Slide chương 3 Không gian vectơ ( chương trình đào tạo đại học vinh )

Slide chương 3 Không gian vectơ ( chương trình đào tạo đại học vinh )Slide chương 3 Không gian vectơ ( chương trình đào tạo đại học vinh )Slide chương 3 Không gian vectơ ( chương trình đào tạo đại học vinh )Slide chương 3 Không gian vectơ ( chương trình đào tạo đại học vinh )Slide chương 3 Không gian vectơ ( chương trình đào tạo đại học vinh )Slide chương 3 Không gian vectơ ( chương trình đào tạo đại học vinh )Slide chương 3 Không gian vectơ ( chương trình đào tạo đại học vinh )Slide chương 3 Không gian vectơ ( chương trình đào tạo đại học vinh )

bài giảng đại số tuyến tính

Nhóm ngành KT và CN

TS Nguyễn Quốc Thơ

Đơn vị công tác Khoa Toán - Trường Sư Phạm - Trường ĐH Vinh

1 Giíi thiÖu m«n häc

•Kiến thức:Trang bị cho người học các kiến thức về: Ma trận,

định thức, hệ phương trình tuyến tính, không gian vectơ, ánh xạtuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gianvetơ Euclid và bài toán phân loại các đường, mặt bậc hai

•Kỹ năng: 1.Thực hiện thành thạo các phép toán trên ma trận,tính định thức, tìm ma trận nghịch đảo, tìm hạng của ma trận

2.Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính

3.Giải các bài toán liên quan đến không gian vectơ, như:

+) Chứng minh hệ vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyếntính, hệ sinh

+) Kiểm tra một không gian vectơ con, tìm cơ sở, số chiều củakhông gian vectơ con

+) Tìm tọa độ vectơ, đổi cơ sở

4.Kiểm tra một ánh xạ tuyến tính, xét tính đơn cấu, toàn cấu và

đẳng cấu của một ánh xạ tuyến tính Xác đinh ma trận và biểuthức tọa độ của ánh xạ tuyến tính.Tìm giá trị riêng, vectơ riêng

5.Biến đổi dạng toàn phương về dạng chính tắc, kiểm tra dạngtoàn phương xác định dương, âm hay không xác định

• Thái độ: Bồi dưỡng năng lực tư duy khoa học, tư duy lôgíc,cung cấp cho người học cung cụ của toán học cao cấp để cóthể vận dụng vào giải các bài toán thực tế xã hội đặt ra Ngườihọc thấy được môn học cung cấp cho họ các kiến thức toán họccao cấp cơ bản để tiếp tục học các môn toán khác hay các mônchuyên ngành khác

[1] NguyÔn Thµnh Quang, Lª Quèc H¸n, §¹i sè tuyÕn tÝnh,NXB Hµ néi 2013.

[2] NguyÔn §×nh TrÝ, T¹ V¨n §Ünh, NguyÔn Hå Quúnh, To¸ncao cÊp - TËp 1 - §¹i sè tuyÕn tÝnh vµ H×nh häc gi¶i tÝch, NXBGi¸o dôc, Hµ Néi 2004

[3] Ph¹m Huy §iÓn, TÝnh to¸n, lËp tr×nh vµ gi¶ng d¹y to¸n häctrªn MAPLE, NXB Khoa häc vµ Kü thuËt, Hµ Néi 2002

[4] Lª TuÊn Hoa, §¹i sè tuyÕn tÝnh qua c¸c vÝ dô vµ bµi tËp,NXB §¹i häc Quèc gia Hµ Néi 2006

[5] Ng« ViÖt Trung, Gi¸o tr×nh §¹i sè tuyÕn tÝnh, NXB §¹i häcQuèc gia Hµ Néi 2001

Nội dung trong chương này là trình bày các khái niệm:

1 Khái niệm không gian vectơ:Định nghĩa không gian vectơ.Các tính chất đơn giản của không gian vectơ

2 Cơ sở - Số chiều: Định nghĩa, tính chất của một hệ vectơ

phụ thuộc tuyến tính (pttt),độc lập tuyến tính (đltt), hệ sinh Cơ

sở, số chiều, toạ độ, ma trận toạ độ Hạng của một hệ vectơ,mối liên hệ hạng của hệ vectơ và hạng của ma trận toạ độ

3 Ma trận chuyển cơ sở - Phép biến đổi tọa độ:Định nghĩa

ma trận chuyển cơ sở và công thức phép biến đổi tọa độ

4 Không gian vectơ con:Định nghĩa, tính chất của không gianvectơ con Giao, tổng và tổng trực tiếp các không gian vectơ con.Cơ sở và số chiều của không gian vectơ sinh bởi một hệ vectơ

và không gian nghiệm của hệ pttt thuần nhất

3.1.1 Định nghĩa Cho K = R hoặc C và V là tập hợp khácrỗng Trên V trang bị hai phép toán:

Khi đó tập hợp V cùng với hai phép toán trên là mộtkhông gianvectơ trên K(hay V là mộtK− không gian vectơ), nếu thỏa mãn

8 tiên đề:

•Đối với phép cộng.

1) Kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c, ∀a, b, c ∈ V

2) Giao hoán: a + b = b + a, ∀a, b ∈ V

3) Tồn tại phần tử không: ∃θV∈V : a + θV = θV+a = a, ∀a ∈ V.4) Tồn tại phần tử đối: Mỗi a ∈ V, ∃b ∈ V : a + b = b + a = θV

Ký hiệu b := −a ∈ V

•Đối với phép nhân với vô hướng

5) Phân phối 1: α(a + b) = αa + αb, ∀α ∈ K; ∀a, b ∈ V

6) Phân phối 2: (α + β)a = αa + βb, ∀α, β ∈ K; ∀a ∈ V

7) Tương thích: (αβ)a = α(βa) = β(αa), ∀α, β ∈ K, ∀a ∈ V

8) Tiên đề Unita: 1.a = a, ∀a ∈ V, và 1 là đơn vị của K

Chú ý 1.Cho V là một không gian vectơ trên trường K

⇔Cho V là một K− không gian vectơ

⇔Cho K− không gian vectơ V

2.Giả sử V làK− không gian vectơ (K− kgvt) Khi đó:

•Mỗi phần tử của V được gọi là mộtvectơ

•Mỗi phần tử của K được gọi là một vô hướng

•Phần tử θVtrongTiên đề 3gọi làvectơ không của V

•Phần tử b := −a trongTiên đề 4gọi làvectơ đối của a ∈ V

•Phép trừhai vectơ được định nghĩa bởi:

a − b = a + (−b), ∀a, b ∈ V

3 Không gian vectơ trên trường số thực R gọi là không gianvectơ thực.Không gian vectơ trên trường số phức C gọi làkhônggian vectơ phức

+) Phép cộng: Là phép cộng hai ma trận.

+) Phép nhân vô hướng: Là phép nhân một số thực với một matrận

Khi đó Mmìn(R) lập thành một kgvt thực, với phép toán địnhnghĩa ở trên Ta gọi không gian này làkgvt các ma trận cỡ m ì ntrên trường số thực

Ví dụ 2.Cho n ∈ N∗ và K = R Ký hiệu:

V = R ì ì R = Rn= {a = (a1,a2, ,an)|a1,a2, ,an∈ R}

Định nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng trên Rnnhư sau:+) Phép cộng: ∀a = (a1, ,an),b = (b1, ,bn) ∈ Rn,ta có:

Khi đó Rn[x] là một không gian vectơ thực với hai phép toán địnhnghĩa ở trên.

Trong kgvt thực Rn[x] ta có:

+) Mỗi phần tử f(x) =Pn

i=0aixi∈ Rn[x] gọi làmột vectơ

+)Vectơ khôngcủa Rn[x] làđa thức không

3.1.3 Mệnh đề.

Cho V là K− kgvt Khi đó ∀a, b ∈ V và ∀α, β ∈ K, ta có:

1) Vectơ không của V (ký hiệu là θV) là duy nhất

2) Mỗi a ∈ V Vectơ đối −a của a là duy nhất

3) α(a − b) = αa − αb

4) (α − β)a = αa − βa

5) α.a = θV⇔ α =0 hoặc a = θV

6) (−1)a = −a

3.2.1 Định nghĩa.Cho V là K− kgvt và A = {a1,a2, ,an}làmột hệ gồm n− vectơ trong V.

•Tổ hơp tuyến tính:Tổ hơp tuyến tính (thtt)của hệ vectơ A làmột vectơ trong V có dạng

λ1a1+ λ2a2+ ã ã ã + λnan= n

Pi=1λiai, ∀λi∈ K

•Biểu thị tuyến tính: Vectơ v ∈ V được gọi làbiểu thị tuyến tính(bttt)qua hệ vectơ A nếu ∃α1, α2, , αn∈ K sao cho

v = α1a1+ α2a2+ ã ã ã + αnan= n

Pi=1αiai.Khi đó αi, ∀i = 1, n được gọi là các hệ số trong sự bttt vectơ vqua hệ vectơ A

•Hệ sinh: Hệ vetơ A được gọi làhệ sinh của V, nếu ∀v ∈ V đềubttt được qua hệ vectơ A tức là ∀v ∈ V, ∃α1, α2, , αn ∈ K saocho

v = α1a1+ α2a2+ ã ã ã + αnan= n

Pi=1

αiai

•Phụ thuộc tuyến tính: Hệ vectơ A được gọi làphụ thuộc tuyến tính(pttt) trong V, nếu ∃α1, α2, , αn ∈ K không đồng thời bằngkhông, sao cho

α1a1+ α2a2+ ã ã ã + αnan= n

Pi=1

αiai= θV.

•Độc lập tuyến tính:Nếu A không pttt trong V thì ta nói A là hệ

độc lập tuyến tính (đltt).Tức là, với α1, α2, , αn∈ K thì

α1a1+ α2a2+ ã ã ã + αnan= θV ⇔ α1= α2= ã ã ã = αn=0

• Độc lập tuyến tính tối đại: Hệ vectơ A được gọi làđộc lậptuyến tính tối đạitrong V, nếu A đltt trong V và nếu bổ sung bất

kỳ vectơ nào của V vào hệ vectơ A, thì hệ vectơ mới thu được là

b Vect¬ x = (6, 3, 2) ∈ R3lµ métthttcña hÖ vect¬

Ví dụ 2.Trong kgvt thực R3cho ví dụ về mộtthttcủa hệ vectơ

U = {u1= (1, 1, 0), u2= (1, 0, 1), u3= (0, 1, 1)}

Lời giải.Gợi ý, ví dụ như vectơ p = (1, −3, 0) Khi đó:

p = (1, −3, 0) = −(1, 1, 0) + 2(1, 0, 1) − 2(0, 1, 1)

= −u1+2u2−2u3.Vậy vectơ p là mộtthttcủa hệ vectơ U

VÝ dô 3.Trong kgvt thùc R3chøng minh hÖ vect¬

Chøng minh B lµ hÖ vect¬®ltttrong kgvt thùc R3.

Lêi gi¶i Ký hiÖu vect¬ kh«ng cña R3 lµ θ = (0, 0, 0) Gi¶ sö

VÝ dô 5.Chøng minh hÖ vect¬

4) Mọi hệ vectơ con của hệ vectơ đltt là hệ đltt.

Nghĩa là, giả sử A đltt và A ⊆ A Khi đó A đltt

3.2.2 Tính chất (tiếp).

5) Hệ n− vectơ A = {a1,a2, ,an}pttt ⇔ trong A tồn tại ít

nhất một vectơ aj bttt qua n − 1 vectơ còn lại của hệ A

6) Cho hệ vectơ A = {a1,a2, ,an}đltt trong V và v ∈ V Khi

đó hệ vectơ A = {a1,a2, ,an,v} pttt khi và chỉ khi vectơ v btttqua n− vectơ của hệ A

3.2.3 Định nghĩa.Một hệ vectơ E của V được gọi là mộtcơ sởcủa V, nếu E vừađộc lập tuyến tínhvừa làhệ sinhcủa V

Ví dụ 6.Không gian vectơ thực Rn có một cơ sở là hệ n vectơ

E = {e1= (1, 0, , 0), e2= (0, 1, , 0), , en= (0, 0, , 1)}

và E được gọi làcơ sở chính tắc(hay còn gọi làcơ sở đơn vị)

Cho E = {e1,e2, ,en}là một cơ sở gồm có n− vectơ của

K− kgvt V Khi đó, mọi vectơ v ∈ V đều biểu diễn một cách duynhất dưới dạng

v = k1e1+k2e2+ ã ã ã +knen,trong đó k1,k2, ,kn∈ K

3.2.5 Định nghĩa Bộ n− số (k1,k2, ,kn)trong Định lý 3.2.4

gọi làtọa độ của vectơ v đối với cơ sở Evà tọa độ đó làduy nhất

Ví dụ 7.Trong không gian vectơ thực Rn xét cơ sở chính tắc

E = {e1= (1, 0, , 0), e2= (0, 1, , 0), , en= (0, 0, , 1)}.Khi đó ∀x = (x1,x2, ,xn) ∈ Rn,ta có:

x = (x1,x2, ,xn) = (x1,0, , 0)+(0, x2, ,0)+ã ã ã+(0, 0, , xn)

=x1(1, 0, , 0) + x2(0, 1, , 0) + ã ã ã + xn(0, 0, , 1)

=x1e1+x2e2+ ã ã ã +xnen

Vậy tọa độ của vectơ x ∈ Rnđối với cơ sở chính tắc là (x1,x2, ,xn)

Ví dụ 8 Trong kgvt thực R3 tìm tọa độ của vectơ v = (0, 0, 1)

đối với cơ sở E = {e1= (1, 1, 1), e2= (1, 1, 0), e3= (1, 0, 0)}

3.2.6 Định lý.

Cho E là một cơ sở của K−kgvt V Giả sử (v1,v2, ,vn)và

(u1,u2, ,un)tương ứng là tọa độ của v và u đối với cơ sở EKhi đó:

1) Tọa độ của v + u đối với E là (v1+u1,v2+u2, ,vn+un).2) Tọa độ của kv đối với E là (kv1,kv2, ,kvn), ∀k ∈ K

3.2.7 Định nghĩa (ma trận tọa độ).Cho E = {e1,e2, ,en}làmột cơ sở gồm có n− vectơ của kgvt V và U = {u1,u2, ,um}

là một hệ gồm có m− vectơ của V Lần lượt lấy các vectơ của Ubttt qua E, ta có:

um=am1e1+am2e2+ ã ã ã +amnenKhi đó ma trận A =

Chú ý 1.Tìm ma trận tọa độ A ta làm như sau:

+) Xác định tọa độ của các vectơ ui ∈ U đối với cơ sở E bằngcách lấy các vectơ uibttt qua cơ sở E

+) Thiết lập ma trận tọa độ A, bằng cáchlấy tọa độ của các vectơ

uiđối với cơ sở E làm hàng thứ i của A

Ví dụ 9 Trong không gian vectơ thực R3 tìm ma trận tọa độcủa hệ vectơ U = {u1 = (0, 0, 1), u2 = (4, 2, 1)} đối với cơ sở

3.2.8 Định lý.

Cho E = {e1,e2, ,en}là một cơ sở gồm có n− vectơ của

K−kgvt V và U = {u1,u2, ,um}là một hệ gồm có m− vectơtrong V Giả sử ma trận A cỡ m ì n là ma trận tọa độ của hệvectơ đối với cơ sở E Khi đó

1) U pttt ⇔ rank(A) < m;

2) U đltt ⇔ rank(A) = m;

3) U là cơ sở ⇔ rank(A) = m = n, hay A là ma trận vuông

không suy biến

3.2.9 Định nghĩa Cho U là một hệ gồm có m− vectơ trongK− kgvt V.Hạngcủa U là r ∈ N thỏa mãn các điều kiện sau:1) Trong U tồn tại một hệ vectơ con gồm có r− vectơ đltt;

2) Mọi hệ vectơ con của U có số vectơ lớn hơn r đều pttt

VÝ dô 10.Trong kgvt thùc R3t×m h¹ng cña hÖ vect¬

3.2.11 Định lý

Cho E là một cơ sở của V gồm có n vectơ và A là một hệ gồm

có n + k (với k ≥ 1) vectơ trong V Khi đó A pttt trong V

3.2.12 Hệ quả

Cho E = {e1,e2, ,en}và U = {u1,u2, ,um}là hai cơ sởcủa K− kgvt V Khi đó m = n

3.2.13 Định nghĩa Không gian vectơ V được gọi là hữu hạnchiều, nếu trong V có một cơ sở nào đó gồm hữu hạn vectơ Sốvectơ của cơ sở hữu hạn đó được gọi làsố chiều của V.

Có nghĩa là:

•Nếu E = {e1,e2, ,en}là một cơ sở của V gồm có n− vectơthì ta nói V làkhông gian n chiềuvà n gọi làsố chiềucủa V

Ký hiệu là dim (V) = n Quy ước dim ({θ}) = 0

•Nếu trong V không có một cơ sở nào đó gồm hữu hạn vectơthì ta gọi làkhông gian vô hạn chiều

Ký hiệu hình thức: dim (V) = ∞

Ví dụ 11.Xét không gian vectơ thực Rn.Khi đó dim (Rn) =n, vì

VÝ dô 12.Chøng minh r»ng hÖ vect¬

A = {a1= (1, 1, 0), a2= (1, 0, 1), a3= (1, −2, 0)}

lµ mét c¬ së cña kh«ng gian vect¬ thùc R3.

Lêi gi¶i.Ký hiÖu θ = (0, 0, 0) lµ vect¬ kh«ng cña R3.

•Gi¶ sö ∃t1,t2,t3∈ R, sao cho t1a1+t2a2+t3a3= θ

®­îc gäi lµ

ma trËn chuyÓntõ c¬ së E qua c¬ së U

Chú ý 1.Để tìm ma trận chuyển từ cơ sở E qua cơ sở U ta làmnhư sau:

+) Xác định tọa độ của các vectơ ui ∈ U đối với cơ sở E bằngcách lấy các vectơ uibttt qua cơ sở E

+) Thiết lập ma trận chuyển cơ sở A, bằng cáchlấy tọa độ củacác vectơ uiđối với cơ sở E làm cột thứ i của A

VÝ dô 1.Trong kgvt thùc R3cho hai c¬ së:

Lập luận tương tự cho hai vectơ u2và u3còn lại, ta có:

VÝ dô 2 Trong kgvt thùc R3 cho hai c¬ së E = {e1,e2,e3}vµ

U = {u1=e1+2e2+e3,u2=e1+2e3,u3=e2+2e3}.T×m matrËn chuyÓn tõ c¬ së E qua c¬ së U

Lêi gi¶i.Theo gi¶ thiÕt, ta cã sù bttt

3.3.2 Phép biến đổi tọa độ.Giả sử A = [aij]nlà ma trận chuyển

VÝ dô 3.Trong kgvt thùc R3cho hai c¬ së:

tương ứng là matrận tọa độ của vectơ x đối với cơ sở E và cơ sở U

Ví dụ 4 Trong kgvt thực R3 cho hai cơ sở E = {e1,e2,e3}và



 tươngứng là ma trận tọa độ của vectơ x đối với cơ sở E và U





3.4.1 Định nghĩa.Cho V là K− kgvt và ∅ 6= A ⊆ V Tập con A

được gọi làkhông gian vectơ con (kgvt con) (hayK− kgvt con)của V nếu A cùng với hai phép toán trên V (phép cộng và phépnhân với vô hướng) lập thành một không gian vectơ trên K

K− kgvt và vectơ không θV∈A

3.4.2 Định lý (Tiêu chuẩn không gian vectơ con)

Cho V là K− không gian vectơ Tập A là không gian vectơ concủa V khi và chỉ khi, ba điều kiện sau được thỏa mãn

i) ∅ 6= A ⊆ V

ii) ∀a, b ∈ A thì a + b ∈ A

iii) ∀α ∈ K, ∀a ∈ A thì αa ∈ A

Ví dụ 1 Bản thân {θV} và V là các kgvt con của V và chúng

được gọi làkgvt con tầm thường Nếu kgvt V chỉ có duy nhất haikgvt con tầm thường {θV}và V thì V được gọi làkhông gian đơn

Ví dụ 2.Chứng minh rằng các tập hợp A = {(a, 0) | a ∈ R} và

+) Với ∀r ∈ R, ∀u3= (a3,0) ∈ A, ta có ru3= (ra3,0) ∈ A

Vậy theoĐịnh lý 3.4.2thì A là kgvt con của R2.

•Chứng minh tương tự, B cũng là kgvt con của R2.

3.4.3 Định lý (Giao).

Cho V là K− kgvt và A, B là các kgvt con của V Khi đó

P = A ∩ B là kgvt con của V

đó Q = A ∪ B không phải là kgvt con của V

Ví dụ 3.Trong kgvt thực R2xét hai kgvt con A = {(a, 0) | a ∈ R}

và B = {(0, b) | b ∈ R} Khi đó Q = A ∪ B không phải là kgvtcon của R2.

Lời giải Thật vậy, vectơ v = (1, 0) ∈ A ⇒ v ∈ A ∪ B và vectơ

u = (0, 1) ∈ B ⇒ v ∈ A ∪ B Nhưng vectơ v + u = (1, 1) /∈ A ∪ B;

Do đó A ∪ B không phải là kgvt con của R2.

3.4.4 Định lý (Tổng).

Cho V là K− kgvt và A, B là các kgvt con của V Đặt

M = A + B := {m = a + b | a ∈ A, b ∈ B}

Khi đó M = A + B là kgvt con của V

VÝ dô 4.Trong kgvt thùc R xÐt hai kgvt con A = {(a, 0) | a ∈ R}

Định lý 3.4.5

Cho A, B là các không gian con của K− không gian vectơ V.Khi đó, V = A ⊕ B khi và chỉ khi mỗi v ∈ V biểu diễn được mộtcách duy nhất dưới dạng v = a + b, với a ∈ A, b ∈ B

3.4.6 Định lý

1) Cho V là K− kgvt và A, B là các kgvt con của V Khi đó

dim(A) ≤ dim(V) Dấu ” = ” xảy ra ⇔ A = V

2) Giả sử A, B là các kgvt con của V Khi đó

dim(A + B) = dim(A) + dim(B) − dim(A ∩ B

3) Nếu M = A ⊕ B Thì dim(M) = dim(A) + dim(B)

3.4.7 Không gian vectơ con sinh bởi một hệ vectơ Cho V

là K− kgvt và S = {s1,s2, ,sn} là một hệ gồm có n− vectơtrong V Ký hiệu L(S) = {x = Pn

i=1xisi|∀xi ∈ K} là tập hợp tất cảcác các thtt của hệ vectơ S Khi đó ta chứng minh được L(S) làmột kgvt con của V chứa S Ta gọi L(S) làkgvt con của V sinhbởi hệ vectơ Svà S được gọi làhệ sinh của L(S)

3.4.7.1 Định lý

1) dim (L(S)) = rank(S)

2) Hạng của hệ vectơ S trong K− kgvt V bằng số vectơ của

một tập con độc lập tuyến tính cực đại S0

nào đó của S

Ví dụ 5.Xác định dạng phần tử, chiều và cơ sở của kgvt con sinhbởi hệ vectơ S = {s1= (1, 1, 2), s2= (2, 1, 3), s3= (3, 2, 5)}

TheoĐịnh lý 3.4.7.1, ta có dim (L(S)) = rank(S) = rank(A) = 2

•Do đó cơ sở của L(S) là hệ gồm hai vectơ đltt trong L(S), đó

3.4.7.2 Bài toán mô tả không gian L(S).

Cho V là K− kgvt và S = {s1,s2,s3, ,sn}là một hệ gồm cón− vectơ trong V Tìm một cơ sở, số chiều và dạng phần tử củakgvt con L(S)

Cách giải

• Gọi A là ma trận tọa độ của hệ vectơ S đối với cơ sở E củakgvt V

•Khi đó dim (L(S)) = rank(A)

•Một cơ sở của L(S) là các vectơ sicó tọa độ ứng với các hàngkhác không của ma trận bậc thang biến đổi từ A

•Dạng phần tử của L(S) là tổ hợp tuyến tính của cơ sở vừa tìm

được

thuần nhất A[x] = [0], trong đó A = [aij]mìnvà aij ∈ K Đặt

3.4.8.2 Bài toán mô tả không gian nghiệm.

Gọi M là tập nghiệm của hệ pttt thuần nhất A[x] = [0], trong đó

A = [aij]mìnvà aij ∈ K Tìm dạng phần tử, cơ sở và số chiều

của không gian nghiệm M

Cách giải

•Dạng phần tử của M là công thức nghiệm của A[x] = [0]

•Cơ sở của M là hệ nghiệm cơ bản của A[x] = [0]

•dim (M) = n − rank(A) = Số ẩn tự do của A[x] = [0]