Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học bộ môn toán thể hiện qua nội dung hệ thức lượng trong tam giác hình học 10

đặng thị thùy dung Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Trong dạy học bộ môn toán thể hiện qua nội dung Hệ thức l-ợng trong tam giác - hình học 10 CHUYÊN Ngành: lý luận và

đặng thị thùy dung

Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Trong dạy học bộ môn toán thể hiện qua nội dung

Hệ thức l-ợng trong tam giác - hình học 10

CHUYÊN Ngành: lý luận và ph-ơng pháp dạy học bộ môn toán

Mã số: 60.14.10

Luận văN THạC Sỹ GIáO DụC HọC

Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: TS Nguyễn đinh hùng

VINH - 2011

1.1 Do nhu cầu của sự phát triển xã hội đối với việc đào tạo nguồn nhân lực trong giai đoạn mới, do sự phát triển mạnh mẽ có tính chất bùng nổ của khoa học công nghệ, do có những thay đổi trong đối t-ợng giáo dục, do xu thế hội nhập trên thế giới nên n-ớc ta hiện nay đang tiến hành đổi mới giáo dục và đặt trọng tâm vào việc đổi mới ph-ơng pháp dạy học, trong đó có ph-ơng pháp dạy học môn Toán

1.2 Nghị quyết Hội nghị lần thứ V Ban chấp hành Trung -ơng Đảng Cộng

sản Việt Nam (khóa VIII, 1997) khẳng định: “ Phải đổi mới ph-ơng pháp giáo

dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t- duy sáng tạo của ng-ời học Từng b-ớc áp dụng những ph-ơng pháp tiên tiến và ph-ơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho HS"

Luật Giáo dục n-ớc Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam (2005) quy định:

“Ph-ơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,

sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi d-ỡng ph-ơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn"

1.3 ở n-ớc ta hiện nay ph-ơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn

đề đã đ-ợc vận dụng rộng rãi trong các nhà tr-ờng phổ thông nh-ng nói chung còn đơn điệu, với kiểu dạy học thầy truyền thụ kiến thức còn trò thụ động ngồi nghe Một trong những nguyên nhân dẫn tới điều đó có thể là do giáo viên ch-a nắm vững phần lý luận, giảng dạy mang tính tự phát, dựa vào kinh nghiệm, không xuất phát từ mục tiêu đào tạo… làm cho quá trình dạy học trở nên nghèo nàn, làm giảm ý nghĩa giáo dục cũng nh- hiệu quả bài giảng

1.4 Đã có nhiều tác giả nghiên cứu về dạy học phát hiện và giải quyết vấn

đề nh-ng ch-a kết hợp với việc quán triệt quan điểm hoạt động thể hiện trên một

số nội dung cụ thể Với những lý do trên chúng tôi chọn đề tài là: "Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học bộ môn Toán thể hiện qua nội dung Hệ thức l-ợng trong tam giác - Hình học 10"

triệt quan điểm hoạt động trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua nội dung Hệ thức l-ợng trong tam giác nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về các xu h-ớng dạy học hiện đại, đặc biệt là PPDH Phát hiện và giải quyết vấn đề

- Nghiên cứu về định h-ớng đổi mới PPDH trong giai đoạn hiện nay

- Nghiên cứu việc quán triệt quan điểm hoạt động trong dạy học môn

Toán

- Nghiên cứu về thực trạng dạy học Toán ở tr-ờng THPT

- Xây dung các quan điểm chủ đạo trong việc tổ choc thực hiện DH phát

hiện và giải quyết vấn đề

4 Giả thuyết khoa học

Trong dạy học Toán nói chung và dạy học Hệ thức l-ợng trong tam giác nói riêng nếu quan tâm đúng mức đến việc quán triệt quan điểm hoạt động trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thì sẽ góp phần đổi mới ph-ơng pháp dạy học và nâng cao chất l-ợng dạy học môn Toán

5 Ph-ơng pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận

Tìm hiểu nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề có liên quan đến đề tài luận văn 5.2 Quan sát:

Dự giờ, quan sát biểu hiện của GV và HS (về nhận thức, thái độ, hành vi) trong hoạt động dạy và học Toán (tr-ớc và trong khi thực nghiệm)

5.3 Điều tra thực tiễn:

- Thực trạng tình hình dạy học Toán ở tr-ờng Phổ thông

- Nhận thức của GV và HS về quan điểm hoạt động trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

5.4 Thực nghiệm s- phạm:

Tổ chức thực nghiệm s- phạm để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của

đề tài

ch-ơng :

Ch-ơng 1: Cơ sơ lý luận và thực tiễn

1.1 Quan điểm hoạt động trong dạy học

1.1.1 Khái niệm hoạt động

1.1.2 Quan điểm hoạt động trong dạy học toán

1.1.3 Các t- t-ởng chủ đạo của quan điểm hoạt động

1.2 Ph-ơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

1.2.1 Khái niệm về dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

1.2.2 Cơ sở khoa học của phát hiện và giải quyết vấn đề

1.2.3 Hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề

1.2.4 Gợi động cơ và h-ớng đích cho các hoạt động

1.2.5 Những cách thông dụng để tạo tình huống gợi vấn đề

1.3 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề theo tinh thần quán triệt quan điểm hoạt động

1.3.1 Dạy học khái niệm

1.3.2 Dạy học định lý

1.3.3 Dạy học quy tắc, ph-ơng pháp

1.3.4 Dạy học giải bài tập

1.4 Thực trạng của việc đổi mới ph-ơng pháp dạy học ở tr-ờng phổ thông hiện nay

Ch-ơng 2: Thực hiện Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phần hệ thức l-ợng trong tam giác

2.1.định h-ớng đổi mới ph-ơng pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay 2.2 Một số quan điểm chủ đạo trong việc tổ chức thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phần Hệ thức l-ợng trong tam giác

2.2.1 Quan điểm 1: Trong quá trình dạy học cần tạo động cơ, nhu cầu và hứng thú cho HS phát hiện tri thức mới

2.2.2 Quan điểm 2: Xây dựng hệ thống câu hỏi để chuẩn bị dạy học mỗi một nội dung trong đó mỗi câu hỏi là một tình huống gợi vấn đề

2.2.4 Quan điểm 4: Tạo tình huống để HS rèn luyện kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề

2.2.5 Quan điểm 5: Hình thành cho học sinh năng lực dự đoán tính chất,

lời giải bài toán thông qua các hoạt động: Quy lạ về quen, xét bài toán t-ơng tự, khái quát hoá, nhìn nhận bài toán d-ới nhiều cách giải

Ch-ơng 3 : thực nghiệm s- phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

1.1.1 Khái niệm hoạt động

- D-ới góc độ triết học, HĐ là quan hệ biện chứng của chủ thể và khách thể Trong quan hệ đó, chủ thể là con ng-ời, khách thể là hiện thực khách quan

ở góc độ này, HĐ đ-ợc xem là quá trình mà trong đó có sự chuyển hóa lẫn nhau giữa hai cực “ chủ thể - khách thể”

- D-ới góc độ sinh học, HĐ là sự tiêu hao năng l-ợng thần kinh và bắp thịt của con ng-ời khi tác động vào hiện thực khách quan nhằm thỏa mãn nhu cầu vật chất và tinh thần của con ng-ời

- D-ới góc độ tâm lý học, xuất phát từ quan điểm: Cuộc sống của con ng-ời là chuỗi các HĐ, giao tiếp kế tiếp nhau, đan xen vào nhau

HĐ là mối quan hệ tác động qua lại giữa con ng-ời và thế giới (khách thể)

để tạo ra sản phẩm về phía thế giới và cả về phía con ng-ời (chủ thể) [37, tr55]

HĐ là quy luật chung nhất của tâm lý học con ng-ời Nó là ph-ơng thức tồn tại của cuộc sống chủ thể HĐ sinh ra từ nhu cầu nh-ng lại đ-ợc điều chỉnh bởi mục tiêu mà chủ thể nhận thức đ-ợc

Theo L.S V-gôtsky, HĐ có hai chiều:

- Chiều thứ nhất là “ gửi vào” trong sản phẩm (lời giải một bài toán chẳng hạn) những phẩm chất và năng lực của mình, kể cả năng lực thẩm mỹ…

- Chiều ng-ợc lại là con ng-ời có thể “ lấy ra” những gì đã “ gửi vào” sản phẩm và trở thành tri thức, vốn liếng riêng của chính mình (ví dụ những ph-ơng pháp vận dụng sáng tạo để giải bài toán) để tiếp tục sử dụng nó Theo đó ta có thể biểu diễn cơ chế phát sinh HĐ bằng sơ đồ sau:

Theo trên, hoạt động là một hệ toàn vẹn gồm có hai thành tố cơ bản là chủ thể và đối t-ợng Chúng tác động lẫn nhau, thâm nhập vào nhau và sinh thành ra nhau tạo ra sự phát triển của HĐ

Tính chủ thể đó là con ng-ời HS, có nhu cầu hiểu biết, khám phá, giải quyết một đối t-ợng khách quan (Ví dụ: định nghĩa một khái niệm, chứng minh một định lí ) Đây chính là tính có đối t-ợng của HĐ, là mục tiêu của chủ thể, nhằm thỏa mãn nhu cầu (vật chất hay tinh thần) của chủ thể Do đó nó mang tính cuốn hút, hấp dẫn đồng thời chịu sự chi phối, làm biến đổi của chủ thể trong cả quá trình HĐ cho đến khi kết thúc

1.1.2 Quan điểm hoạt động trong dạy học Toán

Con ng-ời sống trong HĐ, học tập diễn ra trong HĐ Vận dụng điều đó

trong dạy học môn Toán gọi là học tập trong HĐ và bằng HĐ

Jean Piaget (1896 - 1980) - Nhà tâm lý học, nhà sinh học, ng-ời Thụy Sỹ đã nghiên cứu và đi đến kết luận: Tri thức không phải truyền thụ từ ng-ời biết tới ng-ời không biết, mà tri thức được chính cá thể xây dựng, thông qua HĐ

Những năm 1925 - 1940, L.S V-gôtsky (1896 1934) - Nhà tâm lý học Xô Viết, đã đề ra những luận điểm cơ bản để xây dựng nền tâm lý học kiểu mới

- Tâm lý học Macxit, phủ nhận tâm lý học duy tâm thần bí Xuất phát từ những luận điểm của L.S V-gôtsk , A.N Leonchiev (1893 - 1979) - Nhà tâm lý học Macxit kiệt xuất, cùng các cộng sự, đã nghiên cứu, đi đến kết luận quan trọng

là “ HĐ là bản thể của tâm lý” , nghĩa là HĐ có đối t-ợng của con ng-ời chính là

Mô hình lí tưởng của đối tượng bị biến đổi, tức là của kết quả dự kiến của hoạt động =

Mục đích của hoạt động

nơi sản sinh ra tâm lý con ng-ời Bằng HĐ và thông qua HĐ, mỗi ng-ời tự sinh thành ra mình, tạo dựng và phát triển ý thức của mình

Cống hiến to lớn của Leonchiev là chỉ ra bản chất của tâm lý, với các luận điểm sau:

“Học để hành, học và hành phải đi đôi” (Hồ Chí Minh)

Theo Nguyễn Bá Kim, có thể nói vắn tắt về quan điểm HĐ trong dạy học là: Tổ chức cho HS học tập trong HĐ và Bằng HĐ tự giác, tích cực, sáng tạo Các thành tố cơ sở của PPDH là động cơ HĐ, các HĐ và HĐ thành phần, tri thức trong HĐ, phân bậc hoạt động

Định h-ớng hoạt động hóa ng-ời học thực chất là làm tốt mối quan hệ

giữa 3 thành phần: Mục đích, nội dung, và phương pháp dạy học Bởi vì:

- HĐ của HS vừa thể hiện mục đích dạy học, vừa thể hiện con đường đạt mục đích và cách thức kiểm tra việc đạt mục đích

- HĐ của HS thể hiện sự thống nhất của những mục đích thành phần (4 phương diện: tri thức bộ môn, kỹ năng bộ môn, năng lực trí tuệ chung và phẩm chất, tư tưởng, đạo đức, thẩm mỹ theo 3 mặt: tri thức, kỹ năng, thái độ)

Định h-ớng HĐ hóa ng-ời học bao hàm một số loạt những ý tưởng lớn đặc trưng cho các phương pháp dạy học hiện đại

- Xác lập vị trí chủ thể của ng-ời học

- Dạy việc học, dạy cách học thông qua toàn bộ quá trình dạy học

- Biến quá trình đào tạo thành quá trình tự đào tạo

- Phát huy tính tự giác, tích cực, sáng tạo của ng-ời học

Trong dạy học, mỗi HĐ có thể có một hay nhiều chức năng, có thể là tạo tiền đề xuất phát, có thể là làm việc với nội dung mới, có thể là củng cố

Những HĐ như: Phát hiện và sửa chữa sai lầm cho HS, vận dụng toán học vào thực tiễn là những HĐ rất đáng lưu ý

Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những HĐ nhất định, đó là các HĐ được thực hiện trong quá trình hình thành hoặc vận dụng nội dung đó

Nội dung dạy học môn toán th-ờng liên quan đến các dạng HĐ sau:

- Nhận dạng và thể hiện một khái niệm; một phương pháp, một quy tắc, một định lý

- Những HĐ toán học phức hợp: chứng minh, định nghĩa, giải toán Bằng cách lập phương trình, giải toán dựng hình, giải toán quỹ tích

- Những HĐ trí tuệ phổ biến trong toán học: lật ngược vấn đề, xét tính giải được (có nghiệm, nghiệm duy nhất, ), phân chia tr-ờng hợp

- Những HĐ trí tuệ chung: phân tích, tổng hợp, so sánh, xét t-ơng tự, trừu t-ợng hóa, khái quát hóa

- Những HĐ ngôn ngữ: khi yêu cầu HS phát biểu, giải thích một định nghĩa, trình bày lời giải một bài toán

1.1.3 Các tư tưởng chủ đạo của quan điểm hoạt động

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, quan điểm HĐ trong PPDH được thể hiện ở những tư tưởng chủ đạo sau đây:

a Phát hiện những hoạt động t-ơng thích với nội dung

Một HĐ là t-ơng thích với một nội dung nếu nó gúp phần đem lại kết quả giúp chủ thể chiếm lĩnh hoặc vận dụng nội dung đó Từ “ kết quả” ở đây được hiểu là sự biến đổi, phát triển bên trong chủ thể, phân biệt với kết quả tạo ra ở môi tr-ờng bên ngoài

Chẳng hạn, để tìm định lý côsin trong tam giác (a2 = b2 + c2 - 2bcosA), GV

có thể đặt ra HĐ cho HS: “ từ đẳng thức vectơ BCACAB, hãy bình phương 2

vế để được kết quả mới” hoặc yêu cầu HĐ là “ độ dài a cần tìm và các độ dài b, c đã cho là độ dài của các vectơ, từ mối quan hệ giữa các vectơ đó hãy chuyển thành

đẳng thøc độ dài vectơ để t×m ra c¸ch chøng minh” hoặc “h·y chuyển hãa tõ đẳng thøc thøc độ dài thµnh đẳng thøc vectơ để t×m ra c¸ch chøng minh”

Việc ph¸t hiÖn nh÷ng H§ t-¬ng thÝch víi néi dung căn cứ mét phÇn quan träng vµo sù hiÓu biÕt vÒ nh÷ng H§ nhằm lĩnh hội nh÷ng dạng néi dung kh¸c nhau

Kh¸i niệm, định lý hay phương ph¸p, vÒ nh÷ng con đường kh¸c nhau để lĩnh hội tõng dạng néi dung, ch¼ng h¹n: con đường quy nạp hay suy diễn để x©y dùng kh¸i niệm, con đường thuần tóy suy diễn hay cã pha suy đo¸n để häc tËp định lý…

Trong việc ph¸t hiÖn nh÷ng H§ t-¬ng thÝch víi néi dung, ta cÇn chó ý xem xÐt nh÷ng dạng H§ kh¸c nhau trªn nh÷ng b×nh diện kh¸c nhau, nh÷ng dạng H§ sau đ©y cÇn được đặc biệt chó ý:

lặp lại nhiều lần trong SGK toán phổ thông Cho HS tập luyện những HĐ này sẽ làm cho họ nắm vững những nội dung toán học và phát triển những kĩ năng và năng lực Toán học t-ơng ứng

*) Hoạt động ngôn ngữ

Sau khi học định lý côsin, HS đã viết đ-ợc công thức tính cosA, cosB, cosC theo a, b, c, chúng ta yêu cầu HS phát biểu công thức đó bằng lời của mình

(*) Những hoạt động trí tuệ chung

Những HĐ trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, xét t-ơng tự, trừu t-ợng hóa, khái quát hóa, cũng được tiến hành th-ờng xuyên khi HS học tập môn toán

Ví dụ:

Từ bài toán: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

a) Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luôn có:

MA2 + MB2 +MC2 = 3MG2 + GA2+ GB2 + GC2 (1) b) Tìm tập hợp điểm M sao cho MA2 + MB2 +MC2 = k2, k là một số cho trước

Đây là bài toán trong SGK Hình học 10, phần lớn HS dễ dàng giải được bài toán này nhờ kiến thức vectơ Bằng các HĐ, GV h-ớng dẫn HS đặc biệt hóa bài toán trong các tr-ờng hợp sau ta sẽ có được bài toán mới:

Hoạt động 1: Đặc biệt hóa điểm M đối với công thức (1)

GV: Cho điểm M trùng với tâm O đ-ờng tròn ngoại tiếp ABC ta có kết quả nh- thế nào?

Mong đợi ở HS:

Kết quả: GA2+ GB2 + GC2 = 3(R2 - OG2)

GV: Từ đó hãy phát biểu bài toán mới

Bài toán: “ Gọi G và O lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp

ABC

Chứng minh rằng: GA2+ GB2 + GC2 = 3(R2 - OG2)”

Hoat động 2: Đặc biệt hóa điểm M để đại l-ợng T = MA2 + MB2 +MC2lớn nhất, nhỏ nhất

GV: Đại l-ợng T = MA 2 + MB 2 +MC 2 lớn nhất, nhỏ nhất khi nào?

Ta có MG2 = OM2 + OG2 - 2OM.OG.cos ( là góc giữa OM và OG,

G O) Suy ra:

+ MG lớn nhất khi và chỉ khi cos = -1   = 1800  M là giao điểm của tia GO với đường tròn (O)

+ MG bé nhất khi và chỉ khi cos = 1   = 00  M là giao điểm của tia OG với đường tròn (O)

-Tìm M trên một cạnh của tam giác ABC (chẳng hạn trên cạnh BC) để T

bé nhất?

M là hình chiếu của G lên BC

- Tìm M trên đ-ờng thẳng D bất kỳ để T bé nhất?

M là hình chiếu của G trên d

Hoạt động 3: Đặc biệt hóa tam giác ABC

GV: Cho ABC đều cạnh a, G là trọng tâm, khi đó với mọi điểm M công thức (1) viết lại nh- thế nào?

M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC nên MG = 3

3

a

Do đó:

MA2 + MB2 +MC2 = 2a2 = 6R2

Hoạt động 4: Khái quát hóa bài toán, giả thiết tam giác thành tứ giác

ABCD ta sẽ có các kết quả như thế nào?

- Nếu ta thay đổi giả thiết tam giác thành tứ giác ABCD ta sẽ có kết quả nh- thế nào?

- Hãy khái quát bài toán cho n điểm A 1 , A 2 , A 3 , , A n ?

Trong mặt phẳng cho hệ n điểm A1, A2, A3, , An:

a CMR tồn tại duy nhất điểm G thỏa mãn: GA1GA2   GAn 0

Điểm G được gọi là trọng tâm của hệ n điểm

b CMR với mọi điểm M ta luôn có:

(*) Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học

Những HĐ trí tuệ phổ biến trong toán học rất quan trọng trong môn toán, nhưng cũng diễn ra ở cả những môn học khác nữa, đó là: lật ngược vấn đề, xét tính giải được (có nghiệm, có nghiệm duy nhất, nhiều nghiệm), phân chia tr-ờng hợp,

Ví dụ: Hình thành định lý đảo của định lý Pitago

Đặt vấn đề: “ Trong tam giác vuông, bình ph-ơng cạnh huyền bẳng tổng bình ph-ơng của hai cạnh góc vuông‟‟

Vậy, ng-ợc lại “Nếu một tam giác có bình ph-ơng một cạnh bằng tổng bình ph-ơng của hai cạnh còn lại thì tam giác đó có phải là tam giác vuông không?‟‟

b Phân tích hoạt động thành những hoạt động thành phần:

Trong quá trình HĐ, nhiều khi một HĐ này có thể xuất hiện như một thành phần của một HĐ khác Phân tích được một HĐ thành những HĐ thành phần là biết được cách tiến hành HĐ toàn bộ, nhờ đó có thể vừa quan tâm rèn luyện cho HS HĐ toàn bộ, vừa chú ý cho học tập luyện tách riêng những HĐ thành phần khó hoặc quan trọng khi cần thiết

Ví dụ: Dạy học Định lý về ph-ơng tích của một điểm đối với một đ-ờng tròn

Định lý về ph-ơng tích của một điểm đối với một đ-ờng tròn đ-ợc phát

biểu nh- sau: Cho đ-ờng tròn (O; R) và một điểm M cố định Một đ-ờng thẳng

thay đổi đi qua M và cắt đ-ờng tròn tại hai điểm A và B, khi đó tích vô h-ớng

c Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích:

Nói chung, mỗi nội dung th-ờng tiềm tàng nhiều HĐ Tuy nhiên, nếu khuyến khích tất cả các HĐ nh- thế thì có thể sa làm cho HS thêm rối ren Để khắc phục tình trạng này, cần sàng lọc những HĐ đã phát hiện đ-ợc để tập trung vào một số mục đích nhất định Việc tập trung vào những mục đích nào đó căn

cứ vào tầm quan trọng của mục đích này đối với việc thực hiện những mục đích còn lại

d Tập trung vào những hoạt động toán học:

Trong khi lựa chọn HĐ, để đảm bảo sự t-ơng thích của HĐ đối với mục

đích dạy học, ta cần nắm đ-ợc chức năng mục đích và chức năng ph-ơng tiện của HĐ và mối liên hệ giữa hai chức năng này Trong môn toán, nhiều HĐ xuất

hiện tr-ớc hết nh- ph-ơng tiện để đạt đ-ợc những yêu cầu toán học: Kiến tạo tri

thức, rèn luyện kỹ năng toán học Một số trong những HĐ nh- thế nổi bật lên do tầm quan trọng của chúng trong toán học, trong các môn học khác cũng nh- trong thực tế và việc thực hiện thành thạo những HĐ này trở thành một trong

những mục đích dạy học Đối với những HĐ này ta cần phối hợp chức năng mục

đích và chức năng ph-ơng tiện theo công thức của Faust:

“Thực hiện chức năng mục đích của HĐ trong quá trình thực hiện chức năng ph-ơng tiện” [21, tr29]

e Động cơ hoạt động:

Việc học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo đòi hỏi HS phải có ý thức

về những mục đích đặt ra và tạo được động lực bên trong thúc đẩy bản thân họ HĐ

để đạt các mục đích đó Điều này được thực hiện trong dạy học không chỉ đơn giản Bằng việc nêu ra mục đích mà quan trọng hơn là do gợi động cơ

Gợi động cơ là làm cho HS có ý thức về ý nghĩa của những HĐ và của đối t-ợng HĐ Gợi động cơ nhằm làm cho những mục đích s- phạm biến thành những mục đích của cá nhân HS, chứ không phải chỉ là sự vào bài, đặt vấn đề một cách hình thức

Ở những lớp d-ới, thầy giáo th-ờng dùng những cách như cho điểm, khen chê, thông báo kết quả học tập cho gia đình để gợi động cơ Càng lên lớp cao cùng với sự tr-ởng thành của HS, với trình độ nhận thức và giác ngộ chính trị ngày càng được nâng cao, có những cách gợi động cơ xuất phát từ nội dung, h-ớng vào những nhu cầu nhận thức, nhu cầu của đời sống, trách nhiệm đối với xã hội ngày càng trở nên quan trọng

Gợi động cơ không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi lúc bắt đầu dạy một tri thức nào đó (th-ờng là một bài học), mà phải xuyên suốt quá trình dạy học Vì vậy, có thể phân biệt gợi động cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian và gợi động cơ kết thúc

i Gợi động cơ mở đầu:

Theo Pietzsch - 1980 (tr 5 - 7) Gợi động cơ mở đầu xuất phát từ thực tế hoặc từ nội bộ toán học Khi gợi động cơ xuất phát từ thực tế, có thể nêu lên:

- Thực tế gần gũi xung quanh HS

- Thực tế xây dựng rộng lớn (kinh tế, kỹ thuật, quốc phòng )

- Thực tế ở những môn học và khoa học khác

Trong việc gợi động cơ xuất phát từ thực tế, ta cần chú ý những điều kiện sau:

 Vấn đề đặt ra cần đảm bảo tính chân thực, đương nhiên có thể đơn giản hóa vì lý do s- phạm trong tr-ờng hợp cần thiết

 Việc nêu vấn đề không đòi hỏi quá nhiều tri thức bổ sung

 Con đường từ lúc nêu đến lúc GQVĐ càng ngắn càng tốt Việc xuất phát từ thực tế không những chỉ có tác dụng gợi động cơ mà còn giúp phần hoàn thành thế giới quan duy vật biện chứng Nhờ đó HS nhận ra việc nhận thức và cải tạo thế giới đã đòi hỏi phải suy nghĩ và giải quyết những vấn đề

về toán học như thế nào, tức là nhận ra toán học bắt nguồn từ những nhu cầu của đời sống thực tế Vì vậy, cần khai thác triệt để mọi khả năng để gợi động cơ xuất phát từ thực tế, đương nhiên phải chú ý các điều kiện đã nêu ở trên

Tuy nhiên, toán học phản ánh thực tế một cách toàn bộ và nhiều tầng, do

đó không phải bất cứ nội dung nào, HĐ nào cũng có thể được gợi động cơ xuất phát từ thực tế Vì vậy, ta còn cần tận dụng cả những khả năng gợi động cơ xuất phát từ nội bộ toán học

Gợi động cơ từ nội bộ toán học là nêu lên một vấn đề toán học xuất phát

từ nhu cầu toán học, từ việc xây dựng khoa học toán học, từ những phương thức

tư duy và HĐ toán học Gợi động cơ theo cách này là cần thiết vì hai lẽ:

Thứ nhất, như đã nêu ở trên, việc gợi động cơ từ thực tế không phải bao giờ cũng thực hiện được

Thứ hai, nhờ gợi động cơ từ nội bộ toán học, HS hình dung được đúng sự hình thành và phát triển của toán học cùng với đặc điểm của nó và có thể dần dần tiến tới HĐ toán học một cách độc lập

Thông th-ờng khi bắt đầu một nội dung lớn, chẳng hạn một phân môn hay một chương, ta nên cố gắng gợi động cơ xuất phát từ thực tế Còn đối với từng bài hay từng phần của bài thì cần tính tới những khả năng gợi động cơ từ nội bộ toán học mà những cách thông th-ờng là:

(i) Đáp ứng nhu cầu xoá bỏ một sự hạn chế

Ví dụ:

Trong hình học phẳng ta có bài toán: Cho hai điểm A, B Quỹ tích những điểm M sao cho 2 2 2

MA  MB  k là đường tròn tâm O, trung điểm của AB, và bán kính là OM = 1 2 2

2k a

Trong không gian kết quả bài toán trên sẽ như thế nào?

(ii) H-ớng tới sự tiện lợi, hợp lí hoá công việc

Ví dụ:

Lập quy trình các bước tính khoảng cách cho hai đường thẳng chéo nhau Sau đó cho một hệ toạ độ nào đó trong không gian rồi tiến tới chuyển giao quy trình này cho máy tính

(iii) Chính xác hoá một khái niệm

Có những khái niệm mà HS đó biết nhưng trước kia chưa thể có định nghĩa chính xác; đến một thời điểm nào đó có đủ điều kiện thì thầy giáo gợi lại vấn đề và giúp HS chính xác hoá khái niệm đó

Ví dụ:

Trong Vật lý, những đại l-ợng như vận tốc, gia tốc, lực, được gọi là đại l-ợng có h-ớng Để xác định các đại l-ợng đó, ngoài cường độ của chúng, ta còn phải biết h-ớng của chúng nữa Các đại l-ợng có h-ớng đó là gì? Chúng có tính chất như thế nào? HS cũng mới chỉ hiểu một cách trực quan thông qua các hình

vẽ vật lí

(iv) H-ớng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống

Ở cấp 2 ta chỉ xét các hệ thức l-ợng trong tam giác vuông Vấn đề đặt ra

là trong tam giác bất kì ta có những hệ thức l-ợng nào? Từ đó dẫn tới hai định lí

cơ bản trong tam giác là định lí côsin và định lí sin

(v) Lật ng-ợc vấn đề

Sau khi chứng minh được một định lý, ta th-ờng đặt câu hỏi là liệu mệnh

đề đảo của định lý đó có đúng không?

Ví dụ: Sau khi học định lí Ta-let: “ Ba mặt phẳng đôi một song song chắn

ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng t-ơng ứng tỉ lệ” Một câu hỏi tự nhiên

đặt ra cho HS là hãy phát biểu mệnh đề đảo của định lí? Liệu nó có đúng không?

Từ đú dẫn đến định lí Ta-let đảo

(vi) Xét t-ơng tự

Chẳng hạn, để gợi động cơ cho việc phát hiện và chứng minh định lý “ Nếu

G là trọng tâm ABC của thì với mọi điểm O bất kỳ ta có:

OCOBOA

“Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm O bất kỳ ta

đều có: 2OMOAOB Bây giờ nếu G là trọng tâm của ABC, ta hãy phát hiện xem có đẳng thức véctơ nào t-ơng tự hay không?”

(vii) Khái quát hoá

Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối t-ợng đã cho

đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu [21, tr 21]

GA “, thầy giáo nên đặt vấn đề để HS phát hiện và chứng minh

đẳng thức vectơ đặc tr-ng cho trọng tâm của hệ n điểm trong mặt phẳng

(viii) Tìm mối liên hệ phụ thuộc giữa các đại l-ợng, yếu tố

Ví dụ:

Đặt vấn đề xột xem vị trí t-ơng đối giữa mặt cầu và mặt phẳng phụ thuộc vào yếu tố nào?

ii Gợi động cơ trung gian:

Gợi động cơ trung gian là gợi động cơ cho những bước trung gian hoặc cho những HĐ tiến hành trong những bước đó để đi đến mục đích Gợi động cơ trung gian có ý nghĩa to lớn đối với sự phát triển năng lực độc lập giải quyết vấn

H-ớng đích là làm sao cho đối với tất cả những gì HS nói và làm, họ đều biết rằng những cái đó nhằm mục đích gì và trong quá trình tìm hiểu và mô tả con đ-ờng đi tới đích, họ luôn luôn biết h-ớng tới những quyết định và HĐ của mình vào mục đích đã đặt ra

Ví dụ:

Chứng minh rằng nếu G và G' lần l-ợt là trọng tâm tam giác ABC và A'B'C' thì 3GG' AA'BB'CC'

GV có thể gợi động cơ và h-ớng đích cho HS nh- sau:

- Hãy chuyển giả thiết của bài toán sang ngôn ngữ véctơ và ghi giả thiết, kết luận của bài toán:

Giả thiết: GAGBGC0

G'A'G'B'G'C'0Kết luận: 3GG'AA'BB'CC'

(ii) Quy lạ về quen

Ví dụ:

Tìm quỹ tích những điểm M có cùng ph-ơng tích đối với 2 đ-ờng tròn (O; R) và (O'; R')

Bằng cách sử dụng định nghĩa ph-ơng tích của một điểm đối với một

đ-ờng tròn trên ta đi đến đẳng thức: MO2 - MO'2 = R2 - R'2

'(

2 R2 R2 OO2

= k' (k' là hằng số)

Nh- vậy quỹ tích điểm M thoả mãn đề bài đ-ợc quy về bài toán quen thuộc hơn, đơn giản hơn: Tìm quỹ tích những điểm M sao cho MI2 = k', k' là số cho tr-ớc, I là điểm cố định

(iii) Xét t-ơng tự

Ví dụ:

Giả sử HS đã giải bài toán: “Cho tam giác ABC với trọng tâm G Chứng

minh rằng với điểm O bất kỳ ta có: ( )

3

1

C O B O A O G

.

G A A O G

Phát triển ví dụ ở mục (ii), khi HS giải bài toán tổng quát đối với trọng

tâm G của một hệ n điểm A1; A2; ;An trong mặt phẳng, có thể đặt vấn đề để họ khái quát hoá cách làm trong tr-ờng hợp tam giác, tứ giác, phân tích vectơ O G





.

G A A O G

Khi giải bài toán quỹ tích th-ờng phải phân chia ra các tr-ờng hợp đối với các yếu tố thay đổi, đặt vấn đề ứng với mỗi tr-ờng hợp sẽ cho các kết quả như thế nào về qũy tích cần tìm

iii Gợi động cơ kết thúc:

Nhiều khi, ngay từ đầu hoặc trong khi GQVĐ ta chưa thể làm rõ hoặc làm cho HS hoàn toàn rõ tại sao lại học nội dung này, tại sao lại thực hiện nội dung kia Những câu hỏi này phải đợi mãi về sau mới được giải đáp hoặc giải đáp trọn vẹn Như vậy là ta đã gợi động cơ kết thúc, nhấn mạnh hiệu quả của nội dung hoặc HĐ đó đối với việc GQVĐ đặt ra

Gợi động cơ kết thúc cũng có tác dụng nâng cao tính tự giác trong HĐ học tập nh- các cách gợi động cơ khác Mặc dầu nó có tác dụng kích thích đối với nội dung đã qua hoặc hoạt động đó thực hiện, nhưng nó góp phần gợi động cơ thúc đẩy hoạt động học tập nói chung và nhiều khi việc gợi động cơ kết thúc ở tr-ờng hợp này lại là sự chuẩn bị gợi động cơ mở đầu cho những tr-ờng hợp t-ơng tự sau này

Ví dụ: Thông qua gợi động cơ ban đầu HS nắm đ-ợc cách tự hình thành

khái niệm, cách h-ớng đích, hình thành phát hiện định lý, định h-ớng giải các bài toán Cách gợi động cơ trung gian, gợi động cơ kết thúc nhằm dạy cách tự suy nghĩ giải quyết vấn đề và phát triển các kiến thức Toán học Chẳng hạn, để dạy cho HS hình thành định lí sin trong tam giác, tr-ớc hết GV h-ớng cho HS từ

ABC vuông ở A, BC = a, CA = b, AB = c và cho HS biểu diễn sinA, sinB, sinC theo a,b,c Rồi cho BC = a = 2R để HS đi đến a = b = c = 2R

sinA sinB sinC Tiếp

theo, GV cho HS giải t-ơng tự đối với ABC đều Cuối cùng dự đoán phát biểu cho tr-ờng hợp ABC bất kỳ và h-ớng dẫn HS chứng minh bằng cách gợi động cơ tạo mối liên hệ giữa tam giác đã cho và một tam giác vuông ràng buộc 2 tam giác cùng nội tiếp trong một đ-ờng tròn bán kính R

cho HS học tập chính là một mâu thuẫn giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với kiến thức và kinh nghiệm sẵn có

1.2.1.2 Cơ sở tâm lý học:

Theo các nhà tâm lý học, con ng-ời chỉ bắt đầu t- duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu, tư duy tức là khi đứng tr-ớc một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục, một tình huống gợi vấn đề, hay nói như X.L Rubin Stein: “ Tư duy

sáng tạo luôn luôn bắt đầu từ một tình huống gợi vấn đề”

1.2.1.3 Cơ sở giáo dục học:

Dạy học PH và GQVĐ phù hợp với nguyên tắc tích cực tự giác và tích cực vì nó khơi gợi cho hoạt động, học tập mà chủ thể đ-ợc h-ớng đích, gợi động cơ trong quá trình PH và GQVĐ

Dạy học PH và GQVĐ cũng biểu hiện sự thống nhất giữa kiến tạo tri thức, phát triển năng lực trí tuệ và bồi dưỡng phẩm chất Những trí tuệ mới (đối với HS) được kiến tạo nhờ quá trình PH và GQVĐ Tác dụng phát triển năng lực trí tuệ của kiểu dạy học này là ở chỗ HS học được cách khám phá tức là rèn luyện cho họ cách thức phát hiện, tiếp cận và GQVĐ một cách khoa học Đồng thời, dạy học PH và GQVĐ cũng góp phần bồi d-ỡng cho ng-ời học những đức tính cần thiết của ng-ời lao động sáng tạo nh- tính chủ động, tích cực, tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch và thói quen tự kiểm tra

1.1.2 Những khái niệm cơ bản của dạy học PH và GQVĐ

thể, trong đó chủ thể có thể là ng-ời, còn khách thể lại là một hệ thống nào đó

Nếu trong một tình huống, chủ thể còn ch-a biết ít nhất một phần tử của

khách thể thì tình huống này đ-ợc gọi là một tình huống bài toán đối với chủ

thể

Trong một tình huống bài toán, nếu tr-ớc chủ thể đặt ra mục đích tìm phần tử ch-a biết nào đó dựa vào những phần tử cho tr-ớc trong khách thể thì ta

có một bài toán

Một bài toán đ-ợc gọi là vấn đề nếu chủ thể ch-a biết một thuật giải nào

có thể áp dụng để tìm ra phần tử ch-a biết của bài toán

b Tình huống gợi vấn đề

Tình huống gợi vấn đề còn gọi tình huống vấn đề, là một tình huống gợi ra cho HS những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nh-ng không phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đối t-ợng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có

Như vậy, một tình huống có vấn đề cần thỏa mãn các điều kiện sau:

- Tồn tại một vấn đề: Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với trình độ nhận thức, chủ thể phải nhận thức đ-ợc một khó khăn trong t- duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có ch-a đủ để vượt qua

- Nhu cầu nhận thức: Nếu tình huống có một vấn đề nh-ng HS thấy nó xa lạ không muốn tìm hiểu thì đây ch-a phải là một tình huống gợi vấn đề

Tình huống gợi vấn đề phải phản ánh đ-ợc tâm trạng ngạc nhiên của HS khi nhận ra mâu thuẫn nhận thức, khi động chạm tới vấn đề, HS phải cảm thấy cần thiết, thấy có nhu cầu giải quyết vấn đề đó

- Gây niềm tin ở khả năng:

Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề tuy hấp dẫn, nhưng HS cảm thấy xa lạ không muốn tìm hiểu thì đây cũng chưa phải là một tình huống có vấn

đề Trong tình huống có vấn đề, HS phải cảm thấy cần thiết, thấy có nhu cầu giải quyết vấn đề đó

1.2.3 Dạy học PH và GQVĐ

Trong DH GQVĐ, GV tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển HS phát hiện vấn đề, HĐ tự giác và tích cực để giải quyết vấn đề và thông qua đó mà lĩnh hội tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt đ-ợc những mục đích học tập khác

Có thể sơ đồ hoá quá trình dạy học giải quyết vấn đề nh- sau:

t h

Trong dạy học PH và GQVĐ, thầy giáo tạo ra những tình huống gợi vấn

đề, điều khiển HS phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực chủ động và sáng tạo để giải quyết vấn đề và thông qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng

và đạt được những mục đích học tập khác

Dạy học PH và GQVĐ có những đặc điểm sau đây:

- HS được đặt vào một tình huống gợi vấn đề chứ không phải là được thông báo tri thức d-ới dạng có sẵn

- HS hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, cật lực huy động tri thức và khả năng của mình để PH và GQVĐ chứ không phải chỉ nghe thầy giảng một cách thụ động

- Mục đích dạy học không phải chỉ là làm cho HS lĩnh hội được kết quả của quá trình PH và GQVĐ mà còn ở chỗ làm cho họ phát triển khả năng tiến hành những quá trình nh- vậy Nói cách khác, HS được học bản thân việc học

1.2.4 Những hình thức và cấp độ dạy học PH và GQVĐ

Tùy theo mức độ độc lập của HS trong quá trình GQVĐ mà ng-ời ta nói tới các cấp độ khác nhau, cũng đồng thời là những hình thức khác nhau của dạy học PH và GQVĐ Có nhiều cách phân chia, chẳng hạn theo Giáo sư Nguyễn Bá Kim thì có các hình thức sau đây:

- Tự nghiên cứu vấn đề

Trong hình thức nghiên cứu, tính độc lập của ng-ời học đ-ợc phát huy cao

độ Thầy giáo chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, HS tự PH và GQVĐ đó Thầy giáo giúp HS cùng lắm là ở khâu phát hiện vấn đề Nh- vậy, trong hình thức này, ng-ời học độc lập nghiên cứu vấn đề và thực hiện tất cả các khâu cơ bản của quá trình nghiên cứu này, nhờ đó chuẩn bị cho HS năng lực giải quyết các vấn đề một cách trọn vẹn

- Vấn đáp PH và GQVĐ

Trong vấn đáp PH và GQVĐ, HS làm việc không hoàn toàn độc lập mà có

sự gợi ý, dẫn dắt của thầy khi cần thiết Phương tiện để thực hiện hình thức này

là những câu hỏi của thầy và những câu trả lời hoặc hành động đáp lại của trò Nh- vậy có sự đan kết, thay đổi HĐ của thầy và trò d-ới hình thức vấn đáp

Với hình thức này ta thấy dạy học PH và GQVĐ có phần giống với phương pháp vấn đáp Tuy nhiên hai cách dạy học này không đồng nhất với nhau Nét quan trọng của dạy học PH và GQVĐ không phải là những câu hỏi mà

là những tình huống gợi vấn đề Trong một giờ học nào đó, thầy giáo có thể đặt nhiều câu hỏi, nh-ng những câu hỏi này chỉ đòi hỏi tái hiện tri thức đã học thì giờ học đó vẫn không phải là dạy học GQVĐ Ngược lại trong một số tr-ờng hợp, việc PH và GQVĐ của học sinh có thể diễn ra chủ yếu là nhờ tình huống gợi vấn đề chứ không phải là nhờ những câu hỏi mà thầy đặt ra

- Thuyết trình PH và GQVĐ

Ở hình thức này, mức độ độc lập của học sinh thấp hơn ở hai hình thức trên Thầy giáo tạo ra tình huống gợi vấn đề, sau đó chính bản thân thầy phát hiện vấn đề và trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết (chứ không phải chỉ đơn thuần nêu lời giải) Trong quá trình đó có việc tìm tòi, dự đoán, có lúc thành

công, có khi thất bại, phải điều chỉnh phương h-ớng mới đi đến kết quả Như vậy tri thức được trình bày không phải d-ới dạng có sẵn mà là trong quá trình ng-ời ta khám phá ra chúng, quá trình này là một sự mô phỏng và rút gọn quá trình khám phá thực sự Cấp độ này được dùng nhiều hơn ở những lớp trên: trung học phổ thông, đại học

1.2.5 Hoạt động PH và GQVĐ

Hoạt động PH và GQVĐ là hoạt động nhận thức vừa bao gồm HĐ phát hiện và hoạt động GQVĐ (GQVĐ là HĐ nhận thức phức tạp, để GQVĐ chủ thể tr-ớc hết phải có lòng ham muốn GQVĐ, có mục tiêu và niềm tin thực hiện được mục tiêu đó, đồng thời biết huy động các năng lực trí tuệ: trí nhớ, tri giác, khái niệm, suy luận, tham gia tích cực và HĐ GQVĐ GQVĐ vừa là quá trình, vừa là quy trình, vừa là ph-ơng tiện để cá nhân sử dụng các kiến thức, kỹ năng, kinh nghiệm đó có để giải quyết một tình huống có vấn đề mà cá nhân có nhu cầu

Thực hiện PH và GQVĐ bao gồm các bước sau:

+ B-ớc 1: Phát hiện vấn đề

- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề

- Giải thích và chính xác hóa tình huống để hiểu đúng vấn đề đặt ra

- Phát biểu vấn đề và đặt mục đích GQVĐ đó

+ B-ớc 2: Tìm giải pháp Th-ờng đ-ợc thực hiện theo sơ đồ sau:

+ Bước 3: Trình bày giải pháp + Bước 4: Nghiên cứu sau giải pháp

- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng của giải pháp

- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan và GQVĐ nếu có thể

1.2.6 Những cách thông dụng để gợi vấn đề

Để thực hiện dạy học PH và GQVĐ, điểm xuất phát là tạo ra tình huống gợi vấn đề Một số GV nghĩ rằng dạy học PH và GQVĐ tuy hay nh-ng có vẻ ít

cơ hội thực hiện do khó tạo ra được nhiều tình huống gợi vấn đề Để xóa bỏ ấn t-ợng không đúng đó, có thể nêu lên một số tình huống gợi vấn đề rất phổ biến Chẳng hạn, có thể tạo ra những tình huống gợi vấn đề theo các cách thông dụng như sau:

(i) Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm (tính toán, đo đạc, )

Ví dụ: Từ định nghĩa hình bình hành, HS mới chỉ biết đ-ợc rằng các cạnh

đối của hình bình hành song song với nhau, nhìn vào hình vẽ hình bình hành bằng mắt th-ờng và có thể bằng đo đạc, kiểm chứng, họ còn thấy rằng các cạnh

Bắt đầu

PT vấn đề

Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết

Hình thành giải pháp

Giải pháp đúng

đối của hình bình hành cũng bằng nhau Từ đó, gợi ra vấn đề: Phải chăng trong một hình bình hành, các cạnh đối luôn luôn bằng nhau

(ii) Lật ngược vấn đề

Ví dụ: Sau khi HS đã học định lý Pitago: Trong một tam giác vuông, bình ph-ơng cạnh huyền bằng tổng bình ph-ơng hai cạnh góc vuông, có thể lật ng-ợc vấn đề: Nếu trong một tam giác mà bình ph-ơng một cạnh bằng tổng các bình ph-ơng của hai cạnh kia thì tam giác đó có phải là một tam giác vuông hay không?

(iii) Xem xét t-ơng tự

Ví dụ: Từ điều đã biết là “ Tổng các góc trong một tam giác bằng 1800 hay 2v có thể suy ra điều gì về tổng các góc trong của một tứ giác? Tổng các góc trong của một tam giác luôn bằng một hằng số, vậy tổng các góc trong của một

tứ giác (lồi) có phải là một hằng số hay không?

(iv) Khái quát hóa

Ví dụ: Khái quát các tr-ờng hợp tam giác và tứ giác, có thể gợi ra vấn đề

“Tổng các góc trong của một đa giác (lồi) có phải là một hằng số hay không?”

(v) Giải bài tập mà ng-ời học ch-a biết thuật giải

) 375

Vấn đề chính là ở chỗ ta ch-a biết côsin của cung 150

bằng bao nhiêu? Nh-ng nhận xét rằng 150 = 600 - 450 = 450 - 300, tức là góc cần tính đ-ợc biểu diễn qua hiệu hai góc đặc biệt (hai góc đã biết giá trị l-ợng giác)

Điều đó có nghĩa là nếu ta xây dựng đ-ợc công thức biểu diễn cos150 qua giá trị của các góc 600; 450; 300 thì bài toán đ-ợc giải quyết

Từ đó GV khái quát hoá:

Biết giá trị l-ợng giác của các cung a và b Dùng công thức gì để tính các giá trị l-ợng giác của các cung a + b và a - b?

(vi) Tìm sai lầm trong lời giải

GV đưa ra một lời giải (có thật hay h- cấu) để HS phát hiện sai lầm cũng tạo ra một tình huống gợi vấn đề

(vii) Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm

Sau khi thấy được một sai lầm khi giải toán, HS cũng được đặt vào một tình huống gợi vấn đề với nhiệm vụ mới là phát hiện nguyên nhân và sửa chữa sai lầm

TH2: Góc C tù => cosC = -12

13nên AB2 = 2AC2 - 2AC2 cosC => AC2 = 26 vậy ABC 1 2

2

1.3.1 Dạy học khái niệm

a/ Vị trí và yêu cầu của dạy học khái niệm Toán học

Trong môn Toán, việc dạy học các khái niệm Toán học có một vị trí quan trọng hàng đầu Việc hình thành một hệ thống các khái niệm Toán học là nền tảng của toàn bộ kiến thức toán, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, đồng thời có tác dụng góp phần phát triển năng lực, trí tuệ và thế giới quan duy vật biện chứng cho HS Thực tiễn dạy học cho thấy, HS không giải đ-ợc bài tập phần lớn là do không hiểu khái niệm toán học tiềm ẩn trong câu hỏi của đề toán

Việc dạy học các khái niệm Toán học ở tr-ờng THPT nhằm giúp HS dần dần đạt đ-ợc các yêu cầu sau:

- Hiểu đ-ợc các tính chất đặc tr-ng của khái niệm đó

- Biết nhận dạng khái niệm

- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của khái niệm

- Biết vận dụng khái niểm trong những tình huống cụ thể trong HĐ giải toán cũng nh- HĐ thực tiễn

- Hiểu đ-ợc mối quan hệ của khái niệm với các khái niệm khác trong một thống khái niệm

b/ Các con đ-ờng hình thành khái niệm

*) Con đ-ờng quy nạp

Theo con đ-ờng này, xuất phát từ một số tr-ờng hợp cụ thể (chẳng hạn nh- m” hình, hình vẽ, ví dụ cụ thể ), bằng cách trừu t-ợng hoá và khái quát hoá, phân tích, so sánh GV dẫn dắt HS tìm ra dấu hiệu đặc tr-ng của khái niệm

Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đ-ờng này th-ờng diễn ra nh- sau:

- GV đ-a ra một khái niệm cụ thể để HS thấy sự tồn tại của một loạt đối t-ợng nào đó

- GV dẫn dắt HS phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối t-ợng đang đ-ợc xem xét.(Có thể có cả những đối t-ợng không có những

*) Con đ-ờng suy diễn

Trong đó, việc định nghĩa khái niệm mới xuất phát từ định nghĩa từ khái niệm cũ mà HS đã biết

Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đ-ờng này th-ờng diễn ra nh- sau:

- Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó một số đặc điểm mà ta quan tâm

- Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những cùng với những khái niệm hạn chế một số bộ phận trong khái niệm tổng quát đó

- Đ-a ra ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa đ-ợc định nghĩa

Về hình thành khái niệm mới bằng con đ-ờng suy diễn (có minh họa sự tồn tại của khái niệm thông qua ví dụ) tiềm tàng khả năng phát huy tính chủ

động và sáng tạo của HS trong học tập môn Toán, tiết kiệm thời gian Tuy nhiên, con đ-ờng này hạn chế phát triển năng lực trí tuệ chung nh- phân tích, tổng hợp,

so sánh

*) Dạy học khái niệm theo con đường kiến thiết

Trong khi con đ-ờng quy nạp và con đ-ờng suy diễn đ-ợc trình bày nhiều trong cách sách báo, tài liệu về tâm lý học và giáo dục học thì con đ-ờng kiến thiết mới chỉ đ-ợc đề cập trong những bài giảing của Pietzsch Nội dung mục này đ-ợc trình bày dựa theo tài liệu của ông (xem Pietzsch 1980, tr 14 - 15)

Con đ-ờng tiếp cận một khái niệm theo con đ-ờng kiến thiết th-ờng diễn

ra nh- sau:

(i) Xây dựng một hay nhiều đối t-ợng đại diện cho khái niệm cần được hình thành h-ớng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ toán học hay từ thực tiễn;

(ii) Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối t-ợng đại diện, đi tới đặc

điểm đặc tr-ng cho khái niệm cần hình thành

(iii) Phát triển định nghĩa đ-ợc gợi ý do kết quả b-ớc (ii)

Con đ-ờng này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn suy diễn Yếu tố suy diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu tổng quát về xây dựng một hay nhiều đối t-ợng đại diện cho khái niệm cần hình thành Yếu tố quy nạp thể hiện

ở chỗ khái quát hóa quá trình xây dựng những đối t-ợng đại diện riêng lẻ đi đến

đặc điểm tổng quát đặc tr-ng cho khái niệm cần định nghĩa

c/ Các hoạt động dạy học khái niệm

- HĐ định nghĩa khái niệm

d/ Trình tự dạy học khái niệm

- HĐ1: là HĐ dẫn vào khái niệm, giúp HS tiếp cận khái niệm, có thể thực hiện đ-ợc bằng cách thông qua một ví dụ, hoặc một hiện t-ợng có trong thực tiễn,

- HĐ2: là HĐ hình thành khái niệm, giúp HS có đ-ợc khái niệm, có thể thực hiện đ-ợc bằng cách khái quát hoá

- HĐ3: là HĐ củng cố khái niệm thông qua các HĐ nhận dạng và thể hiện khái niệm; khắc sâu kiến thức thông qua ví dụ và phản ví dụ

- HĐ4: B-ớc đầu vận dụng khái niệm trong bài tập đơn giản

- HĐ5: Vận dụng khái niệm trong bài tập tổng hợp

Thông qua các HĐ này, chú ý thể hiện đ-ợc các yêu cầu của dạy học khái niệm đã nêu ở trên

Ví dụ 1: Dạy học khái niệm véctơ

Khi dạy học khái niệm véctơ, điều đầu tiên chúng ta phải cho HS thấy

đ-ợc đại l-ợng “ có h-ớng” là rất cần thiết, nói một cách khác, thầy cần hình thành biểu t-ợng về khái niệm véctơ để gợi cho HS nhu cầu nhận thức khái niệm mới này Có thể liên hệ đến vật lý để nói đến các đại l-ợng vô h-ớng và đại l-ợng có h-ớng

Chẳng hạn, có thể gợi động cơ xuất phát từ thực tế sau:

“Nếu chỉ biết một tàu thuỷ chạy thẳng đều với vận tốc 25 hải lý một giờ (đại l-ợng vô h-ớng) mà không nói rõ nó chạy theo h-ớng nào thì ta không thể biết sau 3 giờ nữa nó sẽ ở vị trí nào trên mặt biển Do đó ta phải biểu thị vận tốc của tàu thuỷ bằng một mũi tên để chỉ h-ớng của chuyển động Nh- vậy, các đại l-ợng có h-ớng th-ờng đ-ợc biểu thị bằng những mũi tên “" và gọi là những véctơ Vậy véctơ là gì ?”

Tiếp theo, thầy giáo có thể dẫn dắt HS nh- sau:

Giả sử ta có đoạn thẳng AB

Nếu thêm dấu “” vào điểm B thì ta có véctơ mà điểm đầu là A và điểm cuối là B, gọi là “véctơ AB”

Ng-ợc lại, nếu thêm dấu “” vào điểm A thì ta đ-ợc véctơ mà điểm đầu

là B và điểm cuối là A, gọi là “ véctơ BA”

Để giúp HS tiến hành các HĐ phân tích, so sánh, đối chiếu lựa chọn những đối t-ợng có dấu hiệu bản chất của khái niệm véctơ thầy dẫn dắt HS:

- Vậy véctơ là gì ?

- Hãy cho biết điểm khác nhau giữa véctơ và đoạn thẳng ? (Qua đó GV nhấn mạnh điểm khác nhau cơ bản giữa véctơ và đoạn thẳng, đó là một đại l-ợng vô h-ớng và đại l-ợng có h-ớng)

- Với 2 điểm A và B phân biệt thì ta có đoạn thẳng nào ? Véctơ nào?

- Hãy phát biểu định nghĩa véctơ

Khi HS đã đ-a ra định nghĩa véctơ, thầy giáo cũng nên nhận xét câu trả lời của HS và “ chốt” lại:

Nh- vậy: “Véctơ là một đoạn thẳng có h-ớng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối; Với 2

điểm A và B phân biệt thì ta có hai véctơ khác nhau là AB và BA Đặc biệt, nếu

A và B trùng nhau thì ta có véctơ AA hoặc BB gọi là véctơ không”

Nhìn một cách khái quát ta thấy tình huống nêu trên là sự thể hiện của một tình huống điển hình khi dạy học véctơ, đó là khám phá định nghĩa véctơ Các thành phần của tình huống này có thể chỉ ra là:

- Tình huống đ-ợc xây dựng để dạy khái niệm véctơ

- Tình huống đ-ợc đ-a ra từ việc gợi động cơ từ thực tế (Liên hệ với môn vật lý)

- Tình huống nhằm giúp HS thấy đ-ợc sự tất yếu phải có định nghĩa véctơ, giúp HS nắm vững định nghĩa khái niệm véctơ, đây là một trong những mục đích chủ yếu khi dạy chủ đề véctơ

- HĐ toán học của HS trong tình huống là HĐ phân tích, tìm tòi các dấu hiệu bản chất đi đến định nghĩa khái niệm véctơ

Ví dụ 2: Dạy học định nghĩa hai véctơ bằng nhau

Sau khi HS đã hiểu thế nào là hai véctơ cùng ph-ơng, cùng h-ớng, thế nào

là độ dài của véctơ, để đi đến định nghĩa hai véctơ bằng nhau chúng ta có thể đi theo cách sau:

Xuất phát từ hình bình hành ABCD, thầy giáo có thể gợi động cơ hình thành khái niệm nh- sau:

- Hai véctơ AB và CD có cùng độ dài nh-ng liệu chúng ta có thể nói rằng hai véctơ này bằng nhau và viết AB = CD đ-ợc không ?

- Còn đối với hai véctơ AB và DC thì sao ? có nhận xét gì về độ dài và h-ớng của chúng ?

B

C

HS dễ dàng phân tích và rút ra đ-ợc:

- Hai véctơ AB và CD có cùng độ dài nh-ng không cùng h-ớng

- Hai véctơ AB và DC có cùng độ dài, cùng h-ớng

Sau đó, thầy ‟„chốt‟„ lại:

“Hai véctơ AB và DC có cùng h-ớng và cùng độ dài, khi đó ta viết AB =

DC ” Và nêu câu hỏi:

- Vậy thế nào là hai véctơ bằng nhau ? Khi HS đã thực hiện xong HĐ ngôn ngữ (phát biểu chính xác định nghĩa hai véctơ bằng nhau), thầy giáo có thể tổ chức cho HS HĐ nhận dạng và thể hiện khái niệm đó nh- sau:

HĐ 1: (HĐ nhận dạng)

Cho 4 điểm A, B, C, D thẳng hàng, AB = CD = 2cm

- Hãy chỉ ra các véctơ bằng nhau mà có điểm đầu là các điểm A, B, C, D Từ câu trả lời của HS, thầy l-u ý HS, cấu trúc “hội” của định nghĩa hai véctơ bằng nhau (Hai véctơ phải thoả mãn đồng thời 2 điều kiện: Cùng h-ớng, cùng độ dài)

HĐ 2: (HĐ thể hiện khái niệm)

- Cho véctơ a và một điểm O bất kỳ không nằm trên đ-ờng thẳng chứa a Hãy xác định vị trí của điểm A sao cho OA = a Có bao nhiêu điểm A nh- vậy?

Thầy giáo có thể phân bậc HĐ thông qua những gợi ý sau:

- Vì sao điểm A duy nhất ? (Do đ-ờng thẳng vẽ qua O song song với

đ-ờng thẳng chứa a là duy nhất, đồng thời OA cùng h-ớng, cùng độ dài với

Ta muốn định nghĩa chẳng hạn 3-4 Để đảm bảo phép nâng lên lũy thừa mới này cũng có các tính chất cơ bản của các lũy thừa với số mũ tự nhiên, chẳng hạn am.an = am+n, ta cần có:

m

a a

a a

Việc dạy các định lý toán học cần đạt các yêu cầu:

- Nắm được nội dung các định lý và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó

có khả năng vận dụng các định lý vào HĐ giải toán, cũng như vào các HĐ ứng dụng khác

- Làm cho HS thấy được sự cần thiết phải chứng minh chặt chẽ, suy luận chính xác (tuy nhiên phù hợp với nhận thức của HS THPT)

- Phát triển năng lực chứng minh toán học

b/ Các con đường dạy học định lý

Theo Nguyễn Bá Kim, việc dạy học định lý toán học (trong đó có định lý hình học) đ-ợc thực hiện theo một trong hai con đường sau:

- Con đường suy diễn

- Con đường có khâu suy đoán

Việc lựa chọn con đường nào kh«ng phải lµ tuú tiÖn, mà phô thuộc vµo néi dung định lý vµ điều kiÖn cụ thÓ vÒ HS

1.3.2.1 D¹y học định lý theo con đường cã kh©u suy đo¸n

Theo con đường nµy, để d¹y học mét định lý chóng ta th-êng đi theo c¸c bước sau:

1/ Gîi động cơ học tËp định lý xuÊt ph¸t tõ mét nhu cÇu nảy sinh trong thùc tiễn hoặc trong néi bộ to¸n học

2/ Dự đo¸n hoÆc ph¸t biểu mét định lý

3/ Chøng minh định lý

4/ Vận dụng định lý vừa t×m được để gi¶i quyÕt, khÐp kÝn vÊn đề đặt ra khi gîi động cơ

5/ Cñng cố định lý

1.3.2.2 D¹y học định lý theo con đường suy diễn

Theo con đường nµy, để d¹y học mét định lý chóng ta th-êng đi theo c¸c bước sau:

1/ Gîi động cơ häc tËp như ở con đường thø nhÊt

2/ XuÊt ph¸t tõ nh÷ng tri thøc to¸n học đã biÕt, dïng suy diễn logic dẫn đến định lý

c/ C¸c HĐ d¹y học định lý

i/ HĐ chøng minh định lý

Dựa vµo c¸c quan điểm chñ đạo cña quan điểm HĐ, cÇn chó ý gi¶i quyÕt c¸c vÊn đề sau:

- Gợi động cơ chứng minh

- Rèn luyện cho HS những HĐ thành phần trong chứng minh

- Truyền thụ những tri thức phương pháp về chứng minh

- Các HĐ khác nh-: khái quát hoá, đặc biệt hoá, hệ thống hoá và kỹ thuật vận dụng định lý trong khi giải bài tập

Có thể gợi động cơ h-ớng đích và mở đầu như sau:

Một ng-ời đứng ở vị trớ C muốn đo khoảng cách từ A đến B nh-ng không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy Có cách nào xác định được khoảng cách AB không? nếu từ C ng-ời đó nhìn được A và B, độ dài AC, BC biết trước

Nội dung định lý giúp chúng ta trả lời câu hỏi đó

HĐ1: Cho tam giác ABC vuông ở C, AB = c, AC = b, BC = a

H·y ph¸t biểu hệ thøc liªn hệ gi÷a 3 cạnh a, b, c ? HĐ2: Khi gãc C tï, h·y dự đo¸n hệ thøc liªn hệ gi÷a 3 cạnh a, b, c?

HĐ3: (Dẫn dắt HS suy đo¸n định lý)

GV: Yªu cÇu HS thùc hiÖn c¸c thao t¸c sau:

H·y kẻ đường cao AH cña tam gi¸c ABC

H·y tÝnh AB theo HA, HB

HS: c2 = AB2 = HA2 + HB2 GV: - H·y biÕn đổi HA, HB để lµm xuÊt hiÖn a,b trong đẳng thøc trªn HS: c2 = HA2 - CH2 + (CB + CH)2

= AC2 - CH2 + CB2 + 2 CB.CH + CH2 = b2 + a2 + 2 CB CH

= b2 + a2 + 2 a.CH GV: H·y tÝnh CH theo AC, b vµ cosC

Tõ đã h·y viÕt biểu thøc liªn hệ gi÷a 3 cạnh trong tam gi¸c