TỔNG HỢP CÔNG THỨC LTXS + BÀI TẬP (CÓ ĐÁP ÁN)

TỔNG HỢP CÔNG THỨC LTXS + BÀI TẬP (CÓ ĐÁP ÁN) Trong 100 người được phỏng vấn có 40 người thích dùng nước hoa A;28 người thích dùng nước hoa B; 10 người thích dùng cả 2 loại nước hoa A, B. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong số 100 người trên. Tính xác suất để người này a) Thích dùng ít nhất một loại nước hoa trên. b) Không thích dùng loại nước hoa nào cả.

• XS trong n lần thử k lần thành công

• XS trong n lần thử số lần thành công từ k 1 đến k 2

• Số nhiều khả năng nhất k 0 = [np – q] + 1 (Hoặc np – q

và np – q + 1 khi chúng là các số nguyên)

Lược đồ giải bài toán xác suất

Để giải một bài toán xác suất, ta cần tuân thủ lược đồ dưới đây

• Bước 1 Đọc đề bài (chưa cần chú ý đến các số liệu cụ thể), nhanh chóng phát hiện hành động (tức là phép thử) của bài toán

- Nếu thấy hành động được lặp đi lặp lại nhiều lần độc lập và trong mỗi lần XS thành công đều như nhau thì dùng công thức Bernoulli Chỉ cần

xác định số lần lặp n, XS thành công trong 1 lần thứ là p rồi tính toán XS

ngay theo yêu cầu dề bài

- Nếu hành động không lặp lại hoặc lặp lại nhưng không độc lâp thì cần căn

cứ vào các kết cục có thể xẩy ra sau hành động và căn cứ vào yêu cầu

đề bài để đặt tên các biến cố và tóm tắt yêu cầu cần tính xác suất nào

• Bước 2 Xét quan hệ giữa biến cố cần tính xác suất và các biến cố đơn giản hơn

để quyết định cần dùng công thức nào trong các công thức cộng , nhân xác suất đầy đủ hay Bayes

- Rõ ràng khi gặp các biến cố tổng hay tích thì dùng các công thức cộng, nhân

xác suất

- Khi thấy xuất hiện một hệ đầy đủ các biến cố hoặc thấy hành động được chia hai giai đoạn, các kết cục của giai đoạn sau phụ thuộc vào từng kết cục của giai đoạn đầu thì nói chung là dùng công thức xác suất đầy đủ hoặc

Bayes

• Bước3 Đọc kỹ các số liệu đã cho trong giả thiết của bài toán để ráp vào các công thức đã dùng và tính toán đến đáp số

II ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

1 Khái niệm về ĐLNN (Biến ngẫu nhiên)

Đại lượng ngẫu nhiên (còn gọi là biến ngẫu nhiên) là một đại lượng (tức là cân, đong, đo hoặc đếm được) mà có thể nhận giá trị bất kỳ thuộc một tập hợp số xác định một cách ngẫu nhiên với xác suất nhất định ĐLNN thường được ký hiệu bởi

các chữ X, Y, Z , … Các giá trị của ĐLNN thường được ký hiệu bởi x, y, z, …

2 Phân loại ĐLNN (theo tập giá trị)

2.1 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Đó là ĐLNN mà tập các giá trị của nó là một tập rời rạc, tức là có thể đánh số thành một dãy (hữu hạn hay vô hạn)

2.2 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Đó là ĐLNN mà tập các giá trị của nó là một đoạn hay khoảng (hữu hạn hay vô hạn)

Chú ý: Mỗi ĐLNN được gắn với một quy luật PPXS Chính quy luật PPXS đó làm nên bản chất của ĐLNN

p p

Không thể liệt kê thành bảng

Hàm mật độ f(x) vai trò như XS tương ứng

Tính chất đặc trưng

( ) ( )

i i

Tính chất

* 0  F(x)  1

* F(x) không giảm

* P(a < X b) = = F(b) – F(a)

F(x) = ( )

x

f x dx ( F’(x) = f(x)) F(x) liên tục

X  (X)

X, Y độc lập  X+Y, XY

Các phép toán và hàm trên các ĐLNN

Không làm vì phức tạp

E(X) = i i

i

x p

Nếu X vô hạn thì đây là một chuỗi

số và X có kỳ vọng khi chuỗi này

E(XY) = E(X)E(Y) khi X,Y độc lập

Var(X) = D(X) =

2 2

trong lô hàng), q = 1 – p

Chú ý: Nếu lấy lần lượt n phần

tử có hoàn lại thì X  B(n, p)

3 PP Poisson P(a): Nếu X là

số lượng dòng vào X của

- Hàm PP chuẩn tắc (hay PP Gauss) (x) và hàm Laplace

(x) Tất cả đều có bảng để tra

Tính chất

(– x) = 1 – (x); x > 0 (– x) = – (x); x > 0

(– ) = 0, (+ ) = 1 (x) = 0,5 + (x); x

Các xấp xỉ giữa các phân phối

• Khi n rất nhỏ so với N (n < < N): H(N, M, n)  B(n, p) với p = M/N

Tức là với X  H(N, M, n) thì P(X = k) 

k n

np e

nq e

n k ; k = 0, 1, …, n

• Khi n khá lớn và 0,1  p  0,9: B(n, p)  N(np, npq) với q = 1 – p

Tức là với X  B(n, p) thì

III VÉC TƠ NGẪU NHIÊN (2 CHIỀU)

Chính là cặp Z = (X, Y) của hai ĐLNN X, Y bất kỳ (độc lập hoặc phụ thuộc, rời rạc hoặc liên tục)

Để đơn giản, ta chủ yếu chỉ xét cặp X, Y rời rạc hữu hạn

1 Bảng PP đồng thời và PP lề (biên) của từng ĐLNN)

2

Cộng tất cả

XS đồng thời

• Nhận được các PP XS riêng của X, Y từ các lề tương ứng (gọi là PP lề)

Từ đó tính được EX, VarX và EY, VarY

• Từ bảng cũng lập được PP điều kiện của X/(Y = yj) bằng cách lấy XS trên cột của yj chia cho XS lề qj tương ứng ; hoặc PP của Y/(X = xi) bằng cách

lấy XS trên dòng của xi chia cho XS lề pi tương ứng Từ đó tính được kỳ vọng điều kiện E(X/Y=yj) hoặc E(Y/X=xi)

- Hiệp phương sai Cov(X, Y) = E(XY) – E(X)E(Y)

Nói riêng Cov(X, X) = D(X); Cov(Y, Y) = D(Y); Cov(X, Y) = Cov(Y, X)

- Ma trận tương quan hay ma trận hiệp phương sai

- Khi RXY = 0 ta nói X, Y không tương quan với nhau (dù chưa chắc X, Y độc lập)

- RXY đo mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa X, Y theo nghĩa dưới đây

• RXY =  1 thì X, Y phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là có thể biểu diễn Y như là một hàm nhị thức bậc nhất (hàm tuyến tính) của X

• R XY càng gần 1 thì sự phụ thuộc giữa X, Y càng gần với tuyến tính

• R càng gần 0 thì sự phụ thuộc giữa X, Y càng khác với tuyến tính

GIẢI BÀI TẬP LTXS CHƯƠNG 1 TRONG BÀI GIẢNG

1 Trong 100 người được phỏng vấn có 40 người thích dùng nước hoa A;28 người thích dùng nước hoa B; 10 người thích dùng cả 2 loại nước hoa A, B.

Chọn ngẫu nhiên 1 người trong số 100 người trên Tính xác suất để người này

a) Thích dùng ít nhất một loại nước hoa trên

b) Không thích dùng loại nước hoa nào cả.

Nhận xét: Bài này dễ, dùng công thức tổng trường hợp không xung khắc

Gọi

- Ta, Tb và T lần lượt là biến cố người được chọn thích nước hoa A, B và ít nhất một loại nước hoa trên

- K là biến cố người được chọn không thích loại nước hoa nào

a) Ta cần tính P(T)? Ta có T = Ta + Tb (không xung khắc) Công thức cộng XS cho ta

P(T) = P(Ta) + P(Tb) – P(TaTb) = 40 28 10 58 58%.

100  100  100  100 

b) Ta cần tính P(K)? Ta có K = T Do đó P(K) = 1 – P(T) = 42%

2 Một hộp chứa 10 sản phẩm trong đó có 7 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu

a) Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm Tính xác suất chọn được sản phẩm xấu

b) Chọn ngẫu nhiên lần lượt (không hoàn lại) hai sản phẩm Tính xác suất sản phẩm chọn lần sau là sản phẩm xấu

c) Chọn ngẫu nhiên lần lượt (có hoàn lại) hai sản phẩm Tính xác suất sản phẩm chọn lần sau là sản phẩm xấu

Nhận xét:

- Câu a) quá sơ cấp và hiển nhiên dùng định nghĩa cổ điển của XS

- Câu b) chọn không hoàn lại nên lần sau không độc lập với lần đầu Dùng công thức nhân khi các biến cố không độc lập

- Câu c) chọn có hoàn lại nên lần sau độc lập với lần đầu Dùng công thức nhân khi các biến cố độc lập

Giải: Gọi Ti, Xi lần lượt là biến cố chọn được sản phẩm tốt, xấu ở lần thứ i; i = 1, 2

P(X2) = P(T1X2) + P(X1X2) = P(T1)P(X2) + P(X1)P(X2)

= 7 3 3 3 3

3 Một hộp phấn có 12 phấn trắng; 8 phấn xanh; 10 phấn vàng Chọn ngẫu nhiên

một viên phấn Tính xác suất viên phấn này màu trắng biết rằng viên phấn này không phải màu vàng

Nhận xét: Quá sơ cấp Hiển nhiên dùng định nghĩa cổ điển của XS và công thức

XS điều kiện

Giải

Gọi T, V lần lượt là biến cố viên phấn đã chọn mầu trắng, vàng

Khi đó, biến cố chọn được viên phấn không vàng là V

4 Có ba người, mỗi người bắn một viên đạn vào bia với xác suất bắn trúng lần lượt

là 0,6 ; 0,7 ; 0,8 Tìm các xác suất dưới đây.

Nhận xét: Từ giả thiết suy ra 3 người độc lập bắn Ta căn cứ vào kết cục của từng

người để gọi tên biến cố Rõ ràng dùng phối hợp CT cộng (xung khắc) và CT nhân (độc lập)

Nhận xét: Vì chọn không hoàn lại nên 3 lần chọn không độc lập, lần sau phụ thuộc

(các) lần trước Do đó, ta dùng phối hợp CT cộng (xung khắc) và CT nhân không độc lập

Giải

Gọi Ti, Xi lần lượt là biến cố chọn được sản phẩm tốt, xấu ở lần thứ i; i = 1, 2,

3 Các biến cố mà khác chỉ số đều không độc lập; còn cặp biễn cố cùng chỉ số

 Ở đây việc P(B) = P(B/T1) chỉ là một sự tình cờ chứ không phải là nhất thiết luôn như thế Khi giữ nguyên cấu trúc bài toán, chỉ đổi dữ liệu thì nói chung P(B) và P(B/T1) sẽ khác nhau

 Ta nhấn mạnh rằng B và T1 là hai biến cố nói chung phụ thuộc Nhưng riêng trong bài toán này thì chúng độc lập vì rõ ràng

6 Có hai hộp bi, hộp I có 3 bi trắng, 8 bi đen; hộp II có 4 bi đen, 7 bi trắng Từ mỗi hộp chọn ngẫu nhiên 1 viên bi, số bi còn lại trong mỗi hộp được bỏ chung vào hộp III Sau đó từ hộp III chọn ngẫu nhiên 1 bi Tính xác suất bi chọn từ hộp III là bi trắng.

Nhận xét: Hành động của bài toán (phép thử) chia 2 giai đoạn (GĐ): GĐ1 lấy bi

từ hai hộp I, II và đổ bi còn lại vào hộp III GĐ2 lấy bi từ hộp III Đương nhiên các kết cục của GĐ2 phụ thuộc vào các kết cục của GĐ1 Do đó cần sử dụng công thức XSĐĐ và/hoặc Bayes Trước tiên, ta cần kể hết (đầy đủ) các trường hợp có thể có của GĐ1 làm hệ đầy đủ, rồi từ đó tính XS của biến cố đúng như yêu cầu đề bài Tốt nhất, ta sẽ kiểm soát đầy đủ các trường hợp của GĐ1 bằng số bi trắng (hoặc đen – không trắng) trong 2 viên bi đã bỏ vào hộp III

Giải

Gọi Ti là biến cố số có đúng i bi trắng trong 2 viên đã lấy ra từ hộp I và II; i = 0, 1,

2 Rõ ràng {T0, T1, T2} là hệ đầy đủ các biến cố

Hộp III luôn có 20 bi nhưng số lượng đen, trắng phụ thuộc vào từng trường hợp

T0, T1 hay T2 cái nào xẩy ra Cụ thể

- Nếu T0 xẩy ra thì hộp III có 10 đen, 10 trắng

- Nếu T1 xẩy ra thì hộp III có 11 đen, 9 trắng

- Còn khi T2 xẩy ra thì hộp III có 12 đen, 8 trắng

Gọi T là biến cố viên bi lấy ra sau cùng từ hộp III là bi trắng Cần tính P(T) Theo công thức XSĐĐ ta có

a) Đội tuyển thắng ít nhất một trận

b) Đội tuyển thắng đúng hai trận

c) C thua biết rằng đội tuyển thắng hai trận

Nhận xét: Từ giả thiết, vì XS thắng trận của 3 vận động viên (VĐV) không phụ

thuộc nhau nên ta suy ra các VĐV thi đấu một cách độc lập

0 056

0 398 =

28

199  14%

8 Một phân xưởng có 60 công nhân, trong đó có 40 nữ và 20 nam Tỷ lệ công nhân

nữ tốt nghiệp phổ thông trung học là 15%, còn tỷ lệ này với nam là 20%.

a) Gặp ngẫu nhiên một công nhân của phân xưởng Tìm xác suất để công nhân đó tốt nghiệp phổ thông trung học.

b) Gặp ngẫu nhiên hai công nhân của phân xưởng Tìm xác suất để ít nhất một trong hai công nhân đó tốt nghiệp phổ thông trung học.

Nhận xét: Vì bài toán cho rõ số lượng công nhân và tỷ lệ nam nữ nên thực chất bài

này chỉ cần tính rõ số lượng học vấn của nam, nữ rồi dùng định nghĩa cổ điển Hãy xem nhận xét thêm khi số lượng công nhân khá lớn và không cho biết rõ trước

Giải

 Vì tỉ lệ nữ tốt nghiệp THPH là 15% trong số 40 nữ nên số nữ tốt nghiệp THPT

là 40 15% = 6; còn lại 34 nữ chưa tốt nghiệp THPT

 Vì tỉ lệ nam tốt nghiệp THPH là 20% trong số 20 nam nên số nam tốt nghiệp THPT là 20 20% = 4; còn lại 16 nam chưa tốt nghiệp THPT

 Suy ra tổng số công nhân tốt nghiệp THPT (không phân biệt nam, nữ) là 4 +

6 = 10

Do dó dễ thấy các xác suất cần tính là

245 109

Nhận xét thêm

 Nếu giữ nguyên câu hỏi của bài toán, chỉ thay đổi dữ liệu 60 công nhân

40 nữ, 20 nam bởi số công nhân khá lớn trong đó nữ chiếm tỉ lệ 2/3, nam chiếm tỉ lệ 1/3 thì cách giải trên đây không thể áp dụng được

 Lúc đó, cần lưu ý: gặp một công nhân, về giới thì có thể nữ hay nam, về học vấn thì có thể tốt nghiệp THPT hoặc chưa mà trình độ học vấn lệ thuộc vào giới Do đó ta có thể dùng công thức XSĐĐ

a) Gọi N, N là biến cố gặp được công nhân nam, nữ tương ứng Gọi T là biến

cố gặp được công nhân đã tốt nghiệp THPT Khi đó {N, N} là hệ đầy đủ các biến cố Ta cần tính P(T) Theo công thức XSĐĐ ta có

a) Tìm xác suất để có 2 trong 3 sinh viên làm được bài.

b) Giả sử có 2 sinh viên làm được bài thi Tìm xác suất sinh viên A không làm được bài thi.

Nhận xét: Bài này hoàn toàn tương tự bài 7 Từ giả thiết cũng suy ra các sinh viên

a) Sinh viên này đạt yêu cầu cả 2 môn.

b) Sinh viên này đạt yêu cầu môn thứ hai.

c) Sinh viên này đạt yêu cầu ít nhất một môn.

d) Sinh viên này không đạt yêu cầu cả hai môn.

Nhận xét: Theo đề bài, rõ ràng SV thi hai môn không độc lập Do đó sẽ dùng phối

hợp CT cộng (có thể xung khắc hoặc không tùy vào từng ý) với CT nhân không độc lập

Giải: Gọi

- Đi, Ki lần lượt là biến cố sinh viên thi đạt, không đạt môn thứ i; i = 1, 2

- A, B, C, D là lượt là các biến cố ở các câu a), b), c) d)

Từ giả thiết, dễ thấy các biến cố mà khác chỉ số sẽ không độc lập, còn cặp biến cố cùng chỉ số là cặp đối lập của nhau Ta có

a) A = Đ1.Đ2 P(A) = P(Đ1)P(Đ2/Đ1) = 0,8 0,6 = 0,48 = 48%

b) B = Đ2 = Đ1.Đ2 + K1.Đ2

 P(B) = P(Đ1)P(Đ2/Đ1) + P(K1)P(Đ2/K1) = 0,8.0,6 + (1 – 0,8)0,3

= 0,54 = 54%

c) C = Đ1 + Đ2, ở đây hai biến cố này không xung khắc Do đó

P(C) = P(Đ1) + P(Đ2) – P(Đ1Đ2) = 0,8 + 0,54 – 0,48 = 0,86 = 86%

d) D = C  P(D) = 1 – P(C) = 1 – 0,86 = 0,14 = 14%

Nhận xét: Cũng có thể tính P(D) trực tiếp trước

D = K1K2 P(D) = (1 – 0,8)(1 – 0,3) = 0,14 Sau đó suy ra P(C) = 1 – P(D) = 0,86 = 86%

11 Một lô hàng có 50 sản phẩm gồm 40 sản phẩm loại A và 10 sản phẩm loại B Lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm từ lô hàng để kiểm tra Sau đó từ số sản phẩm còn lại của

lô hàng chọn ngẫu nhiên 5 sản phẩm Tính xác suất trong 5 sản phẩm lấy ra sau cùng có ít nhất một sản phẩm loại B biết rằng cả 10 sản phẩm lấy ra lúc đầu đều loại A.

Nhận xét: Hành động của bài toán chia hai giai đoạn mà kết quả của giai đoạn sau

lệ thuộc vào giai đoạn đầu nên có thể dùng công thức XSĐĐ và Bayes Tuy nhiên,

số trường hợp của giai đoạn đầu quá nhiều nên ta tránh nó bằng cách dùng công thức XS Điều kiện

Giải

Gọi B là biến cố trong 5 sản phẩm lấy ra sau cùng có ít nhất một sản phẩm loại B

và A là biến cố cả 10 sản phẩm lấy ra lúc đầu đều loại A Ta cần tính P(B/A)?

Ta có

P(B/A) = ( )

( )

P P

12 Một phân xưởng có ba máy Xác suất để mỗi máy sản xuất ra sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật lần lượt là 0,9; 0,8; 0,7 Trong một giờ mỗi máy sản suất được 5 sản phẩm Tính xác suất để trong một giờ cả ba máy sản suất được ít nhất 14 sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật.

Nhận xét: Đây là bài toán áp dụng công thức Bernoulli cho từng máy với số lần

lặp đều là n = 5 và XS đạt tiêu chuẩn mỗi lần cho mỗi máy lần lượt là p1 = 0,9; p2

P5(5; p1) = 0,95; P5(5; p2) = 0,85; P5(5; p3) = 0,75;

P5(4; p1) = 5.0,940,1; P5(4; p2) = 5.0,840,2; P5(5; p3) = 5.0,740,3

Thay vào và tính toán ta được đáp số (tự bấm máy)

13 Có hai hộp thuốc Hộp thứ nhất có 10 chai thuốc trong đó có 3 chai kém phẩm chất Hộp thứ hai có 10 chai thuốc trong đó có 2 chai kém phẩm chất Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 chai.

a) Tính xác suất lấy được 2 chai thuốc tốt.

b) Tính xác suất lấy được 1 chai thuốc tốt và 1 chai thuốc kém phẩm chất.

c) Giả sử đã lấy được 1 chai thuốc tốt và 1 chai thuốc kém phẩm chất Tính xác suất để chai thuốc kém phẩm chất là của hộp thứ nhất.

Nhận xét: Vì hai hộp riêng biệt nên kết quả của việc chọn chai thuốc từ hộp này

độc lập với kết quả việc chọn chọn chai thuốc từ hộp kia

Giải

Gọi Ti, Ki lần lượt là biến cố chai thuốc lấy từ hộp thứ i là chai thuốc tốt, kém phẩm chất; i = 1, 2 Đương nhiên Ti, Ki đối lập nhau và các biến cố mà khác chỉ số thì độc lập

Gọi A, B lần lượt là biến cố ở câu a), b)

Nhận xét: Sản phẩm (sp) lấy từ hộp thứ nhất bỏ vào hoặc loại I, hoặc loại II Mỗi

sp trong hộp thứ hai mới (sau khi đã bỏ 1 sp của hộp thứ nhất vào) được phân biệt bởi nguồn gốc và chất lượng

 Về nguồn gốc: Sản phẩm có thể của hộp thứ nhất bỏ vào, có thể của hộp thứ

hai cũ (khi chưa bỏ phẩm hộp thứ nhất vào) Theo tỉ lệ 1:8

 Về chất lượng: Sản phẩm có thể loại I, có thể loại II

Vì thế bài này chắc chắn sử dụng công thức XSĐĐ và/hoặc Bayes đồng thời phối hợp thêm công thức XS điều kiện vì trong câu hỏi về tính XS có cụm từ “biết rằng

…”

Giải: Gọi

- N, H tương ứng là biến cố sp lấy ra từ hộp thứ hai mới là sp của hộp thứ nhất hoặc hộp thứ hai cũ

- M là biến cố sp lấy ra từ hộp thứ hai mới là sp loại I

- Li là biến cố sp lấy từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai là sp loại I (i = 1, 2)

Ta cần tính P(N/M)? Đương nhiên {L1, L2} là hệ đầy đủ

15 Có hai lô sản phẩm Lô thứ nhất có tỷ lệ sản phẩm loại I là 90% Lô thứ hai có tỷ

lệ sản phẩm loại I là 70% Chọn ngẫu nhiên một lô, rồi từ lô đó lần lượt lấy nhẫu nhiên có hoàn lại, mỗi lần 1 sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ hai là sản phẩm loại I biết rằng lần thứ nhất lấy được sản phẩm loại I.