Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3

Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3

Nguyễn Quốc Thơ

Hướng dẫn tự học học phần: đại số tuyến tính

Nhóm ngành: Kỹ thuật và Công nghệ

Nghệ An - 2021

Nguyễn Quốc Thơ

Hướng dẫn tự học học phần: đại số tuyến tính

chương 3: không gian vectơ

Nhóm ngành: Kỹ thuật và Công nghệ

Tiếp cận cido

Tài liệu lưu hành nội bộ Nghệ An - 2021

I Tóm tắt lý thuyết 1.1 Khái niệm không gian vectơ

1.1.1 Định nghĩa không gian vectơ và một số tính chất đơn giản

1.1.2 Ví dụ về không gian vectơ

Ví dụ 1 Cho n ∈ N∗.Không gian vectơ thực

Rn = {a = (a1, a2, , an) | ai ∈ R, i = 1, n}

Ví dụ 2 Cho m, n ∈ N∗.Không gian vectơ thực

Mmìn(R) = {A = [aij]mìn | aij ∈ R, i = 1, m, j = 1, n}

các ma trận phần tử thực, cỡ m ì n;

Ví dụ 3 Cho n ∈ N Không gian vectơ thực

Rn[x] = {f (x) =

n

X

i=0

aixi | ai ∈ R, deg(f (x)) ≤ n}

các đa thức một ẩn, hệ số thực, bậc nhỏ hơn hoặc bằng n

1.2 Cơ sở - Số chiều của không gian vectơ

1.2.1 Sự độc lập tuyến tính (đltt), phụ thuộc tuyến tính (pttt) Cho V là K−

không gian vectơ (vectơ không ký hiệu là θV) và S = {s1, s2, , sn} là một hệ gồmn− vectơ trong V

+) Tổ hợp tuyến tính (thtt) của hệ vectơ S là một vectơ xở trong V có dạng

α1s1+ α2s2 + ã ã ã + αnsn =

n

P

i=1

αisi, ∀αi ∈ K, i = 1, 2, , n

+) Vectơ v ∈ V được gọi là biểu thị tuyến tính (bttt) qua hệ vectơ S nếu tồn tại cácβi ∈ K để sao cho v = β1s1+ β2s2+ ã ã ã + βnsn =

n

P

i=1

βisi, ∀i = 1, 2, n

+) Hệ vectơ S được gọi là hệ sinh của V nếu mọi x ∈ V đều biểu thị tuyến tính

được quaS, tức là∃ki ∈ K, ∀i = 1, 2, , n sao cho

x = k1s1+ k2s2 + ã ã ã + knsn =

n

P

i=1

kisi

+) Hệ vectơ S được gọi là phụ thuộc tuyến tính (pttt) nếu ∃ki ∈ K,

∀i = 1, 2, , nkhông đồng thời bằng 0sao cho k1s1 + k2s2 + ã ã ã + knsn = θV

+) Hệ vectơ S được gọi là độc lập tuyến tính (đltt) nếu S không phụ thuộc tuyến tính, tức là, nếuk1s1 + k2s2+ ã ã ã + knsn = θV thì ki = 0, ∀i = 1, 2, , n

1.2.2 Một số tính chất của sự đltt và pttt

+) Hệ S = {s} chỉ có một vectơ đltt khi và chỉ khi s 6= θV Do đó hệ S = {s}

pttt khi và chỉ khis = θV

+) Hệ S = {s1, s2, , sn} pttt khi và chỉ khi tồn tại một vectơ của S biểu thị tuyến tính được qua các vectơ còn lại

+) Cho S = {s1, s2, , sn}đltt và v ∈ V.ĐặtS0 = {s1, s2, , sn, v}.Khi đó

S0 pttt khi và chỉ khi vectơ v biểu thị tuyến tính được qua các vectơ củaS và sự biểu thị này là suy nhất

+) Nếu trong S chứa một hệ con S0 pttt thì S pttt Do đó nếu trong S có chứa vectơ không thìS pttt

+) Mọi hệ vectơ con của hệ đltt đều đltt

1.2.3 Cơ sở - Tọa độ Cho hệ E = {e1, e2, , en} gồm có n− vectơ trong

K− không gian vectơ V Hệ vectơ E được gọi là một cơ sở của V nếu E vừa đltt vừa là hệ sinh của V

+) Cho E = {e1, e2, , en} là một cơ sở của V và v ∈ V Khi đó ∃αi ∈ K,

i = 1, 2, , n sao cho v = α1e1 + α2e2 + ã ã ã + αnen =

n

P

i=1

αiei Do đó, bộ

n− số(α1, α2, , αn) được gọi là tọa độ của vectơ v đối với cơ sởE

+) Cho E = {e1, e2, , en} là một cơ sở của V Một vectơ v ∈ V chỉ có một cách biểu thị tuyến tính duy nhất qua cơ sở E.Vậy tọa độ của vectơ v ∈ V đối với cơ sởE là duy nhất

+) Định lý về tọa độ của tổng hai vectơ và tọa độ của tích vô hướng

+) Ma trận tọa độ của hệ vectơ S = {s1, s2, , sm} gồm có m− vectơ trong

K− không gian vectơV đối với một cơ sở E = {e1, e2, , en} củaV

1.2.4 Chiều của không gian vectơ

+) Định lý Cho V là K− không gian vectơ, E = {e1, e2, , en} là một cơ sở củaV gồm có n− vectơ Giả sử S = {s1, s2, , sm}là một hệ gồm có m− vectơ trongV Khi đó nếu m > n thì S pttt

+) Hệ quả Giả sử không gian vectơ V có một cơ sở gồm hữu hạn vectơ Khi đó mọi cơ sở của V đều có số vectơ như nhau

+) Định nghĩa Không gian vectơ V được gọi là không gian vectơ hữu hạn chiều, nếu trong V tồn tại một cơ sở gồm có hữu hạn vectơ Số vectơ trong một cơ sở hữu hạn tùy ý củaV được gọi là số chiều của V, ký hiệu dimK(V ) hoặc dim(V )

+) Cho V là một K− không gian vectơ Ta nóiV là K−không gian vectơ vô hạn chiều, ký hiệudimK(V ) = ∞ hoặc dim(V ) = ∞,nếu trongV có một cơ sở gồm

có vô hạn vectơ, có nghĩa là cứ mỗi số nguyên dươngn luôn tìm được trong V một

hệ gồm cón− vectơ đltt

1.2.5 Hạng của hệ vectơ Định nghĩa hạng của hệ vectơ và một số tính chất của hạng Cho hệS = {s1, s2, , sm} gồm có m− vectơ trong K− không gian vectơ

V Ta có:

+) rank(S) = r ≤ m

+) rank(S) = r = m ⇔ S đltt

+) rank(S) = r < m ⇔ S pttt

+) Giả sử A là ma trận tọa độ của S đối với một cơ sở E của V Khi đó

rank(S) = rank(A) Từ đây suy ra, nếu dim(V ) = n < ∞ thì mọi hệ vectơ củaV có số vectơ lớn hơn n đều pttt

+) Nếu dim(V ) = n < ∞, thì mọi hệ gồm có n− vectơ đltt trong Vkhi và chỉ khi nó là cơ sở củaV

1.3 Ma trận chuyển cơ sở - Phép biến đổi tọa độ

1.3.1 Ma trận chuyển cơ sở ChoE = {e1, e2, , en} và U = {u1, u2, , un}

là hai cơ sở củaV Giả sử











u1 = a11e1+ a21e2+ ã ã ã + an1en

u2 = a12e1+ a22e2+ ã ã ã + an2en

ã ã ã ã

un = a1ne1 + a2ne2+ ã ã ã + annen

Khi đó ma trận A =







a11 a12 ã ã ã a1n

a21 a22 ã ã ã a2n

ã ã ã ã

an1 an2 ã ã ã ann





 được gọi là ma trận chuyển từ cơ sở E

qua cơ sở U Từ đây ta có:

+) Akhông suy biến

+) Nếu B là ma trận tọa độ củaU đối với E,thì A = BT (chuyển vị).

+) Nếu A là ma trận chuyển từ cơ sở E qua cơ sở U Thì A−1 là ma trận chuyển

từ cơ sởU qua cơ sở E

1.3.2 Phép biến đổi tọa độ.E = {e1, e2, , en}, U = {u1, u2, , un}là hai cơ

sở của V và x ∈ V.Đặt:

[x] =







x1

x2

ã ã ã

xn





 là ma trận tọa độ của x đối với cơ sởE

[x0] =









x01

x02

ã ã ã

x0n







 là ma trận tọa độ củax đối với cơ sởU

A = [aij]n là ma trận chuyển từ cơ sở E qua cơ sở U

Khi đó

[x] = A[x0]hoặc [x0] = A−1[x]

1.4 Không gian vectơ con.

1.4.1 Định nghĩa Cho V là K− không gian vectơ và ∅ 6= A ⊆ V Tập con A

là không gian vectơ con củaV (gọi tắt là không gian con) nếu A cùng với hai phép toán trên V (phép cộng hai vectơ và phép nhân với vô hướng) lập thành một không gian vectơ trên K

Từ điịnh nghĩa này ta thấy: +) Nếu A là không gian con của K− không gian vectơV thì Acũng là K− không gian vectơ và θV ∈ A

+) Nếu V là K− không gian vectơ, thì V luôn có hai không gian vectơ con là V

và {θV}

1.4.2 Định lý (Tiêu chuẩn không gian vectơ con) Cho V là K− không gian vectơ Tập A là không gian vectơ con của V khi và chỉ khi, ba điều kiện sau được thỏa mãn

i) ∅ 6= A ⊆ V

ii) ∀a, b ∈ Athì a + b ∈ A

iii) ∀α ∈ K, ∀a ∈ Athì αa ∈ A

1.4.3 Tổng - Giao của các không gian con.

Định lý 1 Nếu A, B là hai không gian con của K− không gian vectơ V Khi đó

P = A ∩ B cũng là không gian con của V

Định lý 2 Nếu A, B là hai không gian con của K−không gian vectơ V Đặt

M = A + B := {m = a + b | a ∈ A, b ∈ B}

Khi đóM = A + B cũng là không gian con của V

Không gian con M = A + B gọi là tổng của các không gian con Avà B

Nếu A ∩ B = {θV} thì tổng A + B được gọi là tổng trực tiếp các không gian conA và B Ký hiệu là:A ⊕ B

Tổng quát:

+) Cho {Ai}i∈I là một họ các không gian con củaK− không gian vectơV Khi

đó P

i∈I

Ai = nP

i∈I

ai | ai ∈ Ai, i ∈ I chỉ có hữu hạn ai 6= θVo là không gian con của

V và gọi là tổng của họ các không gian con {Ai}i∈I

+) Nếu Ai∩ Aj = {θV}, ∀i 6= j thì P

i∈I

Ai được gọi là tổng trực tiếp của họ các không gian con{Ai}i∈I, ký hiệu là: ⊕

i∈I

Ai

Định lý 3 ChoA, B là các không gian con của K−không gian vectơ V Khi đó: +) V = A + B khi và chỉ khi mỗi v ∈ V biểu diễn được dưới dạngv = a + b,

với a ∈ A, b ∈ B

+) V = A ⊕ B khi và chỉ khi mỗi v ∈ V biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạngv = a + b, với a ∈ A, b ∈ B

Định lý 4 i) Cho Alà không gian con của K− không gian vectơ hữu hạn chiều V

Khi đódim(A) ≤ dim(V ) Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi A = V

ii) Cho A, B là các không gian con của K− không gian vectơ hữu hạn chiều V

Khi đó

dim(A + B) = dim(A) + dim(B) − dim(A ∩ B)

iii) Cho A, B là các không gian con của K−không gian vectơ hữu hạn chiều V

NếuV = A ⊕ B thì dim(V ) = dim(A) + dim(B)

1.4.4 Không gian con sinh bởi một hệ vectơ Cho V là K− không gian vectơ và

S = {s1, s2, , sm}là một hệ gồm n− vectơ trong V Đặt

L(S) = {α1s1 + α2s2+ ã ã ã + αmsm | ∀αi ∈ K, i = 1, 2, , m}

Khi đó L(S) là không gian con của V và dimK(L(S)) = rank(S) Không gian conL(S) được gọi là không gian con sinh bởi S và S gọi là hệ sinh của L(S).Ký hiệuL(S) =< S >

1.4.5 Không gian nghiệm của hệ pttt thuần nhất

Cho hệ pttt thuần nhất A[x] = [0],trong đó A = [aij]mìn và aij ∈ K Ký hiệu

M là tập nghiệm của hệ pttt thuần nhất A[x] = [0] Khi đó M là không gian con củaKn vàdim(M ) = n − rank(A)

Không gian conM được gọi là không gian nghiệm của hệ pttt thuần nhấtA[x] = [0]

Mỗi cơ sở của M được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ pttt thuần nhất A[x] = [0]

II Câu hỏi ôn tập Câu 1 Xét sự pttt, đltt của một hệ vectơ

Câu 2 Chứng minh một hệ vectơ là hệ sinh, cở sở của một không gian Tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở, các tính chất của tọa độ Ma trận toạ độ của một hệ vectơ đối với một cơ sở

Câu 3 Hạng của một hệ vectơ, mối liên hệ hạng của hệ vectơ và hạng của ma trận toạ độ Ma trận chuyển cơ sở và phép biến đổi toạ độ

Câu 4 Không gian vectơ con và tính chất của nó Giao, tổng và tổng trực tiếp của các không gian vectơ con

Câu 5 Cơ sở và số chiều của không gian vectơ sinh bởi một hệ vectơ và không gian nghiệm của hệ pttt thuần nhất

III Kỹ năng cần rèn luyện 3.1 Nhận biết một không gian vectơ.Có 4 phương pháp chính sau đây: 3.1.1 Sử dụng định nghĩa về không gian vectơ (kiểm tra 8 tiên đề)

3.1.2 Chứng minhV là không gien vectơ con của không gien vectơ nào đó

3.1.3 Chứng minhV là tập nghiệm của hệ pttt thuần nhất

3.1.4 Chứng minhV là ảnh hoặc hạt nhân của một ánh xạ tuyến tính nào đó

3.2 Kiểm tra hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính (pttt) hay độc lập tuyến tính (đltt). Sử dụng một trong các phương pháp sau:

3.2.1 Sử dụng định nghĩa về sự đltt hay pttt

3.2.2 Đưa về việc giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Nếu hệ phương trình

có nghiệm không tầm thường thì hệ vectơ pttt, trái lại thì hệ vectơ đltt

3.2.3 Chọn một cơ sở và lập ma trận tọa độ của hệ vectơ đó theo cơ sở đã chọn Nếu hạng của hệ vectơ bằng hạng của ma trận tọa độ thì hệ vectơ đltt, trái lại thì hệ vectơ pttt

3.2.4 Sử dụng các tính chất trong không gian vectơ sau đây để chứng minh

+) Trong không gian vectơ n− chiều mọi hệ gồm n + 1 vectơ đều pttt

+) Mọi hệ con của hệ đltt là hệ đltt

+) Mọi hệ chứa hệ con pttt là hệ pttt

+) Một ma trận vuông không suy biến khi và chỉ khi hệ vectơ hàng (hoặc cột) của nó đltt

3.3 Tìm một hệ sinh hoặc chứng minh một hệ vectơ là hệ sinh.Ta dùng các phương pháp sau:

3.3.1 Chỉ ra một hệ vectơ và chứng minh mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ đó

3.3.2 Chứng minh mọi vectơ của một cơ sở nào đó củaV biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ đó

3.4 Tìm một cơ sở của không gian veectơ V Sử dụng các phương pháp sau: 3.4.1 Chỉ ra một hệ vectơ đltt và chứng minh mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ đó (đưa về giải hệ phương trình tuyếnh tính)

3.4.2 Chỉ ra một hệ vectơ và chứng minh mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ vectơ đó (chứng minh rằng hệ phương trình tuyếnh tính có nghiệm duy nhất)

3.4.3 Sử dụng kết quả của Định lý: Trong không gian vectơ n− chiều mọi hệ gồm

n− vectơ đltt đều là cơ sở

3.4.4 Chỉ ra một hệ vectơ đltt cực đại trong V

IV Vận dụng lý thuyết đã học

Hệ thống được các dạng toán cơ bản và vận dụng các phương pháp, công thức đã học để giải từng dạng toán cụ thể

V Bài tập ôn tập 5.1 Khái niệm không gian vectơ

Bài 1. Chứng minh các tập hợp sau là một không gian vectơ trên trường số thực R

Tìm một cơ sở và số chiều của nó

1 Tập hợp Rn = {a = (a1, a2, , an) | ai ∈ R, i = 1, n}, với phép toán:

+) Phép cộng: a + b = (a1 + b1, a2+ b2, , an+ bn)

+) Phép nhân với vô hướng: λa + b = (λa1, λa2, , λan)

2 Tập hợpMmìn(R) = {A = [aij]mìn | aij ∈ R, i = 1, m, j = 1, n} các ma trận

cỡm ì n, phần tử thực, với phép toán cộng hai ma trận và nhân một số với một ma trận

3 Tập hợpMn(R) = {A = [aij]n | aij ∈ R, i =, j = 1, n} các ma trận vuông cấp

n, phần tử thực, với phép toán cộng hai ma trận và nhân một số với một ma trận

4 Tập hợp Rn[x] = {f (x) =

n

P

i=0

aixi | ai ∈ R, deg(f (x)) ≤ n} các đa thức một

ẩn, hệ số thực, bậc nhỏ hơn hoặc bằng n, với phép toán cộng hai đa thức và nhân một số với một đa thức

Bài 2.Với phép toán cộng hai ma trận và nhân một số với một ma trận, tập hợp nào dưới đây là một không gian vectơ trên trường số thực R?

1.Tập hợp các ma trận đường chéo

2.Tập hợp các ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo chính bằng không

3.Tập hợp các ma trận vuông có định thức bằng không

5.2 Độc lập tuyến tính - Phụ thuộc tuyến tính - Hệ sinh

Bài 3.1.Trong không gian vectơ thực R3.Hãy biểu diễn vectơ pthành tổ hợp tuyến tính của các vectơx, y, t

a.p = (1, 2, 0), x = (1, 2, −3), y = (2, 5, −1), t = (0, 1, 2)

b p = (0, 0, 0), x = (2, 3, 3), y = (4, 9, 1), t = (1, 3, −1)

c p = (0, −2, 2), x = (2, 1, 4), y = (1, −1, −3), t = (3, 2, 5)

2 Trong không gian vectơ thực R3 Hãy xác định a để sao cho vectơ u là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại

a u = (9, 12, a), x = (3, 4, 2), y = (6, 8, 7)

b u = (7, −2, a), x = (2, 3, 5), y = (3, 7, 8)

c.u = (4, −1, −3), x = (2, −3, a), y = (−1, 4, 2)

d u = (1, 3, 5), x = (3, 2, 5), y = (2, 4, 7), z = (5, 6, a)

e.u = (5, 3, a), x = (1, 2, 3), y = (−1, 0, 1), z = (1, 2, 0)

Bài 4. Trong không gian vectơ thực R2[x] = {f (x) = a0+ a1x + a1x2 | ai ∈ R}

các đa thức một ẩn, hệ số thực, bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2, cho hệ vectơ

P = {p1 = 2 + x + 4x2, p2 = 1 − x − 3x2, p3 = 3 + 2x + 5x2}

Vectơ nào dưới đây là tổ hợp tuyến tính của hệ vectơP ?

1.a1 = 5 + 9x + 5x2 2 a2 = 2 + 6x2 3 a3 = 1 + x + x2 4.a4 = 0

Bài 5.1.Trong không gian vectơ thực R2[x] = {f (x) = a0+ a1x + a1x2 | ai ∈ R}

các đa thức một ẩn, hệ số thực, bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2 Hãy biểu diễn các vectơ

b1 = −2 + 2x2, b2 = −1 + 6x + 3x2, b3 = x + 2x2, a4 = 0

thành tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ

P = {p1 = 1 + x + x2, p2 = x + x2, p3 = x2},

Q = {q1 = 1 + 2x, q2 = 2 + x + 3x2, q3 = x + 3x2}

2.Trong không gian vectơ thực R2[x].Hãy biểu diễn vectơpthành tổ hợp tuyến tính của các vectơa, b, c

a p = 1 + 2x, a = 1 + 2x − 3x2, b = 2 + 5x − x2, c = 1 + x + x2

b p = 0, a = 1 + 2x + 3x2, b = 4 − 9x + x2, c = 1 + 3x − x2

Bài 6.1.Trong không gian vectơ thực R3,xét sự đltt và pttt của các hệ vectơ sau:

a A = {a1 = (1, 1, 0), a2 = (1, 0, 1), a3 = (1, −2, 0)},

b B = {b1 = (1, −3, 0), b2 = (3, −3, 1), b3 = (4, −9, 1)},

c E = {e1 = (1, −3, 2), e2 = (1, 2, 3), e3 = (2, −1, 5)},

d U = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 0, 1)},

2.Tìm λ để các hệ vectơA sau pttt trong không gian vectơ thực R3

A = {a1 = (λ, −1

2, −

1

2), a2 = (−

1

2, −

1

2, λ), a3 = (−

1

2, λ, −

1

2)}

Bài 7.1.Trong không gian vectơ thực R2[x],xét sự đltt và pttt của các hệ vectơ sau:

a A = {a1 = 1 + 2x, a2 = 1 + x2, a3 = 1 − 2x},

b B = {b1 = 1 − 3x, b2 = 3 − 3x + x2, b3 = 5 − 9x + x2},

c E = {e1 = 1 − 3x + 2x2, e2 = 1 + 2x + 3x2, e3 = 6 − 13x + 132},

d U = {u1 = 1 + x + x2, u2 = x + x2, u3 = x2}

2.Tìm λ để các hệ vectơA sau pttt trong không gian vectơ thực R2[x]

A = {a1 = λ − 1

3x −

1

3x

,a2 = −1

3− 1

3x + λx

2, a3 = −1

3+ λx −

1

3x

2}

Bài 8. Hệ vectơ nào dưới đây là hệ sinh của không gian vectơ thực R3?

1 A = {a1 = (1, 1, 1), a2 = (2, 2, 0), a3 = (3, 3, 0)},

2 B = {b1 = (2, −1, 3), b2 = (4, 1, 2), b3 = (8, −1, 8)},

3 E = {e1 = (1, 3, 3), e2 = (1, 3, 4), e3 = (1, 4, 3), e3 = (6, 2, 1)}

4 F = {f1 = (1, −3, 2), f2 = (1, 2, 3), f3 = (2, −1, 5)},

5 G = {g1 = (2, 1, 3), g2 = (1, 2, 0), g3 = (0, 1, 3)},

Bài 9. Hệ vectơ nào dưới đây là hệ sinh của không gian vectơ thực R2[x]?

1 A = {a1 = 1 + 2x, a2 = 1 + x2, a3 = 1 − 2x},

2 B = {b1 = 1 − 3x, b2 = 3 − 3x + x2, b3 = 5 − 9x + x2},

3 E = {e1 = 1 − 3x + 2x2, e2 = 1 + 2x + 3x2, e3 = 6 − 13x + 132}

Bài 10.Trong không gian vectơ thực R3 tìm hạng của các hệ vectơ sau:

1 A = {a1 = (0, 0, 0), a2 = (3, 2, 0), a3 = (1, 1, 1), a4 = (7, 8, 0)}

2 U = {u1 = (1, 2, 1), u2 = (0, −1, 1), u3 = (0, 0, 2)}

3 V = {v1 = (−1, 4, 8), u2 = (1, 3, 1), u3 = (−2, 8, 0), u4 = (1, 1, 1)}

4 X = {x1 = (0, 0, 1), x2 = (1, 0, −1), x3 = (1, 3, 1)}

5.3 Cơ sở - Số chiều - Tọa độ

Bài 11.Giải thích tại sao các hệ vectơ sau đây không phải là cơ sở của không gian vectơ tương ứng

1.A = {a1 = (1, 2), a2 = (3, 4), a3 = (5, 6)} đối với R2

2.B = {b1 = (1, 2), b2 = (0, 0)} đối với R2

3.C = {c1 = (1, 2, 3), c2 = (4, 5, 6)} đối với R3

4.D = {d1 = 1 + 2x + x2, d2 = 3 + 4x} đối với R2[x]