Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính nhóm ngành kỹ thuật

Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính nhóm ngành kỹ thuật Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính nhóm ngành kỹ thuật Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính nhóm ngành kỹ thuật Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính nhóm ngành kỹ thuật Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính nhóm ngành kỹ thuật Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính nhóm ngành kỹ thuật Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính nhóm ngành kỹ thuật Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính nhóm ngành kỹ thuật

Nguyễn Quốc Thơ

Hướng dẫn tự học học phần: đại số tuyến tính

Nhóm ngành: Kỹ thuật và Công nghệ

Nghệ An - 2021

Nguyễn Quốc Thơ

Hướng dẫn tự học học phần: đại số tuyến tính chương 1: Ma trận - định thức

Nhóm ngành: Kỹ thuật và Công nghệ

Tiếp cận cido

Tài liệu lưu hành nội bộ Nghệ An - 2021

I Tóm tắt lý thuyết

1.1 Ma trận

1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa ma trận, một số ma trận đặc biệt (ma trận không, ma trận dơn vị, ma trận tam giác, ma trận đường chéo, ma trận đối xứng,ma trận phản

đối xứng) Nhận biết một số ma trận đặc biệt và tính chất của các ma trận đặc biệt 1.1.2 Các phép toán về ma trận +) Định nghĩa các phép toán ma trận (cộng hai

ma trận, nhân một số với ma trận, nhân hai ma trận, lũy thừa ma trận)

+) Tính chất của các phép toán ma trận

+) Vận dụng định nghĩa và tính chất của các phép toán để tìm phần tử của các

ma trận tổng, tích,

1.1.3 Ma trận chuyển vị Định nghĩa ma trận chuyển vị và tính chất của chuyển vị 1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận - Ma trận bậc thang

+) Ba phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

+) Ma trận bậc thang và biến đổi sơ cấp đưa ma trận về ma trận bậc thang

1.2 Định thức

1.2.1 Định nghĩa +) Định nghĩa định thức và một số tính chất cơ bản của định thức +) Tính nhanh định thức cấp 2, 3 và một số định thức đặc biệt

1.2.2 Một số phương pháp tính định thức

+) Dùng công thức khai triển

+) Sử dụng các phép biến đổi trên ma trận Mối liên hệ giữa tính chất của định thức và các phép toán về ma trận

1.3 Ma trận nghịch đảo

1.3.1 Định nghĩa Định nghĩa ma trận nghịch đảo và ma trận không suy biến 1.3.2 Định lý Định lý về điều kiện cần và đủ để tồn tại ma trận nghịch đảo

1.3.2 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo

+) Dùng phần phụ đại số: A−1 = 1

det A.PA,vớiPA là ma trận các phần phụ đại số

+) Dùng phép biến đổi sơ cấp: Lập ma trận khối [A|In]nì2n.Dùng ba phép biến

đổi sơ cấp hàng, đưa ma trận khối đó về ma trận khối dạng [In|B]nì2n

[A|In] −−−−−−−−−−−−−−→ [ba phép biến đổi sơ cấp hàng In|B]

Khi đóB = A−1

1.4 Hạng của ma trận

1.4.1 Định nghĩa Định nghĩa hạng của ma trận và hiểu được khái niệm hạng 1.4.2 Các phương pháp tìm hạng của ma trận

+) Dùng định thức con

+) Dùng các phép biến đổi sơ cấp:

•Dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận Avề ma trận bậc thang T

A −−−−−−−−−−−−ba phép biến đổi sơ cấp→ T

•Giả sử T có r hàng khác không Khi đó rank(T ) = r ⇒ rank(A) = r

II Câu hỏi ôn tập Câu 1 Định nghĩa ma trận Các phép toán trân ma trận Ma trận chuyển vị, một số

ma trận đặc biệt Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận, ma trận dạng bậc thang Câu 2 Định nghĩa định thức, tính chất của định thức, một số định thức đặc biệt Câu 3 Các phương pháp tính định thức Định thức con, định thức con bù và phần phụ đại số Định lý Laplace và công thức khai triển định thức

Câu 4 Định nghĩa ma trận nghịch đảo Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Phương trình ma trậnAX = B, XA = B và AXB = C

Câu 5 Định nghĩa hạng của ma trận Các phương pháp tìm hạng của một ma trận

III các kỹ năng cần rèn luyện Cần chú ý rèn luyện các kỹ năng: Nhân hai ma trận, tính định thức của một ma trận vuông, tìm ma trận nghịch đảo và tìm hạng của ma trận

IV vận dụng Vận dụng các kỹ năng và phương pháp tính toán về ma trận, định thức, ma trận nghịch đảo và hạng của ma trận vào giải quyết các bài toán cụ thể

V bài tập ôn tập

5.1 Ma trận - Các phép toán về ma trận

Bài 1.1 Cho A =



1 0

0 1



và B =

"2 0

3 0

4 0

#

.Tính AB và BA

2 Cho P =



1 2 3 4

5 6 7 8



và Q =







−1 1

1 −1

1 −1

−1 1





 Tính P Q và QP

3 Cho H =

"a b c

c b a

1 1 1

#

và K =

"1 a c

1 b b

1 c a

#

Tính HK − KH

4 Cho A =



1 −1

0 1



Tính P = (2A2− 4A + 3I2)2

5 Cho H =



1 0 −1 1



và HT là ma trận chuyển vị củaH

Tính H.HT và HT.H

Bài 2.1 Cho n ∈ N và các ma trận

A =



3 1

0 3



, B =



0 1

1 0



C =



1 −1

−1 1



D =



0 1

0 1



, E =



1 1

0 0



Tính An, Bn, Cn, Dn, En

2 Cho n ∈ N∗, a ∈ R và các ma trậnA =



1 a

0 1



, B =



a 1

0 a



Tính An và Bn

3 Cho A =









λ1 0 0

0 λ2 0

0 0 λn









n

và k ∈ N Tính Ak

Bài 3.1Hai ma trận vuông cùng cấp Avà B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại một

ma trận khả nghịchP để sao choA = P−1BP.Chứng minh rằng nếu AvàB đồng dạng thìA2 và B2 đồng dạng

2.Cho k ∈ N, A = [aij]n sao cho A2 = θ (ma trận không) và In là ma trận đơn vị cấp n Chứng minh rằng

(In − A)−1 = In + A + A2+ Ak−1

Bài 4. ChoA =



17 −6

35 −12



=



2 3

5 7

 

2 0

0 3

 

−7 3

5 −2



Tính An, ∀n ∈ N

2 Cho B =

"4 3 −3

2 3 −2

4 4 −3

#

=

"1 3 1

2 2 1

3 4 2

# "1 0 0

0 2 0

0 0 1

# " 0 2 −1

#

.Tính Bn

Bài 5.1 Cho đa thức f (x) = x2− 2x + 1và ma trận A =



3 1

0 3



.Tính f (A)

2 Cho đa thức f (x) = 3x2− x + 2 và ma trậnB =



0 1

−1 0



Tính f (B)

3 Cho ma trận A =



a b

c d



và θ =



0 0

0 0



là ma trận không Tìm ma trận X sao cho

A2− (a + d)A + X = θ

Bài 6. Tìm tất cả các ma trận giao hoán với ma trận A

1.A =



1 1

0 1





1 2

−1 1



"1 0 0

0 1 0

3 1 2

#

Bài 7. Cho A =



3 −4

5 1



và B =



7 4

5 λ



Tìm tất cả các giá trị λ để sao cho

AB = BA

Bài 8. 1 Tìm tất cả các ma trận vuông cấp hai sao cho bình phương của nó bằng

ma trận không

2 Tìm tất cả các ma trận vuông cấp hai sao cho bình phương của nó bằng ma trận

đơn vị

Bài 9. ChoA, B là hai ma trận vuông cùng cấp

1 Tìm điều kiện củaA và B để sao cho (A + B)2 = A2+ 2AB + B2

2 Chứng minh rằng nếuAB 6= BA thì A2− B2 6= (A + B)(A − B)

Bài 10.Tích của hai ma trận AB thay đổi thế nào, nếu

1 Đổi chổ dòng thứi và dòng thứ j của ma trận Acho nhau

2 Đổi chổ cột thứ i và cột thứ j của ma trận B cho nhau

3 Nhân dòng thứ j của ma trận Avới một số α rồi cộng vào dòng thứ i của nó

4 Nhân cột thứj của ma trận B với một sốα rồi cộng vào cột thứi của nó

Bài 11.Vết của ma trận vuông A là tổng các phần tử trên đường chéo chính củaA

và được ký hiệu làT r(A) ChoA, B là hai ma trận vuông cùng cấp trên trường các

số thực

1.Chứng minh rằng T r(A + B) = T r(A) + T r(B) và T r(AB) = T r(BA)

2 Chứng minh không tồn tại hai ma trận vuông A và B sao choAB − BA = In,

trong đóIn là ma trận vuông cấp n

3.Cho hai ma trậnA, B sao choAB =



5 11

11 25



, BA =



x 14

14 y



.Hãy tìm x, y

Bài 12.1 Chứng minh ma trận A =



a b

c d



là nghiệm của đa thức

f (x) = x2− (a + d)x + (ad − bc)

2 Giả sửA là ma trận vuông cấp2vàk là số nguyên dương lớn hơn 2 Chứng minh

Ak = θ (ma trận không) khi và chỉ khi A2 = θ

3 Giả sửAn = θ Chứng minh(E − A)−1 = E + A + A2+ + An−1

5.2 Định thức

Bài 13.Tính các định thức

1

b −b b

, 2

1 cos x − sin x

1 sin x cos x

1 − cos x sin x

, 3

sin α cos α 1 sin β cos β 1 sin γ cos γ 1

,

4

a b c

b c a

c a b

, 5

6 0 7 a

8 0 b 0

9 c 4 5

d 0 0 0

, 6

a b c d e

f g 0 0 0

g h k 0 0

l m n 0 u

v 0 0 0 0

Bài 14.1 Cho các ma trận A =

" 1 0 0

−3 4 0

1 1 1

#

và B =

"1 −1 1

#

Tính det(2AB), det(2BA), det(PAB), det(P2A) và det(P2B)

2 Cho ma trận A =

" 1 0 0

−3 4 0

1 1 1

#

Ký hiệu A−1 là ma trận nghịch đảo của A và

AT là ma trận chuyển vị của A Đặt B = 2AT, C = (3A)T, D = (2A)−1 và

E = ((3A)−1)T Tính det(B), det(C), det(D)và det(E)?

3 Cho ma trậnA =

"1 0 2

2 1 2m − 2

#

Tìmm đểdet(A) < 0

4 Cho ma trậnA =

"4 5 6

0 5 6

0 0 6

#

"4 5 6

4 5 0

4 0 0

#

.Tính det(A)

5 Cho A =



−2 2

2 −2



và AT là ma trận chuyển vị củaA

Tính det(A.AT) và det(A + AT)

6 Cho hai ma trậnA =

"1 2 1

0 2 −1

0 0 3

#

và B =

"2 3 −1

0 3 1

0 0 −1

#

Tính det(A + B)

7 Cho A và B là hai ma trận vuông cấp n, phần tử thực, thỏa mãn điều kiện

det(A) = avà det(B) = b Tính

det(2AB), det(3ATB), det(2BTA), det(A−1), det(B−1), det((AB)−1)

Bài 15.Giải các phương trình

1

2 −1 x

1 10 −6

1 −2 x 1

1 −2 2 1

= 0

Bài 16.1 Cho a, b ∈ R, thoả mãn điều kiện a2 6= b2.Tìm x sao cho

a x x b

x a b x

x b a x

b x x a

= 0

2 Giải các phương trình sau

1

−1 3 − x2 3 3

−7 −7 6 x2 − 3

−2 2 − x2 1 7

= 0

Bài 17.Tính các định thức

1

2 1 1 1 1

1 3 1 1 1

1 1 4 1 1

1 1 1 5 1

1 1 1 1 1

, 2

, 3

a b b

b a b

b b a

,

4

a1 x x

x a2 x

x x an

, 5

1 x + 1 n

1 2 x + 1

, 6

1 + a1 1 1

1 1 + a2 1

1 1 1 + an

,

Bài 18.1 Tam giác ABC, thoả mãn điều kiện

1 cos A cos2A

1 cos B cos2B

1 cos C cos2C

= 0

Tam giác đó có tính chất gì?

2 Tính định thức

a b c

b c a

c a b

, trong đó a, b, c là ba nghiệm của phương trình:

x3+ px + q = 0

Bài 19.Không khai triển, hãy tính các định thức

1

sin2α 1 cos2α

sin2β 1 cos2β

sin2γ 1 cos2γ

, 2

a + b c 1

b + c a 1

c + a b 1

, 3

b + c 2

a + c 2

b + a

Bài 20.Không khai triển định thức, chứng minh rằng

1

a1 b1 a1x + b1y + c1

a2 b2 a2x + b2y + c2

a3 b3 a3x + b3y + c3

=

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

2.λ3

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=

λa11 λa12 λa13

λa21 λa22 λa23

λa31 λa32 λa33

3

a1+ αb1 + βc1 b1 + γc1 c1

a2+ αb2 + βc2 b2 + γc2 c2

a3+ αb3 + βc3 b3 + γc3 c3

=

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

5.(1 − x2)

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

=

a1 + b1x a1x + b1 c1

a2 + b2x a2x + b2 c2

a3 + b3x a3x + b3 c3

6

2a 2b −2c 2d

6 12 −16 8

4 8 −12 17

= −4

4 8 −12 17

Bài 21.1 Biết rằng các số 115, 184, 253 chia hết cho 23 Không khai triển định thức, chứng minh rằng

1 1 2

1 8 5

5 4 3

chia hết cho 23

2 Biết rằng các số 1020, 1054, 255, 544 chia hết cho 17 Không khai triển định thức, chứng minh rằng

0 2 0 1

4 5 0 1

5 5 2 0

4 4 5 0

chia hết cho 17

4 Biết rằng các số2006, 6103, 5525 chia hết cho 17và a ∈ N, 0 ≤ a ≤ 9.Với giá trị nào củaa thì

2 0 0 6

6 1 0 3

9 0 a 4

5 5 2 5

chia hết cho 17

Bài 22.1 Cho các ma trậnA =

"1 0 −1

0 2 −2

1 2 1

#

và B =

"a 1 1

1 a 1

1 1 a

#

Tìm điều kiện của ađể sao cho det(AB) = 0

2.Cho các ma trậnA =

"1 0 −3

0 0 −6

1 2 1

#

và B =

"1 1 a

1 a 1

a 1 1

#

Tìm điều kiện của ađể sao cho det(AB) = 0

3.Cho các ma trậnA =



cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ



và B =



1 1

0 1



X =



0 −1

1 0



Tính An, Bn, Xn và det(An), det(Bn), det(Xn)

5.3 Ma trận nghịch đảo

Bài 23. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau

A =

"2 1 −1

0 1 3

2 1 1

#

, B =

" 1 4 2

−1 0 1

2 2 3

#

, M =

"a 1 0

0 a 1

0 0 a

#

, (a 6= 0)

N =







1 3 −3 7





, P =







2 −2 2 3





, Q =







1 0 0 0

2 1 0 0

−3 2 3 0

4 1 2 4







Bài 24.1 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trậnA =

"1 1 2

0 1 −2

0 0 −1

#

−2

" 1 0 2

−2 −1 1

3 −1 4

#

2 Cho ma trậnA =

"1 2 1

3 −1 4

# "1 −2 1

3 0 m + 1

#

Tìmm đểA khả nghịch

3 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trậnA =



1 0 2

0 1 0

"1 0

1 1

0 1

#

4 Chứng minh rằng ma trận A =

"cos α − sin α 0 sin α cos α 0

# luôn tồn tại nghịch đảo và tìm ma trận nghịch đảo của nó

Bài 25.Tìm ma trận X sao cho XA = B, trong đó:

1.A =

"1 1 2

0 1 −2

0 0 −1

#

và B =

" 1 0 2

−2 −1 1

3 −1 4

#

2.A =

"2 −3 1

4 −5 2

5 −7 3

#

và B =

"9 7 6

1 1 2

1 1 1

#

Bài 26.Tìm ma trận X sao cho AX = B, trong đó

1.A =

"1 2 −3

2 −1 0

#

và B =

"1 −3 0

10 2 7

2 −1 0

#

2.A =

"1 1 −1

1 −1 1

#

và B =

"1 −1 3

1 −2 5

#

Bài 27.Tìm ma trận X sao cho AXB = C, trong đó

A =

"−1 −2 3

3 −1 0

#

, B =

" 1 3 0

−2 0 3

1 2 0

#

và C =

"0 0 1

0 1 0

1 0 0

#

5.4 Hạng của ma trận

Bài 28.1 Tìm a và b để sao cho các ma trận sau đâycó hạng bằng4

A =







4 4 a + 4 a + 7





, B =







3 1 1 4

a 4 10 1

1 7 17 3

2 2 4 2





, D =







a b b b

b a b b

b b a b

b b b a







2 Cho A là ma trận vuông cấp n khả nghịch Nếu nhân một hàng(cột) nào đó của

Avới k 6= 0thì hạng của Asẻ thay đổi như thế nào?

Bài 29.Tìm hạng của các ma trận sau

A =

"2 −1 3 −2 4

#

, B =











, C =







1 0 1 0 1

0 1 0 1 0

2 1 0 2 1

0 1 0 1 0







G =











1 0 1 0 0

1 1 0 0 0

0 1 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 1











, H =















2 1 1 1

1 3 1 1

1 1 4 1

1 1 1 5

1 2 3 4

1 1 1 1















, K =



















0 0 1 0 0

0 1 0 0 0

0 0 0 1 0

1 1 1 1 1

1 3 4 5 1

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6



















Bài 30.1 Tìm hạng của các ma trận sau theo tham số a

A =







2 3 −1 4





, B =







−1 4 a + 1 a2 + 2





, E =













2 Tìma để hạng của ma trậnM =

"2 1 3

1 −2 0

# bằng 2

3 Tìmb để hạng của ma trậnN =

"1 1 b

1 b 1

b 1 1

# bằng3

VI Câu hỏi thảo luận Kiểm tra, giải thích và phản biện lai các khẳng định sau đây:

Câu 1 Phép cộng hai ma trận có tính chất giao hoán, kết hợp

Câu 2 Nếu phép nhân ma trận thực hiện được thì có tính chất giao hoán

Câu 3 Phép nhân ma trận thực hiện được thì có tính chất kết hợp

Câu 4 ChoA, B là hai ma trận bất kỳ thì luôn luôn tồn tại A + B

Câu 5 Phép nhân hai ma trận vuông cùng cấp luôn luôn thực hiện được

Câu 6 Phép cộng hai ma trận vuông cùng cấp luôn luôn thực hiện được

Câu 7 Cho A, B, C là ba ma trận vuông cấp n ≥ 2, phần tử thực và k ∈ R Khi

đóA(BC) = (AB)C và A(kB) = (kA)B = k(AB)

Câu 8.(AB)2 = A2B2 với mọi ma trận vuông A vàB cùng cấp

Câu 9.(AB)2 = A2B2 với mọi ma trận A vàB

Câu 10.(AB)2 = A2B2 với mọi ma trận vuôngAvàB cùng cấp và thỏa mãn điều kiện BA = AB

Câu 11.(A − B)2 = A2 − 2AB + B2 với mọi ma trận vuông A vàB cùng cấp Câu 12.(A − B)2 = A2− 2BA + B2 với mọi ma trận vuôngAvàB cùng cấp và thỏa mãn điều kiệnBA = AB

Câu 13 Nếu A, B là hai ma trận vuông cấp n, không suy biến thì A + B là một

ma trận vuông cấpn, không suy biến

Câu 14 Nếu A, B là hai ma trận vuông cùng cấp, không suy biến thì A.B là một

ma trận vuông không suy biến

Câu 15 NếuA, B là hai ma trận vuông cấpnkhông suy biến thìrank(AB) = n

Câu 16 NếuA, B là hai ma trận vuông cấp n và rank(A) = rank(B) = n thì

rank(AB) = n2

Câu 17 Nếu A, B là hai ma trận vuông cùng cấp khả nghịch thì AB suy biến Câu 18 Nếu A, B là hai ma trận vuông cấp n ≥ 2 và AB = In (ma trận đơn vị cấpn) thìA và B không khả nghịch

Câu 19 NếuA, B là hai ma trận vuông tùy ý cấpn ≥ 2vàAB = In (ma trận đơn

vị cấp n) thì det(A) = det(B) = 1

Câu 20 Nếu A là ma trận vuông, phần tử thực không suy biến thì với mọi k ∈ R

kA cũng không suy biến

Câu 21 NếuAlà ma trận vuông cấpn ≥ 2,không suy biến thì các ma trậnA−1, AT

vànA không khả nghịch

Câu 22 Cho A và B là các ma trận vuông cấp n ≥ 2, khác ma trận không, thỏa mãn điều kiệnAB = O ( ma trận không) Khi đó B2A2 = O và det(AB) = 1

Câu 23 Cho A là ma trận vuông cấp 3 tùy ý Nhân hàng thứ hai của A cho 2 và nhân cột thức nhất của Acho 1

2ta thu được ma trậnB Khi đódet(A) = det(B)