HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2.1 Định nghĩa hệ PTTT tổng quát
Hệ gồm m ptr, n ẩn (m, n nguyễn dương tùy ý)
- Ma trận các hệ số của ẩn: A m.n
- Ma trận các hệ số hệ do: B m.1
- Ma trận các ẩn số: X m.1
Ma trận các hệ số của ẩn:
Ma trận Bổ sung (Mở rộng) của hệ ptr là:
Ma trận hệ số tự do:
Ma trận các ẩn số:
Ma trận các hệ số của ẩn:
Ma trận các hệ số của ẩn:
1, m = n (số phương trình = số ẩn): hệ vuông, A là ma trận vuông
2, Vế phải đều bằng 0: Hệ thuần nhất
Hệ thuần nhất luôn có 1 nghiệm là x i = 0: nghiệm tầm thường Ngoài ra có thể có các nghiệm không tầm thường (tùy từng hệ ptr)
*) Xét hệ vuông: ma trận hệ số của ẩn là mtr vuông
→ tính được định thức của mtr đó Viết mtr A (mtr các hệ số của ẩn) và tính |A|?
Hệ Cramer là hệ phương trình vuông với định lý xác định nghiệm duy nhất khi ma trận A có định thức khác không (|A| ≠ 0) Theo đó, hệ này có nghiệm duy nhất được tính bằng tỷ số giữa định thức của ma trận A thay thế cột j bởi cột tự do ở vế phải và định thức của ma trận A, cụ thể là x_j = |A_j| / |A| Ma trận A_j là ma trận được tạo ra từ ma trận A bằng cách thay thế cột thứ j bằng cột tự do của hệ phương trình Đây là phương pháp chính xác để giải hệ Cramer một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Hệ là hệ Cramer: có nghiệm duy nhất j | A | j x = | A |
Là Hệ Cramer, thuần nhất: có duy nhất nghiệm chính là nghiệm tầm thường
Hệ vuông, thuần nhất nhưng không phải hệ Cramer vì |A| = 0
→ Hệ có nghiệm tầm thường và có cả nghiệm không tầm thường, chẳng hạn: (-1; 7; 3)
Hạng của ma trận: Hạng của ma trận là cấp cao nhất của 1 định thức con khác 0 của ma trận đó
- Định thức con cấp 3: = 0 → hạng của A không phải =3
- ĐT con cấp 2: bỏ đi hàng 1, bỏ đi cột 3: Đt = 0
- ĐT con cấp 2: bỏ đi hàng 3, bỏ đi cột 1: ĐT = 8 khác 0
Ma trận bậc thang là ma trận thỏa mãn:
Trong một ma trận, các hàng gồm toàn số 0 phải nằm ở dưới cùng của ma trận để đảm bảo tính hợp lệ Đối với các hàng không phải toàn số 0, phần tử khác 0 đầu tiên ở hàng dưới phải nằm ở cột bên phải so với phần tử khác 0 đầu tiên ở hàng trên, giúp xác định thứ tự và cấu trúc của ma trận Hạng của ma trận bậc thang bằng số hàng khác 0 của ma trận đó, phản ánh mức độ độc lập của các hàng Đối với ma trận chưa phải dạng bậc thang, cần thực hiện các phép biến đổi để đưa ma trận về dạng bậc thang, từ đó dễ dàng xác định hạng và giải các hệ phương trình tuyến tính liên quan.
(đảm bảo các phép biến đổi không làm thay đổi hạng của ma trận) + Đổi chỗ 2 hàng (cột) cuả ma trận:
+ nhân 1 hàng (cột) với 1 số k khác 0: (không làm thay đổi tc bằng 0 hay khác 0
+ Cộng vào 1 hàng (cột) bội của hàng (cột) khác:
Ví dụ: Biến đổi mtr sau về dạng bậc thang
Ví dụ: Tìm hạng của
- Biến đổi B về dạng bậc thang:
Ví dụ: Biện luận theo a hạng của ma trận sau:
2.3 Cách giải hệ PTTT Tổng quát bằng phương pháp Gausse
Sử dụng các phép biến đổi trên hàng của ma trận bổ sung A để đưa ma trận về dạng đơn giản hơn (tam giác, bậc thang,…)
(Tương ứng với việc đổi chỗ 2 phương trình trong hệ)
(2) Nhân 1 hàng của A với 1 số khác 0
(Tương ứng với việc nhân 2 vế của 1 phương trình với 1 số khác 0)
(Tương ứng với việc cộng vế vế 2 ptr trong hệ) Phép kết hợp: Cộng vào 1 hàng bội (k lần) của 1 hàng khác
Viết ma trận bổ sung:
Chú ý: Trường hợp hệ ptr thuần nhất (Vế phải bằng 0)
Hạng A = hạng A = số ẩn: hệ có nghiệm duy nhất và đó chính là nghiệm tầm thường x i = 0
Hạng A = hạng A < số ẩn: hệ có vô số nghiệm (Tức là ngoài nghiệm tầm thường còn có các nghiệm không tầm thường)
KHÔNG GIAN VÉC TƠ
3.1 Định nghĩa không gian véc tơ
Có 2 tập hợp: Tập V: các phần tử của V gọi là véc tơ
Ví dụ V là tập ma trận vuông cấp 2: khi đó mỗi 1 mtr vuông cấp 2 được gọi là 1 véc tơ
Tập các số K (K = R: tập số thực; K = C: phức ;…) Trang bị 2 phép toán:
Phép cộng của hai véc tơ trong không gian V là phép toán cộng hai véc tơ x và y, trong đó x + y vẫn thuộc không gian V Ngoài ra, phép nhân véc tơ với một số thực k cũng là phép toán quan trọng, kết quả là k.x cũng thuộc không gian V Các phép toán này đảm bảo tính đóng của không gian V dưới các phép cộng và nhân vô hướng, giúp xây dựng các phép toán cơ bản trong lý thuyết véc tơ.
→ Thỏa mãn 8 tính chất: với mọi x, y, z: thuộc V; với mọi k, m: số thuộc tập K (1)phép cộng có t/c kết hợp: x+y+z = (x+y)+z = x+(y+z)
Trong toán học, cộng có tính chất giao hoán, nghĩa là x + y = y + x, giúp đảm bảo sự linh hoạt trong phép cộng Ngoài ra, cộng còn có phần tử trung hòa, đó là véc tơ không 0, thỏa mãn x + 0 = x, mang ý nghĩa rằng phép cộng với phần tử này không làm thay đổi véc tơ ban đầu Mỗi véc tơ còn có véc tơ đối, ví dụ (-x), sao cho tổng của chúng bằng véc tơ không, tức là (-x) + x = 0, thể hiện tính đối xứng trong tập hợp véc tơ Bên cạnh đó, phép nhân trong không gian véc tơ có tính chất kết hợp, nghĩa là (k.m).x = k.(m.x) = (m.(k.x)), giúp đảm bảo tính liên kết trong phép nhân scalar, góp phần nâng cao tính logic trong phép tính với các véc tơ và số vô hướng.
(6)nhân: có phần tử đơn vị: số 1: x.1 = x (7)phân phối giữa phép nhân và phép cộng véc tơ: k.(x+y) = k.x +k.y
(8) phân phối giữa phép nhân và phép cộng số: (k+m).x = k.x + m.x
→ Có Không gian tuyến tính (KG véc tơ) V trên K
Ví dụ: Xét tập V = tập các véc tơ trên mp R 2 = {x = (x1; x2)}
Xét tập K: số thực R Trang bị 2 phép toán:
-Cộng 2 véc tơ thông thường: x = (x 1 ; x 2 ); y = (y 1 ; y 2 ) x + y = (x 1 +y 1 ; x 2 +y 2 ) -Nhân véc tơ với 1 số: x.k = k.x = (kx 1 ; kx 2 ) Kiểm tra các t/c: x + y = (x 1 +y 1 ; x 2 +y 2 ) y + x = (y 1 +x 1 ; y 2 +x 2 )
Phần tử trung hòa: véc tơ (0;0) Phần tử đơn vị: số 1
Ví dụ: Xét tập V = tập các véc tơ trên mp R 2 = {x = (x1; x2)} Trang bị 2 phép toán:
-Cộng 2 véc tơ: x = (x 1 ; x 2 ); y = (y 1 ; y 2 ) x + y = (x 1 +y 1 ; x 2 +y 2 + 1) (1;2) + (-3;5) = (-2; 8) -Nhân véc tơ với 1 số: x.k = k.x = (kx 1 ; kx 2 ) Phần tử trung hòa: véc tơ (0;-1)
VT của (7) (theo đúng phép toán đc trang bị) = … k.(x+y) = k (x 1 +y 1 ; x 2 +y 2 + 1) = (k(x 1 +y 1 ); k(x 2 +y 2 + 1))
VP của (7) (theo đúng phép toán đc trang bị) k.x +k.y = k.(x 1 ; x 2 ) + k.(y 1 ; y 2 ) = (k.x 1 ; k.x 2 ) + (k.y 1 ; k.y 2 )
Vậy V cùng với 2 phép toán đc trang bị KHÔNG PHẢI là KGVT
Ví dụ: Xét tập V = tập các véc tơ trên mp R 2 = {x = (x1; x2)} Trang bị 2 phép toán:
-Cộng 2 véc tơ thông thường: x = (x 1 ; x 2 ); y = (y 1 ; y 2 ) x + y = (x 1 +y 1 ; x 2 +y 2 ) -Nhân véc tơ với 1 số: x.k = k.x = (kx 1 ; 0) 2.(1;3) = (2; 6) thông thường
Có số nào mà khi nhân với véc tơ x bất kỳ thì kết quả vẫn bằng véc tơ
1 (1;3) = (1; 0) : Không có Không có pt đơn vị
Vậy V cùng với 2 phép toán đc trang bị KHÔNG PHẢI là KGVT
Ví dụ: Tập V là tập các ma trận vuông cấp 2
; … đều là các véc tơ (ma trận) thuộc V Trang bị 2 phép toán:
-Cộng 2 ma trận thông thường: a b x c d
-Nhân ma trận với 1 số: k.x = k.a k.b k.c k.d
+Phần tử trung hòa: ma trận không (vuông cấp 2 tất cả các pt đều bằng 0) +Phần tử đơn vị: số 1 (chứ k phải là ma trận đơn vị)
Trong toán học, nếu có một không gian véc-tơ V chứa đựng hai phép toán, và tập hợp A là tập con của V cũng chứa hai phép toán của V, thì nếu A cùng với các phép toán này thỏa mãn 8 tính chất của một không gian véc-tơ, thì A được gọi là một không gian con của V.
Khi ktra 1 tập có phải là KG con hay không chỉ cần ktra 2 điều kiện sau:
(1) Lấy 2 véc tơ bất kỳ x, y thuộc A: thì tổng x + y cũng thuộc A
(2) Lấy 1 véc tơ x bất kỳ thuộc A thì: k.x cũng thuộc A với mọi k
Không gian R 2 = {x = (x1; x2)} cung với 2 phép toán thông thường Xét các tập con sau đây xem tập nào là KG con?
Tập A là một không gian con của \(\mathbb{R}^2\) vì đáp ứng các đặc tính quan trọng của không gian con Cụ thể, nếu lấy bất kỳ hai véc tơ x và y thuộc A, thì tổng x + y cũng thuộc A, thể hiện tính đóng trường của phép cộng Ngoài ra, nếu lấy một véc tơ bất kỳ x trong A và một số thực k, thì k.x thuộc A, cho thấy tập A đóng dưới phép nhân vô hướng Ví dụ, với x = (x₁; 0) trong A, thì k.x = (k.x₁; 0) vẫn thuộc A Như vậy, A chính là một không gian con của \(\mathbb{R}^2\).
(1)Lấy 2 véc tơ bất kỳ x, y thuộc B: thì tổng x + y thuộc B? Lấy x = (x 1 ; 1) ; y = (y 1 ; 1) thuộc B thì tổng: x + y = (x 1 +y 1 ; 1+1) = (x 1 +y 1 ; 2) KHÔNG THUỘC B k.x = (k.x 1 ; k.1) không thuộc B với mọi k
Vậy tập B chỉ là tập con của R 2 chứ k phải là không gian con của R 2 Bài tập áp dụng:
Bài 1: Xét không gian các ma trận vuông cấp 2 (ký hiệu M 2 ): Kiểm tra các tập con sau xem tập nào là không gian con:
(D là tập hợp các ma trận vuông cấp 2 mà có định thức bằng 0)
Xét xem các tập con sau xem tập nào là KG con?
3.3 Hệ véc tơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
Cho hệ gồm n VT gồm: x 1 ; x 2 ; ….x n
Biểu thức (véc tơ) k k 1 x 1 + k 2 x 2 + ….+ k n x n : tổ hợp tuyến tính của các véc tơ x 1 ; x 2 ; ….x n
Ví dụ: Xét không gian R 2 : x 1 = (1; -1); x 2 = (2; 3) 2.x 1 + x 2 = (4; 1) là 1 tổ hợp tt của 2 véc tơ trên
Ví dụ: Xét không gian R 2 : x 1 = (1; -1); x 2 = (2; -2) Kiểm tra xem các VT sau có phải thtt không?
B, (3; -2) Không phải thtt vì hệ ptr VN
Ví dụ: Xét không gian R 3 : Xét hệ: x 1 = (1; 2; -1); x 2 = (1; 1; 3) Kiểm tra VT x = (4; -1; 5) có phải tổ hợp tuyến tính của 2 véc tơ trên không? Giả sử x = k 1 x 1 + k 2 x 2 ???
Hệ VN: Không phải thtt
Hệ véc tơ độc lập tuyến tính Hệ VT phụ thuộc tuyến tính
Véc tơ k 1 x 1 + k 2 x 2 + ….+ k n x n = véc tơ không Lập được hệ ptr thuần nhất có n ẩn: k 1 ; k 2 ; …; k n
- Có 1 nghiệm (duy nhất) tầm thường: k 1 = 0; k 2 = 0; ….; k n = 0 -→ Hệ x 1 ; x 2 ; ….x n được gọi là hệ ĐLTT
Một hệ có VSN (có nghiệm không tầm thường) nghĩa là tồn tại tập hợp các không đều khác không mà vẫn thỏa mãn phương trình tuyến tính Điều này đồng nghĩa với việc hệ tồn tại nghiệm khác không, tức là hệ có đủ điều kiện để xác định một không gian con, còn gọi là hệ phương trình tuyến tính Ví dụ như trong không gian R³, ta xét các hệ phương trình để xác định hệ nào độc lập tuyến tính hoặc phụ thuộc tuyến tính, từ đó xác định tính khả nghịch và khả năng giải của hệ phương trình đó.
A, x 1 = (1; 2; -1); x 2 = (1; 1; 3); x 3 = (3; 4; 5) Véc tơ k 1 x 1 + k 2 x 2 + k 3 x 3 = véc tơ không
Hạng = nhau = 2 : có VSN , có nghiệm không tầm thường Chỉ ra 1 nghiệm cụ thể Không tầm thường
Tồn tại bộ k i không đồng thời bằng 0 để : k 1 x 1 + k 2 x 2 + k 3 x 3 = véc tơ không
C, Hệ gồm 1 VT x 1 = (1,2,3) k 1 x 1 = (0;0;0) chỉ xảy ra khi k 1 = 0
Hệ 3 ptr 1 ẩn: hệ chỉ có duy nhất 1 nghiệm tầm thường
Hệ 3 ptr 2 ẩn: Hạng = nhau = số ẩn =2 hệ chỉ có duy nhất 1 nghiệm tầm thường ĐLTT
Hệ 3 ptr 2 ẩn: Hạng = nhau = 1 < số ẩn
3 ptr, 4 ẩn → hạng < số ẩn → VSN
Trong mp, cho 2 véc tơ x 1 và x 2 cùng phương: x 1 = k.x 2
1.x 1 –k.x 2 = VT không Xét k 1 x 1 + k 2 x 2 = 0 : vô số k 1 ; k 2 thỏa mãn (VSN) -→ 2 VT cùng phương là PTTT
Trong không gian, 3 VT đồng phẳng: PTTT a.x +b.y+c.z = 0
Trong 1 hệ có chứa VT không thì hệ đó ĐL hay PT??? Cho hệ n VT gồm: 0; x 2 ; ….x n ???
Bộ số (t, 0, 0, ….,0) : không tầm thường VD3: Ktr các hệ sau là ĐLTT hay PTTT trong R 3 ?
C, Tìm k để hệ sau PTTT: x 1 = (1;0; 3); x 2 = (2; -1; 4); x 3 = (1; 1; k)
(Tìm k để định thức của mtr cột tọa độ của các véc tơ bằng 0
3.4 Hệ sinh, hệ cơ sở của KGVT
Hệ gồm n VT: x 1 ; x 2 ; ….x n được gọi là hệ sinh nếu mọi VT x bất kỳ của V đều là tổ hợp của hệ trên: x = k 1 x 1 + k 2 x 2 + ….+k n x n
(có nghĩa là tồn tại các k i : hệ ptr đối với các ẩn k i phải là hệ có nghiệm: VSN hay 1 nghiệm) (hạng A = hạng A bs ) VD1:
Trong không gian R 2 , xét các hệ sau xem hệ nào là hệ sinh?
Lấy VT x bất kỳ của R 2 : x = (a,b); a,b bất kỳ Kiểm tra xem có biểu diễn được x dưới dạng tổ hợp của 1 VT x 1 hay không?
Giả sử biểu diễn được thì: x = k 1 x 1 (a,b) = k 1 (1,2)
Lập đc hệ ptr là:
Hạng A = 1; hạng A bs = 2 nếu b-2a khác 0; = 1 nếu b -2a = 0 Vậy với các VT x = (a, b) mà b-2a khác 0 (b khác 2a) thì
VT x không thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp của VT x 1 đã cho
Ví dụ lấy VT (1,1) = k.(1,2) ?????: không thể biểu diễn được
→hệ gồm 1 véc tơ x 1 = (1, 2) không phải là hệ sinh
Lấy VT x bất kỳ của R 2 : x = (a,b); a,b bất kỳ Kiểm tra xem có biểu diễn được x dưới dạng tổ hợp : x = k x + k x
Lập đc hệ ptr là:
Hạng A = 2; hạng A bs = 2 với mọi a,b
Hệ ptr có nghiệm với mọi a,b Mọi VT (a,b) đều là tổ hợp của 2 VT x 1 ; x 2
Hệ gồm 2 VT {x 1 = (1,2); x 2 = (1; -1)} là hệ sinh của R 2
VD2: Trong kg R 3 ; xét xem hệ nào là hệ sinh:
VT x = (a,b,c) bất kỳ, luôn biểu diễn đc: x = a.e 1 +b.e 2 +c.e 3
Hệ cơ sở của KGTT
Hệ gồm n VT: x 1 ; x 2 ; ….x n được gọi là hệ cơ sở của kg V nếu nó vừa ĐLTT vừa là hệ sinh của V
B, Hệ x 1 = (1; -1; 1); x 2 = (1; 2; 0): ĐLTT nhưng không phải hệ sinh → K PHẢI HỆ CƠ SỞ
C, Trong R 2 : hệ {x 1 = (1,2); x 2 = (2; 4); x 3 = (-1; 3)} là hệ sinh, nhưng PTTT → K phải hệ cơ sở
A, e 1 = (1; 0; 0); e 2 = (0; 1; 0); e 3 = (0; 0; 1): vừa ĐLTT Vừa là hệ sinh → là cơ sở của R 3
*) Hệ x 1 = (-1; 1; 2); x 2 = (1; 2; -3); x 3 = (-1; 3; 1): là cơ sở của R 3
-Nếu hệ x 1 ; x 2 ; ….x n là cơ sở của không gian V thì n đc gọi là số chiều của V: dimV = n
- Mọi hệ cơ sở khác của V cũng có số lượng véc tơ là n
- Mọi hệ có số véc tơ khác n (ít hơn n hay nhiều hơn n) thì đều KHÔNG phải là hệ cơ sở của V
-Mọi hệ có số véc tơ đúng bằng n chưa chắc là cơ sở
- Mọi hệ có số VT đúng bằng n
Và là hệ ĐLTT thì sẽ là cơ sở của V
Không gian R 2 : cơ sở chính tắc{e 1 =(1,0); e 2 = (0,1)}; dimR 2 = 2 Không gian R 3 : cơ sở chính tắc
{e 1 = (1; 0;0); e 2 = (0;1;0); e 3 = (0;0;1)} → dimR 3 = 3 Trong R 3 : hệ sau có phải cơ sở không? a, x 1 = (1; 2; 0); x 2 = (1; -1; 5); x 3 = (0; -1; 1) Lập hệ: có nghiệm duy nhất: hạng A = số ẩn Cách 2: định thức của A khác 0
➔ Là cơ sở b, x 1 = (1; -2; -1); x 2 = (-1; 1; 3); x 3 = (1; -3; 1) Định thức = 0 → PTTT → không phải cơ sở
Trong lý thuyết vector không gian, hệ KGVT V là hệ cơ sở của V, có nghĩa là bất kỳ vector nào trong V đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong hệ này Nếu hệ VT = {x₁, x₂, , xₙ} là hệ cơ sở, thì mọi vector x trong V đều tồn tại các số k₁, k₂, , kₙ sao cho x = k₁x₁ + k₂x₂ + + kₙxₙ Điều này chứng tỏ hệ VT không chỉ là hệ tuyến tính độc lập mà còn là hệ sinh của V, cung cấp một phương pháp tổng quát để biểu diễn mọi vectơ trong không gian theo các vectơ cơ sở.
Bộ (k 1 ; …; k n ) được gọi là tọa độ của véc tơ x đối với cơ sở x 1 ; x 2 ; ….x n
Ví dụ: Không gian R 3 : cơ sở chính tắc {e 1 = (1; 0;0); e 2 = (0;1;0); e 3 = (0;0;1)}
B, Tìm tọa độ của VT x = (2,4,-7) đối với cơ sở sau:
Lập hệ và giải hệ: (các ẩn là k i ) x = k 1 x 1 +….+k 3 x 3
Vậy tọa độ của VT x đối với hệ cơ sở đã cho là (11/2; -7/2; 21/2)
3.6 Số chiều, đổi cơ sở trong KGVT
Số chiều của không gian chính là số véc tơ trong một hệ cơ sở của không gian đó
HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ - HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
4.1 Các định nghĩa hàm số, miền xác định
Trong toán học, nếu mỗi cặp giá trị (x, y) có quy luật xác định một giá trị z thì z được gọi là hàm số của hai biến độc lập x và y, ký hiệu là z = f(x, y) Khi x = a và y = b, giá trị tương ứng của hàm số là z = f(a, b) Ngoài ra, hàm số này không nhất thiết phải đối xứng, nghĩa là f(x, y) có thể khác f(y, x), tùy thuộc vào quy luật xác định.
Nếu f (x, y) = f(y, x) thì hàm số được gọi là hàm đối xứng
Trong toán học, với mỗi bộ giá trị của n số thực theo thứ tự (x₁, x₂, , xₙ), ta có thể xác định một giá trị số thực z thông qua phép biến đổi f Z được gọi là biến số phụ thuộc hoặc hàm số của n biến số độc lập x₁, x₂, , xₙ, ký hiệu là z = f(x₁, x₂, , xₙ) Trong trường hợp n = 2, thường ký hiệu là z = f(x, y), còn trong trường hợp n = 3, thường ký hiệu là u = f(x, y, z).
Có thể định nghĩa hàm số n biến số theo ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp như sau:
• Hàm số n biến số là một ánh xạ f từ tập tích Đề các R n = R R R vào tập R: n
Miền xác định (MXĐ) của hàm số
Hàm số hai biến xác định trên tập hợp các điểm M(x, y) trong mặt phẳng, nơi mà ta có thể xác định giá trị thực của z qua phép biến đổi f Miền xác định của hàm số là tập hợp các điểm phù hợp để đảm bảo hàm số có giá trị xác định rõ ràng Việc xác định miền xác định là bước quan trọng trong phân tích hàm số hai biến, giúp hiểu rõ phạm vi hoạt động của hàm và đưa ra các ứng dụng phù hợp trong toán học và các lĩnh vực liên quan.
Miền xác định của hàm hai biến z = f(x, y) là một miền phẳng D trong mặt phẳng tọa độ xOy, có thể là toàn bộ hoặc một phần của mặt phẳng này Nếu miền D có giới hạn bởi các đường cụ thể, thì các đường đó chính là biên giới của miền D Miền D được gọi là kín nếu bao gồm tất cả các điểm trên biên, còn gọi là miền hở (mở) nếu không bao gồm các điểm trên biên của nó.
Ví d ụ Hàm z x = 2 + y 2 có MXĐ là toàn bộ mặt phẳng tọa độ xOy
Miền xác định là hình tròn kín, tâm O, bán kính R (kể cả biên)
4.2 Giới hạn, đạo hàm, đạo hàm riêng, vi phân toàn phần
Hàm số z = f(x, y) được xác định trên miền D, trong đó M₀(x₀, y₀) là một điểm thuộc miền D Khi cố định y = y₀ và tăng x lên một khoảng Δx, ta sẽ có sự thay đổi của hàm số gọi là số gia thức, ký hiệu là Δxz Sự biến thiên của hàm số thể hiện rõ qua mối quan hệ giữa các biến x và y, phản ánh cách thức hàm số phản ứng khi biến x thay đổi trong miền xác định.
= + − và được gọi là số gia riêng của hàm z theo biến số độc lập x (tại điểm (x o , y o ))
Tương tự, cố định x o và cho y o số gia Δy thì hàm số z = f (x , y) có số gia riêng Δ y z theo biến số độc lập y tại điểm (x o , y o ), được xác định bởi y z f (x , y 0 0 y) f (x , y ) 0 0
Tổng quát: Số gia riêng của hàm số z tại điểm (x, y) bất kỳ là: x z f (x x , y) f (x , y)
Khi cả hai biến số x và y cùng biến đổi với các lượng Δx và Δy, điểm M(x, y) di chuyển tới M(x + Δx, y + Δy) Sự thay đổi toàn phần của hàm số z tại điểm (x, y), ký hiệu là Δz, được xác định bằng công thức Δz = f(x + Δx, y + Δy) - f(x, y) Hiểu rõ sự thay đổi này giúp phân tích chính xác các biến đổi của hàm số theo các biến số x và y, hỗ trợ tối ưu hóa và dự báo trong các hoạt động liên quan đến toán học và kỹ thuật.
Cho hàm số z = f (x , y) xác định và liên tục trong lân cận điểm M(x, y) Số gia riêng của hàm số z theo biến x là: x z = f (x + x , y) − f (x , y)
Nếu tồn tại giới hạn: x x 0 lim z x
hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng của hàm số z = f (x , y) theo biến số độc lập x, ký hiệu là x x z z f (x, y) x
Tương tự, ta có đạo hàm riêng của hàm số z theo biến y được ký hiệu và định nghĩa là: y y y y 0 z z z f (x, y) lim y → y
Trong thực hành tính toán đạo hàm riêng, để tìm đạo hàm của hàm hai biến theo một biến cụ thể, ta coi biến còn lại là hằng số Khi đó, hàm số hai biến trở thành hàm số của một biến duy nhất, giúp đơn giản hóa quá trình đạo hàm và tăng hiệu quả tính toán.
Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến (n ≥ 3) được định nghĩa và cách tính tương tự như đạo hàm riêng của hàm hai biến Khi tìm đạo hàm riêng theo một biến, ta xem tất cả các biến còn lại như là hằng số Điều này cho phép xác định tốc độ biến đổi của hàm số theo từng biến độc lập một cách chính xác Phương pháp này là nền tảng trong giải tích nhiều biến, giúp phân tích các hàm phức tạp hơn một cách hiệu quả và rõ ràng.
Ví d ụ Tìm các đạo hàm riêng của hàm hai biến z = 3x 2 y 3 – 2x + 5y + 1
Vi phân toàn phần (VPTP)
Nếu xét các hàm số z = x, z = y thì ta có dz = dx = Δx, dz = dy = Δy, nên vi phân toàn phần của hàm hai biến thường viết ở dạng: z z dz dx dy x y
Ví d ụ Cho hàm số: z = x 2 + y 2 Tính dz (1, -2) Ta có x 2 2 y 2 2 x y x y 1 2 z , z z (1, 2) , z
4.3 Cực trị của hàm số Định nghĩa
Hàm số z = f(x, y) đạt cực đại tại điểm M₀(x₀, y₀) khi giá trị của f tại điểm đó lớn hơn tất cả các giá trị của f ở các điểm lân cận quanh M₀ Ngược lại, hàm số z = f(x, y) được gọi là đạt cực tiểu tại M₀ nếu giá trị của f tại điểm đó nhỏ hơn tất cả các giá trị xung quanh Các khái niệm này giúp xác định điểm cực trị của hàm số hai biến trong toán học, đóng vai trò quan trọng trong phân tích tối ưu hóa.
- Các giá trị cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị của hàm số và M o (x o , y o, ) gọi là điểm đạt cực trị của hàm số đó
Trong bài viết này, chúng ta xem xét ký hiệu Δ = z_f(x, y) − f(x₀, y₀) như là số gia toàn phần của hàm số z = f(x, y) trong một lân cận của điểm M₀ Khi đó, hàm số đạt cực trị tại M₀ (x₀, y₀) khi số gia toàn phần Δz không đổi dấu trong lân cận đó: nếu Δz âm, hàm số đạt cực đại; nếu Δz dương, hàm số đạt cực tiểu Điều kiện cần để xác định cực trị dựa trên định lý Fermat, cho rằng nếu tại điểm M₀, đạo hàm hoặc đạo hàm riêng của hàm số bằng không, thì điểm đó có thể là điểm cực trị hoặc điểm yên ngựa của hàm số.
Nếu hàm số z = f(x, y) đạt cực trị tại M o (x o , y o ) và hàm số có các đạo hàm riêng tại M 0 thì các đạo hàm riêng đó phải bằng 0, tức là f (x , y ) f (x , y ) 0 x 0 0 = y 0 0 = (1.17)
Khi hàm số z = f(x, y) đạt cực trị tại điểm M₀ (x₀, y₀), điều này dẫn đến việc hàm số một biến f(x, y) đạt cực trị tại x₀ Theo điều kiện cần của cực trị hàm một biến, ta có f'_x(x₀, y₀) = 0 và f'_y(x₀, y₀) = 0 Điều kiện (1.17) chỉ là điều kiện cần của cực trị, giúp giới hạn phạm vi tìm kiếm điểm cực trị trong tập hợp các điểm M(x, y) thỏa mãn hệ phương trình x' = 0 và y' = 0.
Các điểm dừng và các điểm không tồn tại đạo hàm riêng của hàm số z = f(x, y) được gọi là các điểm nghi ngờ hoặc điểm tới hạn của hàm Để xác định các cực trị của hàm số, cần phải phân tích các điểm tới hạn này và kiểm tra các điều kiện đủ của cực trị Những điểm này đóng vai trò quan trọng trong quá trình tìm kiếm cực trị cực tiểu hoặc cực đại của hàm số hai biến Việc hiểu rõ các điểm tới hạn và điều kiện đủ giúp tối ưu hóa hàm số một cách chính xác và hiệu quả hơn.
Giả sử hàm số z = f (x , y) có điểm dừng là M o (x o , y o ) và tại đó có các đạo hàm riêng cấp hai z , z , z xx xy yy
Ký hiệu A z (M ) , B z (M ) , C z (M ) = xx 0 = xy 0 = yy 0 Khi đó:
1) Nếu B 2 − AC 0 thì M o (x o , y o ) không phải là điểm đạt cực trị
2) Nếu B 2 − AC 0 thì hàm số z = f(x, y) đạt cực trị tại M o (x o , y o ), cụ thể đạt cực đại nếu A < 0, đạt cực tiểu nếu A > 0
3) Nếu B 2 − AC 0 = thì chưa kết luận được gì, phải xét tiếp, có thể bằng cách xét dấu của số gia toàn phần Δz trong lân cận M o (x o , y o )
Ví d ụ Tìm cực trị của hàm số z x = + − 3 y 3 9xy
Bước 1 Ta tìm các điểm dừng từ hệ phương trình
Có hai điểm dừng là M 1 (0, 0) và M 2 (3, 3)
Bước 2 Kiểm tra: Tính các đạo hàm riêng cấp 2: z xx = 6x, z xy = − 9, z yy = 6y
- Xét điểm M 1 (0, 0): ta có A = 0, B = -9, C = 0 Vậy B 2 - AC = 81 > 0, điểm M 1 (0, 0) không phải điểm cực trị
- Xét điểm M 2 (3, 3): Ta có A = 18, B = -9, C = 18 do đó B 2 - AC < 0 và A > 0 nên điểm M 2 là điểm cực tiểu, giá trị cực tiểu là z min (M 2 ) = -27
Ví d ụ Tìm cực trị của hàm số z 3x y y = 2 + − 3 3x 2 − 3y 2 + 2
Ta được 4 điểm tới hạn M (0,0), M (0,2), M (1,1), M ( 1,1) 1 2 3 4 − Bước 2 Kiểm tra, tính các đạo hàm riêng cấp 2: xx xy yy z = 6y 6, z − = 6x, z = 6y 6 −
Dùng điều kiện đủ ta có
Tại M 1 (0, 0): A = -6, B = 0, C = -6 → B 2 − AC 0 và A < 0 nên z max (0,0) = 2 Tại M 2 (0, 2): A = 6, B = 0, C = 6 → B 2 − AC 0 và A > 0 nên z min (0,2) = -2
Tại M 3 và M 4 ta đều có B 2 − AC 0 nên chúng không phải là điểm đạt cực trị của hàm số
4.4 Tích phân của hàm số Bảng các tích phân cơ bản
Các phương pháp tính tích phân a) Phương pháp phân tích
Nội dung: Tìm cách phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành tổng các hàm số đơn giản mà ta đã biết trong bảng tích phân cơ bản
Ví dụ b) Phương pháp đổ i bi ế n s ố
Nội dung: bằng cách đổi biến số lấy tích phân, đưa tích phân đã cho về dạng một số tích phân cơ bản đã biết
Cụ thể: Nếu đổi biến trong đó có đạo hàm liên tục và có hàm ngược thì
2 x 1 cos x 1 cos dx dx (x sinx) + C
= = c) Phương pháp tích phân từ ng ph ần (phân đoạn để tính tích phân)
Công thức tích phân từng phần giúp chuyển đổi bài toán tính tích phân phức tạp thành một tích phân dễ hơn, vì vậy việc chọn lựa hàm phù hợp để tích phân đơn giản hơn là rất quan trọng Trong quá trình sử dụng phương pháp này, nên xác định các hàm phù hợp để giảm thiểu bước tính tích phân, nhằm tối ưu hóa quá trình giải Nếu không chọn đúng, ta có thể phải dùng các phương pháp khác, phức tạp hơn để giải quyết bài toán tích phân Do đó, việc hiểu rõ cách chọn hàm thích hợp trong công thức tích phân từng phần là yếu tố quyết định để đạt hiệu quả trong phép tính.
Trong quá trình lựa chọn dịch vụ, cần chọn dịch vụ sao cho dễ dàng tìm kiếm và sử dụng Thường thì chúng ta nên ưu tiên các dịch vụ có tính toán thuận tiện để đảm bảo quá trình làm việc diễn ra suôn sẻ, mà không làm ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng Việc chọn dịch vụ phù hợp giúp tối ưu hóa hiệu quả và tiết kiệm thời gian cho người dùng.
Một số dạng cụ thể đáng chú ý:
• trong đó và P(x) là đa thức Đặt
Q(x) sin ax, cosax,e ax u P(x) dv Q(x)dx
Q(x) ln x, arcsin x, arccosx, arctan x u Q(x) dv P(x)dx
Q(x) sin bx, cosbx Đặt hoặc
Ví dụ Tính Đặt u e ax dv Q(x)dx
I 1 = (x + 2).cos3x dx du dx u x 2 sin3x dv cos3x dx v
2 2 du dx u arctan x dv (2x 1)dx 1 x v x x
I u dv uv vdu (x x)arctan x dx
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
5.1 Định nghĩa PTVP, cấp của PTVP, nghiệm riêng, nghiệm tổng quát
• Phương trình vi phân (PTVP) là một hệ thức giữa biến số độc lập x, hàm số phải tìm y = y(x) và các đạo hàm của hàm số phải tìm, dạng
Trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng (PTVP), cấp của PTVP được xem là mức độ cao nhất của đạo hàm xuất hiện trong phương trình đó Ví dụ, phương trình (a) là PTVP cấp 1, phù hợp với các bài toán có đạo hàm cấp một; phương trình (b) là PTVP cấp 2, liên quan đến đạo hàm cấp hai; còn phương trình (c) là PTVP cấp 3, chứa đạo hàm cấp ba Hiểu rõ về cấp của PTVP giúp xác định độ phức tạp cũng như cách tiếp cận giải quyết bài toán phù hợp.
• Gọi nghiệm của PTVP là mọi hàm số y = y(x) thỏa mãn phương trình đó, tức là khi thay vào PTVP thì hàm số đó biến PTVP thành đồng nhất thức
Ví dụ cho phương trình y" y 0 + = , khi đó ta thấy rằng các hàm số
1 2 y = 2cos x, y = 3cos x, y = c cos x + c sinx (trong đó c , c là các hằng số tùy ý) 1 2 đều là nghiệm của phương trình đó
• Một PTVP nếu có nghiệm thì có vô số nghiệm
5.2 Một số dạng PTVP cấp 1 và cách giải
PTVP cấp 1 là các phương trình có dạng:
• Ta gọi nghiệm của PTVP cấp 1 là các hàm số y = (x) thỏa mãn phương trình đó
Ví dụ Xét phương trình xy' 2y 0 − =
Ta thấy y 2x , y = 2 = − 3x 2 là các nghiệm của PT
Tổng quát mọi hàm số có dạng y Cx = 2 trong đó C là hằng số tùy ý, đều là nghiệm của
• Điều kiện ban đầu của PTVP cấp 1 là y x = x 0 = y 0 hay y(x ) 0 = y 0
Bài toán tìm nghiệm của PTVP cấp 1 thỏa mãn điều kiện ban đầu được gọi là bài toán Cauchy hay bài toán giá trị ban đầu
Ví dụ Phương trình xy' 2y 0 − = có nghiệm tổng quát là y Cx = 2
Cho C = 2, C = − 3, ta có các nghiệm riêng y 2x , = 2 y = − 3x 2 ,…
Nếu cho điều kiện ban đầu y( 2) − = − 5 thì ta xác định được 1 giá trị 0 5
C C = = − 4 và do đó xác định được 1 nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện ban đầu đã cho, đó là
• Giải ra được y = f (x) Lấy tích phân 2 vế, ta sẽ được y = f (x)dx + C
Ví dụ: Giải phương trình y’ = x 2 – sin3x Giải Ta có: dy (x = 2 − sin3x)dx
Lấy tích phân 2 vế được NTQ là: 2 x 3 cos3x y (x sin3x)dx C
Ta có dy = y dx = f (y)dx dy dy dx x C F(y) C f (y) f (y)
Do đó ta có TPTQ của phương trình là F(y) x − + = C 0
Giải Ta có 2 dy dx = y 1
5.2.2 Phương trình phân ly biến số
• Dạng: P(x)dx + Q(y)dy = 0 Đó là các PTVP viết ở dạng đối xứng P(x, y)dx + Q(x, y)dy 0 = nhưng hàm P chỉ chứa x, hàm Q chỉ chứa y
• Cách giải: Tích phân 2 vế của phương trình ta được tích phân tổng quát cần tìm
Ví dụ Giải PT xdx + (y 1)dy 0 + = Giải TPTQ là: xdx + (y 1)dy + = C
Ví dụ Giải PT xy − 2y = 0
Giải Ta viết PT ở dạng dy 2dx y − x = 0 Tích phân 2 vế: ln y 2ln x ln C − =
Do đó NTQ là: y Cx = 2
Dạng phương trình sau đây M (x)N (y)dx 1 2 + M (x)N (y)dy 2 1 = 0 có thể đưa được về phương trình có biến số phân ly bằng cách chia cả 2 vế cho tích
Ví dụ Giải PT (1 x)ydx + + − (1 y)x dy 0 = Giải Chia cả 2 vế cho xy (xy 0) ta được
Lấy tích phân 2 vế ta được TPTQ của phương trình: ln x + + x ln y − = y C
- Xét x = 0, y = 0 cũng thỏa mãn phương trình
Ví dụ Giải pt x 1 y dx + 2 + y 1 x dy 0 + 2 = với điều kiện ban đầu y(0) 1 = Giải Chia 2 vế của PT cho 1 y 1 x + 2 + 2 ta được
Tích phân 2 vế ta có TPTQ là 1 x + 2 + 1 y + 2 = C
Từ điều kiện ban đầu suy ra 1 + 2 C =
Vậy tích phân riêng cần tìm là: 1 x + 2 + 1 + y 2 = + 1 2
• Dạng: y = f (x, y) trong đó vế phải là hàm số thỏa mãn: f ( x, y) f (x, y) = 0
Khi đó hàm f(x,y) đưa được về dạng y x
Ví dụ Các PTVP dưới đây là PTVP đẳng cấp
• Cách giải: Đặt y x = u , trong đó u = u(x) Ta có y = u.x y = + u xu
Thay vào PT ta được du u xu (u) hay x (u) u
+ = = − Đây là PTVP có biến số phân ly, giải PT này được TPTQ là (x, u, C) 0 =
Suy ra TPTQ của pt cần tìm là: y
Giải Chia cả tử số và mẫu số cho x 2 ta được y y 2
= − = Đặt y u y u.x y u xu x = = = + , thay vào PT ta có
Phân ly biến số: 1 u dx u du x
Tích phân 2 vế: ln u − = u ln x + ln C ln Cx = u u u ln u hay e
Thay y u = x ta được TPTQ của PT đã cho là y
Dạng: y + P(x).y = Q(x) Nếu Q(x) 0 = : ta có PTVP tuyến tính thuần nhất: y + P(x).y = 0
Nghiệm tổng quát của PTVP tuyến tính thuần nhất: y + P(x).y = 0 là: y C.e = − P(x)dx Nghiệm tổng quát của PTVP y + P(x).y = Q(x) là:
Ví dụ Giải PTVP y sinx y + = x x Giải Đây là PTVP tuyến tính cấp 1 không thuần nhất dạng y + P(x).y = Q(x)
= = Áp dụng công thức : y c.e = − P(x)dx + e − P(x)dx Q(x).e P(x)dx dx Tính
Q(x).e dx xdx sinx dx cos x x
Vậy NTQ của PT đã cho là: c cos x y = x − x
Ví dụ Tìm nghiệm riêng của PTVP 2y 3 y (1 x)
+ với điều kiện ban đầu 1 y(0) = 2 Giải Đây là PTVP tuyến tính cấp 1 không thuần nhất dạng y + P(x).y = Q(x)
+ Áp dụng công thức, NTQ của PT đã cho là:
Từ điều kiện ban đầu 1 y(0) = 2 thay vào NTQ ta được 0 1 c = 2 Vậy nghiệm riêng cần tìm là:
Trong một số trường hợp, cần phải đổi vai trò giữa biến x và y để chuyển bài toán về dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp một với biến x, cụ thể là từ x = x(y) sang dạng x' + P(y)x = Q(y) Để giải phương trình này, ta tìm nghiệm tổng quát bằng công thức: x = c.e^{−∫ P(y) dy} + e^{−∫ P(y) dy} ∫ Q(y) e^{∫ P(y) dy} dy, giúp giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình vi phân tuyến tính cấp một một cách chính xác và hiệu quả.
Giải Vì dy 1 dx y x dx y dy
nên biến đổi PT thành
− y = Đây là PTVP tuyến tính cấp 1 đối với hàm số x = x(y) trong đó 1
= − y = Áp dụng công thức (4.14): x = c.e − P(y)dy + e − P(y)dy Q(y).e P(y)dy dy Tính
Vậy TPTQ của PT đã cho là: x cy y = + 2
5.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 PTVP tuyến tính cấp 2 hệ số hàm số: là phương trình có dạng: y + P(x)y + Q(x)y = f (x) trong đó P(x), Q(x), f (x) là các hàm số liên tục
- Nếu f (x) 0 thì gọi là PTVP tuyến tính cấp 2 không thuần nhất
- Nếu f (x) 0 = thì ta có PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất: y + P(x)y + Q(x)y = 0
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số
Phương trình đặc trưng của PT có dạng y'' + py' + qy = f(x), trong đó p, q là các hằng số và f(x) là hàm số liên tục Đây là trường hợp riêng của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hàm số, nên cấu trúc nghiệm tổng quát và cách giải cũng gồm hai bước Tuy nhiên, do các hệ số p và q là hằng số, việc giải phương trình này trở nên đơn giản và nhanh chóng hơn nhờ vào các phương pháp đặc biệt phù hợp với hệ số cố định.
Cách giải Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số Bước 1: Tìm NTQ của phương trình thuần nhất tương ứng y + py + qy = 0 (4.47)
Ta tìm nghiệm riêng của phương trình (4.47) ở dạng hàm số mũ y e = kx trong đó k là hằng số cần tìm
Từ y e = kx suy ra y ke , y = kx = k e 2 kx
Thay vào phương trình (4.47): e (k kx 2 + pk q) 0 + =
Vì e^kx > 0 nên phương trình tìm giá trị của k để y = e^kx là nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất (4.47) Phương trình (4.48) chính là phương trình đặc trưng (PTĐT) của phương trình (4.47), đóng vai trò xác định các giá trị của k thỏa mãn điều kiện nghiệm phù hợp.
Vì (4.48) là phương trình bậc 2 nên xảy ra 3 trường hợp sau:
- Trường hợp 1: 0 : Phương trình (4.48) có 2 nghiệm thực phân biệt k 1 k 2
Có 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình (4.47) là y 1 = e , y k x 1 2 = e k x 2
- Trường hợp 2: = 0 : Phương trình (4.48) có nghiệm kép 1 2 p k k k
Ta có 1 nghiệm riêng của phương trình thuần nhất (4.47) là: px kx 2 y 1 e e
Tìm nghiệm riêng thứ 2 theo công thức Liouville: pdx pdx px kx kx kx
Vậy NTQ của phương trình (4.47) là: y(x) c e = 1 kx + c xe 2 kx = e (c kx 1 + c x) 2 = e − p.x 2 (c 1 + c x) 2 (4.50)
- Trường hợp 3: 0 : Phương trình (4.48) có 2 nghiệm phức liên hợp k 1,2 = a bi
Khi đó ta có 2 nghiệm riêng của phương trình (4.47) là
Theo công thức Euler: e i(bx) = cosbx isin bx + e i( bx) − = cosbx isin bx −
y (x) e 1 = (a bi)x + = e e ax i(bx) = e (cosbx isin bx) ax + y (x) e 2 = (a bi)x − = e e ax i( bx) − = e (cosbx isin bx) ax −
Ta chọn 2 nghiệm riêng của phương trình (4.47) là
Vì ax 2 ax 1 y e sin bx tan bx C y = e cos bx = nên NTQ của phương trình (4.47) là: y(x) e (c cosbx c sin bx) = ax 1 + 2 (4.51)
Giải Đây là PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng số: p = − 1, q = − 2
= 9 PTĐT có 2 nghiệm thực phân biệt: k 1 = − 1, k 2 = 2 Vậy NTQ của PTVP đã cho là y(x) c e = 1 − x + c e 2 2x
Giải Đây là PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng số: p 4, q 4 = =
= 0 PTĐT có nghiệm kép: k 1 = k 2 = = − k 2 Vậy NTQ của PTVP đã cho là y(x) e (c = − 2x 1 + c x) 2
Giải Đây là PTVPTT cấp 2 thuần nhất hệ số hằng số: p 4, q 13 = = PTĐT là: k 2 + 4k 13k 0 + =
= − = 9 9i 2 PTĐT có 2 nghiệm phức liên hợp: k 1,2 = − 2 3i
Vậy NTQ của PTVP đã cho là y(x) e (c cos3x c sin3x) = − 2x 1 + 2
Bước 2: Tìm nghiệm riêng Y(x) của phương trình không thuần nhất (4.46) y + py + qy f (x) =
Trong trường hợp PTVP tuyến tính cấp 2 hệ số hàm số, phương pháp biến thiên hằng số vẫn có thể được áp dụng, như đã trình bày trong phần 4.4 Tuy nhiên, việc thực hiện phương pháp này có thể gặp khó khăn nếu vế phải f(x) phức tạp, đòi hỏi sự xử lý kỹ lưỡng để đảm bảo kết quả chính xác.
Vì vậy trong một số trường hợp đặc biệt của vế phải ta có thể tìm nghiệm riêng Y(x) bằng phương pháp khác
Sau đây ta xét cách tìm nghiệm riêng Y(x) với 2 dạng sau đây của vế phải
• Dạng 1: f (x) P (x).e = n x (4.52) Trong đó P (x) là đa thức bậc n, n là hằng số
- Trường hợp 1: không phải là nghiệm của PTĐT (4.48) Khi đó tìm Y(x) ở dạng
- Trường hợp 2: là 1 nghiệm đơn của PTĐT (4.48) Khi đó tìm Y(x) ở dạng
- Trường hợp 3: là nghiệm kép của PTĐT (4.48) Khi đó tìm Y(x) ở dạng
Trong đó Q(x) là đa thức bậc n cần tìm Các hệ số của Q(x) được tìm bằng phương pháp đồng nhất hệ số khi thay Y(x), Y (x), Y (x) vào phương trình (4.46)
Bước 1: Tìm NTQ của PT thuần nhất tương ứng: y + 3y − 4y = 0 PTĐT k 2 + 3k 4 0 − = có 2 nghiệm phân biệt k 1 = 1, k 2 = − 4
Do đó NTQ của PTVP thuần nhất sẽ là y(x) c e = 1 x + c e 2 − 4x
Bước 2: Tìm nghiệm riêng Y(x) của pt đã cho
Vế phải f (x) 4x 15 (4x 15).e = − = − 0.x có dạng (4.52) với n 1, = = 0
Ta thấy = 0 không phải là nghiệm của PTĐT nên tìm Y(x) ở dạng x 0.x
Thay vào phương trình y + 3y − 4y = 4x − 15 ta được
− = − = Y(x) = − + x 3 Vậy NTQ của PT đã cho là: y(x) y(x) Y(x) c e = + = 1 x + c e 2 − 4x − + x 3
Bước 1: Tìm NTQ của PT thuần nhất tương ứng: y + y = 0 PTĐT k 2 + = k 0 có 2 nghiệm phân biệt k 1 = 0, k 2 = − 1
Do đó NTQ của PTVP thuần nhất sẽ là y(x) c e = 1 0.x + c e 2 − x = + c 1 c e 2 − x
Bước 2: Tìm nghiệm riêng Y(x) của pt đã cho
Vế phải f (x) e (2x 3) = − x + có dạng (7) với n 1, = = − 1
Ta thấy = − 1 là 1 nghiệm đơn của PTĐT tìm Y(x) ở dạng x x 2 x
Y(x) x.Q (x).e = 1 = x(Ax B).e + − = (Ax + Bx)e − = Q(x).e − x trong đó Q(x) (Ax = 2 + Bx)
Thay Y, Y , Y vào phương trình y + = y e (2x 3) − x + ta được x x e [Q (x) 2Q (x) Q(x) Q (x) Q(x)] e (2x 3) − − + + − = − +
Vì Q(x) (Ax = 2 + Bx) nên Q (x) 2Ax B; Q (x) 2A = + =
Vậy NTQ của phương trình đã cho là: x 2 x
Bước 1: Tìm NTQ của phương trình thuần nhất tương ứng: y − 2y + = y 0 PTĐT k 2 − 2k 1 0 + = có nghiệm kép k 1 = k 2 = 1
Do đó NTQ của PTVP thuần nhất sẽ là y(x) e (c = x 1 + c x) 2
Bước 2: Tìm nghiệm riêng Y(x) của pt đã cho
Vế phải f (x) xe = x có dạng (4.52) với n 1, = = 1
Ta thấy = 1 là nghiệm kép của PTĐT nên tìm Y(x) ở dạng
(Có thể đặt Q(x) = Ax 3 + Bx 2 ) Y = (3Ax 2 + 2Bx)e x + (Ax 3 + Bx )e 2 x
Y = (6Ax 2B)e + x + 2(3Ax 2 + 2Bx)e x + (Ax 3 + Bx )e 2 x
Thay Y, Y , Y vào phương trình y − 2y + = y xe x ta được x x
Vậy NTQ của PT đã cho là: x 1 2 1 3 x y(x) y(x) Y(x) e (c c x) x e
• Dạng 2: f (x) e = x P (x)cos x P (x)sin x m + n (4.56) Trong đó P (x), P (x) là các đa thức bậc m, n, còn m n , là các hằng số
- Trường hợp 1: i không phải là nghiệm của PTĐT (4.48)
Ta tìm nghiệm riêng Y(x) ở dạng:
- Trường hợp 2: i là nghiệm của PTĐT (4.48) Tìm nghiệm riêng Y(x) ở dạng:
Trong đó Q (x), R (x) là các đa thức bậc s s s = max(m, n) , được tìm bằng phương pháp đồng nhất hệ số khi thay Y(x), Y (x), Y (x) vào phương trình (4.46)
Bước 1: Tìm NTQ của PT thuần nhất tương ứng: y + 4y = 0
PTĐT k 2 + = 4 0 có 2 nghiệm phức liên hợp k 1,2 = = 2i 0 2i
Do đó NTQ của PTVP thuần nhất sẽ là
Bước 2: Tìm nghiệm riêng Y(x) của PT đã cho
Vế phải f (x) xcos3x e (xcos3x 0.sin3x) = = 0.x + có dạng (11) với m 1, n = = 0, = = 0, 3
Ta thấy = i 3i không phải là nghiệm của PTĐT nên tìm Y(x) ở dạng
Y(x) e = Q (x)cos x R (x)sin x + = (Ax B)cos3x (Cx D)sin3x + + + Y = Acos3x − 3(Ax + B)sin 3x + Csin 3x + 3(Cx + D)cos3x
Y 3Asin3x 3Asin3x 9(Ax B)cos3x 3Ccos3x
Thay Y, Y , Y vào phương trình y + 4y = xcos3x ta được
( 5Ax 5B 6C)cos3x − − + + − ( 5Cx 5D 6A)sin 3x xcos3x − − =
= − + Vậy NTQ của PT đã cho là:
Bước 1: Tìm NTQ của PT thuần nhất tương ứng: y + = y 0
PTĐT k 2 + = 1 0 có 2 nghiệm phức liên hợp k 1,2 = = i 0 i
Do đó NTQ của PTVP thuần nhất sẽ là
Bước 2: Tìm nghiệm riêng Y(x) của PT đã cho
Vế phải f (x) 4xsin x e (0.cos x 4x.sin x) = = 0.x + có dạng (4.56) với m = 0, n 1, = = 0, = 1
Ta thấy = i i là nghiệm của PTĐT nên ta tìm Y(x) ở dạng
Y(x) x.e = Q (x)cos x R (x)sin x + = x (Ax B)cosx (Cx D)sin x + + + = (Ax 2 + Bx)cosx + (Cx 2 + Dx)sin x
Y (Ax Bx)sinx (2Ax B)cosx (Cx Dx)cosx (2Cx D)sin x
Y (Ax Bx)cos x (2Ax B)sinx (2Ax B)sin x 2A cos x
(Cx Dx)sin x (2Cx D)cosx (2Cx D)cosx 2Csin x
Thay Y, Y , Y vào phương trình y + = y 4x sin x ta được
(4Cx + 2A + 2D)cosx + − ( 4Ax + 2C 2B)sin x 4x sin x − =
Y(x) = − x cosx xsin x x(sinx xcos x) 2 + = − Vậy NTQ của phương trình đã cho là:
Nguyên lý chồng nghiệm Định lý
Nếu Y (x) là nghiệm riêng của phương trình 1 y + py + qy = f (x) 1 và Y (x) là nghiệm riêng của phương trình 2 y + py + qy = f (x) 2 thì Y (x) 1 + Y (x) 2 là nghiệm riêng của phương trình
Ví d ụ Giải PTVP y − 2y + = y 2cosx xe + x
Bước 1: Tìm NTQ của PT thuần nhất tương ứng: y − 2y + = y 0 PTĐT k 2 − 2k 1 0 + = có nghiệm kép k 1,2 = 1
Do đó NTQ của PTVP thuần nhất sẽ là y(x) e (c = x 1 + c x) 2
Bước 2: Tìm nghiệm riêng Y(x) của PT đã cho
Vế phải f (x) f (x) = 1 + f (x) 2 với f (x) 2cosx, f (x) xe 1 = 2 = x
- Tìm nghiệm riêng Y (x) của phương trình 1 y − 2y + = y f (x) 1 = 2cosx
Vế phải f (x) 2cosx e (2cos x 0.sin x) 1 = = 0.x + có dạng (4.56) với m 0, n = = 0, = = 0, 1
Ta thấy = i i không phải là nghiệm của PTĐT nên ta tìm Y (x) ở dạng 1
Y (x) e = Q (x)cos x R (x)sin x + = Acosx Bsin x + Y = − Asin x + Bcosx
Y = − A cos x − Bsin x Thay Y, Y , Y vào phương trình y − 2y + = y f (x) 1 = 2cosx ta được
- Tìm nghiệm riêng Y (x) của phương trình 2 y − 2y + = y f (x) xe 2 = x
Vế phải f (x) xe 2 = x = e x 1.x có dạng (4.52) với n 1, = = 1
Ta thấy = 1 là nghiệm kép của PTĐT nên ta tìm Y (x) ở dạng 2
Y (x) x (Cx D)e 2 = + = (Cx + Dx )e Tìm Y , Y rồi thay vào PT y − 2y + = y f (x) xe 2 = x ta được nghiệm riêng