Bài tập đại số và hình học giải tích phần 2

Cuối chương là một sô bài điển hình về việc áp dụng hệ phương trình tuyến tính cho không gian véc tơ.... Chứng minh rằng hệ các véc tơ sau là phụ thuộc tuyến tính, biểu diển mỗi véc tơ

Cuối chương là một sô bài điển hình về việc áp dụng hệ phương trình tuyến tính cho không gian véc tơ.

G iải các hệ p h ư ơ n g trìn h tuyến tín h bâng p h ư ơ n g p h á p

x +2x.; - x 3 = 0 ,

9 V

4AI +7x2 -5x3 = 0 , ,4x - x 2 +5x3 = 0 ;

5.11 Giải các hệ p h ư ơ n g trìn h tuyến tín h và so sánh tập nghiệm

3Xj - x 2 - x 3 + 2 x 4 = 6 , 3Xj - x2 +3x3 -X, = 6 ;

X 1 +2x2 +3x, +4x4 = 0 ,

2Xj +3x9 +4x:ị + x 4 = 0 , 3Xj + 4 x 2 +x3 +2x4 = 0 , 4x1 +x2 +2x3 +3x4 = 0

+ i ) X j - X 2 + ( l - i ) x 3 = —

X, +ix2 -ix 3 = 1 + i ,

5.18 < (1 + i)x, + ( l- i) x 3 = 1 + i ,

-ix, +x2 +(1 - 2i)x3 = 1 - i

5.2 Đ ịn h lý K ron eck er - C apelli

G iải và biện lu ậ n các hệ p h ư ơ n g tr in h tu y ế n tín h sau:

-1 1

1 2 /v x3y

^4^ 1

v 8 ,

5.27 Giả sử A = (a^) và |A| *■ 0 , Chứng m inh công thức :

trong đó Aịj là phần phụ đại số của a () (i, j = l, ,n )

5.28 Cho các véc tơ V, = (au , ,alD) v n = (anl, ,a nn) Chứng

minh rằng {v ,, ,v nỊ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi

định thức ịa^l * 0.

5.29 Chứng minh rằng Vj.V2.V3 lập thành cơ sở của c 3, tìm toạ

độ của V đổi với cơ sở đó:

5.30 Chứng minh rằng hệ các véc tơ sau là phụ thuộc tuyến

tính, biểu diển mỗi véc tơ qua các véc tơ còn lại:

5.34 Tìm phần bù trực giao của không gian con L sinh bởi

vl,v2,v3 theo tham sô" a với: ĩ vt = (l,a,l,3),

5.36 Giả sử N0 là không gian nghiệm của một hệ phương trình

tuyến tính thuần nhất n ẩn với ma trận A và r(A) = k Chứng minh rằng d im N() = n - k

5.37 Cho không gian con L = S ’{v1,v2,v3| với Vj = (1,1,-1,-2),

v2 =(1,2,0,1), v3 = (5,8,-2,-1) Hảy viết hệ phương trình tuyến tính thuần nhất xác định L (tức hệ có không gian nghiệm N0 = L).

5.38 Tìm chiều và một cơ sở của không gian con S?(X)ní?(Y),

ta g iả i trên trư ờng R là trư ờ ng hợp p h ổ biến n h ấ t .

X, +

x2 =

-X3 »

5.1 l^a) H ướng d ẫ n Cách 1: Giải hệ thuần nhất trước, được tập

nghiệm là A = |k(l,6,-4) I k e R| (không gian con 1 chiểu của R3) Giải hệ thứ 2, lấy một nghiệm riêng, chẳng hạn

Chú ý: Nghiệm tổng quát của hệ 2 là

' ( 1

2

u

A , “ 2,0 -f k ( l , 6 , - 4 ) , k € R .

Cách 2: Giải hệ không thuần nhất trưỏc, quy về hệ:

5.20 a) a * 1: hệ vô nghiệm ; a = 1 hệ có nghiệm :

(1,0,0)+ k(5,-1 ,-3 ), k e R b) a = - 1: hệ vô nghiệm ; a * -1 hệ có nghiệm :

5.23 a) a, b, c khác nhau từng đôi một, hệ có nghiệm duy nhất :

5.25 H ư ớ n g d ẫ n Quy vê việc giải các hệ phương trình tuyến

tính và xem hướng dẫn Bài 4.12.

- 2 , 5.26 a)

5.27 H ướng d ẫ n Giả sử A = (8^), A 1 =(xjj) Để tính cột 1 của

Từ ma trận cuối cùng ta suy ra Xj, x9, x3, đồng thời cho thấy

định thức gồm 3 cột ở bên trái gạch dọc khác không, suy ra

5.34 H ướng d ẫ n Giả sử V = (Xj, x2, x3, X,) thuộc phần bù trực

giao, suy ra V.VJ = v.v2 = v.v3 = 0, do đó có hệ phương trình xác định bởi ma trận :

u = X, V, + X2V2 + X3V3 và đ ặ t V = u + h với điểu k iệ n h trự c

giao vói v,,v2,v3 Nhân lần lượt v1,v,,v3 vào phía trái 2

vế của u + h = V ta có hệ phương trình đối với x ,,x 2,x3 là:

5.36 H ư ớ n g d ẫ n Hệ phương trình đã cho được rút gọn còn k

phương trình cho bởi k véc tơ (n thành phần) độc lập

có các phương trình tuyến tính xác định lần lượt i?(X) và

5?(Y) là 5Xj - x2 - x3 =0 và Xj - x2 + 2x3 = 0 Vậy giao của

2 không gian con đó là nghiệm của hệ hai phương trình

trên

Cách 2: ar(X) có cơ sở là {u1 = (1,3,2),u2 = ( 0 ,- l,l) } , ST(Y)

có cơ sỏ là {Vj = (1,1,0),v2 = (0,2,1)} Giả sử

V € S p( X ) n S p(Y ), suy ra V = XjUj +X2U2 = YjVj + y 2v2 Vậy

ta có hệ phương trình tuyến tính ẩn x1,x2,y 1,y2 là :

6.1 Ánh xạ tu y ế n tín h

6.1 Giả sử V, V’ là các K- không gian véc tơ và f : V -> V' là

một ánh xạ Chứng minh rằng các điểu kiện sau là tương đương:

a) f(u + v) = f(u) + f(v) và f(A.u) = kf(u), VA € K,Vu,V G V ; b) f(Xu + ỗv) = Xf(u) + ôf(v), vx,s € K,Vu,v e V

6.2 Chứng minh rằng, nếu f : V V' là ánh xạ tuyến tính thì:

a ) f(0) = 0 ;

b) f(-v) = -f(v),Vv e V ;

c) f = ^ X if ( v i ) , V X i € K , V V j € v , i = l , , n ;

i=l J i=l

6.4 Kiểm tra xem các ánh xạ sau có là tuyến tính (chú ý rằng

nếu V = (xp ,xn) thì th a y cho f((x ,, ,x n)) ta viết f(x,, ,xn) ) :

6.7 Cho các không gian véc tơ V = M(2x3,R), V' = M(3x2,R)

Chứng tỏ các ánh xạ sau là tuyến tính:

a) f : V - > V \ f ( X ) = X \ V X e V ;

a b b) f :V -> V,f(X) = AX, VX€ V, trong đó A

ma trận thực cho trước

6.8 Giả sử f : V -> V' là ánh xạ tuyến tính Chứng minh rằng:

a) Nếu u là không gian con của V thì f(U) là không gian con của V’;

b) Nếu Uj,U2 là các không gian con của V và Uj C U9 thì f(Uj) là không gian cơn của f(U9) ;

c) Nếu s là tập con của V thì f(ar(S))= 2T(f(S));

r l(U) = Ịv € V|f(v) € u | là không gian con của V

6.1 2 Chứng minh rằng, nếu {v,, ,vnỊ là cơ sở của V thì

Imf = i ? Ị f ( v , f ( v n )Ị Tìm Imf, Kerf của các ánh xạ tuyến tính f trong Bài 6.5.

6.13 Hãy thiết lập ánh xạ tuyến tính f : V —> V' khi cho n “giá trị”

f(v1 f(v ) thuộc V’ trong đó {vp ,vnj là cơ sở của V.

f(Uj) = v4, tìm Imf, Kerf:

cho f(u ) = Vj, i = 1,2,3 Trong trường hợp nào f là khả

a) Tích 2 đơn cấu là một đơn cấu;

b) Tích 2 toàn cấu là một toàn cấu;

c) Mọi K- không gian véc tơ n chiều đểu đẳng cấu với Kn 6.19 Đặt H = HomK(V,V') (Tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ

V vào V’) Chứng minh rằng H là K- không gian véc tơ đôi với phép cộng ánh xạ tuyến tính và phép nhân hệ sô" thuộc K.

6.2 0 Cho Rn với n > 2 và 1 < k < n Cho các ánh xạ p,q: Rn — » Rn,

p(x1, ,xn) = (xp ,xk,0, ,0),q(xl, ,xn) = (0, ,0,xk+1, ,xn).

Tính p + q, p - q, p.q và q.p, tìm ảnh và nhân của chúng 6.21 Cho <p: Rn[x] —> Rn[x],(p(p(x)) = p’( x ) Tìm Im(p, Ker(p.

6.2 2 Chứng minh rằng:

a) Kerf CZ Ker(g 0 ;

b) Im(g f) C Img

6.23 Hạng và sò khuyết của ánh xạ f được ký hiệu lần lượt là

ra n k f, defect f Tính ra n k f, defect f với :

b) Viết ma trận của ánh xạ tuyên tính f : R3 -» R2 trong cặp cơ sở chính tắc biết f(e1) = (l,2), f(e2) = (3,l)> f(e3) = (2, -1) Tìm ảnh của véc tơ u = (1,-2,3) và tập

6 3 0 G iả s ử { u1, , u nỊ là cơ sở c ủ a K n v à A là m a t r ậ n với các

v é c tơ c ộ t là U j , ,ư n ; G iả sử Ị v p , v nỊ là h ọ v é c tơ b ấ t k ỳ

c ủ a K m v à B là m a tr ậ n với c á c v é c tơ cộ t là V J , , V G iả

6.37 Tim f 1 biết ma trận của f là: A

Giả sử u=(x,,x2, J^)eR?; ueKerf of(u) = 0 o ( x 1,x,) = 0

o u = (0,x2,0) Vậy Kerf = |(0,x2,0) I x2 € R| = SrỊe.^Ị

b) Imf = S ’leo.ej}, Kerf = S ’fe,}

c) Imf = S ’{e9)e3}1 Kerf = 0 .

1) G iả s ử f là đơn cấu v à { V, , , v n} là cờ sở c ủ a V T h e o

B à i 6 1 6 { f ( V j f ( v n)} độc lậ p t u y ế n t í n h tr o n g V ’, do

đó là cơ sở c ủ a v \ su y ra f là đ ẳ n g c ấ u

2) f là đ ẳ n g c ấ u th ì đ ư ơ ng n h i ê n là t o à n c ấ u

3) f là toàn cấu thì d im Im f = dim V 1 = n Vậy

dim K er f = dim V dim Im f = 0 , s u y ra K e r f = 0 h a y f là đơn c ấ u

(2) d i m g ( ĩ (V )) < d i m g ( V ' ) - r a n k g (vì f ( V ) c V ’)

b) G iả s ử f , g : V —►V' là các á n h xạ t u y ế n t í n h v à { v j , , v nỊ là cơ sỏ c ủ a V K hi đó :

Đ ể tìm ả n h v à n h â n của f ta có 2 cách C ách 1 : t ín h I m f trước, nó s in h bởi các véc tơ (1,1), (2, - 1) (rú t t ừ 2 c ộ t củ a

I m f = y a{(1,1,1)} T ín h K e r f b à n g h ệ p h ư ơ n g trình hoặc

lấ y f ( e , ) - f(e ,) = G (cột 1 tr ừ đi cột 2) v à f ( e , ) - f ( e 3) = 0 (cột 1 trừ đi cộ t 3), s u y ra e , - e 2 = (1, —1,0) và

e, - e3 = (1,0, —1) lập t h à n h cơ sỏ c ủ a K e r f (b iết trước

VX n ,

Chương 7

P h é p b i ế n đ ố i t u y ế n t í n h

P h é p c h u y ể n cơ sở, t h ự c c h ấ t là p h é p b iế n đôi t u y ế n tín h

k h ô n g s u y b iế n , vì v ậ y p h ầ n m a t r ậ n c h u y ể n cơ sỏ được x ế p v à o

7 1 C h ứ n g m i n h r ằ n g , n ế u T là m a t r ậ n c h u y ể n cơ sở (I) s a n g cơ

sở (II) v à s là m a t r ậ n c h u y ể n cơ sở (II) s a n g cơ s ỏ (III) th ì

a) T S c h u y ể n cơ sở (I) s a n g cơ sở (III) ;

b) T 1 c h u y ể n cơ sở (II) s a n g cơ sở (I).

7 2 V i ế t m a t r ậ n c h u y ể n cơ sở (I) s a n g cơ sở (II) v à m a tr ậ n

7 4 C h o c á c cơ sở (I) v à (II) V iế t lầ n lượt các m a t r ậ n c h u y ể n cơ

sở c h ín h tắc s a n g (I), (II) và m a t r ậ n c h u y ể n (I) s a n g (II)

c ặ p cơ sở (I), (II) là A, tr o n g c ặ p cơ sở (T), (II’) là B G iả sử

m a t r ậ n c h u y ể n (I) s a n g (I’) là T, m a t r ậ n c h u y ể n (II) s a n g

7 1 2 C h ứ n g m in h r ằ n g n ế u các g iá trị r iê n g Xị, ,A.k c ủ a p h é p

b iế n đổi tu y ế n t ín h f k h á c n h a u t ừ n g đôi m ộ t th ì h ệ các véc tơ r iê n g tư ơ n g ứ n g { v , , , v k} độc lậ p t u y ế n t ín h .

7 1 3 C h ứ n g m in h r ằ n g các giá trị r i ê n g c ủ a p h é p b iế n đổi t u y ế n

t ín h f k h ô n g p h ụ th u ộ c v à o m a t r ậ n c ủ a f (tr o n g cá c cơ sở

k h á c n h a u ).

7 1 4 C h ứ n g m in h r ằ n g n ế u g iá trị r i ê n g X0 c ủ a p h é p b iế n đổi

tuyến tính f là nghiệm bội k > 1 của đa thức IA - Ằ.E| thì

b) Im f, K e r f là b ấ t b iế n đôi vối p h é p b iế n đối t u y ế n tín h f ;

7 1 9 P h é p b iế n đổi t u y ế n tín h f t r ê n K- k h ô n g g ia n véc tơ V

g i a n co n c ủ a R n[x] là b ấ t b iế n đổi với <p

7 2 1 C h o p h é p b iế n đổi t u y ế n t ín h f t r ê n với m a t r ậ n tr o n g

7 2 2 G iả s ử f là p h é p b iế n đổi t u y ế n t ín h t r ê n K - k h ô n g g ia n

véc tơ n chiều với ma trận trong cơ sở {u,, ,unỊ là

a 2 n

0 0 1

a) C h ứ n g m in h r ằ n g các k h ô n g g ia n con

S ,| u Ị, , u k} , 1 < k < n , là b ấ t b iế n đối với f.

b) Hỏi k h ô n g g ia n con U j + + u n} có b ấ t b iế n đối với f

k h ô n g ?

7 2 3 C h ứ n g m in h rằng:

a) N ếu A.0 là n g h iệ m bội k c ủ a đa th ứ c |A - A , E t h ì k h ô n g

g ia n con r iê n g P(Ằ0) là b ấ t b iế n đ ổi với f v à d i m P(?t0) < k ;

b) N ế u (Uj } là h ệ các véc tơ r iê n g c ủ a f th ì

S ?Ị u1, , u kỊ b ấ t b iế n đ ố i với f ;

c) Nếu Ịup ,ukỊ là hệ các véc tơ riêng độc lập tuyến tính

c ủ a f th ì có t h ể lập được 2k k h ô n g g ia n con b ấ t b iế n đôì với f

7 2 4 Tìm các k h ô n g gian con bất b iến b ằ n g các véc tơ riêng:

Euclid là phép tự đẳng cấu trực giao.

7 2 9 G iả sử f là phép b iế n đổi tu y ế n tín h trên k h ô n g gian Euclid E

C h ứ n g m in h rằ n g các điều k iệ n sa u là tương đương:

7 3 4 X é t k h ô n g g ia n E u c lid c (B ài 3 4 7 ) và á n h x ạ

f : C - > C , f ( a ) = õt.

a) Chứng minh rằng f là phép biến đổi tuyến tính trực giao;

b) V iế t m a tr ậ n c ủ a f tr o n g cơ sở {2 + 3 i,2 - 3 i }

7 3 5 X é t p h ép b iế n đ ổ i t u y ế n tín h trực g ia o f t r ê n

R2, f ( x , , x 2) = ( x2, X j ) V iế t các m a tr ậ n A, B củ a f lầ n lư ợ t

tr o n g các cơ sở :

Í7 1 o w o 1 Yl { e , , e 2} v à J L A ì — _ L >.

7 3 6 a) C h ứ n g m in h r ằ n g n ế u f lằ b iế n đổi t u y ế n t ín h trực g ia o

và X là g iá trị r iê n g c ủ a f th ì Ằ = ± 1 ;

b) K iểm tra các m a trận sa u là trực giao, tìm các giá trị riêng:

tơ r iê n g tư ơ n g ứ n g trự c g ia o vối n h a u ;

c) N ế u X0 là n g h i ệ m bội k > 1 c ủ a IA — A,E| t h ì có k v é c tơ

r iê n g độc lậ p t u y ế n t ín h ứ n g vói X q

7.39 Tìm các không gian con bất biến một chiều hoặc 2 chiểu

c ủ a p h é p b iế n đổi t u y ế n tín h f với:

d) P hép chiếu lên k th à n h phần đ ầ u tiên trên k h ô n g gian R n :

p (x j, ,x n) = ( x p ,xk,0 , ,0 ), V ( X j, ,x n) G R n (với l < k < n )

7 4 1 C h ứ n g m in h r ằ n g tậ p hợp các p h é p b iế n đối đối x ứ n g t r ê n

k h ô n g g ia n E u c lid E là R - k h ô n g g ia n v é c tơ đối với p h é p

7 4 4 C h ứ n g m in h r ằ n g c á c p h é p b iế n đổi đối x ứ n g t r ê n k h ô n g

g ia n E u c lid E * 0 lu ô n lu ô n có g iá trị r iê n g v à v éc tơ

7 4 8 C h ứ n g m i n h r ằ n g n ế u f là p h é p b iế n đổi đối x ứ n g v à

7 6 a) H ư ớ n g d ẫ n c ầ n b iể u d iễ n m ỗi v é c tơ t h u ộ c cơ sở (II)

q u a c á c véc tơ t h u ộ c cơ sở (I), ta lậ p các h ệ p h ư ơ n g tr ìn h

t u y ế n t ín h và d ù n g p h ư ơ n g p h á p k h ử G a u s s (ch ú ý r ằ n g các c ộ t c ủ a m a t r ậ n lầ n lượt là các véc tơ c ủ a (I) v à (II)) :

7 9 H ư ớ n g d ẫ n G iả sử d i m \ 5 = n , d i m V = m T h e o g iả t h iế t ,

ta có các c ô n g th ứ c b iế n đổi to ạ độ (cũ q u a m ới) v à cá ch

(3) f

VXn / ,

B ' x ; '

7 1 6 a) X, = 1 + 2i, V, = (1 + 2 i , - l ) (ta h iểu : đ ư ơ n g n h i ê n

k v ! , k * 0 c ũ n g là v é c tơ r iê n g ứ n g với A.J, v ậ y ta c h ỉ l i ệ t

7 1 9 H ư ớ n g d ẫ n G iả sử m ọi k h ô n g g ia n con c ủ a V đ ề u b ấ t b iế n

đ ổi với f T a có n h ậ n x é t rằng: Vu e V, f(u ) = Âu, (3Ầ € K )

vì i ? { u } b ấ t b iế n

h a y (u + v).(u + v) = f(u + v).f(u + v) = (f(u ) + f(v )).(f(u ) + f ( v ) ) ,

s u y ra U.U + 2(u.v) + v.v = f(u).f(u) + 2 f(u ).f(v ) + f ( v ) f ( v )