Quang sai mặt sóng
Mặt sóng là tập hợp các điểm có quang trình bằng nhau, với các tia sáng luôn vuông góc với mặt sóng Mặt sóng phát ra từ nguồn sáng điểm là các mặt cầu có tâm chính là nguồn sáng Khi một chùm tia sáng hội tụ tại một điểm, mặt sóng của chùm sáng đó cũng là các mặt cầu có tâm chung là điểm hội tụ Ngược lại, một chùm sáng song song có mặt sóng là các mặt phẳng vuông góc với tia sáng, giúp xác định hướng truyền của sóng ánh sáng một cách rõ ràng.
Trong gần đúng gần trục, chùm tia khúc xạ qua mặt cầu là chùm vô cùng hẹp, truyền sát quang trục và không gây biến dạng mặt sóng, giữ nguyên là mặt cầu Tuy nhiên, khi có quang sai, chùm sáng khúc xạ qua mặt cầu sẽ không hội tụ tại một điểm duy nhất, dẫn đến mặt sóng không còn là mặt cầu.
Khi chùm tia xuất phát từ nguồn sáng điểm P và truyền qua mặt cầu, mặt sóng của nó sẽ bị biến dạng do quang sai Mức độ biến dạng của mặt sóng phản ánh mức độ quang sai lớn hay nhỏ, thể hiện qua khái niệm quang sai mặt sóng Quang sai mặt sóng là cách hiểu về quang sai dựa trên sự biến dạng của mặt sóng khi đi qua mặt cầu.
Trong hình 1.1, biểu diễn một chùm sáng lan truyền từ điểm P0 qua hệ thống quang học (HTQH) Do quang sai, mặt sóng thực W A của chùm tia là một mặt cong không phải là mặt cầu Để dễ dàng hơn trong phân tích, ta dựng mặt cầu so sánh với mặt sóng thực nhằm xác định ảnh của chùm tia trong hệ thống quang học.
Trong bài viết này, điểm O’ trên trục quang của mặt sóng thực WA được xác định để so sánh với mặt cầu so sánh WR Tâm cong của mặt cầu, thường được lấy làm điểm ảnh cận trục PK, là điểm dùng để đánh giá quang sai của hệ thống, nhưng trong trường hợp tổng quát, có thể chọn bất kỳ điểm nào phù hợp nhằm xác định độ lệch quang sai Độ lớn của quang sai mặt sóng được đo bằng số lần bước sóng, thể hiện khác biệt quang trình giữa mặt sóng WA thực và mặt cầu so sánh WR, trong đó, quang sai này còn được gọi là độ lớn của quang sai mặt sóng theo một số tài liệu khoa học.
“hiệu quang trình” – OPD hoặc “sai lệch mặt sóng”)
Trong phạm vi gần trục, mặt phẳng tiêu điểm quang học (HTQH) có thể được xem là một hệ hoàn hảo, vì ảnh của một điểm qua hệ này sẽ là một điểm sáng Quang sai của HTQH thể hiện sự khác biệt về vị trí và kích thước của ảnh thực tế sinh ra bởi hệ so với vị trí và kích thước của ảnh cận trục Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc kiểm soát quang sai để đạt được khả năng tạo ảnh chính xác và rõ nét trong các ứng dụng quang học.
Khi HTQH có quang sai, ảnh của một điểm qua hệ không còn là một điểm sáng chính xác mà trở thành một vết sáng có kích thước nhất định Kích thước của vết sáng này phụ thuộc vào mức độ quang sai lớn hay nhỏ, ảnh hưởng trực tiếp đến chất lượng hình ảnh trong quang hình học Hiểu rõ về quang sai và ảnh hưởng của nó giúp tối ưu hoá các hệ thống quang học, nâng cao độ chính xác trong các ứng dụng khoa học và công nghiệp.
Hình 1.2 minh họa sự nhoè ảnh của một vật qua hệ thống quang học có quang sai, khi ảnh của vật bị “nhoè” ra do quang sai Vật được xem như tập hợp các nguồn sáng điểm, còn ảnh của vật qua hệ thống quang học là tập hợp các ảnh của các nguồn sáng điểm đó Quang sai gây ra hiện tượng nhoè ảnh, nhưng cần phân biệt rõ ràng với nhiễu xạ, vì quang sai là khái niệm quang hình học còn nhiễu xạ là hiện tượng vật lý của sự truyền sóng Do đó, không có mối liên hệ trực tiếp nào giữa quang sai và nhiễu xạ.
Đa thức Zernike
Hàm quang sai mặt sóng có thể được biểu diễn theo nhiều phương pháp, như chuỗi đa thức lũy thừa hoặc đa thức Zernike, trong đó biểu diễn theo đa thức Zernike được sử dụng phổ biến để phân tích quang sai mặt sóng Các hàm quang sai này thường là kết quả tính toán trên máy tính hoặc đo lường bằng các phương pháp như giao thoa kế hoặc Shack-Hartmann Hàm quang sai mặt sóng của hệ quang học (HTQH) thường phức tạp do sự đóng góp của nhiều loại quang sai thành phần, bao gồm cả những sai lệch do chế tạo và lắp ráp hệ quang Biểu diễn hàm quang sai mặt sóng bằng đa thức Zernike là công cụ hữu hiệu trong phân tích quang sai, giúp nhận biết và xác định các thành phần quang sai khác nhau Đa thức Zernike được đề xuất lần đầu năm 1934 để đo kiểm biên dạng gương tròn qua phương pháp tương phản pha, sau đó được Nijboer nghiên cứu chi tiết hơn vào năm 1942 để mô tả nhiễu xạ và quang sai Hiện nay, đa thức Zernike được ứng dụng rộng rãi trong thiết kế và đo kiểm quang học, đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực quang học hiện đại.
Đa thức Zernike là một thành phần trong chuỗi vô hạn các đa thức liên quan đến biến ρ và θ, trong đó ρ thể hiện khoảng cách từ tâm vòng tròn đến điểm đang xét với phạm vi từ 0 đến 1, còn θ là biến góc thể hiện hướng quay nhất định với chu kỳ 2π Các biểu thức của đa thức Zernike thể hiện rõ mối quan hệ giữa các biến này, đóng vai trò quan trọng trong các ứng dụng về phân tích hình ảnh và quang học.
Trong đó là hệ số chuẩn hóa (1.1b)
Chỉ số n nhận các giá trị nguyên dương hoặc 0 Chỉ số m nhận giá trị nguyên từ -n tới n (gồm cả 0) sao cho hiệu (n- ) là số chẵn
Đa thức hướng tâm bậc n theo biến chứa các số hạng đặc trưng và có đặc điểm là hàm chẵn hoặc lẻ, tùy thuộc vào độ của n (hoặc m) là chẵn hay lẻ Đây là loại đa thức có tính chất quan trọng trong lý thuyết hàm số, góp phần định hướng các phép biến đổi và phân tích toán học Đặc điểm nổi bật của đa thức hướng tâm là sự đối xứng qua trục hoặc điểm gốc, mang lại nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học và kỹ thuật.
Biểu thức (1.1a) cho thấy mỗi đa thức Zernike bao gồm ba thành phần chính: hệ số chuẩn hóa, đa thức hướng tâm bậc n, và hàm điều hòa (hàm cosine hoặc sine) với tần số góc m, giúp mô tả chính xác các đặc trưng hình học của bề mặt hoặc sóng ánh sáng.
Các đa thức Zernike là trực giao nhờ tuân theo các quan hệ sau:
Các tính chất đáng chú ý của đa thức Zernike khiến chúng đƣợc ứng dụng trong phân tích quang sai của HTQH là:
- Chúng tạo thành một tập hợp đủ, nghĩa là chúng có thể biểu diễn một bề mặt liên tục có độ phức tạp tùy ý nếu lấy đủ số hạng
- Chúng trực giao một cách liên tục trên vòng tròn đơn vị
- Chúng có dạng bất biến đối với phép quay hệ tọa độ quanh gốc tọa độ
- Chỉ có một đa thức cho mỗi cặp giá trị n và m khả dĩ
- Tất cả chúng có đạo hàm liên tục
Nhƣ vậy, mỗi đa thức Zernike biểu diễn một mặt bậc n trong không gian
Trong không gian 3 chiều, các điểm được xác định bằng hai biến tọa độ cực ρ và θ trong vòng tròn đơn vị, giúp mô tả hình học một cách chính xác Hình 1.3 trình diễn đồng thời đồ thị 3 chiều và bản đồ đường đồng mức được tô màu theo độ cao của các đa thức Zernike điển hình, thể hiện đặc điểm hình học và biến đổi của chúng Đặc biệt, với một bán kính ρ cố định, quay vòng quanh tâm sẽ làm đa thức Zernike đổi dấu chính xác 2|m| lần, phản ánh tính chất đối xứng đặc trưng của các đa thức này trong hình học không gian.
Hình 1.3 Biểu diễn bằng đồ thị của một số đa thức Zernike điển hình
Hình 1.4 trình bày bằng bản đồ màu sắc thể hiện độ lớn của các đa thức Zernike từ bậc 1 đến 5, trong đó màu sắc từ tím đến đỏ tượng trưng cho mức độ lớn khác nhau Các đa thức này, kể cả đa thức bậc 0, đều là các đĩa tròn phẳng nằm song song với mặt phẳng [ρ, θ], với các bề mặt của mỗi cặp đa thức có hình dạng và profil hướng tâm giống nhau, được thể hiện qua các đường cong bên trái của hình Sự khác biệt chính giữa các bề mặt là chúng quay đi một góc π/2m so với nhau, tương ứng với độ lệch pha giữa hàm cosmθ và sinmθ Ngoài ra, các bề mặt biểu diễn đa thức Zernike còn thể hiện tính chất đối xứng, với các đa thức có n (hoặc m) chẵn thể hiện đối xứng, trong khi các đa thức có n (hoặc m) lẻ phản đối xứng.
Biểu diễn các đa thức Zernike bậc 1 đến 5 bằng đồ thị màu sắc giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của chúng Các đường cong bên trái thể hiện profil hướng tâm của bề mặt tương ứng với từng bậc, cung cấp hình ảnh trực quan về sự biến đổi hình dạng Hình 1.4 minh họa rõ nét mối liên hệ giữa các đa thức Zernike và đặc điểm hướng tâm của bề mặt, hỗ trợ trong phân tích và chỉnh sửa các lỗi quang học.
Lưu ý rằng, cách ghi chỉ số và thứ tự sắp xếp các đa thức Zernike chưa thống nhất trong các tài liệu khác nhau Hiện nay, có hai phương pháp phổ biến để ghi lại các đa thức Zernike: một là sử dụng hai chỉ số như đã đề cập, và hai là sử dụng một chỉ số Zj, trong đó j là thứ tự của đa thức trong bảng sắp xếp.
Các cách sắp xếp các đa thức Zernike phổ biến bao gồm phương pháp của Hiệp hội quang học Mỹ (OSA), của J.C Wyant và của D Malacara Trong đó, đa thức được ký hiệu là Z17 theo tiêu chuẩn của OSA, giúp đảm bảo tính nhất quán và thuận tiện trong các nghiên cứu quang học.
Z16 theoMalacara; Z13 theo Wyant Đa thức sẽ ứng với Z60 trong bảng của
OSAnhƣng ứng với Z 35 trong bảng của Wyant
Trong thực tế, việc ứng dụng đa thức Zernike để phân tích mặt sóng có sự khác biệt rõ rệt giữa các phần mềm và thương hiệu khác nhau Mặc dù nhiều phần mềm đều sử dụng cùng một phương pháp, nhưng cách triển khai và tối ưu hóa đa thức Zernike có thể gây ra sự khác biệt trong kết quả phân tích Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc lựa chọn phần mềm phù hợp để đảm bảo độ chính xác và độ tin cậy trong quá trình phân tích mặt sóng.
37 đathức nhƣng phần mềm OSLO (Ver 6.3.4) sử dụng bảng sắp xếp của Wyant; phầnmềm ZEMAX sử dụng cả bảng sắp xếp của Malacara (khi chọn
“Zernike Standard Coefficients”) và bảng sắp xếp của Wyant (khi chọn
Trong phân tích mặt sóng thu được từ giao thoa kế, ZYGO sử dụng bảng sắp xếp của Wyant để tính toán các hệ số Zernike Fringe Coefficients, trong đó chỉ số j bắt đầu từ 1 thay vì 0 Phương pháp này giúp định dạng chính xác các thành phần sóng và cải thiện độ chính xác của quá trình phân tích mặt phẳng quang học Việc sử dụng hệ số Zernike là cần thiết để mô tả các sai lệch hình dạng và đặc điểm của bề mặt kính, góp phần nâng cao chất lượng đo lường và xử lý dữ liệu trong các ứng dụng quang học hiện đại.
Bảng 1.1 trình bày 36 đa thức Zernike từ bậc 0 đến bậc 7, thường được sử dụng trong phân tích quang sai của mắt Các đa thức này được ghi nhận theo tiêu chuẩn của Tổ chức Quần chúng Quang học Hoa Kỳ (OSA), đã được quy định thành tiêu chuẩn quốc gia Mỹ từ năm 2004 (ANSI Z80.28:2004) và hiện đã cập nhật thành ANSI Z80.28:2010 Ngoài ra, Tổ chức Tiêu chuẩn hóa Quốc tế (ISO) cũng đã ban hành tiêu chuẩn ISO 24157:2008 nhằm thống nhất phương pháp biểu thị quang sai của mắt người trên phạm vi toàn cầu, góp phần nâng cao độ chính xác và nhất quán trong phân tích quang sai quang học.
Bảng 1.1 Các đa thức Zernike từ bậc 0 tới bậc 7 (sắp xếp theo tiêu chuẩn ANSI Z80.28:2004)
Zj Biểu thức Quang sai liên quan
Theo quy chuẩn ANSI, cách sắp xếp các đa thức dựa trên chỉ số j, thể hiện thứ tự của đa thức trong bảng xếp hạng Chỉ số j liên hệ chặt chẽ với các chỉ số n và m thông qua công thức cụ thể, giúp xác định vị trí chính xác của đa thức trong hệ thống sắp xếp Việc hiểu rõ mối liên hệ này là quan trọng trong quá trình tổ chức và xử lý các đa thức theo tiêu chuẩn quốc tế.
Cách biểu diễn mặt sóng theo đa thức Zernike
Khi khai triển hàm quang sai mặt sóng W theo đa thức Zernike thì quang sai mặt sóng ứng với một vật điểm cho trước được viết như sau [1]:
(1.2) Trong đó các hệ số khai triển Zernike đƣợc xác định theo:
Khai triển hàm quang sai mặt sóng W thành các đa thức Zernike cho phép xác định các hệ số Zernike, phản ánh độ lớn các loại quang sai tương ứng Trong hệ thống quang học đồng trục, do sự đối xứng qua mặt phẳng kinh tuyến, hàm quang sai mặt sóng chỉ chứa các đa thức Zernike với hàm cosin (m ≥ 0), trong khi các hệ số của đa thức chứa hàm sin bằng 0 Tuy nhiên, trong thực tế, các ống kính quang học không hoàn toàn đồng trục do sai số chế tạo và lắp ráp, nên hàm quang sai mặt sóng của chúng khi khai triển Zernike sẽ chứa cả các đa thức có hàm sin và hàm cosin.
Từ (1.2) giá trị trung bình của hàm quang sai bằng hệ số của số hạng piston, tức là:
(1.4) còn với n thì giá trị trung bình của các số hạng quang sai Zernike đều bằng 0, tức là
Giá trị trung bình bình phương của số hạng quang sai là :
Do đó, phương sai của số hạng quang sai Zernke là:
(1.6) Nhƣ thế, mỗi hệ số khai triển (ngoại trừ )biểu thị độ lệch chuẩn của số hạng quang sai tương ứng Phương sai của hàm quang sai sẽ bằng:
(1.7) Trừ khi giá trị trung bình của hàm quang sai , độ lệch chuẩn , trong đó là giá trị RMS của quang sai mặt sóng.
PHƯƠNG PHÁP SHACK-HARTMANN ĐO QUANG SAI MẶT SÓNG
Giới thiệu chung về phương pháp Shack-Hartmann
Phương pháp Shack–Hartmann được phát triển dựa trên phương pháp Hartmann từ những năm 1900 để đo kiểm các gương lớn của kính thiên văn, nay được cải tiến bằng cách thay mặt nạ Hartmann bằng ma trận vi thấu kính Năm 1971, Roland Shack và Ben Platt tại Trung tâm khoa học quang học thuộc Đại học Arizona đã biến ý tưởng này thành hiện thực Phương pháp này ra đời nhằm đáp ứng yêu cầu của không quân Mỹ trong việc nâng cao chất lượng ảnh chụp vệ tinh bị biến dạng do khí quyển trái đất không đồng nhất Nhờ đo được hình dạng và cấu trúc của mặt sóng tới, hệ thống quang học bù trừ ảnh hưởng tiêu cực của biến dạng mặt sóng, cải thiện rõ rệt độ nét hình ảnh Cảm biến mặt sóng Shack–Hartmann đã trở thành bước đột phá trong lĩnh vực quang học thích nghi, mở ra nhiều ứng dụng quan trọng trong công nghệ quang học hiện đại.
Việc ứng dụng cảm biến mặt sóng Shack–Hartmann ban đầu được sử dụng trong lĩnh vực quang học thích nghi và chụp ảnh thiên văn, sau đó nhanh chóng phát triển sang đo kiểm quang học và phân tích chùm tia laser Đặc biệt, trong lĩnh vực nhãn khoa, một số cảm biến đã được tích hợp vào các hệ thống thiết bị chuẩn đoán và điều trị mắt, góp phần nâng cao hiệu quả và chính xác trong chẩn đoán bệnh lý mắt.
Phương pháp Shack-Hartmann được ứng dụng thành công trong lĩnh vực nhãn khoa, đặc biệt trong các thiết bị chuẩn đoán và điều trị thị lực Máy phẫu thuật Laser Excimer MEL 80 của hãng Carl Zeiss (Đức) là một ví dụ tiêu biểu, là hệ thống laser excimer tiên tiến nhất hiện nay toàn cầu Hệ thống này nổi bật với khả năng đo mặt sóng chính xác nhờ cảm biến Shack-Hartmann, giúp nâng cao hiệu quả điều trị và chuẩn đoán các bệnh về mắt.
Nghiên cứu kỹ thuật đo mặt sóng Shack-Hartmann là một lĩnh vực có ứng dụng rất rộng rãi và thiết thực trong cả nghiên cứu khoa học lẫn thực tế Phương pháp này đóng vai trò quan trọng trong việc đo lường hình dạng và chất lượng của mặt sóng, hỗ trợ các lĩnh vực như quang học, công nghệ laser, và hệ thống truyền hình Với khả năng cung cấp dữ liệu chính xác và đáng tin cậy, kỹ thuật Shack-Hartmann góp phần nâng cao hiệu quả trong các ứng dụng công nghiệp và nghiên cứu khoa học.
Nguyên lý của phương pháp Shack-Hartmann
Phương pháp Shack-Hartmann hoạt động dựa trên nguyên lý chiếu sóng phẳng qua ma trận vi thấu kính và quan sát sự dịch chuyển của các điểm sáng trên cảm biến CCD để xác định quang sai của mặt sóng Khi sóng tới có quang sai, các điểm sáng trên ảnh bị dịch chuyển so với trường hợp sóng phẳng lý tưởng, và lượng dịch chuyển này tỷ lệ với mức độ quang sai ngang cục bộ Bằng phương pháp xử lý ảnh và phân tích lượng dịch chuyển trong từng vi thấu kính, ta có thể xác định chính xác các loại quang sai như cầu sai, coma, loạn thị Việc mở rộng hàm quang sai thành đa thức Zernike giúp đo lường độ lớn của các loại quang sai, nâng cao độ chính xác của hệ thống chỉnh quang.
Hình 2.2 Sơ đồ nguyên lý của phương pháp Shack-Hartmann
Xác định tọa độ các vết sáng
Mỗi vết sáng do vi thấu kính tạo ra trên CCD thường chiếm nhiều pixel
Để xác định các lượng dịch chuyển x, y do mặt sóng gây ra bởi quang sai, ta cần xác định tọa độ trọng tâm của vết sáng Phương pháp xác định tọa độ trọng tâm của các vết sáng được thực hiện như sau, giúp đo chính xác sự dịch chuyển của vết sáng do ảnh hưởng của quang sai trên mặt sóng Các bước này là cơ sở để phân tích lượng dịch chuyển của vết sáng, từ đó đánh giá mức độ quang sai gây ra.
Chia mặt phẳng ảnh trên CCD thành các ô vuông tương ứng với vị trí của các vi thấu kính giúp xác định chính xác vị trí của các vết sáng Mỗi vết sáng sẽ nằm trong một ô vuông nhất định, ví dụ như ô vuông A ký hiệu là k Tọa độ trọng tâm của vết sáng trong ô vuông này được xác định dựa trên công thức toán học cụ thể [6,15], đảm bảo tính chính xác trong quá trình phân tích hình ảnh.
Trong các ảnh kỹ thuật số, I(i, j) thể hiện cường độ sáng của pixel tại vị trí (i, j) trong ô vuông A_k, chính là mức xám của điểm ảnh Đối với ảnh màu từ cảm biến CCD, để chuyển đổi sang ảnh xám, chúng ta sử dụng phương pháp lấy trung bình có trọng số của các giá trị màu đỏ, xanh lá cây và xanh dương của điểm ảnh đó Phương pháp này giúp đơn giản hóa dữ liệu hình ảnh đồng thời giữ lại thông tin cơ bản về độ sáng của từng điểm ảnh.
Hình 2.3a Ma trận CCD được chia thành các ô vuông chứa các vết sáng hội tụ bởi vi thấu kính tương ứng
Hình 2.3b cho thấy rằng mỗi ô vuông chứa nhiều pixel, giúp nâng cao độ chính xác trong phân tích hình ảnh Độ dốc mặt sóng và khai triển mặt sóng theo đa thức Zernike là những phương pháp quan trọng để mô tả các biến đổi quang học phức tạp Đặc biệt, độ dốc mặt sóng cục bộ chính là đạo hàm của quang sai mặt sóng, phản ánh mức độ biến dạng và sự lệch hướng của tia sáng khi truyền qua hệ thống quang học Các kỹ thuật này giúp cải thiện hiệu quả trong đo lường quang sai và tối ưu hóa hiệu suất hệ thống quang học.
W và đƣợc biểu diễn thông qua lƣợng dịch chuyển x , y theo công thức sau [6,15]:
Tiêu cự của các vi thấu kính, ký hiệu là 2.2, xác định khoảng dịch chuyển tâm vết sáng do mặt sóng có quang sai gây ra Thông thường, tọa độ của các điểm hội tụ lý tưởng được xác định trước nhờ sử dụng một chùm tia chuẩn (reference beam) Điều này giúp hiệu chỉnh và đo lường chính xác các sai lệch quang học, nâng cao độ chính xác của hệ thống quang học vi thấu kính.
Quang sai mặt sóng có thể được khai triển thành tổng các đa thức Zernike theo công thức cùng dạng với phương trình 1.2, nhưng được viết trong hệ tọa độ Đề Các Điều này cho phép biểu diễn độ dốc mặt sóng thông qua các đa thức Zernike một cách chính xác.
Trong bài viết này, chúng tôi tập trung vào việc sử dụng các đa thức Zernike với n biểu thị số lượng các đa thức được chọn và là hệ số của từng đa thức Zernike tương ứng Mỗi hệ số của đa thức Zernike trong khai triển thể hiện rõ vai trò của nó trong việc mô tả các loại quang sai như loạn thị, coma, defocus và các sai số quang học khác Các đa thức Zernike đóng vai trò quan trọng trong phân tích và điều chỉnh hệ thống quang học, giúp cải thiện chất lượng hình ảnh bằng cách xác định và sửa chữa các loại quang sai khác nhau.
Các thành phần của một cảm biến mặt sóng Shack-Hartmann điển hình
Một cảm biến Shack-Hartmann gồm hai thành phần cơ bản là ma trận vi thấu kính và cảm biến ảnh CCD
2.3.1 Ma trận vi thấu kính
Ma trận vi thấu kính là một dạng cấu trúc gồm các vi thấu kính nhỏ có kích thước vài trăm micromet, đều giống nhau về mức độ và hình dạng Các vi thấu kính này được sắp xếp một cách có trật tự theo dạng hàng và cột, tạo thành một hệ thống đồng bộ như mô tả trong hình 2.4 Việc tận dụng ma trận vi thấu kính giúp nâng cao hiệu quả quang học và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực công nghệ cao.
Hình 2.4.Hình ảnh ma trận vi thấu kính
Ma trận vi thấu kính được gắn song song với ma trận CCD và được hiệu chỉnh để tiêu diện của các vi thấu kính trùng khớp với mặt phẳng thu ảnh của CCD Khi chiếu một chùm sáng vào ma trận vi thấu kính này, mỗi vi thấu kính sẽ hội tụ chùm sáng thành một điểm trên tiêu diện, tạo thành điểm sáng trên ảnh thu được bởi CCD.
Một ma trận vi thấu kính bao gồm ba thông số kết cấu chính: kích thước, tiêu cự của các vi thấu kính và khoảng cách giữa chúng Thường thì các vi thấu kính có hình dạng tròn và được xếp sát nhau, nên khoảng cách giữa các vi thấu kính chính bằng đường kính của chúng Các yếu tố này đóng vai trò quan trọng trong việc xác định đặc tính quang học của ma trận vi thấu kính.
CCD, viết tắt của Charge Coupled Device (thiết bị ghép điện tích), là cảm biến phổ biến trong máy ảnh kỹ thuật số Nó có nhiệm vụ chuyển đổi quang năng của ánh sáng thành tín hiệu điện nhờ các photodiode và vi mạch điện bên cạnh Cảm biến ảnh CCD (cảm biến quang điện) thu hình ảnh từ ma trận vi thấu kính gồm nhiều pixels, mỗi pixel thường hình vuông với kích thước vài micro-mét, tùy loại CCD cụ thể Nếu ký hiệu a là chiều dài cạnh của một pixel, thì kích thước của ma trận CCD sẽ là M.a x N.a, trong đó M và N là số pixels theo hàng và cột của ma trận Mỗi vết sáng do vi thấu kính tạo ra trên CCD chiếm nhiều pixels, ảnh hưởng đến độ phân giải và chất lượng hình ảnh.
Các thông số đặc trƣng của cảm biến mặt sóng Shartmann
Một cảm biến mặt sóng Shack-Hartmann có 3 thông số chính là: Khoảng động, độ nhạy và độ chính xác
Khi chiếu chùm ánh sáng vuông góc với ma trận vi thấu kính, ta sẽ thu được các điểm sáng trên CCD phản ánh chính xác vị trí của các vi thấu kính đó Trong trường hợp sóng ánh sáng tới là sóng phẳng lý tưởng, các điểm sáng sẽ phân bổ đều theo quy luật sắp xếp của ma trận vi thấu kính, giúp dễ dàng xác định các đặc tính của mặt sóng Tuy nhiên, khi mặt sóng bị quang sai, các điểm sáng thu được sẽ dịch chuyển so với vị trí ban đầu, và dựa vào mức độ dịch chuyển này, ta có thể xác định độ nghiêng của mặt sóng tại từng vị trí Nếu dịch chuyển quá lớn dẫn đến các điểm sáng chồng lên nhau, không thể phân biệt được, lúc đó ta không thể xác định chính xác độ nghiêng của mặt sóng nữa, bởi các vết sáng sẽ bị giới hạn trong phạm vi một ô vuông nhất định Khi mặt sóng nghiêng đến mức gây dịch chuyển vết sáng sang ô vuông lân cận, ta mất khả năng phân biệt điểm sáng, và đó chính là khoảng động, biểu thị mức độ nghiêng tối đa của mặt sóng mà ta có thể đo lường chính xác.
Hình 2.5 biểu thị sự phụ thuộc của vào tiêu cự vi thấu kính f và độ dịch chuyển
Nhƣ vậy độ dốc mặt sóng lớn nhất mà ta có thể xác định đƣợc vị trí của vết sáng được tính theo phương trình [9]:
Khoảng cách giữa các vi thấu kính được ký hiệu là D, trong khi tiêu cự của mỗi vi thấu kính được biểu diễn bằng f Để xác định phạm vi chuyển dời của điểm sáng, ta sử dụng phần kích thước của ô vuông là h, thường lấy bằng 0,5 Các yếu tố này đóng vai trò quan trọng trong việc thiết kế và tối ưu hệ thống quang học, giúp đảm bảo hiệu quả truyền sáng và độ chính xác của hình ảnh.
2.4.2 Độ nhạy (Sensitivity) Độ nhạy đƣợc định nghĩa là độ nghiêng mặt sóng nhỏ nhất có thể đo đƣợc Nó là giới hạn nhỏ nhất có thể để phát hiện sự dịch chuyển và phân biệt điểm sáng Shack-Hartmann Độ nghiêng mặt sóng nhỏ nhất cũng phụ thuộc vào độ dịch chuyển và tiêu cự f của vi thấu kính Sự dịch chuyển tối thiểu nàyđƣợc tính từ tâm của điểm sáng (trọng tâm vết sáng có thể đƣợc tính toán chính xác theo công thức ở trên) vì thế nó phụ thuộc vào kích thước pixel củaCCD (P).Ta có công thức tính độ nghiêng mặt sóng nhỏ nhất [9]: Ở đây q là số các pixels mà cho phép xác định đƣợc sự dịch chuyển trọng tâm vết sáng
2.4.3 Độ chính xác (Accuracy) Độ chính xác là sự sai khác không mong muốn giữa mặt sóng đo đƣợc và mặt sóng thực tế đi vào cảm biến.Người ta thể chia thành hai loại chính là:Độ chính xác vi mô và độ chính xác vĩ mô Độ chính xác vi mô phụ thuộc vào sự sai khác giữa tọa độ của trọng tâm vết sáng Shack-Hartmann tính được với vị trí điểm ảnh lý tưởng Từ công thức xác định trọng tâm của vết sáng ở trên ta thấy độ chính xác vi mô sẽ phụ thuộc vào kích thước của pixels,kích thước và hình dạng của vết sáng Kích thước của pixels càng nhỏ thì ta xác định trọng tâm vết sáng càng chính xác Độ chính xác vĩ mô là sai lệch giữa mặt sóng đo đƣợc với mặt sóng đi vào cảm biến gây ra và do sự lấy mẫu mặt sóng rời rạc Độ chính xác vĩ mô phụ thuộc vào hình dạng và kích thước của vi thấu kính Kích thước của vi thấu kính càng nhỏ thì tần số lấy mẫu mặt sóng càng lớn nhƣng cũng dẫn đến sự nhiễu xạ càng lớn
Khi thiết kế cảm biến mặt sóng Shack-Hartmann, việc tính toán chọn các thông số như kích thước thấu kính, tiêu cự và kích thước pixel là yếu tố then chốt để đảm bảo độ chính xác trong đo lường khoảng động Các thông số này phải tối ưu hóa nhằm đáp ứng yêu cầu về độ nhạy và độ chính xác của hệ thống Việc xác định kích thước pixel phù hợp giúp nâng cao khả năng phát hiện và đo lường chính xác các biến đổi của mặt sóng trong quá trình hoạt động Do đó, quá trình thiết kế cảm biến cần phải tính toán cẩn thận để đạt được hiệu quả tối ưu trong ứng dụng thực tế.
MÔ PHỎNG HÌNH ẢNH SHACK-HARTMAN
Phương pháp mô phỏng
Một cách đơn giản, khi mặt sóng tới không có quang sai thì hình ảnh Shack-Hartmann được cho bởi phương trình [14]:
Trong phương trình này thì p x và p y là khoảng cách giữa các vi thấu kính theo chiều x và y
Khi mặt sóng tới có quang sai thì hình ảnh Shack-Hartmann lúc này được cho bởi phương trình [14]: g 1 (x,y)=g 0 (x+A(x,y),y+B(x,y))
Trong đó, W(x,y) là hàm quang sai của mặt sóng được expresses trong hệ tọa độ Đề các, như đã trình bày trong phương trình (1.2) của chương 1 Do các phương trình (3.1) và (3.2) đều được viết theo biến x và y, việc sử dụng hàm quang sai trong hệ tọa độ Đề các giúp thuận tiện hơn cho quá trình tính toán và lấy đạo hàm theo các phương x và y Khi đó, hàm quang sai W(x,y) được biểu diễn lại phù hợp với hệ tọa độ này để đơn giản hóa các phép tính liên quan.
Từ biểu thức trên việc mô phỏng hình ảnh Shack-Hartmann đƣợc thực hiện trên sơ đồ sau:
Hình 3.1 Sơ đồ các bước mô phỏng hình ảnh Shack-Hartmann Để mô phỏng hình ảnh Shack-Hartmann chúng tôi thực hiện theo 4 bước:
Bước 1: Nhập các giá trị của vào, ứng với mỗi giá trị của ta có một loại quang sai nhất định( hệ số khai triển đa thức Zernike)
Bước 2: Từ các giá trị của đã nhập ta sẽ tổng hợp được mặt sóng theo phương trình W(x,y)= , ứng với mỗi là một đa thức Zernike [10]
Tính và vẽ hình ảnh Shack-Hartman theo phương trình (3.2)
Trong bước 3, sau khi tổng hợp mặt sóng, ta lần lượt tính đạo hàm của mặt sóng theo phương x và y, rồi nhân với tiêu cự của vi thấu kính để xác định các hàm A(x,y) và B(x,y) theo công thức (3.3a) và (3.3b) Quá trình này giúp phân tích chính xác đặc trưng của mặt sóng, hỗ trợ trong các ứng dụng quang học liên quan.
Trong bước 4, các kết quả tính toán được thay vào phương trình (3.2) để sử dụng phần mềm vẽ hình ảnh Shack-Hartmann, giúp mô phỏng chính xác hình ảnh này Chương trình mô phỏng đã được xây dựng bằng phần mềm Mathcad, dựa trên sơ đồ trong Hình 3.1 cùng các phương trình (3.1), (3.2), (3.3.a), (3.3.b), (3.4), cho phép điều chỉnh các tham số như f, pₓ, pᵧ để tối ưu hóa kết quả.
Sau đây là các kết quả mô phỏng hình ảnh Shack-Hartmann mà tôi đã tiến hành.
Kết quả mô phỏng với một số loại quang sai điển hình
Hàm quang sai sóng có thể được khai triển thành một chuỗi vô hạn các đa thức Zernike; tuy nhiên, để thực hiện điều này đòi hỏi thời gian và bộ xử lý máy tính cao cấp Do hạn chế về thời gian và trang thiết bị trong phạm vi luận văn này, tôi chỉ khai triển hàm sóng theo đa thức Zernike tới bậc 5 Mặc dù vậy, phương pháp này có thể áp dụng tới bậc tùy ý, mang lại khả năng mô phỏng linh hoạt hơn cho các hệ optical phức tạp Biểu thức khai triển hàm sóng theo đa thức Zernike tới bậc 5 đã được trình bày rõ ràng, đảm bảo tính chính xác phù hợp với phạm vi nghiên cứu.
W(x,y) Ở đây các đa thức Zernike đƣợc viết trong hệ tọa độ Đề các [10] thay vì hệ tọa độ trụ(Bảng 1.1)
Các thông số đặc trƣng của cảm biến Shack-Hartmann dùng trong mô phỏng: f là tiêu cự của vi thấu kính; p x ,p y là khoảng cách giữa các vi thấu kính
Chương trình mô phỏng cho phép thay đổi các giá trị của , f, px, py
3.2.1 Hình ảnh Shack-Hartmann khi không có quang sai
Hình 3.1 Hình ảnh Shack-Hartmann khi không có quang sai
Hình 3.1 mô phỏng hình ảnh của hệ thống Shack-Hartmann khi chùm sáng tới là song song tuyệt đối với fmm, px=py=0,150 mm, thể hiện các giá trị này phù hợp với một ma trận vi thấu kính điển hình được sử dụng trong thực tế Trong mô phỏng này, tất cả các giá trị của các tham số đều được lấy bằng không, trừ khi có yêu cầu khác, nhằm tăng tính chính xác và phù hợp của mô hình trong phân tích các hiệu ứng quang học Điều này giúp xác định rõ ảnh hưởng của các yếu tố quang học trong quá trình đo lường và hiệu chỉnh cấu trúc của hệ thống Shack-Hartmann.
Khi không có quang sai, mặt sóng trở nên phẳng, giúp tạo ra hình ảnh Shack-Hartmann rõ nét Hình ảnh thu được là một ma trận các vết sáng đều nhau theo chiều ngang và dọc, phản ánh sự sắp xếp chính xác của các vi thấu kính trong hệ thống Điều này cho thấy rằng không có quang sai, hệ thống hoạt động tối ưu, đảm bảo độ chính xác trong đo lường và phân tích các đặc tính quang học.
Khi không có quang sai, giá trị của hệ số f không ảnh hưởng đến hình ảnh Shack-Hartmann thu được Điều này có nghĩa là phương trình biểu diễn hình ảnh Shack-Hartmann trong trường hợp này không phụ thuộc vào giá trị của f, như đã trình bày trong phương trình (3.1).
Khi thay đổi p x =py=0,100 mm ta đƣợc hình ảnh Shack-Hartmann nhƣ hình 3.2
Hình 3.2 Hình ảnh Shack-Hartmann khi không có quang sai
Khi giảm px = py từ 0,150 mm xuống còn 0,100 mm, khoảng cách giữa các vết sáng trong hình Shack-Hartmann giảm nhưng vẫn duy trì bố cục theo ma trận vuông như trong hình 3.1 Ngược lại, khi tăng px và py, hình ảnh Shack-Hartmann thể hiện khoảng cách giữa các vết sáng lớn hơn, đồng thời các vết sáng luôn được sắp xếp đều đều theo chiều ngang và chiều dọc, đảm bảo tính nhất quán của ma trận quang học.
3.2.2 Hình ảnh Shack-Hartmann khi có cầu sai bậc 3
Trong điều kiện khi f mm, px và py đều bằng 0,150 mm, và hệ số = 0,009876, tất cả các giá trị còn lại của tham số đều được thiết lập bằng 0, ta thu được hình ảnh Shack-Hartmann và mặt sóng tương ứng, như thể hiện trong hình 3.3a và 3.3b.
Hình 3.3a.Hình ảnh Shack-Hartmann khi có cầu sai bậc 3 (f mm; p x =p y =0,150 mm)
Hình 3.3b Mặt sóng khi có cầu sai bậc 3(f mm; p x =p y =0,150 mm).
Khi có cầu sai bậc 3, mặt sóng không còn phẳng nữa mà uốn cong như hình chiếc thúng, gây ra những vết sáng không đều và bị kéo về phía tâm của hình ảnh Shack-Hartmann Các vết sáng này càng xa tâm càng bị kéo mạnh, dẫn đến khoảng cách giữa các điểm sáng lớn hơn, nhưng vẫn duy trì sự đối xứng qua tâm Điều này phản ánh sự ảnh hưởng của quang sai bậc 3 đến hình dạng và tính chất của mặt sóng, làm thay đổi các mẫu ảnh trong hệ thống Shack-Hartmann.
Khi thay đổi giá trị của fmm còn các giá trị khác vẫn giữ nguyên ta thu đƣợc hình ảnh Shack-Hartmann và mặt sóng nhƣ hình 3.4a và 3.4b
Khi thay đổi tiêu cự f mm lên 15mm, hình ảnh Shack-Hartmann thu được có các vết sáng nhỏ hơn và khoảng cách giữa chúng giảm so với khi f mm thấp hơn, trong khi cách sắp xếp của các vết sáng vẫn giữ nguyên Nguyên nhân là do khi f tăng, đường kính các vi thấu kính không đổi nhưng cảm biến ảnh CCD di chuyển ra xa hơn, dẫn đến hình ảnh nhỏ hơn và nhiều điểm ảnh hơn trên CCD.
Hình 3.4a.Hình ảnh Shack-Hartmann khi có cầu sai bậc 3 (f mm; p x =p y =0,150 mm).
Hình 3.4b Mặt sóng khi có cầu sai bậc 3(f mm; p x =p y =0,150 mm)
Việc thay đổi đường kính của các vi thấu kính (px=py) chỉ ảnh hưởng đến khoảng cách giữa các vết sáng, giúp điều chỉnh kích thước của các điểm sáng mà không làm thay đổi cách sắp xếp hoặc vị trí của chúng.
3.2.3 Hình ảnh Shack-Hartmann khi có coma sơ cấp
Khi f mm; px=py=0,150 mm, =0,0016785, còn tất cả các giá trị của khác là bằng 0 ta thu đƣợc hình ảnh Shack-Hartmann (hình 3.5a) và mặt sóng nhƣ (hình 3.5b)
Khi xuất hiện coma sơ cấp, mặt sóng như hình 3.5b và hình ảnh Shack-Hartmann cho thấy các vết sáng không thẳng hàng, không đều nhau như khi không có quang sai Các vết sáng không bị kéo vào tâm như trong trường hợp cầu sai, mà lại bị kéo về một phía, càng về hai bên, các vết sáng bị kéo mạnh hơn, khoảng cách giữa các vết sáng giảm dần và đối xứng qua trục.
Hình 3.5a Hình ảnh Shack-Hartmann khi có coma sơ cấp
Hình 3.5b Mặt sóng khi có coma sơ cấp
3.2.4 Hình ảnh Shack-Hartmann khi có loạn thị sơ cấp
Khi f mm; px=py=0,150 mm, =0,009776, còn tất cả các giá trị của khác là bằng 0 ta thu đƣợc hình ảnh Shack-Hartmann và mặt sóng nhƣ hình 3.6a và 3.6b
Hình ảnh 3.6a và 3.6b cho thấy mặt sóng khi có loạn thị sơ cấp không là mặt phẳng như không có quang sai, cũng không uốn cong như hình chiếc thúng khi có cầu sai, mà uốn cong giống hình chiếc yên ngựa Điều này dẫn đến các vết sáng trong hình Shack-Hartmann co lại theo chiều ngang và kéo dài ra theo chiều dọc, gây ra sự không đều trong khoảng cách giữa các điểm theo hai hướng này.
Hình 3.6a Hình ảnh Shack-Hartmann khi có loạn thị sơ cấp
Hình 3.6b Mặt sóng khi có loạn thị sơ cấp
3.2.5 Hình ảnh Shack-Hartmann khi có loạn thị cấp2
Khi f mm; p x =p y =0,150 mm, =0,000653, còn tất cả các giá trị của khác là bằng 0 ta thu đƣợc hình ảnh 3.7a và 3.7b
Hình 3.7a Hình ảnh Shack- Hartmann khi có loạn thị cấp 2
Hình 3.7b.Mặt sóng khi có loạn thị cấp 2
Dựa trên kết quả trong hình 3.7b, mặt sóng khi có loạn thị cấp 2 bị uốn cong ngược lên mạnh hơn so với loạn thị sơ cấp, dẫn đến hình ảnh Shack-Hartman cho thấy các vết sáng có xu hướng kéo lại theo chiều ngang và càng về phía xa hai bên càng co lại rõ rệt Ngược lại, theo chiều dọc, các vết sáng có xu hướng kéo dãn ra, và hiệu ứng này càng mạnh hơn khi tiến xa phía bên phải của hình ảnh (hình 3.7a).
3.2.6 Hình ảnh Shack-Hartmann khi có coma sơ cấp và cầu sai bậc 3
Khi f mm; p x =p y =0,150 mm, =0,009876, =0,0009876còn tất cả các giá trị của đƣợc lấy bằng 0 ta thu đƣợc hình ảnh 3.8a và 3.8b
Hình 3.8a Hình ảnh Shack-Hartmann khi có coma sơ cấp và cầu sai bậc 3
Hình 3.8b Mặt sóng khi có coma sơ cấp và cầu sai bậc 3
Hình 3.8b cho thấy khi kết hợp giữa coma sơ cấp và cầu sai bậc 3, mặt sóng bị uốn cong lên nhưng không đều, đồng thời đáy của mặt sóng không còn tròn như khi chỉ có cầu sai mà còn lồi lên ở giữa tâm Điều này ảnh hưởng đáng kể đến chất lượng hình ảnh, cần xem xét kỹ để tối ưu hóa hệ thống quang học Sự xuất hiện của các sai lệch như vậy làm giảm độ nét và độ chính xác của ảnh thu được Trong các hệ thống quang học, việc kiểm soát và chỉnh sửa các lỗi này là cực kỳ quan trọng để đạt được kết quả tối ưu.
Hartman là các vết sáng không còn bị kéo vào tâm mà thay vào đó bị kéo ra ngoài càng xa tâm, đồng thời chúng mất đi sự đối xứng ban đầu Hiện tượng này thể hiện rõ qua hình 3.8a, giúp nhận biết sự thay đổi trong cấu trúc của các vết sáng Hartman trên bề mặt.
3.2.7 Hình ảnh Shack-Hartmann khi có loạn thị cấp 2 và cầu sai bậc 3
Khi các giá trị chính dựa trên các thông số px=py=0,150 mm, hệ số σ biểu thị là 0,0098567 và 0,009876, còn tất cả các giá trị còn lại bằng 0, chúng ta thu được hình ảnh Shack-Hartmann và mặt sóng tương ứng, như thể hiện trong hình 3.9a và 3.9b.
Hình 3.9a Hình ảnh Shack-Hartmann khi có loạn thị cấp 2 và cầu sai bậc 3
Hình 3.9b Mặt sóng khi có loạn thị cấp 2 và cầu sai bậc
Kết luận chương 3
Trong chương này, chúng tôi trình bày phương pháp và các bước mô phỏng hình ảnh Shack-Hartmann bằng phần mềm Mathcad, giúp hiểu rõ quá trình phân tích quang sai Các kết quả mô phỏng thể hiện hình ảnh Shack-Hartmann của các loại quang sai điển hình như mặt sóng cầu sai bậc 3, quang sai coma sơ cấp, loạn thị sơ cấp, loạn thị cấp 2, cũng như sự kết hợp của nhiều loại quang sai như cầu sai bậc 3 và coma sơ cấp, qua đó phân tích ảnh hưởng của từng loại quang sai đến độ phân giải và chất lượng hình ảnh trong hệ thống quang học.
Từ cơ sở này, hình ảnh của cảm biến Shack-Hartmann có thể được mở rộng hơn khi khai triển hàm quang sai mặt sóng theo các đa thức Zernike ở các bậc cao hơn như bậc 6, bậc 7, giúp cải thiện độ chính xác trong đo lường quang sai và nâng cao hiệu quả của hệ thống trong các ứng dụng quang học phức tạp.
Phương pháp Shack-Hartmann đã được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi trong những năm gần đây, thúc đẩy tôi đi sâu vào nghiên cứu chuyên sâu về phương pháp này Đề tài luận văn tập trung mô phỏng hình ảnh Shack-Hartmann khi chùm sáng gặp quang sai giả định, nhằm hiểu rõ hơn về hiện tượng này Sau quá trình nghiên cứu và tìm hiểu, luận văn đã hoàn thành đúng mục tiêu đề ra, mang lại những kết quả quan trọng Một trong các thành quả chính là đã tìm hiểu về quang sai của mặt sóng và sử dụng đa thức Zernike để biểu diễn mặt sóng, qua đó khai triển hàm quang sai theo tổng các đa thức Zernike trong các hệ tọa độ trụ và Đề Các.
Đã nghiên cứu các phương pháp đo quang sai mặt sóng, đặc biệt là nguyên lý của phương pháp Shack-Hartmann để xác định quang sai mặt sóng Cảm biến Shack-Hartmann chủ yếu gồm hai thành phần chính là ma trận vi thấu kính và cảm biến ảnh CCD, trong đó các thông số của hai thành phần này ảnh hưởng trực tiếp đến chất lượng và độ chính xác của kết quả hình ảnh thu nhận.
3 Đưa ra phương pháp và các bước để tiến hành mô phỏng hình ảnh Shack-Hartmann Sử dụng phần mềm Mathcad tôi đã viết chương trình mô phỏng thành công hình ảnh Shack-Hartmann đối với một số loại quang sai điển hình
Kết quả mô phỏng thành công hình ảnh Shack-Hartmann dựa trên chùm ánh sáng có quang sai mặt sóng giả định cung cấp nền tảng quan trọng để đánh giá các phương pháp khôi phục mặt sóng hiệu quả Việc phân tích ảnh hưởng của các loại sai số khác nhau giúp xác định độ chính xác của quá trình đo mặt sóng và nâng cao độ tin cậy của các phương pháp xử lý Đồng thời, đánh giá độ chính xác của phần mềm khôi phục mặt sóng đảm bảo chất lượng và hiệu quả trong các ứng dụng quang học tiên tiến.
