Tập luyện cho học sinh các hoạt động trong dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm của hàm số ở các lớp cuối cấp thpt

Từ những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: “Tập luyện cho học sinh các hoạt động trong dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm của hàm số ở các lớp cuối

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của Thầy giáo

TS Nguyễn Văn Thuận Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy

Xin cảm ơn các Thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán đã cho tác giả những bài học bổ ích trong quá trình học tập và nghiên cứu

Xin cảm ơn Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã tạo mọi thuận lợi để tác giả hoàn thành Luận văn

Dù đã rất cố gắng, song Luận văn cũng không tránh khỏi những khiếm khuyết, tác giả mong nhận được sự góp ý của các Thầy cô giáo và các bạn

Nghệ An, tháng 10 năm 2012

Tác giả

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

thừa nhận Luận điểm này có thể đƣợc hiểu nhƣ sau: Muốn dạy Toán có hiệu

Viết tắt Viết đầy đủ

Trong Tâm lí học cũng có những khẳng định tương tự, chẳng hạn: Năng lực chỉ có thể được hình thành và phát triển thông qua hoạt động

Tâm lí học và Lí luận dạy học hiện đại khẳng định, con đường có hiệu quả nhất để làm cho học sinh nắm vững kiến thức và phát triển được năng lực

sáng tạo là phải đưa học sinh vào vị trí của chủ thể hoạt động nhận thức (HĐNT), thông qua hoạt động tự lực, tự giác, tích cực của bản thân mà chiếm lĩnh kiến thức, phát triển năng lực sáng tạo

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) hiện nay cũng lấy các luận điểm đó làm nền tảng

1.2 Điều 24, Luật Giáo dục (1998) quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực (TTC), tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

1.3 Các cơ sở lí luận dạy học đã khẳng định rằng tri thức không phải là cái dễ dàng cho không Muốn học sinh chiếm lĩnh được các tri thức Toán học

một cách chắc chắn thì trước hết họ phải được đặt trong thế chủ động bởi

không thể nào có một sự chiếm lĩnh tốt bằng con đường thụ động Vì vậy, khi dạy một tri thức nào đó thầy giáo thường không thể trao ngay cho học sinh điều thầy muốn dạy; cách làm tốt nhất thường là cài đặt tri thức đó vào những

tình huống thích hợp để học sinh chiếm lĩnh nó thông qua hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo của bản thân Kiến thức mà học sinh thu nhận được từ hoạt động và củng cố nó trong hoạt động của chính mình bao giờ cũng tự

nhiên, chắc chắn và là cơ sở tốt để hình thành kĩ năng thực hành, vận dụng

lối truyền thụ một chiều Đối với họ, giảng giải các kiến thức Toán học một cách chi tiết rồi sau đó cho học sinh áp dụng xem như là đủ rồi Có người dẫu chưa tin vào điều này nhưng cũng không thoát khỏi vòng luẩn quẩn đó, bởi vì

nó đụng chạm tới thời gian, suy ngẫm, chuẩn bị bài và cả tình hình thực tế về mức độ tiếp thu của học sinh

1.5 Trong chương trình giải tích THPT thì Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm là phần kiến thức rất quan trọng, hầu như trong các đợt thi tốt nghiệp THPT, thi ĐH,CĐ đều có câu hỏi về phần này Hơn nữa, nó còn là công cụ sắc bén để nghiên cứu các tính chất của hàm số; có ứng dụng quan trọng đối với một số bài toán về nghiệm của phương trình, chứng minh bất đẳng thức;

… Ngoài ra còn có ứng dụng trong các nghành khoa học khác như là Vật lí, Hóa hoc,… Do đó để học sinh nắm vững bản chất của vấn đề này thì cách tốt nhất các em phải làm chủ được tri thức đó, các em phải là người chủ động lĩnh hội tri thức và vận dụng chúng một cách thành thạo

1.6 Các hoạt động trong dạy học toán đã có nhiều nhà nghiên cứu, nhà giáo dụcđề cập nhiều về mặt lý luận trong các giáo trình và đã được thể hiện qua một số luận văn Tuy nhiên chưa có đề tài nào đề cập đến việc tập luyện các hoạt động cho học sinh trong dạy học chủ đề đạo hàm và ứng dụng đạo hàm của hàm sô

Từ những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:

“Tập luyện cho học sinh các hoạt động trong dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm của hàm số ở các lớp cuối cấp THPT”

dạng hoạt động toán học tương thích với nội dung trong dạy học chủ đề đạo hàm và ứng dụng đạo hàm của hàm sô, từ đó xây dựng và tổ chức tập luyện các hoạt động toán học nhằm nâng cao năng lực hoạt động toán học cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Luận văn có nhiệm vụ giải quyết các vấn đề sau đây:

3.1 Tìm hiểu thực trạng của việc dạy học Toán ở trường THPT hiện nay 3.2 Hệ thống hoá, làm rõ những vấn đề về cơ sở lí luận và thực tiễn, phương pháp luận có liên quan đến hoạt động toán học trong dạy học Toán 3.3 Tìm hiểu về tổng quan nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm trong chương trình Toán THPT hiện hành

3.4 Đề xuất một số dạng hoạt động cần tập luyện cho học sinh trong quá trình dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm ở trường THPT

3.6 Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của phương

án đề xuất và kiểm nghiệm tính hiệu quả của đề tài trong thực tiễn

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

4.1 Nghiên cứu lý luận

+ Nghiên cứu các văn kiện của Đảng, Nhà nước, các chủ trương và chính

sách của Bộ Giáo dục và Đào tạo có liên quan đến nhiệm vụ dạy học Toán trường THPT

+ Nghiên cứu các tài liệu Tâm lí học, Giáo dục học và Lí luận dạy học bộ

môn Toán có liên quan đến đề tài

+ Nghiên cứu SGK, sách bài tập, sách giáo viên, sách tham khảo bộ môn

Toán hiện hành ở trường THPT

+ Phỏng vấn, sử dụng phiếu điều tra giáo viên và học sinh về:

- Thực trạng vấn đề tổ chức hoạt động cho học sinh trong các giờ học Toán ở trường THPT

- `Thực trạng về việc vận dụng PPDH tích cực của giáo viên trong dạy học Toán ở trường THPT hiện nay

- Tổ chức xin ý kiến của các giáo viên có kinh nghiệm thực tiễn về vấn

đề nghiên cứu

4.3 Thực nghiệm sư phạm

Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi, ý nghĩa thực tiễn của đề tài

5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu xác định rõ các dạng hoạt động cần thiết trong dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm hướng người học vào việc tiếp nhận tri thức một cách tự giác, tích cực, sáng tạo và đề xuất được các tình huống hợp lí nhằm tập luyện các hoạt động đó thì sẽ góp phần phát triển khả năng nhận thức Toán học cho học sinh ở trường THPT

6 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn có ba

chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Tập luyện cho học sinh các hoạt động trong dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm của hàm số ở các lớp cuối cấp THPT

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

1.1 Những tư tưởng chủ đạo của quan điểm hoạt động và hoạt động dạy học

1.1.1 Quan điểm hoạt động trong dạy học Toán

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim thì mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định Đó là những hoạt động đã được tiến hành trong quá trình hình thành và vận dụng nội dung đó Phát hiện được những hoạt động tiềm tàng trong một nội dung là vạch được một con đường

để truyền thụ nội dung đó và thực hiện những mục đích dạy học khác, cũng đồng thời cụ thể hoá được mục đích dạy học nội dung đó và chỉ ra cách kiểm tra việc thực hiện những mục đích này Theo ông, các tư tưởng chủ đạo của Quan điểm hoạt động bao gồm:

1.1.1.1 Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần tương thích với nội dung và mục đích dạy học

a) Phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung

Một hoạt động là tương thích với một nội dung nếu nó góp phần đem lại kết quả giúp chủ thể chiếm lĩnh hoặc vận dụng nội dung đó Việc phát hiện

những hoạt động tương thích với nội dung căn cứ một phần quan trọng vào sự hiểu biết về những hoạt động nhằm lĩnh hội những nội dung khác nhau (như khái niệm, định lý hay phương pháp), về những con đường khác nhau để lĩnh hội từng dạng nội dung, chẳng hạn con đường quy nạp hay suy diễn để xây dựng khái niệm, con đường thuần tuý suy diễn hay có pha suy đoán để học tập định lý,

Chẳng hạn, khi ta dạy định nghĩa đạo hàm cho học sinh lớp 11 thì hoạt động tìm giới hạn

) (

) (

lim

x u

+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện;

+ Những hoạt động toán học phức hợp;

+ Những hoạt động ngôn ngữ;

+ Những hoạt động trí tuệ chung;

+ Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học

b) Phân tích hoạt động thành những hoạt động thành phần

Trong quá trình hoạt động, nhiều khi hoạt động này có thể xuất hiện như một thành phần của hoạt động khác Phân tách được một hoạt động thành những hoạt động thành phần là biết được cách tiến hành hoạt động toàn bộ, nhờ đó có thể vừa quan tâm rèn luyện cho học sinh các hoạt động toàn bộ, vừa chú ý cho họ tập luyện tách riêng những hoạt động thành phần khó hoặc quan trọng khi cần thiết

Ví dụ 1.1 Đối với bài toán sau:

Cho hàm số y = x3

– 2x2 + x - 3

Hoạt động 1: Tính y‟

Hoạt động 2: Tìm các giá trị của x để y‟ > 0

Rõ ràng hoạt động 1 là một thành phần của hoạt động 2

c) Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích

Mỗi nội dung thường tiềm tàng nhiều hoạt động Tuy nhiên, nếu khuyến khích tất cả các hoạt động như thế thì có thể sa vào tình trạng rải mành mành,

làm cho học sinh thêm rối ren Để khắc phục tình trạng này, cần sàng lọc những hoạt động đã phát hiện được để tập trung vào những mục đích nào đó

căn cứ vào tầm quan trọng của các mục đích này đối với việc thực hiện những mục đích còn lại

d) Tập trung vào những hoạt động Toán học Trong khi lựa chọn hoạt động, để đảm bảo sự tương thích của hoạt động đối với mục đích dạy học, ta cần nắm được chức năng phương tiện và chức năng mục đích của hoạt động và mối liên hệ giữa hai chức năng này Trong

môn Toán, nhiều hoạt động xuất hiện trước hết như phương tiện để đạt được những yêu cầu Toán học: kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng Toán học Đối với những hoạt động này ta cần phối hợp chức năng mục đích và chức năng

phương tiện theo công thức: “Thực hiện chức năng mục đích của hoạt động trong quá trình thực hiện chức năng phương tiện” (Faust)

Chẳng hạn, để dạy một định lí, giải một bài toán ta xét các trường hợp cụ thể, hình vẽ, mô hình, rồi quan sát, nhận xét, (chức năng phương tiện) nhưng ta cần đặc biệt lưu ý đến chức năng toán học như chứng minh, phương pháp giải toán, nhận dạng, thể hiện,

1.1.1.2 Gợi động cơ cho các hoạt động học tập

Việc học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo đòi hỏi học sinh phải

có ý thức về những mục đích đặt ra và tạo được động lực bên trong thúc đẩy bản thân họ hoạt động để đạt các mục đích đó Điều này được thực hiện trong

dạy học không chỉ đơn giản bằng việc nêu rõ mục đích mà quan trọng hơn còn do gợi động cơ

Gợi động cơ không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi lúc bắt đầu dạy một tri

thức nào đó, mà phải xuyên suốt quá trình dạy học Vì vậy có thể phân biệt những cách gợi động cơ sau:

a) Gợi động cơ mở đầu hoạt động;

(i) Đáp ứng nhu cầu xoá bỏ một sự hạn chế

Ví dụ 1.2 Khi dạy bài “Cực trị của hàm số” SGK Giải tích 12 Sau khi

học sinh học xong quy tắc tìm cực trị theo đạo hàm cấp 1 (Quy tắc 1), để dẫn sang dạy quy tắc tìm cực trị theo đạo hàm cấp 2 ( Quy tắc 2) ta có thể gợi động cơ như sau: Tìm các điểm cực trị của các hàm số

a y = x3 – 3x

b y = 2cosx - x

Cho học sinh thực hiện hoạt động trên nhằm cho các em thấy:

Trong trường hợp a, học sinh dễ dàng tìm được các điểm cực trị theo Quy tắc 1 Trong trường hợp a, học sinh sẽ gặp khó khăn khi xét dấu y‟ Để khắc phục khó khăn này ta cần xây dựng thêm Quy tắc 2

(ii) Hướng tới sự tiện lợi, hợp lí hoá công việc

Ví dụ như lập quy trình khảo sát hàm số sau đó chuyển giao quy trình này cho máy tính

(iii) Hướng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống hoá + Ở cấp 2 ta chỉ xét hàm số bậc hai dạng y = ax 2

Sau khi chứng minh được một định lý, ta thường đặt câu hỏi là liệu mệnh

đề đảo của định lý đó có đúng không?

Chẳng hạn, sau khi học định lí về sự biến thiên của hàm số, một câu hỏi đặt ra là có định lí này hay không ?

(v) Xét tương tự

Ví dụ 1.3 Đối với đồ thị hàm số y = ax 2

+ b( a 0) điểm O(0;0) có một

vai trò rất “đặc biệt”

Tương tự đồ thị y = ax 2

+b( a 0), hãy tìm điểm “đặc biệt” của đồ thị hàm số y = ax 2

+ bx + c ( a 0)

(vii) Khái quát hoá

Ví dụ 1.4 Từ việc tìm các điểm của các điểm cực trị của các hàm số đa

thức bậc 2, bậc 3, bâc 4 Ta có thể đặt vấn đề cho học sinh kết luận số điểm cực trị có thể có và nêu điều kiện để xẩy ra các trường hợp đó

(viii) Tìm sự liên hệ và phụ thuộc đại lượng nào đó

Ví dụ 1.5 Để gợi động cơ cho việc học về tịnh tiến đồ thị, trước tiên ta

cho học sinh thực hiện hoạt động sau:

Giả sử M1; M2; M3 và M4 là các điểm có được khi tịnh tiến điểm M(x; y)

theo thứ tự lên trên, xuống dưới, sang phải và sang trái 3 đơn vị Hãy cho biết tọa độ của các điểm M1; M2; M3 và M4.?

Hoạt động trên nhằm cho học sinh bước đầu hình thành sự liên hệ giữa tọa độ của các điểm trước và sau khi tịnh tiến, nhờ đó học sinh sẽ hiểu rõ hơn

về phép tịnh tiến đồ thị

b) Gợi động cơ trung gian;

Gợi động cơ trung gian là gợi động cơ cho những bước trung gian hoặc cho những hoạt động tiến hành trong những bước đó để đi đến mục đích

(ii) Quy lạ về quen

Chẳng hạn, để khảo sát hàm số bậc hai tổng quát y = ax 2

+ bx + c ( a 0)

ta tìm cách biến đổi biểu thức ax 2

+ bx + c ( a 0) về dạng mx 2 + n ( m 0) để quy về dạng hàm số bậc hai y = mx 2

+ n ( m 0) đã biết

(iii) Xét tương tự

Ví dụ 1.6 Khi khảo sát hàm số

d cx

b ax y

c bx ax y

c) Gợi động cơ kết thúc

Gợi động cơ kết thúc cũng có tác dụng nâng cao tính tự giác trong hoạt động học tập như các cách gợi động cơ khác Mặc dù nó không có tác dụng kích thích đối với nội dung đã qua hoặc hoạt động đã thực hiện, nhưng nó góp phần gợi động cơ thúc đẩy hoạt động học tập nói chung và nhiều khi việc gợi động cơ kết thúc ở trường hợp này lại là sự chuẩn bị gợi động cơ mở đầu cho những trường hợp tương tự sau này

1.1.1.3.Dẫn dắt học sinh chiếm lĩnh tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như phương tiện và kết quả của hoạt động

Đứng trước một nội dung dạy học, người thầy giáo cần nắm được tất cả các tri thức phương pháp có thể có trong nội dung đó Nắm được như vậy

không phải để dạy tất cả cho học sinh một cách tường minh mà còn phải căn cứ vào mục đích và tình hình cụ thể để lựa chọn cách thức, cấp độ làm việc thích hợp, từ cấp độ dạy học tường minh tri thức phương pháp được phát biểu tổng

quát, tới cấp độ thực hành ăn khớp với tri thức phương pháp

(i) Dạy học tường minh tri thức phương pháp dạng tổng quát

Ở cấp độ này, người thầy phải rèn luyện cho trò những hoạt động dựa trên tri thức phương pháp được phát biểu một cách tổng quát, không chỉ dừng

ở mức độ thực hành theo mẫu ăn khớp với tri thức phương pháp này

Ví dụ 1.7 Sau khi học xong định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một:

“ Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b) và x0  (a ; b) Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

0

0 ) ( ) (

lim

x f x f

x x

x f x f

lim

x f x f

x





(ii) Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động

Đối với một số tri thức phương pháp chưa được qui định trong chương trình, ta vẫn có thể suy nghĩ khả năng thông báo chúng trong quá trình học sinh hoạt động nếu những tiêu chuẩn sau đây được thoả mãn:

* Những tri thức phương pháp này giúp học sinh dễ dàng thực hiện một

số hoạt động quan trọng nào đó được qui định trong chương trình;

* Việc thông báo những tri thức này dễ hiểu và tốn ít thời gian

Chẳng hạn, “Quy lạ về quen” là một tri thức phương pháp thoả mãn cả

hai điều kiện trên, tri thức này có thể được thông báo cho học sinh trong quá trình họ hoạt động ở rất nhiều cơ hội khác nhau

) 1 ( ) (   x

x x

đầu học sinh có thể chưa nghĩ ngay được là sẽ áp dụng công thứcnàoi, lúc đó

có thể các em sẽ áp dụng công thức u u  uu x R

), ( , )

) 2 3 ( ) (

ln f x  x x2 , lúc đó học sinh sẽ thực hiện tính đạo hàm hai

1.1.1.4 Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học

Một điều quan trọng trong dạy học là phải xác định được những mức độ yêu cầu thực hiện ở những hoạt động mà học sinh phải đạt được hoặc có thể

đạt được vào lúc cuối cùng hay ở những thời gian trung gian

Việc phân bậc hoạt động dựa vào những căn cứ sau đây:

(i) Sự phức tạp của đối tượng hoạt động;

Bậc thấp: Tiến hành hoạt động trên đối tượng đơn giản

Bậc cao: Tiến hành hoạt động trên đối tượng phức tạp hơn

Ví dụ 1.9

Khi dạy về xét sự biến thiên của hàm số yax3bx2 cxd,a 0

GV cho học sinh làm bài tập:

Bậc thấp: Xét sự biến thiên của hàm số:

3

2 3 2 3

1 3  2  

 x x x y

Bậc cao: Tìm m đề hàm số

3

2 2

(ii) Sự trừu tượng, khái quát của đối tượng

Bậc thấp: Tiến hành hoạt động trên những đối tƣợng cụ thể

Bậc cao: Tiến hành hoạt động đó trên những đối tƣợng phức tạp hơn

Ví dụ 1.10 Khi dạy về chủ đề hàm số, để kiểm tra kĩ năng tìm tập xác

định(TXĐ) của hàm số, giáo viên cho học sinh làm hoạt động sau:

x y



  

Bậc cao: Tìm m để hàm số y = x  m  2 x  m  1 có TXĐ là khoảng (0; + )

(iii) Nội dung của hoạt động:

Nội dung của hoạt động chủ yếu là những tri thức liên quan tới hoạt động

và những điều kiện khác của hoạt động Nội dung hoạt động càng gia tăng thì hoạt động càng khó thực hiện, cho nên nội dung cũng là một căn cứ phân bậc hoạt động

(iv) Sự phức hợp của hoạt động:

Một hoạt động phức hợp bao gồm nhiều hoạt động thành phần Gia tăng những thành phần nào cũng có nghĩa là nâng cao yêu cầu đối với hoạt động

Ví dụ 1.11 Cho hàm số y x3 3x2  3x  1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Rõ ràng hoạt động trên là hợp của hai hoạt động:

Hoạt động 1:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số yx3 3x2  3x 1

Hoạt động 2: Nhận xét y x3 3x2  3x 1 là hàm số chẵn

(v) Chất lượng của hoạt động

Sự phân bậc hoạt động còn dựa trên chất lƣợng của hoạt động

Bậc thấp: Tiến hành hoạt động với sự giúp đỡ của giáo viên Bậc cao: Độc lập tiến hành hoạt động

Tùy theo mức độ lĩnh hội (tính độc lập, độ thành thạo) của học sinh mà phân bậc hoạt động: tìm hiểu, tái hiện, vận dụng hay sáng tạo

1.1.2 Quá trình dạy học

Quá trình dạy học các tri thức thuộc một môn khoa học cụ thể được hiểu

là quá trình hoạt động của giáo viên và của học sinh trong sự tương tác thống

nhất biện chứng của ba thành phần trong hệ dạy học bao gồm: giáo viên, học

sinh và tư liệu hoạt động dạy học

* Tương tác giữa giáo viên với học sinh

Tương tác trực tiếp của giáo viên đối với học sinh là sự định hướng của giáo viên với hoạt động của học sinh Từ sự tương tác của học sinh với tư liệu dạy học đem lại cho giáo viên những thông tin liên hệ ngược cần thiết cho sự chỉ đạo của giáo viên với học sinh

* Tương tác giữa học sinh và tư liệu dạy học:

Hành động của học sinh với tư liệu hoạt động dạy học là sự thích ứng của học sinh với tình huống học tập, đồng thời là hành động chiếm lĩnh, xây dựng tri thức cho bản thân mình

* Tương tác giữa giáo viên với tư liệu hoạt động dạy học:

Hành động của giáo viên với tư liệu hoạt động dạy học là sự tổ chức tư liệu và qua đó cung cấp tư liệu, tạo tình huống cho hoạt động học của học sinh Tương tác trực tiếp giữa học sinh với nhau và giữa học sinh với giáo viên là sự trao đổi, tranh luận giữa các cá nhân và nhờ đó, từng cá nhân học sinh tranh thủ sự hỗ trợ từ phía giáo viên và tập thể học sinh trong quá trình chiếm lĩnh, xây dựng tri thức

Hoạt động dạy học là hoạt động phức tạp, có mục đích, có thể tổ chức theo các hình thức khác nhau, tuỳ thuộc vào cách thức giải quyết mối quan hệ

giữa các yếu tố: thầy, trò, tư liệu dạy học

1.1.2.1 Hoạt động học của học sinh

Đối với môn Toán hoạt động học tập là hoạt động phức tạp dựa trên sự kiện thực tế, sự hướng dẫn của giáo viên, thông qua tư liệu dạy học, học sinh tiến hành các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, từ đó rút ra kết luận mới, xây dựng tri thức mới, tương ứng hình thành:

kỹ năng, kỹ xảo

Kết quả: Bản thân chủ thể của hoạt động học - học sinh có sự thay đổi về

vốn kinh nghiệm, vốn kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo, phương pháp nhận thức và nhân cách

Động cơ học Toán đúng đắn và phù hợp phải gắn liền với nội dung Toán học, nghĩa là nắm vững các khái niệm, định lý, hệ quả quy luật phát triển Toán học, kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, kỹ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn, Động cơ này lại được cụ thể hóa thành từng nhiệm vụ học tập của hoạt động học Toán Để giải quyết nhiệm vụ đó, học sinh phải tiến hành một loạt các hành động với các thao tác tương ứng và được diễn ra theo các giai đoạn sau:

- Tiếp nhận nhiệm vụ đề ra chương trình hành động

- Thực hiện các hành động và các thao tác tương ứng

- Điều chỉnh hoạt động học Toán dưới sự chỉ đạo, hướng dẫn của giáo viên, của sự tự điều chỉnh và tự kiểm tra của bản thân

- Phân tích các kết quả thu được của hoạt động học, từ đó dần hình thành được phương pháp học tập có hiệu quả cho mình

1.1.2.2 Hoạt động dạy của giáo viên

Hoạt động dạy của giáo viên bao gồm hành động với tư liệu dạy học và

sự trao đổi, định hướng trực tiếp với học sinh giáo viên là người tổ chức tư liệu hoạt động dạy học, cung cấp tư liệu nhằm tạo tình huống cho hoạt động của học sinh Dựa trên tư liệu hoạt động dạy học, giáo viên có vai trò tổ chức,

kiểm tra, định hướng hoạt động của học sinh với tư liệu học tập và định hướng sự trao đổi, tranh luận của học sinh với nhau

Cơ sở của hoạt động dạy học Toán là sự điều khiển hoạt động học tập của học sinh căn cứ trên lôgic của khoa học môn Toán, đặc điểm phương pháp nghiên cứu Toán và đặc điểm tâm lý, trình độ nhận thức của học sinh và được quy định bởi những nhiệm vụ dạy học của bộ môn:

+ Đảm bảo cho học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản;

+ Đảm bảo cho học sinh nắm vững các kỹ năng cơ bản;

+ Phát triển trí tuệ và năng lực sáng tạo của học sinh;

+ Giáo dục kỹ thuật tổng hợp và thế giới quan cho học sinh

Kết quả của việc học tập phụ thuộc chủ yếu vào hoạt động của học sinh Hoạt động dạy sẽ mang đầy đủ ý nghĩa của nó với mục đích là dạy học sinh thực hiện hoạt động chứ không phải trình bày theo mẫu sau đó học sinh bắt chước

1.2.2.3 Quan hệ giữa hoạt động dạy và hoạt động học

Hoạt động dạy và học không tách rời nhau mà gắn bó hữu cơ với nhau Giáo viên tổ chức hướng dẫn học sinh thực hiện hoạt động, đồng thời học sinh vừa tự giác điều chỉnh hoạt động của mình để nhớ lại hệ thống kiến thức

đã học, lựa chọn kiến thức cần thiết để xây dựng kiến thức mới Giáo viên phải đảm bảo mối liên hệ thường xuyên để kịp thời điều chỉnh hoạt động dạy cho phù hợp với hoạt động học

1.2.2.4 Sự khác nhau giữa hoạt động dạy và hoạt động học

* Mục đích:

+ Mục đích của hoạt động dạy của giáo viên là bằng các hành động hướng dẫn sư phạm tác động đến tư duy học sinh, nhằm hình thành năng lực hoạt động trí tuệ và các phẩm chất cần thiết theo mục tiêu dạy học

+ Mục đích của hoạt động học của học sinh là thông qua HĐNT một cách tích cực, tiếp thu tri thức mà loài người đã tích luỹ được, biến chúng thành năng lực hoạt động của cá nhân, tự biến đổi mình để đạt được một trình

độ cao hơn

* Nội dung:

Nội dung của hoạt động dạy và hoạt động học giống nhau, được qui định trong chương trình, được cụ thể ở SGK và mục tiêu môn học, bài học Đó là những kiến thức, kĩ năng vừa sức, phù hợp với mục đích dạy học, được học sinh hứng thú, tự giác, tích cực tiếp thu

* Phương pháp:

+ Phương pháp dạy là những cách thức chỉ đạo, điều khiển HĐNT của học sinh, nhờ đó học sinh biết thực hiện các hành động, thao tác học tập tích cực, tự lực

+ Phương pháp học là cách thức hoạt động của học sinh để có thể chiếm lĩnh được kiến thức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo và các phẩm chất khác của người lao động

Qua hai hoạt động này cho thấy rằng: Thầy và trò cùng hoạt động nhưng những hoạt động động này có những chức năng rất khác nhau hoạt động của thầy là thiết kế điều khiển, hoạt động của trò là học tập tự giác, tích cực, Vì vậy, muốn nâng cao chất lượng dạy và học cần phải đảm bảo sự thống nhất giữa hoạt động điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trò Sự thống nhất giữa hoạt động điều khiển của thầy và hoạt động học tâp của trò có thể thực hiện được bằng cách quán triệt quan điểm hoạt động, thực hiện dạy Toán trong hoạt động và bằng hoạt động Thầy thiết kế và điều khiển sao cho trò thực hiện và luyện tập những hoạt động tương thích với nội dung và mục đích dạy học trong điều kiện chủ thể được gợi động cơ có hướng đích, ý thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm thành công

1 2 Tìm hiểu về thực trạng dạy học ở trường phổ thông hiện nay

1.2.1 Mục đích

Tìm hiểu cụ thể về thực trạng dạy học Toán của các trường THPT để trên

cơ sở đó có kết luận chính xác về các yếu tố ảnh hưởng đến khả năng nhận thức Toán học của học sinh, phát hiện những nguyên nhân, khó khăn của học sinh trong quá trình nhận thức Toán học để trên cơ sở đó lựa chọn và tổ chức tập luyện các hoạt động học tập phù hợp cho học sinh, nâng cao chất lượng, hiệu quả dạy - học Toán nói chung và dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm nói riêng

1.2.2 Phương pháp tìm hiểu thực tế dạy và học

Chúng tôi sử dụng các phương pháp:

+ Thăm dò giáo viên (dùng phiếu điều tra, trao đổi, dự giờ)

+ Điều tra học sinh (dùng phiếu điều tra, dự giờ, trao đổi trực tiếp)

+ Trao đổi với lãnh đạo nhà trường, tổ trưởng bộ môn, chuyên viên và cốt cán bộ môn của Sở

Các vấn đề tìm hiểu

+ Cơ sở vật chất của nhà trường, trang thiết bị phục vụ cho việc dạy và học + Sử dụng các tài liệu phục vụ chuyên môn, sử dụng các phương pháp giảng dạy, mức độ sử dụng thiết bị dạy học, cách soạn giáo án, phương pháp đổi mới kiểm tra đánh giá của giáo viên trong dạy học môn Toán

+ Trình độ nhận thức về môn Toán, cách thức học Toán, việc sử dụng sách trong học tập Toán, mức độ hứng thú học tập môn Toán của học sinh và nguyên nhân ảnh hưởng đến khả năng nhận thức toán học của các em

xu hướng đổi mới chương trình và phương pháp giảng dạy Toán hiện nay Việc sử dụng thiết bị dạy học chưa thường xuyên, nhiều trường không có đủ thiết bị phục vụ dạy học

+ Cách soạn giáo án:

Nhìn chung trong bài soạn, giáo viên thực hiện đủ các bước lên lớp theo quy định, song một số bài soạn chưa xác định đúng trọng tâm kiến thức bài

học, soạn theo kiểu diễn giảng là chính Phần lớn các giáo viên chưa đầu tư vào việc thiết kế các hoạt động tương thích với nội dung dạy học và chưa xây dựng được hệ thống câu hỏi phát vấn đòi hỏi phát triển tư duy ở học sinh, ít xây dựng tình huống có vấn đề trong học tập

+ Phương pháp giảng dạy:

Vẫn có một số giáo viên không biết dạy thế nào cho phù hợp với mục tiêu đã đề ra, thế nào là có chất lượng và có hiệu quả cao, không biết cải tiến việc giảng dạy của mình như thế nào Một số giáo viên sắp xếp, phân bố thời gian chưa hợp lí, nhất là dành quá nhiều thời gian cho việc trình bày bảng của thầy và việc ghi chép bài của trò Chẳng hạn, giáo viên để rất nhiều thời gian cho việc ghi các tiêu đề, chép lại các định nghĩa, định lí, lên bảng và nhiều giáo viên không quan tâm lúc đó trò làm gì miễn là lớp học vẫn trật tự Nội dung SGK có gì là giáo viên cố gắng dạy bằng hết, vì thế để có đủ thời gian thì giáo viên phải thuyết trình nhiều mà ít tổ chức các tình huống cho học sinh hoạt động dẫn đến truyền thụ kiến thức một chiều Khi giảng bài giáo viên cũng có có đặt câu hỏi cho học sinh nhưng chất lượng câu hỏi chưa cao, còn vụn vặt, một số câu hỏi lại quá khó do đó không tạo được cơ hội cho học sinh tích cực suy nghĩ và giải quyết vấn đề cơ bản trong bài học Hình thức dạy học chưa đa dạng, phong phú, cách thức truyền đạt chưa sinh động, chưa gây hứng thú cho học sinh Một số giáo viên có cố gắng đổi mới PPDH thì khá lúng túng, mất nhiều thời gian để xử lí tình huống, nhất là: khi học sinh không thực hiện được yêu cầu như mong muốn, học sinh giải sai, học sinh không trả lời được câu hỏi, học sinh trả lời không theo dự kiến

1.2.3.2 Về thực trạng học môn Toán của học sinh:

*) Trình độ nhận thức của học sinh

Thực tiễn sư phạm cho thấy, chất lượng đại trà của học sinh còn yếu Số học sinh tự mình tiếp thu và giải được các bài toán không nhiều, hầu hết học

sinh còn yếu các kĩ năng kiến tạo kiến thức (yếu về định hướng giải toán, yếu

về kĩ năng chuyển đổi bài toán, kĩ năng chuyển đổi ngôn ngữ, kĩ năng phát hiện vấn đề để giải quyết vấn đề, )

*) Phương pháp và thái độ học tập môn toán

+ Đa số học sinh chưa biết phương pháp học, nên hiệu quả học tập trong nhà trường là chưa cao Kỹ năng ghi chép và nhớ còn “ngự trị”, “lấn át”

những kỹ năng khác như: tự đọc, tự suy nghĩ, tìm tòi, tự tóm lược, … Điều

này ảnh hưởng rất lớn tới việc học ở những bậc học cao hơn Có đến 70% học sinh chỉ học thuộc lòng những gì giáo viên cho ghi trong vở và những định nghĩa ở SGK, chỉ khoảng 15% học sinh tự giác làm bài tập ở sách bài tập và sách tham khảo, 65% học sinh chỉ làm những bài tập dễ ở SGK, 15% học sinh hầu như không làm bài tập ở nhà

+ Học sinh còn lười suy nghĩ, chưa tích cực tư duy hoạt động trí não tìm tòi phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề, tiếp thu kiến thức một cách thụ động nên dễ quên, không vận dụng linh hoạt, sáng tạo vào giải toán Học sinh chưa

có thói quen tư duy tìm tòi, sáng tạo, khai thác các vấn đề mới từ những cái đã biết, đã học Có khoảng 35% học sinh chú ý nghe giảng, suy nghĩ, tích cực phát biểu, xây dựng bài, 60% chủ yếu chỉ nghe giảng và ít khi phát biểu, 15% không chú ý nghe giảng

+ Đa số học sinh (60%) cho rằng Toán học là môn học trừu tượng, khó hiểu, phải học là do bắt buộc nên không hứng thú học tập

1.1.3.3 Những khó khăn của giáo viên khi dạy học theo chương trình SGK mới

Thời gian tiếp cận với chương trình SGK mới, với yêu cầu đổi mới PPDH còn chưa nhiều, lại thiếu các tài liệu cụ thể về việc tổ chức dạy học nên giáo viên còn lúng túng trong việc tổ chức dạy học theo phương pháp mới Một số

giáo viên vẫn có chỗ, có lúc vẫn đang nặng nề về thuyết trình, chưa phát huy

được năng lực chủ động, tích cực và sáng tạo của học sinh trong dạy học

Phân phối chương trình của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo còn có chỗ chưa được hợp lý; với một khối lượng kiến thức cần truyền đạt tương đối nhiều mà giáo viên phải dạy theo đúng phân phối chương trình quy định Điều này góp phần tạo tâm lý e ngại cho nhiều giáo viên trong việc đổi mới PPDH, việc mở rộng khai thác các khái niệm, tính chất, định lí, bài tập chưa được triệt để, sâu sắc Đối với SGK mới lượng kiến thức đưa ra có phần dàn trải, các khái niệm, định lí chủ yếu là giới thiệu để ứng dụng, không chứng minh Dẫn đến khó khăn cho giáo viên trong việc khai thác dẫn dắt giải các bài Toán Đồng thời các bài tập trong SGK chưa có nhiều bài tập đòi hỏi học sinh tư duy nhiều trong quá trình giải, nhất là với học sinh khá giỏi Điều có phần hạn chế việc phát triển tư duy cho học sinh Vì vậy, giáo viên cần phải đổi mới từ cách soạn giáo án, đổi mới cách dạy, sao cho phù hợp với tình hình thực tiễn hiện nay

1.3 Nội dung chủ đề đạo hàm và ứng dụng đạo hàm của hàm số

trong chương trình môn Toán THPT

1.3.1 Nội dung chủ đề Đạo hàm

Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng nhất của Giải tích

Nó là công cụ sắc bén để nghiên cứu các tính chất của hàm số Nhờ khái niệm đạo hàm, ta có thể nghiên cứu: tính đơn điệu của hàm số, vấn đề cực trị của hàm số, các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số, … điều này giúp ích rất nhiều cho việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Đạo hàm cũng là một công cụ hữu hiệu để giải quyết một số bài toán quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học (Cơ học, Điện học, Hoá học, …)

Mục tiêu của chương:

Về kiến thức:

- Nắm vững định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm;

- Nhớ các công thức và các quy tắc tính đạo hàm;

- Nắm được định nghĩa vi phân, công thức tính gần đúng nhờ vi phân;

- Hiểu được định nghĩa đạo hàm cấp cao và ứng dụng trong cơ học của đạo hàm cấp hai

Về kĩ năng: Học sinh cần đạt được các yêu cầu sau

- Tính được đạo hàm của hàm số tại một điểm theo định nghĩa đối với một số hàm số đơn giản;

- Vận dụng tốt các quy tắc tính đạo hàm của tổng hiệu tích thương các hàm số và cách tính đạo hàm của hàm số hợp;

- Biết cách tính đạo hàm cấp cao của một số hàm thường gặp;

- Biết các ứng dụng của đạo hàm và vi phân để giải một số bài toán về tiếp tuyến, vận tốc, …

Cấu tạo của chương: Gồm 5 bài, dự kiến thực hiện trong 15 tiết, cụ thể:

§1 Khái niệm đạo hàm (2 tiết) Luyện tập (1 tiết)

§2 Các quy tắc tính đạo hàm (3 tiết) Luyện tập (1 tiết)

§3 Đạo hàm của các hàm số lượng giác (2 tiết) Luyện tập (1 tiết)

§4 Vi phân (1 tiết)

§5 Đạo hàm cấp cao (1 tiết) Luyện tập (1 tiết)

Ôn tập và kiểm tra chương (2 tiết)

* Những điểm mới về cấu trúc và thời lượng:

Trong chương trình SGK Chỉnh lí hợp nhất năm 2000, nội dung phần Giải tích liên quan đến khái niệm Đạo hàm được dành 46 tiết và được phân bố vào 2 chương đầu của lớp 12:

Chương I: Đạo hàm (20 tiết) Chương II: Ứng dụng của đạo hàm (26 tiết) Trong chương trình đổi mới này, nội dung trên của SGK nâng cao được chia thành 3 mảng nội dung và được phân bố vào 2 năm học: Đạo hàm (cuối lớp 11, tiếp nối ngay với chương giới hạn trước đó), ứng dụng của đạo hàm đầu lớp 12 và công thức tìm đạo hàm của các hàm số mũ, hàm số Lôgarít và hàm số luỹ thừa (xen kẽ vào nội dung của chương tiếp theo ở lớp 12)

Đạo hàm trình bày ở chương V- Chương cuối của năm học lớp 11 Điều đó có những ưu điểm cơ bản sau:

- Tiếp nối ngay được chương Giới hạn (chương IV) đã học trước đó nên vận dụng được dễ dàng các định lí, tính chất vừa học của chương Giới hạn

- Không gây căng thẳng cho học sinh phải học liên tục, học dồn dập nhiều giờ vào một vấn đề

- Đáp ứng kịp thời những kiến thức cần thiết phục vụ cho việc học tập tốt các môn học khác như: Vật lí, Hoá học, Sinh học,

Thời gian dành cho chương Đạo hàm chỉ có 15 tiết, giảm 5 tiết so với SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000 Nhưng bù lại, chương này chưa đề cập đến các công thức tính đạo hàm của hàm số mũ, hàm số Lôgarít và hàm số Luỹ thừa (đã được chuyển lên lớp 12) Để tăng tính khả thi của sách, các tác giả đã

cải tiến cách trình bày, rút gọn cách xây dựng một số khái niệm, tăng thời gian luyện tập, giảm thời lượng giảng bài lí thuyết nhưng vẫn đảm bảo bám sát chương trình và chuẩn kiến thức đã được quy định

Về mục câu hỏi và bài tập sau mỗi bài, SGK đã cố gắng cải tiến theo hướng:

Bớt những bài tập phải tính toán cồng kềnh, những bài tập áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp qua nhiều hàm số trung gian, những bài tập tính Đạo hàm của các hàm số cho bởi nhiều biểu thức Giải tích

- Đa dạng hoá các bài tập: cụ thể có nhiều câu hỏi và bài tập có hình ảnh hình học, nhiều bài tập ôn tập được những kiến thức mà học sinh đã học ở lớp 10 và đầu lớp 11 nhiều bài tập áp dụng thực tế

* Những điểm mới về nội dung:

Để thực hiện những định hướng về đổi mới nội dung và PPDH môn Toán theo tinh thần phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh SGK Đại số

và Giải tích lớp 11 nâng cao đã có những thay đổi sau:

- Đổi mới phương pháp trình bày một số khái niệm như: thay đổi định nghĩa tiếp tuyến, định nghĩa hàm số hợp,

- Giảm một số kiến thức khó như: Đạo hàm một phía, đạo hàm trên đoạn, quan hệ giữa đạo hàm và liên tục, Bớt chứng minh một số định lí

- Tăng cường luyện tập tại lớp, thêm một số bài tập về nhà (nhưng các bài tập này thường là dễ) bỏ hẳn những bài toán phức tạp hoặc những bài toán khó Chẳng hạn: Bớt đi những bài toàn tính theo định nghĩa Đạo hàm của hàm

số cho bởi hai hay nhiều biểu thức, đạo hàm của hàm số hợp qua nhiều hàm

số trung gian

- Thêm một số bài toán ứng dụng thực tế, bài toán có hình ảnh hình học, bài toán tổng hợp (mà không khó) ôn tập được nhiều kiến thức đã học ở lớp 10 và lớp 11

Ví dụ: §3 Đạo hàm của các hàm số lượng giác

Trước khi phát biểu Định lí 1, nên yêu cầu học sinh xem (mà không tính toán) bảng giá trị của

Định lí: Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0; các hàm số g1, f và

g2 cùng xác định trên D = (a; b)\{x0} sao cho g1(x)  f(x)  g2(x) với mọi x

x x x

(với LR) thì lim ( )

0

L x f

2sinlim22sinlim

)(sinlim0



x u

x

Tất nhiên định lí trên vẫn đúng với u(x)  0 với mọi x thuộc một khoảng nào đó chứa x0 sao cho x  x0 Tuy nhiên, để đơn giản ta chỉ đưa ra

các ví dụ và bài tập với hàm số u = u(x) thoả mãn điều kiện u(x)0 với mọi x

 x0

Có thể chứng minh phần b) của định lí 2 như sau:

Hàm số y = g(x) = sin(u(x)) có thể xem là hàm số hợp của hàm số f(u)

= sinu và hàm số trung gian u = u(x) chú ý rằng f „(u) = (sinu)‟ = cosu

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, ta được:

y‟ = g‟(x) = f‟[u(x)].u‟(x) = [cos u(x)].u‟(x), chứng minh tương tự cho phần b) của các định lí 3, 4 và 5

1.3.2 Nội dung chủ đề ứng dụng đạo hàm

* Vị trí của chủ đề “ứng dụng đạo hàm của hàm số”

Sau đây chúng tôi phân tích vị trí của chủ đề ứng dụng đạo hàm của hàm số đối với môn Toán nói chung và đối với chương trình Giải tích lớp 12

nói riêng

Chủ đề ứng dụng đạo hàm của hàm số chứa đựng nhiều tiềm năng to

lớn trong việc phát huy năng lực nhận thức và sáng tạo của học sinh Đây là một chủ đề hay và khó ở trường THPT với hệ thống lý thuyết và bài tập phong phú, đa dạng, có nhiều sự độc đáo trong các phương pháp giải tạo nên

sự hấp dẫn say mê đối với học sinh Các kiến thức về ứng dụng đạo hàm được

áp dụng để giải quyết khá nhiều các loại bài toán; chẳng hạn như vấn đề về tính đơn điệu của hàm số, chúng ta cũng có thể giải quyết được một loạt bài toán như là: khảo sát tính đơn điệu của hàm số; điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước; áp dụng tính đơn điệu để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức; dùng tính đơn điệu để giải phương trình, hệ phương trình … Vấn

đề về cực trị của hàm số, chúng ta có thể giải quyết một số bài toán: tìm cực trị của hàm số; tìm điều kiện để hàm số có cực trị; giá trị cực trị và đường thẳng đi qua các điểm cực trị; giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất; dùng cực trị để

chứng minh bất đẳng thức … Còn vấn đề về tính lồi lõm và điểm uốn của hàm số, chúng ta có thể giải quyết một số bài toán: tính lồi lõm và điểm uốn của hàm số; điều kiện để hàm số có điểm uốn; áp dụng tính lồi lõm để chứng minh bất đẳng thức …

Như vậy, các kiến thức về chủ đề ứng dụng đạo hàm của hàm số được

áp dụng để giải quyết khá nhiều các loại bài toán trong chương trình toán phổ thông nói chung và chương trình Giải tích 12 nói riêng, tạo nên tiềm năng cho việc phát huy năng lực nhận thức của học sinh

* Mục tiêu của chương

Về kiến thức

Giúp học sinh nắm vững

- Quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu đạo hàm của hàm số ;

- Khái niệm cực trị và các quy tắc tìm cực trị của hàm số ;

- Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và cách tìm các giá trị đó ;

- Định nghĩa và cách tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số ;

- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Về kỹ năng

Giúp học sinh có kỹ năng thành thạo trong việc xét chiều biến thiên (tức là tính đơn điệu) của hàm số, tìm cực trị của hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số thực cho trước, viết phương trình các đường tiệm cận của đồ thị và khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số đơn giản

Cấu tạo của chương: Gồm 8 bài, dự kiến được thực hiện trong 23 tiết,

phân phối cụ thể như sau :

§1 Tính đơn điệu của hàm số (2 tiết) Luyện tập (1 tiết)

§2 Cực trị của hàm số (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) §3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (1 tiết) Luyện tập (1 tiết) §4 Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ (1 tiết) §5 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (2 tiết) §6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) Kiểm tra giữa chương 1 (1 tiết) §7 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số phân thức (2 tiết) Luyện tập (2 tiết) §8 Một số bài toán thường gặp về đồ thị (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) Câu hỏi và bài tập ôn tập chương I (2 tiết) Bài đọc thêm : Tính lồi, lõm và điểm uốn của đường cong

* Những điểm mới về cấu trúc thời lượng và nội dung

Về cấu trúc thời lượng, so với SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000 thì SGK giải tích 12 nâng cao hiện nay có một số điểm mới sau :

- Giảm bớt được 3 tiết ( chỉ còn 23 tiết so với 26 tiết trước đây)

- Không xét tính lồi lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số nữa mà chỉ đưa nội dung này vào bài đọc thêm

- Các SGK trước đây cũng như sách chỉnh lí hợp nhất Giải tích 12 chỉ xét tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng Trong SGK giải tích đổi mới hiện nay, các tác giả đã đề cập đến tính đơn điệu của hàm số không chỉ trên một khoảng mà cả trên một đoạn và trên một nửa khoảng

- SGK giải tích mới hiện nay, trong phần ứng dụng của đạo hàm có đưa vào một số bài tập mà nội dung mang tính thực tế Chúng giúp học sinh thấy những ứng dụng của đạo hàm để giải một số bài toán thực tế Khi giải một số bài tập thuộc loại này, ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số nguyên dương

Về nội dung, gồm hai phần : phần đầu cung cấp cho học sinh những khái niệm dùng để mô tả một số tính chất của hàm số như tính đơn điệu, cực trị, đường tiệm cận của đồ thị hàm số, phương pháp dùng giới hạn và đạo hàm

để nghiên cứu các tính chất đó Thực chất đây là bước chuẩn bị cho phần thứ

hai là khảo sát hàm số Khác với SGK 2000, chương trình SGK giải tích 12

hiện nay đã bỏ qua tính lồi – lõm của đồ thị Tuy nhiên, do có vai trò đặc biệt trong việc vẽ đồ thị, điểm uốn vẫn được SGK đề cập ở mức độ đơn giản

Để giúp học sinh trình bày lời giải bài khảo sát hàm số được thuận tiện, các tác giả đã đưa ra một sơ đồ khảo sát hàm số cải tiến hơn so với sơ đồ truyền thống Cụ thể là trong bước thứ hai (khảo sát sự biến thiên), việc tìm các giới hạn đặc biệt của hàm số và tìm các đường tiệm cận của hàm số được tiến hành trước ; sau đó mới tính đạo hàm, khảo sát chiều biến thiên, cực trị

và điểm uốn điều đó cho phép bỏ qua việc lập riêng một bảng xét dấu của đạo hàm và học sinh chỉ cần lập duy nhất một bảng biến thiên của hàm số

Đáng chú ý ở đây là vấn đề đường tiệm cận Như đã biết, SGK Đại số

và Giải tích 11 đã phân biệt các giới hạn tại + và - Điều đó dẫn đến

những khác biệt ở Giải tích 12 so với SGK trước đây khi xét tiệm cận

Chẳng hạn, khi xét tiệm cận ngang, trước đây ta chỉ phải tìm một giới

 y2 , đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = y1 và y = y2 ; còn khi y1 = y2

đồ thị có một tiệm cận ngang y = y1 Điều đó cũng xảy ra tương tự đối với tiệm cận xiên

Cũng như vậy, khi xét tiệm cận đứng, ta phải xét tất cả các điểm x0 sao

Trên cơ sở lý luận và thực tiễn, chúng tôi đã tiến hành phân tích các yếu

tố ảnh hưởng đến sự hình thành và phát triển nhận thức của học sinh từ đó làm cơ sở lựa chọn các dạng hoạt động cần thiết để tập luyện cho học sinh nhằm góp phần phát triển khả năng nhận thức, kỹ năng giải toán cho các em Việc làm này là thực sự cần thiết phù hợp với thực tiễn, đáp ứng được nhu

cầu về đổi mới PHDH và mang lại hiểu quả cho quá trình dạy học Toán ở trường THPT

Chương 2 TẬP LUYỆN CHO HỌC SINH CÁC HOẠT ĐỘNG TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

Ở CÁC LỚP CUỐI CẤP THPT

2.1 Sự cần thiết phải tập luyện cho học sinh các dạng hoạt động trong quá trình dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm ở trường THPT

Khi bàn về phương pháp giáo dục J Piaget đã rất nhấn mạnh đến vai trò hoạt động của học sinh Ông đã kết luận: “Người ta không học được gì hết, nếu không phải trải qua sự chiếm lĩnh bằng hoạt động, rằng học sinh phải phát minh lại khoa học, thay vì nhắc lại những công thức bằng lời của nó” “Trẻ

em được phú cho tính hoạt động thực sự và giáo dục không thể thành công nếu không sử dụng và không thực sự kéo dài tính hoạt động đó”

“Con người phát triển trong hoạt động, học tập diễn ra trong hoạt động Tập trung vào hoạt động của học sinh là một yêu cầu có tính chất nguyên tắc trong PPDH” [8, tr 23]

Mục đích của dạy học là đem đến sự phát triển toàn diện cho học sinh Điều đó nói lên rằng giữa dạy học và phát triển có mối quan hệ với nhau Đó

là mối quan hệ hai chiều, biện chứng: Trước hết phát triển là mục đích cuối cùng của hoạt động dạy học, đồng thời khi tư duy học sinh phát triển thì việc thu nhận và vận dụng kiến thức của học sinh sẽ nhanh chóng và hiệu quả hơn, quá trình dạy học diễn ra một cách thuận lợi hơn Học tập thông qua các hoạt động sẽ phát huy được vai trò chủ động tích cực của học sinh nhờ đó mà các kiến thức được truyền đạt cho học sinh không bị áp đặt Thông qua hoạt động

sẽ tạo điều kiện cho các em học sinh thể hiện mình, trau dồi về khả năng trình bày trước tập thể, khả năng tự đánh giá mình và tập đánh giá người khác Hơn

nữa, thông qua hoạt động sẽ làm cho các em thấy được vai trò của môn Toán đối với thực tiễn và các em sẽ hứng thú học tập bộ môn Toán hơn

2.2.Các căn cứ để xác định các dạng hoạt động cần thiết có tác động đến quá trình nhận thức của học sinh trong dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm ở trường THPT

2.2.1 Căn cứ vào nội dung dạy học

Chúng ta hiểu hoạt động được gọi là tương thích với nội dung nếu nó

được tiến hành trong quá trình hình thành hoặc vận dụng nội dung đó Hoặc nói cách khác, một hoạt động là tương thích với nội dung nếu việc nắm được

nội dung này là điều kiện hay kết quả (đọng lại trong chủ thể) của hoạt động

đó Từ "kết quả" ở đây được hiểu là sự biến đổi, phát triển bên trong chủ thể, phân biệt với kết quả tạo ra ở môi trường bên ngoài

Chẳng hạn, khi ta dạy khái niệm hàm số chẵn, lẻ thì các hoạt động như: phân tích, so sánh những đối tượng riêng lẻ thích hợp, trừu tượng hóa tách ra các đặc điểm đặc trưng của chúng, nhận dạng, thể hiện, là tương thích với khái niệm đó bởi vì nó đem lại kết quả là giúp cho học sinh hiểu biết và vận dụng khái niệm này

2.2.2 Căn cứ vào mục đích dạy học

Việc tập trung vào một số mục đích nào đó căn cứ vào tầm quan trọng của các mục đích này đối với việc thực hiện những mục đích còn lại

Chẳng hạn, khi dạy định nghĩa đạo hàm tại một điểm Những hoạt động tiềm tàng ở nội dung dạy học này cần được cân nhắc, sàng lọc, tập trung vào những mục đích sau:

- Hiểu được khái niệm;

- Có kĩ năng tính đạo hàm bằng định nghĩa

Việc tập trung vào những mục đích trên dựa vào căn cứ sau đây:

Việc hiểu khái niệm và kĩ năng tính đạo hàm bằng định nghĩa làm cơ sở cho việc học nội dung các quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm của các hàm số sơ cấp Đây là một nội dung khá quan trọng của chương trình toán học THPT

2.2.3 Căn cứ vào chức năng của hoạt động

Mỗi loại hoạt động đều có một chức năng riêng, trong quá trình dạy học nếu giáo viên biết lựa chọn các hoạt động phù hợp cho mỗi đơn vị kiến thức

hay loại hình bài dạy thì sẽ tác động tích cực đến quá trình nhận thức của các

em học sinh Khi thiết kế và sử dụng các hoạt động chúng ta phải hiểu rõ; chúng ta dùng hoạt động này có mục đích gì? Nó giúp học sinh nhớ lại kiến thức cũ hay là gợi vấn đề mới? Nó giúp học sinh giải quyết vấn đề hay là để kết thúc vấn đề ?

Chẳng hạn, đối với bài dạy khái niệm hay định lí, sau khi dạy khái niệm

hoặc định lí cho học sinh thì chúng ta thường giúp học sinh củng cố định nghĩa

và tính chất nhờ các hoạt động ngôn ngữ, hoạt động nhận dạng và thể hiện Còn đối với tiết dạy bài tập thì lại rất thích hợp với các hoạt động mà học sinh phải thực hiện các thao tác như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu

tượng hóa,

2.2.4 Căn cứ vào yêu cầu đổi mới PPDH hiện nay

Ngày nay, trước ngưỡng cửa của thế kỷ XXI - đòi hỏi nhà trường phổ thông phải đào tạo ra những con người không những nắm vững được những kiến thức khoa học mà loài người đã tích lũy được mà còn phải có những năng lực sáng tạo giải quyết những vấn đề mới mẻ của đời sống bản thân mình, của đất nước, của xã hội

Như vậy: “PPDH cần hướng vào việc tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo” Để làm tốt điều này giáo viên cần lựa chọn đúng các dạng hoạt động để tổ chức tập luyện cho học sinh nhằm rèn luyện các kĩ năng cần thiết, phát huy TTC chủ

động trong học tập để giúp người học tự tin vào bản thân, cố gắng dành lấy kết quả cao trong học tập

2.3 Một số dạng hoạt động cần tập luyện cho học sinh nhằm phát triển khả năng nhận thức trong quá trình dạy học Toán

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [9, tr 63] trong dạy học Toán ở trường THPT cần chú trọng các dạng hoạt động sau đây:

- Hoạt động nhận dạng và thể hiện;

- Những hoạt động toán học phức hợp; như chứng minh, định nghĩa, giải toán bằng cách lập phương trình, giải toán dựng hình, giải toán quỹ tích thường xuất hiện lặp đi lặp lại nhiều lần trong SGK phổ thông Cho học sinh tập luyện những hoạt động này sẽ làm cho học sinh nắm vững những nội dung toán học và phát triển những kĩ năng và năng lực toán học tương ứng

- Những hoạt động ngôn ngữ;

- Những hoạt động trí tuệ chung, đó là: phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá,

- Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, đó là: lật ngược vấn

đề, xét tính giải được (có nghiệm, có nghiệm duy nhất, nhiều nghiệm), phân chia trường hợp,

Còn theo tác giả Bùi Văn Nghị [13, tr.12] thì cho rằng nhiều dạng hoạt động có thể khai thác và rèn luyện cho học sinh như: tìm tòi, dự kiến, kiểm nghiệm, lật ngược vấn đề, nhận dạng, thể hiện, ngôn ngữ, chứng minh, khắc phục sửa chữa sai lầm,

Theo GS Đào Tam [20, tr.32] thì ngoài các hoạt động trên còn có các hoạt động như: biến đổi đối tượng, đồng hóa, điều ứng, mô hình hóa, tổng quát hóa,

Theo các tác giả trên chúng tôi có thể phân tích và lựa chọn ra một số dạng hoạt động cần tập luyện cho học sinh trong dạy học Chủ đề đạo hàm và ứng dụng đạo hàm ở trường THPT là:

+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện;

+ Hoạt động ngôn ngữ;

+ Hoạt động tìm tòi phát hiện;

+ Hoạt động biến đổi đối tượng;

2.4 Một số định hướng của việc thiết kế các tình huống hoạt động để tập luyện cho học sinh trong quá trình dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm ở trường THPT

Việc thiết kế các hoạt động là nhiệm vụ của giáo viên Đây là một yếu tố

mà giáo viên cần coi trọng bởi nó ảnh hưởng không nhỏ đến sự thành công của việc tập luyện hoạt động cho học sinh Nó có thể ví như việc có đạo diễn giỏi, có diễn viên tài năng nhưng nếu thiếu kịch bản hay thì chưa đủ điều kiện cần để sản xuất được một tác phẩm thành công Chính vì điều đó nên khi thiết

kế các hoạt động học tập giáo viên cần lưu ý một số định hướng sau:

+ Định hướng 1: Tình huống hoạt động phải hàm chứa dạy một tri thức

hay nhằm giải quyết một chướng ngại hoặc để thỏa mãn một nhu cầu nhận thức nào đó Khi thiết kế tình huống người giáo viên phải căn cứ vào mục tiêu dạy học, chức năng của hoạt động để sao cho khi học sinh thực hiện xong tình huống giáo viên giao cho thì đối tượng được bộc lộ và nhờ đó việc tiếp cận các đơn vị kiến thức mới dễ dàng hơn và không bị áp đặt

+ Định hướng 2: Tình huống hoạt động phải được thiết kế sao cho người

học có thể tiếp cận đối tượng học tập bằng nhiều cách nhờ đó phát huy được khả năng sáng tạo của người học Chúng ta cũng không nên máy móc quá lệ thuộc vào SGK mà tùy theo tình hình thực tiễn dạy học của mình để có thể điều chỉnh thiết kế các hoạt động thích hợp miễn sao đáp ứng được mục tiêu dạy học

+ Định hướng 3: Tình huống hoạt động không nên quá đơn giản, cũng

không nên quá khó Nếu quá đơn giản sẽ mất đi tác dụng của hoạt động bởi vì những điều học sinh có thể đã biết hoặc có thể dễ dàng suy ra sẽ không tạo được nhu cầu nhận thức ở các em Tuy nhiên, nếu tình huống quá phức tạp có thể học sinh sẽ không thực hiện được hoạt động khi đó phải nhờ quá nhiều vào sự hướng dẫn của giáo viên điều này dẫn đến việc các em dễ chán nản, mất đi hứng thú và nhanh chóng bỏ qua Chúng ta cần tạo ra các hoạt động vừa sức mà vẫn chứa đựng được ý đồ sư phạm của mình

+ Định hướng 4: Tình huống hoạt động phải được gắn kèm với hệ thống

câu hỏi Trong mỗi hoạt động, giáo viên cần dự kiến hệ thống câu hỏi xen kẽ với những yêu cầu học sinh thực hiện để hướng dẫn học sinh tiếp cận, tự phát hiện và chiếm lĩnh kiến thức mới Mỗi hoạt động đều nhằm mục tiêu chiếm lĩnh một kiến thức hay rèn luyện một kĩ năng cụ thể phục vụ cho việc đạt được mục tiêu chung của bài học Hệ thống câu hỏi của giáo viên nhằm hướng dẫn học sinh tiếp cận, phát hiện và chiếm lĩnh kiến thức trong từng