Vận dụng phép biện chứng duy vật vào việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán (thể hiện qua giải toán đại số lớp 10 thpt)

Kiến thức Đại số lớp 10 có vị trí quan trọng trong ch-ơng trình THPT vì nó giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục trung học cơ sở Việc h-ớng dẫn học sinh tìm lời

bïi thÞ thanh thñy

VËn dông phÐp biÖn chøng duy vËt vµo viÖc

h-íng dÉn häc sinh t×m lêi gi¶i bµi to¸n

(thÓ hiÖn qua gi¶i to¸n §¹i sè líp 10 THPT)

l u Ën v ¨ n t h¹ c s Ü gi ¸ o d ô c häc

bïi thÞ thanh thñy

VËn dông phÐp biÖn chøng duy vËt vµo viÖc

h-íng dÉn häc sinh t×m lêi gi¶i bµi to¸n

(thÓ hiÖn qua gi¶i to¸n §¹i sè líp 10 THPT)

Chuyªn ngµnh: Lý luËn vµ ph-¬ng ph¸p d¹y häc bé m«n To¸n

M· sè: 60.14.10

l u Ën v ¨ n t h¹ c s Ü gi ¸ o d ô c häc

Ng-êi h-íng dÉn khoa häc:

TS Chu träng thanh

trực tiếp giúp đỡ tác giả hoàn thành Luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong chuyên ngành Lý luận và Ph-ơng pháp giảng dạy bộ môn Toán, tr-ờng Đại Học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện Luận văn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban chủ nhiệm cùng các thầy cô, Khoa Sau đại học, Đại Học Vinh Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh, Ban Giám Hiệu cùng các bạn bè đồng nghiệp tr-ờng THPT Bán công Thạch Hà, đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin gửi tới tất cả ng-ời thân và các bạn bè lòng biết ơn sâu sắc

Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó!

Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận

đ-ợc và biết ơn các ý kiến đóng góp của quý thầy cô giáo và các bạn

Vinh, tháng 12 năm 2009

Tác giả

1.1 Những định h-ớng đổi mới ph-ơng pháp dạy học môn toán 4

1.2 Các hoạt động t- duy phổ biến trong quá trình giải toán 7

1.2.1 Phân tích tổng hợp 8

1.2.2 Khái quát hóa và trừu t-ợng hóa 15

1.2.2.1 Khái quát hóa 15

1.2.2.2 Trừu t-ợng hóa 17

1.2.2.3 Đặc biệt hóa 20

1.2.2.4 So sánh, t-ơng tự 21

1.3 Hoạt động giải toán của học sinh 26

1.3.1 Chức năng của bài toán 26

1.3.2 Hoạt động giải toán của học sinh 28

1.4 Một số kiến thức về phép biện chứng duy vật 36

1.4.1 Các khái niệm 36

1.4.2 Các cặp phạm trù và vai trò của phép biện chứng duy vật trong hoạt động nhận thức 38

1.4.2.1 Cái riêng, cái chung và cái đơn nhất 38

1.4.2.2 Nguyên nhân và kết quả 41

1.4.2.3 Tất nhiên và ngẫu nhiên 42

1.4.2.4 Nội dung và hình thức 43

1.4.2.5 Bản chất và hiện t-ợng 44

1.4.2.6 Khả năng và hiện thực 44

1.5 Thực trạng dạy học giải toán ở tr-ờng THPT 45

1.6 Kết luận ch-ơng 1 47

2.1.1 Các mục tiêu dạy học toán lớp 10 THPT 48

2.1.2 Hệ thống kiến thức Đại số lớp 10 THPT 49

2.1.3 Các loại toán điển hình về Đại số lớp 10 THPT 50

2.1.3.1 Loại toán có sẵn thuật toán 50

2.1.3.2 Loại toán phức hợp 57

2.1.3.3 Loại toán không mẫu mực 60

2.2 Vận dụng kiến thức phép biện chứng duy vật vào việc h-ớng dẫn học sinh tìm lời giải toán Đại số 10 THPT 64

2.2.1 Định h-ớng chung 64

2.2.1.1 Định h-ớng 1 64

2.2.1.2 Định h-ớng 2 65

2.2.1.3 Định h-ớng 3 66

2.2.1.4 Định h-ớng 4 67

2.2.2 Các biện pháp s- phạm 69

2.2.2.1 Biện pháp 1: Trong quá trình giải toán h-ớng dẫn học sinh thấy nguồn gốc ra đời, điều kiện tồn tại và bản chất của đối t-ợng trong bài toán, tìm ra mối quan hệ biện chứng giữa chúng 69

2.2.2.2 Biện pháp 2: Xét bài toán theo những cách nhìn khác nhau để tìm ra cách giải khác nhau nhằm vận dụng linh hoạt các cặp phạm trù của phép BCDV 77

2.2.2.3 Biện pháp 3: Phân tích làm rõ sự phát triển lời giải các bài toán 80

2.2.2.4 Biện pháp 4: Tập cho học sinh biết tìm tòi phát hiện lời giải các bài toán dựa vào các quy luật, các cặp phạm trù của phép BCDV 84

cho học sinh 96

2.3 Vận dụng kiến thức về phép biện chứng duy vật vào việc bồi d-ỡng một số yếu tố t- duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học giải toán Đại số 10 THPT 101

2.3.1 Bồi d-ỡng t- duy linh hoạt 101

2.3.2 Bồi d-ỡng t- duy độc lập 107

2.3.3 Bồi d-ỡng t- duy phê phán 108

2.3.4 Bồi d-ỡng khả năng phát triển bài toán 109

2.4 Kết luận ch-ơng 2 116

Ch-ơng 3 Thực nghiệm s- phạm 117

3.1 Mục đích thực nghiệm 117

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 117

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 117

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 117

3.3 Kết quả thực nghiệm 120

3.3.1 Đánh giá định tính 120

3.3.2 Đánh giá định l-ợng 121

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm 122

Kết luận chung của luận văn 123

Tài liệu tham khảo 124

ph-ơng pháp Giáo dục - Đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t- duy sáng tạo cho ng-ời học, từng b-ớc áp dụng các ph-ơng pháp tiên tiến, hiện đại vào quá trình dạy học ”

Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IX của Đảng khẳng định lại: “ Tiếp tục nâng cao chất l-ợng giáo dục toàn diện, đổi mới nội dung, ph-ơng pháp dạy và học ”

Luật Giáo dục n-ớc Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998) quy định: “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi d-ỡng ph-ơng pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn ”

Đổi mới ph-ơng pháp dạy học theo h-ớng tăng c-ờng hoạt động của học sinh là một trong những giải pháp quan trọng nhằm nâng cao hiệu quả giáo dục và đào tạo

Hoạt động giải toán là hoạt động đặc thù, chủ yếu của học sinh trong dạy học môn toán Học sinh là đối t-ợng giáo dục, là chủ thể của quá trình giáo dục, đồng thời thể hiện sản phẩm giáo dục Đánh giá học sinh là đánh giá hiệu quả dạy học môn toán chủ yếu thông qua khả năng tìm lời giải các bài toán

Kiến thức Đại số lớp 10 có vị trí quan trọng trong ch-ơng trình THPT vì nó giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục trung học cơ sở

Việc h-ớng dẫn học sinh tìm lời giải các bài toán là công việc th-ờng xuyên có ảnh h-ởng đến chất l-ợng dạy học

Việc vận dụng phép biện chứng duy vật vào tìm lời giải các bài toán có tác dụng lớn trong các khâu định h-ớng, lựa chọn ph-ơng pháp, lựa chọn tri thức công cụ, phát triển các bài toán để có bài toán mới

Đã có một số công trình nghiên cứu việc giải toán và sử dụng kiến thức

về phép biện chứng duy vật vào tìm lời giải các bài toán nh-: G.Polya [36], [37] [38]; Nguyễn Thái Hoè [20]; Nguyễn Cảnh Toàn [53]

Nhận thấy đây là một vấn đề có tác dụng lớn đối với dạy học môn toán

và còn cần phải tiếp tục nghiên cứu nên chúng tôi chọn đề tài luận văn là

“Vận dụng phép biện chứng duy vật vào việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán (thể hiện qua giải toán Đại số lớp 10 THPT)”

2 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất các biện pháp s- phạm để h-ớng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán nhằm góp phần nâng cao chất l-ợng dạy học môn toán

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tổng hợp một số kiến thức về phép biện chứng duy vật có thể vận dụng trong dạy học môn toán

- Nghiên cứu các định h-ớng, vận dụng kiến thức về phép biện chứng duy vật vào việc h-ớng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán đại số lớp 10 THPT

4 Ph-ơng pháp nghiên cứu

4.1 Ph-ơng pháp nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến phép biện chứng duy vật, một số tài liệu sách, báo về toán học và dạy học môn toán

4.2 Ph-ơng pháp nghiên cứu thực tế

Điều tra, khảo sát thực tế dạy học toán trung học phổ thông

4.3 Ph-ơng pháp thực nghiệm s- phạm

Tổ chức thực nghiệm s- phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp s- phạm đã đề xuất

5 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở ch-ơng trình sách giáo khoa hiện hành, nếu trong dạy học giải toán giáo viên vận dụng kiến thức về phép biện chứng duy vật h-ớng dẫn học sinh tìm lời giải bài tập toán thì sẽ nâng cao hiệu quả dạy học và góp phần

đổi mới ph-ơng pháp giảng dạy toán ở tr-ờng trung học phổ thông

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn có

3 ch-ơng

Ch-ơng 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn Ch-ơng 2 Một số biện pháp nhằm vận dụng phép BCDV Vào

việc h-ớng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán đại số lớp

10 THPT Ch-ơng 3 Thực nghiệm s- phạm

Ch-ơng 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Những định h-ớng đổi mới ph-ơng pháp dạy học môn toán

Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII khẳng định: “ Phải đổi mới ph-ơng pháp Giáo dục - Đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t- duy sáng tạo cho ng-ời học, từng b-ớc áp dụng các ph-ơng pháp tiên tiến, hiện đại vào quá trình dạy học ”

Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IX của Đảng khẳng định lại: “ Tiếp tục nâng cao chất l-ợng giáo dục toàn diện, đổi mới nội dung, ph-ơng pháp dạy và học ”

Luật Giáo dục n-ớc Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam đã quy định:

"Ph-ơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t- duy sáng tạo của ng-ời học; bồi d-ỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập

và ý chí v-ơn lên" (Luật Giáo dục 1998, Ch-ơng I, Điều 4)

"Ph-ơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t- duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi d-ỡng ph-ơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh" (Luật Giáo dục 1998, Ch-ơng I, Điều 24) [28, tr.113]

ở n-ớc ta, t- t-ởng chỉ đạo công cuộc đổi mới ph-ơng pháp dạy học từ một vài năm gần đây đ-ợc phát biểu với nhiều thuật ngữ nh-: Tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động hoá ng-ời học, lấy ng-ời học làm trung tâm Với t- t-ởng đó, định h-ớng đổi mới ph-ơng pháp dạy học hiện nay là tổ chức cho ng-ời học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo

Định h-ớng đó bao hàm các ý t-ởng đặc tr-ng sau:

- Xác lập vị trí chủ thể của ng-ời học, bảo đảm tính tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo của hoạt động học tập đ-ợc thực hiện độc lập hoặc trong giao l-u

Ng-ời học là chủ thể kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành thái độ chứ không phải là nhân vật bị động hoàn toàn làm theo lệnh của thầy giáo Với định h-ớng “hoạt động hoá người học”, vai trò chủ thể của ng-ời học đ-ợc khẳng định trong quá trình họ học tập trong hoạt động và bằng hoạt

động của bản thân mình [28, tr.115]

- Tri thức đ-ợc cài đặt trong những tình huống có dụng ý s- phạm

Theo chủ nghĩa kiến tạo trong tâm lý học, học tập là một quá trình trong đó ng-ời học xây dựng kiến thức cho mình bằng cách thích nghi với môi tr-ờng sinh ra những mâu thuẫn, những khó khăn và những sự mất cân bằng

Tuy nhiên, nh- nhiều nhà lý luận dạy học của pháp khẳng định, một môi tr-ờng không có dụng ý s- phạm là không đủ để chủ thể (học sinh) kiến tạo đ-ợc tri thức theo yêu cầu mà xã hội mong muốn Vì vậy, điều quan trọng

là thiết lập những tình huống có dụng ý s- phạm để ng-ời học học tập trong hoạt động, học tập bằng thích nghi [28, tr.117]

- Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học

Mục đích dạy học không phải chỉ ở những kết quả cụ thể của quá trình học tập, ở tri thức và kỹ năng bộ môn, mà điều quan trọng hơn là ở bản thân việc học, ở cách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực hiện những quá

trình học tập một cách hiệu quả [28, tr.117-118]

- Tự tạo và khai thác những ph-ơng tiện dạy học để tiếp nối và gia tăng

sức mạnh của con ng-ời

Ph-ơng tiện dạy học, từ tài liệu in ấn và những đồ dùng dạy học đơn giản tới những ph-ơng tiện kĩ thuật tinh vi nh- thiết bị nghe nhìn, công nghệ thông tin và truyền thông, giúp thiết lập những tình huống có dụng ý s- phạm, tổ chức những hoạt động và giao l-u của thầy và trò [28, tr.119]

- Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản thân ng-ời học

Hoạt động học tập tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo một mặt đòi hỏi

và mặt khác tạo ra niềm vui Niềm vui này có đ-ợc bằng nhiều cách khác

nhau nh- động viên, khen th-ởng v.v , nh-ng quan trọng nhất vẫn là niềm lạc quan dựa trên lao động và thành quả lao động và thành quả học tập của bản thân ng-ời học Giải đ-ợc một bài tập, phát hiện ra một điều mới khơi nguồn cảm hứng cho học sinh Cho nên tổ chức cho học sinh học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo gắn liền với việc tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản thân ng-ời học [28, tr.120]

- Xác định vai trò mới của ng-ời thầy với t- cách ng-ời thiết kế, uỷ

thác, điều khiển và thể chế hoá

Hoạt động hoá ng-ời học dễ dẫn tới việc ngộ nhận về sự giảm sút vai trò của ng-ời thầy

Một mặt, cần phải hiểu rằng hoạt động hoá ng-ời học, sự xác lập vị trí chủ thể của ng-ời học không hề làm suy giảm, mà ng-ợc lại còn nhằm nâng cao vai trò, trách nhiệm của ng-ời thầy

Mặt khác, sẽ là bảo thủ nếu cho rằng tính chất, vai trò của ng-ời thầy vẫn nh- x-a Trong khi khẳng định vai trò của thầy không suy giảm, cần phải thấy rằng tính chất của vai trò này đã thay đổi: Thầy không phải là nguồn phát tin duy nhất, thầy không phải là ng-ời ra lệnh một cách khiên c-ỡng, thầy không phải là ng-ời hoạt động chủ yếu ở hiện tr-ờng Vai trò, trách nhiệm của thầy bây giờ quan trọng hơn, nặng nề hơn, nh-ng tế nhị hơn, cụ thể là:

+) Thiết kế: Lập kế hoạch, chuẩn bị quá trình dạy học về mặt mục tiêu, nội dung, ph-ơng pháp, ph-ơng tiện và hình thức tổ chức

+) Uỷ thác: phải biến đ-ợc ý đồ dạy của thầy thành nhiệm vụ tự nguyện, tự giác của trò, là chuyển giao cho trò không phải những tri thức d-ới dạng có sẵn mà là những tình huống để trò hoạt động và thích nghi

+) Điều khiển: Động viên, h-ớng dẫn trợ giúp và đánh giá

+) Thể chế hoá: đánh giá hoạt động học tập của học sinh, xác định vị trí kiến thức trong hệ thống tri thức đã có và h-ớng dẫn khả năng vận dụng kiến thức đó [28, tr.122]

1.2 Các hoạt động t- duy phổ biến trong quá trình giải toán

Chúng ta biết rằng, hoạt động nhận thức hay hẹp hơn, hoạt động t- duy chỉ diễn ra trong tình huống có vấn đề, khái niệm mà ta th-ờng dùng để chỉ các mâu thuẫn nảy sinh trong thực tiễn hay xét một cách nôm na, ta th-ờng gọi là bài toán Bài toán bao gồm hai hệ thống thông tin, hai bộ phận luôn mâu thuẫn với nhau nh-ng luôn có những liên hệ gắn bó với nhau Bộ phận thứ

nhất là “điều kiện” bao gồm tất thảy những thông tin đã cho một cách t-ờng

minh hoặc tiềm ẩn Tức là điều kiện có liên quan đến bài toán sẽ biểu hiện

sau những biến đổi nhất định Bộ phận thứ hai là “yêu cầu” gồm những

thông tin mà bài toán đòi hỏi phải tìm Quá trình giải bài toán là hoạt động trí óc gồm những thao tác đa dạng, phức tạp nh-ng xét đến cùng luôn là sự phân tích, tổng hợp, so sánh, đối chiếu các điều kiện với các yêu cầu của bài toán; phân tích, lý giải các mối liên hệ đã có để giải quyết những mâu thuẫn giữa điều kiện và yêu cầu Quá trình phân tích, lý giải này sẽ dẫn t- duy đến những mối liên hệ mới Cứ nh- thế mà dần dần làm sáng tỏ yêu cầu cần đạt của bài toán

Thông tin cần cho việc giải bài toán còn ở dạng tiềm ẩn, cho nên, việc

lý giải thông qua các thao tác t- duy, mối liên hệ giữa tập hợp các điều kiện t-ờng minh hay tiềm ẩn với các yêu cầu của bài toán Việc khám phá dần dần các điều kiện tiềm ẩn cũng chính là quá trình chứng minh, bổ sung hoàn chỉnh hoặc bác bỏ giả thuyết ban đầu, bởi vì nhờ các hoạt động đó mà t- duy có thể nhìn thấy rõ hơn mối liên hệ thực giữa điều kiện và yêu cầu Nó sẽ giúp ta thấy đ-ợc con đ-ờng đi tới mục đích mà yêu cầu đặt ra là đúng h-ớng

“Tiêu biểu cho tư duy là quá trình phân tích, tổng hợp, trừu t-ợng hoá, việc nêu lên những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thuyết, những ý niệm, kết quả của quá trình t- duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó Khả năng phản ánh thực tại một cách gián tiếp của t- duy đ-ợc biểu hiện ở khả năng suy lý, kết luận lôgic chứng minh của con

người” Hoạt động tư duy của con ng-ời luôn h-ớng vào giải quyết một vấn

đề, hoặc làm sáng tỏ điều nào đó mà họ có mong muốn cần hiểu biết

Trong quá trình dạy học, việc rèn các hoạt động trí tuệ cho học sinh cần tập trung chú ý tới việc rèn luyện các hoạt động t- duy cơ bản Đó là những hoạt động trí tuệ th-ờng gặp trong dạy học Toán ở nhà tr-ờng phổ thông

Xuất phát từ yêu cầu thời gian và phạm vi nghiên cứu của đề tài, chúng tôi đi sâu vào việc tìm hiểu các hoạt động trí tuệ cơ bản sau:

1.2.1 Phân tích và tổng hợp

Theo tâm lí học các quá trình phân tích và tổng hợp là những thao tác t-

duy cơ bản, tất cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ đều là những dạng

khác nhau của các quá trình đó Vì vậy, để phát triển trí tuệ cho học sinh qua

bộ môn Toán, giáo viên cần phải coi trọng việc rèn luyện cho học sinh khả

năng phân tích và tổng hợp

Theo Nguyễn Cảnh Toàn: Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận Tổng hợp là nhìn

bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các

bộ phận của chỉnh thể và của chính chỉnh thể đó với môi tr-ờng xung quanh Theo ông, phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp, tổng hợp lại chỉ ra ph-ơng h-ớng cho sự phân tích tiếp theo [53, tr 122]

Hoàng Chúng cho rằng: Trong mọi khâu của quá trình học tập Toán học của học sinh, năng lực phân tích, tổng hợp luôn là một yếu tố quan trọng giúp HS nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo [8, tr 15]

Theo M N Sácđacốp thì: Phân tích là một quá trình nhằm tách các bộ

phận của những sự vật hoặc hiện t-ợng của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng, cũng nh- các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một h-ớng nhất định Theo ông, thì quá trình phân tích nhằm mục đích nghiên cứu chúng đầy đủ và sâu sắc hơn, và chính nh- vậy mới nhận thức đ-ợc một

cách trọn vẹn các sự vật và hiện t-ợng Tổng hợp (cộng) là sự tổng hợp sơ

đẳng, nhờ đó mà các bộ phận của một toàn thể kết hợp với nhau làm thành một tổng số của các bộ phận đó Ông cho rằng; sự tổng hợp chân chính không phải là sự liên kết máy móc các bộ phận thành một chỉnh thể, không phải đơn thuần là sự tổng cộng các bộ phận của một toàn thể Sự tổng hợp chân chính là một hoạt động t- duy xác định, đặc biệt đem lại kết quả mới về chất, cung cấp một sự hiểu biết mới nào đó về hiện thực

Nh- vậy, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ng-ợc

nh-ng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất Chúng là hai hoạt động trí tụê cơ bản của quá trình t- duy Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng của phân tích và tổng hợp Có thể nói không một vấn đề tổng hợp (không tầm th-ờng) nào lại chẳng cần dùng đến phân tích trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề

Phân tích và tổng hợp không bao giờ tồn tại tách rời nhau Chúng là hai

mặt đối lập của một quá trình thống nhất bởi vì trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích cái toàn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó Vì phân tích cái toàn thể ra từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên

hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy Phân tích một cái toàn thể là con đ-ờng

để nhận thức cái toàn thể sâu sắc hơn Sự thống nhất của quá trình phân tích - tổng hợp còn đ-ợc thể hiện ở chỗ: Cái toàn thể ban đầu (tổng hợp 1) định h-ớng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào, kết quả của phân tích là cái toàn thể ban đầu đ-ợc nhận thức sâu sắc hơn (tổng hợp 2)

Nh- vậy, phân tích và tổng hợp theo con đ-ờng: tổng hợp 1 - phân tích - tổng

hợp 2 Các thao tác phân tích - tổng hợp có mặt trong mọi hành động trí tuệ của con ng-ời

Trong giải toán, học sinh th-ờng phải thực hiện các thao tác phân tích,

tổng hợp xen kẽ với nhau Bằng gợi ý của G Pôlya viết trong tác phẩm “Giải

bài toán nh- thế nào” đã đa ra quy trình 4 b-ớc để giải bài toán Trong mỗi

b-ớc tác giả đã đa ra các gợi ý, đó chính là các thao tác phân tích, tổng hợp liên tiếp, đan xen nhau để thực hiện đ-ợc 4 b-ớc của quá trình giải toán Có

thể thấy trong giải toán, các thao tác phân tích và tổng hợp th-ờng gắn bó khăng khít với nhau Trong phân tích có sự tổng hợp (Tổng hợp thành phần)

và trong quá trình tổng hợp phải có sự phân tích (Để đảm bảo tính lôgic và tính định h-ớng của quá trình tổng hợp) Một điều hiển nhiên là: Một bài tập

mà học sinh cần phải giải (Bài tập này do thầy giáo đặt ra, do ch-ơng trình học tập yêu cầu, do học sinh biết đ-ợc trong quá trình tự học vv ) chỉ có hữu hạn các ph-ơng pháp giải, các ph-ơng pháp giải ấy tất nhiên phải sử dụng các kiến thức đã có (kiến thức đã đ-ợc học, kiến thức tự tích luỹ ) của học sinh vì thế bản chất của thao tác giải một bài tập toán của học sinh th-ờng là:

Do vậy việc rèn luyện các thao tác t- duy cho học sinh qua việc giải bài tập nhất thiết phải đ-ợc tiến hành thông qua sự phân loại học sinh Không có

một cách “rèn luyện” nào phù hợp cho mọi đối t-ợng, thậm chí có những quá

trình phân tích - tổng hợp khi giải một bài tập là rất kết quả đối với học sinh

này nh-ng lại “vô nghĩa” với học sinh khác Vì thế, tìm hiểu kĩ đối t-ợng,

Định h-ớng tìm tòi lời giải bài tập

Nội dung và hình thức của bài toán

Vốn kiến thức Toán học,

kĩ năng và kinh nghiệm giải Toán

H-ớng 1

Nhận thức đề  Phân tích 1  chọn lựa hoặc bác bỏ

H-ớng 2

Nhận thức đề  Phân tích 2  chọn lựa hoặc bác bỏ

nghiên cứu kĩ bài tập định truyền đạt, tự giáo viên phải phân tích kĩ một bài tập tr-ớc khi h-ớng dẫn cho học sinh quá trình phân tích-tổng hợp khi giải bài tập toán là rất quan trọng D-ới đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1 CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì:

cosA + cosB + cosC

Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức

cosB + cosC với công thức cosa + cosb = 2cos

- Hoạt động tổng hợp, ta có lời giải:

Theo G Pôlya: “Phân tích và tổng hợp là 2 động tác quan trọng của trí

óc Nếu đi vào chi tiết thì có thể bị ngập vào đấy Những chi tiết quá nhiều và quá nhỏ mọn làm cản trở ý nghĩ, không tập trung vào điểm căn bản Đó là tr-ờng hợp của một ng-ời chỉ thấy cây mà không thấy rừng Tr-ớc hết, phải hiểu bài toán nh- một cái toàn bộ Khi đã hiểu rõ thì ta dễ có điều kiện hơn để xem xét những điểm chi tiết nào là căn bản Ta phải nghiên cứu thật sát và

phân chia bài toán thành từng b-ớc và chú ý, không đi quá xa khi ch-a cần thiết” [36, tr 74]

Khi bài toán cần giải đã đ-ợc hiểu trên toàn bộ (theo nghĩa xác định rõ giả thiết kết luận), đã tìm hiểu đ-ợc mục đích, ý chủ đạo, thì cần phải đi vào chi tiết Đặc biệt nếu bài toán khá khó khăn thì đôi khi cần thiết phải thực hiện

xa hơn nữa việc phân chia và khảo sát chi tiết nhỏ hơn

Ví dụ 2 Tìm m để ph-ơng trình sau nghiệm đúng với mọi x:

đúng  x 1, tức là (2) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1x2 1 Điều đó xảy

 



(vô nghiệm)

Vậy không có giá trị nào của m để bất ph-ơng trình thỏa mãn yêu cầu bài toán

Sau khi đã phân chia bài toán, ta cố gắng tổ hợp lại một cách khác các yếu tố của nó Chẳng hạn, ta có thể tạo nên một bài toán mới, dễ hơn mà trong tr-ờng hợp cần thiết có thể dùng nh- một bài toán phụ

Đối với một bài toán trong đó có giả thiết và kết luận thì sự phân tích phải h-ớng vào mục đích tìm cho ra các mắt xích lôgic nối giả thiết với kết luận Trong Toán học, th-ờng đ-ợc sử dụng hai phép phân tích:

* Phép phân tích đi lên (suy ng-ợc lùi): Tức là muốn chứng minh A thì

ta chỉ cần chứng minh A1, muốn chứng minh A1 thì ta chỉ cần chứng minh

A2,…, cuối cùng muốn chứng minh An-1 thì ta chỉ cần chứng minh An Khi A n

là điều đã biết (tiên đề, định nghĩa, định lí…) thì dừng lại Theo tam đoạn

luận có điều kiện vì An đúng nên A đúng (thực tế là cả một dãy tam đoạn luận

có điều kiện)

Ta có sơ đồ sau:

Phép phân tích đi lên th-ờng đ-ợc dùng để tìm lời giải

Về phép phân tích đi lên, loài ng-ời đã biết từ cách đây từ 300 năm tr-ớc Công nguyên, bắt đầu từ Hy lạp, với phát biểu của Pappus trong cuốn

“Nghệ thuật giải toán”, Pappus nói: “Ta muốn đạt đ-ợc kết quả mong muốn

thì phải đi từ kết quả đó, rồi muốn đạt đ-ợc kết quả này thì phải đi từ kết quả tr-ớc nữa… cho đến cuối cùng ta tìm đ-ợc một điều đã biết hay đã đ-ợc công nhận là đúng” Ta gọi đó là quá trình phân tích đi lên hay lí luận giật lùi (suy

ng-ợc lùi) Để vận dụng phép phân tích đi lên, Platon đề ra bài toán: “Làm thế

nào để mang 6 lít n-ớc từ sông về nếu trong tay chỉ có 2 loại thùng, một thùng

4 lít và một thùng 9 lít”

liên t-ởng liên t-ởng

Giả sử thùng 9 lít là A, thùng 4 lít là B thì ta có dãy phân tích sau:

Rút 9 lít từ

A ra 2 lần 4 lít bằng thùng B, còn 1 lít đổ

Trong A còn

6 lít mang về

Trong giải Toán, phân tích là một b-ớc hết sức quan trọng Qua phân tích ta tìm đ-ợc ph-ơng án giải bài toán Trong b-ớc phân tích, ta cần xác

định đ-ợc mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho và các yếu tố phải tìm

* Phép phân tích đi xuống (suy ng-ợc tiến): Đ-ợc diễn đạt nh- sau:

Giả sử có A, từ A ta suy ra A1, tức là A  A1, từ A1 ta suy ra A2 tức là

A1  A2, , An  An-1  An Khi gặp An là phán đoán sai thì dừng lại vì khi

đó chắc chắn là A sai theo bảng chân lí của phán đoán có điều kiện Còn An

đúng thì ch-a có thể kết luận gì đ-ợc vì A có thể sai hoặc đúng

Trong quá trình dạy học giáo viên cần h-ớng dẫn học sinh dùng phép suy ng-ợc để tìm lời giải, dùng phép suy xuôi để trình bày lời giải

Ví dụ 3 CMR: a3 + b3 > a2b +ab2 với a, b R+ và a b

Nếu chỉ dùng phép tổng hợp để giải, suy nghĩ làm sao để từ a3 + b3 suy

ra nó lớn hơn a2b + ab2 là điều không dễ Do đó giáo viên có thể h-ớng dẫn học sinh kết hợp với phép phân tích để tìm lời giải:

Ta có: a3 + b3 = (a+b) (a2 - ab +b2)

a2b +ab2 = ab (a + b)

Do đó: a3 + b3 > a2b +ab2  a2 - ab +b2> ab  (a -b)2 >0 (a b) Trên cơ sở phân tích cùng với phép tổng hợp ta có lời giải:

Vì a, b R+ và a b nên a + b > 0, (a -b)2 > 0

a3 + b3 = (a+b) (a2 - ab +b2) = (a+b)[ (a - b)2 + ab]

= (a+b) (a - b)2 + (a+b)ab > (a+b)ab = a2b +ab2 (đpcm)

Khi giải toán, tr-ớc tiên phải nhìn bao quát xem bài toán thuộc loại gì, phải phân tích cái đã cho, cái phải tìm Đó là việc xem xét, nghiên cứu bài toán đã cho Mấu chốt vấn đề ở đây là cách nhìn bài toán Phải biết cách nhìn bài toán d-ới dạng chính quy mẫu mực Đây là cách nhìn chủ yếu vào đặc

điểm chủ yếu của bài toán Cách nhìn này giúp ta phát hiện đ-ợc các điểm cơ bản, đơn giản nếu không bị che khuất bởi những hình thức rắc rối Tuy nhiên, lại phải biết cách nhìn bài toán d-ới dạng đặc thù riêng lẻ Đồng thời cũng phải luyện tập th-ờng xuyên, ng-ời giải mới biết cách khai thác hết mọi khía cạnh biểu hiện tinh vi của bài toán, mới có đ-ợc những điều muốn nói của các con số, của các kí hiệu, các điều kiện chứa đựng trong bài toán Với bài toán

đại số nh-ng lại phải liên t-ởng đến chẳng hạn phạm vi l-ợng giác, hình học, và ng-ợc lại

1.2.2 Khái quát hoá và trừu t-ợng hoá

1.2.2.1 Khái quát hoá

Theo G Pôlia, “Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp

đối t-ợng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu” [37, tr 21]

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp

đối t-ợng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật

một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [28, tr 46]

Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đến ph-ơng pháp t- duy khái quát Đúng nh- Đại văn hào Nga - Lep Tônxtôi đã nói: “Chỉ khi trí tuệ của con ng-ời tự khái quát hoặc đã kiểm tra sự khái quát thì con ng-ời mới có thể hiểu đ-ợc nó” Không có khái quát thì không có khoa học; không biết khái quát là không biết cách học Khả năng khái quát là khả năng học tập vô cùng quan trọng, khả năng khái quát Toán học là một khả năng đặc biệt

Ví dụ, khái quát hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu tam thức sang việc nghiên cứu những đa thức bậc tuỳ ý Hoặc khái quát hoá khi chuyển từ việc

nghiên cứu hệ thức l-ợng trong tam giác vuông sang việc nghiên cứu những

hệ thức l-ợng trong tam giác th-ờng

ở ví dụ 1, khái quát hoá đ-ợc thực hiện bằng cách loại bỏ điều kiện một góc của tam giác bằng 900 để nghiên cứu những tam giác với góc tuỳ ý

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong Nghiên cứu giáo dục số 5/1982 thì

những dạng khái quát hoá th-ờng gặp trong môn Toán đ-ợc biểu diễn bằng sơ

đồ sau:

Với sự biểu diễn nh- trên, ta thấy rằng có 2 con đ-ờng khái quát: Con

đ-ờng thứ nhất trên cơ sở so sánh những tr-ờng hợp riêng lẻ, con đ-ờng thứ 2 không dựa trên so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện t-ợng trong một loạt hiện t-ợng giống nhau Có thể nói rằng, khái quát hoá là một thông số quan trọng bậc nhất, một năng lực đặc thù của t- duy, là cơ sở duy nhất để phân biệt giữa t- duy lý luận và t- duy kinh nghiệm, năng lực khái quát hoá ở mỗi con ng-ời luôn đóng vai trò quan trọng trong quá trình học tập, nghiên cứu; khi đ-ợc phát triển đến mức độ cao chính năng lực này sẽ giúp mỗi con ng-ời tách đ-ợc cái chung, cái bản chất, những mối liên hệ bên trong của tài liệu nghiên cứu, học tập bằng con đ-ờng phân tích chỉ một sự kiện điển hình

mà thôi Bằng con đ-ờng đó con ng-ời sẽ tiết kiệm thời gian sức lực của mình, biết cách khám phá các tri thức khoa học bằng những ph-ơng pháp tối -u

Nh- vậy, khái quát hoá là thao tác t- duy nhằm phát hiện những quy luật phổ biến của một lớp các đối t-ợng hoặc hiện t-ợng từ một số các tr-ờng

Khái quát hoá

Khái quát hóa từ cái riêng

hợp riêng lẻ Với nghĩa đó, khái quát hoá thuộc về các phép suy luận có lý nên các kết luận đ-ợc rút ra từ khái quát hoá th-ờng mang tính chất giả thuyết, dự

đoán Bởi nếu khẳng định chắc chắn thì đã là chứng minh rồi

Chúng ta th-ờng khái quát hoá bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đối t-ợng sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối t-ợng đó Tổng quát hoá một bài toán thông th-ờng là sự mở rộng bài toán đó

Trở lại ví dụ 1 từ bài toán xuất phát: “CMR nếu A, B, C là 3 góc của

một tam giác thì: cosA + cosB + cosC

Ví dụ:

- Khái quát hoá để hình thành khái niệm;

- Khái quát hoá để hình thành định lý;

- Khái quát hoá các bài toán Toán học;

- Khái quát hoá để hình thành ph-ơng pháp giải lớp các bài toán;

- Khái quát hoá h-ớng suy nghĩ giải bài tập toán

1.2.2.2 Trừu t-ợng hoá

Theo Nguyễn Bá Kim: “Trừu t-ợng hoá là sự nêu bật và tách những đặc

điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất” Chẳng hạn trừu t-ợng hoá mệnh đề: “Bình ph-ơng của một số âm là một số d-ơng” học sinh phải tách đặc điểm số mũ chẵn khỏi đặc điểm số mũ bằng 2 để đ-ợc mệnh đề: “luỹ thừa bậc chẵn của một số âm là một số d-ơng”

Hoàng Chúng cho rằng: Trừu t-ợng hoá và khái quát hoá liên hệ chặt chẽ với nhau Nhờ trừu t-ợng hoá ta có thể khái quát hoá rộng hơn và nhận thức sự vật sâu sắc hơn Và ng-ợc lại khái quát hoá đến một mức nào đó giúp

ta tách đ-ợc những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất,

tức là đã trừu t-ợng hoá Trừu t-ợng hoá là một “hoạt động của t- duy”, hoạt

động này của bộ não con ng-ời có thể h-ớng tới bất kì vấn đề gì của khoa học nói chung và nói riêng là của Toán học ở đây chúng ta chỉ bàn đến việc trừu t-ợng hoá một bài tập Đại số trong quá trình rèn luyện các thao tác t- duy thông qua việc giải bài tập nh- thế nào mà thôi

Không có khái quát hoá và trừu t-ợng hoá thì không thể có kiến thức và tri thức lí thuyết đ-ợc Khi trừu t-ợng hoá, chúng ta tách ra cái chung trong các đối t-ợng nghiên cứu, chỉ khảo sát cái chung này, gạt qua một bên những cái riêng phân biệt đối t-ợng này với đối t-ợng khác, không chú ý tới những cái riêng này Chẳng hạn từ những kết quả cụ thể: Hình chữ nhật có giao của 2

đ-ờng chéo là trung điểm của mỗi đ-ờng Hình vuông cũng có 2 đ-ờng chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đ-ờng Hình thoi cũng có kết quả t-ơng tự Tất cả 3 hình kể trên đều là hình bình hành Từ đó ta có thể tách một đặc điểm

chung của các hình trên và có mệnh đề khái quát sau: “Trong một hình bình

hành các đ-ờng chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đ-ờng”

Học sinh cũng th-ờng gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào những

điều kiện cụ thể mới, th-ờng là do phải chuyển từ t- duy cụ thể sang t- duy trừu t-ợng, tìm cái chung trong cái riêng, mà cái cụ thể, cái không bản chất làm mờ nhạt, che lấp cái chung, tạo ra cái hố ngăn cánh giữa cái cụ thể và cái trừu t-ợng Có thể giúp học sinh khắc phục khó khăn đó bằng cách dùng sơ

đồ, hình vẽ Nhờ sự kết hợp đ-ợc cả hai mặt cụ thể và trừu t-ợng trong bản

thân nó, sơ đồ có thể giúp làm “cầu nối” khi chuyển từ t- duy cụ thể sang t-

duy trừu t-ợng và ng-ợc lại

Chẳng hạn ta xét bài toán: “Một con cá nặng bao nhiêu, nếu đuôi của

nó nặng 4kg, đầu nặng bằng đuôi cộng với một nửa thân, thân nặng bằng đầu cộng với đuôi?”

Mối quan hệ giữa khối l-ợng của đuôi, đầu và thân cá khá rối đối với học sinh Tuy nhiên, bài toán có thể giải khá gọn bằng cách dùng sơ đồ đoạn thẳng

Gọi Đ, đ và T lần l-ợt là khối l-ợng của đầu cá, đuôi cá và thân cá, ta có:

Để giúp học sinh phát triển t- duy trừu t-ợng trong sự tác động qua lại với t- duy cụ thể, lại cần phải kết hợp với việc sử dụng hình vẽ, kí hiệu với phát triển ngôn ngữ, giúp cho kiến thức của học sinh đ-ợc chính xác mà không hình thức

Trong khi đòi hỏi học sinh khái quát hoá những mệnh đề để đ-ợc những mệnh đề tổng quát hơn

Ví dụ: Từ mệnh đề: “Tích (m+1) (m+2) (m+3)… (3m-1)3m với mN*chia hết cho 3m nh-ng không chia hết cho 3m+1”, muốn khái quát hoá thành mệnh đề tổng quát hơn: “Tích (m+1) (m+2) (m+3)… (pm-1)pm với mN*chia hết cho 3p nh-ng không chia hết cho 3p+1”, học sinh phải tách đặc điểm số nguyên tố (đặc điểm bản chất) ra khỏi đặc điểm số lẻ (đặc điểm không bản chất), tức là tiến hành trừu t-ợng hoá

1.2.2.3 Đặc biệt hoá

Theo G Pôlia: “Đặc biệt hoá là chuyển từ việc nghiên cứu từ một tập hợp đối t-ợng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho”

Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác sang việc nghiên cứu đa giác đều và tiếp tục đặc biệt hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác đều n cạnh (n3) sang việc nghiên cứu tam giác

đặc biệt vì khi đó ta đã bổ sung thêm giả thiết, tăng thêm dữ kiện cho bài toán Sau khi giải quyết các bài toán đặc biệt chúng ta có thể rút ra đ-ợc các kết

luận, tìm đ-ợc cái “chốt” giúp cho việc giải quyết các bài toán tổng quát Các

tr-ờng hợp riêng đôi lúc gợi ý cho các chứng minh tổng quát Chẳng hạn,

tr-ớc khi học sinh đ-ợc học khảo sát hàm số y = ax2 + bx + c (a  0), họ đã

đ-ợc nghiên cứu về hàm số

y = ax2 (a  0) Do đó, để khảo sát hàm số bậc hai đầy đủ, ta tìm cách

đ-a về tr-ờng hợp đặc biệt Y = aX2 (bằng phép đổi trục tọa độ)

Ví dụ 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x a  x b (a<b)

Đề bài toán cho toàn bằng chữ, đối với học sinh quả là quá trừu t-ợng, học sinh sẽ rất khó tìm ra mối liên quan giữa giả thiết và kết luận

Ta đặc biệt hoá bài toán trên với a = 1; b = 2 Lúc này ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x   1 x 2

Trong hoạt động Toán học, so sánh giữ một vai trò quan trọng Usinxki chỉ ra: “Nếu anh muốn hiểu rõ một sự vật nào đó của thiên nhiên bên ngoài thì anh hãy phân biệt nó với các sự vật giống nó nhất và tìm trong

nó những dấu hiệu giống với sự vật xa lạ với nó nhất; chỉ khi ấy anh mới hiểu rõ tất cả các dấu hiệu bản chất của sự vật, chính điều đó mới có nghĩa là hiểu sự vật” [55, tr 111]

Sự so sánh các sự vật và hiện t-ợng của hiện thực khách quan diễn ra theo một góc độ nhất định, xuất phát từ một quan điểm nào đó, nhằm giải quyết một vần đề nhất định I M Xêtsênốp viết: “Ng-ời ta đối chiếu và so sánh các sự vật, nhằm đánh giá sự giống nhau và khác nhau của chúng trong tất cả các mối quan hệ có thể có” [55, tr 111]

Trong giảng dạy và học tập, so sánh luôn luôn phục vụ một nhận thức nào đó, nó luôn luôn có mục đích Do đó các sự vật và hiện t-ợng có thể giống nhau theo quan điểm này và khác nhau theo quan điểm khác Chẳng hạn khi dạy về các phép biến đổi t-ơng đ-ơng của bất ph-ơng trình, chúng ta có định

lý: “Cho bất ph-ơng trình f (x) > g (x) (1) có tập xác định D, y = h (x) là một

hàm số xác định trên D Khi đó, trên D bất ph-ơng trình (1) t-ơng đ-ơng với bất ph-ơng trình f (x)+h (x) > g (x)+ h (x) (2)”

Để học sinh nắm chắc định lí này giáo viên có thể cho học sinh so sánh

với một định lí t-ơng tự trong phần ph-ơng trình đó là: “Cho ph-ơng trình f

(x) = g (x) (1) có tập xác định D, y = h (x) là một hàm số xác định trên D Khi

đó, trên D ph-ơng trình (1) t-ơng đ-ơng với ph-ơng trình f (x)+h (x) = g (x)+

h (x) (2)” Giáo viên có thể chỉ cho học sinh thấy:

Định nghĩa hai ph-ơng trình t-ơng đ-ơng và hai bất ph-ơng trình t-ơng

đ-ơng giống nhau ở chỗ: Chúng t-ơng đ-ơng khi tập nghiệm trùng nhau

Từ tính chất này của ph-ơng trình và bất ph-ơng trình đều suy ra đ-ợc một hệ quả cho phép có một phép biến đổi t-ơng đ-ơng rất hay dùng trong

biến đổi ph-ơng trình và bất ph-ơng trình đó là: có thể chuyển một biểu thức

từ vế này sang vế kia và khi đã đổi dấu của nó

Việc chứng minh hai định lí đều sử dụng định nghĩa: Nghĩa là lấy

x 0  D là nghiệm của ph-ơng trình (1) chứng minh đ-ợc x 0 là nghiệm của (2)

và ng-ợc lại

Giáo viên có thể phân tích cho học sinh rõ hơn: Việc tìm nghiệm của

ph-ơng trình f (x) = g (x) là tìm các giá trị của x 0 để giá trị của hàm f (x) tại

x 0 bằng giá trị của hàm g (x) tại x 0 Còn tìm nghiệm của bất ph-ơng trình

f (x) > g (x) là tìm các giá trị x 0 để f (x 0 ) > g (x 0 ) (Tức các giá trị của x để giá trị của hàm f (x) lớn hơn giá trị của hàm g (x))

Hoặc có thể dùng đồ thị để giải thích: Nghiệm của ph-ơng trình

f (x) = g (x) là hoành độ giao điểm của đồ thị y 1 = f (x) và y 2 = g (x) Còn nghiệm của bất ph-ơng trình f (x)> g (x) là tập hợp các giá trị của x để đồ thị của hàm số y 1 = f (x) nằm phía trên đồ thị hàm số y 2 = g (x)

Bằng cách so sánh nh- vậy sẽ làm cho học sinh nắm chắc bản chất về

định nghĩa các nghiệm của ph-ơng trình và bất ph-ơng trình hơn Chỉ khi nắm vững kiến thức cơ bản học sinh mới có thể t- duy một cách linh hoạt, sáng tạo khi giải quyết vấn đề

b T-ơng tự

T-ơng tự là một kiểu giống nhau nào đó Có thể nói t-ơng tự là giống nhau nh-ng ở mức độ xác định hơn, và mức độ đó đ-ợc phản ánh bằng khái niệm [37, tr 22]

Trong “lôgic học”, D Gorki viết: “T-ơng tự là phép suy luận trong đó

từ chỗ hai đối t-ợng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận rằng các

đối t-ợng này giống nhau ở các dấu hiệu khác Nếu đối t-ợng A có dấu hiệu

là a, b, c, d và đối t-ợng B cũng có dấu hiệu a, b, c thì ta rút ra kết luận giả

định rằng đối t-ợng B cũng có tính chất d Ta có thể biểu diễn sơ đồ của phép

suy luận t-ơng tự nh- sau:

A có tính chất a, b, c, d

B có tính chất a, b,c - Kết luận B cũng có tính chất d” (Theo [14])

ở đây, chúng ta chỉ xét những phép t-ơng tự theo nghĩa là chuyển từ một tr-ờng hợp riêng này sang một tr-ờng hợp riêng khác của cùng một cái tổng quát

lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng) (b); Trung bình cộng của n số

không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của nó (c)"

Việc chuyển từ mệnh đề (a) hay (b) sang (c) là khái quát hoá; việc chuyển từ (a) sang (b) là một phép t-ơng tự Phép t-ơng tự ở đây rất gần với khái quát hoá; phép t-ơng tự có thể xem là tiền thân của khái quát hoá, bởi vì, việc chuyển từ một tr-ờng hợp riêng này sang một tr-ờng hợp riêng khác của cùng một cái tổng quát là một b-ớc để đi tới những tr-ờng hợp riêng bất kỳ của cái tổng quát đó

Đối với học sinh, t-ơng tự đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện t- duy sáng tạo của ng-ời học Để giải một bài toán, chúng ta th-ờng nghĩ về một bài toán t-ơng tự dễ hơn và tìm cách giải bài toán ấy Sau đó, để giải bài toán ban đầu, ta lại dùng bài toán t-ơng tự dễ hơn đó làm mô hình

Ví dụ 5 Tính tổng: S (n) = 1.2 + 2.3+ +n (n+1)

Để tính tổng trên ta liên hệ nó với một tổng t-ơng tự đơn giản hơn

S1 (n) = 1 + 2 + 3 + + n Để cho tổng S1 (n) có dạng gần gũi với tổng S (n) hơn ta nhân S1 (n) với 2 ta có:

2 S1 (n) = 1.2 + 2.2 + 2.3 + + 2.n

Do đó: S (n) -2 S1 (n) = 1.2 + 2.3 + + (n-1).n Vế phải của đẳng thức này chính là: S (n)-n (n+1)

Vì vậy: S (n) - 2 S (n) = S (n) - n (n+1)

3 S (n) = 1.2.3 + 2.3.3 + + n (n+1).3

Do đó:

S2 (n) - 3S (n) = 1.2.3 + 2.3.4 + + (n-1)n (n+1) = S2 (n) - n (n+1) (n+2) Vậy ta có: S(n) =n(n +1)(n + 2)

m   n p 2 mà phải tìm tới ba số nguyên Vậy tại sao

ta không bắt đầu từ tr-ờng hợp t-ơng tự đơn giản nhất:

"Tìm số nguyên m sao cho 1 1

Hiểu nh- vậy sẽ áp dụng đ-ợc tr-ờng hợp t-ơng tự đã xét ở trên: m = 3

Và bài toán đã cho quy về: Tìm hai số khác nhau n, p sao cho

  bé nhất" và giải đ-ợc kết quả n = 7

Cuối cùng, ta còn phải tìm p nguyên sao cho 1 1 1 1

p   6 7 42 và 1 1

42  p

bé nhất Ta tìm đ-ợc p = 43

Kết quả cần tìm là m = 3; n = 7; p = 43

1.3 Hoạt động giải toán của học sinh

1.3.1 Chức năng của bài toán

Trong tr-ờng phổ thông có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học đối với học sinh Các bài toán là một ph-ơng tiện không thể thay thế đ-ợc trong quá trình giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t- duy, hình thành các kỹ năng, kỹ xảo, phát triển năng lực sáng tạo, giải quyết các bài toán thực tế Hoạt động giải các bài toán là điều kiện

để thực hiện tốt các mục tiêu dạy Toán ở tr-ờng phổ thông Vì vậy, việc tổ chức giải các bài toán có hiệu quả sẽ góp phần quan trọng đối với chất l-ợng

dạy học Toán

Trong thực tiễn dạy học, các bài toán đ-ợc sử dụng với những dụng ý khác nhau Tất nhiên, các bài toán th-ờng không chỉ nhằm vào một mục đích

đơn nhất nào đó mà th-ờng bao hàm nhiều dụng ý khác nhau

Mỗi bài toán cụ thể đ-ợc đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách t-ờng minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau Những chức năng này đều h-ớng đến việc thực hiện các mục

đích dạy học

Trong thực tiễn dạy học, bài toán mang các chức năng sau:

Chức năng dạy học: Bài tập nhằm hình thành củng cố ôn tập hệ thống các kiến thức lý thuyết, hoàn thiện các kiến thức cơ bản, nâng cao lý thuyết trong chừng mực có thể, làm cho học sinh nhớ và khắc sâu những lý thuyết đã học Qua bài toán, học sinh có thể phải đào sâu một khía cạnh nào đó của kiến thức hoặc phân tích, tổng hợp, huy động nhiều kiến thức để giải Tất cả những thao tác t- duy đó sẽ góp phần củng cố, khắc sâu và mở rộng kiến thức cho học sinh Đây là ph-ơng tiện tốt để học sinh phát triển năng lực t- duy sáng tạo, xây dựng và củng cố những kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển t- duy của học sinh, đặc biệt rèn luyện thao tác trí tuệ, hình thành và phát triển những phẩm chất của t- duy Bồi d-ỡng cho học sinh ph-ơng pháp nghiên cứu khoa học, bởi vì thông qua việc giải bài tập sẽ rèn luyện cho học sinh thói quen và khả năng độc lập phát hiện và giải quyết các vấn đề có liên quan Trong môi tr-ờng đó, t- duy lôgic, t- duy sáng tạo của các em sẽ từng b-ớc đ-ợc phát triển, năng lực các

Chức năng giáo dục: Thông qua việc giải các bài tập, sẽ tạo môi tr-ờng

để rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ nh-: tính sáng tạo, tính độc lập, tính linh hoạt, tính mềm dẻo, tính phê phán, Việc giải các bài tập sẽ giúp học sinh làm quen với nhiều tình huống mới lạ Những tình huống đó cùng với ph-ơng pháp dạy học thích hợp của giáo viên sẽ giúp học sinh rèn luyện tính linh hoạt, tính mềm dẻo của t- duy - một yếu tố quan trọng của t- duy sáng tạo

Chức năng kiểm tra đánh giá: Bài tập toán học là một ph-ơng tiện có hiệu quả để kiểm tra kiến thức, kiểm tra năng lực t- duy, sáng tạo của học sinh

Thông qua bài tập có thể kiểm tra đ-ợc sự hiểu biết của học sinh phần lý thuyết cơ bản, lý thuyết mở rộng (hoặc kiến thức sâu hơn) Khả năng vận dụng

lý thuyết vào bài tập

Thông qua động thái của học sinh khi giải bài tập, bộc lộ đ-ợc khả năng

về trí tuệ, tính nhanh, tính nhẩm, tính sáng tạo v.v Cũng thông qua hoạt

động này, phát hiện những khuyết điểm, những sai lầm và nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh để kịp thời uốn nắn Từ đó đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh

Kiến thức trung gian mà chúng ta xây dựng cũng mang những chức năng trên, ngoài ra nó còn đóng vai trò là “cầu nối” giữa những kiến thức mà học sinh

đ-ợc học với những bài toán nâng cao, bài toán khó Để có thể giải đ-ợc những bài toán, đòi hỏi học sinh phải có khả năng liên t-ởng, huy động kiến thức đã biết để vận dụng Việc vận dụng kiến thức trung gian để giải bài tập sẽ làm cho học sinh phát huy khả năng dự đoán các vấn đề đặc biệt hóa, khái quát hóa, t-ơng tự Trong quá trình đó sẽ rèn cho học sinh tinh thần hoài nghi khoa học, tính độc lập, tính phê phán của t- duy, góp phần rèn luyện tính sáng tạo cho học sinh

Tóm lại, nếu giáo viên có ph-ơng pháp huy động và thiết kế các kiến thức trung gian một cách thích hợp thì sẽ tạo đ-ợc điều kiện thuận lợi cho việc

phát triển các phẩm chất trí tuệ ở học sinh - điều này có ý nghĩa to lớn đối với việc học tập, công tác và trong cuộc sống của các em

1.3.2 Hoạt động giải toán của học sinh

Công trình nghiên cứu của G Pôlia cũng đã khẳng định: "Giải Toán là khả năng riêng biệt của trí tuệ, còn trí tuệ chỉ có ở con ng-ời; vì vậy giải toán

có thể xem nh- một trong những biểu hiện đặc tr-ng nhất trong hoạt động của con ng-ời" [38, tr.5], do đó: “Người giải toán phải hiểu đ-ợc trí tuệ của

mình nh- ng-ời lực sĩ hiểu thân thể anh ta " và "Khát vọng và quyết tâm giải

đ-ợc bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài tập" [38, tr 305]

Theo Pôlia, dự đoán chiếm vị trí trung tâm của hoạt động trí tuệ trong khi giải toán Ngay sau khi đọc kỹ một đầu bài toán, ng-ời giải cố gắng dự đoán phạm vi đi tìm lời giải, phạm vi này có thể còn mơ hồ, thậm chí có thể phần nào không đúng, mặc dầu thực ra không phải lúc nào cũng quá sai lầm Trên cơ sở

dự đoán ta có đ-ợc cái toàn thể ban đầu (cái tổng hợp I) [19, tr.110]

- Tổ chức và động viên kiến thức

Khi giải toán, thoạt đầu ng-ời giải chỉ thấy bài toán nh- một cái t-ờng tách biệt với vốn kiến thức của mình (giữa kiến thức loại 1 và loại 2 ch-a thiết lập đ-ợc mối liên hệ qua lại) khi đã giải đ-ợc bài toán rồi thì khác hẳn; ng-ời giải thấy nhiều chi tiết nhiều hình vẽ của bài toán mà lúc đầu không thể tin

đ-ợc rằng những chi tiết, những hình vẽ đó của bài toán lại có liên quan đến bài toán Thoạt đầu hình vẽ của bài toán còn thiếu cụ thể; mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán còn bị che giấu, ng-ời giải vận dụng đến nhiều kiến thứcđã

có (những định lí, những tính chất có liên quan đến các yếu tố hình vẽ) để vẽ thêm đ-ờng phụ, để đ-a vào ẩn số phụ, hình vẽ ban đầu với sự xuất hiện thêm một số yếu tố phụ mới hoặc cũng cố dự đoán ban đầu của ng-ời giải, vì kết quả của phân tích là cái toàn thể ban đầu đ-ợc nhận thức sâu sắc hơn (tổng hợp II) Quá trình cứ nh- vậy mà tiếp diễn

Trong t- duy, đã diễn ra hai hành động trí tuệ, động viên kiến thức và tổ chức kiến thức “Động viên kiến thức là lấy ra, là tách ra từ trí nhớ những yếu

tố có liên quan đến bài toán, còn tổ chức kiến thức là chắp nối những yếu tố

ấy lại với nhau Giải bài toán nh- là xây dựng ngôi nhà; thoạt đầu phải thu nhận những vật liệu cần thiết, sau đó phải cấu kết những vật liệu rời rạc thành một cái toàn thể" [19, tr 111]

Có thể xem vai trò của hoạt động này thông qua bài toán sau:

Ví dụ 7 Biện luận theo m số nghiệm của ph-ơng trình:

x2

- 4x - m = 0 (1)

Giáo viên đ-a ra cách giải:

Chuyển ph-ơng trình về dạng: x2

- 4x = m (2) khi đó số nghiệm của ph-ơng trình là số giao điểm của Parabol (P):

y

thì buộc giáo viên phải "giúp đỡ" học sinh thông qua các câu hỏi hợp lí Chẳng hạn nh-: Có nhận xét gì về đặc điểm cấu tạo của ph-ơng trình này?

mục đích là để học sinh phát hiện đ-ợc ph-ơng trình đ-ợc tạo bởi hàm số

y = x2

- 4x và đ-ờng thẳng (d): y = m Từ đó học sinh động viên và chắp nối

các kiến thức lại với nhau, phát hiện và xây dựng thành lời giải hoàn chỉnh

Cũng trên quan điểm này tác giả viết: " Hai hành động ấy bổ sung lẫn nhau nh- hai mặt của một quá trình hoạt động trí tuệ rất phức tạp mà mục đích

cuối cùng là giải đ-ợc bài toán Thao tác phân tích - tổng hợp là cơ sở của hành động tổ chức động viên nhận biết và nhớ lại" [19, tr 111]

Trong tài liệu này, các tác giả khẳng định: "Hành động trí tuệ tổ chức kiến thức bao hàm trong nó các thao tác bổ sung và nhóm lại" [19, tr 112]

- Bổ sung và nhóm lại:

"Thao tác bổ sung là một thao tác quan trọng trong hành động tổ chức kiến thức, vì với thao tác ấy ng-ời giải có quan niệm càng ngày càng đầy đủ hơn về bài toán" [19, tr 112]

"Việc thay đổi cách nhìn nhận các yếu tố của bài toán, nghĩa là thôi không xem xét những mối quan hệ này giữa các yếu tố mà lại xem xét đến các mối quan hệ khác giữa các yếu tố ấy (không cần thêm yếu tố nào mới), cũng

có thể làm cho quan niệm về bài toán của ng-ời giải thay đổi Theo h-ớng có khả năng thích hợp đối với bài toán Đó là thao tác nhóm lại" [19, tr 113] Tiếp theo của các hoạt động này là hoạt động:

- Tách biệt và kết hợp: "Tách biệt là hành động trí tuệ tách một chi tiết,

một bộ phận cụ thể khỏi cái toàn thể bao quanh nó, tập chung mọi chú ý vào chi tiết bộ phận này Hành động trí tuệ tách biệt không thể diễn bên ngoài

thao tác đối lập với nó

Hành động trí tuệ kết hợp sau khi đã nghiên cứu một loạt chi tiết, một loạt hành động kết hợp liên kết những chi tiết, nh-ng bộ phận đã đ-ợc xem xét lại với nhau trong một cái toàn thể, cái toàn thể này đ-ợc phản ánh đầy đủ hơn tr-ớc, tính hài hoà và thống nhất của nó rõ nét hơn Hành động tách biệt dẫn

đến hành động kết hợp, hành động kết hợp lại dẫn đến những hành động tách biệt mới, những bộ phận mới, đó là tiến trình suy nghĩ làm cho ng-ời giải hiểu bài toán và giải đ-ợc toán" [19, tr 114]

Từ những lí luận trên các tác giả đã khái quát bằng một sơ đồ và có sự giải thích gọi là:

Sơ đồ hoạt động trí tuệ trong giải toán [19, tr 115]

Khi giải quyết một bài toán cụ thể thì những thao tác trí tuệ có dạng xác

định và những câu hỏi t-ơng ứng (tức là những nhiệm vụ nhận thức làm xuất hiện những thao tác ấy) nh- sau:

Hãy sử dụng định nghĩa (thao tác nhận biết) [19, tr 115]

Ví dụ 8 Khi dạy về ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình bậc nhất nhiều ẩn giáo viên cho học sinh làm bài tập: Giải hệ ph-ơng trình [17, tr.68]

Vấn đề ở đây là làm cho học sinh nhận biết và sử dụng định nghĩa (Hệ ph-ơng trình đã cho là hệ ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn) [17, tr.64]

Nhớ lại

Ví dụ 9 Khi dạy về dấu của tam thức bậc hai giáo viên đ-a ra bài toán

sau [40, tr.140]:

Với những giá trị nào của m thì đa thức f (x) = (2- m)x2

- 2x +1 luôn

d-ơng ?

Đối với bài toán này việc giúp học sinh nhận biết và vận dụng định lý

về dấu của tam thức bậc hai chính là:''  x ,ax2bxc> 0  0

Với m = 2 thì f (x) = -2x + 1 lấy cả những giá trị âm (chẳng hạn f (1) = -1)

Do đó, giá trị m = 2 không thỏa mãn điều kiện đòi hỏi

Với m  2, f (x) là tam thức bậc hai với biệt thức thu gọn  ' = m - 1

m m

         

Vậy với m < 1 thì đa thức f (x) luôn d-ơng

Hãy nhớ lại định lí hay bài toán (thao tác nhớ lại) [19, tr 116]

Ví dụ 10 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng:

ab (a + b - 2c) + bc (b +c - 2a) + ca (c + a - 2b)  0

Để giải bài toán này bắt buộc học sinh phải thực hiện thao tác nhớ lại,

đó là phép biến đổi đại số để nhận đ-ợc các phần tử không âm trong bất đẳng thức, từ đó sử dụng bất đẳng thức côsi, các bài toán liên quan mà học sinh đã tiếp cận tr-ớc đó

Biến đổi bất ph-ơng trình về dạng:

áp dụng bất đẳng thức côsi cho VT, ta đ-ợc:

x x