Trắc nghiệm toán cao cấp A2 (99 câu) có đáp án, được lấy từ đề ôn tập tại trường đại học sư phạm kỹ thuật
Trang 1Trang 1
BÀI TẬP ÔN TẬP TOÁN A2 CHƯƠNG 1 HÀM NHIỀU BIẾN
Câu 1: Phương trình tham số của đoạn thẳng MN nối từ N 0;3 đến M 1; 2 là:
3
x t
t
x t
t
2
t
1 , 0 1 2
t
Câu 2: Cho hai điểm A1, 2 , B 0,1 Hãy xác định phương trình chính tắc của đường thẳng AB
AB x y
AB x y
Câu 3: Phương trình tham số của đoạn thẳng MN nối từ N1; 2;3 đến M 1; 7;5 là:
a)
1 2
3 2
b)
1 2
3 2
c)
1
3 5
d)
1 2
5 2
Câu 4: Phương trình tham số đường thẳng qua M2; 1;5 , N1; 5;3
a)
1 2
3 5
1
5 4 ,
3 2
c)
2
1 5 ,
5 3
1
4 5 ,
2 3
Câu 5: Phương trình chính tắc đường thẳng A0; 4; 7 ,B 4;3; 2
x y z
x y z
x y z
x y z
Câu 6: Phương trình tham số của mặt phẳng đi qua ba điểm A( 1, 2,1 , ) B( 0, 1, 2 , ) C1, 3, 1 là:
a) AC (2,1, 2) nên
1 2
1 2
b) AB (1, 1,1), AC (2,1, 2) nên 2
2
2
Trang 2c) AB (1, 1,1) nên
1
1
d) AB (1, 1,1), AC (2,1, 2) nên 2
Câu 7: Trong 2, đường tròn 2 2
C x y y có phương trình tham số là:
2 2 sin
x
y
2 cos
2 2 sin
x y
2 4 sin
x
y
4 cos
2 4 sin
x y
Câu 8: Cho hình tròn 2 2
S x y x Phương trình tham số của đường tròn (C) là biên của (S):
a) 3 3cos , 0 2
3sin
x
y
3 3cos
3sin
x y
c) 3 3cos , 0 2
3sin
x
y
3 3cos
3sin
x y
Câu 9: Trong 2
, viết phương trình tham số của đường elip có trục lớn nằm trên Ox, độ dài trục
lớn là 20, độ dài trục nhỏ là 16, và nằm trong góc phần tư thứ tư
a) 10 cos ,3 2
8sin 2
t
10 cos
, 0 2 8sin
t
c) 8 cos ,3 2
10 sin 2
t
8 cos
, 0 2
10 sin
t
Câu 10: Phương trình tham số đường astroid:
3 3 33
x y là:
a)
2 2
3cos
, 0 2 3sin
t
3cos , 0 2 3sin
t
c)
2 3 2 3
3cos
3sin
t
d)
3 3
3cos
, 0 2 3sin
t
Câu 11: Phương trình tham số đường astroid:
2 2
16
x y nằm trong góc phần tư thứ hai là: a)
3 3
4 cos
, 0 4sin
t
3 3
8cos
, 2 8sin
t
c)
3 3
4 cos
, 2 4sin
t
3 3
8cos
, 0 8sin
t
Câu 12: Phương trình tham số của mặt cầu 2 2 2
x y là:
a)
1 16sin cos
2 16sin sin ,
0
3 16 cos
x
y
z
1 4sin cos
2 4sin sin ,
0
3 4 cos
x y z
Trang 3Trang 3
c)
1 2sin cos
2 2sin sin ,
0
3 2 cos
x
y
z
0
x y z
Câu 13: Viết phương trình tham số của mặt nón 2 2 2
x
z y z
sin
x r
r
y r
2 cos
2
x y z
c)
cos
x r
z r
cos
x r
z r
Câu 14: Viết phương trình tham số của mặt paraboloid 2 2
zx y
sin
x r
r
y r
2 cos
4
x y z
c)
2
cos
x r
z r
2
cos
x r
z r
Câu 15: Tìm giới hạn
2 2 ( , ) (0,0)
2 2
3
x y
y
a) L 1 b) 2
3
Câu 16: Tìm giới hạn
2 2
( , )lim(0,0)
x y
L
a) L không tồn tại b) L 1 c) L 2 d) L 1
Câu 17: Cho hàm số
2
( ,
( , ) (0, 0) )
xy
khi x y
x
i
Tìm a để f liên tục tại (0,0)
CHƯƠNG 2 VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Câu 18: Tìm vi phân cấp một của hàm hai biến y
zx
ln
y
dzx ydxx xdy b) 1
ln
y
dzx ydxx xdy
ln
y
ln
y
dzx x xdxydy
Câu 19: Tìm vi phân dz của hàm hai biến x y2
ze
2
x y
2
x y
dzxe ydxxdy
2
x y
2
x y
dzxe ydxxdy
Câu 20: Tìm vi phân dz của hàm hai biến
2 2
Trang 4a) dz 2y 2 ydx x y
d
2 23
x y
xdy
c) dz 2y 2 ydx x y
d
2 23
x y
xdy
Câu 21: Cho hàm hai biến 2
f x y xy xy Tìm f x y( , )
a) f x y( , ) 1 ysinxy, 2yxsinxy b) 2
( , ) 1 sin , 2 sin
f x y y xy y x xy
( , ) 1 sin , 2 sin
( , ) 1 sin , 2 sin
Câu 22: Tìm đạo hàm riêng cấp hai f xx(x y, ) của hàm số 2
f x y xe y y x
a)
2
2
( , )
3 sin
f x y
x
2 2
( , )
f x y
x
c)
2
2
( , )
f x y
x
2 2
( , )
3 sin
f x y
x
Câu 23: Tìm đạo hàm riêng cấp hai f yy(x y, ) của hàm số 2
f x y xe y y x
a) Ta có f x y( , ) e y 2y
y
2 2
( , )
2
y
f x y
e y
b) Ta có f x y( , ) y 2 sin
y
2 2
( , )
2
y
f x y
xe y
c) Ta có f x y( , ) y 2
y
2 2
( , )
y
f x y
y
d) Ta có ( , ) 2
sin
y
f x y
y
2 2
( , )
y
f x y
y
Câu 24: Cho các hàm số f x y( , )g xy u x y( ), ( , )xy Hãy xác định f
x
a) f g x'( ) u yg x'( )
y
c) f g u'( ) u yg u'( )
y
Câu 25: Cho z f x y( , ) là hàm ẩn thỏa 2 2 2
F x y z x y z x y z , xung quanh điểm 0,1, 2 Tính f 0,1
x
(0,1, 2) (0,1, 2
,
2
0
1
2
x z
F
(0,1, 2) (0,1, 2)
0
z
F
,1
)
x
F
,1
)
x
F
Trang 5Trang 5
Câu 26: Cho z f x y( , ) là hàm ẩn thỏa phương trình 4 2 3
F x y z x y x y e , xung
quanh điểm 1,1, 0 Tính f 1,1
y
6 1.1.
1,1
xyz y
xyz z
F
5 1.1.
1,1
xyz y
xyz z
F
7 1.1
,
.
1 1
xyz y
xyz z
F
5 1.1.
1,1
xyz y
xyz z
F
Câu 27: Tìm các điểm dừng của hàm hai biến 4 2 2
f x y x y
a 3 điểm dừng M1 0, 0 ,M2 2, 0 ,M3 2, 0 b 2 điểm dừng M1 0, 0 ,M2 2, 0
c 2 điểm dừng M1 2, 0 ,M2 2, 0 d 2 điểm dừng M1 0, 0 ,M22, 2
Câu 28: Cho hàm hai biến f x y( , ) có các đạo hàm riêng cấp 1 là 2
f
x x
2
f
Hãy xác định số điểm dừng của hàm số
a) Hàm số không có điểm dừng b) Hàm số có hai điểm dừng
c) Hàm số có ba điểm dừng d) Hàm số có bốn điểm dừng
Câu 29: Cho hàm 2 2
f x y x xy , có M(l,0) là điểm dừng và f xx(x y, )2, f yy(x y, )2,
,
xy
f x y Hãy chọn khẳng định đúng
a) Ta có 1, 0 2.2 0 4 0, f 1, 0 2 0 Suy ra, điểm M(1,0) là điểm cực đại
b) Ta có 1, 0 2.0 2 2 0 Suy ra, điểm M(1,0) là điểm yên ngựa
c) Ta có 1, 0 2.2 0 4 0, f xx 1, 0 2 0 Suy ra, điểm M(1,0) là điểm cực tiểu
d) Ta có 2 2
1, 0 2 2 0
Suy ra, không có kết luận với điểm M(1,0)
Câu 30: Cho hàm z f x y( , ) có f xx( , )x y 6x4,f yy( , )x y 2, f xy( , )x y 0 và M1( 1, 0) , 2 7, 0
3
là các điểm dừng Hãy xác định các điểm cực trị của hàm f
Nên M1 là điểm cực đại, M2 là điểm cực tiểu
Nên f không đạt cực trị tại M1, đạt cực tiểu tại M2
c Ta có x y, 2 6 x 4 nên 1, 0 0, f xx 1, 0 0 Do đó M1 là điểm cực đại
d Ta có x y, 2 6 x 4 nên 7
3
Hàm số không đạt cực trị tại M1,M2
Câu 31: Cho hàm z f x y( , ) có f xx( , )x y 6x4, f yy( , )x y 2, f xy( , )x y 0, M1(0, 1) , 2 4, 1
3
là các điểm dừng Hãy xác định các điểm cực trị của hàm f
a Hàm số không đạt cực trị tại M1,M2
b Không đạt cực trị tại M1, đạt cực tiểu tại M2
Trang 6c M1 là điểm cực đại
d M1 là điểm cực đại và M2 là điểm cực tiểu
Câu 32: Cho hàm hai biến z f x y( , ) có các đạo hàm riêng cấp hai lần lượt là f xx( , )x y 6y6,
yy
f x y y , f xy( , )x y 6x và M1 0, 0 ,M2 0, 2 ,M3 1,1 ,M4 1,1 là các điểm dừng Hãy xác
định các điểm cực trị của hàm f
a Hàm số không đạt cực trị tại M M3, 4, đạt cực tiểu tại M1, đạt cực đại tại M2
b Hàm số không có cực trị
c Hàm số không đạt cực trị tại M M3, 4, đạt cực đại tại M1, đạt cực tiểu tại M2
d M M M M1, 2, 3, 4 là các điểm cực tiểu
Câu 33: Cho hai hàm 3 3 3
, ,
f x y z x y z xyz và g x y z , , xyz 2 Nếu f đạt cực trị tại điểm
x y z, , với ràng buộc g x y z , , 0 thì tồn tại sao cho x y z, , , là nghiệm của hệ
a)
2 2 2
3
3
3
2 2 2
3 3
z xyz
xy
c)
2 2 2
3
3
3
x
y
2 0
xyz
f x y z x y z thỏa ràng buộc g x y z( , , ) x 2y2z 6 0
Hãy xác định các điểm cực trị có ràng buộc của hàm f
a) điểm CĐ 2,1, 1 b) điểm CĐ 2, 0, 2
c) điểm CT 2, 0, 2 d) điểm CT 2,1, 1
Câu 35: Cho hàm f x y z , , x 2y z 3 thỏa ràng buộc 2 2 2
g x y z x y z ,
có điểm dừng thỏa hệ phương trình
x y z
Hãy xác định các điểm cực trị có ràng buộc của hàm f
a điểm cực đại 2, 0, 1 , cực tiểu 0, 4,1
b điểm cực tiểu 2, 0, 1 , cực đại 0, 4,1
c điểm cực đại 3, 1, 1
, cực tiểu
, 3,
d điểm cực tiểu 3, 1, 1
, cực đại
, 3,
Câu 36: Cho hàm 2 2 2
f x y z x y z thỏa ràng buộc g x y z( , , )e xyz 1 0 có duy nhất một điểm dừng (0,0,0) Khẳng định nào sau đây là đúng?
a) (0,0,0) là điểm cực đại b) (0,0,0) là điểm yên ngựa
c) (0,0,0) là điểm cực tiểu d) Không có kết luận với điểm dừng (0,0,0)
Trang 7Trang 7
Câu 37: Tìm phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt 2xyyzzx2 tại (0,1,2)
a) 4x2y z 4 0 b) 2x z 1 0
c) 4x2y z 0 d) x y z 3 0
CHƯƠNG 3 TÍCH PHÂN BỘI
Câu 38: Nếu (x y, ) |a x b g x, 1 ( ) y g x2 ( ) thì
a)
2
1
( )
( )
g x b
a g x
f x y dxdy f x y dy dx
2
1
( )
( )
g x b
a g x
f x y dxdy f x y dx dy
c)
2
1
( )
( )
g x b
g x a
f x y dxdy f x y dx dy
2
1
( )
( )
g x b
g x a
f x y dxdy f x y dy dx
Câu 39: Nếu (x y, ) |c y d h y, ( 1 ) x h y2 ( ) thì
a)
2
1
( )
( )
h y d
h y c
f x y dxdy f x y dx dy
2
1
( )
( )
h y d
c h y
f x y dxdy f x y dy dx
c)
2
1
( )
( )
h y b
h y a
f x y dxdy f x y dy dx
2
1
( )
( )
h y d
c h y
f x y dxdy f x y dx dy
Câu 40: Trên miền lấy tích phân (x, y ) |a x b c, y d, viết tích phân bội thành tích phân lặp, khẳng định nào sau đây đúng?
f x g y dxdy f x dx g y dy
f x y dxdy f x y dx f x y dy
f x y dxdy f x dx f x y dy
f x g y dxdy f x dx g y dy
Câu 41: Tính tích phân I (x2 y dxdy2)
, trong đó là hình tròn 2 2
4
x y a)
I r rdr d d r dr
16
3
I r dr d d r dr
c)
I r rdr d d r dr
8
3
I r dr d d r dr
Câu 42: Biểu diễn miền 2 2
D x y trong hệ tọa độ cực
r
r
r
0
r
Câu 43: Tính tích phân I (x2 y dxdy2)
, trong đó là hình vành khăn 1x2y2 4
a)
I r rdr d d r dr
14
3
I r dr d d r dr
c)
15
2
I r rdr d d r dr
2
I r rdr d d r dr
Câu 44: Chuyển tích phân 2 2
I f x y dxdy
sang tọa độ cực, :x2y2 1,y0
a)
1 2
0 0
( )
1
0
( )
I rf r dr
Trang 8c)
2 1
0 0
( )
I rf r dr d
1
0 0
( )
I f r dr d
Câu 45: Trong hệ tọa độ cực, hình tròn 2 2
4
x y y có phương trình là a) 4 sin
4 cos 0
4sin 0
4 0
r
Câu 46: Biểu diễn miền D x: 2y2 4x trong hệ tọa độ cực
a) 4sin
0
0 4 sin 0
4 cos
Câu 47: Chuyển tích phân I f x y dxdy( , )
sang tọa độ cực, 2 2
, ta được
a)
4cos 2
0 2
( cos , sin )
2 4
0 0
( cos , sin )
c)
4sin 2
0 2
( cos , sin )
2
0 0
( cos , sin )
Câu 48: Trong hệ tọa độ cực, đường tròn tâm I 1; 0 , bán kính R1 có phưong trình là
a)
1
r
1
r
2 sin
2 cos
Câu 49: Biểu diễn cận lấy tích phân của miền 2 2
(x y) |y x y x
Câu 50: Nếu là miền giới hạn bởi các đường x y 1,x y 1,x0 thì
a)
1 1
0 1
x
x
f x y dxdy f x y dy dx
1 1
0 1
x
x
f x y dxdy f x y dy dx
c)
1 1
0 0
f x y dxdy f x y dx dy
1 1
0 1
f x y dxdy f x y dx dy
Câu 51: Cho là miền giới hạn bởi x1,y1,x y 3 Biểu diễn dưới dạng tập hợp:
a) ( , ) |1x y y 2,1 x y 3 b) ( , ) |1x y x 2, x 3 y 1
c) ( , ) |1x y y 3,1 x y 3 d) ( , ) |1x y x 3,1 y x 3
Câu 52: Nếu là miền tạo bởi tam giác có các đỉnh O 0, 0 ,A( 1, 0 , ) B 1, 1 thì
a)
1
0 0
x
f x y dxdy f x y dy dx
1
0 0
x
f x y dxdy f x y dy dx
c)
1 1
0 0
f x y dxdy f x y dy dx
1 0
0
x
f x y dxdy f x y dy dx
Câu 53: Trong 2
, cho nửa hình tròn có tâm O, bán kính R3, nằm ở phía trên trục Ox Biểu
diễn dưới dạng tập hợp:
Trang 9Trang 9
a) ( , ) | 3x y x 3, 0 y 3 b) 2
( , ) | 3x y y 3, 0 x 9 y
( , ) | 3x y x 3, 0 y 9 x
Câu 54: Thay đổi thứ tự lấy tích phân
1
0
( , )
y
y
f x y dx dy
( , ) | 0x y x 1,x y x
2
f x y dx dy f x y dy dx
( , ) | 0x y x 1,x y x
2
f x y dx dy f x y dy dx
( , ) | 1x y x 1,x y x
2
f x y dx dy f x y dy dx
( , ) | 0x y x 1,x y x
2
f x y dx dy f x y dy dx
Câu 55: Cho f x y , 2xye g x y x, , e x 2y Tìm hàm thế của cặp f g,
( , ) (2 )
y x
x y t e dt e dt C x e ye C
y x
x y t e dt e t dt C x e ye y C
1
2
y x
x y e dt x te dt C e xy y e C
y x
x y tdt e t dt C x ye y C
( , ), ( , ) x y 2 , x y 3
f x y g x y ye e x e xe y Tìm hàm thế ( , )x y
y x
x y t dt e xe t dt C x e y xe y C
y x
x y t dt e xe t dt C x ye xe y C
y x
x y t dt e xe t dt C x x e y xe y C
y x
x y t dt e xe t dt C x e y xe x y C
Câu 57: Cho 2 3
x y x y y C
là hàm thế của (f g, ) và C là đường cong khả vi xác định
bởi 4
yx x nối từ (0,0) đến (1,2) Khi đó
C
fdxgdy
C fdxgdy
C
fdxgdy
C fdxgdy
Trang 10CHƯƠNG 4 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
Câu 58: Chuyển tích phân đường 4
C
y
x
với C là cung parabol 2
2
y x nối từ điểm O(0,0) đến A(1, 2) sang tích phân Riemann
8
t
t
8
8
t
t
c)
8
t
t
1
0
8 1 4
I t tdt
Câu 59: Chuyển tích phân đường
C
x
y
với C là cung parabol 2
2
y x nối từ điểm A 1, 2
đến B 2, 2 sang tích phân Riemann
a)
t
2
t
c)
22 22
t
1 1
t
t
Câu 60: Trong 2
, cho : ( ),
( )
x x t
y y t
, f là hàm liên tục trên C Khi đó
b
f x y ds f x t y t x t y t dt
b
f x y ds f x t y t dt
b
f x y ds f x t y t x t y t dt
b
f x y ds f x t y t x t y t dt
Câu 61: Tính ( )
C
I xy ds với C là đoạn thẳng nối các điểm A(0,1) đến B(1,3)
a)
1 1
2
I t dt t t
1 1
2
(1 3 )
I t dt t t
c)
1 1
2
I t dt t t
1 1
2
3
2
I t dt t t
Câu 62: Tính
C
I xyds với 2 2
C x y nằm trong góc phần tư thứ nhất
a)
0
b)
2
0
Trang 11Trang 11
c)
2
0
d)
2
0
Câu 63: Tính 2
C xds
với C là đường tròn 2 2
4
x y x
0 0
0 0
0 0
2
2 0 0
Câu 64: Chuyển 2
C
I y ds với : ( sin ), 0 2
(1 cos )
x a t t
sang tích phân Riemann
a) ' (1 cos ), 0 2
' sin
t
2
0
2
t
b) ' (1 cos ), 0 2
' sin
t
2
0
c) ' cos , 0 2
' sin
t
y a t
2 3 0
2
t
d) ' cos , 0 2
' sin
t
y a t
2
3 2 0
Câu 65: Tính ( 2 )
C
I x y ds với C là đường
2 cos 2sin , 0
z t
0
b)
0 0
0
d)
0 0
Câu 66: Tính ( 2 2 ) (2 2)
L
I x xy dx xyy dy , với L y: x2 nối từ (0,0) đến (2,4)
0
136
15
0
208
5
I t t t t t dt
0
29
30
0
8
15
I t t t t dt
Câu 67: Tính 3
MN ydxxdy
, với MN là đoạn thẳng nối từ điểm M(1,0) đến điểm N(l, 4)
Trang 12a)
0
MN
ydxxdy dt
0
MN ydxxdy t dt
c)
1
0
MN
ydxxdy dt
1
0
MN ydxxdy t dt
Câu 68: Cho : 2 cos , 0
x C y
2 2
C
I x y dx
a)
2
2 2
0
4 (2 cos
C
2
2 2
0
2 (2 cos
C
c)
2
2 2
0
C
2
2 2
0
C
Câu 69: Cho hai hàm 5
f x y x y g x y e x , và C là đường tròn tâm I0, 1 bán kính 1
R Hãy chọn cách biến đổi đúng
0
C
0
C
c)
2
0
C
d) 5
C
x y dx e x dy
f x y x y g x y y x, và
E Hãy chọn cách biến đổi đúng
E
x y dx y x dy
b)
2
0
E
c)
2
0
E
d)
2
0
E
C
x y dx x y dy
, trong đó là các cạnh của tam giác ABC Sử dụng định
lý Green để chuyển tích phân đường sang tích phân kép
a) Đặt
2 2 2
( , )
4
( , )
f x y
x
g x y
x y x
Do đó I (6x 2 )y dxdy
b) Đặt
2 2 2
4 ( , ) 2( )
2( ) ( , ) ( )
x x
f y
f x y x y
g x y x y