Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh )

Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh ) Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh ) Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh ) Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh ) Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh ) Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh ) Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh ) Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh ) Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh ) Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh ) Slide chương 4 Ánh xạ tuyến tính ( Chương trình đại học vinh )

Trang 1

bài giảng đại số tuyến tính

Nhóm ngành KT và CN

TS Nguyễn Quốc Thơ

Đơn vị công tác Khoa Toán - Trường ĐHSP - ĐH Vinh

Trang 2

Nội dung

1 Giới thiệu môn học

2 Tài liệu tham khảo

3 Chương 4 Anh xạ tuyến tính

Trang 3

Giới thiệu môn học

•Kiến thức:Trang bị cho người học các kiến thức về: Ma trận,

định thức, hệ phương trình tuyến tính, không gian vectơ, ánh xạtuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gianvetơ Euclid và bài toán phân loại các đường, mặt bậc hai

•Kỹ năng: 1.Thực hiện thành thạo các phép toán trên ma trận,tính định thức, tìm ma trận nghịch đảo, tìm hạng của một matrận

2.Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính

3.Giải các bài toán liên quan đến không gian vectơ, như:

+) Chứng minh hệ vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyếntính, hệ sinh

+) Kiểm tra một không gian vectơ con, tìm cơ sở, số chiều củakhông gian vectơ con

Trang 4

Giới thiệu môn học

+) Tìm tọa độ vectơ, đổi cơ sở

4.Kiểm tra một ánh xạ tuyến tính, xét tính đơn cấu, toàn cấu và

đẳng cấu của một ánh xạ tuyến tính Xác đinh ma trận và biểuthức tọa độ của ánh xạ tuyến tính.Tìm giá trị riêng, vectơ riêng

5.Biến đổi dạng toàn phương về dạng chính tắc, kiểm tra dạngtoàn phương xác định dương, âm hay không xác định

• Thái độ: Bồi dưỡng năng lực tư duy khoa học, tư duy lôgíc,cung cấp cho người học cung cụ của toán học cao cấp để cóthể vận dụng vào giải các bài toán thực tế xã hội đặt ra Ngườihọc thấy được môn học cung cấp cho họ các kiến thức toán họccao cấp cơ bản để tiếp tục học các môn toán khác hay các mônchuyên ngành khác

Trang 5

Tµi liÖu tham kh¶o

[1] NguyÔn Thµnh Quang, Lª Quèc H¸n, §¹i sè tuyÕn tÝnh,NXB Hµ néi 2013

[2] NguyÔn §×nh TrÝ, T¹ V¨n §Ünh, NguyÔn Hå Quúnh, To¸ncao cÊp - TËp 1 - §¹i sè tuyÕn tÝnh vµ H×nh häc gi¶i tÝch, NXBGi¸o dôc, Hµ Néi 2004

[3] Ph¹m Huy §iÓn, TÝnh to¸n, lËp tr×nh vµ gi¶ng d¹y to¸n häctrªn MAPLE, NXB Khoa häc vµ Kü thuËt, Hµ Néi 2002

[4] Lª TuÊn Hoa, §¹i sè tuyÕn tÝnh qua c¸c vÝ dô vµ bµi tËp,NXB §¹i häc Quèc gia Hµ Néi 2006

[5] Ng« ViÖt Trung, Gi¸o tr×nh §¹i sè tuyÕn tÝnh, NXB §¹i häcQuèc gia Hµ Néi 2001

TS NguyÔn Quèc Th¬

Trang 6

Chương 4 Anh xạ tuyến tính

Nội dung trong chương này là trình bày các khái niệm:

1 Khái niệm ánh xạ:Định nghĩa, cách nhận biết một tương ứng

là một ánh xạ Định nghĩa, tính chất của ảnh và tạo ảnh Đơn

ánh, toàn ánh, song ánh, tích ánh xạ và ánh xạ ngược

2 Khái niệm ánh xạ tuyến tính:Định nghĩa, tính chất đơn giảncủa ánh xạ tuyến tính Định lý về sự xác định ánh xạ tuyến tính.Khái niệm đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu

3 Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính:Khái niệm ảnh vàhạt nhân Mối liên hệ giữa ảnh, hạt nhân và tính đơn cấu, toàncấu, đẳng cấu của một ánh xạ tuyến tính

4 Ma trận - Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính:Xác định

ma trận và biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính

5 Giá trị riêng - Vectơ riêng:Định nghĩa, cách xác giá trị riêng

và vectơ riêng của một phép biến đổi tuyến tính

Trang 7

4.1 Khái niệm ánh xạ

4.1.1 Định nghĩa.•Cho hai tập hợp X, Y 6= ∅ Mộtánh xạf từtập X vào Y là mộtquy tắcđặt tương ứngmỗiphần tử x ∈ X với

một và chỉ mộtphần tử xác định y ∈ Y

•Phần tử y được gọi làảnhcủa phần tử x qua ánh xạ f, ký hiệu

là y = f(x) (hoặc x 7→ y) Tập hợp X được gọi làtập nguồn(haytập tạo ảnh), tập Y gọi làtập đích(haytập ảnh) của ánh xạ f

•Ký hiệu

f :X −→ Y

x 7−→ y = f(x)hoặc

f : X −→ Y : x 7→ y = f(x)

Trang 8

2) Quy tắc đặt tương ứngsinh viên Avớitên của người thân của

Acó phải là ánh xạ từ X vào Z không? Vì sao?

Ví dụ 2.Đặt X = { các tam giác}, Y = { các đường tròn }

1) Quy tắc đặt tương ứngmột tam giácvớiđường tròn ngoại tiếptam giácđó có phải là ánh xạ từ X vào Y không? Vì sao?

2) Quy tắc đặt tương ứng mộtđường trònvớitam giác nội tiếp

đường tròn đócó phải là ánh xạ từ Y vào X không? Vì sao?

Ví dụ 3 Quy tắc đặt tương ứngmột số thực xvới bình phươngcủa nóđó có phải là ánh xạ từ R vào R+ không? Vì sao?

Trang 9

4.1.2 Định nghĩa Cho hai ánh xạ f : X −→ Y và g : X −→ Y.Khi đó f = g ⇔ f(x) = g(x), ∀x ∈ X

4.1.3 Khái niệm ảnh và tạo ảnh.Cho ánh xạ f : X −→ Y

•Khái niệm ảnh.+) Với a ∈ X thì phần tử p = f(a) ∈ Y gọi làảnhcủa phần tử aqua ánh xạ f

+) Với A ⊆ X thì tập hợp f(A) = {f(u) | ∀u ∈ A} gọi là ảnh củatập con Aqua ánh xạ f

+) Nếu A = X thì tập hợp f(X) = {f(k) | ∀k ∈ X} gọi làảnh của

ánh xạ fvà viếtIm(f) = f(X)

•Tạo ảnh+) Với b ∈ Y thì tập hợp f− 1(b) = {x ∈ X | f(x) = b}gọi làtạo ảnh của phần tử bqua ánh xạ f

+) Với B ⊆ Y thì tập hợp f− 1(B) = {t ∈ X | f(t) ∈ B} gọi là tạo

ảnh của tập con Bqua ánh xạ f

Trang 11

4.1.4 Tích ánh xạ Cho các ánh xạ f : X −→ T và g : T −→ Y.Khi đó ánh xạ h : X −→ Y, xác định bởi

1) Tích ánh xạ không giao hoán, nghĩa là g ◦ f 6= f ◦ g

2) Tích ánh xạ nếu tồn tại thì có tính chất kết hợp, nghĩa là:

Cho các ánh xạ f : X −→ T, g : T −→ K và p : K −→ Y

Khi đó p ◦ (g ◦ f) = (p ◦ g) ◦ f

Trang 12

ϕ(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x2−1) = sin(x2−1).

•Không tồn tại ánh xạ tích φ = f ◦ g, vì Đg= [−1, 1] 6= R = Nf.4.1.6 Đơn ánh Một ánh xạ f : X −→ Y được gọi là đơn ánh,nếu f thỏa mãn một trong ba điều kiên tương đương sau:

1) Với mọi ∀a, b ∈ X nếu a 6= b thì f(a) 6= f(b)

2) Với mọi ∀a, b ∈ X nếu f(a) = f(b) thì a = b

3) Phương trình y = f(x) với ẩn là x có tối đa một nghiệm

Trang 13

Ví dụ 6.Cho các ánh xạ:

f : R −→ R : f(x) = x3, ∀x ∈ R và g : R −→ R : g(x) = x2, ∀x ∈ R.Khi đó f đơn ánh, nhưng g không đơn ánh

Lời giải.+) Từ giả thiết, ta thấy ánh xạ f là đơn ánh vì: ∀a, b ∈ Rnếu a 6= b thì a36=b3⇒f(a) 6= f(b)

Trang 14

Ví dụ 7.Cho các ánh xạ:

f : R −→ R : f(x) = x3, ∀x ∈ R và g : R −→ R : g(x) = x2, ∀x ∈ R.Khi đó f toàn ánh, nhưng g không toàn ánh

Lời giải +) f toàn ánh, vì: ∀y ∈ R luôn tồn tại x0 = √y để sao3

cho f(x0) =f(√y) = (3 √y)3 3=y

+) g không toàn ánh, vì: Với y0= −1 ∈ R thì không tồn tại x0∈ Rsao cho g(x0) =x2

Trang 16

b3=b = idR(b) ⇒ g ◦ f = idR.Vậy f ◦ g = idR=g ◦ f Do đó theo định nghĩa ánh xạ ngược thì

g : R −→ R : g(y) =√y, ∀y ∈3 R là ánh xạ ngược của f

4.1.11 Định lý

Cho ánh xạ f : X −→ Y Khi đó ánh xạ ngược của f tồn tại và

duy nhất khi và chỉ khi f là một song ánh

Trang 17

4.2 Khái niệm ánh xạ tuyến tính

4.2.1 Định nghĩa Cho V và W là hai K− kgvt Một ánh xạ

f : V −→ W, a 7→ f(a) được gọi làánh xạ tuyến tính (axtt) (hay

ánh xạ K− tuyến tính; đồng cấu tuyến tính) nếu,

1) f(a + b) = f(a) + f(b), ∀a, b ∈ V

2) f(λa) = λf(a), ∀λ ∈ K; ∀a, b ∈ V

Hai điều kiện 1) và 2) tương đương với điều kiện sau:

3) f(αa + βb) = αf(a) + βf(b), ∀a, b ∈ V; α, β ∈ K

Điều kiện 3) tổng quát cho một hệ n− vectơ như sau: Một ánhxạ f : V −→ W, a 7→ f(a) được gọi làánh xạ tuyến tính (hayánhxạ K− tuyến tính; đồng cấu tuyến tính) khi và chỉ khi

Trang 18

4.2 Kh¸i niÖm ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh

Trang 19

4.2.2 Định nghĩa •Cho ánh xạ tuyến tính f : V −→ W Khi đó:+) Nếu f là đơn ánh thì ánh xạ tuyến tính f được gọi làđơn cấutuyến tính(hayđơn cấu)

+) Nếu f là toàn ánh thì ánh xạ tuyến tính f được gọi làtoàn cấutuyến tính(haytoàn cấu)

+) Nếu f là song ánh thì ánh xạ tuyến tính f được gọi làđẳng cấutuyến tính(hayđẳng cấu)

•Hai kgvt V và W được gọi làđẳng cấu(ký hiệu là V ∼=W), nếutồn tại ánh xạ đẳng cấu f : V −→ W

•Một đẳng cấu tuyến tính f : V −→ V còn được gọi là tự đẳngcấucủa V

Trang 20

4.2.3 Tính chất của axtt

Tính chất 1

Cho f : V −→ W là axtt Ký hiệu θVvà θW tương ứng là vectơ

không của V và W Khi đó:

+) f(θV) = θW.

+) f(−a) = −f(a) ∀a ∈ V

+) f(a − b) = f(a) − f(b) ∀a, b ∈ V

Tính chất 2

Cho các axtt f : V −→ T và g : T −→ W Khi đó, ánh xạ tích

ϕ =g ◦ f : V −→ W cũng là axtt

Trang 21

Trang 22

Cho axtt ϕ : V −→ W và A là một hệ gồm có n− vectơ pttt trong

V Khi đó hệ vectơ ϕ(A) pttt trong W

Trang 23

Chứng minh Vì hệ vectơ A = {a1,a2, ,an} pttt, nên tồn tạicác ti∈ K không đồng thời bằng không để sao cho:

t1a1+t2a2+ +tnan= θV ⇒ ϕ(t1a1+t2a2+ +tnan) = ϕ(θV)

⇒t1ϕ(a1) +t1ϕ(a2) + +tnϕ(an) = θW.

Vậy tồn tại các ti∈ K không đồng thời bằng không để sao cho

t1ϕ(a1) +t1ϕ(a2) + +tnϕ(an) = θW.

Do đó hệ vec tơ ϕ(A) = {ϕ(a1), ϕ(a2), , ϕ(an)}pttt

Tính chất 7

Cho đơn cấu tuyến tính ϕ : V −→ W và A là một hệ gồm có

n− vectơ đltt trong V Khi đó hệ vec tơ ϕ(A) đltt trong W

Trang 24

Chøng minh Cho A = {a1,a2, ,an}lµ hÖ n− vect¬ ®ltt trong

V Gi¶ sö tån t¹i c¸c ti∈ K sao cho:

Trang 25

f(x) = f Pn

i=1xiei= Pn

i=1xiai, ∀x ∈ V

TS NguyÔn Quèc Th¬

Trang 26

Chú ý 1 +) Từ định nghĩa, ta có: x ∈ Ker(f) ⇔ f(x) = θW.Mặtkhác, vì f(θV) = θW ⇒ θV ∈Ker(f) Do đó Ker(f) 6= ∅ (tập rỗng).+) Ta cóy0 ∈Im(f) ⇔ ∃x0 ∈V sao cho f(x0) =y0.Mặt khác, vìf(θV) = θW⇒ θW∈Im(f) Do đó Im(f) 6= ∅ (tập rỗng).

Ví dụ 1 Tuyến tính không θ : V −→ W : θ(x) = θW (vectơkhông), ∀x ∈ V Khi đó Ker(θ) = V và Im(θ) = {θW}

Ví dụ 2.Tuyến tính đồng nhất idV:V −→ V : idV(x) = x, ∀x ∈ V.Khi đó Ker(idV) = {θV}(vectơ không) và Im(idV) =V

Trang 28

4.3 Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ 4.Cho ánh xạ tuyến tính ϕ : R3−→ R3,xác định bởi:

ϕ(x) = (x1+2x2+x3, −x2+x3,x1+x2+2x3)∀x = (x1,x2,x3) ∈ R3.Tìm Ker(ϕ) và Im(ϕ)

Lời giải •Ker(ϕ) = {x = (x1,x2,x3) ∈ R3| ϕ(x) = θR3}

Trang 29

•+) Gọi E = {e1= (1, 0, 0), e2= (0, 1, 0), e3= (0, 0, 1)} là cơ sởchính tắc của R3.Khi đó, ta có:





ϕ(e1) = (1, 0, 1)ϕ(e2) = (2, −1, 1) (∗)ϕ(e3) = (1, 1, 2)

+) Ta có Im(ϕ) = {ϕ(a) | ∀a = (a1,a2,a3) ∈ R3} Mặt khác

∀a = (a1,a2,a3) ∈ R3thì

a = a1(1, 0, 0) + a2(0, 1, 0) + a3(0, 0, 1) = a1e1+a2e2+a3e3

⇒ ϕ(a) = ϕ(a1e1+a2e2+a3e3) =a1ϕ(e1) +a2ϕ(e2) +a3ϕ(e3)

Do đó hệ vectơ ϕ(E) = {ϕ(e1), ϕ(e2), ϕ(e3)}là một hệ sinh củaIm(ϕ) hay Im(ϕ) = L(ϕ(e1), ϕ(e2), ϕ(e3)) là không gian vectơcon của R3sinh bởi hệ vectơ {ϕ(e1), ϕ(e2), ϕ(e3)}

Trang 30

+) Biến đổi ma trận tọa độ của của hệ vectơ {ϕ(e1), ϕ(e2), ϕ(e3)}

đối với cở sở chính tắc của R3,ta được:

Trang 31

4.3.2 Định lý

Cho ánh xạ tuyến tính f : V −→ W Khi đó

1) Nếu A là kgvt con của V thì f(A) là kgvt con của W

Đặc biệtVì V là kgvt con của V nên Im(f) := f(V) cũng là kgvtcon của W

2) Nếu B là kgvt con của W thì f− 1(B) là kgvt con của V

Đặc biệtVì {θW}là kgvt con của W nên Ker(f) := f− 1(θ

W)cũng

là kgvt con của V

3) f đơn cấu khi và chỉ khi Ker(f) = {θV}

4) f toàn cấu khi và chỉ khi Im(f) = W

Trang 32

4.3.3 Định lý

Cho V là K− kgvt hữu hạn chiều và f : V −→ W là axtt Khi đó:

dim (Im(f)) + dim (Ker(f)) = dim (V)

Ta gọi dim (Im(f)) làhạng và dim (Ker(f)) làsố khuyếtcủa ánhxạ tuyến tính f Vậy:

Hạng + Số khuyết = Số chiều của kgvt nguồn

Ví dụ 5.Cho ánh xạ tuyến tính f : R3−→ R3,xác định bởi:

f(x) = (x1+3x3,x1+x2+2x3,2x2+x3)∀x = (x1,x2,x3) ∈ R3.Tìm Ker(f) và Im(f)

Lời giải.Làm tương tự nhưVí dụ 3

Ker(f) = f− 1(θ

R 3) = {x = (x1,x2,x3) ∈ R3|f(x) = θR3}.Ta có:f(x) = θR3 ⇒f(x1,x2,x3) = θR3

Trang 33

dim (Im(f)) + dim (Ker(f)) = dim (R3)

⇒dim (Im(f)) = dim (R3).

Mặt khác Im(f) ⊆ R3.Do đó Im(f) = R3.

Trang 34

4.3.4 Hệ quả

Cho ánh xạ tuyến tính f : V −→ W Khi đó:

1) f đơn cấu ⇔ hạng của f = dim(V)

2) f toàn cấu ⇔ hạng của f = dim(W)

Trang 35

Ví dụ 6.Cho axtt ϕ : R3−→ R3,xác định bởi:

ϕ(x) = (x1+2x3−x3,3x1+x3, −6x2+4x3), ∀x = (x1,x2,x3) ∈ R31) Tìm Ker(ϕ)

⇒dim (Im(ϕ)) = 2 = dim (R2).

Do đó theoĐịnh lý 4.3.6thì Im(ϕ) ∼= R2

Trang 36

4.4 Ma trận - Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính

4.4.1 Định nghĩa •Cho E = {e1,e2, ,en} là một cơ sở củaK− kgvt V và U = {u1,u2, ,um} là một cơ sở củaK− kgvt W Giả sử f : V −→ W là ánh xạ tuyến tính Ta biểudiễn ảnh (f(E)) = {f(e1),f(e2), ,f(en)}của cơ sở E qua cơ sở

Trang 37

•Từ sự biểu thị tuyến tính (I), thiết lập ma trận A = [aij]mìnbằngcách: Lấytọa độ của mỗi vectơ f(ej), (j = 1, n) đối với cơ sở Ulàm cột thứ j của ma trận, ta có

•Nếu f : V −→ V là phép biến đổi tuyến tính của V và ta chọn

E = U Khi đó ma trận A = [aij]n gọi là ma trận của phép biến

đổi tuyến tínhf đối với cơ sở E đã chọn

Trang 38

Ví dụ 1.Cho ánh xạ tuyến tính f : R3−→ R2,xác định bởi:

Trang 39

4.4 Ma trận - Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính+) f(e2) =a12u1+a22u2⇒f(1, 1, 2) = a12(1, 2) + a22(1, 3)

Trang 40

4.4.2 Tính chất

1) Cho các ánh xạ tuyến tính f : V −→ W và g : V −→ W Giả

sử A và B tương ứng là ma trận của f và g đối với cặp cơ sở

(E, U) của V và W Khi đó f = g ⇔ A = B

2) Giả sử ma trận vuông A cấp n là ma trận của phép biến đổituyến tính f : V −→ V đối với cơ sở E của V Khi đó f đẳng cấukhi và chỉ khi A không suy biến

4.4.3 Định lý

Cho E và U tương ứng là cơ sở của V và W Giả sử A là ma

trận cỡ m ì n Khi đó tồn tại axtt f : V −→ W, sao cho ma trậncủa f đối với cặp cơ sở (E, U) chính là ma trận A đã cho

Trang 41

4.4 Ma trận - Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính4.4.4 Biểu thức tọa độ Cho f : V −→ W là ánh xạ tuyến tính.

Trang 42

trận tọa độ của vectơ x và f(x) đối với cơ sở chính tắc của R3.

Khi đó theo công thức xác định biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyếntính, ta có:

Trang 43

f(x) = (3x1+x2+2x3,4x1+5x3,x1−3x2+4x3), ∀x = (x1,x2,x3) ∈ R3

Trang 44

4.5 Giá trị riêng và vectơ riêng

4.5.1 Định nghĩa • Cho V là một K− không gian vectơn− chiều và f : V −→ V là phép biến đổi tuyến tính trên V

1) Số λ được gọi làgiá trị riêng của f nếu tồn tại vectơ x ∈ V,

Chứng minh.Vì θV 6=a ∈ V là vectơ riêng của f ⇒ f(a) = λa

⇒ kf(a) = kλa ⇒ f(ka) = λ(ka) Vậy ka là vectơ riêng của ftương ứng với giá trị riêng λ, ∀k ∈ K, k 6= 0

Trang 45

• Giả sử a, b là vectơ riêng của f tương ứng với giá trị riêng λ.Nếu a + b 6= θVthì a + b cũng là vectơ riêng của f tương ứng vớigiá trị riêng λ

Chứng minh.Vì θV 6=a, b ∈ V là vectơ riêng của f ⇒ f(a) = λa

và f(b) = λb ⇒ f(a) + f(b) = λa + λb ⇒ f(a + b) = λ(a + b)

Vậy a + b là vectơ riêng của f tương ứng với giá trị riêng λ

Ví dụ 1 Cho phép biến đổi tuyến tính f : R2 −→ R2, xác địnhbởi f(x1,x2) = (x1+x2,x1−x2), ∀x = (x1,x2) ∈ R2.Tìm giá trịriêng và vectơ riêng của f

Lời giải Giả sử x = (x1,x2) 6= (0, 0) là vectơ riêng của f tươngứng với giá trị riêng λ Ta có

f(x) = λx ⇒ (x1+x2,x1−x2) = λ(x1,x2) = (λx1, λx2)

Do đó dẫn tới hệ pttt sau

Trang 46

(x1+x2= λx1

x1−x2= λx2 ⇔

((λ −1)x1−x2=0

−x1+ (λ +1)x2=0 (∗)Vì x = (x1,x2) 6= (0, 0) hay x2

1+x2

26=0 Do đó hệ pttt thuần nhất(∗)có nghiệm khác không, nên

λ −1 −1

−1 λ +1

=0 ⇒ λ = ±√2

•Nếu λ =√2, khi đó hệ (∗) có dạng

((√2 − 1)x1−x2=0

−x1+ (√2 + 1)x2=0 .Vậy, tập vectơ riêng ứng với λ =√2 là {((√2+1)a, a) | ∀a ∈ R∗}

•Nếu λ = −√2, khi đó hệ (∗) có dạng

((1 +√2)x1+x2=0

−x1+ (1 −√2)x2=0 .Tập vectơ riêng ứng với λ = −√2 là {((1 −√2)b, b) | ∀b ∈ R∗}

Trang 47

4.5.2 Bài toán tìm giá trị riêng và vectơ riêng

Cho E là một cơ sở của K− kgvt V gồm có n− vectơ Đặt

A = [aij]nlà ma trận của phép biến đổi tuyến tính f : V −→ V đốivới cơ sở E Tìm tất cả giá trị riêng và vectơ riêng của f

4.5.2.1 Định nghĩa Giả sử x ∈ V, x 6= θV là vectơ riêng của

f : V −→ V tương ứng với giá trị riêng λ Khi đó f(x) = λx

Tiêu đề	Chương 4 Ánh xạ tuyến tính (Chương trình đại học Vinh)
Tác giả	Nguyễn Quốc Thơ
Trường học	Trường Đại học Sư phạm - Đại học Vinh
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	bài giảng
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Vinh

Định dạng
Số trang	56
Dung lượng	638,95 KB