Slide chương 1 Ma trận định thức ( Chương trình đào tạo đại học vinh )

Slide chương 1 Ma trận định thức ( Chương trình đào tạo đại học vinh ) Slide chương 1 Ma trận định thức ( Chương trình đào tạo đại học vinh ) Slide chương 1 Ma trận định thức ( Chương trình đào tạo đại học vinh ) Slide chương 1 Ma trận định thức ( Chương trình đào tạo đại học vinh ) Slide chương 1 Ma trận định thức ( Chương trình đào tạo đại học vinh ) Slide chương 1 Ma trận định thức ( Chương trình đào tạo đại học vinh ) Slide chương 1 Ma trận định thức ( Chương trình đào tạo đại học vinh ) Slide chương 1 Ma trận định thức ( Chương trình đào tạo đại học vinh )

bài giảng đại số tuyến tính

Nhóm ngành KT và CN

TS Nguyễn Quốc Thơ

Đơn vị công tác Khoa Toán - Trường ĐHSP - ĐH Vinh

1 Giới thiệu môn học

2 Tài liệu tham khảo

3 Chương 1 Ma trận - Định thức

•Kiến thức:Trang bị cho người học các kiến thức về: Ma trận,

định thức, hệ phương trình tuyến tính, không gian vectơ, ánh xạtuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gianvectơ Euclid và bài toán phân loại các đường, mặt bậc hai

•Kỹ năng: 1.Thực hiện thành thạo các phép toán trên ma trận,tính định thức, tìm ma trận nghịch đảo và tìm hạng của ma trận

2.Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính

3.Giải các bài toán liên quan đến không gian vectơ, như:

+) Chứng minh hệ vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyếntính, hệ sinh

+) Kiểm tra một không gian vectơ con, tìm cơ sở, số chiều củakhông gian vectơ con

+) Tìm tọa độ vectơ, đổi cơ sở

4.Kiểm tra một ánh xạ tuyến tính, xét tính đơn cấu, toàn cấu và

đẳng cấu của một ánh xạ tuyến tính Xác đinh ma trận và biểuthức tọa độ của ánh xạ tuyến tính.Tìm giá trị riêng, vectơ riêng

5.Biến đổi dạng toàn phương về dạng chính tắc, kiểm tra dạngtoàn phương xác định dương, âm hay không xác định

• Thái độ: Bồi dưỡng năng lực tư duy khoa học, tư duy lôgíc,cung cấp cho người học cung cụ của toán học cao cấp để cóthể vận dụng vào giải các bài toán thực tế xã hội đặt ra Ngườihọc thấy được môn học cung cấp cho họ các kiến thức toán họccao cấp cơ bản để tiếp tục học các môn toán khác hay các mônchuyên ngành khác

[1] NguyÔn Thµnh Quang, Lª Quèc H¸n, §¹i sè tuyÕn tÝnh,NXB Hµ néi 2013.

[2] NguyÔn §×nh TrÝ, T¹ V¨n §Ünh, NguyÔn Hå Quúnh, To¸ncao cÊp - TËp 1 - §¹i sè tuyÕn tÝnh vµ H×nh häc gi¶i tÝch, NXBGi¸o dôc, Hµ Néi 2004

[3] Ph¹m Huy §iÓn, TÝnh to¸n, lËp tr×nh vµ gi¶ng d¹y to¸n häctrªn MAPLE, NXB Khoa häc vµ Kü thuËt, Hµ Néi 2002

[4] Lª TuÊn Hoa, §¹i sè tuyÕn tÝnh qua c¸c vÝ dô vµ bµi tËp,NXB §¹i häc Quèc gia Hµ Néi 2006

[5] Ng« ViÖt Trung, Gi¸o tr×nh §¹i sè tuyÕn tÝnh, NXB §¹i häcQuèc gia Hµ Néi 2001

Nội dung trong chương này là trình bày các khái niệm:

1 Ma trận:Định nghĩa ma trận, các phép toán trên ma trận, cácphép biến đối sơ cấp trên ma trận, ma trận chuyển vị, ma trậnbậc thang, một số ma trận đặc biệt

2 Định thức:Định nghĩa định thức, các tính chất của định thức,một số định thức đặc biệt, các phương pháp tính định thức vàmột số ứng dụng của định thức

3 Ma trận nghịch đảo: Định nghĩa ma trận nghịch đảo, định

lý về điều kiện cần và đủ để tồn tại ma trận nghịch đảo, cácphương pháp tìm ma trận nghịch đảo và ứng dụng của ma trậnnghịch đảo

4 Hạng ma trận:Định nghĩa hạng ma trận và các phương pháptìm hạng của ma trận

1.1.1 §Þnh nghÜa.Cho K = Q, R hoÆc C vµ m, n ∈ N∗.MétmatrËn cì m × n,phÇn tö trªn K lµ mét b¶ng sè h×nh ch÷ nhËt gåm

cã mn phÇn tö aij, ®­îc s¾p xÕp thµnhm− hµng vµn− cét cãd¹ng:

vu«ng cÊp n.C¸c phÇn tö a11,a22, · · · ,ann®­îc gäi lµ c¸c phÇn

tö n»m trªn®­êng chÐo chÝnh vµ ®­êng chÐo cßn l¹i ®­îc gäi

lµ®­êng chÐo phôcña ma trËn A

• NÕu m = 1, th× A = a11 a12 a1n

1×n gäi lµ ma trËnhµng(hay cßn gäi lµma trËn dßng)

1.1.4 Ma trận đặc biệt•Ma trận vuông A cấp n gọi làma trậntam giác trênnếu các phần tử nằm phía dưới đường chéo chínhbằng 0, hay aij=0, ∀i > j, tức là A =

•Ma trận tam giác dướilà ma trận vuông A cấp n có các phần

tử nằm phía trên đường chéo chính bằng 0, hay aij =0, ∀i < j,

•Ma trận A = [aij]ngọi làma trận đường chéonếu các phần tửnằm ngoài đường chéo chính bằng 0, hay aij=0, ∀i 6= j, tức là

•Ma trận đối xứnglà ma trận vuông A = [aij]n cấp n thỏa mãn

điều kiện aij =aji, ∀i, j = 1, n (hayA đối xứng ⇔ A = AT)

•Ma trận phản đối xứnglà ma trận vuông A = [aij]ncấp n thỏamãn điều kiện aij = −aji, ∀i, j = 1, n (A p.đối xứng ⇔ A = −AT)

1.1.5 Các phép toán ma trận

1.1.5.1 Phép cộng hai ma trận Cho hai ma trận A = [aij]mìn

và B = [bij]mìn.Tổng A + B là một ma trận C cỡ m ì n, (ký hiệuA+B = C = [cij]mìn)mà các phần tử của C bằng tổng các phần

tử tương ứng của A và B, nghĩa là

cij=aij+bij, ∀i = 1, m, j = 1, n

•Ma trận đốicủa ma trận A = [aij]mìnlà ma trận −A = [−aij]mìn

•Hiệu của các ma trận A và Blà ma trận cùng cấp, ký hiệu bởi

A − B, được xác định bởi A − B = A + (−B)

1.1.5.2 Phép nhân một số với một ma trận Cho ma trận

A = [aij]mìn và λ ∈ K Tích λA là một ma trận P cỡ m ì n (kýhiệu λA = P = [pij]mìn),mà các phần tử của P bằng tích λ vớicác phần tử tương ứng của A, nghĩa là

pij= λaij, ∀i = 1, m, j = 1, n

VÝ dô 3.Cho hai ma trËn

1.1.5 3 Phép nhân hai ma trận.Cho hai ma trận A = [ait]mìk

và B = [btj]kìncó số cột của A bằng số hàng của B.Tích AB là

ma trận D cỡ m ì n (ký hiệu AB = D = [dij]mìn),các phần tửcủa D được xác định bởi công thức

Bsau đó được bao nhiêu cộng lại

Ví dụ 4.Cho hai ma trận

B,sau đó được bao nhiêu cộng lại, ta có:

d11=a11b11+a12b21+a13b31 =1.2 + 4.8 + 0.5 = 34

+) Để tính phần tửd12 của AB ta lấy các phần tử trênhàng thứnhất của Anhân tương ứng với các phần tử trêncột thứ hai của

B,sau đó được bao nhiêu cộng lại, ta có:

d12=a11b12+a12b22+a13b32=1.(−1) + 4.(−5) + 0.7 = −21+) Làm tương tự đối với các hàng còn lại, ta có:

Tích AB tồn tại ⇔ số cột của A bằng số hàng của B

1.1.6 TÝnh chÊt cña c¸c phÐp to¸n

•Cho c¸c ma trËn A, B, C lµ ba trËn cì m × n vµ α, β ∈ K Tacã:

+) α(βA) = (αβ)A = β(αA)

•TÝch hai ma trËn kh«ng cã tÝnh chÊt giao ho¸n, tøc lµ AB 6= BA

•NÕu c¸c ma trËn Am×t,Bt×k,Ck×nth×

(AB)C = A(BC)

•Cho Amìnvà In, Imlà hai ma trận đơn vị cấp n và m Khi đó

AmìnIn= ImAmìn=Amìn

Do đó nếu A là ma trận vuông cấp n và Inlà ma trận đơn vị cấp

n Thì AIn= InA = A

•Nếu phép nhân và công ma trận tồn tại, thì phép nhân và phépcộng ma trận có tính chất phân phối, tức là

B4=B2.B2= −I2.(−I2) = I2.Vậy B8=B4.B4= I2.I2= I2.

Tổng quát.Từ kết quả trên, tính Anvà Bm,trong đó m, n ∈ N

1.1.7 §Þnh nghÜa ( Ma trËn chuyÓn vÞ).Cho A lµ ma trËn cì

m × n Ma trËn chuyÓn vÞ cña A (ký hiÖu lµ AT) lµ ma trËn cã

®­îc b»ng c¸ch lÊyhµng thø i cña A lµm cét thø icña AT,víi

1.1.8 Tính chất của ma trận chuyển vị.Cho A, B là các matrận và λ ∈ K sao cho các phép toán dưới đây về ma trận cónghĩa Khi đó ta có:

+) (AT)T =A; +) (A + B)T =AT+BT;

+) (λA)T= λAT; +) (AB)T =BTAT.

Trước khi nghiên cứu tính chất tiếp theo, ta xét hai ma trận:

+) Ma trận vuông M cấp n đối xứng ⇔ M = MT.

+) Ma trận vuông Q cấp n phản đối xứng ⇔ Q = −QT.

1.1.9 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận.Các phép biến

đổi sau đây được gọi làcác phép biến đổi sơ cấp trên hàngcủa

ai1 ai2 ã ã ã ain







S3:Céng vµo mét hµng mét béi λ cña hµng kh¸c.

ai1+ λat1 · · · ain+ λatn

®­¬ngvíi B, ký hiÖu A ≈ B

Ví dụ 8 •Ma trận không Omìnvà ma trận đơn vị In là ma trậnbậc thang.

1.1.11 Định lý (Biến đổi ma trận về ma trận bậc thang)

Mọi ma trận đều có thể đưa về ma trận bậc thang bằng các

phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Có nghĩa là

A ba phép biến đổi sơ cấp S1 , S 2 , S 3 trên ma trận A

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ T (bậc thang)

1.2.1 Định nghĩa Cho ma trận vuông A = [aij]n cấp n Trong

ma trận A, bỏ đihàng thứ tvàcột thứ kthu được ma trận vuôngcấp n − 1, ký hiệu ma trận đó là Mk

t.Ma trận Mk

t gọi là ma trậncon (ma trận con bù)ứng với phần tử atk

1.2.2 Định nghĩa Định thứccủa ma trận A = [aij]nvuông cấp

n là một số, ( ký hiệu là det(A) hoặc |A|) và được định nghĩa quynạp như sau:

•Định thức cấp một: Cho A = [a] thì det(A) = |A| = a

•Định thức cấp hai:Cho A =

4 −7

=4.9 − 2.(−7) = 50

•§Þnh thøc cÊp ba:Cho A =

5 −4

−3 8

=28, |AT| =

5 −3

−4 8