Bài giảng đại số tuyến tính dành cho sinh viên nhóm ngành kỹ thuật Bài giảng đại số tuyến tính dành cho sinh viên nhóm ngành kỹ thuật Bài giảng đại số tuyến tính dành cho sinh viên nhóm ngành kỹ thuật Bài giảng đại số tuyến tính dành cho sinh viên nhóm ngành kỹ thuật Bài giảng đại số tuyến tính dành cho sinh viên nhóm ngành kỹ thuật Bài giảng đại số tuyến tính dành cho sinh viên nhóm ngành kỹ thuật Bài giảng đại số tuyến tính dành cho sinh viên nhóm ngành kỹ thuật
Ma trận
Khái niệm về ma trận
Định nghĩa 1.1.1 Chom, n∈N ∗ Mộtma trận cấp m×n trên K là một bảng số có dạng:
m×n gồm m.n phần tử a ij ∈K, i= 1;m, j = 1;n được xếp thành m hàng và n cột.
• Phần tử a ij nằm ở hàng thứ i và cột thứ j củaA Ta gọi i là chỉ số hàng và j là chỉ số cột.
• Ma trận A còn được viết đơn giản dưới dạng A= [a ij ] m×n
• Hai ma trận cùng cấp A = [a ij ] m×n và B = [b ij ] m×n được gọi là bằng nhau nếu a ij =b ij với ∀i= 1;m, j = 1;n.
Ma trận vuông cấp n là ma trận có số hàng bằng số cột, ký hiệu là n×n Các phần tử a_{11}, a_{22}, , a_{nn} được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận vuông A cấp n.
Các ma trận đặc biệt
Ma trận hàng là ma trận có 1 hàng (ma trận cấp 1×n).
Ma trận cột là ma trận có 1 cột (ma trận cấp m×1).
Ma trận không là ma trận cấpm×n gồm mn số 0, ký hiệu Om×n.
Ma trận đơn vị cấp n là ma trận vuôngA cấp n có các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1 và nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0
Ma trận đường chéo là ma trận vuông A= [a ij ] cấp n có a ij = 0; 1≤ i6=j ≤n,
Ma trận tam giác trên là ma trận vuông A= [a ij ] cấp n có a ij = 0, i > j, hay
Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông A= [aij] cấp n có aij = 0, i < j, hay
Ma trận tam giác là ma trận tam giác trên hoặc ma trận tam giác dưới.
Ma trận đối của ma trận A= [a ij ] m×n là ma trận −A= [−a ij ] m×n
Các phép toán ma trận
a Phép cộng hai ma trận cùng cấp:
Cho các ma trận cùng cấpA= [a ij ] m×n và B = [b ij ] m×n Tổng của các ma trận
A và B là ma trận cùng cấp C = [cij] m×n trong đó: cij =aij +bij, ∀i= 1,2, , m;∀j = 1,2, , n.
Tính chất của phép cộng ma trận
Cho A, B, C là các ma trận cùng cấp trên tập số K Các tính chất của phép cộng ma trận bao gồm: i) Phép cộng ma trận là giao hoán, tức là $A+B = B+A$ ii) Phép cộng ma trận là kết hợp, nghĩa là $(A+B) +C = A+ (B+C)$ iii) Có tồn tại ma trận không, O, sao cho $A+O = O+ A = A$ iv) Ma trận đối của A, ký hiệu là $(-A)$, thỏa mãn $A+ (−A) = (−A) +A=O$ Ngoài ra, bài viết cũng đề cập đến phép trừ ma trận cùng cấp.
Cho A, B là các ma trận cùng cấp, ta định nghĩa: A−B =A+ (−B).
Phép cộng nhiều ma trận
Do phép cộng ma trận cùng cấp có tính chất kết hợp cho nên ta định nghĩa tổng của ba ma trận cùng cấp như sau:
A+B+C= (A+B) +C =A+ (B +C). b Phép nhân một số với một ma trận
Cho ma trận A = [a ij ] m×n và λ ∈ K Tích của λ ∈ K với A là ma trận
B = [b ij ] m×n với b ij =λa ij ,∀i= 1;m;j = 1;n Như vậy:
Từ các định nghĩa phép cộng các ma trận và phép nhân một số với ma trận, ta kiểm chứng được các tính chất sau:
Tính chất của phép nhân một số với một ma trận
Cho A, B là các ma trận cỡ m×n và λ, γ ∈ K Các tính chất của phép nhân ma trận bao gồm: i) 1.A = A; ii) (λγ)A = λ(γA); iii) (λ+γ)A = λA + γA; iv) λ(A+B) = λA + λB Đối với phép nhân hai ma trận, cho các ma trận A = [a_{ij}]_{m×n} và B = [b_{jk}]_{n×p}, tích của hai ma trận A và B được định nghĩa là ma trận C = [c_{ik}]_{m×p}, trong đó $c_{ik} = a_{i1}b_{1k} + a_{i2}b_{2k} + + a_{in}b_{nk}$.
Khi đó, ta ký hiệu C = AB Chú ý rằng, ai1, ai2, , ain là các phần tử nằm ở hàng thứ i củaA và các phần tử b 1k , b 2k , , b nk nằm ở cột thứ k của B.
Chú ý: Để thực hiện được phép nhân ma trận theo định nghĩa, ta cần lưu ý mấy điểm sau:
+) Tích AB được xác định khi và chỉ khi số cột của ma trậnA bằng số hàng của ma trận B.
+) Ma trận AB có số hàng bằng số hàng của ma trận A và số cột bằng số cột của ma trận B.
Các phần tử của ma trận AB được tính theo quy tắc rằng phần tử $c_{ij}$ thuộc hàng $i$ và cột $j$ là tổng của các tích giữa các phần tử ở hàng thứ $i$ của ma trận A và các phần tử ở cột thứ $j$ của ma trận B.
Ví dụ 1.1.2 Cho hai ma trận A 1 −2 1
. Tính AB, BA (nếu có).
Giải Trong trường hợp này tích AB (hay BA) có nghĩa vì số cột của A bằng số hàng của B (số cột của B bằng số hàng của A) Giả sử
Ví dụ 1.1.3 Cho hai ma trận
Tính AB, BA (nếu có).
Giải Ta có thể tính được AB nhưng lại không thể tính được BA Cụ thể:
Ví dụ 1.1.4 Cho hai ma trận A "2 −1 1
# Tính AB, BA (nếu có).
Tính chất của phép nhân ma trận i) Cho A, B, C là các ma trận lần lượt có cấp m×n, n×p, p×q và λ∈K. Khi đó:
A(BC) = (AB)C, λ(AB) = (λA)B =A(λB), AIn =ImA=A. ii) Nếu A, B là các ma trận cấp m× n và C là ma trận cấp n× p thì
(A+B)C+BC. iii) Nếu A là ma trận cấp m× n và B, C là các ma trận cấp n× p thì
A(B +C) +AC. iv) Cho A là ma trận cấp m× n Khi đó
Trong đại số ma trận, nếu $A$ và $B$ là các ma trận vuông cấp $n$, thì thường thì $AB \neq BA$, điều này có nghĩa là phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán.
Phép luỹ thừa ma trận vuông
Cho A là ma trận vuông cấp n và m là số tự nhiên tuỳ ý Giả sử k = 0, khi đó quy ước A 0 =In Giả sử k >0, khi đó định nghĩa:
Do phép nhân ma trận vuông cùng cấp có tính chất kết hợp, cho nên luỹ thừa ma trận vuông có các tính chất sau:
A k A l =A k+l ; (A k ) l =A kl , ∀k, l∈N. d Phép chuyển vị ma trận
được gọi là ma trận chuyển vị của A, ký hiệu là A T
Như vậy, nếu A= [aij], A T a ∗ ji thì aij =a ∗ ji , với mọi i= 1;m; j = 1;n.
Ma trận vuông A cấp n đuợc gọi là ma trận đối xứng (phản đối xứng) nếu
Ma trận chuyển vị có những tính chất quan trọng sau: i) Nếu A và B là các ma trận cùng cấp, thì phép cộng của chúng có tính chất chuyển vị: $(A+B)^T = A^T + B^T$ ii) Với hai ma trận A và B có kích thước tương ứng là $m \times n$ và $n \times p$, thì tích của chúng cũng có tính chất chuyển vị: $(AB)^T = B^T A^T$ iii) Cuối cùng, nếu A là ma trận bất kỳ và $\lambda \in K$, thì chuyển vị của tích $\lambda A$ sẽ là: $(\lambda A)^T = \lambda A^T$.
Chứng minh Ta chỉ chứng minh tính chất i) Giả sửA= [aij]vàB b jk
, B T =h b ∗ kj i Khi đó a ij =a ∗ ji , b jk =b ∗ kj , AB = [c ik ], (AB) T = [c ∗ ki ], B T A T =h c 0 ki i
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang 14 1.2 Định thức
a Các phép biến đổi sơ cấp
Cho ma trận A trên K Các phép biến đổi sơ cấp các hàng của ma trận A là các phép biến đổi sau:
1) Đổi vị trí hai hàng của ma trận A.
2) Nhân một hàng của ma trận A với một số λ 6= 0 nghĩa là tất cả các phần tử của hàng đó được nhân với số λ.
3) Cộng vào hàng thứ i với bội λ của hàng thứ j của A.
Tương tự ta có các phép biến đổi sơ cấp trên các cột của ma trận A.
Nếu ma trận B được tạo ra từ ma trận A thông qua các phép biến đổi sơ cấp của hàng (cột) trong A, thì A được coi là tương đương với B, ký hiệu là A≈B Ma trận bậc thang là một khái niệm quan trọng trong đại số tuyến tính.
Cho ma trận \( A = [a_{ij}] \) cấp \( m \times n \), hàng thứ \( i \) được gọi là hàng không nếu tất cả các phần tử của hàng đều bằng 0, tức là \( a_{ij} = 0 \) với \( j = 1, 2, \ldots, n \) Phần tử \( a_{ij} \) được xem là phần tử đầu tiên khác 0 của hàng thứ \( i \) nếu \( a_{ik} = 0 \) với \( k = 1, 2, \ldots, j-1 \) và \( a_{ik} \neq 0 \) Các khái niệm về cột không và phần tử đầu tiên khác 0 của cột cũng được định nghĩa tương tự.
Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang nếu nó thỏa mãn hai điều kiện: Thứ nhất, nếu hàng thứ i của A là hàng không, thì hàng thứ i+1 cũng phải là hàng không Thứ hai, nếu các phần tử đầu tiên khác không của hai hàng i và i+1 nằm ở các cột j và k, thì điều kiện j < k phải được đảm bảo.
Từ định nghĩa suy ra rằng các ma trận Om×n và I n là ma trận bậc thang.
Các ma trận dạng bậc thang có thể được hình thành từ bất kỳ ma trận nào thông qua các phép biến đổi sơ cấp hàng Định lý 1.1.6 khẳng định rằng mọi ma trận đều tương đương với một ma trận dạng bậc thang.
Chứng minh Giả sử A là ma trận cỡ m×n Ta chứng minh quy nạp theo m. Nếu m = 1 thì A là ma trận bậc thang.
Giả sử $m > 1$ và định lý đúng với mọi ma trận có $(m-1)$ hàng Nếu $A$ là ma trận khác không, thì nó có dạng bậc thang Giả sử cột đầu tiên $j_i$ của $A$ khác không, nhờ phép đổi chỗ các hàng, ta có thể giả thiết rằng $a_{1j_i} \neq 0$.
Cộng vào hàng thứ i của A, với bội −a ij i a 1j i , i = 2, , n, của hàng thứ nhất, A được đưa về dạng
Theo giả thiết quy nạp, ma trận có thể chuyển đổi về dạng bậc thang thông qua các phép biến đổi sơ cấp hàng Do đó, ma trận A cũng có thể được đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp hàng Định lý đã được chứng minh.
Ví dụ 1.1.7 Cho ma trận
Biến đổi ma trận A về ma trận bậc thang như sau:
Khái niệm định thức
Cho ma trận vuông A= [a ij ] n×n cấp n.
+) Định thức của ma trận vuông A cấp n là một số thực, ký hiệu là det(A) (hoặc |A|) và được viết như sau: D= det(A) =|A|.
Nếu trong ma trận \( A \), khi xóa hàng \( i \) và cột \( j \), ta thu được ma trận vuông mới cấp \( (n-1) \), ký hiệu là \( M_{ij} \), được gọi là ma trận bù của phần tử \( a_{ij} \) Đối với định thức cấp 1, nếu \( A = [a] \) thì \( \text{det}(A) = a \) Đối với định thức cấp 2, ta có ma trận vuông cấp 2.
A a 11 a 12 a21 a22 Định thức của ma trận A được tính như sau: det(A) a 11 a 12 a 21 a 22
3 4 có giá trị là: D = 1.4 −3.2 = −2. Định thức cấp 3: Cho A= [a ij ] 3×3 là ma trận vuông cấp 3 Khi đó, định thức của ma trận A được định nghĩa như sau: det(A) a 11 a 12 a 13 a21 a22 a23 a 31 a 32 a 33
Sơ đồ (I) minh họa quy tắc tính các số hạng dương, trong khi sơ đồ (II) thể hiện quy tắc tính các số hạng âm, với mỗi dấu “•” trên sơ đồ đại diện cho từng phần tử của ma trận A.
Bước 1: Thêm cột 1 và cột 2 vào bên phải cột 3 của ma trận A Bước 2: Tính tổng các tích trên đường nét liền và trừ đi tổng các tích trên đường nét đứt đoạn.
Ví dụ 1.2.2 Tính định thức của ma trận A với
Ta có thể viết lại dưới dạng sau: det(A) =a 11 a 22 a 23 a 32 a 33
Công thức khai triển định thức cấp 3 theo cột thứ nhất cho phép tính toán giá trị của định thức Ngoài ra, ta có thể áp dụng công thức này để khai triển định thức cấp 3 theo cột thứ j, mở rộng khả năng tính toán cho các trường hợp khác nhau.
Tương tự ta có công thức khai triển định thức cấp 3 theo hàng thứ i như sau: det(A) 3
Ví dụ 1.2.3 Tính định thức
= (−20 +12)−(48 + 21) = −8−69=−77. Cách 2: Tính D bằng cách khai triển theo cột thứ nhất:
=−41−36 =−77. Định thức cấp n: Cho ma trận vuôngA= [a ij ] n×n cấpn Định thức cấp n của ma trận vuông A, được gọi là định thức cấp n, được xác định theo công thức: det(A) n
(−1) i+j a ij det(M ij ); j = 1;n. trong đó M ij là ma trận bù của phần tử a ij
Định thức của ma trận A được xác định bởi công thức trên không phụ thuộc vào chỉ số của cột Công thức này còn được gọi là công thức tính định thức cấp n thông qua việc khai triển theo một cột bất kỳ.
Tương tự, ta có công thức tính định thức cấp n bằng phương pháp khai triển định thức theo một hàng i bất kỳ: det(A) n
Ví dụ 1.2.4 Tính định thức
Giải Ta tính D bằng cách khai triển theo cột thứ nhất.
Các tính chất của định thức
Ta thừa nhận các tính chất sau của định thức. i) Nếu đổi chỗ hai hàng cho nhau thì định thức đổi dấu.
= 2. ii) Nếu nhân một hàng của định thức với một số λ thì định thức cũng được nhân lên với số λ đó.
= 4. iii) Nếu cộng vào một hàng của định thức với một bội của một hàng khác thì định thức không thay đổi.
Định thức có những tính chất quan trọng sau: Nếu cộng vào một hàng của định thức với một tổ hợp tuyến tính của các hàng còn lại, định thức không thay đổi Nếu định thức D có hai hàng giống nhau, thì định thức đó bằng 0 Tương tự, nếu có hai hàng tỉ lệ, định thức cũng bằng 0 Hơn nữa, nếu hàng thứ i (1≤i≤n) là tổ hợp tuyến tính của một số hàng còn lại, thì định thức sẽ bằng 0 Cuối cùng, tính chất cộng đối với mỗi hàng của định thức cũng rất quan trọng.
ã ã ã b i1 +c i1 b i2 +c i2 ã ã ã b in +c in an1 an2 ã ã ã ann a11 a12 ã ã ã a1n a 21 a 22 ã ã ã a 2n ã ã ã b i1 b i2 ã ã ã b in an1 an2 ã ã ã ann
+ a11 a12 ã ã ã a1n a 21 a 22 ã ã ã a 2n ã ã ã c i1 c i2 ã ã ã c in an1 an2 ã ã ã ann ix) Định thức của ma trận vuông A không thay đổi qua phép chuyển vị, hay
Định thức không thay đổi khi thực hiện phép chuyển vị, do đó mọi tính chất của định thức áp dụng cho hàng cũng sẽ đúng với cột Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n, thì định thức của tích hai ma trận này được tính theo công thức: $|AB| = |A| |B|$.
Khai triển định thức
Cho định thức cấp n của ma trận vuông A:
Kí hiệu M ij , 1 ≤ i, j ≤ n, là ma trận bù của phần tử a ij (ma trận thu được từ A bằng cách xóa hàng thứ i và cột thứ j của A).
Kí hiệu Aij = (−1) i+j Mij Ta gọi Aij làphần bù đại số của phần tửaij trong định thức D.
Ta có công thức khai triển định thức D theo các phần bù đại số như sau: i) Khai triển D theo hàng thứ i:
D = ai1Ai1+ ai2Ai2+ ã ã ã+ ainAin, với i= 1;n. ii) Khai triển D theo cột thứ j:
Ví dụ 1.2.10 Tính định thức
Giải Ta tính D bằng cách khai triển theo cột 1.
Tính định thức bằng phương pháp biến đổi sơ cấp
a Định thức của ma trận tam giác
Mệnh đề 1.2.11 Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính b Tính định thức bằng phương pháp biến đổi
Theo tính chất của định thức, ta có sự thay đổi của định thức qua 3 phép biến đổi sơ cấp như sau:
• Nếu đổi chỗ hai hàng thì định thức đổi dấu;
• Nếu nhân một hàng (một cột) của ma trận với k thì định thức của ma trận đó tăng lên k lần;
• Nếu cộng vào một hàng bội k của hàng khác thì định thức không đổi. Tính định thức |A| bằng phương pháp biến đổi A về ma trận tam giác:
Bước 1 Dùng các phép biến đổi sơ cấp biến ma trận A về ma trận tam giác B.
Bước 2 Tính định thức của ma trận tam giác B bằng cách tính tích các phần tử trên đường chéo chính của B.
Bước 3 Từ định thức |B|, tính ngược lại định thức |A| bằng cách sử dụng các tính chất của định thức đã nêu ở trên.
Ví dụ 1.2.12 Tìm định thức của ma trận sau bằng phương pháp biến đổi:
Ta có det(B) = 1, suy ra det(A) = 7.5.det(B) = 35.
Ma trận nghịch đảo
Khái niệm ma trận nghịch đảo
Định nghĩa 1.3.1 Ma trận vuông A cấp n được gọi là có nghịch đảo, hay gọi là khả nghịch, nếu tồn tại ma trận B vuông cấp n thỏa mãn đẳng thức:
Ma trậnB được gọi làma trận nghịch đảo của ma trận A, được ký hiệu là A −1
5 3 có ma trận nghịch đảo là A −1 3 −1
Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo
Ma trận vuông A được coi là không suy biến nếu định thức của nó khác không, tức là |A| ≠ 0 Theo định lý 1.3.3, ma trận A có ma trận nghịch đảo nếu và chỉ nếu A là ma trận không suy biến.
Chứng minh (⇒) Giả sử ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo, tức có ma trận vuông A −1 sao cho AA −1 = In, khi đó |A|
A −1 = |In| = 1, hay |A| 6= 0 tức A không suy biến.
(⇐) Giả sử ngược lại, ma trận vuôngA = [ai j]không suy biến tức |A| 6= 0. Gọi A i j là phần bù đại số của phần tử a i j , i, j = 1, 2, , n Ta chứng minh rằng, ma trận
là ma trận nghịch đảo của A Thật vậy, ta xét tích:
Sử dụng công thức khai triển định thức theo hàng, ta có nhận xét sau đây: n
Từ nhận xét này, ta suy ra
Các tính chất của ma trận nghịch đảo
i) Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông A nếu có là duy nhất.
Chứng minh Giả sử B và C là các ma trận nghịch đảo của ma trận A, ta có
AB = BA =I n , AC = CA =I n Từ đó:
B = BIn = B(AC) = (BA)C =InC = C. ii) Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo thì :
A −1 =|A| −1 iii) Nếu hai ma trận vuông cùng cấp A và B có ma trận nghịch đảo thì ma trận AB cũng có ma trận nghịch đảo và (AB) −1 =B −1 A −1
Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
a Phương pháp dùng định thức
Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận vuông cấp 3 sau:
- Tính định thức của ma trận A: D a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
- Nếu D= 0 thì A là ma trận suy biến và A không có ma trận nghịch đảo.
- Nếu D6= 0 thì A là ma trận không suy biến vàA có ma trận nghịch đảo là:
# , trong đó Aij là phần bù đại số của phần tử aij trong A Cụ thể hơn:
Giải Do det(A) = −16= 0 nên tồn tại A −1 Ta có
! b Phương pháp biến đổi sơ cấp hàng (hoặc cột)
Lập ma trận khối $[A,I]$, với $I$ là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trận vuông $A$ Thông qua các phép biến đổi sơ cấp liên tiếp trên các hàng, ta có thể chuyển đổi ma trận khối $[A,I]$ thành dạng $[I, B]$ Điều này đã được chứng minh.
B =A −1 Do đó ta thu được ma trận nghịch đảo A −1
Ví dụ 1.3.5 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:
Ứng dụng của ma trận nghịch đảo
Giải phương trình ma trận:
Cho các ma trận vuông A, B cùng cấp, A khả nghịch Tìm ma trận X sao cho: i) AX =B. ii) XA=B.
Giải. i) Nhân vào bên trái 2 vế của phương trình AX =B với A −1 ta có
A −1 AX =A −1 B ⇒InX =A −1 B ⇒X =A −1 B. ii) Tương tự, nhân vào bên phải 2 vế của phương trình XA=B với A −1 ta có
Hạng của ma trận
Khái niệm hạng của ma trận
Định nghĩa 1.4.1: Định thức con cấp k của ma trận A = (a_{ij})_{m \times n} được xác định bởi các phần tử nằm trên giao của k hàng và k cột bất kỳ trong ma trận A, với điều kiện 1 ≤ k ≤ m, n.
Ví dụ 1.4.2 Cho ma trận A"1 2 3 1
Các định thức con cấp 1 là định thức tạo bởi 1 phần tử của A.
Các định thức con cấp 2 của ma trận A được tính từ các phần tử nằm trên giao của hai hàng và hai cột bất kỳ Ví dụ, khi lấy giao của hàng 1 và hàng 3 với cột 2 và cột 4, ta sẽ có được một định thức con.
=−56= 0.Các định thức con cấp 3 của A là:
= 0. Định nghĩa 1.4.3 Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các định thức con khác không của A Kí hiệu hạng của ma trận A là rank (A).
Như vậy rank(A) =r khi và chỉ khi có một định thức con cấp r của A khác 0 và mọi định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) của A đều bằng 0.
Ví dụ 1.4.4 Tìm hạng của ma trận A"1 2 3 1
Theo ví dụ trên ta đã có tất cả định thức con cấp 3 của A đều bằng 0 và có một định thức con cấp 2 của A khác 0 Do đó, rank(A) = 2.
(i) Nếu A là ma trận cấp m×n thì rank (A) ≤ min{m, n}. (ii) Nếu A, B là ma trận cùng cấp thì rank (A+B) ≤ rank(A) + rank(B).
Các phương pháp tìm hạng của ma trận
a Phương pháp định thức bao quanh
Xuất phát từ một định thức con \(D_r\) không bằng 0 cấp \(r\) của ma trận \(A\), ta cần tính các định thức con cấp \(r+1\) bao quanh \(D_r\) (nếu có) Nếu tất cả các định thức con cấp \(r+1\) bao quanh \(D_r\) đều bằng 0, hoặc ma trận không có định thức con cấp \(r+1\) (khi \(r\) đã bằng số dòng hoặc số cột của ma trận), thì hạng của ma trận bằng \(r\) Ngược lại, nếu có một định thức con \(D_{r+1}\) khác 0 trong số các định thức con cấp \(r+1\) bao quanh \(D_r\), ta sẽ tiếp tục xét các định thức con cấp \(r+2\) của \(A\) bao quanh \(D_{r+1}\) (nếu có).
Lặp lại quá trình này, sau một số hữu hạn bước ta sẽ xác định được hạng của ma trận.
Ví dụ 1.4.6 Xét ma trận cấp 3×4 sau
Nhận thấy có định thức con cấp 2 của A là
Tính tiếp các định thức con cấp 3 của A bao quanh D 2 , thấy:
Ví dụ 1.4.7 Tìm hạng của ma trận sau bằng phương pháp tính định thức:
Tính định thức của ma trận đã cho: D m 1 1
- Nếu m 6= 1, m 6=−2 thì D 6= 0 và ma trận đã cho là không suy biến, do đó nó có hạng là 3.
- Nếu m = 1 thì ma trận đã cho có mọi định thức con cấp 2 đều bằng 0, do đó nó có hạng là 1.
- Nếu m=−2 thì D= 0 và ma trận đã cho có một định thức con cấp 2 khác
Hạng của ma trận là 2, và các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của nó Để xác định hạng của ma trận, có thể áp dụng thuật toán tìm hạng dựa trên các định lý liên quan.
- Dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận ban đầu về dạng bậc thang.
Hạng của ma trận ban đầu được xác định bởi số hàng khác 0 của ma trận bậc thang Phương pháp Gauss, thông qua các phép biến đổi sơ cấp trên hàng hoặc cột, được sử dụng để tìm hạng của ma trận.
Ví dụ 1.4.9 Bằng phép các biến đổi sơ cấp, hãy tìm hạng của ma trận sau:
1 Ma trận cấp m×n là một bảng số hình chữ nhật gồm mn số được xếp thành m hàng và n cột.
2 Các ma trận đặc biệt: ma trận không, ma trận tam giác, ma trận đường chéo, ma trận đơn vị, ma trận chuyển vị, ma trận đối xứng, ma trận phản đối xứng.
3 Các phép toán ma trận: phép cộng hai ma trận, phép nhân ma trận với một số, phép nhân hai ma trận, phép lũy thừa ma trận.
- Chú ý điều kiện về cấp ma trận để thực hiện được các phép toán
- Tính chất của các phép toán, trong đó chú ý phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán.
4 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận, ma trận bậc thang
- Ba phép cơ biến đổi sơ cấp cơ bản.
- Biến đổi ma trận bất kỳ về ma trận bậc thang.
- Quy tắc tính định thức cấp 3.
- Các tính chất của định thức.
- Định nghĩa và điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo.
- Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận các phần bù đại số và phương pháp Gauss.
- Định nghĩa, tìm hạng ma trận bằng định thức bao quanh và phương pháp Gauss.
Kiểm tra, giải thích và phản biện lại các khẳng định sau đây:
1 Phép cộng hai ma trận cùng cấp có tính chất giao hoán và kết hợp.
2 Phép nhân ma trận (nếu tồn tại) có tính chất giao hoán.
3 Phép nhân ma trận (nếu tồn tại) có tính chất kết hợp.
4 Phép cộng hai ma trận cùng cấp luôn thực hiện được.
5 Phép nhân hai ma trận cùng cấp luôn luôn thực hiện được.
6 (AB) 2 =A 2 B 2 với mọi ma trận vuông A, B cùng cấp.
7.(AB) 2 =A 2 B 2 với mọi ma trận vuôngA, B cùng cấp và thỏa mãnAB
8 (A+B) 2 =A 2 +B 2 + 2AB với mọi ma trận vuông A, B cùng cấp.
9 (A+B) 2 =A 2 +AB+B 2 +BA với mọi ma trận vuông A, B cùng cấp.
10 (A+B) 2 =A 2 +B 2 với mọi ma trận vuông A, B cùng cấp.
11 Phép cộng hai ma trận bất kỳ luôn luôn thực hiện được.
12 Tổng hai ma trận không suy biến cùng cấp là ma trận không suy biến.
13 Khi nhân một số với ma trận, ta phải nhân số đó với mọi phần tử của ma trận.
Bài tập 1.1 Tính 3A; (A+B) +C; A+ (B+C), A t , B t , C t trong trường hợp sau:
Bài tập 1.2 Thực hiện phép nhân các ma trận: a)
(1 2 3) Bài tập 1.3 Thực hiện các phép tính sau: a)
. Bài tập 1.4 Tính AB−BA nếu
Bài tập 1.5 Chứng minh rằng nếu AB thì a) (A+B) 2 =A 2 + 2AB+B 2 ; b) A 2 −B 2 = (A+B)(A−B).
Bài tập 1.6 Tìm tất cả các ma trận A cấp hai sao cho A 2 = 0.
Bài tập 1.7 Kiểm tra lại tính chất kết kết hợp (AB)C = A(BC) cho trường hợp sau
Bài tập 1.8 Tính A t ;B t ;A t B t ;B t A t ; (AB) t ; (BA) t và (A+B) t trong trường hợp sau
Bài tập 1.9 Tính các định thức cấp hai a)
Bài tập 1.10 Tính các định thức cấp ba a)
−1 −1 1 0 bằng cách khai triển theo các phần tử của hàng thứ ba. b) Tính
1 1 1 t bằng cách khai triển theo các phần tử của cột bốn.
Bài tập 1.14 Tính các định thức sau a)
Bài tập 1.15 1 Tính các định thức sau det(A) a 3 0 5
2 Tam giác ABC có tính chất gì, nếu ba góc của nó thoả mãn điều kiện
, trong đó a, b, c là ba nghiệm của phương trình x 3 +px+q= 0.
Bài tập 1.16 Không khai triển định thức, chứng minh rằng a) a1 b1 a1x+b1y+c1 a 2 b 2 a 2 x+b 2 y+c 2 a 3 b 3 a 3 x+b 3 y+c 3 a1 b1 c1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3
Bài tập 1.17 Biết rằng các số 1020,1054,255,544 chia hết cho 17 và các số
276,1127,1311,1426 chia hết cho 23 Không khai triển định thức, chứng minh rằng: a)
Bài tập 1.18 Giải các phương trình sau a)
Bài tập 1.19 Tính định thức Vandermonde
Bài tập 1.20 Dùng phương pháp ma trận phần bù đại số để tính ma trận nghịch đảo (nếu có) của các ma trận a) A 1 2
! Bài tập 1.21 Cho ma trận chéo
trong đó a11a22 ann 6= 0 Chứng minh rằng A khả nghịch và tìm A −1
Bài tập 1.22 Chứng minh rằng nếuAlà ma trận vuông thỏa mãnA 2 −3A+I = 0 thì A −1 = 3I −A.
Bài tập 1.23 Cho hai ma trận vuông A, B sao cho AB = 0 Chứng minh rằng
A không thể khả nghịch trừ khi B = 0.
Bài tập 1.24 Hỏi các ma trận sau có khả nghịch hay không, nếu có hãy tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phần bù đại số a) A 2 −1
#.Bài tập 1.25 Tìm ma trận X sao cho XA=B, trong đó: a) A "1 1 2
Bài tập 1.26 Tìm ma trận X sao cho AX =B, trong đó a) A "1 2 −3
Bài tập 1.27 Dùng phương pháp Gauss−J ordantính ma trận nghịch đảo của các ma trận sau a) A1 2
Bài tập 1.28 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận phức
Bài tập 1.29 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận tam giác sau
Bài tập 1.30 Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n và P là ma trận đường chéo thỏa mãn điều kiện A=BP B −1 Chứng minh rằng
A k =BP k B −1 ,∀k ∈N. Áp dụng cho trường hợp
Bài tập 1.31 Cho k ∈N và A= [a ij ] n sao choA k = 0 (ma trận không) Chứng minh
(In−A) −1 =In+A+A 2 +ã ã ã+A k−1 , trong đó I n là ma trận đơn vị cấp n.
Bài tập 1.32 Tìm tất cả các ma trận B giao hoán với ma trận
Bài tập 1.33 yêu cầu nghiên cứu ánh xạ f: M n (C) −→ M n(C), được định nghĩa bởi f(A) = A T cho mọi A ∈ M n (C), trong đó A T là ma trận chuyển vị của A Đầu tiên, cần chứng minh rằng f là song ánh Tiếp theo, chứng minh tính chất f(A+B) = f(A) + f(B) cho mọi A, B ∈ M n (C) Đối với ma trận B = [b ij ] n ∈ M n (C) thỏa mãn điều kiện b ij b ij = 0, cần tìm f −1 (B) Cuối cùng, xem xét ma trận X = [xij]n ∈Mn(C) với điều kiện xij = 1 nếu i=j.
Hai ma trận vuông cùng cấp A và B được coi là đồng dạng nếu tồn tại một ma trận khả nghịch P sao cho $A = P^{-1}BP$ Để chứng minh rằng nếu A và B đồng dạng thì $A^2$ và $B^2$ cũng đồng dạng, ta cần chỉ ra sự tồn tại của một ma trận khả nghịch biến đổi giữa chúng Hơn nữa, nếu A và B đồng dạng, chúng sẽ có cùng hạng, điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của các ma trận đồng dạng và hạng của chúng.
Bài tập 1.35 Tìm hạng của các ma trận sau a) A"2 −1 3 −2 4
Bài tập 1.36 Xác định hạng của các ma trận sau tùy theo λ (với λ∈R) a) A
Bài tập 1.37 Tìm hạng của các ma trận sau theo tham số a a) A
. Bài tập 1.38 Cho các ma trận
#.Tìm a để rank(M) = 2 và tìm b để rank(N) = 3.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Hệ phương trình tuyến tính là một phần quan trọng trong Đại số tuyến tính, với nhiều ứng dụng thực tiễn trong các ngành tự nhiên và kỹ thuật Nó xuất phát từ việc khảo sát các mối quan hệ tuyến tính giữa các đại lượng Với sự phát triển của công nghệ thông tin, ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính ngày càng mở rộng, bao gồm phân phối dòng điện trong các sơ đồ ghép nối, giải gần đúng các bài toán lý thuyết thế vị, và các vấn đề bức xạ điện từ Ngoài ra, nó còn được sử dụng trong việc phân phối vận tốc dòng nước trong hệ thống thủy lực phức tạp và ứng dụng giải tích thống kê trong tâm lý học, xã hội học và kinh tế học.
Hệ phương trình tuyến tính đã được biết đến từ rất sớm, với tài liệu lịch sử ở Trung Quốc vào khoảng năm 500 trước công nguyên, chỉ ra việc sử dụng bàn tính để giải quyết các hệ phương trình tuyến tính thông qua thuật toán khử Gauss Tại châu Âu, thuật toán này đã được Buteo mô tả vào năm 1550, trước Gauss hơn hai thế kỷ Một phương pháp khác để giải hệ phương trình tuyến tính là định thức của Cramer Mặc dù có vẻ như việc giải hệ phương trình tuyến tính đã trở nên lỗi thời và có thể giải quyết bằng các phương pháp tính toán đơn giản, thực tế cho thấy hầu hết các bài toán thực tiễn yêu cầu khảo sát nhiều phương trình đồng thời, đôi khi lên đến hàng ngàn phương trình Điều này tạo ra những thách thức lớn, khiến việc giải quyết chỉ bằng phương pháp sơ cấp gần như không khả thi Tuy nhiên, với sự hỗ trợ của máy tính và các thuật toán mới, hệ phương trình tuyến tính đã được ứng dụng hiệu quả để giải quyết nhiều bài toán thực tiễn.
Chương này giúp sinh viên nắm vững kiến thức về hệ phương trình tuyến tính và các phương pháp giải bằng phép biến đổi sơ cấp Sinh viên sẽ học cách giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, đồng thời phát triển kỹ năng phân tích, giải thích và lập luận để xử lý các bài toán liên quan Ngoài ra, chương cũng khuyến khích sinh viên tự đọc tài liệu theo hướng dẫn của giáo viên.
Bài viết này trình bày các khái niệm quan trọng liên quan đến hệ phương trình tuyến tính, bao gồm điều kiện để tồn tại nghiệm và công thức nghiệm Cramer Ngoài ra, bài viết cũng đề cập đến thuật toán giải hệ phương trình tuyến tính cũng như hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
Hệ phương trình tuyến tính có thể được viết dưới dạng tổng quát và ma trận Chúng ta có thể giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer và xác định xem hệ có nghiệm hay vô nghiệm Ngoài ra, việc giải hệ phương trình tuyến tính còn có thể thực hiện thông qua phương pháp biến đổi sơ cấp Cuối cùng, cần giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính để đưa ra kết luận chính xác.
Bước đầu áp dụng một số phần mềm toán học để thực hiện tính toán và giải quyết các bài tập cơ bản liên quan đến ma trận, hệ phương trình tuyến tính, không gian vectơ và ánh xạ tuyến tính.
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
Khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính tổng quát 39
Định nghĩa 2.1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát trên tập sốK (K =R hoặc K =C) là một hệ gồm m phương trình bậc nhất đối với n ẩn (m, n∈ N ∗ ) như sau:
Ta có thể viết hệ (1) dưới dạng vắn tắt: n
• a ij được gọi là cỏc hệ số, i= 1, ã ã ã , m;j = 1;n.
• b 1 , b 2 ,ã ã ã, b m được gọi là cỏc hệ số tự do.
• xj, j = 1, ã ã ã , n được gọi là cỏc ẩn.
Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính tổng quát 40
Cho hệ phương trình (1) Ta ký hiệu
Khi đó hệ (1) được viết dưới dạng ma trận:
• A là ma trận các hệ số,
• [x] là ma trận cột các ẩn,
• [b] là ma trận cột các hệ số tự do,
là ma trận bổ sung (hay ma trận mở rộng) của hệ phương trình (1).
Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát
Một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính n ẩn là một bộ số thuộc K có thứ tự (α₁; α₂; ; αₙ) sao cho khi gán x₁ = α₁, x₂ = α₂, , xₙ = αₙ vào tất cả các phương trình của hệ, ta thu được các đẳng thức đúng.
- Nghiệm của hệ phương trình (1) có thể viết dưới một trong ba dạng sau:
- Giải một hệ phương trình tuyến tính có nghĩa là tìm tập hợp tất cả các nghiệm (tập nghiệm) của hệ phương trình đó.
- Nếu các biến số của hệ phương trình tuyến tính (1) nhận giá trị trong các tập số (ví dụ R hay C), thì chỉ có ba trường hợp sau xảy ra:
• hệ không có nghiệm (vô nghiệm);
• hệ có duy nhất một nghiệm;
• hệ có vô số nghiệm.
Hệ phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương
a Hệ phương trình tương đương
Hai hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số $x_1, x_2, \ldots, x_n$ được coi là tương đương nếu chúng có chung tập hợp nghiệm Điều này có nghĩa là mỗi nghiệm của hệ này cũng là nghiệm của hệ kia, và ngược lại, hoặc cả hai hệ đều không có nghiệm.
Khi giải một hệ phương trình tuyến tính, cần thực hiện các phép biến đổi tương đương để đưa hệ phương trình về dạng thuận tiện, giúp xác định nghiệm dễ dàng hơn.
Một phép biến đổi biến một hệ phương trình tuyến tính thành một hệ mới tương đương được gọi là phép biến đổi tương đương.
Các phép biến đổi sơ cấp trên hệ phương trình tuyến tính:
+) Đổi chỗ hai phương trình của hệ
Nhân hai vế của một phương trình trong hệ với một phần tử $k \in K$ và cộng các vế của một phương trình với bộ của hai vế của một phương trình khác trong hệ Định lý 2.1.3 khẳng định rằng các phép biến đổi sơ cấp trên hệ phương trình tuyến tính là các phép biến đổi tương đương.
Thực hiện các phép biến đổi tương đương trên hệ phương trình tuyến tính tương đương với việc áp dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận bổ sung A.
TT Biến đổi trên hệ phương trình Biến đổi trên ma trận A
1 Đổi chỗ 2 phương trình Đổi chỗ 2 hàng của A
2 Nhân hai vế của một phương trình Nhân một hàng của A với k6= 0 với k 6= 0.
3 Cộng vế theo vế vào một phương trình Cộng vào một hàng của A với với bội k của 2 vế của phương trình khác bội k 6= 0 của hàng khác.
Hệ phương trình tuyến tính Cramer
Khái niệm hệ phương trình tuyến tính Cramer
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát được gọi là hệ phương trình Cramer khi số lượng phương trình bằng số lượng ẩn (m = n) và ma trận hệ số A không suy biến.
Vậy hệ phương trình tuyến tính Cramer là hệ có dạng :
Công thức nghiệm Cramer
Định lý Cramer (Định lý 2.2.2) khẳng định rằng hệ phương trình tuyến tính Cramer có nghiệm duy nhất, được xác định bởi công thức: $x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)}$, với $j = 1, 2, \ldots, n$ Ở đây, $A_j$ là ma trận thu được từ ma trận $A$ bằng cách loại bỏ cột thứ $j$ và thay thế bằng cột các hệ số tự do $b_1, b_2, \ldots, b_n$.
Chứng minh Vì det(A) 6= 0 nên tồn tại A −1 Từ dạng ma trận Ax = b của hệ phương trình (4), ta có:
Ta suy ra x=A −1 b Do đó
, trong đó A ij là phần bù đại số của phần tử a ij trong A Suy ra x j = A j1 b 1 +A j2 b 2 + +A jn b n det(A) = det(A j ) det(A), với j = 1;n.
Ví dụ 2.2.3 Giải hệ phương trình sau
1+x 2 −x 3 = 1 x1−x2+x3=−1 3x 1 + 2x 2 +x 3 = 0 Giải Hệ đã cho có số phương trình bằng số ẩn với ma trận hệ số là
Hệ phương trình đã cho là hệ Cramer do có định thức $det(A) = -9 \neq 0$ Theo Định lý Cramer, hệ này chỉ có một nghiệm duy nhất $(x_1, x_2, x_3)$, được xác định theo công thức: $$x_1 = \frac{det(A_1)}{det(A)}.$$
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (0,1
Giải hệ phương trình tuyến tính bằng biến đổi sơ cấp
Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Để xác định xem hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm hay không, ta có thể dựa vào hạng của ma trận hệ số và hạng của ma trận mở rộng Theo Định lý Kronecker – Capelli, điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hạng của ma trận mở rộng bằng hạng của ma trận hệ số, tức là hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi rank(A) = rank(A).
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính
Phương pháp khử ẩn liên tiếp, hay còn gọi là phương pháp Gauss, là một kỹ thuật giải hệ phương trình tuyến tính bằng cách loại bỏ dần các ẩn số Phương pháp này giúp đưa hệ phương trình về dạng tam giác hoặc dạng bậc thang, từ đó dễ dàng tìm ra nghiệm của hệ.
Bước 1 Lập ma trận bổ sung B
Bước 2 Thực hiện 3 phép biến đổi số cấp sau đây trên các hàng của ma trận B để đưa B về dạng bậc thang:
1) Đổi chỗ hai hàng cho nhau.
2) Nhân vào mỗi hàng với số thực khác 0.
3) Cộng vào một hàng một tổ hợp tuyến tính của các hàng còn lại.
Bước 3 Ta thu được một hệ phương trình tương đương dạng hình thang và tiến hành giải hệ này bằng cách rút nghiệm từ dưới lên.
Ví dụ 2.3.2 Giải hệ phương trình:
3x 1 −4x 2 +x 3 = 15 Giải Ma trận mở rộng:
Các phép biến đổi khử ẩn được thực hiện trên ma trận mở rộng như sau:
Ma trận cuối cùng là ma trận mở rộng của hệ phương trình dạng tam giác:
−100x 3 =−200 Giải hệ này ta được một nghiệm duy nhất (3; −1; 2).
Ví dụ 2.3.3 Giải hệ phương trình:
Giải Viết ma trận mở rộng của hệ phương trình tuyến tính đã cho:
. Các phép biến đổi sơ cấp được thực hiện trên ma trận mở rộng như sau:
Ma trận cuối cùng chính là ma trận mở rộng của hệ phương trình sau đây(tương đương với hệ đã cho):
Hệ phương trình này có phương trình thứ tư vô nghiệm, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 2.3.4 Giải hệ phương trình:
Như vậy hệ đã cho trở thành
Do đó, hệ có vô số nghiệm theo 2 ẩn tự do:
Ví dụ 2.3.5 Giải hệ phương trình:
1+ 2x 2 + 3x 3 −4x 4 + 2x 5 = 4 2x1+ 5x2 +x3−7x4+ 2x5 = 3 3x 1 + 8x 2 −2x 3 −6x 4 + 2x 5 = 5 Giải Ma trận mở rộng:A"1 2 3 −4 2
# Các phép biến đổi được thực hiện trên ma trận mở rộng như sau:
Từ ma trận cuối cùng, ta có nghiệm của hệ phương trình:
Có thể tiếp tục biến đổi ma trận bổ sung để đưa định thức con khác 0 có cấp cao nhất của ma trận hệ số về dạng ma trận đơn vị, từ đó suy ra nghiệm bằng phương pháp Gauss-Jordan.
( x + 3y + 2z = 1 2x+y+ 3z = 0 3x+ 2y+z = −1 Giải Thực hiện các phép biến đổi trên các hàng ta có
Vậy hệ có nghiệm là x = −2
Ví dụ 2.3.6 Giải hệ phương trình:
Vậy, hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ 2.3.7 Giải và biện luận hệ phương trình sau đây theo tham số thực m
Giải Tính định thức các hệ số của hệ phương trình đã cho:
1) Nếu m6= 1, m6=−2thì D6= 0, do đó hệ đã cho là hệ Cramer và có nghiệm duy nhất Vì x, y, z có vai trò bình đẳng trong hệ phương trình cho nên: x=y=z = Dx
2) Nếu m= 1 thì hệ trở thành: x+y+z = 1 Do đó, hệ có vô số nghiệm:
3) Nếu m=−2 thì hệ trở thành:
Cộng ba phương trình của hệ lại, ta có: 0x+ 0y+ 0z = 3.
Do đó, trong trường hợp này hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Khái niệm hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ phương trình mà tất cả các hệ số tự do đều bằng 0 Cụ thể, nó có dạng: $$\begin{align*}a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n &= 0 \\b_1x_1 + b_2x_2 + \ldots + b_nx_n &= 0 \\&\vdots \\m_1x_1 + m_2x_2 + \ldots + m_nx_n &= 0\end{align*}$$
Nhận xét 2.4.2 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (8) luôn luôn có ít nhất một nghiệm tầm thường, đó là nghiệm (0, 0, , 0).
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm khác tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số A nhỏ hơn số ẩn Ngoài ra, hệ thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn sẽ có nghiệm khác tầm thường nếu ma trận hệ số A là suy biến, tức là định thức của A bằng 0.
Ví dụ 2.4.4 Giải hệ phương trình
1 −x 2 + 5x 3 + 7x 4 = 0 4x1−2x2+ 7x3+ 5x4= 0 2x 1 −x 2 +x 3 −5x 4 = 0 Giải Ma trận hệ số:
Ma trận hệ số cuối cho hệ phương trình:
Giải hệ này theo phương pháp đã biết, ta được nghiệm tổng quát:
Hệ nghiệm cơ bản
Khi mỗi tham số trong biểu thức nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất được gán giá trị 1, trong khi các tham số còn lại nhận giá trị 0, ta thu được một hệ các nghiệm cụ thể Hệ này được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
Ví dụ 2.4.6 Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
Ta dùng phương pháp Gauss để giải:
Do đó, hệ đã cho tương đương với hệ x 1 + 2x 2 =−4x 3 + 3x 4
Hạng của ma trận hệ số của hệ phương trình là 2, do đó hệ có nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số Để xác định hệ nghiệm cơ bản, ta gán x3 và x4 các giá trị cụ thể.
Do đó, tìm được hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình. α1 = (8,−6,1,0), α2 = (−7,5,0,1).
Liên hệ nghiệm với hệ phương trình tuyến tính tổng quát 49
Sự liên hệ giữa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát và hệ phương trình tuyến tính thuần nhất được thể hiện qua Định lý 2.4.7 Cụ thể, khi xem xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát với n phương trình, ta có thể phân tích mối quan hệ giữa các nghiệm của hai hệ này để hiểu rõ hơn về tính chất và cấu trúc của chúng.
X j = 0 a ij x j = b i (i= 1, , m) (∗) và hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng: n
Giả sử hệ phương trình (*) có nghiệm, ta có các tính chất sau: Thứ nhất, tổng của một nghiệm của hệ (*) và một nghiệm của hệ (**) cũng là một nghiệm của hệ (*) Thứ hai, hiệu của hai nghiệm của hệ (*) tạo thành một nghiệm của hệ (**) Cuối cùng, nếu N là tập hợp nghiệm của hệ (**), thì L=c+N={c+α | α∈N} sẽ là tập hợp nghiệm của hệ (*), trong đó c=(c1, c2, , cn) là một nghiệm tùy ý của hệ (*).
Các kết luận 1) và 2) là hiển nhiên Để chứng minh kết luận 3), ta thấy rằng bộ n số thực $t = (t_1, t_2, , t_n)$ là nghiệm của hệ (*) khi và chỉ khi bộ số $t - c$ cũng là nghiệm của hệ (*) tức là nếu và chỉ nếu $t - c \in \mathbb{N}$, hay tương đương là $t \in L$.
Liên hệ giữa định thức, ma trận nghịch đảo, hạng ma trận và hệ phương trình tuyến tính
phương trình tuyến tính Định lí 2.4.8 Cho ma trận vuông A cấp n Các phát biểu sau là tương đương: (i) A không suy biến (hay det(A)6= 0).
(iv) Hệ phương trình tuyến tính AX =B có nghiệm duy nhất.
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $AX = 0$ chỉ có nghiệm tầm thường nếu và chỉ nếu ma trận vuông $A$ cấp $n$ là ma trận suy biến, tức là $det(A) = 0$.
(iv) Hệ phương trình tuyến tính AX =B vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm.(v) Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 có nghiệm khác tầm thường.
A Các kiến thức cần nắm vững
1 Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính (pttt)
- Định nghĩa, dạng tổng quát, dạng thu gọn và dạng ma trận của hệ pttt.
Hệ phương trình tương đương và các phép biến đổi tương đương đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán toán học Cần chú ý đến sự tương ứng giữa các phép biến đổi tương đương của hệ phương trình và các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận mở rộng, giúp tối ưu hóa quá trình giải.
2 Hệ phương trình tuyến tính Cramer.
- Định nghĩa và công thức nghiệm Cramer.
3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng biến đổi sơ cấp.
- Điều kiện có nghiệm của hệ pttt, định lý Kronecker-Capelli.
- Phương pháp giải một hệ pttt bậc thang, cách chọn ẩn ràng buộc, ẩn tự do.
- Phương pháp biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss) giải hệ pttt.
- Giải và biện luận hệ pttt.
4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
- Định nghĩa, các tính chất nghiệm, điều kiện hệ pttt thuần nhất có nghiệm khác nghiệm tầm thường.
- Liên hệ nghiệm giữa nghiệm của hệ pttt tổng quát và hệ pttt thuần nhất tương ứng.
B Các kỹ năng cần rèn luyện
- Xác định một hệ là hệ Cramer và áp dụng công thức Cramer.
- Xác định một hệ pttt có nghiệm hay vô nghiệm.
- Giải một hệ pttt bằng phương pháp biến đổi sơ cấp.
- Giải và biện luận hệ pttt.
- Tìm một hệ nghiệm cơ bản của hệ pttt thuần nhất.
C Vận dụng lý thuyết đã học
- Giải các dạng toán bài tập cụ thể.
- Ứng dụng các công thức, phương pháp tính toán và thực tiễn các bài toán về mô hình kinh tế, kỹ thuật.
VẤN ĐỀ THẢO LUẬNThảo luận các vấn đề sau đây:
1 Hệ phương trình tuyến tính Cramer là hệ có số phương trình bằng số ẩn.
2 Hệ phương trình tuyến tính Cramer có thể có vô số nghiệm.
3 Nếu A là ma trận vuông không suy biến cấp n thì rank(A) = n.
3 Hai phương pháp chính để giải hệ phương trình tuyến tính: Phương pháp dùng quy tắc Cramer, phương pháp Gauss.
4 Khi hệ phương trình tuyến tính vô nghiệm, dù giải bằng phương pháp Gauss hay đưa về sử dụng quy tắc Cramer, ta có nhiều cách chọn biến tự do.
5 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn luôn có nghiệm tầm thường. Khi nào hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm khác nghiệm tầm thường.
6 Để giải một hệ phương trình tuyến tính ta có thể tìm một nghiệm riêng của hệ và nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng, và từ đó suy ra nghiệm của hệ cần tìm thế nào.
7 Tại sao hệ phương trình phương trình tuyến tính tổng quát gồm m phương trình của n ẩn, với ma trận hệ số và ma trận mở rộng lần lượt là A và A, có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi rank(A) = rank(A) = n?
Bài tập 2.1 Áp dụng định lý Cramer giải các hệ sau a)
Bài tập 2.2 Hỏi các mệnh đề sau đúng hay sai a) Theo định lý Cramer, nếu det(A) 6= 0 thì hệ phương trình tuyến tính
AX =B vô nghiệm. b) Theo định lý Cramer, nếu hệ phương trình tuyến tính AX = 0 có nghiệm không tầm thường thì det(A) = 0.
Bài tập 2.3 Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình a)
Bài tập 2.4 Hãy giải các hệ sau bằng cách tính ma trận nghịch đảo a)
−3x+ 2y =−6 2x+ 4y = 1 Bài tập 2.5 Giải các hệ phương trình sau a)
Bài tập 2.6 Với các giá trị nào của a thì hệ sau đây không có nghiệm duy nhất. a) x−2y= 5
x−y+ 2z = 3 2x+ay+ 3z = 1 3x+ 3y+z= 4 Bài tập 2.7 Xác định a để hệ sau có nghiệm không tầm thường a)
Bài tập 2.8 Áp dụng phương pháp Gauss để giải các hệ sau: a)
−2x 1 −4x 2 −4x 3 −x 4 +x 5 =−32x 1 + 4x 2 + 4x 3 + 7x 4 −x 5 = 9Bài tập 2.9 Giải các hệ phương trình sau đây
Bài tập 2.10 Giải hệ phương trình sau với x, y, z, t∈R
(3−i)x+ (4−2i)y+ (1 + i)z+ 4it= 2−i Bài tập 2.11 Giải và biện luận các hệ phương trình sau đây theo tham số a. 1.
Bài tập 2.12 Tìm điều kiện để các hệ phương trình sau có nghiệm a)
ax+y+z = 1 x+by+z = 1 x+y+cz = 1Bài tập 2.13 Tìm điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng sau trên mặt phẳng đồng qui: a 1 x+b 1 y+c 1 = 0;a 2 x+b 2 y+c 2 = 0;a 3 x+b 3 y+c 3 = 0.
Bài tập 2.14 Giải và biện luận các hệ phương trình sau đây theo tham số a.
x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 0 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 +x 4 = 1 3x1+ 4x2+ax3+ 5x4 =a x 1 +x 2 +x 3 −3x 4 = 1 3x 1 + 4x 2 + 5x 3 −2x 4 = 2, Bài tập 2.15 Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo các tham số: a)
ax+by=c cy+az =b bz+cx=a e)
Khái niệm không gian vectơ bắt nguồn từ vật lý, nơi các vectơ được sử dụng để biểu diễn các đại lượng như vận tốc, lực tác động và lực điện từ Vào cuối thế kỷ 17, Descartes đã phát triển phương pháp tọa độ, giúp đồng nhất mỗi vectơ trong mặt phẳng với một cặp số (hoành độ và tung độ) và trong không gian với bộ ba số Các phép toán vectơ như cộng và nhân với số có thể được chuyển đổi tương ứng sang phép toán trên các bộ số, đồng thời thỏa mãn một số tính chất nhất định Điều này đã dẫn đến việc khái quát hóa khái niệm vectơ, với các đối tượng khác như đa thức và hàm số cũng có các phép toán tương tự Khái niệm không gian vectơ 3 đã được đề cập trong các công trình về số quaternion của nhà toán học Hamilton vào năm 1843.
Hamilton đã sử dụng các số quaternion để nghiên cứu các vấn đề toán lý, dẫn đến việc Maxwell và Gibbs phát triển lý thuyết không gian vectơ 3 chiều Khái niệm không gian vectơ 4 chiều được Einstein áp dụng trong thuyết tương đối Hiện nay, lý thuyết không gian vectơ nhiều chiều được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và các ngành khoa học khác.
Chương này giúp sinh viên nắm vững kiến thức về không gian vectơ và không gian vectơ con, cùng với các tính chất độc lập và phụ thuộc tuyến tính của hệ vectơ Sinh viên sẽ phát triển kỹ năng phân tích, giải thích và lập luận để giải quyết các bài toán liên quan đến không gian vectơ, kiểm tra tính độc lập và phụ thuộc tuyến tính, cũng như tìm cơ sở và số chiều của không gian vectơ con.
CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG
Bài viết trình bày các khái niệm cơ bản trong không gian vectơ, bao gồm tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, và phụ thuộc tuyến tính Ngoài ra, nó cũng đề cập đến hệ sinh, cơ sở, và số chiều của không gian vectơ Các khái niệm về tọa độ của vectơ đối với một cơ sở, ma trận tọa độ và ma trận đổi cơ sở cũng được giải thích rõ ràng, giúp người đọc hiểu sâu hơn về cấu trúc và tính chất của không gian vectơ.
Bài viết này trình bày các phương pháp giải quyết bài toán về không gian vectơ, bao gồm việc chứng minh không gian con, xác định xem một vectơ có phải là tổ hợp tuyến tính của một hệ vectơ đã cho hay không, và kiểm tra tính độc lập cũng như phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ Ngoài ra, bài viết còn hướng dẫn cách tìm cơ sở và số chiều của không gian vectơ, xác định tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở nhất định, và tìm ma trận đổi cơ sở.
Khái niệm không gian vectơ
Các khái niệm cơ bản
Không gian vectơ được định nghĩa là một tập hợp không rỗng, ký hiệu là $V$ Tập hợp $V$ được gọi là một không gian vectơ trên trường $K$ (hay K-không gian vectơ) nếu nó có hai phép toán xác định.
• Phép nhân với vô hướng:
:K×V →V; (λ, x)7→λx thỏa mãn các tiên đề sau đây:
Trong phép cộng, có một số tính chất quan trọng Đầu tiên, phép cộng có tính chất kết hợp, tức là $x + (y + z) = (x + y) + z$ với mọi $x, y, z \in V$ Thứ hai, phép cộng có tính chất giao hoán, nghĩa là $x + y = y + x$ với mọi $x, y \in V$ Thứ ba, tồn tại một phần tử không, ký hiệu là $\theta \in V$, sao cho $x + \theta = x$ với mọi $x \in V$ Cuối cùng, với mỗi $x \in V$, tồn tại một phần tử đối $y \in V$ sao cho $x + y = \theta = y + x$.
+) Đối với phép nhân với vô hướng: v) Phép nhân với vô hướng tương thích (kết hợp):
(λà)x = λ(àx);∀λ, à∈K;∀x∈V. vi) Phép nhân với vô hướng phân phối đối với phép cộng: λ(x + y) = λx+λy;∀λ ∈K;∀x, y ∈V. vii) Phép nhân với vô hướng phân phối đối với phép cộng vô hướng:
(λ+à)x = λx+àx; ∀λ, à∈K;∀x∈V. viii) Tiên đề Unita: 1x = x,∀x∈V, với 1 là phần tử đơn vị của tập số K. Giả sử V là một K-không gian vectơ Khi đó:
• Mỗi phần tử của không gian vectơ V được gọi là một vectơ
• Mỗi phần tử của K được gọi là một vô hướng.
• Vectơ θ nói trong tiên đề (3) được gọi là vectơ không của V.
• Phần tử −x nói ở tiên đề (4) được gọi là vectơ đối của x trong V.
•Không gian vectơ trên tập số thực R, trên tập số phứcCcòn được gọi tương ứng là không gian vectơ thực và không gian vectơ phức.
Chú ý: Phép trừ hai vectơ được định nghĩa từ phép cộng hai vectơ như sau:
Một số ví dụ
Tập hợp E 2 bao gồm các vectơ hình học bắt nguồn từ một điểm O cố định trong mặt phẳng (P) Với phép cộng theo quy tắc hình bình hành và phép nhân mỗi số thực với một vectơ, tập hợp này tạo thành một không gian vectơ thực.
Tập hợp các số phức $C = \{ a + bi ; a, b \in \mathbb{R} \}$, khi thực hiện phép toán cộng hai số phức và phép nhân số thực với số phức, sẽ tạo thành một không gian vectơ thực.
Ví dụ 3.1.4 Cho n là số tự nhiên khác 0 Ký hiệu
Ta định nghĩa phép cộng và phép nhân với vô hướng trên tập R n như sau:
Không gian vectơ thực R^n được hình thành từ R^n với hai phép toán Mỗi vectơ trong R^n là một tập hợp gồm n số thực có thứ tự, được gọi là điểm của R^n Vectơ không trong R^n được biểu diễn bởi θ = (0, 0, , 0), còn được biết đến là gốc của R^n.
Tập hợp M m×n (R) bao gồm các ma trận cấp m×n trên tập số thực tạo thành không gian vectơ thực Trong không gian này, phép cộng các ma trận và phép nhân mỗi số thực với một ma trận được thực hiện Chúng ta gọi đây là không gian vectơ các ma trận cấp m×n với các phần tử thực.
Tập hợp các đa thức của biến $x$ với hệ số thực, ký hiệu là $R[x]$, tạo thành một không gian vectơ thực Không gian này được định nghĩa bởi phép cộng các đa thức và phép nhân một số thực với một đa thức.
Các ví dụ trên chứng minh rằng một “không gian vectơ” không chỉ bao gồm các “vectơ hình học” (đoạn thẳng có định hướng) như thường được hiểu.
Một số tính chất đơn giản của không gian vectơ
Mệnh đề 3.1.7 ChoV là mộtK-khụng gian vectơ Khi đú với∀x, y ∈V v`a∀λ, à∈
K, ta có: i) Vectơ không θ của V là duy nhất. ii) Vectơ đối của mỗi v ∈ V là duy nhất, được ký hiệu là −v.
Với ∀x, y ∈V v`a∀λ, à∈K, ta cú : iii) λ(x−y) = λx−λy. iv) (λ−à)x=λx−àx. v) λx = θ ⇔ λ= 0 hoặc x = θ. vi) (−1) x= −x.
Giả sử trong không gian V có các vectơ khác nhau là θ và θ 0, theo tính chất của vectơ không, ta có θ + θ 0 = θ và θ + θ 0 = θ 0, từ đó suy ra θ = θ 0 Ngoài ra, nếu tồn tại vectơ v 0 ∈ V sao cho v + v 0 = θ, thì điều này cũng khẳng định tính chất của vectơ không trong không gian V.
[(−v) + v] + v 0 = θ + v 0 = v 0 Vậy −v = v 0 iii) Từ λ(x−y) + λy =λ [(x−y) + y] =λ [x + ((−y) + y)] = λx, suy ra: λ(x−y) = λx − λy. iv) Tương tự, từ
(λ−à) x+ àx = (λ−à+à) x = λx, suy ra: (λ−à) x= λx − àx. v) Nếu λ x = θ , λ 6= 0 thì x = 1x = (λ −1 λ)x = λ −1 (λx) = λ −1 θ = θ Ngược lại, với ∀λ∈K,∀x∈V ta luôn có:
Cơ sở và số chiều
Tổ hợp tuyến tính
Trong không gian vectơ K-không gian V, một vectơ v ∈ V được xem là tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ S = {v1, , vn} nếu tồn tại các hệ số λ1, λ2, , λn ∈ K sao cho v có thể được biểu diễn dưới dạng v = λ1v1 + λ2v2 + + λnvn.
P i=1 λ i v i Khi đó, ta cũng nói vectơ v biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ S.
Ví dụ 3.2.2 Trong không gian vectơ R 2 , mỗi vectơ (x;y) là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ u= (1,0), v = (0,1), vì
Vectơ (7,−3) là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ u 0 = (1,1) và v 0 = (1,−1), vì:
Hệ sinh
Hệ vectơ S = {v₁, v₂, , vₙ} được gọi là hệ sinh của K-không gian vectơ V nếu mọi vectơ v ∈ V đều có thể được biểu thị tuyến tính qua S Cụ thể, với mỗi vectơ v trong V, tồn tại các hệ số λ₁, λ₂, , λₙ thuộc trường K sao cho v = λ₁v₁ + λ₂v₂ + + λₙvₙ.
Ví dụ 3.2.4 Trong không gian vectơ thực R 2 , xét các hệ vectơ
Khi đó S là hệ sinh của R 2 nhưng E không là hệ sinh của R 2
• Giả sử v =λ 1 (1,−1) +λ 2 (2,1) Khi đó ta có λ 1 + 2λ 2 =x 1
3(x 1 +x 2 )(2,1) Hay mọi vectơ củaR 2 đều biểu thị tuyến tính được qua S, tức là S là một hệ sinh của R 2
Do đó hệ phương trình trên vô nghiệm nếu vectơ v có tọa độ thỏa mãn 1
2x 1 6=x 2 ,chẳng hạn v = (1,1) Suy rav = (1,1)không biểu thị tuyến tính được qua E Vì vậy, E không là hệ sinh của R 2
Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa 3.2.5 Một hệ vectơ S ={v1, v2, , vn} trong K-không gian vectơ
V được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại λ 1 , , λ n ∈K không đồng thời bằng 0 sao cho λ 1 v 1 +λ 2 v 2 + ã ã ã+ λ n v n = θ.
Nếu hệ vectơ S không phụ thuộc tuyến tính, thì ta nói S là hệ độc lập tuyến tính, tức là với λ 1 , , λ n ∈K thì λ 1 v 1 +λ 2 v 2 + ã ã ã+ λ n v n = θ⇔λ 1 =λ 2 = =λ n = 0.
Ví dụ 3.2.6 1) Trong R 3 hệ 3 vectơ ε 1 = (1, 0, 0) , ε 2 = (0, 1, 0) , ε 3 = (0, 0, 1) độc lập tuyến tính.
2) Trong R 3 hệ 4 vectơ sau phụ thuộc tuyến tính v 1 = (5,2,1), v 2 = (−1,3,3), v 3 = (9,7,5), v 4 = (3,8,7).
3) Trong không gian vectơ các số phức C hệ {1, i} độc lập tuyến tính Thật vậy, a 1 + b i = 0 ⇔ a + bi = 0 ⇔ a = b = 0.
4) Trong không gian vectơ R 3 , hệ bốn vectơ u1 = (1,1,1), u2= (1,1,0), u3 = (1,0,0), u4= (3, 2,0) có độc lập tuyến tính không?
1+c 2 +c 3 + 3c 4 = 0 c 1 +c 2 + 2c 4 = 0 c 1 = 0 Đây là hệ gồm 3 phương trình thuần nhất 4 ẩn số Hệ này có vô số nghiệm Vậy hệ bốn vectơ trên là phụ thuộc tuyến tính.
Các tính chất của hệ phụ thuộc tuyến tính bao gồm: i) Mọi hệ vectơ có chứa vectơ θ đều được coi là hệ phụ thuộc tuyến tính ii) Hệ chỉ có một vectơ sẽ phụ thuộc tuyến tính nếu vectơ đó là vectơ θ iii) Nếu một hệ vectơ chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính, thì hệ đó cũng sẽ là phụ thuộc tuyến tính.
Thật vậy, giả sử hệ v 1 , , v n chứa một hệ con v 1 , , v q phụ thuộc tuyến tính, khi đó tồn tại các số thực λ 1 , , λ q không đồng thời bằng 0 sao cho: λ 1 v 1 +λ 2 v 2 + ã ã ã+ λ n v q = 0.
Một hệ thức tuyến tính không tầm thường được biểu diễn bởi $λ_1 v_1 + λ_2 v_2 + + λ_q v_q + 0v_{q+1} + + 0v_n = 0$, cho thấy rằng các vector $v_1, , v_n$ là phụ thuộc tuyến tính Hơn nữa, mọi hệ con của một hệ độc lập tuyến tính cũng sẽ là hệ độc lập tuyến tính.
Một hệ vectơ được coi là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một vectơ trong hệ đó có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.
Cơ sở
Định nghĩa 3.2.7 Một hệ vectơ S của V được gọi là một cơ sở của V nếu S vừa độc lập tuyến tính vừa là một hệ sinh của V.
Ví dụ 3.2.8 1) Không gian vectơ R n có một cơ sở là hệ n vectơ sau đây và được gọi là cơ sở chuẩn tắc: ε 1 = (1, 0, , 0) , ε 2 = (0,1, 0, ,0) , , ε n = (0,0, ,0,1).
2) Không gian vectơ các số phức C có một cơ sở là hệ hai số phức: 1, i.
3) Không gian các ma trận vuông cấp 2 phần tử thực M2(R) có cơ sở chuẩn tắc là: ε 1 1 0
Số chiều
Định lý 3.2.9 chỉ ra rằng trong không gian vectơ K, nếu V có n vectơ sinh và S là m vectơ độc lập tuyến tính, thì m không vượt quá n Hơn nữa, nếu {e 1 , e 2 , , e n } và {f 1 , f 2 , , f m } là hai cơ sở của V, thì số lượng vectơ trong hai cơ sở này là bằng nhau, tức là n = m Định nghĩa 3.2.10 xác định rằng nếu {e 1 , e 2 , , e n } là một cơ sở của không gian vectơ V, thì V được gọi là không gian vectơ n chiều, với n là số chiều của V, ký hiệu là dim(V) = n Theo quy ước, dim({θ}) được xác định là 0.
Nếu V không có một cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là không gian vectơ vô hạn chiều.
Nhận xét 3.2.11 Trong không gian vectơ n chiều, mọi hệ vectơS gồm n vectơ độc lập tuyến tính đều là một cơ sở.
4) Không gian vectơ các đa thức hệ số thực R[x] là không gian vô hạn chiều.
Tính chất 3.2.13 Cho V 6={θ} là không gian vectơ hữu hạn chiều Khi đó (i) Mọi hệ sinh của V đều chứa một cơ sở nào đó của V.
(ii) Mọi hệ vectơ S gồm n vectơ độc lập tuyến tính của V đều là một cơ sở của V.
(iii) Mọi hệ độc lập tuyến tính trong V đều có thể bổ sung thành một cơ sở của V.
(iv) Nếu dimV= n thì mọi hệ gồm n+k , (k≥1) vectơ trong V đều là hệ phụ thuộc tuyến tính.
Tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở
Định lý 3.2.14 khẳng định rằng nếu hệ S = {e 1 , e 2 , , e n } là một cơ sở của không gian vectơ n chiều V, thì mọi vectơ v trong V đều có thể được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng $v = c_1 e_1 + c_2 e_2 + + c_n e_n$, với $c_1, c_2, , c_n \in K$ Theo định nghĩa 3.2.15, bộ số $(c_1, c_2, , c_n)$ được xác định duy nhất như trong định lý trên được gọi là tọa độ của vectơ v đối với cơ sở S.
Ví dụ 3.2.16 Cho không gian vectơ thựcR 2 và hai cơ sở
Ma trận tọa độ của hệ vectơ đối với một cơ sở
Định nghĩa 3.2.17 Cho K-không gian vectơ V với E = {e 1 , e 2 , , e n } là một cơ sở của V và cho hệ vectơ v 1 , v 2 , , v m trong V Gọi tọa độ của mỗi vectơ v i đối với cơ sở E là: v i | E = (a i1 , a i2 , , a in ).
Khi đó ma trậnA= (a ij ) m×n được gọi làma trận tọa độcủa hệ vectơv 1 , v 2 , , v m đối với cơ sở E.
Ví dụ 3.2.18 Trong không gian vectơ thực R 3 với cơ sở chuẩn tắc
Do đối với cơ sở chuẩn tắc E, tọa độ của vectơ v = (x, y, z) là (x, y, z) nên ma trận tọa độ của hệ v 1 , , v 4 đối với cơ sở E là:
Có thể sử dụng ma trận tọa độ của một hệ vectơ để xác định tính độc lập hay phụ thuộc tuyến tính của hệ đó, cũng như để kiểm tra xem nó có phải là một cơ sở trong không gian vectơ hay không.
Mệnh đề 3.2.19 Cho K-không gian vectơ V với một cơ sở E ={e 1 , , e n } và cho hệ vectơ v 1 , v 2 , , v m có ma trận tọa độ đối với cơ sở E làA= (a ij ) m×n Khi đó ta có
(i) Hệ v 1 , , v m phụ thuộc tuyến tính ⇔ rank(A)< m.
(ii) Hệ v 1 , , v m độc lập tuyến tính ⇔ rank(A) = m.
(iii) Hệ v 1 , , v m là một cơ sở của V ⇔ rank(A) = m = n, hay A là ma trận vuông không suy biến (det(A)6= 0).
Ví dụ 3.2.20 Hệ vectơ nào sau đây là phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính, cơ sở của không gian vectơ thực R 3
Hạng của ma trận tọa độ của hệ vectơ $v_1, \ldots, v_m \in V$ đối với bất kỳ cơ sở nào của $V$ là không đổi và bằng số tối đa các vectơ trong hệ $v_1, \ldots, v_m$ độc lập tuyến tính Hạng của ma trận tọa độ này được gọi là hạng của hệ vectơ $v_1, \ldots, v_m$.
Đổi cơ sở và phép biến đổi tọa độ
a Ma trận chuyển cơ sở
Cho V là một K-không gian vectơ ; E = {e 1 , e 2 , , e n }, U = {u 1 , u 2 , , u n } là các cơ sở của V Biểu diễn mỗi vectơ của cơ sở U qua cơ sở E:
được gọi là ma trận chuyển từ cơ sở E sang cơ sở U.
Chú ý : Ma trận chuyển A là không suy biến và ma trận chuyển cơ sở ngược lại từ U sang E là A −1 b Công thức đổi tọa độ.
Giả sử $E = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$ và $U = \{u_1, u_2, \ldots, u_n\}$ là các cơ sở của không gian vector $V$ Gọi $A$ là ma trận chuyển đổi từ cơ sở $E$ sang cơ sở $U$ Nếu vectơ $v \in V$ có tọa độ tương ứng theo các cơ sở đã cho là $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ và $(y_1, y_2, \ldots, y_n)$, thì ta có thể biểu diễn mỗi vectơ của cơ sở.
U qua cơ sở E, ta có: u j n
P i=1 a ij e i , ∀j = 1,2, , n Do đó, ta có: v n
Do tính duy nhất của toạ độ của vectơ v theo cơ sở E, ta có công thức liên hệ giữa các tọa độ sau đây: xi n
P j=1 aijyj, i= 1,2, , n Công thức trên có thể viết dưới dạng công thức ma trận là:
, trong đó A là ma trận chuyển từ cơ sở E tới cơ sở U Công thức này được gọi là công thức đổi tọa độ cơ sở.
Ví dụ 3.2.23 Cho u 1 = (1,−2, 1); u 2 = (−1,0, 2); u 3 = (−1, −1, 1) là một cơ sở của R 3 Tìm tọa độ của v = (2,−9,2) ∈ R 3 theo cơ sở {u 1 , u 2 , u 3 }.
Gọi e 1 = (1,0,0) ; e 2 = (0,1,0) ; e 3 = (0,0,1) là cơ sở chuẩn tắc của R 3 Khi đó, ma trận chuyển từ cơ sở {e1, e2, e3} sang cơ sở {u1, u2, u3} là:
Gọi (y 1 , y 2 , y 3 ) là tọa độ của v đối với cơ sở {u 1 , u 2 , u 3 } Theo công thức đổi toạ độ, ta có:
#.Vậy, toạ độ của v đối với {u 1 , u 2 , u 3 } là (3,−2,3)hay v = 3u 1 −2u 2 + 3u 3
