Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê chương 4 nguyễn văn tiến

Yêu cầu• Phân phối xác suất đồng thời • Phân phối lề tính từ ppxs đồng thời • Phân phối xác suất điều kiện • Sự độc lập của hai biến ngẫu nhiên • Các tham số đặc trưng... • Nếu X và Y rờ

Chương 4

Biến ngẫu nhiên hai chiều

rời rạc

Yêu cầu

• Phân phối xác suất đồng thời

• Phân phối lề (tính từ ppxs đồng thời)

• Phân phối xác suất điều kiện

• Sự độc lập của hai biến ngẫu nhiên

• Các tham số đặc trưng

Khái niệm

• Là bộ có thứ tự (X,Y) với X, Y là các biến ngẫunhiên

• Nếu X và Y rời rạc ta có bnn hai chiều rời rạc

• Nếu X và Y liên tục ta có bnn hai chiều liên tục

• Nếu một biến rời rạc và một biến liên tục sẽ rấtphức tạp nên ta không xét trường hợp này

Ví dụ 1

• Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm Nếukích thước sản phẩm đo bằng chiều rộng X vàchiều dài Y thì ta có bnn hai chiều (X, Y)

• Nếu xét thêm cả chiều cao Z thì ta có bnn 3 chiều(vec tơ ngẫu nhiên 3 chiều) (X,Y,Z)

• Nếu chỉ quan tâm đến trọng lượng W và thể tích Vcủa sản phẩm thì ta có bnn hai chiều (W,V)

Hàm khối xác suất đồng thời

• Joint probability mass function (p.m.f.)

• Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc Gọi S là tậphợp giá trị của X và Y

• Ký hiệu: pX,Y(x,y)

Bảng ppxs đồng thời của (X,Y)

Bảng ppxs đồng thời của (X,Y)

Phân phối lề

• Marginal Probability Mass Function

• Phân phối lề của X:

• Phân phối lề của Y:

Sự độc lậpHai biến ngẫu nhiên X, Y gọi là độc lập nếu:

Ví dụ 2Cho hàm khối xác suất đồng thời như sau:

Trong đó:

a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời

b) Hai biến ngẫu nhiên X, Y có độc lập?

The Trinomial Distribution

• Sinh viên đọc thêm

Ppxs có điều kiện

• Giả sử bnn 2 chiều (X,Y) có hàm khối xác suất đồngthời và các hàm khối xác suất thành phần:

• PPXS điều kiện của X khi cho Y=y là:

• PPXS điều kiện của Y khi cho X=x là:

Kỳ vọng có điều kiện (hồi quy)

• Kỳ vọng của X với điều kiện Y=y (còn gọi là hồi quycủa X theo Y khi Y=y)

• Kỳ vọng của Y với điều kiện X=x (còn gọi là hồi quycủa Y theo X khi X=x)

Phương sai có điều kiện

• Phương sai của X với điều kiện Y=y

X y X y X y y

V X Y y x p x

rộng

(mm)

• Tìm E(Y|X=129) và V(Y|X=129)

Ví dụ 5

• Chọn ngẫu nhiên 2 cục pin, không hoàn lại, từ 12cục pin, trong đó bao gồm 3 cục mới, 4 cục đã sửdụng và 5 cục bị hỏng

• Gọi X là số pin mới được chọn

• Gọi Y là số pin đã sử dụng được chọn

• Lập bảng ppxs đồng thời của (X,Y)

• Tìm E(X), E(Y)

Ví dụ 8

• Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên(X,Y) cho bởi bảng sau:

• Lập bảng ppxs của X với đk Y=2 Tính E(X|Y=2)?

• Lập bảng ppxs của Y với đk X=8 Tính E(Y|X=8)?

Ví dụ 9

• Chi phí quảng cáo X (triệu đồng) và doanh thu Y(triệu đồng) của một công ty có bảng ppxs đồngthời như sau:

500 (400-600)

700 (600-800)

900 (800-1000)

Ví dụ 10

• Lãi suất cổ phiếu tính trên 100 USD khi đầu tư vào hai ngân hàng A và B trong 1 năm tương ứng X, Y )(đơn vị %)

có ppxs đồng thời như sau:

• A) Lập bảng phân phối biên của X, Y Tính lãi trung bình của từng ngân hàng.

Kỳ vọng của hàm theo X,Y

• Cho X,Y có phân phối đã biết Đặt Z=h(X,Y) là biếnmới

Hiệp phương sai (Covariance)

• Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X và Y, kýhiệu cov(X,Y), là kỳ vọng toán của tích các sai lệchcủa các bnn đó và kỳ vọng toán của chúng

cov X Y ,  E X  X Y  Y   XY

   

cov X Y ,  E XY   X Y

vớ i mọi X, Y.

Nế u X và Y độ c lậ p thì

nế u ab>0 nế u ab<0 khi và chỉ khi:

nế u a>0 nế u a<0

Về dấu của Corr(X,Y)

• https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/113/

• Tại sao ρX,Y có thể đo mức độ tương quan tuyến tính?

• Tại sao ρX,Y càng gần 1; -1 thì mức độ quan hệ tuyến tính càng mạnh

Ví dụ 14Cho bảng ppxs đồng thời:

a) Tìm hệ Corr(X,Y)

b) X và Y có phải là hai biến ngẫu nhiên độc lập