Vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến trong dạy học giải bài tập toán 10

Khai thác vai trò của nguyên lý về mối liên hệ phổ biến trong dạy học toán, từ đó đề xuất các hoạt động giải bài tập toán và luyện tập dạng hoạt động đó trong dạy học giải bài tập Toán 1

1 Lý do chọn đề tài 5

2 Mục đích nghiên cứu 6

3 Đối tượng nghiên cứu 6

4 Giả thuyết khoa học 6

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 7

6 Phạm vi nghiên cứu 7

7 Phương pháp nghiên cứu 7

8 Dự kiến đóng góp của luận văn 7

9 Cấu trúc của luận văn 8

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 9

1.1 Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến thể hiện trong dạy học Toán nói chung và dạy học giải bài tập Toán nói riêng 9

1.1.1 Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến……… 8

1.1.2 Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến thể hiện trong dạy học Toán ở trường phổ thông nói chung và dạy học giải bài tập nói riêng

………10

1.2 Phương pháp dạy học giải bài tập Toán 14

1.2.1 Dạy học giải bài tập 14

1.2.1.1 Vị trí và chức năng của bài tập toán học 14

1.2.1.2 Những yêu cầu chủ yếu của lời giải bài tập 14

1.2.1.3 Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán 15

1.3 Các hoạt động của học sinh trong dạy học giải bài tập Toán 18

1.3.1 Những hoạt động toán học phức hợp 18

1.3.2 Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học 18

1.3.3 Những hoạt động trí tuệ chung 20

1.3.4 Những hoạt động ngôn ngữ 22

1.4 Tri thức trong hoạt động giải bài tập Toán 33

1.5 Khảo sát thực tiễn dạy học giải bài tập Toán 10 ở trường phổ thông 37

Chương 2 42

2.1 Phân tích nội dung chương trình Toán 10 42

2.2 Các dạng hoạt động chủ yếu trong dạy học giải bài tập với dự tính vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến 44

2.2.1 Hoạt động phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa nhằm tìm đoán phương pháp giải 45

2.2.2 Hoạt động biến đổi bài toán 50

2.2.3 Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ 53

2.3 Phương thức rèn luyện hoạt động phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa nhằm tìm đoán lời giải bài toán 61

2.3.1 Truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp 61

2.3.2 Phát triển khả năng dự đoán cho học sinh 63

2.4 Phương thức rèn luyện hoạt động biến đổi bài toán 70

2.4.1 Luyện tập cho học sinh biến đổi nội dung và hình thức của bài toán 70

2.4.2 Luyện tập cho học sinh phát hiện, thiết lập sự tương ứng giữa các đối tượng trong bài toán 72

2.5 Phương thức rèn luyện hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ 75

2.5.1 Luyện tập cho học sinh cách nhận dạng bài toán có thể chuyển đổi ngôn ngữ 75

2.5.2 Luyện tập thông qua hệ thống bài tập có thể giải bằng cách chuyển đổi ngôn ngữ 77

2.6 Kết luận chương 2 80

3.2 Tổ chức và nội dung thử nghiệm 81

3.2.2 Nội dung thử nghiệm 81

3.2.3 Đánh giá kết quả thử nghiệm 82

KẾT LUẬN 85

Tµi liÖu tham kh¶o 86

DANH MỤC NHỮNG CHỮ VIẾT TẮT

SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII khẳng định: “ Phải đổi mới phương pháp Giáo dục Đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo cho người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, hiện đại vào quá trình dạy học ”

Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IX của Đảng khẳng định lại: “ Tiếp tục nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đổi mới nội dung, phương pháp dạy và học ”

Luật Giáo dục nước Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998) quy định: “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn ”

1.2 Phương pháp luận duy vật biện chứng là cơ sở, là nền tảng của quá trình tư duy, quá trình nhận thức thế giới Dạy học là một quá trình nhận thức

Do đó việc trang bị kiến thức, rèn luyện kĩ năng cho học sinh cũng tuân theo những quy luật của phép biện chứng duy vật Ở trường phổ thông, hoạt động giải bài tập Toán có thể coi là một hoạt động chủ yếu của học sinh Bài tập toán ở trường phổ thông rất phong phú và đa dạng Một số dạng bài tập có sẵn thuật giải, nhưng phần lớn là những bài tập chưa có thuật giải Trong quá trình giải bài tập, học sinh phải biết khai thác các mối liên hệ: mối liên hệ bên trong, mối liên hệ bên ngoài, mối liên hệ nhân quả…để từ đó tìm ra phương pháp giải Do đó việc nghiên cứu và vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến là rất cần thiết Việc vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến vào tìm lời giải các bài toán có tác dụng lớn trong các khâu định hướng, lựa chọn

phương pháp, lựa chọn tri thức công cụ, phát triển các bài toán để có bài toán mới

1.3 Hiện nay, đề tài vận dụng các quan điểm của triết học duy vật biện chứng là một đề tài đã và đang được nhiều người nghiên cứu tiêu biểu như

GS Nguyễn Cảnh Toàn, GS Đào Tam, TS Nguyễn Thanh Hưng Một số trung tâm đào tạo lớn trong nước cũng đã đưa vào môn học này áp dụng cho các học viên cao học chuyên ngành phương pháp dạy học bộ môn Toán Tuy nhiên chưa có công trình nào nghiên cứu một cách có hệ thống về việc vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến vào dạy học giải bài tập Toán

Vì những lí do trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài luận văn là:

“Vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến trong dạy học giải bài tập Toán ở lớp 10”

2 Mục đích nghiên cứu

Khai thác vai trò của nguyên lý về mối liên hệ phổ biến trong dạy học toán, từ đó đề xuất các hoạt động giải bài tập toán và luyện tập dạng hoạt động đó trong dạy học giải bài tập Toán 10 theo định hướng hoạt động hóa người học

3 Đối tượng nghiên cứu

- Vai trò của nguyên lý về mối liên hệ phổ biến trong dạy học giải bài tập Toán

- Các dạng hoạt động giải bài tập toán

- Phương thức luyện tập các dạng hoạt động giải bài tập

4 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở khai thác vai trò của nguyên lý về mối liên hệ phổ biến, chúng tôi cho rằng cần và có thể xác định một số dạng hoạt động giải bài tập Toán 10 và đề xuất các phương thức luyện tập các dạng hoạt động đó nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học giải bài tập Toán 10 theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Làm rõ vai trò nguyên lý về mối liên hệ phổ biến trong dạy học giải bài tập Toán

- Sự cần thiết vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến trong dạy học giải bài tập Toán

- Đề xuất một số hoạt động giải bài tập Toán 10 dựa trên vai trò của nguyên lý về mối liên hệ phổ biến

- Đề xuất các phương thức luyện tập các dạng hoạt động trên

- Tiến hành thử nghiệm sư phạm nhằm đánh giá mục đích, giả thuyết khoa học của đề tài

- Nghiên cứu về đổi mới dạy học giải bài tập Toán ở trường THPT

- Nghiên cứu về các dạng hoạt động giải bài tập Toán dựa trên nguyên

lý về mối liên hệ phổ biến

7 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các vấn đề liên quan tới PPDH giải bài tập Toán, dạy học giải bài tập Toán theo tư tưởng Polya…

- Khảo sát thực tiễn: thực tiễn đổi mới phương pháp dạy học, thực tiễn dạy học giải bài tập Toán ở trường phổ thông

- Thử nghiệm sư phạm

- Phương pháp thông kê, đánh giá kết quả thử nghiệm

8 Dự kiến đóng góp của luận văn

Theo định hướng vận dụng vai trò của nguyên lý về mối liên hệ phổ biến trong dạy học giải bài tập Toán 10, luận văn dự kiến sẽ đạt được các kết quả sau:

- Đề xuất được các dạng hoạt động dạy học giải bài tập Toán 10 nhằm vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến trong dạy học giải bài tập Toán

- Đề xuất các phương thức luyện tập các dạng hoạt động nêu trên

9 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có 3 chương

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến thể hiện trong dạy học Toán nói chung và dạy học giải bài tập Toán nói riêng

1.2 Phương pháp dạy học giải bài tập Toán

1.3 Các hoạt động của học sinh trong dạy học giải bài tập Toán

1.4 Tri thức trong hoạt động giải bài tập Toán

1.5 Khảo sát các hoạt động trong dạy học giải bài tập Toán ở trường THPT

Chương 2 Xác định các dạng hoạt động chủ yếu trong dạy học giải bài tập Toán 10 với dự tính vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến

2.1 Phân tích nội dung chương trình Toán 10

2.2 Các dạng hoạt động chủ yếu trong dạy học giải bài tập với dự tính vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến

2.3 Các phương thức luyện tập các dạng hoạt động đó

Chương 3 Thử nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến thể hiện trong dạy học Toán nói chung và dạy học giải bài tập Toán nói riêng

1.1.1 Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến

nó tồn tại thông qua những mối liên hệ đặc thù của sự vật, nó phản ánh tính

đa dạng và tính thống nhất của thế giới

1.1.1.2 Nội dung nguyên lý:

Triết học duy vật biện chứng khẳng định mọi sự vật hiện tượng trong thế giới đều nằm trong mối liên hệ phổ biến, không có sự vật hiện tượng nào tồn tại một cách biệt lập mà chúng tác động đến nhau ràng buộc quyết định và chuyển hoá lẫn nhau Các mối liên hệ trong tính tổng thể của nó quy định sự tồn tại vận động, biến đổi của sự vật Khi các mối liên hệ thay đổi tất yếu sẽ dẫn đến sự thay đổi sự vật

1.1.1.3 Ý nghĩa của nguyên lý

a) Cơ sở khoa học của quan điểm toàn diện:

- Trong nhận thức và hoạt động phải xem xét sự vật trong tính toàn vẹn của nhiều mối liên hệ, nhiều mặt, nhiều yếu tố vốn có của nó kể cả các quá trình, các giai đoạn phát triển của sự vật cả trong quá khứ hiện tại và tương lai Có như vậy mới nắm được thực chất của sự vật Khi tuân thủ nguyên tắc này chủ thể tránh được sai lầm cực đoan phiến diện một chiều

- Không được đồng nhất và san bằng vai trò của các mối liên hệ của các mặt sự vật, phải phản ánh đúng vai trò của từng mặt, từng mối liên hệ, phải

rút ra được những mối liên hệ bản chất nhất chủ yếu của sự vật Khi tuân thủ nguyên tắc này con người sẽ tránh được sai lầm ngụy biện

b) Cơ sở khoa học của quan điểm lịch sử cụ thể

- Mọi sự vật hiện tượng trong thế giới vật chất tồn tại vận động phát triển bao giờ cũng diễn ra trong những hoàn cảnh cụ thể, trong không gian và thời gian xác định

- Điều kiện: Không gian và thời gian có ảnh hưởng tới đặc điểm tính chất sự vật Cùng là một sự vật nhưng ở trong những điều kiện hoàn cảnh khác nhau sẽ có những tính chất khác nhau

- Yêu cầu:

Khi nghiên cứu xem xét sự vật hiện tượng phải đặt nó trong hoàn cảnh

cụ thể, trong không gian thời gian xác định mà nó đang tồn tại vận động và phát triển đồng thời phải phân tích vạch ra ảnh hưởng của điều kiện hoàn cảnh của môi trường đối với sự tồn tại của sự vật, đối với tính chất của sự vật

và đối với xu hướng vận động và phát triển của nó

- Khi vận dụng một lý luận nào đó vào trong thực tiễn cần phải tính đến điều kiện cụ thể của nơi vận dụng tránh bệnh giáo điều dập khuôn, máy móc, chung chung

1.1.2 Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến thể hiện trong dạy học Toán ở trường phổ thông nói chung và dạy học giải bài tập nói riêng

1.1.2.1 Thể hiện trong định hướng xây dựng chương trình môn Toán ở

nhà trường phổ thông

Khi xây dựng chương trình môn toán học ở trường THPT Bộ Giáo dục

đã quán triệt một số quan điểm mang tính chủ đạo sau:

- Chương trình không chỉ nêu nội dung và thời lượng dạy học mà thực

sự là một kế hoạch hành động sư phạm (thể hiện mối liên hệ nội tại của quá trình giáo dục, cùng với mối liên hệ giữa quá trình giáo dục với những yếu tố bên ngoài), kết nối mục tiêu giáo dục với các lĩnh vực nội dung và phương

pháp giáo dục, phương tiện dạy học (PTDH), tổ chức các hoạt động dạy học

và cách thức đánh giá kết quả học tập của HS

- Chương trình đảm bảo sự phát triển giữa các cấp học, bậc học, đảm bảo tính liên thông giữa giáo dục phổ thông với giáo dục chuyên nghiệp, giáo

dục đại học Chương trình phải đảm bảo được tính phù hợp chung cho nhiều

đối tượng là HS trong cả nước

- Giữa các vấn đề về mục đích- nội dung - mục tiêu - phương pháp - phương tiện -môi trường giáo dục dạy học luôn được đổi mới, đổi mới một cách đồng bộ, hợp quy luật trên cơ sở quán triệt „„quan điểm toàn diện’’ về

các vấn đề giáo dục Cần đảm bảo đầy đủ, cụ thể và cân đối các chức năng lí luận dạy học từ tiếp nhận kiến thức mới, luyện tập, thực hành ứng dụng, củng

cố ôn tập, kiểm tra đánh giá

- Nội dung chương trình cần bảo đảm tính liên môn, sao cho các môn học hỗ trợ được cho nhau, tránh trùng lặp, mâu thuẫn Đặc biệt cần tích hợp các kiến thức chứa đựng những vấn đề đang được quan tâm như: các dạng toán ứng dụng đang phổ biến hiện nay (thống kê, xác suất, giải tích tổ hợp, hình giải tích )

- Sách giáo khoa nói chung và sách giáo khoa môn toán nói riêng không đơn giản là tài liệu thông báo các kiến thức có sẵn mà là tài liệu giúp

HS tự học, tự phát hiện và giải quyết các vấn đề để chiếm lĩnh và vận dụng kiến thức mới một cách linh hoạt, chủ động và sáng tạo Sách giáo khoa phải

lấy HS làm trung tâm cho mọi hoạt động giáo dục

- Chương trình cần đảm bảo “tính kế thừa” Phát huy các ưu điểm của

sách giáo khoa cũ, sách giáo khoa thí điểm, sách giáo khoa của các nước phát triển, sách giáo khoa của các môn học các cấp học, đặc biệt là SGK của các môn học cùng cấp học, bậc học, để đảm bảo sự phát triển liên tục các mảng kiến thức, đảm bảo tính thời đại của nội dung

Môn Toán ở trường phổ thông đề cập chủ yếu đến những mối quan hệ giữa những số và những đối tượng hình học Nội dung môn Toán trong nhà trường phổ thông chủ yếu bao gồm các lĩnh vực sau, được tập hợp thành hai

1.1.2.2 Thể hiện trong dạy học Toán ở trường phổ thông

a) Thể hiện trong dạy học nội dung mới

Các nội dung mới trong chương trình đều được xây dựng xuất phát từ nội bộ toán học hoặc là do yêu cầu từ thực tiễn đòi hỏi tức là dựa trên quá trình khai thác mối liên hệ giữa kiến thức mới và kiến thức cũ, giữa các chương, bộ môn và giữa mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn

Ví dụ:

- Khi xây dựng khái niệm tổng hai vectơ ở chương 1 hình học 10, sách giáo khoa xuất phát từ vấn đề làm thế nào để tìm hợp lực của hai lực không cùng giá cùng đặt vào một vật Vấn đề này cũng được đề cập trong sách vật lý

10 ở phần động lực học Giáo viên cần tổ chức các hoạt động để khai thác các

ví dụ thực tế, yêu cầu từ bộ môn vật lý để gợi động cơ học tập

- Trong dạy học giải quyết vấn đề, để tạo ra tình huống có vấn đề, người giáo viên dựa trên mối quan hệ giữa tri thức cũ, kĩ năng cũ và kinh nghiệm cũ đối với yêu cầu giải thích sự kiện mới hoặc đổi mới tình thế

a   (Định lí Pitago) và hệ thức trên chỉ đúng cho tam giác vuông, không thể áp dụng cho một tam giác bất kì Nhưng mặt khác tam giác vuông là trường hợp riêng của tam giác bất

kì Vậy ta có thể “khẳng định rằng” có một hệ thức tổng quát hơn đúng cho

cả hai trường hợp

Xuất phát từ một số trường hợp đặc biệt khác (tam giác đều, tam giác cân )

để chúng ta có thể đưa đến hệ thức tổng quát (định lí cosin):

A c b c b

a2  2  2 2 cosb) Thể hiện trong dạy học giải bài tập Toán

Các bài tập Toán được tạo ra từ các mối liên hệ: liên hệ giữa các phần kiến thức, liên hệ giữa giả thiết và kết luận, liên hệ giữa các bộ phận, các yếu

tố với nhau Trong dạy học giải bài tập, mặc dù chúng ta ít khi nói đến nguyên lý về mối liên hệ phổ biến nhưng các bài tập Toán, quá trình dạy học giải bài tập đều chịu sự quy định của nguyên lý này Ví dụ như khi chúng ta thực hiện các hoạt động phân tích và tổng hợp, đối tượng mà chúng ta đang

làm việc là mối liên hệ giữa các yếu tố, các mặt tạo nên bài toán Hay như khi chúng ta nói rằng cần phải rèn luyện cho học sinh khả năng chuyển đổi ngôn ngữ tức là chúng ta đang rèn luyện cho các em biến đổi các mối quan hệ giữa nội dung và hình thức bài toán

1.2 Phương pháp dạy học giải bài tập Toán

1.2.1 Dạy học giải bài tập

1.2.1.1 Vị trí và chức năng của bài tập toán học

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh trong đó giải toán là hình thức chủ yếu Do vậy dạy bài tập toán có vị trí quan trọng trong dạy học toán nhằm đạt nhiều mục đích khác nhau thể hiện ở các chức năng:

a) Chức năng dạy học:

- Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề lý thuyết

đã học Qua đó học sinh hiểu sâu hơn và biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết các tình huống cụ thể

- Có khi bài tập lại là một định lí, mà vì lý do nào đó không đưa vào lý thuyết Cho nên qua việc giải bài tập học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình b) Chức năng giáo dục:

Qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới

c) Chức năng phát triển:

Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tụê, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học d) Chức năng kiểm tra:

Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc

lập học toán và trình độ phát trển của học sinh

1.2.1.2 Những yêu cầu chủ yếu của lời giải bài tập

Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững các yêu cầu của lời giải Một lời giải đúng và tốt cần đạt được các yêu cầu sau:

- Lời giải có kết quả đúng, kể cả ở bước trung gian

Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ thỏa mãn yêu cầu của đề ra Lời giải không thể chứa những sai

lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức

- Lời giải phải có lập luận chặt chẽ

Lời giải bài tập toán cần tuân thủ các yêu cầu: luận đề nhất quán, luận

cứ đúng, luận chứng phải hợp loogic

- Lời giải phải đầy đủ

Yêu cầu này nghĩa là lời giải không được bỏ sót một trường hợp, một chi tiết cần thiết nào Ví dụ như giải phương trình không được thiếu nghiệm, phân chia trường hợp phải đầy đủ

- Ngôn ngữ trong lời giải phải chính xác

- Trình bày lời giải rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật

Trên đây là các yêu cầu cơ bản của một lời giải bài tập toán, ngoài các yêu cầu trên, người giáo viên cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho cùng một bài toán, phân tích so sánh những cách giải khác nhau để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lí nhất trong số các lời giải đã tìm được đồng thời nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

1.2.1.3 Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán

Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú Việc giải bài tập là một yêu cầu quan trọng đối với mọi học sinh Có thể chia bài tập toán học ra làm hai loại:

a) Loại có sẵn thuật toán

Để giải loại này học sinh phải nắm vững các quy tắc giải đã học, rèn luyện

kỹ năng, kỹ xảo Đây là cơ sở quan trọng để giải các bài toán phức tạp hơn

Yêu cầu cho học sinh là:

- Nắm vững quy tắc giải đã học

- Nhận dạng đúng bài toán

- Giải theo quy tắc đã học một cách thành thạo

b) Loại chưa có sẵn thuật toán

Loại bài tập này chiếm số lượng khá lớn trong sách giáo khoa và gây cho học sinh không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình Đây là một trở ngại lớn trong học tập của học sinh Do vậy khi dạy học sinh giải bài tập, không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là: Dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp lý để giải bài toán

Trong dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ năng quan trọng nhất, mà việc rèn luyện các thao tác tư duy là một thành phần không thể thiếu trong dạy học giải toán Trong tác phẩm Giải bài toán như thế nào của G Pôlya ông đã đưa ra 4 bước để đi đến lời giải bài toán

Bước 1: Hiểu rõ bài toán:

Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải có hứng thú giải bài toán đó Vì vậy điều đầu tiên người giáo viên cần chú ý hướng dẫn học sinh giải toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải toán của các em, giúp các em hiểu bài toán phải giải muốn vậy cần phải phân tích giả thiết và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Điều kiện, dữ kiện này liên quan tới điều gì? Có thể biểu diễn bài toán dưới

một hình thức khác được không? Như vậy, ngay ở bước “Hiểu rõ đề Toán” ta

đã thấy được vai trò của các thao tác tư duy trong việc định hướng lời giải

Bước 2: Xây dựng chương trình giải:

Trong bước thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của các thao tác tư duy thể hiện

rõ nét hơn qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn, biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự đoán thông qua xét các trường hợp đặc biệt, xét các bài toán tương tự hay khái quát hoá hơn vv thông qua các kỹ năng sau bằng cách đặt các câu hỏi:

- Huy động kiến thức có liên quan:

* Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào chưa? Em

có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được không?

* Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự?

* Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử dụng kết quả của nó không?

- Dự đoán kết quả phải tìm:

* Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Em

có thể giải một phần của bài toán?

* Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa? Đã

để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?

- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm hướng giải quyết vấn đề

Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để được những gợi

ý trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho các bài toán Tuy nhiên để đạt được điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì tất cả các giờ dạy Toán đồng thời học sinh phải được tự mình áp dụng vào hoạt động giải toán của mình

Bước 3: Thực hiện chương trình giải:

Khi thực hiện chương trình giải hãy kiểm tra lại từng bước Em đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể chứng minh là nó đúng không?

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được:

Học sinh phổ thông thường có thói quen khi đã tìm được lời giải của bài toán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gì không, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải Vì

vậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thường xuyên thực hiện các yêu cầu sau:

- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận

- Xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán

- Tìm cách giải khác của bài toán: Một bài toán thường có nhiều cách giải, học sinh thường có những suy nghĩ khác nhau trước một bài toán nhiều khi độc đáo và sáng tạo Vì vậy, giáo viên cần lưu ý để phát huy tính sáng tạo của học sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một bài toán Tuy nhiên cũng không nên quá thiên về lời giải hay, làm cho học sinh trung bình và kém chán nản Tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải bài toán này cho một bài toán khác, đề xuất bài toán mới: Có thể yêu cầu này là quá cao đối với học sinh yếu kém, nhưng có thể coi là một phương hướng bồi dưỡng học sinh giỏi Tuy nhiên, trong một số trường hợp đơn giản, dễ hiểu, giáo viên có thể cho học sinh toàn lớp thấy được việc phân tích lời giải của bài tập toán để áp dụng vào bài toán khác hoặc đề xuất ra bài toán mới

1.3 Các hoạt động của học sinh trong dạy học giải bài tập Toán

Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn Toán Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng

và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ

1.3.1 Những hoạt động toán học phức hợp

Bao gồm các hoạt động như chứng minh, định nghĩa, giải toán bằng cách lập phương trình, giải toán dựng hình, giải toán quỹ tích thường xuyên lặp đi, lặp lại nhiều lần trong SGK toán phổ thông

1.3.2 Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học

Bao gồm các hoạt động như lật ngược vấn đề, xét tính giải được, phân chia trường hợp

a) Lật ngược vấn đề

Trong dạy học định lí, lật ngược vấn đề là khi ta chứng minh xong được một định lí thì sẽ kiểm tra xem liệu mệnh đề đảo có đúng không Trong dạy học giải bài tập toán, hoạt động này thường diễn ra trong giai đoạn mở đầu của hoạt động giải bài tập của học sinh Các bài toán thường cho trước giả thiết và sau đó yêu cầu chứng minh kết luận Lật ngược vấn đề là xuất phát từ kết luận để có thể hiểu được sự liên quan giữa giả thiết và kết luận

b) Xét tính giải được

Nếu là một bài toán chứng minh, xét tính giải được nghĩa là kiểm tra tính đúng sai của kết luận, kiểm tra giả thiết đã đủ để suy ra kết luận hay chưa Đối với cá bài toán phương trình, dựng hình,…xét tính giải được là kiểm tra xem phương trình có nghiệm hay không, có bao nhiêu nghiệm…

Phân chia trường hợp: Khi giải phương trình ta có thể phân chia thành

x , do cả hai vế đều không âm nên ta có thể bình

phương hai vế và thu được phương trình: 2 2

3x 6x  1 (2x 1) Hiển nhiên lúc này ta đã có điều kiện 2

3x 6x 1 0

1.3.3 Những hoạt động trí tuệ chung

Những hoạt động này được gọi là hoạt động trí tuệ chung vì chúng được thực hiện ở các môn học khác Hoạt động trí tuệ chung bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa

 Hoạt động phân tích: Tách sự vật thành từng chi tiết bộ phận để nghiên cứu

 Hoạt động tổng hợp: hợp nhất các chi tiết, các bộ phận để tạo thành tái tổng thể

Trong dạy học giải bài tập toán các hoạt động phân tích tổng hợp diễn ra xen kẽ nhau Phân tích tạo tiền đề cho tổng hợp, tổng hợp lại định hướng phân tích

 Hoạt động khái quát hóa: là hoạt động trí tuệ chuyển từ việc nghiên cứu một tính chất nào đó từ một tập các đối tượng A sang tập B chứa A

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 đường thẳng:

(d1): x – y = 0 (d2): 2x + y – 1 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng A d 1; Cd2các đỉnh B,

D thuộc trục hoành

Học sinh khi đứng trước bài toán này có thể sẽ thực hiện các hoạt động sau:

Học sinh có thể sẽ suy nghĩ theo 2 hướng:

+) Dựa vào điều kiện hình vuông của tứ giác ABCD:

+) Dựa vào tính chất 2 đường chéo của hình vuông:

Suy nghĩ theo hướng này, học sinh phải phân tích tiếp ngoài tính chất

1.3.4 Hoạt động ngôn ngữ

Hoạt động này được thực hiện như khi học sinh được yêu cầu phát biểu, giải thích một vấn đề bằng lời lẽ của mình hoặc bằng cách biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác (theo [7], tr 100) chẳng hạn từ dạng kí hiệu toán học sang dạng ngôn ngữ tự nhiên hay biến đổi một bài toán hình học về bài toán tọa độ

Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB cố định và đường thẳng d cố định song song

với AB Điểm C di động trên d Tìm quỹ tích trực tâm tam giác ABC

Nhận xét về bài toán:

Học sinh sẽ thấy rằng bài toán này có giả thiết thật đơn giản, chỉ có đoạn thẳng cố định, một điểm di động trên đường thẳng song song rồi tìm trực tâm; thêm nữa, bài toán này có vẻ quen thuộc nên chỉ vẽ hình ra và cố gắng kẻ đường phụ để giải Thế nhưng, chắc chắn các bạn này sẽ khó mà tìm được một lời giải hình học thuần túy cho bài toán này khi mà trên thực tế quỹ tích của H là một đường

parabol!

Nếu không cẩn thận vẽ hình trước nhiều lần để dự đoán quỹ tích, chắc chắn rằng đây không còn là một quỹ tích đường thẳng, đường cong thông thường

mà mò mẫm đi tìm không đúng cách sẽ không đi đến kết quả muốn có Bài toán này không khó nhưng nếu không lựa chọn đúng công cụ thì không thể nhanh chóng thành công trong việc giải nó được Ở đây, chúng ta sẽ khai thác các mối liên hệ giữa các điểm A, B, C, H để giải quyết Kết hợp với những dự

H

O

C

đoán quỹ tích ban đầu, ta có thể thấy bài này cần sử dụng phương pháp tọa độ

để tìm ra quỹ tích điểm H

Việc chuyển đổi bài toán hình học thông thường sang bài toán hình học tọa

độ là một trong những hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ thường được sử dụng

trong giải toán ở trường phổ thông Lời giải của bài toán này như sau:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét A (-1; 0), B (1; 0) và đường thẳng d

có phương trình: ya a,  0, do C di động trên đó nên có tọa độ là C (m; a),

m

Ta sẽ tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC

Phương trình đường cao của tam giác ứng với đỉnh C là: x = m Phương trình đường cao ứng với đỉnh A là: (m 1)(x  1) ay  0 (m 1)x ay   m 1 0

Tọa độ trực tâm của tam giác ABC là nghiệm của hệ:

1.3.5 Hoạt động huy động kiến thức

Đối với các bài toán chưa có sẵn thuật giải, học sinh phải tự tìm ra phương pháp dựa trên những kiến thức đã có Việc nhớ có chọn lọc các kiến thức đó được gọi là sự huy động kiến thức Đứng trước một bài toán, bao giờ người học cũng phải huy động được một số lượng kiến thức liên quan đủ cho

quá trình giải Mỗi người có một khả năng huy động kiến thức khác nhau Việc huy động kiến thức tốt hay không tốt chủ yếu phụ thuộc vào lượng kiến thức, kinh nghiệm đã thu nhận được và đặc biệt là phụ thuộc vào năng lực huy động kiến thức Sau đây ta xét đến một số biểu hiện của năng lực huy động kiến thức khi giải toán bao gồm: năng lực dự đoán vấn đề, năng lực chuyển đổi ngôn ngữ, năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự, năng lực nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau

a) Năng lực dự đoán vấn đề

Con đường tìm đoán lời giải của một bài tập toán gắn chặt với các kiến thức đã có Khi đứng trước một bài tập toán, ở đây ta đang xét các bài tập toán chưa có sẵn thuật giải, ta phải mò mẫm, dự đoán cách giải quyết đồng thời tìm cách kiểm tra dự đoán của mình có phù hợp với bài toán hay không Không thể khẳng định ngay là dự đoán của mình chính xác, nhưng trong nhiều trường hợp, người giải cảm nhận được tính khả thi trong các dự đoán

đó

Dự đoán là khâu quan trọng giúp ta định hướng được lời giải của bài toán Việc dự đoán chính xác đến đâu tùy thuộc vào kinh nghiệm, kiến thức vốn có của mỗi người Một dự đoán đúng hướng giúp ta giảm bớt công việc mày mò, tính toán Trước mỗi bài toán chưa có thuật giải, học sinh không nên vội vàng đi vào tính toán, chứng minh ngay mà cần căn cứ vào những giả thiết và kết luận và các thao tác phân tích, tổng hợp để có những phán đoán như: bài toán này thuộc vào chương kiến thức nào mà mình đã học? Nên bắt đầu từ đâu? Bài toán này có giống với bài toán nào đó đã biết hay không?

Ta có thể minh họa bằng ví dụ sau đây:

Ví dụ: Cho ABC cân ở A Đường cao AH, từ H kẻ HDAC M là

trung điểm của HD Chứng minh rằng AM BD

Phân tích: Từ kết luận bài toán, ta sẽ đặt ra câu hỏi:

Để chứng minh 2 đường thẳng vuông góc với nhau ta đã có những cách nào?

Các câu trả lời có thể cho câu hỏi này:

- Sử dụng tính chất của trực tâm

- Sử dụng tính chất một tam giác có hai góc tổng bằng 900

- Sử dụng phương pháp vectơ

- Sử dụng phương pháp tọa độ

Sau khi chọn một phương pháp thì học sinh lại cần tiếp tục dự đoán,

mò mẫm bởi vì cách giải bài toán chưa được tìm thấy

Ví dụ như khi chọn cách thứ nhất: sử dụng tính chất của trực tâm Người học cần huy động được các kiến thức liên quan đến điểm trực tâm của tam giác và cách sử dụng trực tâm trong bài toán chứng minh vuông góc Cụ thể ở đây ta lợi dụng tính chất là nếu kẻ một

đường thằng đi qua một đỉnh của tam giác và trực tâm của nó thì ta được đường cao của tam giác Vấn đề xuất hiện ở đây: trực tâm trong bài toán này là điểm nào? Điểm H hay điểm E hay M hay là D?

Cứ tiếp tục như vậy kết hợp với phương pháp loại trừ thì ta có thể tìm thấy chìa khóa cho lời giải

Qua ví dụ trên, ta thấy rằng để dự đoán tốt học sinh cần có một vốn kiến thức và kinh nghiệm tương đối vì “nguyên liệu” cho quá trình dự đoán chính là các kiến thức được huy động

b) Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ

Không phải mọi bài toán đặt ra đều giải một cách trực tiếp mà có rất nhiều bài toán ta phải dựa vào những quan hệ trong toán học để chứng minh chúng theo một quan hệ khác Ví dụ như trong hình học, để chứng minh quan

hệ song song ta lại đi chứng minh thông qua quan hệ vuông góc và ngược lại Hành động chuyển đổi này thường được gọi là chuyển đổi trong nội tại trong một ngôn ngữ

Ngoài ra, ta còn có chuyển đổi từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác

Ví dụ như chuyển “ngôn ngữ đại số” sang “ngôn ngữ hình học” và ngược lại

ta chuyển đổi bài toán hình học về bài toán đại số đơn thuần Trong chương trình hình học lớp 10, hình học được nghiên cứu bằng hai phương pháp: phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ Dù bằng phương pháp nào thì chúng vẫn có chung một đối tượng nghiên cứu, chỉ có điều chúng thể hiện ở ngôn ngữ khác nhau Một đối tượng, một quan hệ hình học sẽ được thể hiện khác nhau tùy theo phương pháp nghiên cứu nó Do đó giữa các ngôn ngữ này

có thể chuyển đổi với nhau Một đối tượng hay quan hệ hình học nếu được thể hiện qua ngôn ngữ khác

Ví dụ: Cho ABC cân ở A Đường cao AH, từ H kẻ HD AC M là

trung điểm của HD Chứng minh rằng AM BD

Bài toán này chính là bài toán ở ví dụ vừa nêu trên Nó có thể giải bằng phương pháp hình học thuần túy, nhưng ở đây ta xem xét nó dưới dạng vận dụng hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ để giải quyết bài toán:

Trước hết ta chuyển bài toán này về dạng sử dụng phương pháp vectơ Đầu tiên là kết luận của bài toán: AM BD có thể chuyển đổi thành AM BD hay

là AM BD  0

Sau khi chuyển đổi kết luận của bài toán, vấn đề mới nảy sinh: Làm thế nào để chứng minh được biểu thức AM BD  0

Câu trả lời thông thường nhất cho câu hỏi trên là ta sẽ phân tích hoặc nói cách khác là biểu thị hai vectơ AM và BD theo các vectơ cùng gốc

Tiếp tục, người giải lại phải tìm ra được các vectơ cùng gốc đó là những vectơ nào Đến bước này học sinh cần phải dự đoán và thử sai để chọn được hai vectơ phù hợp Ở khâu dự đoán này rất cần kinh nghiệm và khả năng suy luận logic của người học để giảm thời gian mày mò, tìm đoán

Quá trình chuyển đổi cứ lần lượt các vấn đề đỏi hỏi phải giải quyết, cứ như thế cho đến khi lời giải hoàn chỉnh được trình bày Một trong những lời giải cho bài toán trên theo phương pháp vectơ là:

đó, người học cũng cần phải nhớ lại được cách chuyển đổi các quan hệ sang tọa độ, các quy tắc tính toán, trong phương pháp tọa độ

c) Năng lực quy lạ về quen

Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó, trong toán học hai bài toán được gọi là tương tự nhau nếu hoặc chúng có cùng phương pháp giải; hoặc cùng giả thiết, hoặc cùng kết luận; hoặc được đề cập đến những vấn đề giống

nhau, những đối tượng có tính chất giống nhau Khai thác chức năng của bài tập tương tự là một trong những việc làm quan trọng trong dạy học bởi nó có vai trò khắc sâu kiến thức đã học, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo

Biến đổi về dạng tương tự là một hoạt động biến đổi đối tượng, hoạt động này thể hiện trong tiến trình người giải toán phải làm bộc lộ đối tượng của hoạt động (các khái niệm toán học, các qui luật về mối liên hệ giữa các đối tượng toán học, các quan hệ giữa chúng) Những hoạt động đó là để biến đổi cấu trúc, nội dung và hình thức của đối tượng, sao cho các tri thức mới tương thích với các tri thức đã có; từ chủ thể xâm nhập vào đối tượng, hiểu và giải thích chúng, vận dụng chúng với tư cách là sản phẩm của hoạt động nhận thức Để sự tìm tòi được thuận lợi, nhiều khi cũng cần có những thủ thuật để biến cái khó thành cái dễ, biến ý đồ thành những việc cụ thể

Việc biến đổi đối tượng sẽ dẫn đến những bài toán tương tự Có rất nhiều dạng tương tự, ví dụ sau đây thể hiện một sự biến đổi để đưa về dạng tương tự đã biết:

Ví dụ: Giải phương trình:

x  x  x  xPhương trình này nếu cứ để nguyên và bình phương hai vế ta sẽ thu được một phương trình bậc 4 Học sinh sẽ rất khó khăn trong việc giải phương trình đó Vậy tức là phải tìm một hướng đi khác? Thông thường ta sẽ nghĩ đến việc khử căn thức Ở bài toán này, khi nhìn vào đề ra, ta thấy ngay hai vế này có một sự tương tự Cụ thể ở vế phải ta có 2

Lời giải:

Điều kiện: 2

3 4 0

x  x   x R

A A A A

đã giải

d) Năng lực nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau Căn cứ vào bản chất của kiến thức toán học vào mối quan hệ duy vật biện chứng ta thấy mỗi nội dung, mỗi một vấn đề có thể nhìn nhận dưới nhiều góc độ, có nhiều hình thức biểu đạt khác nhau Một bài toán có thể ta phải chuyển đổi ngôn ngữ bằng cách: đại số hoá, lượng giác hoá, hình học hoá; hoặc chuyển đổi trong nội tại của một ngôn ngữ như: chuyển đổi ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véc tơ, toạ độ, biến hình Hoặc có thể nhìn nhận nó dưới nhiều “cái riêng” khác nhau, chẳng hạn nhìn tam giác là một tứ giác có một cạnh bằng không, một tứ giác có một góc bằng 1800

tin sẽ giải quyết được vấn đề bởi lẻ bài toán đang giải đó nó còn ẩn tàng những cách giải ở những góc độ nào đó mà chúng ta phải khám phá ra

Cách 1: Ta thử chứng minh bằng phương pháp biến đổi tương đương Bình phương hai vế ta có:

Cách 2: Nhìn vào đề ra ta thấy vế trái có 4 thành phần

c, b c , c, a c và dễ thấy c b c  b c a c,   cđiều này sẽ gợi ý cho ta

áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpxki Lời giải như sau:

Ta tính ngay được cạnh BC a CD,  b

Như vậy biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ, khía cạnh khác nhau không những củng cố được kiến thức mà còn rèn luyện, bồi dưỡng thêm khả năng huy động kiến thức ở học sinh

Việc tăng cường mối liên hệ giữa các chương, mục trong một môn học cũng hình thành nên các cách giải quyết khác nhau cho một vấn đề

Ngoài ra năng lực huy động kiến thức còn được thể hiện qua năng lực khái quát hóa, đặc biệt hóa…Người thầy giáo luôn phải đưa ra những gợi ý kịp thời và có ích để khuyến khích học sinh tìm tòi, phát hiện Có thể bắt đầu từ những câu hỏi của G.Polya như “Ta đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay là

ta đã gặp nó dưới một dạng hơi khác” Còn học sinh khi giải toán phải biết sắp xếp, lưu trữ kiến thức trong đầu sao cho hợp lý để khi cần huy động được chính xác, đầy đủ và phải biết giữ trong trí nhớ cái bản chất của những kiến thức toán học dưới dạng định lý đã chứng minh Ta có thể khẳng định không huy động kiến thức thì không thể giải được bài tập toán và cao hơn nữa là không thể kiến tạo tri thức cho bản thân

1.3.6 Hoạt động biến đổi bài toán

a) Bài toán: Thuật ngữ "bài toán" được hiểu theo nghĩa rộng thông qua một số định nghĩa sau:

G Pôlya cho rằng: " Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay"

Bách khoa tri thức phổ thông định nghĩa : "Khái niệm bài toán hiểu là một công việc hoàn thành được nhờ những phương pháp đã biết trong những điều kiện cho trước"

Fanghaenel, Stoliar định nghĩa thuật ngữ bài toán như sau: "Bài toán là một sự đòi hỏi hành động, trong đó đã quy định:

- Đối tượng của hành động (cái đã có trong bài toán)

- Mục đích của hành động (cái phải tìm trong bài toán)

- Các điều kiện của hành động (mối quan hệ giữa cái đã có và cái phải tìm)

Như vậy, khái niệm bài toán được gắn liền với hành động của chủ thể, không thể nghiên cứu bài toán tách rời với hành động của chủ thể

b) Sự cần thiết biến đổi bài toán:

Theo G.Pôlia sự biến đổi bài toán là cốt yếu Sự kiện này có thể giải thích bằng nhiều cách Chẳng hạn muốn đi tới cách giải một bài toán ta phải động viên và tổ chức những kiến thức đã có từ trước Chúng ta cần phải nhớ lại và vận dụng hàng loạt những yếu tố cần thiết cho việc giải bài toán Việc biến đổi bài toán giúp ta nhớ lại những yếu tố đó

Nhờ khả năng huy động kiến thức sẵn có cộng với khả năng liên tưởng của mỗi người, vấn đề mà chúng ta đang suy nghĩ tới có khuynh hướng gợi lại trong trí nhớ của ta, cái liên quan với nó trước kia Nhờ hoạt động biến đổi bài toán, ta thu được các chi tiết mới, và như vậy đã tạo ra những liên hệ mới,

những khả năng mới quen thuộc hơn nhằm giải quyết vấn đề từ đó từng bước định hướng rõ ràng lời giải của bài toán

c) Hoạt động biến đổi bài toán là hoạt động trí tuệ của chủ thể nhận thức nhằm biến đổi cấu đổi cấu trúc bên trong, nội dung và hình thức của bài toán, sao cho các tri thức mới ẩn chứa trong bài toán tương thích với các tri thức đã có Trong triết học nội dung là tổng hợp tất cả những mặt, những yếu

tố, những quá trình tạo nên sự vật còn hình thức là phương thức tồn tại và phát triển của sự vật, là hệ thống các mối liên hệ tương đối bền vững giữa các yếu tố của sự vật đó Thí dụ, nội dung một tác phẩm văn học là toàn bộ những

sự kiện của cuộc sống hiện thực mà tác phẩm phản ánh, còn hình thức bên trong của tác phẩm đó là thể loại, những phép thể hiện được tác giả sử dụng trong tác phẩm như phương pháp kết cấu bố cục, nghệ thuật xây dựng hình tượng, các thủ pháp miêu tả, tu từ Ngoài ra, một tác phẩm văn học còn có hình thức bề ngoài như màu sắc trình bày, khổ chữ, kiểu chữ

Trong toán học ta có thể hiểu khái niệm nội dung và hình thức như sau: Nội dung của một bài toán là tất cả các yếu tố trong giả thiết, kết luận và yếu

tố ngôn ngữ trong phương thức diễn đạt nên bài toán đó Còn hình thức là hệ thống các mối liên hệ bền vững giữa các yếu tố đã cho trong bài toán Hệ thống các mối liên hệ này bao gồm các liên hệ chặt chẽ giữa các giải thiết và kết luận, sự quy định và ràng buộc lẫn nhau giữa các yếu tố trong giả thiết bài toán

1.4 Tri thức trong hoạt động giải bài tập Toán

Tri thức trong hoạt động là một trong bốn thành tố cơ sở của phương pháp dạy học Nó là một trong những tư tưởng chủ đạo thể hiện quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học (theo Nguyễn Bá Kim) Nội dung của

tư tưởng chủ đạo này là: “ dẫn dắt học sinh kiến tạo thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như là phương tiện và kết quả của hoạt động”

Các dạng tri thức thường gặp:

Tri thức sự vật: Những hiểu biết về hiện thực khách quan mà con người

đã tích lũy được Trong môn toán đó là: khái niệm, định lí, phương pháp giải Toán, có khi là một yếu tố lịch sử

Tri thức phương pháp: Gồm có hai loại, phương pháp có tính chất thuật

toán và phương pháp có tính chất tìm đoán

Tri thức chuẩn: Những kiến thức có liên quan đến chuẩn mực đạo đức (ít

gặp ở môn Toán)

Tri thức giá trị: Có nội dung là những mệnh đề đánh giá Ví dụ như:

"Khái quát hóa là một thao tác trí tuệ cần thiết cho mọi khoa học" hay "phép tương tự có lẽ là có mặt trong mọi phát minh và trong một số phát minh nó chiếm vai trò quan trọng hơn cả" (theo G.Polya)

Trong những dạng tri thức kể trên thì tri thức phương pháp đóng một vai

trò quan trọng trong việc tổ chức hoạt động vì đó là cơ sở định hướng cho hoạt động

Những tri thức phương pháp thường gặp trong dạy học toán:

- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động toán học cụ thể như cộng hai số hữu tỉ, giải phương trình bậc hai…

- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động toán học phức tạp như định nghĩa, chứng minh…

- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động trí tuệ phổ biến như tư duy hàm, phân chia các trường hợp

- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tương tự,

- Những tri thức về phương pháp tiến hành nhữn hoạt động ngôn ngữ logic

như lập mệnh đề đảo, liên kết các mệnh đề nhờ các phép nối logic, điều kiện cần

Vì vậy trong dạy học giải bài tập, ta cần quan tâm đến cả những tri thức cần thiết lẫn những tri thức đạt được trong quá trình hoạt động

Ví dụ: Khi học đến phần bất đẳng thức, học sinh phải chứng minh bất đẳng thức sau đây:

Bài toán 1 Cho a b,  0 chứng minh: a b  2 ab Tri thức phương pháp mà hầu hết học sinh sẽ sử dụng là phương pháp chứng minh bất đẳng thức đã học ở trường THCS, cụ thể là phương pháp biến đổi tương đương Bài toán dễ dàng được chứng minh Trong hoạt động đó tri thức phương pháp đóng vai trò là phương tiện, và nó thể hiện là kết quả của hoạt động trong bài toán sau:

Trong dạy học giải bài tập toán, tri thức phương pháp đóng vai trò định hướng trực tiếp cho các hoạt động và ảnh hưởng quan trọng đến việc rèn luyện kĩ năng

Ta xem xét vai trò của tri thức trong hoạt động giải bài tập ở hai khía cạnh sau:

a) Tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như là phương tiện của hoạt động

Khá nhiều bài toán trong chương trình phổ thông thuộc dạng có thuật giải tổng quát như phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai, phương trình trùng phương…Việc nắm vững cách giải và rèn luyện kĩ năng giải toán này đóng một vai trò cơ bản trong dạy học toán ở trường phổ thông Tuy nhiên, việc phát triển ở học sinh năng lực tư duy sáng tạo đòi hỏi học sinh phải thoát ra kiểu học tập trong đó họ chỉ biết áp dụng một cách máy móc các thuật toán đã biết Nói cách khác hoạt động tìm tòi chính thuật toán giải phải đóng vai trò trung tâm trong hoạt động giải toán Đối với các bài toán còn lại, thuộc dạng gần với thuật toán hoặc không có thuật toán, học sinh phải tìm đoán ra phương pháp giải bằng cách phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc

biệt hóa…Trong tất cả các trường hợp nói trên, tri thức phương pháp đóng vai trò là phương tiện của hoạt động

Ví dụ 1:

Khi được yêu cầu xét dấu của tam thức bậc hai: 2

f x  x  x , học sinh sẽ thực hiện ngay các bước trong quy tắc xét dấu của một tam thức bậc hai, vốn là một tri thức phương pháp đã được tiếp thu ở sách giáo khoa

b) Tri thức là kết quả của hoạt động

Sau khi giải các bài tập toán, đặc biệt là các bài toán chứng minh, học sinh thu nhận được tri thức phương pháp mới, đó chính là kết quả trong phần kết luận của bài toán Tri thức phương pháp dưới dạng này được đúc kết thành kinh nghiệm và có thể được xem là “bài toán quen thuộc” mà sau này cần sử dụng đến, học sinh dễ dàng huy động, tái tạo lại Việc vận dụng bài tập này để giải bài tập khác có vai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng giải toán của học sinh Người giáo viên cần tạo cho các em vận dụng ngay những tri thức vừa thu nhận được vào giải quyết các vấn đề khác chẳng hạn như dạy học giải bài tập theo chuỗi bài toán…

Với bài toán này, ta có thể áp dụng bài toán 1 cho hai cụm (a b ) và

ab ta có ngay điều phải chứng minh Như vậy tri thức thu được ở bài toán

1 là phương tiện để thực hiện hoạt động chứng minh trong bài toán 2

Sau khi giải được bài toán 2, ta có thể hướng dẫn học sinh tổng quát hóa bài toán Bắt đầu từ việc mở rộng bài toán thành bài toán mới với 3 ẩn a,b,c chẳng hạn Ta có bài toán như sau:

Bài toán 3 Cho a b c, ,  0 chứng minh: (a b c)(1 1 1) ??

a b c

     Dấu hỏi này ta có thể để cho học sinh tự tìm ra

Từ bài toán 3 này học sinh đã có thể nhận ra được bài toán mở rộng với

n số dương

1.5 Khảo sát thực tiễn dạy học giải bài tập Toán 10 ở trường phổ thông

Để tìm hiểu kỹ hơn về cách thức dạy học giải bài tập Toán 10 và các hoạt động của học sinh trong giải bài tập Toán, tôi tiến hành khảo sát điều tra tại một trường phổ thông trên huyện nhà

1.5.1 Mục tiêu của việc khảo sát :

- Tìm hiểu về các hoạt động của học sinh thường diễn ra trong dạy học giải bài tập lớp 10

- Tìm hiểu về việc tổ chức các hoạt động dạy học giải bài tập Toán của học sinh

- Sự cần thiết của việc vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến trong dạy học giải bài tập Toán 10

- Dựa vào đó để đề xuất ra các dạng hoạt động chủ yếu cần rèn luyện

và phương thức rèn luyện các hoạt động đó

- Khảo sát cách thức tổ chức hoạt động, tiến trình dạy học giải bài tập,

cụ thể là các tiết chữa bài tập, tự chọn và các tiết dạy thêm của các giáo viên

- Khảo sát các hoạt động phổ biến của học sinh khi học giải bài tập Toán 10

1.5.4 Phương pháp khảo sát:

Để có được những thông tin khách quan, tôi tiến hành phỏng vấn, dự giờ, sử dụng phiếu hỏi đối với GV và HS; đồng thời tổng kết kinh nghiệm và nghiên cứu những tài liệu liên quan đến thực trạng dạy học ở trường phổ thông

1.5.5 Xây dựng hệ thống câu hỏi dành cho GV:

1.5.5.1 Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm (Sau mỗi câu hỏi, đáp án nào thầy (cô) chọn hãy đánh dấu (x) vào ô vuông )

Câu hỏi 1: Trong dạy học giải bài tập Toán, anh (chị) thường xây dựng

tiến trình dạy học như thế nào?

a Chữa bài tập, làm các ví dụ rồi ra các bài tập mới tương tự 

b Nhắc lại lý thuyết, nêu các dạng bài tập và phương pháp giải rồi làm bài

c Chỉ nêu một số phương pháp, dạng bài tập cơ bản rồi xây dựng các tình huống cho học sinh hoạt động tìm đoán phương pháp các bài tập, dạng bài tập

d Phối hợp linh hoạt các phương thức trên 

Câu hỏi 2: Trong dạy học giải bài tập Hình học 10 thầy (cô) đã cho học

sinh tiến hành hoạt động nào sau đây?

b Đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa 

d Quy lạ về quen, xét tính giải được, phân chia trường hợp 

Câu hỏi 3: Đối với một bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong

chương 1 hình học lớp 10, anh (chị) thường làm gì để hướng dẫn học sinh ?

b Hướng dẫn phân tích – tổng hợp giả thiết, kết luận để từ đó tìm ra cách

c Biến đổi bài toán để đưa về một bài toán mới 

d Tìm kiếm các dấu hiệu để sử dụng phương pháp vectơ, phương pháp tọa

1.5.5.2 Hệ thống câu hỏi phỏng vấn, đàm thoại:

Câu 1: Anh (chị) có thể nêu ra một số ví dụ về việc vận dụng các tính

chất của hình học vectơ để giải bài tập giải phương trình hoặc chứng minh bất đẳng thức?

Câu 2: Nếu được yêu cầu ra một bài toán giải bằng nhiều phương pháp

cho học sinh lớp 10, anh (chị) sẽ ra đề dựa trên những phần kiến thức nào?

Câu 3: Anh (chị) có thể kể tên những hoạt động của học sinh trong một

tiết bài tập của anh chị được không?

Câu 4: Anh (chị) dạy học giải bài tập phần Phương trình – hệ phương

trình như thế nào? Làm thế nào để dạy cho học sinh biết cách giải các bài toán phương trình, hệ phương trình trong đề thi đại học?

Câu 5: Anh (chị) dạy cho học sinh các phương pháp vectơ, phương

pháp tọa độ như thế nào?

2.5.3 Khảo sát hoạt động học tập của học sinh:

Để tiến hành khảo sát hoạt động của học sinh, do điều kiện học sinh chưa hiểu hết một số thuật ngữ phương pháp nên tôi chọn phương pháp quan sát, dự giờ các tiết bài tập Từ đó rút ra được kết luận

1.5.6 Kết luận quá trình khảo sát

Qua quá trình điều tra, khảo sát thực trạng việc dạy học giải bài tập toán ở số trường THPT tôi nhận thấy: Trong quá trình dạy học khi dạy xong mỗi tiết lý thuyết là đến tiết bài tập, giáo viên chỉ giảng dạy bằng cách chữa các bài tập một cách thuần tuý, chưa làm nổi bật được mối quan hệ biện chứng giữa các bài tập này với các bài tập khác, giữa những kiến thức đang học với những kiến thức cũ Khi dạy xong một chương nào đó giáo viên không hệ thống lại các dấu hiệu để nhận biết một đối tượng toán học nằm ở trong các chương thậm chí chỉ trong một chương Hay khi hướng dẫn học sinh giải một số bài tập, giáo viên không khuyến khích học sinh tìm tòi nhiều lời giải khác nhau cho bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau Mà giáo viên chỉ làm được nhiệm vụ giải các bài tập mà sách giáo khoa đã nêu, hoặc là cho học sinh lên bảng trình bày lời giải bài toán là xong Vì vậy mà không khuyến khích HS tìm tòi nhiều lời giải khác khi nhìn nó dưới nhiều góc độ khác nhau Quá trình dạy học giải bài tập nói chung là còn ít các hoạt động của học sinh Giáo viên không hướng dẫn cho học sinh khai thác, mở rộng các bài tập sách giáo khoa Học sinh học tập còn rất thụ động, đứng trước một bài tập cần có bài tập ví dụ trước đó để làm theo Điều này ảnh hưởng phần nào đó đến