4 tổng hợp dao động bài toán khoảng cách

Chọn trục tọa độ Ox hướng thẳng đứng xuống dưới, gốc O tại vị trí cân bằng, gốc thời gian lúc các vật bắt đầu dao động.. Người ta kích thích cho hai vật đồng thời dao động điề

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG LÝ 12:

CHƯƠNG: DAO DỘNG CƠ HỌC CHỦ ĐỀ 4: TỔNG HỢP DAO ĐỘNG – KHOẢNG CÁCH TRONG DĐĐH

Tuyển tập các bài tập học sinh giỏi của các tỉnh, thành

Câu 1 - HSG lớp 12 Thanh hóa 2007/2008: a)Tổng hợp bốn dao động điều hòa cùng phương sau:

x1 = 10sin(20pt + p/3) cm ; x2 = 6 3sin20pt cm;

x3 = 4 3sin(20pt - p/2) cm ; x4 = 10sin(20pt + 2p/3) cm

Giải:

+ Các dao động có cùng tần số, nên ta biểu diễn chúng bằng véc tơ quay như hình bên

x1 là hình chiếu của véc tơ OA1 = 10 cm ; x2 là hình chiếu của véc tơ OA2 = 6 3 cm;

x3 là hình chiếu của véc tơ OA3 = 4 3 cm ; x4 là hình chiếu của véc tơ OA4 = 10 cm (0,5 đ)

+ Tổng A1 A4 A14 có độ dài bằng 10 3 cm

(0,5 đ)

+ Tổng A14 A3 A143 có độ dài bằng 6 3 cm

(0,25đ)

+ Tổng A143 A2 A1 A2 A3 A4 A

(0,25 đ)

A có độ dài 6 6 cm và nằm trên đường phân giác I

(0,25 đ)

+ Vậy tổng hợp 4 dao động trên là một dao động cùng

Phương: x = 6 6sin(20pt + p/4) cm (0,25 đ)

Câu 2 - Trích HSG Bình Phước 2013-2014(0,75 điểm): Hai chất điểm dao động điều hòa cùng

tần số góc ω = 4π (rad/s) trên hai đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau và cùng song song với trục xx’ Đường nối hai vị trí cân bằng của hai chất điểm vuông góc với xx’ tại O Gọi M và N

là hình chiếu của hai chất điểm trên trục xx’ thì khoảng cách lớn nhất giữa chúng là 10 3cm Tại thời điểm t, khoảng cách MN là 15cm, xác định thời gian ngắn nhất để khoảng cách MN lại là 15cm

HƯỚNG DẪN CHẤM Câu (0,75 điểm):

+ Khoảng cách giữa hai hình chiếu của hai chất điểm trên trục Ox song song với hai quỹ đạo là

L MN x  x

+ Nhận xét : MN 10 3 cost 0,25 điểm

+ Như vậy, sau khi đạt giá trị MN = 15cm thì theo giản đồ đường tròn, thời gian ngắn nhất để đạt giá trị này lần nữa tương đương với góc quay π/3 0,25 điểm

+ Xác định được thời gian sẽ là: t = 1/12 (s) 0,25 điểm.

* Nếu thí sinh làm theo cách khác, đúng kết quả vẫn cho điểm tối đa.

Câu 3(5,0 điểm) 1 Hai con lắc lò xo giống nhau được treo thẳng đứng như hình vẽ Biết khối

lượng m1m2 100 g, độ cứng k1k2 40 N / m Tại vị trí cân bằng, hai

vật cùng nằm trên một đường thẳng nằm ngang và cách nhau một đoạn

1 2

O O 1,5 cm Kích thích đồng thời cho cả hai vật dao động điều hòa theo

các cách khác nhau: Từ vị trí cân bằng vật m1 được truyền vận tốc 60cm/s

hướng thẳng đứng lên trên; m2 được thả nhẹ từ một điểm phía dưới vị trí cân

bằng, cách vị trí cân bằng một đoạn 1,5cm Chọn trục tọa độ Ox hướng

thẳng đứng xuống dưới, gốc O tại vị trí cân bằng, gốc thời gian lúc các vật

bắt đầu dao động

a) Viết các phương trình dao động điều hòa của vật m1 và vật m2

b) Tại thời điểm t vật m1 ở vị trí có li độ x1  2cmvà đang giảm,

hãy tính tốc độ của vật m2 tại thời điểm t ' t  s

20

p

O1 O2 m 2

m 1

k2

k1

x

A14

A4 A143 A1

A2

A3

A

p/3 p/3

c) Tính khoảng cách lớn nhất giữa m1 và m2 trong quá trình dao động.

2 Cho hệ hai con lắc lò xo như hình vẽ, hai lò xo có khối lượng không đáng kể, độ cứng lần

lượt là k1 và k2, hai vật m1 và m2 có khối lượng bằng nhau Ban đầu các lò xo không bị biến dạng, hai vật tiếp xúc nhau và có thể trượt không ma sát dọc thanh cứng AB nằm ngang Kéo vật m1 để lò xo

k1 bị nén lại một đoạn A1 rồi thả nhẹ Va chạm giữa hai vật là xuyên tâm đàn hồi

Hãy tính độ nén lớn nhất của lò xo k2 sau va chạm; mô tả chuyển động và tính chu kì dao động của hệ

HƯỚNG DẪN:

(5đ)

1a Phương trình dao động điều hòa: x A cos   t 

+ Tần số góc: ω1=ω2 =

1

1

m

k

+ Biên độ dao động của vật m1: A1 = 3cm; A2 = 1,5 cm 0,25 Từ điều kiện đầu viết được:

+ Phương trình dao động của m1: x1=3cos(20t+

2

p

+ Phương trình dao động của m2: x2=1,5cos20t (cm) 0,5

1b + Vận dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn

đều, ta có: t s t

20

p

      p

+ Tại t có li độ x1 = 2cm, suy ra ở thời điểm t’ là x1 = -2 cm

0,5

+ Dao động vật 1 nhanh pha so với dao động vật 2 một góc p2 nên:

1

2 1

2 2

1

x

A

0,25

Tốc độ của vật m2 tại thời điểm t’ là:

1c + Khoảng cách lớn nhất giữa 2 vật theo phương thẳng đứng:

cm x

x x

x 1 2   max  1 , 5 5

+ Khoảng cách lớn nhất giữa 2 vật:

cm x

O O

L ( ) 2 1 , 5 6 3 , 67

max 2

2

1    

2

1,5đ

Sau khi thả vật m1, nó chuyển động như một vật dao động điều hòa đi từ vị trí biên về VTCB

Vận tốc của m1 ngay trước khi va chạm đàn hồi xuyên tâm với m2 là:

1

01 1

1

k

m



Áp dụng ĐL bảo toàn động lượng và ĐLBT cơ năng cho hệ hai vật ngay trước và sau va chạm:

1

1 01 2 2 1 1

1 01 1 1 2 2 2 01 1







vì m1 = m2 = m

0,25

Sau va chạm, hai vật trao đổi vận tốc cho nhau: m1 đứng yên còn m2

chuyển động với vận tốc như trước của m1 Sau đó m2 chuyển động như 0,25

k2

k1

một vật DĐĐH đi từ VTCB ra biên rồi chuyển động về VTCB va chạm đàn hồi xuyên tâm với m1

Biên độ dao động của m2 (độ nén lớn nhất của lò xo k 2):

2

k

0,25

Khi va chạm với m1 hai vật tiếp tục trao đổi vận tốc cho nhau và sau đó

m1 chuyển động như một vật dao động điều hòa và tiếp tục va chạm đàn hồi xuyên tâm với m2

0,25

Chu kì dao động của hệ bằng:

he 1 2

1 2

0,5

Câu 4 - HSG Tỉnh Ninh Bình 2008-2009 vòng I (6 điểm) Ba vật nhỏ khối lượng lần lượt là m1,

m2 và m3 (với m1 = m2 =

2

3

m

= 100g) được treo vào 3 lò xo nhẹ

có độ cứng lần lượt k1, k2, k3 (với k1 = k2 = 40N/m) Tại vị trí cân

bằng (VTCB), ba vật cùng nằm trên một đường thẳng nằm ngang

(hình vẽ)

Biết O1O2 = O2O3 = 2cm Kích thích đồng thời cho cả ba vật

dao động điều hòa theo các cách khác nhau: từ VTCB truyền cho

m1 vận tốc v01 = 60cm/s hướng thẳng đứng lên trên; m2 được thả

nhẹ nhàng từ một điểm phía dưới VTCB, cách vị trí VTCB một

đoạn 1,5cm

Chọn trục Ox hướng thẳng đứng xuống dưới, gốc O tại VTCB, gốc thời gian lúc bắt đầu dao động

1 Viết phương trình dao động điều hòa của m1 và m2

2 Phải kích thích m3 như thế nào để trong suốt quá trình dao động ba vật luôn nằm trên cùng một đường thẳng? Tính k3

3 Tính khoảng cách cực đại giữa m1 và m3 trong quá trình dao động (không cần chỉ ra vị trí cụ thể của m1, m2 và m3 ứng với khoảng cách cực đại đó)

1,5

1 ω1 = ω2 = ω =

1

1

m

k

= 20rad/s

Pt m1: x1 = 3cos(20t + p2 ) (cm)

Pt m2: x2 = 1,5cos20t (cm)

0,5

0,5 0,5

3,0

2 O1O2 = O2O3 →

2

3 1 2

x x

x  

hay x3 = 2x2 – x1 (1)

→ Dao động của m3 là tổng hợp của 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng

tần số nên ω3 = ω → k3 = 80N/m

Dùng phương pháp giản đồ Fre-nen:

) (

A     

Từ giản đồ suy ra

1 2

2 ) 2 ( A A = 3 2cm

0,5

0,5

O

A

2

A

A

3

A

φ3 = - π/4 rad

→ x3 = 3 2cos(20t -

4

p

) (cm); v3 = x3’ = - 60

2sin(20t - p4 ) (cm/s)

t = 0 → x03 = 3 2cos( -

4

p

) = 3cm; v03 = - 60 2 sin(- p4 ) = 60cm/s

Vậy, ban đầu kéo m3 xuống dưới VTCB 3cm rồi

truyền cho nó vận tốc 60cm/s hướng xuống

1,0

0,5 0,5

1,5

3 Khoảng cách m1 và m3:

3 1 2 1

3 ) O (x  x  O

Xét x = x3 – x1 là một dao động điều hoà có phương

trình dạng

x = Acos(20t + φ) Dùng phương pháp giản đồ

Fre-nen:

) ( 1

A

A   

3 1 2 3 2

1 A 2A A cos 135

A   = 3 5cm

d = ( 3 5 cos( 20t  )) 2  4 2

→ dMax = ( 3 5 )2 42 ≈ 7,81cm

0,5

0,5

0,5

Câu 5 – HSG Hải dương 2013-2014: 1 Ba vật nhỏ khối lượng lần lượt là m1, m2 và m3 (với

gam

m

m

2

3

2

1    ) được treo vào 3 lò xo lí tưởng có độ cứng lần

lượt k1, k2, k3 (với k k k 40N/m

2

3 2

1    ) Tại vị trí cân bằng, ba vật cùng nằm trên một đường thẳng nằm ngang và cách đều nhau (

cm O

O

O

O1 2  2 3  1 , 5 ) như hình vẽ 3 Kích thích đồng thời cho cả ba

vật dao động điều hòa theo các cách khác nhau: Từ vị trí cân bằng

truyền cho m1 vận tốc 60cm/s hướng thẳng đứng lên trên; m2 được thả

nhẹ nhàng từ một điểm phía dưới vị trí cân bằng, cách vị trí cân bằng

một đoạn 1,5cm Chọn trục Ox hướng thẳng đứng xuống dưới, gốc O

tại vị trí cân bằng, gốc thời gian (t  0) lúc các vật bắt đầu dao động

a Viết các phương trình dao động điều hòa của vật m1 và vật m2 Nếu vào thời điểm t vật 1

m ở vị trí có li độ x1  2cmvà đang giảm thì sau đó s

20

p

vật m2có tốc độ là bao nhiêu?

b Tính khoảng cách lớn nhất giữa m1 và m2 trong quá trình dao động

c Viết phương trình dao động của vật m3 để trong suốt quá trình dao động ba vật luôn nằm trên cùng một đường thẳng?

HƯỚNG DẪN CHẤM:

Câu

(3,5

điểm) 1.a

+ ω1=ω2=ω3=

1

1

m

k

=20rad/s + Phương trình dao động của m1: x1=3cos(20t+

2

p

) (cm) + Phương trình dao động của m2: x2=1,5cos20t (cm)

m1O1 m 2O2 m3O3

Hình vẽ 3

1

A 

1

A 



2

A  2 A 2

3

A 

x

+ Có tp      t p

20

+ Dao động của vật 1 sớm pha hơn so với dao động của vật 2 một góc

2

p

Mà vận tốc lại sớm pha so với li độ 1 góc p2

+ Do đó, Vân tốc của vật 2 ở thời điểm t2 ngược pha với li độ của vật

1 ở thời điểm t1 Suy ra:

2 2

1 2

1



A

A v

x

  v2  20cm/s

1.b

+ Khoảng cách 2 vật theo phương thẳng đứng:

cm x

x x

x 1  2   max  1 , 5 5



+ Khoảng cách lớn nhất giữa 2 vật:

cm x

O O

L ( ) 2 1 , 5 6 3 , 67

max 2

2

1    



1.c

+ Ta có: O1O2 = O2O3 và 3 vật luôn cùng nằm trên một đường thẳng →

2

3 1 2

x x

x   hay x3 = 2x2 – x1

+ Dùng phương pháp giản đồ Fre-nen:

) (

A     

+ Từ giản đồ suy ra:

A3= A  =3 2cm

φ3= - π/4 rad

→ x3=3 2cos(20t -

4

p

) (cm);

Câu 6 – HSG Phú nhuận TPHCM 2012-2013 Hai vật có khối lượng bằng nhau m = 1 kg đặt

trên một mặt bàn nhẵn nằm ngang và được gắn vào tường nhờ hai lò xo có độ cứng k1 = 100 N/m

và k2 = 400 N/m Khi hai lò xo chưa biến dạng thì khoảng cách giữa hai vật là d0 = 0,2 m Người ta kích thích cho hai vật đồng thời dao động điều hòa dọc theo trục x, chiều dương được chọn như (hình – 1): vật thứ nhất bị đẩy về phía bên trái, còn vật thứ

hai bị đẩy về phía bên phải rồi đồng thời buông nhẹ Biết

động năng cực đại của mỗi vật là E0 = 0,5 J

1/ Lập phương trình dao động của hai vật

2/ Trong quá trình dao động, hãy tìm khoảng cách

ngắn nhất giữa hai vật

ĐÁP ÁN:

1/ Chọn gốc tọa độ là VTCB của mỗi vật Ta có

2/ Khoảng cách giữa hai vật

d = d0 – (x1 - x2) = 20 + 5(2cos10t + cos20t) (0,5đ)

d = 20 + 10[(cos10t + 1/2)2 – 3/4]

Câu 7 - HSG Vĩnh phuc 2017-2018(1,0 điểm)

1

A

1

A



2

3

A

3

k1

x

(hình 1)

Một lò xo nhẹ có chiều dài l độ cứng k 16 N/m0,  được cắt ra thành hai lò xo Lò xo thứ nhất có chiều dài l1 0,8l0, lò xo thứ hai có chiều dài l2  0,2l0

Hai vật nhỏ 1 và 2 có khối lượng bằng nhau m 1  m 2  500 gam

được gắn với hai lò xo vào hai điểm cố định trên một mặt

phẳng nhẵn, nằm ngang như hình vẽ Khoảng cách giữa hai vật khi hai lò xo chưa biến dạng là

.

20 cm Lấy π2 = 10 Kích thích cho hai vật dao động điều hòa bằng cách: vật thứ nhất bị đẩy về bên trái còn vật thứ hai bị đẩy về bên phải rồi đồng thời buông nhẹ Biết động năng cực đại của hai vật bằng nhau và bằng 0,1 J. Kể từ lúc thả các vật, sau khoảng thời gian ngắn nhất là bao nhiêu thì khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất? Tính khoảng cách nhỏ nhất đó

(1đ) - Vì độ cứng tỉ lệ nghịch với chiều dài với những lò xo cùng loại nên ta có: k1l1 =k2l 2 = kl 0 k1 = 20 N/m ; k2 = 80 N/m

Biên độ của mỗi vật: A1 =

1 0

2

k

W

= 0,1 m = 10 cm; A2 =

2 0

2

k

W

= 0,05 m = 5 cm

Tần số góc dao động của mỗi vật là: ω1 =

m

k1

= 2π (rad/s) = ω ; ω2 =

m

k2

= 2ω

Phương trình dao động của mỗi vật đối với các vị trí cân bằng của chúng:

x1 = A1cos(ω1t +φ1) =10cos(ωt – π) (cm)

x2 = A2cos(ω2t +φ2) = 5cos(2ωt) (cm)

- Khoảng cách hai vật tại một thời điểm bất kỳ (tính theo cm):

d = |O1O2 + x2 – x1 = 20 + 5cos(2ωt) - 10cos(ωt – π)| (cm)

d = | 20 + 5(2cos2ωt – 1) + 10cosωt = 15 + 10(cos2ωt + cosωt)|

 d = |15 + 10(cos2ωt + 2

2

1 cosωt +

4

1 ) – 2,5| = |12,5 + (cosωt +

2

1 )2|

Vậy khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật dmin = 12,5cm xảy ra khi cosωt = - 21

- Để tìm khoảng thời gian kể từ lúc thả đến khi đạt khoảng cách cực tiểu lần đầu tiên ta giải phương trình: cosωt = - 12 = cos(± 23p )

Vậy, hoặc t = 1/3 + k ( k = 0; 1; 2; ) hoặc t = -1/3 + k ( k = 1; 2; ) Từ đó ta lấy nghiệm : tmin = 1/3 (s)

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 8: Hai chất điểm M và N cùng dao động điều hòa trên cùng một trục tọa độ Ox ( O là vị trí

cân bằng của chúng), coi trong quá trình dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau Biết

phương trình dao động của chúng lần lượt là: x 1 = 10Cos(4πt + π/3) t + πt + π/3) /3) và: x 2 = 10 2Cos( 4πt + π/3) t +πt + π/3) /12)cm Hai chất điểm cách nhau 5cm ở thời điểm đầu tiên kể từ lúc t 0 là bao nhiêu?

GIẢI: L = x2- x1= 10 2Cos(4πt+π/12) - 10Cos(4πt+π/3)=

10Cos(4πt-π/6)

Với L = 5cm là khoảng cách cực đại giữa hai vật hay cũng

gọi là biên độ khoảng cách ta coi đây là một vật dao động

điều hòa bình thường như đã học

Thời điểm t1 = 0 vật có li độ x01 = 5 3cm

Có Cos β = 5 3/10 = 3/2 Suy ra β = π/6

Có Cosα = 5/10 = 1/2 Suy ra α = π/3

Thời gian chuyển động t = (β+ α)/ω = π/2.4 π = 1/8 s

Câu 9(ĐH - 2012): Hai chất điểm M và N có cùng khối

lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường

thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox Vị

t0

α O

β

trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua góc tọa độ và vuông góc với Ox Biên độ của M là 6 cm, của N là 8 cm Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và

N theo phương Ox là 10 cm Mốc thế năng tại vị trí cân bằng Ở thời điểm mà M có động năng bằng thế năng, tỉ số động năng của M và động năng của N

A 4

9

d  x  x  A cos( t     ) d  A  A  A

Suy ra x1 và x2 là vuông pha với nhau Khi tại M có động năng bằng thế năng:

2

1 1

2 2



A 2

W 2 kx kA x A cos ;cos

A 2 1 1

     Do đó:

2

đM M

2

đN N

Câu 10: Hai chất điểm dao động điều hoà trên hai trục tọa độ Ox và Oy vuông góc với nhau (O là

vị trí cần bằng của cả hai chất điểm) Biết phương trình

dao động của hai chất điểm là: x = 2cos(5πt +π/2)cm và

y = 4cos(5πt – π/6) cm Khi chất điểm thứ nhất có li độ

x = - 3cm và đang đi theo chiều âm thì khoảng cách

giữa hai chất điểm là

Giải: Giả sử chất điểm M dao động trên trục Ox;

chất điểm N dao động trên trục Oy

Vẽ giãn đồ vec tơ như hình vẽ: Ở thời điểm ban đầu M

ở O; N ở N0

.Khi M có li độ x = - 3cm và đang đi theo chiều âm;

ta có:x = 2cos(5πt +

2

p

)cm = - 3 cm → cos(5πt +

2

p

) =

-2

3

= cos56p → 5πt = 56p -p2 + 2kπ = p3 + 2kπ

Khi đó: y = 4cos(5πt – p6 ) = 4cos(p6 + 2kπ) = 2 3cm

Khoảng cách giữa hai chất điểm MN: MN2 = (- 3)2 + (2

3)2 = 15 → MN = 15cm

Câu 11: Có hai con lắc lò xo giống hệt nhau dao động

điều hoà trên mặt phẳng nằm ngang dọc theo hai đường

thẳng song song cạnh nhau và song song với trục Ox Biên

độ của con lắc một là A1 = 4cm, của con lắc hai là A2 = 4

3cm, con lắc hai dao động sớm pha hơn con lắc một

Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật dọc treo trục Ox là a = 4cm Khi động năng của con lắc một cực đại là W thì động năng của con lắc hai là:

Giải: Giả sử dao động của con lắc thứ hai sớm pha hơn con lắc thứ nhất là  vẽ giãn đồ véc tơ A1 ;

A2 như hình vẽ Khoảng cách lớn nhất giữa hai vật dọc theo trục Ox khi M0N0 song song với trục Ox

Ta có tam giác OM0N0 là tam giác cân

OM0 = M0N0 = A1 = 4cm; ON0 = A2 = 4 3 cm → Góc M0ON0 =  → cos =

2

3

→  = p6

Động năng con lắc thứ nhấtcực đại khi x1 = 0(vật 1 ở M): vec tơ A1 quay góc p2 Wđ1 =

2

2 1

kA

= W

N

 O

N0 M0 M

A1

A2

Khi đó x2 = -

2

2

A

= - 2 3cm → Wđ2 =

2

2 2

kA

-

2

2 2

kx

=

4

3

2

2 2

kA

=

4

3

.3

2

2 1

kA

=

4 9

W

Câu 12: Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với

trục tọa độ Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình dao động Vị trí cân bằng của hai vật đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc

với Ox Biết phương trình dao động của hai vật lần lượt là

1 4cos 4 3

x  pt p cm và x2  4 2 cos 4 pt p 12 cm Tính từ thời

điểm t1  1 24s đến thời điểm t2  1 3s thì thời gian mà khoảng

cách giữa hai vật theo phương Ox không nhỏ hơn 2 3 cm là

bao nhiêu?

Giải: Biểu thức khoảng cách giữa hai vật dao động cùng

phương:

d = x2- x1 = 4 2Cos( 4πt +π/12) - 4 Cos( 4πt +π/3) = 4

Cos( 4πt -π/6)cm

Coi đây là một vật dao động điều hòa

Theo đề bài đề cập khoảng cách hai vật phải thỏa mãn: d ≥ 2

3cm

Thời điểm t1 = 1/24s vật có li độ x01 = 4cm

Thời điểm t2 = 1/3 s vật có li độ x02 = - 2 3cm

Khoảng thời gian vật chuyển động Δt = tt = t2 – t1 = 7/24s

Góc quét trong thời gian Δt = tt là α = 4π 7/24 = 7 π/6

Thời gian khoảng cách giữa hai vật không nhỏ hơn 2 3cm

Nghĩa là tổng thời gian khoảng cách giữa hai vật lớn hơn hoặc bằng 2 3cm

Có Cos β = 2 3/4 = 3/2 Suy ra β = π/6.Thời gian quét góc β là Δt = tt0 = π/6.4 π = 1/24s Trong thời gian từ t1 đến t2 có khoảng thời gian khoảng cách giữa hai vật lớn hơn 2 3cm là t = 3 Δt = tt0 = 3.1/24= 1/8 s

Câu 13: Hai vật dao động điều hoà cùng pha ban đầu, cùng phương và cùng thời điểm với các tần

số góc lần lượt là: ω1 =

6

p

(rad/s); ω2 =

3

p

(rad/s) Chọn gốc thời gian lúc hai vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương Thời gian ngắn nhất mà hai vật gặp nhau là:

Giải: Phương trình dao động của hai vât: x1 = A1cos(ω1t -

2

p

) và x2 = A2cos(ω2t -

2

p

)

Hai vật gặp nhau lần đầu khi pha của chúng đối nhau: (ω1t -

2

p

) = - (ω2t -

2

p

) (ω1 + ω2 ).t = π → t = π/( ω1 + ω2 ) = 2s

Câu 14 – HSG k12 chuyên Hạ long Quảng ninh 2011:

Hai vật khối lượng m và M được nối bởi một lò xo độ cứng k nằm trên mặt phẳng nhẵn (ma sát có thể được bỏ qua) Tại thời điểm t = 0, lò xo không biến dạng và có chiều dài l0, vật khối lượng m được truyền vận tốc v như hình vẽ Tìm khoảng cách nhỏ nhất

giữa hai vật và thời điểm lần thứ nhất đạt đến khoảng cách đó?

HƯỚNG DẪN GIẢI:

Câu :

Theo công thức VG =

2 1

2 2 1 1

m m

v m v m





ta có vận tốc khối tâm là VG = Mmvm Trong hệ quy chiếu gắn với khối tâm vận tốc của m và M lần lượt là

m M

Mv v

v

m







m M

mv v

v ' G

M





Cơ năng của hệ ngay sau khi m được truyền vận tốc là

0,25

0,5

t2

t1 α

O β

V 

E1 = M ( v ) 21(mMvM m)

2

1 ) v ( m 2

M 2

' m





 Khi khoảng cách hai vật gần nhau nhất

min

( k 2

1



 

Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có E1 = E2 suy ra được

k

v )

m M ( k

mM

0 min











Giả sử tại thời điểm nào đó trong hệ quy chiếu khối tâm, m và M lệch khỏi vị trí cân

bằng của mỗi vật một khoảng xm và xM thì:

xmm = xMM

Theo định luật II Newton áp dụng cho m, ta có:

m ''

m

x = -k(xm + xM) = -k(1 + Mm )xm   ''

m

x = -kxm

Vậy trong hệ quy chiếu khối tâm m dao động điều hòa với chu kì T = 2p k

Lúc đầu vhướng ra, vậy thời điểm lần thứ nhất khoảng cách giữa hai vật nhỏ nhất

là

t = 34T = 23p k23p k(MmMm)

0,5

0,5

0,5

0,25

0,5

1

MỘT SỐ BÀI TẬP BỔ XUNG

Câu 1 – HSG Thanh hóa 2013-2014:

Một lò xo nhẹ có chiều dài l 0, độ cứng k = 16 N/m được cắt ra thành hai lò xo, lò xo thứ

nhất có chiều dài l 1 = 0,8 l 0 , lò xo thứ hai có chiều dài l 2 = 0,2 l 0 Hai vật nhỏ 1 và 2 có khối lượng bằng nhau m1 = m2 = 500 g đặt trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang và được gắn vào tường nhờ các lò

xo trên (hình 2) Khoảng cách giữa hai vật khi hai lò xo chưa biến dạng là O1O2 = 20 cm Lấy gần đúng π2 = 10

a Tính độ cứng k1 và k2 của mỗi lò xo.

b Người ta kích thích cho hai vật dao động dọc theo

trục x: Vật thứ nhất bị đẩy về bên trái còn vật thứ hai bị

đẩy về bên phải rồi đồng thời buông nhẹ để hai vật dao

động điều hòa Biết động năng cực đại của hai vật bằng

nhau và bằng 0,1(J) Kể từ lúc thả các vật, sau khoảng

thời gian ngắn nhất là bao nhiêu khoảng cách giữa chúng

là nhỏ nhất, tính khoảng cách nhỏ nhất đó

Câu 2: Một vật có khối lượng m1 = 1,25 kg mắc vào lò xo nhẹ có độ cứng k = 200 N/m, đầu kia của lò xo gắn chặt vào tường Vật và lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang có ma sát không đáng kể Đặt vật thứ hai có khối lượng m2 = 3,75 kg sát với vật thứ nhất rồi đẩy chậm cả hai vật

cho lò xo nén lại 8 cm Khi thả nhẹ chúng ra, lò xo đẩy hai vật chuyển động về một phía

Lấy p2=10, khi lò xo giãn cực đại lần đầu tiên thì hai vật cách xa nhau một đoạn là:

ĐS:2 p 4(cm)

Câu 3: Hai vật A và B có cùng khối lượng 1 kg và có kích thước nhỏ được nối với nhau

bởi sợi dây mảnh nhẹ dài10cm, hai vật được treo vào lò xo có độ cứng k = 100N/m tại nơi

có gia tốc trọng trường g =10m/s2 Lấy π2 =10 Khi hệ vật và lò xo đang ở vị trí cân bằng

đủ cao so với mặt đất, người ta đốt sợi dây nối hai vật và vật B sẽ rơi tự do còn vật A sẽ

dao động điều hòa theo phương thẳng đứng Lần đầu tiên vật A lên đến vị trí cao nhất thì

khoảng cách giữa hai vật bằng:

ĐS: 80cm

Hình 2

Câu 4: Hai vật A có khối lượng 400g và B có khối lượng 200g kích thước nhỏ được nối với nhau

bởi sợi dây mảnh nhẹ dài 10cm, hai vật được treo vào lò xo có độ cứng là k=100N/m (vật A nối với lò xo) tại nơi có gia tốc trong trường g =10m/s2 Lấy p2=10 Khi hệ vật và lò xo đang ở vtcb người ta đốt sợi dây nối hai vật và vật B sẽ rơi tự do còn vật A sẽ dao động điều hoà quanh vị trí cân băng của nó Sau khi vật A đi được quãng đường là 10cm thấy rằng vật B đang rơi thì khoảng cách giữa hai vật khi đó bằng

ĐS: 137cm Câu 5: Một con lắc lò xo đạt trên mặt phảng nằm ngang gồm lò xo nhẹ có một đầu cố định, đầu kia

gắn với vật nhỏ có khối lượng m Ban đầu vật m được giữ ở vị trí để lò xo bị nén 9 cm Vật M có khối lượng bằng một nửa khối lượng vật m nằm sát m Thả nhẹ m để hai vật chuyển động theo phương của trục lò xo Bỏ qua mọi ma sát Ở thời điểm lò xo có chiều dài cực đại lần đầu tiên, khoảng cách giữa hai vật m và M là: