Slide chương 2 Hệ phương trình tuyến tính ( chương trình đào tạo đại học vinh )

Slide chương 2 Hệ phương trình tuyến tính ( chương trình đào tạo đại học vinh ) Slide chương 2 Hệ phương trình tuyến tính ( chương trình đào tạo đại học vinh ) Slide chương 2 Hệ phương trình tuyến tính ( chương trình đào tạo đại học vinh ) Slide chương 2 Hệ phương trình tuyến tính ( chương trình đào tạo đại học vinh ) Slide chương 2 Hệ phương trình tuyến tính ( chương trình đào tạo đại học vinh ) Slide chương 2 Hệ phương trình tuyến tính ( chương trình đào tạo đại học vinh ) Slide chương 2 Hệ phương trình tuyến tính ( chương trình đào tạo đại học vinh ) Slide chương 2 Hệ phương trình tuyến tính ( chương trình đào tạo đại học vinh ) Slide chương 2 Hệ phương trình tuyến tính ( chương trình đào tạo đại học vinh ) Slide chương 2 Hệ phương trình tuyến tính ( chương trình đào tạo đại học vinh ) Slide chương 2 Hệ phương trình tuyến tính ( chương trình đào tạo đại học vinh ) Slide chương 2 Hệ phương trình tuyến tính ( chương trình đào tạo đại học vinh ) Slide chương 2 Hệ phương trình tuyến tính ( chương trình đào tạo đại học vinh )

bài giảng đại số tuyến tính

Nhóm ngành KT và CN

TS Nguyễn Quốc Thơ

Đơn vị công tác Khoa Toán - Trường Sư Phạm - Trường ĐH Vinh

TS Nguyễn Quốc Thơ

•Kiến thức:Trang bị cho người học các kiến thức về: Ma trận,

định thức, hệ phương trình tuyến tính, không gian vectơ, ánh xạtuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gianvectơ Euclid và bài toán phân loại các đường, mặt bậc hai

•Kỹ năng: 1.Thực hiện thành thạo các phép toán trên ma trận,tính định thức, tìm ma trận nghịch đảo, tìm hạng của ma trận

2.Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính

3.Giải các bài toán liên quan đến không gian vectơ, như:

+) Chứng minh hệ vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyếntính, hệ sinh

+) Kiểm tra một không gian vectơ con, tìm cơ sở, số chiều củakhông gian vectơ con

+) Tìm tọa độ vectơ, đổi cơ sở

TS Nguyễn Quốc Thơ

Giới thiệu môn học

4.Kiểm tra một ánh xạ tuyến tính, xét tính đơn cấu, toàn cấu và

đẳng cấu của một ánh xạ tuyến tính Xác đinh ma trận và biểuthức tọa độ của ánh xạ tuyến tính.Tìm giá trị riêng, vectơ riêng

5.Biến đổi dạng toàn phương về dạng chính tắc, kiểm tra dạngtoàn phương xác định dương, âm hay không xác định

• Thái độ: Bồi dưỡng năng lực tư duy khoa học, tư duy lôgíc,cung cấp cho người học cung cụ của toán học cao cấp để cóthể vận dụng vào giải các bài toán thực tế xã hội đặt ra Ngườihọc thấy được môn học cung cấp cho họ các kiến thức toán họccao cấp cơ bản để tiếp tục học các môn toán khác hay các mônchuyên ngành khác

TS Nguyễn Quốc Thơ

[1] NguyÔn Thµnh Quang, Lª Quèc H¸n, §¹i sè tuyÕn tÝnh,NXB Hµ néi 2013.

[2] NguyÔn §×nh TrÝ, T¹ V¨n §Ünh, NguyÔn Hå Quúnh, To¸ncao cÊp - TËp 1 - §¹i sè tuyÕn tÝnh vµ H×nh häc gi¶i tÝch, NXBGi¸o dôc, Hµ Néi 2004

[3] Ph¹m Huy §iÓn, TÝnh to¸n, lËp tr×nh vµ gi¶ng d¹y to¸n häctrªn MAPLE, NXB Khoa häc vµ Kü thuËt, Hµ Néi 2002

[4] Lª TuÊn Hoa, §¹i sè tuyÕn tÝnh qua c¸c vÝ dô vµ bµi tËp,NXB §¹i häc Quèc gia Hµ Néi 2006

[5] Ng« ViÖt Trung, Gi¸o tr×nh §¹i sè tuyÕn tÝnh, NXB §¹i häcQuèc gia Hµ Néi 2001

TS NguyÔn Quèc Th¬

Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính

Nội dung trong chương này là trình bày các khái niệm:

1 Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính (pttt):Định nghĩa

hệ pttt, nghiệm và tập nghiệm của hệ pttt Hệ pttt tương tương

và các phép biến đổi tương đương trên hệ pttt Định lý về điềukiện có nghiệm của hệ pttt

2 Hệ pttt Cramer:Định nghĩa hệ pttt Cramer Định lý Cramer

và công thức Cramer

3 Phương pháp giải hệ pttt: Giải hệ pttt bằng phương phápCramer và phương pháp biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss)

4 Hệ pttt thuần nhất: Định nghĩa hệ pttt thuần nhất, tính chấtnghiệm của hệ pttt thuần nhất, hệ nghiệm cơ bản Mối liên hệgiữa nghiệm của hệ pttt tổng quát và hệ pttt thuần nhất tươngứng

TS Nguyễn Quốc Thơ

2.1.1 Định nghĩa Cho K = R hoặc C và m, n ∈ N∗ Hệphương trình tuyến tính(pttt), hệ số trên K là một hệ phương trìnhgồm cóm− phương trình, n− ẩncó dạng:

2.1 Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính

TS Nguyễn Quốc Thơ

2.1 Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ 1.Hệ phương trình nào sau đây là hệ pttt Nếu là hệ pttthãy viết dạng ma trận của nó.



•Hệ (∗∗) không phải là hệ pttt, vì phương trình thứ nhất của hệkhông thỏa mãn định nghĩa hệ pttt

TS Nguyễn Quốc Thơ

2.1 Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính

2.1.3 Nghiệm của hệ pttt Nghiệm của hệ pttt n− ẩn A[x] = [b]

•Tập hợp tất cả các nghiệm của của hệ pttt n− ẩn A[x] = [b]

được gọi làtập nghiệmcủa hệ Giải một hệ phương trình có nghĩa

là tìm tập nghiệm của hệ phương trình đó

TS Nguyễn Quốc Thơ

2.1.4 Hệ phương trình tương đương Hai hệ pttt được gọi là

của hệ này là nghiệm của hệ kia và ngược lại (hoặc cả hai hệ

đều là vô nghiệm)

2.1.5 Định nghĩa

biến một hệ pttt đã cho thành một hệ pttt mới tương đương với

nó được gọi làphép biến đổi tương đương trên hệ pttt

•Các phép biến đổi sơ cấp trên hệ pttt.Các phép biến đối sau

được gọi là các phép biến đổi sơ cấp trên hệ pttt:

P1:Đổi chỗ hai phương trình của hệ

P2:Nhân hai vế của một phương trình của hệ với một số α 6= 0

P3:Cộng vào một phương trình một bội k của phương trình khác

TS Nguyễn Quốc Thơ

2.1 Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính

Do đó ta có chú ý sau:

Chú ý 2 Thực hiện các phép biến đổi tương đươngP1,P2,P3trên hệ ptttchính là thực hiện các phép biên đổi sơ cấpS1,S2,S3trên hàng của ma trận bổ sung A

P1:Đổi chỗ hai phương trình của hệ

S1:Đổi chỗ hai hàng của A

P2:Nhân hai vế của một phương trình với α 6= 0

S2:Nhân một hàng của A với α 6= 0

P3:Cộng vào một phương trình bội k của phương trình khác

S3:Cộng vào một hàng của A bội k của hàng khác

TS Nguyễn Quốc Thơ

2.1 Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính

Lời giải.Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng của matrận bổ sung của hệ là A Ta có:

rank(A) = rank(T) = rank

2.2 Hệ phương trình tuyến tính Cramer

2.2.1 Định nghĩa Hệ pttt tổng quát (1) được gọi là hệ ptttCramerđối với các ẩn x1,x2, ã ã ã ,xnnếum = n(số phương trìnhbằng số ẩn) vàma trận hệ số A không suy biến

an1x1+an2x2+ ã ã ã +annxn=bnvới det(A) 6= 0

TS Nguyễn Quốc Thơ

Ví dụ 1.Hệ phương trình nào sau đây là hệ pttt Cramer? Vi sao?(2x1+x2=5

=0, nên (B) không phải là hệ pttt Cramer

•Hệ (C) là hệ pttt Cramer vì hệ có 3 pt, 3 ẩn và định thức matrận hệ số P =

0 5 −1

0 10 −1

1 16 1

=47 ⇒ x2= det(A2)

det(A) =

479+) det(A3) =

0 5 10

1 0 16