là toàn ánh vì các số âm không phải là ảnh của bất kỳ số $x$ nào Nó cũng không phải là đơn ánh vì hai số $x$ và $-x$ (với $x \neq 0$) có chung một ảnh Ngược lại, hàm $f: R \to R^+$ với $y = x^2$ là toàn ánh nhưng không phải là đơn ánh Đối với hàm $f: R^+ \to R^+$ cho bởi $y = e^x$, nó là đơn ánh nhưng không phải là toàn ánh vì các số nhỏ hơn 1 không phải là ảnh của bất kỳ số $x \geq 0$ Cuối cùng, hàm $f: R \to R$ cho bởi $y = ax + b$ (với $a > 0$) là song ánh, tức là vừa là toàn ánh vừa là đơn ánh, và ánh xạ ngược của nó là $f^{-1}: R \to R$.
1.4.2 Hợp (hay tích) của các ánh xạ
Cho 2 ánh xạ: f : A ®Bvà g : B®C, khi đó: x A, y B
Và " ẻy B, z C$ ẻ sao cho g(y) zDo đú " ẻx A, z C$ ẻ (qua ỏnh xạ trung gian f) sao cho g f (x) [ ] = z
Vậy có một ánh xạ từ A tới C xác định như sau:
[ ] x Aẻ đ z g f (x)= ẻC Đị nh ngh ĩ a 4
Hợp (hay tích) của hai ánh xạ f và g – theo thứ tự đó – ký hiệu là g f : A! đ C xỏc định như sau: x Aẻ đ (g f )(x) g f (x)! = [ ]ẻC
Hợp của 2 ánh xạ thường được biểu diễn bởi sơ đồ:
Cho A B C R= = = ; x Rẻ đ y f (x) x= = 2ẻR y Rẻ đ z g(y)= = +y 3 Rẻ
Khi đó ánh xạ hợp: g f : R! ® R xác định như sau:
[ ] 2 x Rẻ đ (g f )(x) g f (x)! = =x +3 Rẻ Độc giả có thể tự chứng minh các định lý sau đây: Đị nh l ý 3
Hợp của 2 đơn ánh là một đơn ánh
Hợp của 2 toàn ánh là một toàn ánh
Hợp của 2 song ánh là một song ánh Đị nh l ý 4
Cho ánh xạ f : A ® B và A , A 1 2 là 2 tập con bất kỳ của A; B , B 1 2 là 2 tập con bất kỳ của B Khi đó:
1.1 Trong các trường hợp dưới đây, hỏi A có bằng B không? a) A là tập các số thực ³0; B là tập các số thực ³ trị số tuyệt đối của chính nó b) A là tập các số thực ³0; B là tập các số thực £ trị số tuyệt đối của chính nó c) A là tập các số nguyên không âm, có lũy thừa bậc 3 là số lẻ không chia hết cho 3; B là tập các số nguyên không âm, có bình phương trừ 1 chia hết cho 24
1.2 Xét các tập con của Z
Hỏi rằng trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào là đúng? a) A = B c) B = C e) D = F b) A = C d) D = E f) E = F
1.3 Trong số các tập cho dưới đây, tập nào khác rỗng? a) {x N: 2x + 7 = 3}ẻ ; d) {x R: x + 4 = 6}ẻ 2 ; b) {x Z: 3x + 5 = 9}ẻ ; e) {x R: x + 5 = 4}ẻ 2 ; c) {x Q: x + 4 = 6}ẻ 2 ; f) {x R: x + 3x + 3 = 0}ẻ 2
1.4.Cho tập vũ trụ U {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}= và xét 4 tập con của nó:
Hãy xác định các tập dưới đây: a) (AÈB) CÇ f) AÈ(B C)Ç b) AÈ(B C)Ç g) (B C) DÇ Ç c) C DÈ h) B (C D)Ç Ç d) C DÇ i) (A B) C DÈ Ç Ç e) (A B) CÈ Ç
1.5.Xét các tập con của Z
Hãy chỉ ra các khẳng định dưới đây, khẳng định nào là đúng? a) EÌ ÌC A; c) DÌ B; e) BÌ D; b) AÌ ÌC E; d) DÌ A; f) DÌA
1.6.Cho A, B, C, D là các tập con của U Hãy chứng minh rằng: a) Nếu AÌB và CÌ D thì (AÇC)Ì (BÇD) và
(AÈC)Ì (BÈD) b) Nếu AÌC và BÌ C thì (AÇB) ÌC và (AÈB) ÌC c) Aè B khi và chỉ khi AầB=ặ d) AÌB khi và chỉ khi AÈB U=
1.7.Dùng các tính chất của các phép toán tập hợp để đơn giản các biểu thức sau: a) AÇ(B A)Ç b) (A B)Ç È(A B C D)Ç Ç Ç È(A B)Ç c) (A B)È È(A B C)Ç Ç d) AÈ(A B)Ç È(A B C)Ç Ç È(A B C D)Ç Ç Ç
1.8.Cho A {1, 2, 3}, B {2, 3, 4}= = Tìm các tập lũy thừa sau đây:
1.9 Xét xem các mệnh đề nào dưới đây là đúng? a) P(A B) P(A) P(B)È = È b) P(A B) P(A) P(B)Ç = Ç c) P(A B) P(A) P(B)´ = ´
1.10 Có thể kết luận gì về các tập A và B nếu các đẳng thức dưới đây là đúng a) A B AÈ = c) A \ B = A b) A B AÇ = d) A \ B =B \ A
1.11 Hãy tìm một quan hệ trên A {1, 2, 3, 4}= sao cho nó có tính chất: a) Phản xạ và đối xứng nhưng không bắc cầu b) Phản xạ và bắc cầu nhưng không đối xứng c) Đối xứng và bắc cầu nhưng không phản xạ
1.12 Hãy chỉ rõ các tính chất của các quan hệ cho dưới đây: a) Quan hệ R trên Z: x R y Û x y+ là số chẵn b) Quan hệ R trên Z: x R y Û -x y là số lẻ c) Quan hệ R trên Z: x R y Û x 2 +y 2 là số chẵn
24 d) Quan hệ R trên R: x R yÛ | x | | y |= e) Quan hệ R trên R: x R yÛ sin x sin y 1 2 + 2 = f) Quan hệ R trên N + : x R y Û x 2y=
1.13 Quan hệ R trên A = {tập những người con trong một gia đình} được định nghĩa như sau: a) x R y Û x là em của y b) x R y Û x không là em của y
Hỏi các quan hệ trên có tính chất gì? Quan hệ nào là quan hệ tương đương? Quan hệ nào là quan hệ thứ tự?
1.14 Cho A là một tập người nào đó Hãy chỉ rõ các quan hệ R nào dưới đây là quan hệ tương đương? Quan hệ nào là quan hệ thứ tự? a) x R y Û x và y bằng tuổi nhau b) x R y Û x và y là hai anh em ruột c) x R y Û x và y quen biết nhau d) x R y Û x cao hơn y e) x R y Û x không cao hơn y
1.15 A là tập các từ trong 1 cuốn từ điển tiếng Việt Hãy chỉ rõ các quan hệ nào dưới đây là quan hệ tương đương? Quan hệ nào là quan hệ thứ tự? a) x R y Û x cùng dấu với y b) x R y Û x có cùng số chữ cái với y c) x R y Ûsố chữ cái của x ít hơn số chữ cái của y d) x R y Ûsố chữ cái của x không ít hơn số chữ cái của y
1.16 ChoE {a, b, c}= ; P(E) là tập các tập con thực sự của E, kể cả tập E (không có tập rỗng) Đưa vào P(E) quan hệ R: xRy Û xÌ y a) Chứng minh rằng R là quan hệ thứ tự b) Biểu diễn quan hệ R dưới dạng sơ đồ c) Tìm phần tử cực đại và lớn nhất nếu có
1.17 Cho X {2, 3, 4, 6, 7}; Y {2, 4, 6, 7, 8}; Z {1, 2, 3, 7, 8}= = = Đưa vào {X Y}´ quan hệ R: xRy Û y chia hết cho x; và đưa vào {Y Z}´ quan hệ S: ySz nếuy z£
Hãy biểu diễn quan hệ hợp thành dạng: Q R S= ! bằng phương pháp liệt kê
1.18 ChoE {a, b, c}= Biểu diễn các quan hệ trong E dưới dạng một sơ đồ sao cho: a) R là quan hệ có tính phản xạ, đối xứng nhưng không bắc cầu b) S là quan hệ có tính phản xạ, bắc cầu nhưng không đối xứng c) T là quan hệ có tính đối xứng, bắc cầu nhưng không phản xạ
1.19 Cho X là tập các số nguyên dương £100 Trên tập {X X}´ đưa vào quan hệ R như sau:
(a, b)R(c, d)nếuad bc a) Chứng minh R là quan hệ tương đương trên {X X}´ b) Chỉ ra các lớp tương đương trong {X X}´
1.20 Cho X là tập các số nguyên dương £1000 R , R , R 2 3 6 là các quan hệ đồng dư 2, 3, 6 trên X; P , P , P 2 3 6 là các lớp tương đương Chứng minh rằng: a) R , R , R 2 3 6 là các quan hệ tương đương b) P 6 Ì P , P 2 6 Ì P 3 c) P 6 =P 2 Ç P 3
1.21 Với mỗi ánh xạ dưới đây, hãy xác định xem nó có là đơn ánh không? Tìm ảnh của miền xác định của ánh xạ trên a) f : Z®Z; f (x) 2x 1= + b) f : Q®Q; f (x) 2x 1= + c) f : Z®Z; f (x) x= 3 -x d) f : R®R; f (x) e= x e) f : ; R; f (x) sin x
1.22 Cho ánh xạ f : R®R xác định bởi f (x) x= 2 Hãy tìm f(A) trong các trường hợp dưới đây: a) A {2, 3}= ; d) A ( 3, 2]= - ; b) A { 3, 2, 2, 3}= - - ; e) A [ 7, 2]= - ; c) A ( 3, 3)= - ; f) A ( 4, 3]= - - È[5, 6]
1.23 Với mỗi ánh xạ f : Z®Z dưới đây, xác định xem nó có phải là đơn ánh hay toàn ánh không? Tìm f[Z]? a) f (x)= +x 7; d) f (x) x= 2 ; b) f (x) 2x 3= - e) f (x) x= 2 + x;
1.24 Với mỗi ánh xạ f : A®Bdưới đây, xét xem nó có phải là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh không? Trong trường hợp nó là song ánh, hãy tìm ánh xạ ngược a) A B R;= = f (x) x 7= + b) A B R;= = f (x) x= 2 +2x 3- c) A [4, 9];= B [21, 96];= f (x) x= 2 +2x 3- d) A B R;= = f (x) 3x 2 | x |= - e) A R;= B (0, + );= ¥ f (x) e= x 1 + f) A B N;= = f (x) x (x 1)= +
1.25.Xét ánh xạ f : R®R định nghĩa bởi nếu
=í- + < < ù - Ê ợ x 7 n™Û x 0 f(x) 2x 5 n™Û 0 x 3 x 1 n™Û 3 x. a) Tìm f ( 10); f (0); f (2); f (6) - 1 - - 1 - 1 - 1 b) Tìm nghịch ảnh của các khoảng [ 5, 1]; [ 2, 4]- - -
1.26 Xét ánh xạ f : Z®N xác định bởi
2x 1 n™Û x 0 f(x) 2x n™Û x 0. a) Chứng minh rằng f là một song ánh b) Tìm f - 1
1.27 ChoA {1, 2, 3, 4}= và xét 2 ánh xạ f : A®N và g : N®N xác định bởi g(x) 2x= và f (1) 2, f (2) 3, f (3) 5, f (4) 7= = = =
1.28 Xét 2 ánh xạ f vàg : R®R xác định bởi f (x) ax= + b và g(x) 1 x= - + x2 Hãy xác định a và b để cho:
1.29 Xét 3 ánh xạ f, g,h : Z®Z xác định bởi
27 b) f , f , g , g , h , h , h 2 3 2 3 2 3 100 biết rằng với n nguyên dương ta có định nghĩa f =f , f 1 2 =f f , f! n =f f! n 1 -
1.30 Xét ánh xạ f : Z®Z xác định bởi f (n) n ( 1)= + - n a) Tìm f 2 và suy ra f - 1 b) Chứng minh rằng f là một đơn ánh c) Giải phương trình f (n) 365= , (n nguyên)
BÀI TOÁN ĐẾM
PHÁT BIỂU BÀI TOÁN
Bài toán đếm tổng quát nhất có thể được diễn đạt như sau: Cho một tập hợp rời rạc A, nhiệm vụ là xác định số lượng phần tử trong tập A, tức là tìm giá trị |A|.
Khi đếm các phần tử của A phải đảm bảo nghiêm ngặt 2 nguyên tắc: Một là: Không bỏ sót, nghĩa là phần tử nào cũng được đếm
Hai là: Không trùng lặp, nghĩa là không có phần tử nào được đếm quá một lần
Phương pháp tổng quát để giải bài toán đếm liên quan đến việc thiết lập sự tương ứng đơn trị giữa tập A cần đếm và tập N gồm n số nguyên dương đầu tiên Cụ thể, nếu có một song ánh $f: A \rightarrow N$ với $|A| = n$, thì bài toán đếm có thể được giải quyết Tuy nhiên, do sự đa dạng của các tập A, phương pháp này chỉ mang tính chất định hướng tổng quát, và việc tìm ra giải pháp thích hợp cần dựa vào hình thái cụ thể của tập A.
Hãy xét một vài ví dụ dưới đây để thấy rõ điều đó
Cho A {x}= : x là các số nguyên, dương, £100 và x 2 -1 chia hết cho
Cho A {x} =: x là các con số hàng nghìn có các chữ số tạo thành một dãy tăng, ví dụ như 1348, 2569 Mặc dù cả hai ví dụ đều tìm các con số thỏa mãn điều kiện nhất định, nhưng trong ví dụ thứ hai, mỗi con số là một cấu hình tổ hợp gồm 4 chữ số được chọn từ 9 chữ số và sắp xếp theo thứ tự nhất định Việc đếm các cấu hình tổ hợp như vậy thường phức tạp hơn.
Một người có thể vượt cầu thang 13 bậc bằng cách bước lên 1, 2 hoặc 3 bậc mỗi lần Câu hỏi đặt ra là có bao nhiêu cách để vượt qua cầu thang này Tập A ở đây đại diện cho tất cả các cách vượt cầu thang, thể hiện ý nghĩa của việc tìm kiếm số lượng các phương pháp khác nhau để hoàn thành nhiệm vụ này.
29 các “giải pháp” cho một vấn đề đặt ra, phức tạp hơn nhiều so với các thí dụ trước
Có bao nhiêu lần lặp trong đoạn chương trình C++ dưới đây:
Số lần lặp trong đoạn chương trình phản ánh số phép toán cần thực hiện Vấn đề đặt ra là xác định số phép toán của một thuật toán, từ đó thể hiện độ phức tạp của thuật toán đó.
Một loài khuẩn sinh trưởng theo nguyên tắc là khi đủ $a$ ngày tuổi (với $a$ là số nguyên dương), chúng bắt đầu sinh sản, mỗi ngày cho ra một lứa, với mỗi lứa sinh ra $b$ khuẩn con (với $b$ cũng là số nguyên dương) Tại thời điểm $t = 0$, số khuẩn ban đầu là $n_0$ con, tất cả đều mới sinh Để tìm số khuẩn $n_T$ tại thời điểm $T$ (với $T$ là số nguyên dương), ta giả định rằng trong khoảng thời gian $t \in [0, T]$, không có khuẩn con nào bị chết A là tập hợp các khuẩn con trong quá trình sinh trưởng này.
Tập A sở hữu nhiều hình thái khác nhau, dẫn đến phương pháp đếm các phần tử của A cũng rất đa dạng.
Mỗi phương pháp đếm là một thuật toán, nên trước tiên ta tìm hiểu những khái niệm cơ bản về thuật toán.
KHÁI NIỆM THUẬT TOÁN
Thuật toán giải một bài toán là một chuỗi hữu hạn các bước mô tả rõ ràng các thao tác toán học cần thực hiện trên các đối tượng để tìm ra lời giải cho bài toán đó.
Thuật toán có những đặc trưng quan trọng như tính hữu hạn, tức là thuật toán phải dừng lại sau một số bước nhất định, và tính chính xác, yêu cầu các thao tác toán học phải được thực hiện một cách chính xác mà không cần tư duy, chỉ cần thực hiện theo cách máy móc Điều này cho thấy cách mà tư duy toán học được đưa vào máy tính.
Để xây dựng một thuật toán hiệu quả, cần đảm bảo ba yếu tố quan trọng Thứ nhất, tính đơn trị, tức là các kết quả trung gian phải được xác định một cách rõ ràng, chỉ phụ thuộc vào input và kết quả của bước trước Thứ hai, tính phổ dụng, cho phép thuật toán giải quyết bất kỳ bài toán nào trong lớp bài toán đã cho Cuối cùng, tính tối ưu, yêu cầu chú trọng đến việc sắp xếp các input và output, cũng như bố trí chặt chẽ các thao tác nhằm giảm thiểu phép toán và thời gian thực hiện.
Có 3 cách biểu diễn thuật toán, mỗi cách đều có ưu nhược điểm nhất định nên tùy theo từng trường hợp ta lựa chọn sao cho thích hợp a)Biểu diễn bằng ngôn ngữ tự nhiên, liệt kê các bước của thuật toán
Giải phương trình bậc 2:ax 2 + bx c 0+ = với a, b, c là các số thực và a ạ 0
Bước 2: Tính biệt số D =b 2 -4ac
Ngược lại chuyển sang bước 5
= (Output) đưa ra thông báo nghiệm của phương trình là x 1 và x 2 , chuyển sang bước 6
Bước 5: (Output) đưa ra thông báo phương trình vô nghiệm
Bước 6: Kết thúc b)Biểu diễn bằng sơ đồ khối
Phương pháp này sử dụng các biểu trưng hình học quy ước để mô tả các bước và thao tác trong thuật toán, với các khối được quy ước rõ ràng.
Nút khởi đầu hoặc kết thúc
Nút thao tác, ghi câu lệnh cần thực hiện
Nút điều kiện, ghi rõ điều kiện cần kiểm tra trong quá trình tính toán
Cung, dùng để chỉ đường đi của thuật toán
Thí dụ Sơ đồ khối mô tả thuật toán giải phương trình bậc hai: ax2 + bx c 0+ = như sau
Thông báo pt có 2 nghiệm là và
Phương pháp thông báo PT vô nghiệm đúng sai có ưu điểm nổi bật là tính phổ dụng cao, giúp khắc phục tính đa nghĩa và rào cản ngôn ngữ, rất tiện lợi trong các lĩnh vực toán học và tin học.
Quy nạp toán học là một phương pháp hiệu quả để chứng minh rằng một mệnh đề toán học đúng cho mọi số tự nhiên $n$ Để thực hiện quy trình này, cần tiến hành các bước cụ thể.
Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với n 1=
Bước 2: Giả sử mệnh đề đã đúng với n, ta chứng minh mệnh đề đúng với (n 1)+
Thớ dụ 1 Chứng minh rằng " ẻn N *
= Vậy công thức đúng với n 1 Bước 2: Giả sử công thức trên đúng với n, tức là ta có
+ + + Ta phải chứng minh công thức đúng với (n 1)+ , nghĩa là:
Vậy công thức được chứng minh
Vậy có thể dự đoán n(n 1)(n 2)
+ + + + + + Vấn đề đặt ra là dự đoán này có đúng không Ta kiểm tra sự đúng đắn này bằng phương pháp quy nạp:
1.2= 3 Vậy công thức đúng với n 1 33
Bước 2: Giả sử công thức trên đúng với n, ta phải chứng minh công thức đúng với (n 1),+ nghĩa là:
Dự đoán trên là chính xác, nhưng cần lưu ý rằng quy nạp toán học không phải là phương pháp duy nhất để giải quyết các bài toán tương tự (tham khảo lời giải bài tập 2.1, ý d) chương 2).
2.2.4 Phương pháp đệ quy Đệ quy là khái niệm rất hay gặp trong toán học cũng như trong lập trình, nó cho phép ta mô tả một cách ngắn gọn và sáng sủa các đối tượng cũng như các quá trình liên quan đến dãy số tự nhiên
Đệ quy là phương pháp xác định các đối tượng thỏa mãn một tính chất nhất định Phương pháp này bao gồm các quy tắc, trong đó có một số quy tắc để xác định các đối tượng ban đầu và các quy tắc còn lại để xác định các đối tượng tiếp theo dựa trên các đối tượng ban đầu đã được xác định.
Cho dãy số a , a , a , , a , 0 1 2 n có tính chất sau:
Dãy Fibonacci được xác định bởi công thức $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ với điều kiện ban đầu $F_0 = 0$ và $F_1 = 1$ Nhờ vào quy nạp toán học hoặc giải phương trình truy hồi tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng, chúng ta có thể chứng minh rằng dãy Fibonacci cho phép tìm số Fibonacci thứ $n$ dựa trên hai số trước đó.
Tuy nhiên ta có thể tính a n trực tiếp như sau:
Trước hết hãy tìm cặp số a b sao cho , n n 1 n 1 n 2 a - aa - =b(a - - aa - ) Suy ra a n =(a+b)a n 1 - - a b a n 2 -
Từ điều kiện a n =a n 1 - + a n 2 - ta suy ra a +b=1 và a b =-1
Khi đó a và b là nghiệm của phương trình x 2 - -x 1 0= ; do đó có thể chọn
2 b= - Đặt q n =a n - a.a n 1 - thì sẽ có q n =b.q n 1 - với n ³2 và q 1 =1
Nhân 2 vế của đẳng thức thứ k với a n 1 k - - ; (k 1, 2, 3, , n 1)= - rồi cộng vế với vế ta có: n n n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1 n 1 a - a - - - - a - b
CÁC TỔ HỢP KHÔNG LẶP
2.3.1 Chỉnh hợp Đị nh ngh ĩ a Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một nhóm gồm k phần tử lấy trong n phần tử đã cho và sắp xếp theo một thứ tự nhất định Ở đây mỗi phần tử chỉ được lấy một lần (không lặp)
Các nhóm dưới đây 123, 213, 402, 305, … đều là các chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử Hai chỉnh hợp 123 và 213 có các phần tử như nhau nhưng khác nhau về thứ tự
Hai chỉnh hợp được coi là khác nhau nếu chúng có ít nhất một phần tử khác nhau hoặc thứ tự các phần tử khác nhau Để xây dựng một chỉnh hợp, ta bắt đầu từ thành phần đầu tiên, với n cách chọn Thành phần thứ hai có (n - 1) cách chọn, và thành phần thứ k có (n - k + 1) cách chọn.
Nếu ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là A k n thì ta có: k
Từ các phần tử của X đã cho ở trên, có thể lập được bao nhiêu con số hàng trăm mà các chữ số là khác nhau?
Ta thấy ngay S A= 3 6 -A 5 2 =6.5.4 5.4 120 20 100- = - = số Ở đây, A 2 5 chính là số các chỉnh hợp chập 3 có số 0 đứng ở phía trước; con số này không phải con số hàng trăm
2.3.2 Hoán vị Đị nh ngh ĩ a Hoán vị của n phần tử là một cách sắp xếp thứ tự n phần tử đó Ký hiệu số hoán vị là P n thì n n n
Thí dụ Có 5 người dàn hàng ngang chụp ảnh, hỏi có bao nhiêu kiểu ảnh khác nhau?
Mỗi kiểu ảnh là một hoán vị, vậy số kiểu ảnh là: P 5 = =5! 120
2.3.3 Tổ hợp Đị nh ngh ĩ a Tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm gồm k phần tử lấy trong n phần tử đã cho (không kể thứ tự)
Nếu ký hiệu C k n là số tổ hợp chập k của n phần tử thì dễ dàng thấy rằng: k k k k n n k n n k
Nếu chú ý rằng \( C(k, n) \) là số nguyên, ta có thể rút ra một nhận xét thú vị: Tích của \( k \) số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho tích của \( k \) số tự nhiên đầu tiên, tức là \( k! \).
Có 10 người thi đấu bóng bàn vòng tròn, hỏi có bao nhiêu trận đấu?
Cứ 2 người tạo nên 1 trận đấu, mỗi trận đấu là một tổ hợp chập 2 của 10 Vậy số trận đấu là:
Có bao nhiêu dãy nhị phân độ dài 10 có đúng 3 số 1 (và 7 số 0)
Mỗi dãy nhị phân tương ứng với việc chọn 3 trong 10 vị trí để gán số 1, tức là đại diện cho một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử.
Vậy số dãy nhị phân cần tìm là:
= Các số tổ hợp C k n rất hay gặp trong toán rời rạc, ta thường gọi là hệ số tổ hợp Dưới đây là một số công thức đáng nhớ: k n
C =C - - +C - ; (n k 0)> > (6) Chứng minh các công thức (4), (5), (6) rất đơn giản, xin dành cho độc giả Để có thể áp dụng công thức (4) và (5) cho mọi k n£ ta quy ước:
- Công thức (5) giúp ta tính toán nhanh hơn Thay cho tính C k n ta sẽ tính n k
Thí dụ.Tính C 10 8 ; ta thấy 10 8 2 8- = < nên ta tính
= = 1.2 - Công thức (6) với quy ước C 0 n =1 cho phép ta tính tất cả các hệ số tổ hợp chỉ bằng phép cộng
Các hệ số trong tam giác Pascal được tính theo quy tắc với các dòng tương ứng với $n = 0, 1, 2, $ và các cột tương ứng với $k = 0, 1, 2, $ Bảng tam giác này thể hiện mối quan hệ giữa các hệ số.
… C n 1 n - C n n Dòng hệ số tổ hợp cuối cùng: C 0 n , C 1 n , C 2 n , …, C n 1 n - , C n n là các hệ số trong khai triển nhị thức Newton: n n k k n k n k 0
Cho y 1= ta có công thức: n n k k n k 0
Từ hệ thức này ta suy ra một số công thức sau đây:
- Đạo hàm theo x hai vế của (7) rồi thay x 1= sẽ có:
CÁC TỔ HỢP CÓ LẶP
2.4.1 Chỉnh hợp lặp Đị nh ngh ĩ a Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm gồm k phần tử lấy trong n phần tử đã cho và sắp xếp theo một thứ tự nhất định; các phần tử có thể lấy lặp
Với X {0, 1, 2, 3, 4, 5}= các chỉnh hợp lặp chập 3 có thể là 123, 213,
Ký hiệu \( L_{k}^{n} \) đại diện cho số chỉnh hợp lặp chập \( k \) của \( n \) phần tử Mỗi thành phần trong chỉnh hợp này có \( n \) cách lựa chọn, do đó ta có công thức: \( L_{k}^{n} = n^k \).
Trong chỉnh hợp lặp, số k không bị giới hạn bởi điều kiện $k \leq n$, mà k có thể lớn hơn n Ví dụ, với 3 chữ số, ta có thể thực hiện các tổ hợp khác nhau mà không bị ràng buộc bởi số lượng chữ số.
1, 2, 3 ta vẫn có thể lập được các con số hàng triệu gồm 7 chữ số:
Từ các chữ số thuộc X {0, 1, 2, 3, 4, 5}= có thể lập được bao nhiêu con số hàng trăm?
Mỗi con số hàng trăm là một chỉnh hợp lặp chập 3 của 6 chữ số đã cho, loại trừ các chỉnh hợp lặp có số 0 đứng trước
Do đó ta có số các con số hàng trăm là:
Ta hãy xét 2 nhóm gồm 5 chữ cái: THANG và NHANH
Khi hoán vị 5 chữ cái trong nhóm THANG, ta có tổng cộng 120 hoán vị khác nhau, tính theo công thức $P_5 = 5! = 120$ Tuy nhiên, đối với nhóm NHANH, số hoán vị không đạt 120 do sự lặp lại của các chữ cái giống nhau; cụ thể, việc đổi chỗ hai chữ N hoặc hai chữ H không tạo ra hoán vị mới.
Trong các hoán vị này, chữ N và chữ H lặp lại 2 lần, được gọi là các hoán vị lặp Số lượng hoán vị lặp trong trường hợp này có thể được tính toán một cách dễ dàng.
120 30 2.2 Bây giờ ta xét trường hợp tổng quát:
Cho k phần tử khác nhau, ký hiệu P(n_1, n_2, , n_k) là số hoán vị của k phần tử, trong đó phần tử thứ nhất lặp n_1 lần, phần tử thứ hai lặp n_2 lần, và phần tử thứ k lặp n_k lần.
Ta dễ dàng chứng minh được công thức sau đây:
Trong tên dòng sông MISSISIPI, khi hoán vị các chữ cái, ta nhận thấy có 4 chữ cái chính là M, P, S, và I Trong đó, M và P không lặp lại, trong khi S xuất hiện 3 lần và I xuất hiện 4 lần Do đó, số lượng hoán vị của các chữ cái này được tính toán như sau:
= = Nếu ta đặt n n= 1 + n 2 + + n k thì sẽ có định lý sau đây: Đị nh l ý 1
Ký hiệu C (n , n , , n ) n 1 2 k là số cách chia n phần tử khác nhau thành k nhúm với số cỏc phần tử tương ứng là n , n , , n 1 2 k Nếu n i ạ n j " ại j thỡ n 1 2 k 1 2 k
Không mất tính tổng quát ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp k =3
Thật vậy, ta có C n n 1 là số cách chọn n 1 phần tử trong n phần tử Tương ứng với mỗi cách chọn n 1 phần tử cho nhóm thứ nhất, ta còn lại
1 2 3 n n- = n + n phần tử; do đó có 2
Số cách chọn $n_2$ phần tử cho nhóm thứ hai từ tổng số phần tử $C$ là rất quan trọng Sau khi đã chọn $n_2$ phần tử, sẽ còn lại $n_3$ phần tử cho nhóm thứ ba Do đó, số cách chia các nhóm này có thể được tính toán một cách chính xác.
= = - Với chú ý rằng n n= + 1 n 2 +n 3 thì ta có: n 1 2 3 1 2 3
Có bao nhiêu cách chia bộ bài tú lơ khơ 52 quân thành 4 phần tương ứng với số quân là 10, 12, 14, 16
Vì số quân của các phần khác nhau nên
Giả thiết rằng các nhóm được tạo thành không có sự trùng lặp Nếu $n_1 = n_2 = = n_{(i-1)} < n_i$, tức là có $i$ nhóm có số phần tử bằng nhau, thì công thức tính sẽ được áp dụng.
Nghĩa là số cách chia nhóm sẽ giảm đi i! lần
Chia 4 đối tượng a, b, c, d thành 2 nhóm, mỗi nhóm gồm 2 đối tượng thì chỉ có 3 cách
(a, b) và (c, d) (a, c) và (b, d) (a, d) và (b, c) Chú ý rằng nếu lấy ra 2 đối tượng từ 4 đối tượng thì có C 2 4 =6 cách, nhưng chia thành 2 nhóm, mỗi nhóm 2 đối tượng thì lại chỉ có:
Có bao nhiêu cách chia bộ bài tú lơ khơ 52 quân thành 4 phần bằng nhau?
Khi đó mỗi phần có 13 quân nên:
Tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một tập hợp gồm k phần tử được chọn từ n phần tử đã cho, với khả năng lặp lại Tương tự như trong chỉnh hợp lặp, giá trị k có thể lớn hơn n.
Hai quả cam, ba quả quýt, bốn quả chanh có thể coi như tổ hợp lặp chập
9 của 3 phần tử ; trong đó cam lặp 2 lần, quýt lặp 3 lần, chanh lặp 4 lần
Ta ký hiệu số tổ hợp lặp chập k của n phần tử là R k n và tìm công thức cho R k n
Mỗi phần tử trong n phần tử được gán một số nguyên dương khác nhau từ 1 đến n Do đó, mỗi tổ hợp chập k không lặp của n phần tử tương ứng với một dãy số tăng $a_1, a_2, \ldots, a_k$.
Và mỗi tổ hợp lặp chập k của n phần tử tương ứng với 1 dãy số không giảm a a a 1 2 k trong đó 1 a£ 1 £a 2 £ £ a k £ n và không nhất thiết k n£
Ta thiết lập sự tương ứng giữa dãy a a a 1 2 k với dãy b b b 1 2 k như sau:
Mỗi dãy b b b 1 2 k như vậy tương ứng với một tổ hợp (không lặp) chập k của (n + k 1- ) phần tử
Ngược lại với tổ hợp không lặp chập k của (n + k - 1) phần tử, ta có thể xác định một tổ hợp lặp chập k từ n phần tử, tương ứng với dãy không giảm.
Có bao nhiêu cách chia 10 chiếc kẹo cho 5 em bé?
Mỗi cách chia là một tổ hợp lặp chập 10 của 5 phần tử, vậy số cách chia là:
Phương trình x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =8; x i ³0 và nguyên (i 1, 4= ) có bao nhiêu nghiệm?
Mỗi nghiệm là một tổ hợp lặp chập 8 của 4 phần tử, vậy số nghiệm là:
CÁC NGUYÊN LÝ ĐẾM
Mỗi bài toán đếm có cấu trúc riêng, vì vậy cần lựa chọn phương pháp đếm phù hợp Một số phương pháp đếm có tính chất tổng quát cho một lớp bài toán, được gọi là nguyên lý đếm Dưới đây là các nguyên lý quan trọng.
Nếu A , A , , A 1 2 n là một phân hoạch của A, nghĩa là
X {x , x , , x }; A P(X)= = là tập lũy thừa của X Tìm |A|
Tập hợp P(X) bao gồm tất cả các tập con của X, bao gồm cả tập rỗng và chính tập X Ký hiệu A_k đại diện cho tập hợp các tập con có k phần tử của X, với k = 0, 1, 2, , n Trong đó, A_0 là tập rỗng.
A P(X) A= = ẩ A ẩ A ẩ ẩ A vàA i ầA j =ặ " ạ, i j Áp dụng nguyên lý cộng thì sẽ có: n k k 0
Hỏi giá trị của S sẽ là bao nhiêu sau khi đoạn chương trình C++ dưới đây được thực hiện? intn 1 =5;n 2 ;n 3 ;S 0; for (int i 1; i=
