Nguyên lý i của nhiệt động lực học

2 Một hình trụ cách nhiệt hoàn toàn với môi trường bên ngoài, bên trong có chứa khí lý tưởng rất loãng, được làm lạnh đến áp suất p, thể tích V và nhiệt độ T, với chỉ số đoạn nhiệt γ.. 2

Nguyên lý I của Nhiệt động lực học

2.6 Các hiện tượng nhiệt khác nhau (Romania)

1) Một hình trụ nằm ngang có một đầu kín và đầu còn lại là một piston có thể di chuyển có ma sát bên trong hình trụ Bên trong hình trụ có chứa khí lý tưởng đơn nguyên tử,

3 / 2

V

C  R , với thể tích đầu V , áp suất 0 p , cùng giá trị với áp suất khí quyển0

bên ngoài Piston được gắn kín Lực ma sát giữa piston và hình trụ chiếm f phần

áp lực mà khí quyển bên ngoài tác dụng lên piston Khí bên trong được làm

nóng chậm cho đến khi thể tích tăng lên đúng bằng f lần thể tích ban đầu rồi

làm nguội từ từ cho đến khi nó trở về vị trí ban đầu Sau đó khí được nung nóng

trở lại đến trạng thái đầu Các thông số đã biếtp , 0 V , f và hằng số khí R.0

1a) Mô tả quá trình biến đổi của khí và biểu diễn trên giản đồ pf V 

1b) Xác định tổng công thực hiện bởi khí

1c) Xác định nhiệt lượng mà khí nhận được và trao đổi trong các quá trình trên

2) Một hình trụ cách nhiệt hoàn toàn với môi trường bên ngoài, bên trong có chứa

khí lý tưởng rất loãng, được làm lạnh đến áp suất p, thể tích V và nhiệt độ T, với

chỉ số đoạn nhiệt γ Piston cách nhiệt, có khối lượng M và được giữ ở đầu hở của

hình trụ như hình 2.6 Ở đầu kín của hình trụ có một lỗ nhỏ, qua đó người ta nối

một áp kế nằm cân bằng nhiệt với môi trường ngoài Thể tích của áp kế nhỏ hơn rất nhiều so với thể tích của hình trụ, nhiệt độ môi trường ngoài là T và áp suất ext p , 0 p0  p Cho trước các đại lượng sau M, p0

, T , p, V, T, γ và hằng số khí R ext

2a) Bỏ qua ma sát giữa piston và thành hình trụ, xác định vận tốc lớn nhất của piston sau khi thả ra

2b) Ở vị trí ban đầu, khi piston bị giữ ở đầu hở của hình trụ, như hình vẽ, và nhiệt độ T của khí loãng trong bình không thay đổi, xác định sự phụ thuộc của chỉ số của áp kế vào nhiệt độ T và T , ( ext T ext T) và xác định sai số tương đối của phép đo áp suất,  p p/

2.7 Chu trình “mở”! (Romania)

Trong hình 2.6 là đồ thị của một chu trình biến đổi chuẩn tĩnh 1-2-3-4-1 của v mol khí lý tưởng đơn

nguyên tử bên trong một xy lanh có piston Trục hoành của đồ thị biểu diễn công nhiệt động và trục tung biểu diễn nhiệt lượng mà khí trao đổi với hệ ngoài

1) Xác định nhiệt độ lớn nhất và nhỏ nhất của khí trong chu trình

2) Vẽ đồ thị của chu trình trên giản đồ (p, V).

Quốc)

Giản đồ p – V biểu diễn quá trình biến đổi

2, để khí nhận nhiệt từ bên ngoài trong cả quá trình thì tỷ số thể tích của khí ở các trạng thái B và A phải thỏa mãn điều kiện gì?

Biết nội năng của một mol khí lý tưởng là 3

2 RT, R là hằng số khí, T là nhiệt độ tuyệt đối.

2.9 Làm lạnh Heli (Nga)

Trong quá trình làm lạnh một mol khí Heli từ nhiệt độ ban đầu T đến nhiệt độ 0 T nào đó, nhiệt dung x

C tỷ lệ thuận với nhiệt độ T và khí thực hiện một công bằng không Ở đầu quá trình làm lạnh, áp suất khí

biến đổi tỷ lệ thuận với thể tích Hãy tìm công dương do khí thực hiện trong quá trình này và tỷ số T T x/ 0

2.10 Piston gắn lò xo (Romania)

Xét các xi lanh ở hình bên, thành xi lanh và piston là vật liệu cách nhiệt Piston là có thể di chuyển không ma sát, xi lanh cố định và kín Trong xy lanh có một mol khí lý tưởng đơn nguyên tử ở nhiệt độ

T  K Ở trạng thái ban đầu, chiều dài xy lanh là L1m, piston được giữ cố định và áp suất bên ngoài xy lanh coi như không đáng kể Piston được gắn vào đầu tự do của một lò xo có hệ số đàn hồi

1660 /

k N m, lò xo đủ dài và lúc đầu chưa biến dạng Xác định khoảng cách tối đa từ vị trí mà piston bắt đầu di chuyển khi nó được thả ra Cho biết R8.3 / (mol.K)J

2.11 Bóng thám không (Romania)

Phần 1 Khí cầu không khí

Một bóng thám không cấu tạo từ một vỏ đàn hồi lý tưởng cách nhiệt hoàn toàn với môi trường Bóng

chứa không khí có khối lượng m và thể tích V cùng với một dây đốt điện R có thể tích không đáng kể C Nhiệt độ T và áp suất p của khối khí m được giả thiết là phân bố đều trong quả bóng.

Ở phía dưới khí cầu người ta treo một giỏ có chứa một ắc quy điện có thể tích không đáng kể Khối

lượng của khí cầu và giỏ treo cùng với toàn bộ thiết bị là M.

Ở độ cao z khí cầu có nhiệt độ T , áp suất z p và khối lượng riêng của không khí z z Chọn trục tọa độ

Oz hướng thẳng đứng từ dưới lên, gốc tại mặt đất Nhiệt độ T giảm dần cho z

đến độ cao 11km rồi từ đó có giá trị không đổi ở độ cao lớn hơn Áp suất p z

được xác định từ định luật khí lý tưởng và thỏa mãn cân bằng cơ học và cân

bằng nhiệt

Gia tốc trọng trường là g và hằng số khí là R Không khí bên trong khí cầu

coi là khí lý tưởng có hệ số đoạn nhiệt  C p /C V và khối lượng mol là μ.

1a) Thiết lập quan hệ giữa T và T để khí cầu đi lên chậm từ từ z

Chỉ với một chuyển động nhỏ, áp suất khí cũng làm biến dạng vỏ khí cầu Có

thể tính công thực hiện khi khí cầu dịch chuyển một đoạn nhỏ như là tổng của hai

công cơ học: công để biến dạng quả cầu ở áp suất không đổi, công thứ hai tương

ứng với chuyển động của quả cầu có thể tích không đổi trong không khí (chính là

công của lực đẩy Ác si mét)

1b) Viết biểu thức của nguyên lý I Nhiệt động lực học, áp dụng cho khối khí có

khối lượng m, khi nó dịch chuyển lên cao một đoạn z với vận tốc không đổi

1c) Trong khi lên cao một đoạn nhỏ z , nhiệt độ T của khí cầu được giữ không đổi nhờ vào nguồn điện,

xác định biểu thức năng lượng điện W el cho nguồn cung cấp Giả thiết rằng với dịch chuyển nhỏ z, áp suất khí quyển giảm tuyến tính theo z, hay p z  .g z Kết quả biểu diễn theo hàm của M, m, g, z Liệu có khả năng chuyển động như vậy không với z < 11km? Giải thích câu trả lời.

Phần 2 Khí cầu Heli

Trong phần dưới đây, giả thiết thanh đốt nhiệt được đưa ra khỏi khí cầu, giỏ treo được gỡ bỏ và vỏ khí cầu có thể coi nhẹ không đáng kể, không khí trong khí cầu được thay bằng khí Heli

Để tránh nhầm lẫn, ta sẽ dùng ký hiệu B cho tất cả đại lượng của khí bên trong khí cầu, còn chỉ số A

dùng cho các đại lượng của khí quyển Khối lượng mol của Heli là B, hệ số đoạn nhiệt B và khối lượng mol của khí quyển A, hệ số đoạn nhiệt A Ký hiệu CA/CB là tỷ số nhiệt dung đẳng áp của không khí và Heli Khi khí cầu còn ở mặt đất, nhiệt độ của nó bằng nhiệt độ khí quyển tại cùng độ cao

 0 0

B

T T Ký hiệu T z B  là nhiệt độ của khí Heli ở độ cao z và T z A  là nhiệt độ của khí quyển ở cùng

độ cao Giả thiết khí quyển biến đổi đoạn nhiệt Tốc độ thay đổi nhiệt độ của không khí theo độ cao ký hiệu là A

A

T T

z





 cho một biến thiên độ cao nhỏ

Nếu cần thiết, khi đại lượng y thỏa mãn điều kiện 0 y = , có thể sử dụng gần đúng1

1yn  1 ny

2a) Tìm biểu thức xác định sự phụ thuộc của nhiệt độ khí quyển vào độ cao z Kết quả biểu diễn như hàm

số của m , g, A T và 0 A

Kết quả trên có thể áp dụng cho sự phụ thuộc nhiệt độ khí Heli vào độ cao z:

0 0

0

A B

T

   



2b) Xác định biểu thức độ cao z mà ở đó quả cầu nằm cân bằng Kết quả biểu diễn như là hàm của E A,

0

T , m , A m và  B

2c) Thiết lập điều kiện để quả cầu có thể dao động thẳng đứng quanh vị trí cân bằng

2d) Xác định biểu thức tần số dao động nhỏ của quả cầu quanh vị trí cân bằng Kết quả biểu diễn theo g,

0

T , C , pA m , A m và  B

LỜI GIẢI

2.6 Các hiện tượng nhiệt khác nhau (Romania)

1a) Đầu tiên khí phải tăng nhiệt độ trong quá trình đẳng tích cho đến khi 1 0 F f 1  0

S

    , khi đó piston bắt đầu dịch chuyển, quá trình tiếp theo sẽ là đẳng áp cho đến thể

tích V2  1 f V 0

Sau đó là quá trình làm lạnh đẳng tích đến áp suất

S

    , (lực ma sát đổi chiều tác dụng) và tiếp theo là

làm lạnh đẳng áp đến thể tích V4 V0

Để quay trở lại trạng thái ban đầu cần nung nóng đẳng tích tới áp suất p 0

1b) Công thực hiện = +diện tích chu trình 2 f p V2 0 0

1c) Khí nhận nhiệt trong quá trình 4 0 1 2

Q C T T C T T

Q   f p V   f p V     f p V  f p V 

0 0

11 5 2

p V





Khí tỏa nhiệt trong quá trình 2 3 4

Q C T T C T T

Q    f p V   f p V     f p V   f p V 

0 0

11 2

p V





2a) Sau khi thả ra, piston chuyển động không đều Khi vận tốc tăng lên, áp suất khí trong bình tăng lên và gia tốc giảm Vận tốc cực đại khi gia tốc bằng không

p S p S Ma    p p

Các thông số trạng thái của khí là p V T 1, ,1 1

Khi áp suất của khí lớn hơn giá trị p , gia tốc nhận dấu âm và piston giảm tốc.0

Biến thiên động năng của piston do công của ngoại lực bên ngoài tác dụng và công của khí trong bình tác dụng lên piston trong quá trình nén đoạn nhiệt

2

Mv

p S x  vC T T 

      Khí biến đổi đoạn nhiệt:

1 1













1 1





Độ dịch chuyển của piston: S x V V   1

1

0

1

x



 

      

 

Thay x và T vào biểu thức động năng:1

2 0





2 0







2

1







2b) Vì áp kế nằm cân bằng nhiệt với môi trường ngoài nên khí trong áp kế có nhiệt độ T , khác với nhiệt ext

độ T của khí trong hình trụ

Nhiệt độ khác nhau, có sự trao đổi các phân tử giữa hình trụ và áp kế, dòng hạt đi từ vùng nóng sang vùng lạnh và ngược lại

Số phân tử khí đi qua lỗ nhỏ từ vùng nọ sang vùng kia trong một đơn vị thời gian, tức là dòng hạt,

từ hai phía phải bằng nhau

'

'

nv n v  Vận tốc v của các phân tử khí tỷ lệ thuận với T , v a T

Sử dụng phương trình khí lý tưởng có thể tìm được biểu thức của vận tốc v:

ext

Chú ý rằng áp suất trong áp kế chỉ bằng áp suất trong bình nếu nhiệt độ ở hai nơi là như nhau

ext

T

T

  Hiện tượng này còn gọi là hiện tượng phóng lưu do nhiệt

Sai số tương đối của phép đo áp suất

1 T ext 1

     

2.7 Chu trình “mở” (Romania)

1) Trong các quá trình 1 2 và 3 4 khí không trao đổi công với hệ bên ngoài Suy ra các quá trình

1 2 và 3 4 là các quá trình đẳng tích (V1V V2; 3V4) Xét quá trình đẳng tích 1 2,

Q  kJ  (khí nhận nhiệt), nhiệt độ khí tăng lên T1 T2, áp suất cũng tăng p1 p2 Xét quá trình đẳng tích 3 4, nhiệt Q34 4kJ 0 (khí tỏa nhiệt), nhiệt độ của khí giảm T3  T4, đồng thời áp suất giảm p3  p4 Vì Q12 Q34 4kJ, nên:

Q vC T  T

Q vC T  T vC T  T

T2 T1T3 T4,

Thay vào phương trình nhiệt Q12vC T V 2 T1 Q0 ta được

V

1

1

V

Xét quá trình 2p V T2, 2, 2  3 p V T3, 3, 3

Q aW b

Q W  kJ   a b

Khí nhận nhiệt và sinh công; T constant; T3 T p V2; 2 2 p V3 3;

3

2

lnV ;

V

3

1

V

V V

vR T

vC



Xét quá trình 3p V T3, 3, 3  4 p V T4, 4, 4

34 0;

W  V constant; V4 V3; Khí tỏa nhiệt và sinh công; Q34 vC T V 3 T4 Q suy ra

V

Q

vC

3 4 4 3

1

1

V

Q

vC T



1

4

3 1

1 1

V

V

p

vC T



 Xét quá trình 4p V T4, 4, 4 1p V T1, ,1 1

T T p V p V V V

1

V

vR T

vC



1 1

; 2

V V

Q

vC





1, 1

V

Q

Q vRT T

vC

2

3

; ln

2

V

p

Quá trình đẳng nhiệt cuối cùng từ 41, hệ tỏa nhiệt Q412kJ Q/ 2, nhận công

W  kJ Q :

1 3

1

ln

2

RT V



1

V V

Q vC T

2) Biểu diễn chu trình trên giản đồ  p V như ở hình 2.7S., 

2.8 Đường thẳng trên giản đồ p-V (Trung Quốc)

Gọi U là độ thay đổi nội năng, Q và W lần lượt là nhiệt và công mà hệ nhận được từ hệ ngoài.

Theo nguyên lý I của nhiệt động lực học:

U Q W

Gọi T T là nhiệt độ của khí ở các trạng thái A và B, ta có:1, 2

 2 1

3 2

Gọi p p và 1, 2 V V lần lượt là áp suất và thể tích khí ở các trạng thái A, B.1, 2

Phương trình (2) có thể được viết lại ở dạng

 2 2 1 1

3 2

Công mà khí nhận được trong quá trình trên có độ lớn bằng diện tích hình chắn bởi đồ thị trên giản đồ p V và trục hoành, và lấy dấu trừ

 2 1  2 1

1 2

W  p  p V V

Để hệ khí nhận nhiệt từ môi trường thì Q 0, hay

 2 2 1 1  2 1  2 1

0

2 p V  p V 2 p  p V  V 

Với 2

1

1 2

p

p  , suy ra

2 1

3 2

V

V 

2.9 Làm lạnh Heli (Nga)

Theo nguyên lý I của Nhiệt động lực học QUA Công mà khí

thực hiện ở giai đoạn đầu của quá trình làm lạnh chính là diện tích chắn bởi

đồ thị (hình 2.9Sa)

 0 0 1 1  0 1

R

A p V  p V  RT  RT  T

Ở giai đoạn đầu, nhiệt dung có giá trị

2 2

V

Suy ra nhiệt dung của quá trình là

0

2 T

T

Khí sẽ thực hiện công âm cho đến khi thể tích của khí là nhỏ nhất (điểm C trên hình 2.9Sb) Tại vị trí này V 0, và nhiệt dung là

3 2

V

T



Từ (1) và (2) tìm được nhiệt độ T mà tại đó khí có thể tích nhỏ nhất C

0

3 4

C

T  T

Vì công tổng cộng bằng không, nên công dương A (diện tích đoạn đồ thị CX) bằng giá trị tuyệt

đối của công âm A (diện tích dưới đoạn OC trên đồ thị) Sử dụng nguyên lý I của Nhiệt động lực học để tìm công này: Q OC U A OC, trong đó Q - nhiệt mà khí nhận được trên đoạn OC Nhiệt này bằng OC

diện tích đồ thị trên giản đồ C T Vì đồ thị là đường thẳng: 

2 2 0

0 0

c OC

R

T



Độ biến thiên nội năng trên đoạn này:

3 8

16

RT

A Q  U  Công cần tìm 0

16

RT

Ta đi tìm nhiệt độ T để sao cho toàn bộ công bằng không:

0

x

Từ đây T T  x/ 0 1/ 2.

2.10 Piston gắn lò xo (Romania)

Hệ khí sinh công lên lò xo, công này chuyển thành thế năng đàn hồi của lò xo Vì bình cách nhiệt nên công này cũng bằng độ biến thiên nội năng của khí:

2

1 2

U U  kx

1 2

V

vC T  T  kx

Phương trình trạng thái:

V Sx vT R

trong đó P là áp suất khí trong bình sau khi lò xo biến dạng Từ đây suy ra 2 T2 kx l x 

vR



 Thay các biểu thức này vào biểu thức năng lượng:

2

1

1

0

kx l x

kx vC T

vR

Giải ra được nghiệm:

1 2

16 3

vRT l

x

kl

Thay số 3 9 1 0.75

8

2.11 Bóng thám không (Romania)

Phần 1 Khí cầu không khí

1a) Phương trình định luật II Newton:

M m a M  m g V  zg

Để khí cầu sẽ chuyển động chậm lên, lực Archimed cân bằng với trọng lực,

z

V M m

Mặt khác, phương trình khí lý tưởng trong khí cầu pV m RT



và cho khí quyển ngoài quả cầu p z z RT z





Từ đây z

z

T

T

Kết hợp lại, ta tìm được điều kiện để quả cầu đi lên

z

T

M m

1b) Biến thiên nội năng của khí trong quả cầu bằng không U 0

Công biến dạng quả cầu W1  p V

Công của lực Archimed W2 z gV z

Công của trọng trường: W3  M m g z  

Dễ thấy, từ điều kiện chuyển động chậm của khí cầu: W3W2

Biểu thức nguyên lý I là:  p V Q 0

1c) Từ phương trình đẳng nhiệt, lấy vi phân ta được p V V p   0

Điện năng cần cung cấp cho dịch chuyển nhỏ:

Q p V V p  M m g z  Theo đầu bài, nhiệt độ khí quyển không đổi ở độ cao z11km Do vậy chỉ có thể nâng vật lên độ cao không quá z11km

Phần 2 Khí cầu heli

2a) Từ điều kiện cân bằng của lớp khí, tìm được sự thay đổi áp suất khí quyển theo độ cao: dpgdz

Phương trình trạng thái cho khí quyển được viết lại: A A A

A

p RT



Với giả thiết khí biến đổi đoạn nhiệt: 1 A A

p T const

Lấy vi phân phương trình trên được:

1 1

A

Sau khi lấy tích phân được   0 A  1

A

g

R







2b) Các phương trình trạng thái cho khí quyển và khí Heli:

,

Điều kiện để quả cầu nằm cân bằng: A B B B

T T





Biểu diễn lại quan hệ A

A

T z



 

 cho ở đầu bài ở dạng:

0

T T   z

Chia biểu thức của nhiệt độ Heli cho ở đề bài 0

0 0

A B

T



   

, cho T : A

1

0

1

E

T

z









1 1

E

T





 

2c) Xét tỷ số aparent  B A 1 A 1 A. B

E

G

1 1

0 0

0

1

A

E

A

E

x

T















1

0 0

0

1

1

A

A

E

x

T















1 1 2

1

G









 

 

Đó chính là gia tốc nâng aparent

B

G x m



1 1 2

T C









 

 



Điều kiện để có dao động 1 0 suy ra C p A, C p B,

2d) Tần số dao động dễ dàng tìm được  

1 1

1

g

T C







