Bài giảng Tín hiệu số Chương 2: Xác suất và quá trình ngẫu nhiên

Quá trình ngẫu nhiên QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 6:41 PM Xác suất A, B là hai biến cố  Hợp của hai biến cố: ít nhất một trong hai phải xảy ra  Giao của hai biến cố: hai biếncố phải xảy ra đồn

Chương 2 1

1 Xác suất

2 Quá trình ngẫu nhiên

QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

6:41 PM

Xác suất

A, B là hai biến cố

 Hợp của hai biến cố: ít nhất

một trong hai phải xảy ra  Giao của hai biến cố: hai biếncố phải xảy ra đồng thời

 Bao hàm : nếu A xảy ra thì

B phải xảy ra  Hiệu: A xảy ra còn B khôngxảy ra

6:41 PM Chương 2 3

A, B là hai biến cố

 A và B xung khắc: A và B không đồng thời xảy ra

 A và B đối lập: nếu A xảy ra thì B không xảy ra và ngược lại

∪ ̅

S: biến cố chắc chắn xảy ra P(S) = 1

A và B đối lập A và B xung khắc

A và B xung khắc A và B có thể không đối lập

P(A): xác suất xuất hiện biến cố A

Xác suất

S: thông tin có các giá trị 00, 01, 10, 11

A: thông tin có các giá trị 00, 10

B: thông tin có các giá trị 01, 11

A và B đối lập

A và B xung khắc

A: thông tin có các giá trị 00, 10

B: thông tin có các giá trị 01

A và B không đối lập

A và B xung khắc

6:41 PM Chương 2 5

Xác suất có điều kiện:

P(A/B): xác suất xuất hiện biến cố A khi biến cố B đã xảy ra

P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)

Công thức nhân xác suất:

Nếu A, B độc lập: P(AB) = P(A)P(B)

Xác suất

Hàm phân phối xác suất: (hàm phân phối tích luỹ cdf – cumulative

distribution function)

X: biến ngẫu nhiên, x: số thực

F(x) = P(X  x): xác suất để biến ngẫu nhiên X nhỏ hơn x

Hàm mật độ xác suất: (pdf – probability density function)

6:41 PM Chương 2 7

Hàm của biến ngẫu nhiên:

Xét biến ngẫu nhiên X có pdf p(x), xác định pdf của biến ngẫu nhiên Y = g(X)

VD: Y = aX + b, a > 0

1 Tính lại VD trên với a < 0, Y = aX3+ b

Đặt t = ax + b:

x = x = -  t = - 

x =  t = y

dx = dt/a

1

Xác suất

Hàm của biến ngẫu nhiên:

Y = aX2+ b, a > 0

| |

1 2

1 2

6:41 PM Chương 2 9

Trung bình (kỳ vọng toán):

Y = g(X):

Phương sai:

Hàm đặc trưng:

≡

moment thứ n

Xác suất

Các phân bố xác suất thông dụng:

 Phân bố nhị thức:

1

1 [y]: phần nguyên của y E[X] = np, = np(1-p)

6:41 PM Chương 2 11

Các phân bố xác suất thông dụng:

 Phân bố đều:

0 1 1

2

1 12

Xác suất

Các phân bố xác suất thông dụng:

 Phân bố chuẩn (Gaussian):

1 2

E[X] = mX

1

2

1

2erf 2 erf

2

: error function

1 1

2erfc 2 erfc

2

: complementary error function

2erfc 2

1

2 / : Q function

6:41 PM Chương 2 13

Các phân bố xác suất thông dụng:

 Phân bố chuẩn (Gaussian):

mX= 0

1 : dạng chuẩn tắc (trung bình = 0, phương sai = 1) zero-mean, unit variance gaussian random variable

Xác định pdf của Y = aX3+ b với X là biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn tắc

Xác suất

Các phân bố xác suất thông dụng:

 Phân bố Chi-square (Gamma):

X là biến ngẫu nhiên phân bố Gaussian

Y = X2là biến ngẫu nhiên phân bố Gamma

X có trung bình = 0 và phương sai2 1

2

Xi độc lập thống kê,

phân bố Gaussian có

trung bình = 0 và

phương sai2

1

2 / Γ 12

Γ 1

2 ; Γ

3 2

1 2 (phân bố Gamma

bậc tự do n)

6:41 PM Chương 2 15

Các phân bố xác suất thông dụng:

 Phân bố Chi-square (Gamma):

(phân bố Gamma bậc tự do n)

E[Y] = n2

2

X phân bố Gaussian có trung bình mX

và phương sai2

1 2

cosh

2

Xác suất

Các phân bố xác suất thông dụng:

 Phân bố Chi-square (Gamma):

Xiđộc lập thống kê, phân bố Gaussian có trung bình = mi

và phương sai2

1 2

/

/2

! Γ 1 : hàm Bessel sửa đổi loại 1 bậc

x  0

x  0

6:41 PM Chương 2 17

Các phân bố xác suất thông dụng:

 Phân bố Rayleigh:

X1và X2độc lập thống kê, phân bố Gaussian

có trung bình = 0 và phương sai2

Y là biến ngẫu nhiên phân bố Rayleigh

x  0

E

2 2

2 1 2

Xác suất

Các phân bố xác suất thông dụng:

 Phân bố Rayleigh:

Xiđộc lập thống kê, phân bố Gaussian có trung bình = 0 và phương sai2

2 / Γ 12

x  0

! 2

n chẵn (n = 2m):

x  0

6:41 PM Chương 2 19

Xác định trung bình, phương sai của biến ngẫu nhiên Cauchy có pdf:

/

- < x <  Cho hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên Cauchy:

Trong đó Xilà các biến ngẫu nhiên độc lập thống kê và có phân bố Cauchy như trên

Xác định hàm đặc trưng và pdf của: 1

Áp dụng: E(XY) = EX.EY nếu X, Y độc lập

Xác suất

6:41 PM Chương 2 21

Quá trình ngẫu nhiên (stochastic process): biến ngẫu nhiên xác định theo

thông số t (thường là thời gian)

Ký hiệu: X(t)

Xét tập {t1, …, tn}  ≡ là các biến ngẫu nhiên tạo ra từ X(t)

tập {t1+t, …, tn+t}  ≡

ế , , … ,

, , … , ớ , ấ ỳ Quá trình ngẫu nhiên dừng

Quá trình ngẫu nhiên

Trung bình thống kê

Hàm tự tương quan

Nếu quá trình ngẫu nhiên là dừng:

6:41 PM Chương 2 23

Hàm tự tương quan

Nếu quá trình ngẫu nhiên không dừng có: ,

Quá trình ngẫu nhiên thống kê nghĩa rộng (WSS – Wide-sense Stationary

Hàm tương quan chéo

Nếu quá trình ngẫu nhiên là dừng:

,

Quá trình ngẫu nhiên

Mật độ phổ công suất (psd – power spectral density)

Φ

(f): hàm thực, chẵn

Φ

Φ

6:41 PM Chương 2 25

Hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên X(t) là:

1

2 (nhiễu trắng: white noise) Tín hiệu x(t) đưa qua mạch lọc có đáp ứng tần số:

B B

Xác định tổng công suất ở ngõ ra mạch lọc:

2 Psd ở ngõ ra mạch lọc:

Tổng công suất ở ngõ ra mạch lọc:

2

1

2 2

Quá trình ngẫu nhiên

Cho quá trình ngẫu nhiên nhiễu trắng X(t) là ngõ vào

của mạch như hình vẽ

R

C

Xác địnhyy(f), yy() và E[Y2(t)]

Tính H(f)

Áp dụng:

Φ