Định luật khúc xạ ánh

Ghi chép của Snellius Nga Trong các ghi chép của Snellius để lại, người ta tìm thấy một sơ đồ quang học bao gồm thấu kính, vị trí nguồn điểm S0 và ảnh S1 của nó.. Theo thời gian, mực đã

S0 F S1

Định luật khúc xạ ánh

4.4 Ghi chép của Snellius (Nga)

Trong các ghi chép của Snellius để lại, người ta tìm thấy một sơ đồ quang học bao gồm thấu kính, vị trí nguồn điểm S0 và ảnh S1 của nó Theo thời gian, mực đã mờ, trên bản vẽ chỉ thấy

rõ vị trí của quang trục chính của thấu kính, vị trí nguồn điểm S0, vị trí ảnh S1 và một trong hai tiêu điểm F (hình 4.4) Chỉ sử dụng compa và thước kẻ không có độ chia, hãy tìm lại vị trí của thấu kính

Hình 4.4

4.5 Ảnh qua thấu kính (Kazakhstan)

Một thấu kính mỏng cho ảnh của vật đặt vuông góc với trục của thấu kính Kích thước ảnh

là 1 cm Nếu khoảng cách từ vật đến thấu kính tăng thêm 5 cm, kích thước ảnh vẫn là 1 cm.Tìm kích thước ảnh nếu khoảng cách từ vật đến thấu kính tăng thêm 5 cm nữa

4.6 Rìa thấu kính (Belarus)

Một chùm sáng đơn sắc, song song, rộng, chiều từ không khí tới vuông góc với mặt phẳng của một thấu kính phẳng lồi (phẳng lõm) Mặt còn lại của thấu kính có dạng hình cầu Vật liệu làm thấu kính có chiết suất n

1) Xác định cầu sai lớn nhất F FF1 dọc theo quang trục chính trong hai trường hợp thấu kính lồi

(hình 4.6a) và lõm (hình 4.6b)

2) Đề xuất phương án làm giảm cầu sai đối với thấu kính mặt cầu

Chú thích:

i) F – tiêu điểm gần trục (tiêu điểm của chùm tia hẹp đi sát trục)

ii) F1 – tiêu điểm rìa (tiêu điểm của chùm tia ở mép ngoài của thấu kính)

4.7 Hình trụ thủy tinh (Estonia)

Người ta đánh dấu một điểm trên mặt ngoài của một hình trụ thủy tinh Nếu quan sát hình trụ từ khoảng cách lớn (lớn hơn rất nhiều bán kính hình trụ), thì khi nhìn xuyên qua hình trụ thấy

điểm được đánh dấu nằm trên trục đối xứng của hình trụ, khi đó nhìn thấy rõ hai ảnh nữa của điểm Một ảnh nhìn thấy ở một phía của trục đối xứng, ảnh kia ở phía ngược lại Nếu như xoay hình trụ quanh trục đối xứng của nó, thì vào một thời điểm nhất định, hai ảnh trên chập vào nhau rồi biến mất Ảnh thứ ba còn lại Nếu như tiếp tục quay hình trụ, thì vào thời điểm khi góc xoay

so với vị trí ban đầu là 15°, biến mất cả ảnh thứ ba sao cho ngay cả khi đánh dấu điểm to lên cũng không thể nhìn thấy Tìm chiết suất của thủy tinh?

4.8 Tia sáng parabol (Ấn Độ)

1) Năm dao động có cùng biên độ khi chồng chập cùng pha cho cường độ I1, còn khi độ lệch pha cách nhau liên tiếp là 30º thì cường độ là I2 Tính tỷ số I1 ∕ I2.

2) Quỹ đạo của một tia sáng trong môi trường không đồng nhất có dạng yAsin( / )x B , trong đó

A và B là các hằng số dương Tìm chiết suất n của môi trường ở trong khoảng không gian giữa

hai mặt phẳng y = A và y= − A, giả thiết n chỉ phụ thuộc vào y và giá trị của nó là n0 tại y =0 Vẽ

đồ thị hàm số n(y) cho y [ A A; ]

LỜI GIẢI

4.4 Ghi chép của Snellius (Nga)

Đầu tiên ta phân tích các khả năng đặt vị trí của thấu kính và xem đó là loại thấu kính gì

Thấu kính phân kỳ Ảnh qua thấu kính phân kỳ

là ảnh ảo và nằm cùng phía so với nguồn, khoảng

cách từ thấu kính đến ảnh nhỏ hơn khoảng cách từ

thấu kính đến nguồn Như vậy, nếu đó là thấu kính

phân kỳ thì nó phải nằm ngoài cùng, phía bên phải

(hình 4.4Sa)

Thấu kính hội tụ Ảnh qua thấu kính hội tụ có thể là ảnh ảo hoặc thật Ảnh ảo sẽ lớn hơn ảnh thật và

nằm xa thấu kính hơn so với nguồn Như vậy thấu kính hội tụ cũng cho ảnh ảo nằm ngoài cùng bên trái (hình 4.4Sb)

Nếu thấu kính nằm giữa nguồn S0 và ảnh S1, thì đó là ảnh thật Tuy nhiên thấu kính có hai tiêu điểm, nên F có thể ở bên phải (hình 4.4Sc) hoặc bên trái (hình 4.4Sd) thấu kính

Như vậy ta có tất cả bốn khả năng

Bây giờ ta cần tìm chính xác vị trí của thấu kính và dựng hình Gọi khoảng cách từu nguồn đến tiêu điểm là d, đến ảnh là L, và đến thấu kính là x Công thức thấu kính:

'

(1)

trong đó dấu cộng ở vế trái ứng với ảnh thật, dấu trừ - ảnh ảo Còn ở vế phải, dấu cộng ứng với thấu kính hôi tụ, dấu trừ ứng với thấu kính phân kỳ

Các điểm S0,F và S1 đã chia cho quang trục thành bốn đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng có độ dài ứng với các đại lượng ở dưới mẫu số trong (1) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình (1) Nếu thấu kính nằm trên đoạn S0F, ta chỉ có thấu kính hội tụ

2 2   0   (  )

với dấu trừ là nghiệm đang xét

Tương tự ta giải phương trình (1) với ba trường hợp còn lại, sẽ thấy có hai thấu kính hội tụ nằm ở các

vị trí x Ld , còn ở vị trí L x  L L d(  ) là thấu kính phân kỳ

Tất cả các phép dựng hình trong bài toán này đều đưa đến việc xây dựng căn bậc hai của tích hai đoạn thẳng (trung bình nhân) Trong hình học ta đã biết là trong một tam giác vuông, đường cao hạ từ đỉnh góc vuông chính là trung bình nhân của các hình chiếu hai cạnh góc vuông xuống cạnh huyền Như

vậy ta cần tìm S S FS0 1 1 và S S S F0 1 0 , và sau đó từ các điểm S0, S1 dựng các đoạn thẳng có độ dài vừa tìm được về cả hai phía

Các bước dựng hình (hình 4.4Se):

1 Trên quang trục, ở ngoài cùng bên phải đánh dấu điểm M1, sao cho S S0 1S M1 1 L.

2 Tìm trung bình nhân của các đoạn FS1 L d và L Để làm được điều này vẽ đường tròn đường

kính FM1 Dựng đường vuông góc với quang trục tại S1, nó cắt đường tròn tại P1 Độ dài đoạn thẳng

1 1  (  )

S P L L d

3 Từ S1 dựng đường tròn bán kính S1P1, nó cắt quang trục tại các vị trí của thấu kính O1 (thấu kính hội tụ) và O2 (thấu kính phân kỳ)

4 Tương tự lặp lại các bước ở trên Ở bên trái ngoài cùng tìm điểm M0 sao cho M S0 0 S S0 1L.

5 Giống như bước 2, ta dựng đường tròn đường kính M0F và sau đó dựng đường cáo S0P0 có chiều cao S P0 0 Ld

6 Từ S0 dựng đường tròn bán kính S0P0 cắt quang trục tại các vị trí O3 và O4, chính là vị trí của hai thấu kính hội tụ còn lại

4.5 Ảnh qua thấu kính (Kazakhstan)

Tia sáng đi qua tiêu điểm thấu kính, sau khi khúc xạ sẽ truyền song song với quang trục Do đó tất cả các vật trên hình vẽ sẽ cho ảnh có cùng kích thước, tức là tăng tỷ lệ thuận với khoảng cách từ vật đến thấu kính

Từ hình 4.5Sa dễ thấy, trong trường hợp thấu kính phân kỳ không thể nhận được các ảnh có cùng kích thước ứng với các vị trí khác nhau của vật, do đó thấu kính bắt buộc phải là thấu kính hội tụ Vị trí

đặt vật A và B cho ảnh có cùng kích thước, chúng đối xứng nhau qua tiêu điểm Nếu đẩy vật xa thêm 5

cm nữa vào vị trí C, để ảnh vẫn cho kích thước như cũ thì kích thước vật phải tăng lên gấp 3 lần Do vậy,

cũ

4.6 Rìa thấu kính (Belarus)

1) Khoảng cách từ tâm hình cầu đến tiêu điểm rìa OF1 của thấu kính phẳng lồi được xác định từ điều kiện phản xạ toàn phần 0

1 sin 

n

0

2

1

OF cos





n n



Khoảng cách từ tâm hình cầu đến tiêu điểm của chùm tia gần trục OF được xác định từ điều kiện chùm sáng rất hẹp

Với các góc nhỏ ta có sin tan 

Các phương trình khúc xạ có dạng:

(1)



n 

(2)

h R



(3)





h

OF R



(4)

 

Giải hệ phương trình (1) – (4), ta được:

1

OF 



Rn

n

[Có thể dùng công thức thấu kính mỏng để tính trực tiếp tiêu cự với chùm tia gần trục



n

cách từ tâm hình cầu đến tiêu điểm OF  f R .]

Cầu sai của thấu kính phẳng lồi:

2

Khoảng cách từ tâm hình cầu đến tiêu điểm rìa F1 (hình 4.6Sb) của thấu kính phẳng lõm được xác định từ điều kiện phản xạ toàn phần 0

1 sin 

n

1 2

0



n



Khoảng cách từ tâm hình cầu đến tiêu điểm của chùm tia gần trục OF được xác định từ điều kiện chùm sáng rất hẹp

Với các góc nhỏ ta có sin tan 

Các phương trình khúc xạ có dạng:

(1)



n 

(2)

h R



(3)





h

OF R



(4)

 

Giải hệ phương trình (1) – (4), ta được:

1

OF 



Rn n [Cũng có thể dùng công thức thấu kính như ở trên đã làm].

Cầu sai của thấu kính phẳng lõm: '

2

1

n

2) Có nhiều cách để giảm cầu sai:

i) Tăng chiết suất của thấu kính Từ công thức

2

'

2

1

n

Bảng 4.6 Cầu sai của thấu kính lồi và lõm ii) Thu hẹp chùm tia bằng khe chắn

iii) Cuối cùng, nhận thấy tiêu điểm rìa của thấu kính phẳng lõm dịch chuyển theo chiều của tia sáng, còn của thấu kính phẳng lồi dịch chuyển ngược chiều tia sáng

F

4.7 Hình trụ thủy tinh (Estonia)

Ta ký hiệu điểm được đánh dấu là A, từ đó ánh sáng đi đến B

rồi khúc xạ đến C, xem hình 4.7Sa Nếu nhìn theo hướng BC từ rất

xa, ta sẽ nhìn thấy ảnh của A xuất hiện tại B Ta sẽ xem xét sự phụ

thuộc của phương truyền BC, được xác định bởi góc giữa AO và

BC là 2   , vào phương truyền ban đầu của tia sáng, được xác

đinh bởi  :

2   2 arcsin nsin Xét trường hợp 2 arcsinnsin 0, dễ thấy một nghiệm

0



 cho ảnh chính của chấm đen, và hai nghiệm nữa

sin 2 nsin nằm trong khoảng 45  45 Nếu bây giờ

xoay hình trụ đi một góc  , các điểm phải thỏa mãn phương trình:

2 arcsin nsin 

Ta khảo sát hàm số f   2 arcsinnsin ở vế trái của

phương trình Đạo hàm bậc nhất   2 cos2 2

1 sin



n f

n





 Khi góc  nhỏ, f   2 n Nếu 2  n, thì với  nhỏ, hàm f   là hàm đồng biến Tuy nhiên khi góc  tăng đến giá trị gần với góc phản xạ toàn phần total arcsin 1/ n f,     , tức là sau này hàm sẽ nghịch biến (đồ thị là đường liền nét trên hình 4.7Sb) Trong trường hợp 2  n thì f   chỉ là hàm giảm đơn điệu (đồ thị là đường đứt đoạn trên hình 4.7Sb) Nghiệm cần tìm là giao điểm của đường thẳng f    Vì  0 cho 3 nghiệm nên ta phải có trường hợp 2  n Khi xoay hình trụ đi góc  đến cực trị địa phương của hàm số, phương trình trên chỉ cho một nghiệm Nếu tiếp tục xoay, vẫn cho một nghiệm cho đến khi  đạt giá trị lớn nhất fmax của hàm số Nếu   fmax không còn nghiệm, tức là không nhìn thấy ảnh nào nữa fmax đạt được ở vị trí biên của khoảng khả dĩ, tức là total hay nsintotal 1 Ta có

sin 37.5



n n

4.8 Tia sáng parabol (Ấn Độ)

1) Gọi a là biên độ của sóng đến Khi năm sóng cùng pha ta có sóng tổng hợp:

15 cos

A a t Khi năm sóng lệch nhau liên tiếp 30o , sóng tổng hợp

2

Nhóm số hạng đầu và số hạng cuối, số hạng thứ 2 và thứ 4:

Vì cường độ ánh sáng 2



I A Mà cos2 cos2

3

2

25

1.8

[Cũng có thể dùng công thức cos cos cos  sin sin  để tách mỗi sóng thành các thành phần chứa cos t và sin t rồi cộng các thành phần vào với nhau hoặc đơn giản hơn nữa là biểu diễn số phức].

2) Chia môi trường thành nhiều lớp mỏng song song với trục x, trong mỗi lớp mỏng có thể coi như môi

trường đồng nhất, tức có chiết suất không đổi Gọi 1 là góc hợp bởi tia sáng với lớp i hợp với trục Oy Định luật khúc xạ ánh sáng cho tia sáng truyền từ lớp thứ i sang lớp thứ i + 1

sin   sin    sin

Hay nói cách khác, dọc theo đường truyền của tia sáng thì đại lượng:

 .sin    1

n y  y const Xét một lớp vật chất kẹp giữa hai độ cao y và y + dy Đường truyền ánh sáng trong lớp mỏng này có

thể coi là thẳng và có phương của tiếp tuyến đường cong Khi đó, 90   là góc hợp bởi tiếp tuyến của

đường cong và phương Ox Do vậy, tan 90   chính là hệ số góc của tiếp tuyến, hay

   

cot tan 90  dy Acos x 2

Từ (1) và (2), kết hợp với hệ thức cot2 1 12

sin

 



 , ta có:

 

2

Hằng số trong biểu thức trên được xác định từ điều kiện đầu n y 0 n0

Cuối cùng ta được:  

2

0 1 2 2



y

A B Đồ thị n y  được biểu diễn trên hình 4.8Sb

Cách khác: sử dụng sự tương tự quang cơ

Nếu cho một hạt chuyển động trong trường lực thế U y  sao cho quỹ đạo của nó trùng với đường

truyền tia sáng thì ta có sự tương ứng v y  n y  , trong đó v y  là độ lớn của vectơ vận tốc tại tọa độ

y.

Vì thế năng chỉ thay đổi theo phương y nên chỉ có lực tác dụng theo phương này Theo phương x vận

tốc bảo toàn, hay:

 

cos const 3

Trong đó  là góc tạo bởi vectơ vận tốc và phương ngang (trục x) Mặt khác, góc  có thể được xác

định từ phương trình quỹ đạo:

 

tan dy Acos x 4



Từ (3) và (4), kết hợp với tan2 1 12

cos

 



 , ta cũng được:

 

2

2  1  cos2 

Việc còn lại giống hoàn toàn như ở trên Ngoài ra, ta cũng có thể xác định được dạng của thế năng

 

U y nhờ áp dụng định luật bảo toàn cơ năng, sau khi đã tìm được biểu thức của vận tốc