Bồi dưỡng năng lực phát hiện phương pháp giải toán cho học sinh trung học phổ thông

Đặt người học vào vị trí trung tâm của hoạt động dạy - học với những phẩm chất và năng lực riêng của mỗi người - vừa là chủ thể vừa là mục đích của quá trình đó, phấn đấu tiến tới cá thể

==== ====

Lª m¹nh linh

Båi d-ìng N¨ng Lùc ph¸t hiÖn ph-¬ng ph¸p gi¶i To¸n cho Häc Sinh trung häc phæ th«ng

Chuyªn ngµnh: Lý luËn vµ PPdh bé m«n to¸n

M· sè: 60.14.10

luËn v¨n th¹c sÜ gi¸o dôc häc

Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: TS NguyÔn V¨n ThuËn

Vinh – 2009

Më ®Çu 1

1.1 Một số vấn đề về năng lực phát hiện phương pháp giải Toán

của học sinh trung học phổ thông

6

1.2 Một số yếu tố ảnh hưởng đến năng lực phát hiện phương pháp

giải Toán của học sinh trung học phổ thông

28

1.3 Một số vấn đề cần truyền thụ và bồi dưỡng để phát huy năng

lực phát hiện phương pháp giải Toán cho học sinh

31

1.4 Xu hướng dạy học giải quyết vấn đề đối với việc bồi dưỡng

năng lực phát hiện phương pháp giải Toán cho học sinh

43

Ch-¬ng 2 NHỮNG QUAN ĐIỂM CHỦ ĐẠO TRONG DẠY HỌC

GIẢI BÀI TẬP TOÁN NHẰM GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG NĂNG

LỰC PHÁT HIỆN PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH

47

2.1 Chú ý thích đáng đến kỹ năng đặt câu hỏi và kỹ năng giải

thích của giáo viên

47

2.2 Quan tâm đúng mực đến việc phân loại bài toán 52

2.2.1 Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất 52

tựa thuật toán

2.2.3 Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất

phi thuật toán

61

2.3 Kết hợp nhuần nhuyễn giữa việc truyền thụ nội dung của sách

giáo khoa và tri thức phương pháp

66

2.3.1 Các cấp độ dạy học tri thức phương pháp 67

2.3.2 Một số tiến trình dạy học tri thức phương pháp có tính chất

thuật toán một cách tường minh

70

2.4 Phát triển khả năng dự đoán và suy diễn cho học sinh 78

2.5 Phát triển khả năng liên tưởng và huy động kiến thức cho học sinh 90

2.6 Dạy học từ những sai lầm của học sinh 98

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 112

1.1 Nghị quyết Hội nghị lần thứ 2 Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt

Nam (Khóa VIII, 1997) khẳng định: “… Phải đổi mới phương pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo cho

người học …”

1.2 Trong xu thế tất yếu của việc xây dựng một xã hội học tập, một nền giáo dục

suốt đời mà loài người tiến bộ đang hướng tới, yếu tố quan trọng hàng đầu để có thể thực hiện một xã hội, một nền giáo dục như thế là người dạy phải biết “dạy cách học” và người học phải biết “học cách học” Dạy học không chỉ giản đơn là cung cấp tri thức mà còn phải hướng dẫn hành động Đặt người học vào vị trí trung tâm của hoạt động dạy - học với những phẩm chất và năng lực riêng của mỗi người - vừa là chủ thể vừa là mục đích của quá trình đó, phấn đấu tiến tới cá thể hoá quá trình học tập với sự trợ giúp của các phương tiện thiết bị hiện đại, để cho tiềm năng của mỗi học sinh được phát triển tối ưu, góp phần có hiệu quả vào việc xây dựng

cuộc sống có chất lượng cho cá nhân, gia đình và xã hội

1.3 Ở trường phổ thông dạy Toán là dạy hoạt động Toán học (A.A Stôliar) Đối với

HS, có thể xem việc giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài toán

ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học Toán ở trường phổ thông Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán Bài tập toán mang nhiều chức năng: Chức năng giáo dục, chức năng giáo dưỡng, chức năng phát triển

tư duy và chức năng kiểm tra đánh giá Khối lượng bài tập Toán ở trường phổ thông

là hết sức phong phú, đa dạng Có những lớp bài toán có thuật giải, nhưng phần lớn

là những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải Đứng trước những bài toán đó,

GV gợi ý và hướng dẫn HS như thế nào để giúp họ tìm ra phương pháp giải là một vấn đề hết sức quan trọng Tuy nhiên đây cũng là vấn đề rất khó khăn bởi vì đề ra được những gợi ý hợp lí, đúng lúc, đúng chỗ còn là nghệ thuật sư phạm của chính

người GV

đứng trước một vấn đề cần giải quyết, HS cũng thấy được mỗi lời giải bài toán như

là một quá trình suy luận, tư duy của HS mà phương pháp giải không chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của bài toán mà còn phụ thuộc tố chất tâm lý của bản thân người giải Mối liên hệ, dấu hiệu trong bài toán chỉ có thể được phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh Nguồn gốc sức mạnh của Toán học là

ở tính chất trừu tượng cao độ của nó Nhờ trừu tượng hoá mà Toán học đi sâu vào bản chất của nhiều sự vật, hiện tượng và có ứng dụng rộng rãi Nhờ có khái quát hoá, xét tương tự mà khả năng suy đoán và tưởng tượng của HS được phát triển, và

có những suy đoán có thể rất táo bạo, có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các thao tác tư duy Cũng qua thao tác khái quát hoá và trừu tượng hoá mà tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, tư duy phê phán của HS cũng được hình thành và phát triển Bởi qua các thao tác tư duy đó HS tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định được phương hướng, tìm ra cách giải quyết và cũng tự mình kiểm tra, hoàn thiện kết quả đạt được của bản thân cũng như những ý nghĩ và

tư tưởng của người khác Một mặt các em cũng phát hiện ra được những vấn đề

mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới

1.5 Đối với HS trung học phổ thông, kĩ năng giải Toán thường thể hiện ở khả năng

lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán Việc lựa chọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ ràng, trong sáng, không chỉ dựa vào việc nắm vững các kiến thức đã học, mà một điều khá quan trọng là hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân môn toán học khác nhau trong chương trình học, biết áp dụng nó

vào việc tìm tòi phương pháp giải tốt nhất cho bài toán đặt ra

Trong học Toán và làm Toán, việc áp dụng phương pháp, công cụ của lĩnh vực toán này vào một lĩnh vực toán khác đôi lúc tỏ ra rất hiệu quả và đơn giản hơn, đồng thời quá trình này cũng làm cho người học Toán hiểu rõ được vai trò và ý nghĩa của mỗi phân môn một cách sâu sắc và cụ thể Chẳng hạn, trong Hình học sơ cấp, tính chất của các hình hình học, hình dáng, vị trí cũng như quan hệ giữa các yếu tố trong mỗi hình được biểu thị bằng các biểu thức đại số, biểu thức lượng giác, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình Chính nhờ các dạng biểu diễn này ta có thể áp dụng các phép biến đổi thuần túy đại số để xác lập các tính chất mới giữa các yếu tố hình

hệ giữa chúng được cho bằng các công thức cơ bản Trên cơ sở các công thức này

và các giả thiết được cho trong mỗi bài toán, ta lập các biểu thức mới và sau đó ta

sử dụng chủ yếu các phép biến đổi và các công cụ mạnh trong đại số và giải tích

(chẳng hạn như đạo hàm) để rút ra các kết luận cần thiết

Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận văn là: “Bồi

dưỡng năng lực phát hiện phương pháp giải Toán cho học sinh trung học phổ thông”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu một số vấn đề lý luận và thực tiễn về phương pháp giải Toán như khái niệm, bản chất, các thành phần và đặc trưng, các yếu tố ảnh hưởng đến năng lực phát hiện phương pháp giải Toán của HS…, đưa ra một số vấn đề cần rèn luyện cho HS về các kỹ năng trong việc phát hiện các phương pháp giải Toán ở bậc THPT, đồng thời nghiên cứu để đề xuất các quan điểm chủ đạo nhằm góp phần phát triển năng lực

này cho HS ở Trường THPT

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3.1 Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến vấn đề phương pháp giải Toán 3.2 Tìm hiểu một số yếu tố ảnh hưởng đến năng lực phát hiện phương pháp giải

Toán của HS THPT, đề xuất các quan điểm chủ đạo dạy học để rèn luyện cho HS,

góp phần bồi dưỡng năng lực này

3.3 Đề xuất thực hiện các quan điểm chủ đạo sư phạm nhằm góp phần bồi dưỡng

năng lực phát hiện các phương pháp giải Toán cho HS ở trường THPT

3.4 Thực nghiệm sư phạm để bước đầu đánh giá tính khả thi của các quan điểm chủ đạo đã

đề xuất

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Trên cơ sở nội dung và chương trình SGK THPT hiện hành, nếu đề xuất được một

số quan điểm chủ đạo thích hợp nhằm bồi dưỡng năng lực phát hiện phương pháp giải Toán cho HS ở trường THPT thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả DH Toán ở bậc

quan đến đề tài luận văn

5.2 Điều tra, quan sát: Thực trạng về năng lực phát hiện các phương pháp giải một

số dạng toán của HS ở trường THPT

5.3 Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của đồng nghiệp và bản thân

trong quá trình DH Toán, đặc biệt là các kinh nghiệm của những GV am hiểu vấn

đề nghiên cứu của đề tài

5.4 Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi

và hiệu quả của các quan điểm chủ đạo đã đề xuất

6 ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN 6.1 Hệ thống hóa một số vấn đề lý luận cơ bản về phương pháp giải Toán 6.2 Đề xuất được một số quan điểm chủ đạo bồi dưỡng năng lực phát hiện các

phương pháp giải Toán cho HS THPT trong quá trình DH Toán theo hướng tích cực hóa hoạt động của HS, phù hợp với định hướng đổi mới phương pháp dạy học Toán

trong giai đoạn hiện nay

6.3 Có thể sử dụng Luận văn để làm tài liệu tham khảo cho GV Toán nhằm góp

phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT

7 NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƯA RA BẢO VỆ 7.1 Luận văn góp phần làm sáng tỏ một số vấn đề lý luận về năng lực phát hiện

phương pháp giải Toán: Năng lực, năng lực phát hiện phương pháp giải Toán Nghiên cứu năng lực này trên các phương diện: Khái niệm, bản chất, các thành phần và đặc trưng, các yếu tố ảnh hưởng đến năng lực phát hiện phương pháp giải Toán của HS…

7.2 Đề ra được một số vấn đề cần truyền thụ và bồi dưỡng cho học sinh để phát huy

năng lực phát hiện phương pháp giải Toán cho các em

7.3 Các quan điểm chủ đạo góp phần bồi dưỡng năng lực phát hiện các phương

pháp giải Toán cho HS THPT (đề xuất trong Luận văn) là khả thi và hiệu quả

8 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, có ba chương:

Ch-¬ng 1 C¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn 1.1 Một số vấn đề về năng lực phát hiện phương pháp giải Toán của học sinh

trung học phổ thông

1.2 Một số yếu tố ảnh hưởng đến năng lực phát hiện phương pháp giải Toán

của học sinh trung học phổ thông 1.3 Một số vấn đề cần truyền thụ và bồi dưỡng để phát huy năng lực phát hiện

phương pháp giải Toán cho học sinh

1.4 Xu hướng dạy học giải quyết vấn đề đối với việc bồi dưỡng năng lực phát

hiện phương pháp giải Toán cho học sinh

1.5 Kết luận Chương 1 Ch-¬ng 2 NHỮNG QUAN ĐIỂM CHỦ ĐẠO TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN NHẰM GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC PHÁT

HIỆN PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH 2.1 Chú ý thích đáng đến kỹ năng đặt câu hỏi và kỹ năng giải thích của giáo viên

2.2 Quan tâm đúng mực đến việc phân loại bài toán 2.3 Kết hợp nhuần nhuyễn giữa việc truyền thụ nội dung của sách giáo khoa

và tri thức phương pháp 2.4 Phát triển khả năng dự đoán và suy diễn cho học sinh 2.5 Phát triển khả năng liên tưởng và huy động kiến thức cho học sinh

2.6 Dạy học từ những sai lầm của học sinh

2.7 Kết luận chương 2 Ch-¬ng 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

3.1 Mục đích thực nghiệm 3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 3.4 Kết luận chung về thực nghiệm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số vấn đề về năng lực phát hiện phương pháp giải Toán của HS THPT

1.1.1 Các chức năng chủ yếu của Bài toán trong dạy học toán

Ở một số nước trên thế giới, trong đó có Việt Nam, cấu trúc truyền thống của SGK thường có hai phần riêng biệt: Phần lí thuyết và tiếp sau đó là phần bài tập Ngay trong phần lí thuyết, kiến thức lí thuyết (định nghĩa, định lí, công thức…) chủ yếu vẫn được trình bày trước, sau đó là các ví dụ minh họa hay bài tập áp dụng Dạy học

các kiến thức lí thuyết luôn đóng vai trò trung tâm

Cấu trúc này tương thích với mô hình dạy học truyền thống, theo đó GV thường truyền thụ trực tiếp kiến thức cho HS, cho một vài ví dụ minh họa và yêu cầu HS làm các bài tập áp dụng theo đúng mẫu mà GV đã trình bày Nói cách khác đây là

kiểu dạy cầm tay chỉ việc

Đó có thể là những nguyên nhân chủ yếu dẫn tới quan niệm khiếm khuyết đồng

nhất bài toán (problem) với bài tập (exercise), và từ đó bó hẹp chức năng của các

bài toán chỉ là củng cố và vận dụng các kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo

hay kiểm tra kiến thức của HS

Tuy nhiên, những nghiên cứu khoa học về lịch sử toán học đã chỉ rõ rằng hầu hết các khái niệm và các lí thuyết toán học thường nảy sinh từ nhu cầu giải quyết các bài toán trong thực tế cuộc sống, trong nội bộ toán học hay trong các khoa học khác Nói cách khác, tri thức toán học không phải có sẵn mà được xây dựng bắt đầu từ việc giải quyết các bài toán Như vậy, quan hệ thứ tự giữa kiến thức lí thuyết và bài toán không còn là: Kiến thức lí thuyết  Bài tập áp dụng mà chủ yếu là: Bài toán

 Kiến thức lí thuyết  Bài tập áp dụng  Bài toán mới

Những nghiên cứu tâm lí học (nhất là của J.Piaget) cũng cho thấy: Việc học tập thực sự chỉ nảy sinh trong sự tác động qua lại của chủ thể (người học) với môi trường, trong đó người học thấy được và có nhu cầu giải quyết các bài toán

Từ đó, quan điểm sư phạm hiện đại về dạy học toán đang được áp dụng trên nhiều nước là: Tập trung dạy học toán trên hoạt động của HS (phù hợp với quan điểm dạy toán là dạy hoạt động toán học) Chính HS tự mình xây dựng các kiến thức toán học thông qua hoạt động giải các bài toán Nói cách khác, giải các bài toán đóng vai trò trung tâm trong hoạt động dạy học.Chức năng của bài toán không còn bó hẹp trong chức năng của bài tập áp dụng Sau đây chúng tôi phân tích kĩ hơn về một số chức

năng chủ yếu của bài toán trong dạy học toán:

1.1.1.1 Chức năng gợi động cơ

Gợi động cơ là làm cho HS có ý thức về ý nghĩa của những hoạt động và của đối

tượng hoạt động [35, tr.81]

a) Gợi động cơ cho việc tiến hành nghiên cứu đối tượng mới Trong trường hợp

này, bài toán sẽ tạo ra nhu cầu và hứng thú giải quyết vấn đề đặt ra, từ đó tạo nên

động cơ đi vào nghiên cứu một đối tượng mới

Ví dụ 1.1 Bài toán sau đây là động cơ cho việc đi vào nghiên cứu phép tính giới hạn

trong chương trình giải tích lớp 11 hiện hành Trong thần thoại Hy Lạp thần Achilles (là con của Thetis (nữ thần biển) với vua Hy Lạp Peleus) biểu thị cho lòng dũng cảm và sự nhanh nhẹn Nhưng Zenon (thế kỉ III TCN) đã đưa ra nghịch lí là

Thần Achilles không đuổi kịp con rùa Nhà triết học cổ Hy Lạp này đã đưa ra lí luận

như sau: Giả sử ban đầu Achilles ở vị trí A và con rùa ở vị trí R. Achilles và con rùa xuất phát cùng một lúc Khi Achilles chạy đến R thì trong khoảng thời gian đó con rùa đã chạy đến R1. Khi Achilles chạy đến R1 thì con rùa đã chạy đến R2 Cứ như thế, mãi mãi con rùa luôn ở trước Achilles một đoạn x0, tức là Achilles

không đuổi kịp rùa

Giả sử khoảng cách giữa Achilles và rùa lúc đầu là 100 km và vận tốc của Achilles

và rùa lần lượt là 100km h/ và 1km h/ Để đi hết 1km thì Achilles mất 1/100 giờ Trong khoảng thời gian này con rùa đi được 1/100km Khoảng cách bây giờ là

1/100km Để đi hết 1/100 km thì Achilles mất 1/10000 giờ Trong khoảng thời gian này con rùa đi được 1/10000km Khoảng cách bây giờ là 1/10000km Như vậy

tổng thời gian để Achilles đuổi kịp rùa là

1 1 1 1001

Đây là tổng vô hạn các số hạng của một cấp số nhân có công bội là 1/100 Bài toán

này sẽ không giải quyết được nếu không có phép tính giới hạn

b) Gợi động cơ nảy sinh khái niệm mới Trong toán học, bài toán, ý tưởng và công

cụ hình thành nên ba thành phần chủ yếu của hoạt động toán học Trong đó, bài toán

cần giải quyết là động cơ của nghiên cứu, công cụ là phương tiện giải quyết vấn đề, còn ý tưởng là yếu tố trung gian nối khớp bài toán và công cụ Trong mối quan hệ

này bài toán đóng vai trò cơ bản

Ví dụ 1.2 Dạy học khái niệm Đạo hàm của hàm số Phương án 1 (xem Đoàn Quỳnh (2007), Đại số và giải tích 11 nâng cao, Nxb Giáo

dục, Hà Nội, tr.184)

Phương án 2 Trước hết cho học sinh hoạt động giải bài toán: Một đoàn tàu khởi

hành từ ga A, chuyển động thẳng Quảng đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút) Ở những phút đầu tiên hàm số đó là st2 Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng  t t0, với t03 và t lần lượt lấy

các giá trị 5; 4; 3, 25; 3,1; 3, 01

Nêu nhận xét về những kết quả thu được khi t càng tiến gần tới 3

Sau đó GV trình bày bài toán sau dẫn đến khái niệm đạo hàm:

Bài toán tìm vận tốc tức thời: Một chất điểm M chuyển động trên trục s’Os với

phương trình s f t  Hãy tìm một đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm

của chuyển động tại thời điểm t0

Trong khoảng thời gian từ t0 đến t chất điểm đi được quảng đường

bình càng thể hiện được chính xác hơn tính chất nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0. Từ nhận xét trên người ta đưa ra định nghĩa sau: Giới hạn (nếu có) của tỉ số

   0 0

f t f t

t t



 khi tt0 được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0

Cách hình thành khái niệm đạo hàm theo quy trình này cho phép làm rõ ý nghĩa của khái niệm đạo hàm: Sự ra đời của khái niệm này không phải là ngẫu nhiên mà xuất phát từ nhu cầu giải quyết các vấn đề nảy sinh không chỉ trong nội bộ toán học mà

còn trong các khoa học khác

1.1.1.2 Chức năng huy động kiến thức cũ

Quá trình hình thành kiến thức mới luôn đòi hỏi vận dụng các kiến thức cũ Tuy nhiên không phải lúc nào HS cũng nhớ một cách đầy đủ các kiến thức cũ này hoặc có nhớ nhưng đôi khi lại không biết vận dụng Để đảm bảo rằng HS đã sẵn sàng và và dễ dàng huy động các kiến thức cần thiết cho dạy học nội dung mới thì hoạt động giải các bài toán là một trong các cách thức tốt nhất để HS tìm lại được các kiến thức và kĩ

năng này vì nó cho phép phát huy vai trò chủ động và tích cực của HS

1.1.1.3 Là phương tiện đưa vào kiến thức mới

Ở cấp độ thấp hơn, các bài toán cũng có thể được sử dụng như phương tiện đưa vào kiến thức mới Kiến thức mới này nảy sinh không phải như là công cụ mà như là kết

quả của hoạt động giải quyết vấn đề

Ví dụ 1.3 Bài toán sau đây là phương tiện để dạy Định lí hàm số sin trong tam giác

Cho tam giác ABC vuông tại A BC, a CA, b AB, c R, là bán kính đường tròn

ngoại tiếp tam giác đó

a) Tính sin , sin , sinA B C theo a b c, ,

b) Tìm mối liên hệ giữa ba cạnh, ba góc của tam giác ABC và R

Lời giải (mong đợi)

sinAsin 90 1, sinB b, sinC c

R Vì vậy (*) cũng đúng với tam giác đều

Hệ thức (*) có đúng với tam giác bất kì không? (Kết quả của việc giải quyết vấn đề

này là nội dung của định lí hàm số sin trong tam giác)

1.1.1.4 Chức năng cũng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng và hình thành kĩ xảo toán

học

Sau khi trình bày một định nghĩa, một định lí, một tính chất hay một tri thức phương pháp chúng ta thường cho các ví dụ minh họa, các bài tập áp dụng Đó chính là các bài tập có mục đích củng cố các kiến thức mới vừa được xây dựng và hình thành kĩ

năng vận dụng kiến thức vào việc giải quyết các bài toán

Một trong những chức năng chủ yếu của phần bài tập trong mỗi bài, mỗi chương là củng cố các kiến thức, rèn luyện các kĩ năng đã được đưa vào trong phần lí thuyết

hay hình thành kĩ năng mới và kĩ xảo có liên quan

Việc giải các bài tập toán học không chỉ cho phép củng cố các kiến thức và kĩ năng vừa mới được hình thành mà cả những kiến thức, kĩ năng đã có trước đó

1.1.1.5 Chức năng phát triển các năng lực và phẩm chất tư duy

Việc giải các bài toán là một trong những cơ hội tốt nhất để rèn luyện các thao tác tư duy như: Phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa và phát triển các phẩm chất tư duy như: Tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán Ngoài các chức năng nêu trên, việc giải các bài toán còn là cơ hội hình thành ở HS thế giới quan duy vật biện chứng, các phẩm chất đạo đức, thẩm mĩ Nó cũng là công

cụ cho phép kiểm tra đánh giá kết quả học tập của HS

Mỗi bài toán cụ thể được đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học nói chung, trong một bài học nào đó nói riêng đều chứa đựng một cách tường minh hay ngầm ẩn những chức năng khác nhau Các chức năng này không bộc lộ một cách riêng lẻ, tách rời nhau mà trong mối quan hệ mật thiết với nhau Khi nhấn mạnh một chức năng cụ thể nào đó, ta muốn nói rằng, ở thời điểm đang xét chức năng này có

vị trí trung tâm hơn so với các chức năng khác

1.1.2 Phương pháp giải Toán và năng lực phát hiện phương pháp giải Toán

1.1.2.1 Phương pháp giải Toán

Thuật ngữ Phương pháp (theo tiếng Hy Lạp “Méthodos”) là con đường, cách thức thực

hiện một kiểu nhiệm vụ nào đó, nhằm đạt tới kết quả đạt được mục đích đặt ra

Phương pháp giải Toán (hay phương pháp tìm lời giải bài toán) là cách thức và ứng

xử của người làm toán khi đứng trước một bài toán để gây nên những hoạt động tư

duy của bản thân nhằm tìm ra lời giải của bài toán đó

Những hoạt động tư duy bao gồm: khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự, quy nạp,

phân tích, tổng hợp, so sánh… đặc biệt là suy luận có lý

Ví dụ 1.4 (theo [59, tr.168]) Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai đường thẳng chéo

nhau

Ký hiệu a và b là hai đường thẳng chéo nhau đã cho, A và B lần lượt là hai điểm chuyển động trên a và b Ta cần xác định vị trí của đoạn thẳng AB sao cho nó ngắn nhất Độ dài đoạn thẳng AB phụ thuộc vị trí hai đầu mút A và B, chúng đều

là những điểm biến thiên Có hai điểm biến thiên chứ không phải chỉ có một, và đó chính là khó khăn đặc trưng của bài toán Nếu như một trong hai điểm này cố định

thì bài toán có lẽ cũng dễ

Ta tạm thời cố định một trong các điểm chuyển động ban đầu, A chẳng hạn (hoạt

động đặc biệt hóa) Khi đó đoạn thẳng AB sẽ nằm trong mặt phẳng đi qua điểm A

cố định và đường thẳng b đã cho và đoạn thẳng này chỉ có một trong hai đầu mút

của nó (là B) chạy dọc đường thẳng b Khi đó rõ ràng độ dài đoạn thẳng AB đạt giá

trị nhỏ nhất khi nó vuông góc với đường thẳng b (hoạt động liên tưởng với kết quả

Nhưng ta có thể thay đổi vai trò của hai điểm A và B Bây giờ ta cố định điểm B

và chỉ cho điểm A di chuyển (hoạt động tương tự hóa) Khi đó đoạn thẳng AB có

độ dài ngắn nhất khi nó vuông góc với đường thẳng a

Vị trí cực tiểu của đoạn thẳng AB hiển nhiên không phụ thuộc vào cao hứng của ta

và vào chỗ cho các điểm A B, vai trò nào Như vậy, ta có thể cảm thấy ở vị trí đó đoạn thẳng AB vuông góc cả với đường thẳng a lẫn đường thẳng b (suy luận có

lý) Ta hãy xét kỹ hơn tính huống này

Trong thực tế, suy luận trên đã trực tiếp chỉ ra vị trị của cực tiểu không thể ở chỗ nào khác (và nó chỉ gián tiếp vạch ra vị trí cực tiểu phải ở chỗ nào) Chúng ta dễ thấy rằng vị trí mà tại đó đoạn thẳng AB không vuông góc với đường thẳng a tại điểm A không phải là vị trí cực tiểu Thật vậy, ta cố định điểm B và chuyển điểm

A đến một vị trí khác sao cho AB vuông góc với đường thẳng a, và như vậy ta

được đoạn thẳng ngắn hơn (hoạt động so sánh) Suy luận đó rõ rằng cũng có thể

được áp dụng đối với điểm B như nó đã được áp dụng đối với điểm A (hoạt động

tương tự hóa) Từ đó ta thấy: Chiều dài đoạn thẳng AB không thể cực tiểu nếu đoạn thẳng đó không đồng thời vuông góc với a và b Nếu khoảng cách ngắn nhất tồn tại thì nó phải đạt được đối với đường vuông góc chung của hai đường thẳng đã cho

Ta không nên vội tin Quả vậy, thoạt tiên ta có thể thấy rằng đường vuông góc

chung thực tế là khoảng cách ngắn nhất Từ đây nảy sinh là một vấn đề mới, liệu có

tồn tại đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cho trước hay

không? (xem thêm ở [59, tr.169])

So với định nghĩa phương pháp giải Toán ở trên, chúng ta thấy rằng rất nhiều tài

liệu tham khảo sử dụng không đúng với ý nghĩa của từ phương pháp Chẳng hạn,

viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2

ax bx c y

dx e

 





bằng phương pháp đạo hàm (sách tham khảo cũ sử dụng tính chất của nghiệm kép)

Chính xác hơn, chúng ta nên thay thế cụm từ phương pháp đạo hàm bởi công cụ

đạo hàm Ngoài ra, trong quá trình dạy học, GV và HS còn lẫn lộn giữa phương

pháp với kỹ thuật, quy tắc… Đặc biệt, ngay cả Sách giáo khoa cũng sử dụng không

chính xác cụm từ phương pháp quy nạp toán học

Quy nạp là một quá trình nhận thức những quy luật chung bằng cách quan sát và so sánh những trường hợp riêng Nó được dùng trong các khoa học và cả toán học Còn quy nạp toán học thì chỉ dùng trong toán học để chứng minh một loại định lý nào đó gồm 3 bước: Chứng minh mệnh đề P n  đúng với n1, giả sử P n  đúng tới nk, chứng minh P n  đúng với n k 1 Thật không may ở chỗ hai tên gọi lại liên quan với nhau, vì rằng giữa hai phương pháp này hầu như không có một mối

liên hệ lôgic nào

1.1.2.2 Vai trò của phương pháp giải Toán

“Quá trình giải một bài toán là đi tìm kiếm một lối thoát ra khỏi khó khăn hoặc một con đường vượt qua trở ngại; đó chính là quá trình đạt tới một mục đích mà thoạt nhìn thì dường như không thể đạt được ngay Giải toán là khả năng riêng biệt của trí tuệ, còn trí tuệ chỉ có ở con người; vì vậy giải toán có thể xem như một trong những

biểu hiện đặc trưng nhất trong hoạt động con người” 58, tr.5 

Để giải quyết một bài toán cần thực hiện hai bước chủ yếu, đó là tìm ra phương pháp giải và thực hiện lời giải Hai bước này có khi tiến hành đồng thời nhưng cũng có khi tách thành hai quá trình riêng biệt Nếu chúng ta đưa một sự so sánh bước nào quan trọng hơn bước nào thì cũng chỉ đúng trong một chừng mực nào đó mà thôi Trước hết, nếu ta đứng trước một bài toán đã có phương pháp giải thì việc giải bài toán một cách hoàn chỉnh không phải hoàn toàn đơn giản mà là cả một quá trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: nắm vững các kiến thức cơ bản về nội dung lí thuyết lẫn phương pháp thực hành, luyện tập thành thạo các quy trình và thao tác có tính chất

kĩ thuật Những điều này đòi hỏi tính nghiêm túc, tính kiên nhẫn và một phương

pháp làm việc khoa học của người giải Toán

Ví dụ 1.5 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2

4 6 x x 3xm x 2 2 3x (1)

Giả sử HS đã biết hướng giải của bài toán này là đưa phương trình ban đầu về dạng

 

m f x Sau đó tìm miền giá trị của f x  (thường bằng cách sử dụng công cụ

đạo hàm) Khi đó, phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc miền giá

trị của f x 

HS không quá khó khăn để phát hiện phương pháp giải nói trên Trong thực tế giảng dạy, chúng tôi thấy hầu như chỉ có những em có học lực khá trở lên mới tìm ra được kết quả cuối cùng Đa số các em thường gặp phải một trong các trở ngại sau:

Sau khi biến đổi (1) về

Các em sẽ phạm sai lầm nếu kết luận rằng, phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ

khi m thuộc miền giá trị của hàm số

tìm được miền giá trị của t là  5;5 

Cuối cùng, một lần nữa sử dụng công cụ đạo hàm (hoặc bất đẳng thức), khảo sát

m  

Bên cạnh đó, có những bài toán mà việc tìm ra phương pháp giải không khó, đôi khi

đã khá rõ ràng, thế nhưng cái khó chủ yếu lại thuộc về kỹ thuật giải Điều này đòi hỏi người làm toán không những sáng tạo trong quá trình tìm phương pháp giải mà

còn phải sáng tạo trong quá trình thực hiện lời giải bài toán

Ví dụ 1.6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A 1;1 , điểm B nằm trên đường thẳng

Như vậy, khó khăn cốt lõi của bài toán trên không phải là việc tìm ra hướng giải đã

nêu mà là việc giải hệ phương trình (1)

Dựa vào nhận xét b    1 c 1 b c ta có thể đơn giản hóa hình thức hệ phương trình trên bằng cách đặt B b 1 và C c 1 Khi đó ta có hệ phương trình

 

 

2 2

2 2

 

2 2

Theo G.Pôlia khi nói về nghịch lí của người phát minh: “Một kế hoạch phức tạp hơn

có thể có nhiều trển vọng hơn”, “Có thể một lúc trả lời nhiều câu hỏi lại dễ dàng hơn

là chỉ trả lời một câu hỏi duy nhất, chứng minh một định lý tổng quát hay giải một bài toán tổng quát lại dễ dàng hơn” 57, tr.152  Do đó, để giải hệ phương trình (2), GV

yêu cầu HS đề xuất bài toán tổng quát và phát hiện phương pháp giải

Bài toán tổng quát là: Giải hệ phương trình

Đây là hệ phương trình đẳng cấp bậc hai đối với x và y Cũng không quá khó khăn

lắm để dẫn dắt HS phát hiện ra cách giải Hệ phương trình (2) được giải quyết, từ đó

Vì vậy, GV cần tránh tình trạng ít ra bài tập đòi hỏi tính toán, cũng như khi dạy giải

bài tập chỉ dừng lại ở phương hướng mà ngại làm các phép tính cụ thể để đi đến kết

quả cuối cùng Tình trạng này có tác hại không nhỏ đối với HS trong học tập hiện tại và trong cuộc sống sau này Khi giải quyết vấn đề, có đi sâu vào những chi tiết, những tính toán cụ thể mới sáng tỏ nhiều khía cạnh, có khi giúp ta điều chỉnh cả phương hướng nữa GV cần thường xuyên khuyến khích HS tìm tòi các cách tính

khác nhau và biết chọn phương án hợp lý nhất

Từ đó chúng ta có thể thấy rằng việc rèn luyện khả năng thực hiện lời giải bài toán

khi đã có phương pháp giải rất quan trọng Tuy nhiên, việc tìm ra phương pháp giải mới là khâu có tính chất quyết định, bởi lẽ: Dù có kỹ thuật cao và rất thành thạo

trong việc thực hiện các thao tác và các phép tính nhưng khi chưa có phương pháp giải thì người làm toán không thể có được một lời giải; mặt khác, quá trình thực hiện lời giải bài toán là quá trình lao động mang đậm tính kỹ thuật, ít có những sáng tạo lớn như quá trình tìm ra phương pháp giải; ngoài ra, coi trọng khâu rèn luyện phương pháp giải Toán chính là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng làm

việc độc lập, sáng tạo của HS “Giải bài tập là một dạng hoạt động sáng tạo, còn

việc tìm ra lời giải là một quá trình phát minh” (J.Pôlia)

Ví dụ 1.7 Cho nửa đường tròn đường kính AB Dựng hình vuông MNPQ sao cho

,

M N nằm trên đường kính AB và P Q,

nằm trên nửa đường tròn nói trên

Chúng tôi đã ra cho các em lớp 49A1chuyên Toán, Trường THPT chuyên, Đại học Vinh bài toán trên, tuy nhiên rất nhiều

em đã lao vào tính toán, cố gắng sử dụng các kiến thức như định lí Pitago, tam giác đồng dạng… để biểu thị độ dài cạnh hình vuông thông qua bán kính của nửa đường

tròn nói trên, nhưng điều này khá phức tạp và rối rắm

Cái mà chúng ta đã biết là nửa đường tròn, cái mà chúng ta chưa biết là một hình vuông có hai đỉnh nằm trên đường kính và hai đỉnh còn lại nằm trên nửa đường tròn

đó Rõ ràng, đây không phải là bài toán quá dễ Nếu bài toán dựng được thì ta cảm

thấy chỉ có một nghiệm hình và hai điểm M N, phải đối xứng với nhau qua trung

điểm O của AB

Nếu chưa giải được bài toán này, ta yêu cầu HS giải một bài toán cùng loại, cụ thể

ta bớt đi một số điều kiện của bài toán Chẳng hạn dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên AB và đối xứng qua trung điểm của đoạn thẳng này HS dễ dàng dựng

được hình vuông và có vô số cách dựng

O

Từ việc vẽ một số hình vuông, các em sẽ nhận thấy rằng quỹ tích các đỉnh còn lại

của hình vuông là hai tia gốc O Từ đó bài toán được giải quyết

1.1.3 Năng lực

Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của Tâm lý học Khái niệm này cho đến ngày

nay vẫn có nhiều cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau, chẳng hạn:

- Theo Nguyễn Huy Tú [87, tr.11]: “…Năng lực tự nhiên là loại năng lực được nảy

sinh trên cơ sở những tư chất bẩm sinh di truyền, không cần đến tác động của giáo dục và đào tạo Nó cho phép con người giải quyết được những yêu cầu tối thiểu,

quen thuộc đặt ra cho mình trong cuộc sống”

Từ đó ta thấy rằng, trong cuộc sống nói chung, trong việc giải Toán nói riêng, sự đáp ứng yêu cầu của các năng lực tự nhiên rất hạn hẹp Chính vì lẽ đó đã hình thành

ở con người những loại năng lực mới bằng con đường giáo dục vào đào tạo, gọi là

Năng lực được đào tạo hay Năng lực tự tạo

“…Năng lực được đào tạo là những phẩm chất của quá trình hoạt động tâm lý tương đối ổn định và khái quát của con người, nhờ nó chúng ta giải quyết được (ở mức độ này hay mức độ khác) một hoặc một vài yêu cầu mới nào đó của cuộc sống” -

Nguyễn Huy Tú [87, tr.11]

- X.L.Rubinxtein cho rằng: “Năng lực là toàn bộ các thuộc tính tâm lý làm cho con

người thích hợp với một hoạt động có lợi ích xã hội nhất định”

- X Roegiers [74, tr.90]: “Năng lực là sự thích hợp các kỹ năng tác động một cách

tự nhiên lên các nội dung trong loại tình huống cho trước để giải quyết những vấn

đề do tình huống đặt ra”

Phạm Minh Hạc [24, tr.145] cho rằng: “Năng lực là một tổ hợp đặc điểm tâm lý của một người, tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một

hoạt động nào đấy”

Theo Nguyễn Huy Tú [87, tr.12]: “Năng lực của con người thường được phân ra

thành các năng lực chung như hoạt động tổ chức - quản lý, hoạt động khoa học - công nghệ, hoạt động giáo dục dạy học, hoạt động kinh doanh… và năng lực chuyên

biệt như ca hát, thể thao, hội họa…”

“…Năng lực biểu lộ ở tính nhanh, tính dễ dàng, chất lượng tiếp nhận và thực hiện hoạt động, ở bề rộng của sự di chuyển, tính mới mẻ, tính độc đáo của hoạt động giải

quyết những vấn đề mới…”

Từ sự nghiên cứu của các tác giả ở trên chúng ta có thể nhận thấy rằng: Năng lực là

tổ hợp các thuộc tính tâm lý (hoặc kỹ năng) của con người để thực hiện thành công một hoạt động nào đó Năng lực gắn với khả năng hoàn thành một hoạt động cụ thể, chỉ nảy sinh và quan sát được trong giải quyết những yêu cầu mới mẻ và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo tuy khác nhau về mức độ Năng lực có thể rèn luyện để phát triển được, với các cá nhân khác nhau thì năng lực cũng khác nhau

1.1.4 Năng lực phát hiện phương pháp giải Toán của HS THPT

1.1.4.1 Năng lực phát hiện phương pháp giải Toán là năng lực năng lực hoạt động

trí tuệ của HS khi đứng trước những bài toán cụ thể, có mục tiêu và tính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo, nhằm tìm ra lời giải của

bài toán sau một số bước thực hiện

Mối quan hệ biện chứng xét từ góc độ năng lực giữa phát hiện phương pháp giải Toán - giải quyết bài toán được cấu thành một cách hữu cơ, hài hoà với nhau Một tiến trình giải Toán được gọi là có kết quả tối ưu khi hình thành, phát triển được năng lực phát hiện phương pháp giải Toán trên cơ sở sáng tạo Trong phương pháp luận duy vật biện chứng với việc dạy học, nghiên cứu Toán học nói chung - giải Toán nói riêng, GS.TS Nguyễn Cảnh Toàn nói: "Người có óc sáng tạo là người có

kinh nghiệm về phát hiện và giải quyết vấn đề đã đặt ra"

Năng lực phát hiện phương pháp giải Toán đòi hỏi tư duy sáng tạo ở những mức độ khác nhau Tư duy sáng tạo sẽ nảy sinh và trở thành thành tố của năng lực phát hiện phương pháp giải Toán khi HS đứng trước một bài Toán hàm chứa trong nội dung một tình huống có vấn đề và tìm phương thức giải quyết Trong quá trình phát triển năng lực phát hiện phương pháp giải Toán cần chú ý khai thác tiềm năng sáng tạo và rèn luyện khả năng đó qua việc tìm kiếm các hướng giải khác nhau của cùng một

bài Toán nhất định Ta thấy rằng:

- Khi giải Toán được xem như một quá trình thì chiến lược, các phương pháp, quy trình thủ thuật mà HS sử dụng để giải Toán sẽ là những điều quan trọng Chúng là những bộ phận cơ bản của quá trình giải Toán, được đặc biệt chú ý trong chương

trình môn Toán

- Khi giải Toán được xem như một kĩ năng cơ bản thì khả năng lựa chọn các phương pháp giải và các kỹ thuật giải là những vấn đề then chốt mà HS phải học

khi giải quyết vấn đề

Từ góc độ tâm lý học có thể hiểu năng lực phát hiện phương pháp giải Toán của HS

là những đặc điểm tâm lý cá nhân, đáp ứng cao yêu cầu lĩnh hội tri thức, có khả năng huy động các kiến thức, các kĩ năng khoa học, các thủ pháp nhận thức, các cách thức giải quyết vấn đề trong hoạt động giải Toán, hướng đến việc góp phần hình thành các phẩm chất tư duy có tính mới mẻ (hình thành nhân cách lao động) với bản thân HS Năng lực sáng tạo của HS trong việc phát hiện phương pháp giải Toán được bộc lộ rõ trong hoạt động giải Toán, khi giải quyết các khâu trong tiến trình giải Toán Bàn về quá trình sáng tạo khoa học, có thể xem xét sự sáng tạo dưới dạng chu trình mở, trong

đó nhấn mạnh: "Kiến thức sáng tạo khoa học được xây dựng khi có động cơ giải quyết một vấn đề, tìm lời giải đáp cho một câu hỏi, một bài tập mà việc tìm tòi lời giải chính là phải tìm tòi một cái mới chứ không thể chỉ đơn thuần là sự lặp lại các

kiến thức và cách thức hoạt động đã quen thuộc đã biết” - G.Pôlia

1.1.4.2 Bản chất, các thành phần đặc trưng của năng lực phát hiện phương pháp

giải Toán a) Bản chất của năng lực phát hiện phương pháp giải Toán: Thực chất cơ bản bên

trong của năng lược phát hiện phương pháp giải toán gồm các thành tố:

- Hiểu rõ và giới hạn phạm vi của bài Toán, luôn nhìn bài Toán ở nhiều góc độ và

tìm tòi các hướng giải khác nhau

- Xác định các mối liên hệ giữa các thành phần chính trong bài toán, xử lý sự liên kết, phối hợp các tình huống vấn đề bằng cách thức gắn bó các vấn đề cần giải quyết Từ đó đề ra chiến lược giải Phân tích, nghiên cứu, đánh giá kết quả của tiến trình giải Toán và áp dụng phương pháp đó cho các dạng Toán tương tự

- Có khả năng tiên liệu các tình huống vấn đề sẽ nảy sinh cùng với các chiến lược

giải và lựa chọn phương pháp giải thích hợp

b) Các thành phần của năng lực phát hiện phương pháp giải Toán

- Lĩnh vực cảm xúc: Khát vọng phát hiện được phương pháp giải và giải được bài

Toán, thể hiện ở sự kiên trì về mặt ý chí và hứng thú, say mê trong giải Toán

- Lĩnh vực nhận thức

+ Năng lực nhận thức và tổ chức hoạt động nhận thức trong việc phát hiện phương pháp giải Toán: Hiểu bài toán (thu nhận, xử lý, lưu trữ thông tin ), lĩnh hội được

tiến trình giải một bài toán

+ Khả năng xây dựng kế hoạch giải và tiến hành chiến thuật giải một bài toán + Năng lực khái quát hóa, phát hiện các vấn đề mới trong các bài toán quen thuộc

Từ đó đề xuất và sáng tạo các bài toán mới, các phương pháp giải mới

Dưới đây là quá trình giải bài toán và mở rộng bài toán của HS có sự định hướng, gợi

mở hợp lí của GV (đã được tĩnh lược)

Trước khi HS giải bài tập này thì các em đã biết về một tính chất của hai hàm số

0 1

x

ya  a đồng biến khi a1, nghịch biến khi 0 a 1 và yax b a  0

đồng biến khi a0, nghịch biến khi a0

Trước hết ta nhận thấy rằng, hai vế của phương trình (1) có bản chất khác nhau, vế phải chứa hàm số siêu việt còn vế trái chỉ là hàm đa thức Vì vậy, nếu chỉ bằng

những phép biến đổi thông thường thì e rằng khó tìm ra được hướng giải Đầu tiên,

hãy nhận xét, so sánh mối liên hệ giữa các biểu thức (đa thức) 2

không mấy khó khăn

+ Năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán, tri giác hệ thống hóa kiến thức về giải Toán, năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn có thiên hướng về thao tác với các số liệu về giải Toán: ký hiệu, dấu, số, dữ liệu, điều kiện, giả thiết, kết luận Biểu lộ sự phát triển mạnh, linh hoạt của tư duy lôgic, tư duy sáng tạo Có tốc độ tư duy

nhanh biểu hiện rõ nét của tư duy độc lập, mềm dẻo trong giải Toán

Đẳng thức cần chứng minh chỉ chứa những con số cụ thể (hằng số) và không có sự xuất hiện của đại lượng biến thiên (tuy rằng có chứa n nhưng ở bài toán này ta có thể xem nó là đại lượng không đổi!) Về trực giác, đôi khi ta cảm thấy làm việc với những hằng số dễ hơn so với những đại lượng biến thiên Nhưng điều đó chỉ đúng trong một số trường hợp rất nhỏ mà thôi, bởi lẽ nếu làm việc với những đại lượng biến thiên ta dễ dàng hơn để nhận biết được mối liên hệ mang tính bản chất giữa các

yếu tố có mặt trong bài toán Chẳng hạn việc chứng minh đẳng thức

1 8 27   10003025 sẽ khó hơn việc chứng minh đẳng thức

 2 2

Trở lại đẳng thức (1), ta có thể biến thiên hóa một đại lượng không đổi nào đó để từ

đó dễ dàng nhận biết được cấu trúc của bài toán hơn, chẳng hạn ở vế trái của (1) ta

có thể thay số 2 bằng đại lượng biến thiên x, khi đó vế trái của (1) trở thành

 

1 2 2 3 3 2 n n1 2

VT C  C x C x  nC x 

“Có một biểu thức nào tương tự như biểu thức trên không?” – Một câu hỏi bất chợt

Ta chưa gặp một biểu thức nào giống hệt như biểu thức này cả, tuy nhiên nó tựa

như một biểu thức trong khai triển của nhị thức Newton

  0 1 2 2 3 3

1x n C n C x C x n  n C x n  C x n n n (3)

Ta có thể dùng kết quả (3) vào việc giải bài toán của chúng ta không? Muốn vậy, trước hết ta hãy so sánh (2) và (3) Cách sáng suốt nhất là so sánh hai số hạng tổng quát với nhau, k k

ta đã phát hiện ra được lối đi cho bài toán đã cho

+ Năng lực hình thành và diễn đạt nội dung các bài toán theo các hướng khác nhau, thông qua hoạt động sử dụng ngôn ngữ kí hiệu và các qui tắc toán học, đặc biệt là biết cách hướng tới cách diễn đạt có lợi cho bài toán đang cần giải quyết, hoặc

cách diễn đạt mà nhờ đó sẽ cho phép nhận thức bài toán một cách chính xác hơn,

nhằm tránh những sai lầm, thiếu sót trong suy luận và tính toán

Ví dụ 1.10 Chứng minh rằng với mọi số thực a a1, 2, ,a n,b b1, 2, ,b n ta có

gợi cho ta nghĩ đến công thức tính độ dài của các vectơ, cụ thể, các biểu thức nói

trên lần lượt là độ dài của các vectơ

Ta có thể sử dụng (3) để chứng minh (2) được không? Hiện tại chưa thể bởi khoảng

cách từ 2 tới n khá xa Thử xem với n3 thì sao? Nghĩa là cần chứng minh

Áp dụng (2) một lần nữa ta có (5) Ta có thể áp dụng kỷ thuật trên để chứng minh

cho trường hợp tổng quát không? Câu trả lời chắc chắn là có

Chúng ta có thể diễn đạt theo hướng khác, nghĩa là có thể xem các biểu thức

này gợi nhớ đến cho ta một tính chất quen thuộc, độ dài của đường gấp khúc không

nhỏ hơn độ dài đoạn thẳng nối hai đầu mút của nó Vì vậy, ta sẽ tìm cách đưa bài

toán trên về tính chất quen thuộc vừa nêu, cụ thể, ta phải chọn các điểm có tọa độ

là độ dài của n thẳng liên tiếp của một đường gấp khúc và độ dài của đoạn nối hai

đầu mút của đường gấp khúc đó

Trước hết, theo công thức tính độ dài của đoạn thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy

Cách chọn của ta hoàn toàn có ý nghĩa bởi đoạn thẳng nối hai đầu mút của đường

Ví dụ 1.11 Sau khi HS đã được học các tính chất như [65, tr.5]:

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f ' x 0 với mọi xI thì hàm số f đồng biến trên I

b) Nếu f ' x 0 với mọi xI thì hàm số f nghịch biến trên I

c) Nếu f' x 0 với mọi xI thì hàm số f không đổi trên I

và các khái niệm về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập… HS

có thể phát hiện ra được quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

 

f x trên đoạn  a b, như sau [65, tr.21]:

"Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn  a b, và có đạo hàm trên khoảng  a b, , có thể trừ một số hữu hạn điểm Nếu f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc  a b, thì

ta thực hiện các bước:

1 Tìm các điểm x x1, 2, , x m thuộc  a b, tại đó f có đạo hàm bằng 0 hoặc không

có đạo hàm

2 Tính f x   1 , f x2 , , f x     m , f a , f b

3 So sánh các giá trị tìm được Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của f trên đoạn  a b, , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của f

trên đoạn  a b, "

c) Đặc trưng của Năng lực phát hiện phương pháp giải Toán: Là tập hợp tất cả

những nét riêng biệt và tiêu biểu được xem là dấu hiệu để phân biệt với các năng lực

khác, gồm:

- Năng lực phát hiện phương pháp giải toán được đặc trưng bởi hoạt động tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo của chủ thể (HS); tận lực huy động tri thức và kinh nghiệm trong tiến trình giải Toán để đi đến lời giải; để tìm được hướng giải quyết bài toán đã cho và xác định hướng giải các bài toán mới có từ bài toán ban đầu

- Năng lực phát hiện phương pháp giải toán của chủ thể (HS) luôn thể hiện ở "trạng thái động" ở tính linh hoạt, mềm dẻo thích ứng của tư duy và thay đổi các phương

thức khác nhau để giải bài toán

- Năng lực phát hiện phương pháp giải toán được đặc trưng bởi tính hướng đích và tính kết quả cao: Phát hiện, tiếp cận vấn đề, áp dụng mọi hướng giải để đi đến kết quả

của bài toán

Tiến trình giải một bài toán cụ thể có 3 mức độ của năng lực phát hiện phương pháp

giải Toán:

+ Mức độ 1: Tập trung vào sự đáp ứng những yêu cầu mà bài toán đặt ra

+ Mức độ 2: Tập trung vào sự lựa chọn những tri thức và phương pháp giải Toán

thích hợp; việc sử dụng có hiệu quả những tri thức và phương pháp đó để hoàn tất

tiến trình giải Toán

+ Mức độ 3: Tập trung vào việc tiên liệu những điều kiện đã làm nảy sinh các vấn đề,

tình huống vấn đề, các nhu cầu hoặc khó khăn, mâu thuẫn cần giải quyết trong bài toán và việc "phán xét", cách tiếp cận, giải quyết các vấn đề trong tiến trình giải

Toán

1.2 Một số yếu tố ảnh hưởng đến năng lực phát hiện phương pháp giải Toán

Ý thức của con người là cơ năng của cái “khối vật chất đặc biệt phức tạp mà người

ta gọi là bộ óc con người” (Lênin) Tác động của ý thức học tập đối với chất lượng học tập là vô cùng to lớn Nó không những là kim chỉ nam cho hoạt động mà còn là động lực của thực tiễn Sự trưởng thành hay sa sút của HS phụ thuộc vào vai trò chỉ

đạo của ý thức

Ý thức học tập, khát vọng hiểu biết và động cơ nhận thức có ý nghĩa quyết định trong quá trình hình thành và phát triển năng lực phát hiện phương pháp giải toán của HS Suy cho cùng, chất lượng học tập phải là kết quả trực tiếp của sự nỗ lực của chính bản thân người học Nếu người học không xác định được vai trò quyết định của mình trong sự thành bại của sự học thì không bao giờ thành công Chỉ khi đã xác định được mục đích và động cơ học tập đúng đắn, HS mới có thể phát huy được "nội lực" trong học tập, từ đó kết hợp các yếu tố "ngoại lực" khác để tổ chức các hoạt động diễn ra

một cách hợp lý và thu được kết quả cao

1.2.2 Ảnh hưởng của vốn tri thức hiện có của bản thân HS, đặc biệt là tri thức

phương pháp

Tri thức là cơ sở để rèn luyện kỹ năng và thực hiện các nhiệm vụ khác Cơ sở không

nên hiểu là quan trọng hơn các nhiệm vụ khác mà chỉ có nghĩa là nếu HS không vốn tri thức tương đối thì không thể thực hiện được các nhiệm vụ khác Tuy nhiên chúng

ta tránh tình trạng gia tăng khối lượng tri thức quá nhiều, nhồi nhét tri thức cho HS

Để việc học có hiệu quả thì người học dưới sự dẫn dắt của người thầy phải tự trang

bị cho mình vốn kiến thức tối thiểu đủ để có thể tự nghiên cứu các vấn đề liên quan

đến phương pháp giải Toán

Với tư cách là cơ sở của giáo dục toán học, tri thức có quan hệ mật thiết với việc thực hiện các nhiệm vụ môn toán Đặc biệt những tri thức phương pháp (được phân tích kỹ ở mục 1.4.1) liên quan chặt chẽ với việc rèn luyện kỹ năng, những tri thức giá trị (đánh giá vai trò của một hoạt động, tầm quan trọng của một tri thức…) nhiều khi có liên hệ với việc gây động cơ hoạt động, điều đó cũng ảnh hưởng tới

việc rèn luyện kỹ năng, phát triển năng lực trí tuệ

“Tri thức phương pháp liên hệ với hai loại phương pháp khác nhau về bản chất:

Những phương pháp có tính chất thuật toán (ví dụ phương pháp giải phương trình bậc hai) và những phương pháp có tính chất tìm đoán (chẳng hạn phương pháp tổng

quát của Pôlia để giải bài tập toán học)” – [35, tr.28]

1.2.3 Ảnh hưởng của năng lực trí tuệ và tư duy

GS TS Nguyễn Cảnh Toàn đã từng phát biểu trong cuốn Tập cho HS làm quen dần

với nghiên cứu Toán học (1992, tr.5): "Ở những điểm "nút" có thể xuất hiện những

khái niệm mới lạ, có khi người làm Toán cần tư duy hình tượng, cần một trí tưởng tượng thật bay bổng, thật táo bạo như là với một nhà văn viết chuyện viễn tưởng hay thần thoại Để phát hiện ra vấn đề, nhiều khi người làm Toán cũng cần có óc thẩm mỹ để thưởng thức cái đẹp trong Toán học, và từ chỗ thưởng thức cái đẹp đó

mà có ý muốn đi sâu vào cái thâm thúy bên trong"

1.2.4 Ảnh hưởng của phương pháp dạy của GV

Theo Nguyễn Bá Kim [35, tr.6], "Phương pháp dạy học là cách thức hoạt động và

ứng xử của thầy gây nên những hoạt động và giao lưu của trò nhằm đạt được các mục đích dạy học" Do đó, có thể thấy rằng phương pháp dạy học của GV có ảnh hưởng rất lớn đến sự hình thành và phát triển năng lực phát hiện phương pháp giải toán của HS

- Không ai khác, GV chính là người truyền lửa đam mê đến các em HS, hướng dẫn, định hướng HS cách học từ việc nắm vững các khái niệm, phát hiện và chứng minh các định lí, phát hiện phương pháp giải và giải các bài toán…, điều này làm cho HS

ý thức được những mục đích đặt ra và tạo được động lực bên trong giúp HS học tập

tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo “… Nếu người thầy khiêu gợi được trí tò mò của HS bằng cách ra cho HS những bài tập hợp trình độ, giúp họ giải các bài toán

bằng cách đặt ra những câu hỏi gợi ý hợp lý, thì người thầy có thể mang lại cho họ cái hứng thú của sự suy nghĩ độc lập và những phương tiện để đạt được kết quả” – G.Pôlia [57, tr.6] "Anh không thể dạy cho con người bất kỳ điều gì, mà anh chỉ có

thể giúp người ấy tự tìm ra chân lý" (Galilê)

- Chúng ta có thể xem quá trình dạy và học thông qua ba tầng tiếp thu của HS như

sau:

+ Tầng 1, tiếp nhận thông tin Khi ấy thầy giảng, trò nghe và ghi nhớ Trò cần học thuộc với hy vọng sử dụng kiến thức đó để làm những bài tập gần sát với những

điều thầy dạy

+ Tầng 2, sự trao đổi thông tin và tạo thông tin mới Khi ấy thầy và trò có sự trao

đổi trong quá trình dạy và học nhằm bám sát những kiến thức trọng tâm, giúp trò

sau này dễ dàng vận dụng được những điều đã học vào những môi trường (những

bài toán mới, những dạng toán mới…) hết sức đa dạng

+ Tầng 3, rèn luyện cách tiếp cận, hình thành phương pháp tư duy sáng tạo Trong

quá trình giảng bài với những bài học khác nhau, người thầy phải chọn những nội dung để kết cấu thành hệ thống bài giảng nhằm từng bước hình thành một phương pháp tư duy, tạo nên kỹ năng sáng tạo cho trò Kết quả là trò sẽ có phương pháp tiếp cận thực tế độc đáo và hiệu quả, có kỹ năng giải quyết vấn đề mức cao Như vậy, điều hết sức quan trọng mà thầy cần rèn cho trò là phương pháp tiếp cận thông tin, quan sát và nhận dạng vấn đề, hình thành những nhận thức mới

1.2.5 Ảnh hưởng của phương pháp học tập của HS

Phương pháp học của HS là một hệ thống những kỹ năng mang tính cá nhân cao Tính cá nhân ở đây bị chi phối bởi nhân cách, mục đích học, tương quan của HS đó với môi trường xã hội Đây là yếu tố làm cho phương pháp học không thể rập khuôn

từ HS này sang HS khác "Phương pháp học tốt giúp ta phát huy được tài năng vốn

có, phương pháp học không tốt sẽ cản trở phát triển tài năng" (Penne, nhà sinh lý học

người Pháp)

Thuyết phát triển mac-xit cho rằng con người không phải là khách thể thụ động của

những yếu tố phát triển của nó, không phải là kết quả cơ học của di truyền bẩm sinh,

của môi trường hay của sự phát triển chung của hai yếu tố đó Theo thuyết này, con

người tự tạo ra nhân cách của mình chủ yếu là bằng hoạt động tương tác tích cực với

các điều kiện bên ngoài Nhưng các điều kiện này không tác động trực tiếp mà tác động gián tiếp thông qua hoạt động của cá nhân làm hình thành nên nhân cách và từng thuộc

tính của nhân cách đó

Theo A.D La Garandrie (dẫn theo Bùi Văn Nghị (2003), Đổi mới cách viết sách

giúp người tự học tích cực" Tạp chí GD, (50), tr.123) mỗi người có thể có một vài

hoặc tất cả các hoạt động trí óc Có người có thể học thuộc lòng dễ dàng chỉ sau một vài lần lặp lại, nhưng có người dù lặp lại nhiều lần nhưng mỗi lần cần đến kiến thức

đó lại phải tra cứu lại Ngược lại có người tuy không nhớ máy móc được nhưng lại có

óc lôgíc khá nhạy, họ có thể hay quên các công thức nhưng mỗi lần cần nhớ đến, họ có thể suy ra từ các công thức đã nhớ khác để nhớ lại công thức này, các thói quen này

ảnh hưởng rất lớn đến việc học tập của mỗi người

Vì vậy, trong quá trình dạy học, đặc biệt là hoạt động dạy HS giải toán, người thầy

không nên ép buộc HS phải suy nghĩ theo thói quen suy nghĩ của mình Mặt khác, cần chú ý bồi dưỡng, phát triển các thói quen chưa có hay còn yếu (như: thói quen gợi lại những cái cụ thể đã gặp, thói quen ghi nhớ, thói quen suy luận lôgíc, thói quen tưởng tượng sáng tạo…) của các em, từ đó cũng góp phần hình thành phương

pháp học tập nói chung, phương pháp giải toán nói riêng cho các em

1.3 Một số vấn đề cần truyền thụ và bồi dưỡng để phát huy năng lực phát hiện

phương pháp giải Toán cho HS

1.3.1 Truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp

Sau mỗi quá trình học tập, người học không chỉ đơn thuần thu được những tri thức

khoa học (khái niệm mới, định lí mới, ) mà còn phải nắm được những tri thức

phương pháp (dự đoán, giải quyết, nghiên cứu ) Đó chính là những tri thức

phương pháp, vừa là kết quả vừa là phương tiện của hoạt động tạo cho HS một tiềm

lực quan trọng để hoạt động tiếp theo

Các dạng tri thức thường gặp [35, tr.28]:

Tri thức sự vật: Những hiểu biết về hiện thực khách quan mà con người đã tích lũy

được Trong môn toán đó là: khái niệm, định lí, phương pháp giải Toán, có khi là

Tri thức giá trị: Có nội dung là những mệnh đề đánh giá Ví dụ như: "Khái quát hóa

là một thao tác trí tuệ cần thiết cho mọi khoa học" hay "phép tương tự có lẽ là có mặt trong mọi phát minh và trong một số phát minh nó chiếm vai trò quan trọng

hơn cả" (theo G.Polya)

Trong những dạng tri thức kể trên thì tri thức phương pháp đóng một vai trò quan

trọng trong việc tổ chức hoạt động vì đó là cơ sở định hướng cho hoạt động

Những tri thức phương pháp thường gặp trong dạy học toán [35, tr 88]:

- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động toán học cụ thể như

cộng hai số hữu tỉ, giải phương trình bậc hai…

- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động toán học phức tạp như

định nghĩa, chứng minh…

- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động trí tuệ phổ biến như tư

duy hàm, phân chia các trường hợp

- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động trí tuệ chung như phân

tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tương tự,

- Những tri thức về phương pháp tiến hành nhữn hoạt động ngôn ngữ logic như lập

mệnh đề đảo, liên kết các mệnh đề nhờ các phép nối logic, điều kiện cần và đủ,

Để tổ chức hoạt động có hiệu quả, người GV cần nắm được tất cả những kiến thức phương pháp thích hợp có thể có chứa đựng trong nội dung bài dạy để chọn lựa

cách thức, mức độ truyền thụ phù hợp Bởi vì, những tri thức quá chung như lược

đồ dựng hình 4 bước sẽ ít tác dụng hướng dẫn nhưng nếu quá chi tiết thì khó áp

dụng cho các tình huống khác

Các mức độ truyền thụ tri thức phương pháp [35, tr 88]:

-Truyền thụ tường minh những tri thức phương pháp đã quy định trong chương

trình

- Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình tiến hành hoạt động

- Tập luyện những hoạt động ăn khớp với những

tri thức phương pháp

Ví dụ 1.12 Tổ chức cho HS hoạt động để giải bài

toán “Cho điểm M chuyển động trong tam giác đều ABC Gọi D E F, , là hình chiếu của M lên các cạnh BC CA AB, , và G là trọng tâm của tam giác DEF Chứng minh MG luôn đi qua một

điểm cố định”

Những hoạt đông có thể tổ chức là:

- Hãy vẽ hình và ghi các kí hiệu

- Những yếu tố nào không đổi, cố định?

- Mối liên hệ giữa các yếu tố này với yêu cầu của đề bài?

- Dự đoán điểm cố định và chứng minh

Ví dụ 1.13a Rèn luyện khả năng tìm đoán Sau khi HS đã học định lí Côsi với hai

số và bốn số không âm (trường hợp bất đẳng thức Côsi cho bốn số được chứng minh bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số hai lần) Ta có thể tổ chức cho HS tìm đoán cách chứng minh bất đẳng thức cho trường hợp ba số không âm

như sau:

- Phát biểu lại bất đẳng thức Côsi cho hai số và bốn số?

1 2

1 2, 1, 2 02

M G

1 2 3 4 4

1 2 3 4, 1, 2, 3, 4 04

x sao cho x phải không âm và không được làm thay đổi (3)!

x y z xyz x y z x y z xy yz zx

x y z x y y z z x

          

       

Từ đó, bất đẳng thức Côsi cho 3 số được chứng minh

1.3.2 Bồi dưỡng tư duy cho HS trong quá trình DH Toán

"Tư duy Toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt động Toán học của HS, nó còn là thành phần mà nếu thiếu sự phát triển một cách có phương hướng thì không thể đạt được hiệu quả trong việc truyền thụ cho HS hệ thống các kiến

thức và kỹ năng Toán học" – dẫn theo [80, tr 13]

1.3.2.1 Bồi dưỡng cho HS các thao tác tư duy Toán học

- Khái quát hóa Theo Nguyễn Bá Kim [35, tr.31], khái quát hóa là chuyển từ một tập

hợp đối tượng sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát Theo

G.Pôlya [59, tr.21], khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối

tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu

Đặc biệt hóa là việc chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến

việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn, chứa trong tập hợp đã cho [59, tr.22] Như vậy, đặc biệt hóa là thao tác tư duy ngược lại của khái quát hóa

- Phân tích và tổng hợp Theo Nguyễn Bá Kim [35, tr.31], phân tích là tách (trong

tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ

Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều

vật thành một hệ thống.Theo Nguyễn Cảnh Toàn [81, tr 122], phân tích là thao tác

tư duy nhằm chia một chỉnh thể thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong

từng bộ phận Tổng hợp là thao tác tư duy bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ

phận, tìm các mối liên hệ giữa các bộ phận của chỉnh thể đó

- So sánh và tương tự Theo G.Pôlia [59, tr.22], tương tự là một kiểu giống nhau nào

đó Những đối tượng giống nhau phù hợp với nhau trong một quan hệ nào đó Theo Trần Thúc Trình [84, tr 24], so sánh có hai mục đích: phát hiện những đặc điểm

chung và những đặc điểm khác nhau ở một số đối tượng, sự kiện Mục đích thứ nhất

dẫn đến tương tự và đi đến với khái quát hóa Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ của những đối tượng Toán học khác nhau

- Trừu tượng hóa Theo Nguyễn Bá Kim [35, tr.31], trừu tượng hóa là tách những

đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất Đương nhiên sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc vào mục

đích hành động

- Tưởng tượng Theo Trần Thúc Trình [84, tr.30], tưởng tượng là một quá trình

nhận thức phản ánh cái chưa từng có trong kinh nghiệm của cá nhân bằng cánh xây dựng những hình ảnh mới trên cơ sở những hình ảnh đã có Do đó, không thể xem tưởng tượng là thao tác tư duy dựa vào ý thức và không tuân theo yêu cầu kỹ thuật

nhất định, tuy rằng có thể hình dung trình tự, từ hình tượng đã có đến biểu tượng

mới Tuy nhiên có thể xem tưởng tượng như là "Thao tác tư duy của tiềm thức", với

những kỹ thuật tiềm ẩn Trí tưởng tượng đóng vai trò to lớn trong sáng tạo Toán học, gắn liền với tư duy trực giác, mầm mống của nhiều phát minh khoa học

1.3.2.2 Bồi dưỡng cho HS một số loại tư duy

a) Bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng duy vật cho HS

Theo Nguyễn Thanh Hưng (2008), Phát triển tư duy biện chứng của học sinh trong

dạy học hình học ở trường trung học phổ thông, Luận án tiến sĩ giáo dục học: “Tư duy biện chứng là phương thức tư duy xét xét sự vật trong sự thống nhất và mâu

thuẫn, trong sự vận động và phát triển, trong mối liên hệ và phụ thuộc với các sự vật

khác”

Tư duy biện chứng duy vật đòi hỏi chủ thể không chỉ phản ánh đúng những mối liên

hệ, sự vận động và phát triển của sự vật, hiện tượng trong thế giới khách quan, mà

còn phải nắm vững và vận dụng nhuần nhuyễn những phương pháp, nguyên tắc của phép biện chứng duy vật vào nhận thức và hoạt động thực tiễn Nó có những đặc

trưng cơ bản, như tính khách quan, tính toàn diện, tính lịch sử - cụ thể, tính thống nhất giữa lý luận và thực tiễn; không chỉ phản ánh trạng thái hiện tồn, mà còn dự báo xu hướng phát triển của sự vật, hiện tượng Tư duy biện chứng duy vật có vai trò to lớn trong nhận thức và hoạt động thực tiễn của con người nói chung và HS

nói riêng Cụ thể là:

Thứ nhất, tư duy biện chứng duy vật giúp HS, một mặt, khắc phục được lối tư duy

siêu hình, phiến diện, chiết trung, nguỵ biện; mặt khác, xem xét đánh giá vấn đề một cách toàn diện, đúng đắn Quan điểm duy vật biện chứng khẳng định rằng, mọi

sự vật và hiện tượng đa dạng, phong phú trong thế giới khách quan luôn có mối liên

hệ biện chứng, có ảnh hưởng, tác động qua lại và nằm trong một chỉnh thể thống nhất; nhận thức chỉ đạt đến chân lý khi nó phản ánh đúng đắn bản chất của thế giới khách quan Bản thân các sự vật, hiện tượng rất phức tạp, chúng là kết quả do nhiều nguyên nhân gây ra và vận động, biến đổi qua nhiều giai đoạn khác nhau mà người

ta thường chỉ quan sát được kết quả cuối cùng của nó Chính vì vậy, khi chưa được trang bị tri thức triết học Mác - Lênin thì khả năng tư duy trong quá trình học tập và nhận thức khoa học của HS còn nhiều hạn chế Họ thường gặp nhiều khó khăn và

dễ mắc sai lầm trong việc phân tích để tìm ra đâu là nguyên nhân cơ bản trong vô số những nguyên nhân tác động tới một sự vật, hiện tượng, hoặc tỏ ra lúng túng không xác định được mối quan hệ chủ yếu, bản chất của vấn đề đang nghiên cứu để tập trung giải quyết Nói cách khác, do ít được rèn luyện năng lực tư duy biện chứng, hầu hết HS thường rơi vào thế thụ động; tư duy của họ chưa đi sâu vào bản chất, cũng như các mối quan hệ của vấn đề Trên thực tế, họ ít có khả năng nhìn nhận, đánh giá các vấn đề cả trong học tập lẫn thực tiễn cuộc sống một cách đúng đắn, khoa học; trái lại, tư duy của họ còn siêu hình, cứng nhắc, thường quá đề cao hoặc tuyệt đối hoá lĩnh vực này, xem nhẹ lĩnh vực khác V.I.Lênin đã từng khẳng định:

“Muốn thực sự hiểu được sự vật, cần phải nhìn bao quát và nghiên cứu tất cả các mặt, tất cả các mối liên hệ và “quan hệ gián tiếp” của sự vật đó Chúng ta không thể làm được điều đó một cách hoàn toàn đầy đủ, nhưng sự cần thiết phải xét tất cả mọi