Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê chương 3 nguyễn văn tiến

Khi nào có phân phối Bn,pphân phối Nhị thức nếu: • Một thí nghiệm hoặc một phép thử được thực hiện trong cùng một điều kiện đúng n lần • Trong mỗi phép thử chỉ có 2 biến cố.. Hãy tìm côn

QUY LUẬT PHÂN

PHỐI XÁC SUẤT

THƯỜNG GẶP

1

Chương 3

Chương 3

3.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc

3

Phân phối Không – một

Phân phối Nhị thức

Ví dụ mở đầu Bắn ba viên đạn vào bia Xác suất bắn

trúng của mỗi viên đều là 0,8 Gọi X là số viên đạn trúng bia.

( )

2 ( )

Phân phối Nhị thức (Binomial)

Khi nào có phân phối B(n,p)

phân phối Nhị thức nếu:

• Một thí nghiệm hoặc một phép thử được thực hiện trong cùng một điều kiện đúng n lần

• Trong mỗi phép thử chỉ có 2 biến cố Một biến cố gọi là

“thành công” và một biến cố “thất bại”.

Ví dụ 1

hiện mặt ngửa mỗi lần tung là 70% Tung đồng xu

100 lần, theo các cách y hệt nhau Gọi X là số lầnđồng xu xuất hiện mặt ngửa X có phải là biếnngẫu nhiên có phân phối Nhị thức?

viên cho đến khi anh ta tìm thấy bốn sinh viên tìnhnguyện đi mùa hè xanh Đặt X là số sinh viên đượclấy mẫy X có phải là biến ngẫu nhiên có phân phối

Ví dụ 2

trưởng thành ngẫu nhiên được tiến hành Đặt X là

số người sở hữu một chiếc xe thể thao đa dụng(SUV) trong mẫu X có phải là biến ngẫu nhiên nhịthức không?

lô gồm 15 sản phẩm Anh ta lấy mẫu ngẫu nhiên(không thay thế) 5 sản phẩm từ lô Đặt X bằng sốsản phẩm đạt yêu cầu X có phải là biến ngẫu nhiênnhị thức không?

9

Effect of n and p on Shape

For small p and small n,

the binomial distribution

is what we call skewed

right

For large p and small n,

the binomial distribution

is what we call skewed

left

Effect of n and p on Shape

11

For p = 0.5 and large and

small n, the binomial distribution

is what we call symmetric.

For small p and large n, the

binomial distribution

approaches symmetry.

Ví dụ 3

trị một bệnh hiếm gặp về máu là 0,4 Nếu 15người đồng ý chữa trị thì xác suất:

Ví dụ 4

bị điện tử về để bán Nhà sản xuất cho biết tỷ lệ bị

hư hỏng của loại thiết bị này là 3%

a) Bộ phận kiểm tra lấy ngẫu nhiên 20 thiết bị từ lô

hàng được giao Xác suất có ít nhất 1 thiết bịhỏng là bao nhiêu?

b) Giả sử cửa hàng nhập 10 lô hàng 1 tháng và với

mỗi lô hàng đều được kiểm tra ngẫu nhiên 20thiết bị Xác suất có đúng 3 lô hàng có chứa ítnhất 1 thiết bị hỏng trong số 20 thiết bị được

Ví dụ 5

nông thôn có tạp chất Để có thể tìm hiểu kỹ hơnngười ta đi xét nghiệm một số giếng (vì không đủtiền xét nghiệm hết)

3 giếng có tạp chất

có tạp chất Có thể kết luận gì về giả thiết trên?

15

Ví dụ 6

nào đạt 4 trận thắng trước là đội chiến thắng cảgiải Xác suất đội A thắng một trận đấu bất kỳ đều

là p và giả sử rằng các trận đấu đều độc lập nhau

17

Phân phối siêu bội

• Định nghĩa Nếu ta chọn ngẫu nhiên n phần tử,

không hoàn lại, trong một tập hợp gồm N phần tửvới:

chọn Khi này PDF của X dạng

Phân phối siêu bội

19

)     )     )      

C C

p x

C

Mô hình siêu bội

Xét tập hợp có N phần tử

Lấy ngẫu nhiên n phần tử Lấy ngẫu nhiên n phần tử,

không hoàn lại.

Ví dụ 7

các nhà khoa học Một nhà nghiên cứu chọn ngẫunhiên 15 con từ hồ Hãy tìm công thức cho hàmP.M.F của biến ngẫu nhiên X, với X là số cá đượcđánh dấu có trong mẫu lấy ra

23

Ví dụ 8

bạn của bạn, xếp hàng một cách ngẫu nhiên Gọi X

là biến ngẫu nhiên thể hiện số người ở giữa bạn

và bạn của mình Hãy xác định PMF của X dướidạng bảng Hãy kiểm ta tính hợp lý của hàm PMFnày

Ví dụ 9

mua kiện hàng nếu có từ 3 sản phẩm lỗi trở lên

Để tiện, bên mua quy ước lấy 5 sản phẩm ra kiểmtra, nếu có đúng 1 sản phẩm lỗi thì không mua lôhàng Xác suất tìm thấy đúng 1 sản phẩm lỗi biết

lô hàng có 3 sản phẩm lỗi là bao nhiêu?

25

Ví dụ 10

Trong một cửa hàng bán 100 bóng đèn có 5 bónghỏng Một người mua ngẫu nhiên 3 bóng Gọi X

là số bóng hỏng người đó mua phải

a) X pp theo qui luật gì? Viết biểu thức?

b) Tính kì vọng, phương sai của bnn X?

c) Tính ModX?

Ví dụ 11

Một hộp có 20 sản phẩm trong đó có 6 phế phẩm.Lấy ngẫu nhiên 4 sp từ hộp Gọi X là số phế phẩmtrong 4 sp

a) Luật phân phối xác suất của X

b) Tính E(X), Var(X)?

c) Tìm Mod(X)

27

Quan hệ giữa Nhị thức và siêu bội

Ví dụ 12

máy gửi cho một nhà phân phối ở HCM có 1000lốp có lỗi nhẹ Nếu một người mua ngẫu nhiên 10lốp xe từ nhà phân phối này thì xác suất có 3 lốpmắc lỗi là bao nhiêu?

29

Phân phối Poisson

(không gian)

• X có thể là bnn Poisson

• Số lỗi sai trên 1 trang in

Phân phối Poisson P(λ)

Định nghĩa: bnn X gọi là phân phối theo qui luật

Điều kiện để xấp xỉ phân phối Poisson

• X: số lần sự kiện xh trong 1 khoảng liên tục.

• X tuân theo quá trình xấp xỉ Poisson với tham số λ>0 nếu:

a) Số lượng các sự kiện xh trong những khoảng rời nhau

• Số lần gõ bị sai của khi đánh máy một trang giấy.

• Số lần động vật bị chết do xe cộ cán phải trên mỗi đơn vị độ dài của một con đường.

Ví dụ 13

Trong một nhà máy dệt, biết số ống sợi bị đứt trong 1 giờ có phân phối Poisson với trung bình là 4 Tính xác suất trong 1 giờ có

a Đúng 3 ống sợi bị đứt ( biến cố A)

b Có ít nhất 1 ống sợi bị đứt.( bc B)

37

Ví dụ 14

Một trạm điện thoại trung bình nhận được 300 cuộc gọi trong một giờ Tính xác suất:

a) Trạm nhận được đúng 2 cuộc gọi trong vòng 1 phút.

b) Trạm nhận được đúng 3 cuộc gọi trong vòng 5 phút.

Xấp xỉ B(n,p) bằng P(λ)

Nhị thức bằng phân phối Poisson

Ví dụ 15

• Năm phần trăm (5%) bóng đèn cây thông Giáng sinh

do một công ty sản xuất bị lỗi Giám đốc của bộ phận kiểm soát chất lượng của công ty khá quan ngại và do

đó lấy mẫu ngẫu nhiên 100 bóng đèn ra khỏi dây chuyền lắp ráp Gọi X là số bóng đèn trong mẫu bị lỗi Xác suất mà mẫu chứa nhiều nhất là ba bóng đèn bị lỗi

là bao nhiêu?

Ví dụ 16

báo khác nhau Xác suất bán hết báo trong ngàycủa mỗi loại là 0,8 Vậy nếu trong một năm vớikhoảng 300 ngày bán hàng thì có khoảng baonhiêu ngày bán không hết báo?

41

3.2 Biến ngẫu nhiên liên tục

Phân phối đều

Định nghĩa Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối

đều U(a,b) nếu hàm mật độ có dạng:

Trong đó: ≤ ≤

43

1 ( ) 

Phân phối đều

Ứng dụng của phân phối đều

• Các giá trị gần đúng của phân phối U (0,1) có thể được mô phỏng trên hầu hết các máy tính sử dụng bộ tạo số ngẫu nhiên Các số được tạo sau đó có thể được sử dụng để chỉ định ngẫu nhiên một người điều trị trong các nghiên cứu thử nghiệm hoặc chọn ngẫu nhiên một cá nhân

để tham gia vào một cuộc khảo sát.

• Các số ngẫu nhiên được tạo từ máy tính không thực sự ngẫu nhiên về mặt kỹ thuật, vì chúng được tạo từ một số giá trị ban đầu (được gọi là hạt giống- seed).

• Nếu cùng một hạt giống được sử dụng lặp đi lặp lại, cùng một chuỗi các

số ngẫu nhiên sẽ được tạo ra Việc tạo số ngẫu nhiên như vậy đôi khi được gọi là tạo số giả ngẫu nhiên Mặc dù một chuỗi các số ngẫu nhiên được xác định trước bởi một số hạt giống, các số này hoạt động như thể chúng thực sự được tạo ngẫu nhiên, và rất hữu ích trong các ứng dụng như trên Tuy nhiên, chúng có thể không hữu ích trong các ứng dụng về mật mã hoặc bảo mật internet!

45

Ứng dụng của phân bố đều

• Bài 1 Lớp có 40 sinh viên, giảng viên cần chia

thành 2 nhóm mỗi nhóm 20 sinh viên Làm cáchnào chia nhóm một cách ngẫu nhiên?

• Bài 2 Làm cách nào chọn được ngẫu nhiên 100

sinh viên trong toàn bộ sinh viên đang học tạiFTU2 (giả sử gồm 4000 sinh viên) để tham giakhảo sát về chất lượng giảng dạy

• Xem bài viết gốc tại:

Biểu đồ Q-Q (quantile-quantile plot)

hợp dữ liệu cụ thể tuân theo phân phối xác suất

Ví dụ 17

nhiên từ phân phối U(0,1) bằng phần mềmMinitabs Hãy xem xét xem các số này có phù hợpvới mô hình xác suất cho bởi f(x)=1 với 0<x<1 haykhông?

Ví dụ 17

49

Lý thuyết Data

E(X) 1/2 = 0.5 0.4648 V(X) 1/12 = 0.0833 0.078

Phân phối lũy thừa

Định nghĩa Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối

lũy thừa E( ) nếu hàm mật độ có dạng:

Trong đó: 0≤ , > 0

( )   x

f x e

Phân phối lũy thừa

Ví dụ 19

trước khi phải thay pin ắc quy có phân phối lũythừa với trung bình là 10.000 km Chủ xe muốn đi

du lịch bụi với quãng đường khoảng 5000km Xácsuất để anh ta có thể hoàn thành chuyến đi màkhông cần phải thay pin ắc quy là bao nhiêu?

53

Phân phối chuẩn N(, 2)

phối chuẩn N(,  2 ) nếu hàm mật độ có dạng:

2 (

 

 

Chuẩn hóa phân phối chuẩn

• Định lý Nếu ~ , thì biến ngẫu nhiên chuẩn hóa của nó, = , cũng có phân phối chuẩn Cụ thể là:

• Phân phối N(0,1) được gọi là phân phối chuẩn tắc.

Xác suất của phân phối chuẩn

Ta có thể tìm xác suất dạng P(a<X<b) của biến ngẫu

Bảng phân phối chuẩn tắc

Giá trị tới hạn Zα

Ý nghĩa của giá trị Z

so với trung bình, đo bằng đơn vị độ lệch chuẩn

chuẩn

chuẩn

để xác định xem một người có vượt quá cácngưỡng trong các đo lường sinh học và vật lý hay

Tính chất

phối chuẩn là một bnn cũng có pp chuẩn

Nhận biết phân phối chuẩn

http://www.jbstatistics.com/normal-quantile-quantile-plots/

• Ví dụ Liệu các giá trị sau đây có phải được lấy ra

từ một phân phối chuẩn?

65

Nhận biết phân phối chuẩn

B1 Sắp xếp dữ liệu

3.77; 4.25; 4.5; 5.19; 5.79; 5.89; 6.31; 6.79; 7.19

B2 Chia vị trí và xác định các giá trị phân vị trênđường cong chuẩn tương ứng

Nhận biết phân phối chuẩn

B3 Vẽ biểu đồ Q-Q plot bao gồm các giá trị đượcsắp ở B1 và các phân vị ở B2

Ví dụ 21

Giả sử thời gian khách phải chờ để được phục vụ tạimột cửa hàng là bnn X, biết X~N(4,5; 1,21)

a) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 đến 5 phút?b) Tìm t biết xác suất khách phải chờ không quá t là

không quá 5%?

69

Ví dụ 22

phối N(10; 6,25) Khi bán một máy thì lời 1,4 triệuđồng nhưng nếu máy lạnh phải bảo hành thì lỗ 1,8triệu đồng Vậy để có tiền lãi trung bình khi bánloại máy lạnh này là 0,9 triệu đồng thì cần qui địnhthời gian bảo hành là bao lâu?

Phân phối Khi bình phương

1

, 0 2

Khi bình phương và Chuẩn

• Định lý Nếu ~ , thì:

• Định lý Cho n biến ngẫu nhiên độc lập cùng có

phân phối chuẩn tắc

i

Phân phối Khi bình phương

Bậc tự do n và dạng đồ thị

X

Bảng giá trị tới hạn Khi bình phương

77

Quan hệ với Chuẩn và Khi BP

• Định nghĩa Nếu ~ 0,1 và ~ là haibiến ngẫu nhiên độc lập thì biến ngẫu nhiên:

có phân phối Student hay phân phối t với n bậc tựdo

Phân phối Student t(n)

• Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối

Student với n bậc tự do nếu hàm mật độ có dạng:

Bảng giá trị tới hạn Student

83

Phân phối Fisher - Snedecor

• Định nghĩa Nếu ~ ; ~ là hai biến

ngẫu nhiên độc lập nhau thì biến ngẫu nhiên:

85

/ /

Đồ thị hàm mật độ

Giá trị tới hạn phân phối Fisher

Bảng giá trị tới hạn Fisher

89

Ví dụ 26

nhiên độc lập cùng phân phối Khi bình phương vớibậc tự do tương ứng là 4 và 6 Tìm xác suất để đạilượng thứ nhất bé hơn 3 lần đại lượng thứ 2

91

3.3 Định lý giới hạn trung tâm

• Giả sử X1, X2, , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và

có cùng phân phối xác suất (bất kỳ dạng nào) với kỳ

vọng μ và phương sai hữu hạn σ2 Khi n đủ lớn thì:

a) Trung bình cộng của Xi, ký hiệu , có phân phối xấp xỉ

với phân phối chuẩn.

Định lý giới hạn trung tâm

Ví dụ 28

của khách hàng thứ i Một trợ lý quản lý tuyên bốrằng, thời gian chờ đợi trung bình của toàn bộkhách hàng, là 2 phút Người quản lý không tinvào tuyên bố của trợ lý, vì vậy anh ta quan sát mộtmẫu ngẫu nhiên gồm 36 khách hàng Thời gianchờ trung bình cho 36 khách hàng được quan sát

là 3,2 phút Người quản lý có nên bác bỏ tuyên bốcủa trợ lý ( và sa thải anh ta) không?

95

Ví dụ 29

được đóng thành vỉ, mỗi vỉ 10 viên Một vỉ đượcgọi là đúng tiêu chuẩn khi có trọng lượng từ 2490

mg đến 2510 mg (đã trừ bao bì) Lấy ngẫu nhiên

100 vỉ để kiểm tra Tính xác suất:

Ví dụ 30

• Khảo sát một lô thuốc viên, trọng lượng trung bình của một viên thuốc là 252,6 mg và có độ lệch chuẩn 4,2

mg Giả sử trọng lượng pp theo quy luật chuẩn.

• A Tính tỷ lệ viên thuốc có trọng lượng lớn hơn 260 mg.

• B Tính trọng lượng x0 sao cho 30% viên thuốc nhẹ hơn x0.

• C Viên thuốc đạt tiêu chuẩn phải có trọng lượng xung quanh trung bình với độ lệch tối đa 5% Tính tỷ lệ viên thuốc đúng tiêu chuẩn của lô thuốc được khảo sát.

101