Hình thành và phát triển một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi trung học phổ thông thể hiện qua hệ thống bài tập chủ đề phương trình và hệ phương trình trong đại số 10

DƯƠNG HỒNG HẠNH HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THỂ HIỆN QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP CHỦ ĐỀ “PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌN

DƯƠNG HỒNG HẠNH

HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THỂ HIỆN QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP CHỦ ĐỀ

DƯƠNG HỒNG HẠNH

HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THỂ HIỆN QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP CHỦ ĐỀ “PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH”

TRONG ĐẠI SỐ 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Trong thời gian qua, ngoài sự nổ lực của bản thân, luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình chu đáo của TS Đinh Quang Minh

Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý của các Thầy, Cô giáo của chuyên ngành Lý luận và phương pháp giảng dạy bộ môn Toán

Xin trân trọng gửi tới các Thầy, Cô giáo lời biết ơn chân thành và sâu sắc cuả tác giả

Tác giả cũng xin cám ơn Ban giám hiệu, các Thầy, Cô giáo tổ Toán hai Trường THPT Nhơn Trạch và Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, huyện Nhơn Trạch, tỉnh Đồng Nai đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả thực hiện đề tài

Tác giả cũng xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ vật chất và tinh thần để tác giả có thể hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên luận văn này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót cần sự góp ý, sửa chữa Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các Thầy, Cô giáo và đồng nghiệp

Nghệ An, 2012

Chữ viết tắt Chữ viết đầy đủ

Hệ phương trình Học sinh

Hệ thống bài tập Phương pháp Phương trình Nhà xuất bản Sách giáo khoa

Tư duy sáng tạo Trung học phổ thông

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 8

1.1 Một số vấn đề về tư duy, tư duy sáng tạo 8

1.2 Phương hướng chủ yếu để rèn luyện một số yếu tố của

TDST cho học sinh khá giỏi qua môn toán ở trường THP

30

1.3 Các căn cứ xây dựng hệ thống bài tập nhằm phát triển tư

duy sáng tạo cho học sinh

37

1.4 Một phần trực trạng dạy học toán theo hướng phát triển tư

duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông

47

Chương 2 Một số định hướng, nguyên tắc xây dựng, cấu trúc

và biện pháp sử dụng hệ thống bài tập chủ đề “Phương trình và

hệ phương trình” (Đại số 10)

50

2.1 Một số định hướng cơ bản của dạy học sáng tạo thông qua

hệ thống bài tập chủ đề “Phương trình và hệ phương trình”

(Đại số 10)

50

2.2 Một số nguyên tắc xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập 59

2.4 Tiềm năng phát triển TDST của chủ đề “Phương trình và

hệ phương trình” trong Đại số 10

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

1.1 Phát triển tư duy sáng tạo là nhiệm vụ quan trọng của nhà trường nước ta hiện nay

Luật giáo dục đã được sửa đổi, bổ sung (có hiệu lực thi hành từ ngày 01-07-2010), chương I, điều 5, đã ghi “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; Bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên” Hay chương II, điều 27, đã ghi “Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động

và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam… chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên…”

Nghị quyết Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam khóa

XI “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; Phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; Bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Phát triển, nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo, chất lượng nguồn nhân lực; Phát triển khoa học, công nghệ và kinh tế tri thức” [44] Trong giai đoạn hiện nay, đất nước ta đang trong thời kỳ đổi mới phát triển theo hướng công nghiệp hoá, hiện đại hoá thì việc được học tập sáng tạo

ở nhà trường, sẽ giúp học sinh có khả năng tiếp tục tự học suốt đời, trở thành những người lao động sáng tạo trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống, sẵn sàng thích nghi với xã hội không ngừng đổi mới

Cho nên việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lại rất cần thiết và cấp bách hơn bao giờ hết

Toán học là môn học đòi hỏi tính tư duy cao, nhưng cũng có tính đa dạng Trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông, môn Toán có vị trí nổi bật, giúp cho học sinh phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận và giúp học sinh phát triển các khả năng về phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa, nhằm củng cố rèn luyện và phát triển phương pháp tự học, tự nghiên cứu, phát triển tư duy sáng tạo.

Kiến thức về phương trình và hệ phương trình trong môn Toán làm thành một hệ thống kiến thức có những nét đặc thù xuyên suốt từ khi học trung học cơ sở cho đến trung học phổ thông và cả về các cấp học, nghiên cứu sau này

Khi dạy học kiến thức về phương trình và hệ phương trình cho học sinh, giáo viên có điều kiện giúp học sinh thâm nhập vào những tình huống đa dạng, những dạng toán điển hình với các thuật giải khác nhau, những phép biến đổi đầy biến hoá bất ngờ, những dạng tư duy Toán học đặc sắc, Nếu biết khai thác những đặc điểm đó thì cơ hội giúp học sinh hình thành và phát triển tư duy sáng tạo có nhiều thuận lợi

Cho dù rằng hiện nay chưa có trường, lớp dạy sáng tạo nào được các nhà khoa học giáo dục trên thế giới chấp nhận, vì rằng: Sự sáng tạo là quá trình con người xây dựng cái mới về chất, bằng hành động trí tuệ đặc biệt, mà không thể xem như là hệ thống các thao tác, hành động được mô tả thật chính xác và được điều hành nghiêm ngặt

Vì thế, với thế mạnh của môn Toán, hy vọng bước đầu giúp học sinh được rèn luyện một số yếu tố của tư duy sáng tạo mà từ đó có thể nâng cao tư duy tự học

Lý luận dạy học hiện đại đã đặt lại vấn đề: Thay vì chú trọng đến dạy học những nội dung khoa học cụ thể, cố gắng đưa được nhiều kiến thức vào dạy học trong nhà trường, cố gắng làm cho kiến thức được đưa vào dạy học tiếp cận được với tri thức khoa học hiện đại, các nhà lý luận dạy học chuyển sang chú trọng vấn đề dạy cho học sinh cách học, cách tự học, phương pháp tư duy sáng tạo Đây sẽ là chìa khoá giúp học sinh tự mình tìm đến với nguồn tri thức hiện đại theo nhu cầu và khả năng của mình Vấn đề dạy cho học sinh tự học đang ngày càng trở nên cấp thiết đối với mỗi môn học trong nhà trường

Tuy nhiên, trong thực tiễn dạy học hiện nay còn có tình trạng khá phổ biến là quá thiên về kĩ năng giải toán, dạy theo kiểu “nhồi nhét”, dạy chay, dạy theo kiểu “đọc chép”, nặng về cường độ lao động theo kiểu rập khuôn mà chưa chú ‎ý phát triển tư duy, nhất là tư duy sáng tạo Cách học này chỉ biến học sinh thành “thợ” giải toán, trí thông minh ít có điều kiện phát triển, khả năng tư duy sáng tạo, độc lập bị hạn chế, sau này khó có thể tiến xa trên con đường tiếp tục học tập nghiên cứu khoa học sau này Chính vì thế, nghiên cứu

về tư duy sáng tạo và tìm cách dạy học phù hợp để phát triển tư duy sáng tạo

là góp phần đổi mới phương pháp dạy học, một vấn đề mà mọi người đều quan tâm

1.4 Ở nước ta cũng như trên thế giới đã có nhiều công trình nghiên cứu về vấn đề này như

Với tác phẩm “Sáng tạo Toán học” nổi tiếng, nhà Toán học kiêm tâm

lý học G Polya đã nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán Đồng thời

trong tác phẩm “Tâm lý năng lực Toán học của học sinh”, tác giả Krutecxki

đã nghiên cứu cấu trúc năng lực Toán học của học sinh Ở nước ta, các tác giả

Hoàng Chúng trong “Rèn luyện khả năng sáng tạo Toán học ở trường phổ

thông”; Tác giả Nguyễn Bá Kim – Vũ Dương Thụy trong “Phương pháp dạy học môn Toán”; Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn trong “Tập cho học sinh giỏi Toán làm quen dần với nghiên cứu khoa học”; Luận án tiến sĩ của tác giả Tôn

Thân về “Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố

của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi Toán ở trường trung học cơ sở Việt Nam” Hay luận văn thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thị Lan – Đại học Vinh

năm 2001 với tiêu đề “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi

toán thông qua hệ thống bài tập chương “Hàm số”” Tác giả Bùi Thị Hà –

Đại học Vinh năm 2003, trong luận văn của mình với đề tài “Phát triển tư duy

sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy bài tập nguyên hàm, tích phân”

Ngày nay các nhà khoa học đều cho rằng, mọi người đều có khả năng sáng tạo, nhưng mức độ sáng tạo rất khác nhau và có thể bồi dưỡng tư duy sáng tạo được

Tuy nhiên thực tiễn ở các trường trung học phổ thông hiện nay, đặc biệt

là các trường không chuyên, thì việc dạy học theo hướng tư duy sáng tạo ở các môn, đặc biệt là môn Toán thì rất ít được chú trọng Theo kết qủa khảo sát của chúng tôi ở hai trường THPT Nhơn Trạch và THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, huyện Nhơn Trạch, tỉnh Đồng Nai thì đa số các giáo viên không quan tâm nhiều đến việc dạy học theo hướng phát triển tư duy sáng tạo hoặc nếu có thì chỉ áp dụng cho vài tiết dự giờ thao giảng Một số giáo viên thì có quan tâm nhưng họ cho rằng thời lượng phân phối chương trình ít, mà khối lượng bài học thì nhiều, do đó rất khó để thực hiện việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh; Một số giáo viên thì cho rằng việc đó khó thực hiện bởi trình độ học sinh không đồng đều, rất khó dạy theo phương hướng tư duy sáng tạo được, bên cạnh đó thì cũng có một số giáo viên hạn chế về trình độ nên không có phương pháp để dạy học sinh theo hướng này

Như vậy, vấn đề hình thành và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

là một lĩnh vực tuy rất cần thiết, nhưng vừa rộng lớn, vừa đầy khó khăn Với thời gian hạn chế, dựa vào kinh nghiệm bản thân, chúng tôi chọn đề tài nghiên

cứu luận văn thạc sĩ của mình là: Hình thành và phát triển một số yếu tố của

tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi trung học phổ thông thể hiện qua hệ thống bài tập chủ đề “Phương trình và hệ phương trình” trong Đại số 10

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Xác định một số căn cứ xây dựng hệ thống và cấu trúc hệ thống bài tập (Lấy nội dung cụ thể là chủ đề “Phương trình và hệ phương trình“ trong Đại

số 10) theo định hướng phát triển một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi trung học phổ thông

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Tổng hợp các quan điểm của các nhà khoa học liên quan đến vấn đề rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học

Tiến hành phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong môn Toán cần

có những căn cứ, định hướng sư phạm nào?

Có thể bổ sung một số dạng phương trình – hệ phương trình nhằm tập luyện hoạt động tư duy sáng tạo cho học sinh được không?

Tiến hành tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của một số phương án dạy học môn Đại số nhằm điều chỉnh và rút ra kết luận

IV ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

4.1 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu hoạt động giải toán phương trình và hệ phương trình của sách giáo khoa lớp 10 cơ bản và nâng cao, các đề thi học sinh giỏi, các dạng

đề thi đại học, theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Nghiên cứu các biện pháp sư phạm thích hợp trong dạy học về chủ đề

“Phương trình và hệ phương trình“ nhằm phát triển tư duy sáng tạo ở học sinh

4.2 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu việc hình thành và phát triển một số yếu tố của tư duy sáng tạo trong nội dung về dạy học chủ đề “Phương trình và hệ phương trình” của

Đại số 10

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu Toán học; Phương pháp dạy học môn

Toán và các tài liệu khác liên quan đến đề tài

Các công trình nghiên cứu các vấn đề có liên quan trực tiếp đến đề tài (các luận văn, luận án, chuyên đề…)

5.2 Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn

Dự giờ, phát phiếu thăm dò về thực trạng dạy học môn Toán nói chung

và phân môn Đại số (chủ đề phương trình và hệ phương trình) nói riêng theo hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo ở trường phổ thông ở một số địa phương

5.3 Phương pháp thực nghiệm

Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của việc dạy học theo hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

5.4 Xử lý số liệu bằng phương pháp thống kê toán

VI GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Trên cơ sở tôn trọng chương trình và sách giáo khoa hiện hành, nếu xây dựngđược một hệ thống bài tập theo định hướng rèn luyện tư duy sáng tạo và

có phương pháp sử dụng thích hợp đối với hệ thống bài tập này thì có thể chủ động góp phần nâng cao chất lượng học toán và phát triển năng lực Toán học cho học sinh

VII CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận thì phần nội dung gồm có ba chương sau

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương 2 Một số định hướng, nguyên tắc xây dựng, cấu trúc và biện pháp sử dụng hệ thống bài tập chủ đề “Phương trình và hệ phương trình” trong Đại số 10, nhằm phát triển tư duy sáng tạo

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

VIII NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN

8.1 Luận văn góp phần làm sáng tỏ nội dung khái niệm tư duy sáng tạo

và vai trò vị trí của việc phát triển tư duy sáng tạo trong dạy học toán

8.2 Xác định được một số định hướng từ đó đề xuất các biện pháp dạy

học theo hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

8.3 Bổ sung, khai thác một số dạng phương trình và hệ phương trình

có thể giúp học sinh rèn luyện kĩ năng sáng tạo

8.4 Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên toán

trung học phổ thông

NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TƯ DUY – TƯ DUY SÁNG TẠO 1.1.1 Tư duy

Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người chưa biết Nhiệm vụ của cuộc sống và thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu biết cái chưa biết

đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những cái bản chất và những quy luật tác động của chúng Quá trình nhận thức đó gọi là tư duy

Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận, tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư duy là quá trình như trừu tượng hóa, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thuyết, những ý niệm Kết quả của những quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”

Theo tác giả Nguyễn Quang Cẩn: “Tư duy là một quá trình tâm l‎ý phản ánh những thuộc tính, bản chất, mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết” [2]

Nhà triết học cổ Hy lạp Pitago (576 – 496 trước công nguyên) đã đề cao vai trò của tư duy “Tư duy cao hơn mọi thứ ở con người trên thế gian”

Đối với tác giả Piaget: “Tư duy Toán học là chất keo dán toàn bộ nhận thức lại với nhau” [dẫn theo 14]

Sản phẩm của tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận và được biểu đạt bằng những từ, ngữ, câu, kí hiệu, công thức

Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: nó thường bắt đầu

từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính này mà làm nảy sinh tình huống có vấn đề Dù cho tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì trong nội dung cuả tư duy cũng vẫn chưá đựng những thành phần cảm tính,

do đó nhà tâm lí học X L Rubinstêin đã phát biểu: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trưù tượng, tựa hồ như làm thành chổ dựa cho tư duy” [dẫn theo 14]

Từ đó ta có thể rút ra những đặc điểm cơ bản của tư duy

- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan

- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ

- Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng được phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của con người nhằm phản ánh đối tượng

- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau

từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người

Tư duy Toán học là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học Toán học, hay thông qua hình thức áp dụng Toán học vào các khoa học khác Như vậy, tư duy Toán học là tư duy biện chứng Theo tác giả Nguyễn Cảnh Toàn: “Muốn rèn luyện khả năng sáng tạo trong môn Toán cần hình thành, phát triển và rèn luyện bảy loại hình tư

duy cho học sinh” [41] Đặc biệt trong giải toán nói chung – giải phương trình nói riêng rất cần thiết phải rèn luyện các loại hình tư duy cơ bản như: Tư duy hàm; Tư duy thuật toán (tư duy thuật giải); Các tư duy thuộc năng lực sáng tạo Toán học như: tư duy sáng tạo, tư duy logic,

Trong phạm vi nghiên cứu của luận văn chúng tôi đi sâu vào loại tư duy sáng tạo (TDST)

1.1.2 Tƣ duy sáng tạo

Theo Đại Bách khoa toàn thư Xô Viết (1976): Sáng tạo là hoạt động của con người trên cơ sở các quy luật khách quan của thực tiễn nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp với các mục đích và nhu cầu của con người Sáng tạo là hoạt động được đặc trưng bởi tính không lặp lại, tính độc đáo và tính duy nhất

Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao

Ý tưởng mới được thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng

đi mới, tạo ra kết quả mới

Tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất

Mô hình của nền giáo dục cho thế kỷ XXI được nhấn mạnh ở những nội dung cơ bản sau

- Ưu tiên cao cho việc bồi dưỡng và phát huy tính sáng tạo, bồi dưỡng

tư duy mạch lạc của người học cả trong sự phát triển cá nhân lẫn tập thể

- Đánh giá cao về sự tự do khám phá, phát triển năng lực cá nhân của người học, về sự phát triển nhận thức của bản thân, về khả năng phát hiện và giải quyết các vấn đề của cuộc sống

- Chỉnh hướng các hệ thống thể chế hoá giáo dục tới các phương pháp (PP) tiếp cận sáng tạo

- Nhấn mạnh tầm quan trọng chiến lược của quá trình học tập sáng tạo như là mối quan hệ qua lại giữa người với người – giáo viên (GV) và học sinh (HS) có thể hiểu biết hoặc thông thái trong cộng đồng, HS thích nghi và xác định được vai trò của mình trong quá trình biến đổi xã hội [3]

Dạy học giải toán là một hoạt động đầy tiềm năng và khả năng phát triển năng lực sáng tạo cho HS phổ thông Đặc biệt chủ đề kiến thức phương trình (PT) và hệ phương trình (HPT) được xuyên suốt chương trình toán phổ thông

A Điểm qua một số công trình nghiên cứu ở trong nước và trên thế giới về năng lực tư duy sáng tạo của học sinh

Một số công trình nghiên cứu trong nước

Vấn đề bồi dưỡng, rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu

Trong nghiên cứu của mình, tác giả Tôn Thân cho rằng

- TDST là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao

- TDST là tư duy độc lập vì nó không bị gò bó, phụ thuộc vào những cái đã có Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích, vừa trong việc tìm giải pháp

- Ý tưởng mới thể hiện ở chổ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Việc phát hiện vấn đề mới nhiều khi còn quan trọng hơn bản thân việc giải quyết vấn đề đó

- Tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất

- Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, TDST giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao thể hiện ở tính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và ở cả vẻ đẹp của giải pháp [34]

Theo tác giả Hoàng Chúng trong cuốn “Rèn luyện khả năng sáng tạo

Toán học ở trường phổ thông”, đã nghiên cứu vấn đề rèn luyện cho HS phát

triển các phương pháp suy nghĩ cơ bản trong sáng tạo Toán học như: đặc biệt hóa, tổng quát hóa, tương tự hóa trong việc giải toán và sáng tạo bài toán mới Tác giả cho rằng:

- Các phương pháp đặc biệt hóa, tổng quát hóa và tương tự có thể vận dụng trong giải toán, để mò mẫm, dự đoán kết quả, tìm ra phương hướng giải toán, để mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa kiến thức Khi giải được một bài toán khó, sáng tạo một bài toán mới, đó là sáng tạo Các nhà Toán học thường đánh giá cao khả năng đề xuất vấn đề, phát hiện và giải quyết vấn đề

- Việc vận dụng PP đặc biệt hóa, tổng quát hóa và tương tự không chỉ với vai trò là PP suy nghĩ cơ bản giúp ta giải các bài toán đã cho sẵn hoặc giúp ta mò mẫm, dự đoán để tìm ra cách giải, mà chúng còn ý nghĩa sáng tạo

ở chổ giúp ta phát hiện ra những vấn đề mới, những bài toán mới hoặc giúp ta thấy được sự liên hệ giữa nhiều vấn đề với nhau

- Muốn rèn luyện khả năng sáng tạo Toán học cần xây dựng các PP suy nghĩ sáng tạo, rèn luyện khả năng phân tích vấn đề một cách toàn diện nhiều mặt như các khái niệm, bài toán, kết quả đã biết dưới nhiều khía cạnh, hoặc tìm lời giải khác nhau của nhiều bài toán, khai thác lời giải đó để giải bài toán tương tự hoặc đề xuất bài toán mới [3], [4]

Theo tác giả Nguyễn Cảnh Toàn thì: “Người có óc sáng tạo là người có kinh nghiệm về phát hiện vấn đề và giải quyết được vấn đề đặt ra”, hay trong

cuốn “Tập cho học sinh giỏi toán làm quen với nghiên cứu khoa học” tác giả

đã đề ra mục đích chủ yếu của cuốn sách là rèn luyện TDST nhất là tư duy biện chứng, đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng “Phát hiện vấn đề”, rèn luyện tư duy biện chứng thông qua lao động tìm tòi “cái mới” Để đi đến cái mới trong Toán học, phải kết hợp được tư duy logic và tư duy biện chứng, cả

tư duy hình tượng và thói quen tìm tòi bằng thử nghiệm Khi nhấn mạnh vai trò của phân tích và tổng hợp trong học tập và nghiên cứu Toán học, tác giả khẳng định: “Muốn sáng tạo Toán học, rõ ràng là vừa phải giỏi cả phân tích, vừa cả tổng hợp Phân tích và tổng hợp đan xen vào nhau, nối tiếp nhau, cái này tạo điều kiện cái kia” [40], [41]

Trong cuốn “Rèn luyện kĩ năng công tác độc lập cho học sinh qua môn

Toán” các tác giả Phạm Gia Đức và Phạm Văn Hoàn nêu rõ: “Rèn luyện kĩ

năng công tác độc lập là phương pháp hiệu quả nhất để học sinh hiểu kiến thức một cách sâu sắc, có ý thức và sáng tạo”, “Vốn kiến thức thu nhận được

ở nhà trường chỉ sống và sinh sôi nảy nở nếu người học sinh biết sử dụng nó một cách sáng tạo bằng công tác độc lập suy nghĩ của bản thân đã được tôi luyện” [6]

Trong cuốn “Giáo dục học môn Toán”, các tác giả Phạm Văn Hoàn,

Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc khẳng định: “Phát triển những năng lực Toán học của HS là một nhiệm vụ đặc biệt quan trọng của người thầy giáo”

[16] Các tác giả Nguyễn Bá Kim và Vũ Dương Thụy trong cuốn “Phương

pháp dạy học môn Toán” đã đề cập đến “Tính độc lập”, “Tính sáng tạo” của

tư duy như là những phẩm chất trí tuệ [9] Các tác giả cho rằng tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng phát hiện vấn đề, tự mình xác định phương hướng tìm ra cách giải quyết vấn đề, tự mình hoàn thiện và kiểm tra các kết quả đạt được; Tính độc lập và tính phê phán liên hệ mật thiết với nhau, tính phê phán thể hiện khả năng đánh giá nghiêm túc những ý nghĩ, tư tưởng của người khác và của bản thân Các tác giả còn nhấn mạnh: “Để phát triển năng lực trí tuệ chung, cùng với việc rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng, rèn luyện các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tương tự hóa, so sánh giáo viên cần hình thành những phẩm chất trí tuệ đặc biệt là tính độc lập sáng

tạo Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, tính sáng tạo của tư duy thể hiện khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới”

“Về dạy học sáng tạo môn Toán ở trường phổ thông”, tác giả Trần

Luận cho rằng: “Sáng tạo có nghĩa là tạo ra, làm ra, sản xuất ra, sinh ra cái

mới, hai đặc trưng quan trọng nhất của sáng tạo là: Tính mới mẻ trong sản phẩm của tư duy (trên bình diện xã hội hoặc trên bình diện cá nhân) và tính

độc lập của tư duy trong việc đặt mục tiêu tìm đường giải quyết và trong việc

chọn con đường giải quyết” Tác giả còn nhấn mạnh: “Năng lực sáng tạo của học sinh trong học tập của môn Toán là những đặc điểm tâm lí cá nhân đáp ứng cao yêu cầu lĩnh hội, cải tiến các kiến thức kĩ năng Toán học, các thủ pháp nhận thức, các cách thức giải toán hướng đến việc tạo ra các sản phẩm

tư duy có tính mới mẻ và có giá trị (sử dụng và hình thành nhân cách lao động sáng tạo) đối với bản thân” [24]

Một số công trình ngoài nước

Nhiều nhà tâm lí học, giáo dục học ở nước ngoài đã quan tâm, nghiên cứu về năng lực TDST nói chung, TDST của học sinh nói riêng và vấn đề rèn luyện, bồi dưỡng năng lực TDST cho học sinh

-R.L.Solsor: “Sự sáng tạo là một hoạt động nhận thức mà nó đem lại một cách nhìn nhận hay giải quyết mới mẻ đối với một vấn đề hay một tình huống” [38]

-Henry – Gleitman: “Sáng tạo, đó là năng lực tạo ra những giải pháp mới hoặc duy nhất cho một vấn đề thực tiễn và hữu ích” [dẫn theo 19]

Theo nhà tâm lí học người Đức G Mehlhom: “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục” [dẫn theo 19]

Theo tác giả J.Danton (1985) thì: “TDST là những năng lực tìm thấy những ý tưởng mới, tìm những mối quan hệ mới, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình” [dẫn theo 19]

Trong cuốn “Phương pháp phát triển trí tuệ”, tác giả Hứa Mộng đã

nghiên cứu khái niệm trí thông minh mà một thành tố cơ bản là năng lực sáng tạo Theo ông, trí thông minh là khả năng thích ứng của con người với mọi vấn đề, mọi hoàn cảnh của cuộc sống mà muốn thích ứng được rõ ràng con người phải có một tư duy linh hoạt sáng tạo [25]

Trong cuốn “Dạy học nêu vấn đề”, tác giả Lene đã nêu rõ: “Trong quá

trình nhận thức của xã hội nói chung, tư duy bao giờ cũng mang tính sáng tạo

vì nhận thức đó nhằm thu được những tri thức mới và sáng tạo những phương thức mới để thu lượm tri thức” [ 20, tr.15]

Trong tác phẩm “Tâm lí năng lực Toán học của học sinh” tác giả

V.A.Krutexki đã nghiên cứu cấu trúc năng lực Toán học của học sinh Năng lực Toán học ở đây được hiểu theo hai ý nghĩa, hai mức độ

Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc học toán, đối với việc nắm giáo trình Toán học ở phổ thông, nắm được một cách nhanh chóng và tốt các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng

Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực đối với hoạt động sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan, có một giá trị lớn đối với loài người

Tác giả còn nhấn mạnh “Tính linh hoạt” của quá trình tư duy khi giải bài toán thể hiện trong việc dễ dàng và nhanh chóng chuyển từ một thao tác

trí tuệ này sang một thao tác trí tuệ khác [dẫn theo 19] Trong tác phẩm “Sáng

tạo Toán học”, nhà Toán học, tâm lí học G Polya đã nghiên cứu bản chất quá

trình giải toán, quá trình sáng tạo Toán học, tác giả đã khẳng định quá trình giải toán không tách rời quá trình dạy giải toán

Bốn bước cơ bản của quá trình giải toán theo tác giả G.Polya là Bước 1: Hiểu rõ bài toán

Bước 2: Xây dựng chương trình giải Bước 3: Thực hiện chương trình giải Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được [29]

Như vậy vấn đề năng lực TDST của HS đã được nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

B Quan niệm về quá trình sáng tạo

Theo hai tác giả Poăngcare và Ađama, quá trình sáng tạo trải qua bốn

giai đoạn: Chuẩn bị, ấp ủ, bừng sáng và kiểm chứng

Giai đoạn 1: Giai đoạn chuẩn bị cho công việc có ý thức Trong giai đoạn này, nhà khoa học hình thành vấn đề đang giải quyết

và thử giải quyết vấn đề đặt ra theo các cách khác nhau

Vai trò của công việc có ý thức trong trường hợp này là huy động các thông tin hữu ích còn tiềm ẩn mà việc sử dụng chúng có thể cho lời giải cần tìm Ở giai đoạn này, các yếu tố suy luận và trực giác tìm kiếm lời giải cùng tồn tại và bổ sung cho nhau Tuy nhiên, yếu tố suy luận đóng vai trò chủ đạo

Giai đoạn 2: Giai đoạn ấp ủ Giai đoạn này được bắt đầu khi công việc giải quyết vấn đề một cách

có ý thức ngừng lại, công việc tiếp diễn lúc này chính là hoạt động của các lực lượng tiềm thức

Tuy nhiên, để “lôi cuốn” các lực lượng tâm lý tiềm thức thì các cố gắng

có ý thức ban đầu là điều kiện cần thiết

Tác giả G.Polya đã khẳng định: “Chỉ có những bài toán mà ta đã tập trung suy nghĩ nhiều, thì khi trở lại mới được biến đổi sáng ra Những cố gắng

có ý thức và lao động trí óc là cần thiết để buộc tiềm thức làm việc…”[31, tr 25]

Giai đoạn 3: Giai đoạn bừng sáng Giai đoạn 2 kéo dài cho đến sự “bừng sáng” trực giác, một bước nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức, đây là giai đoạn quyết định của tiến trình kiếm tìm lời giải

Sự “bừng sáng” của trực giác này thường xuất hiện đột nhiên, không thấy trước được Tuy nhiên, đôi khi cũng có ngoại lệ Sự “bừng sáng” xuất hiện sau khi nhà Toán học đã có một sự dự cảm sẽ nhận được kết quả

Có thể xem dự cảm là phương án yếu của sự “bừng sáng” trực giác Cả hai phương án yếu (dự cảm) và mạnh (trực giác) cũng thường đánh lừa các nhà Toán học Theo tác giả V.A Kapunin thì khả năng xuất hiện sự “đánh lừa” càng lớn khi vấn đề đang giải quyết càng cơ bản hoặc còn ít được nghiên cứu [dẫn theo 19]

Giai đoạn 4: Giai đoạn kiểm chứng

Ở giai đoạn này, nhà Toán học triển khai lập luận chứng logic và kiểm tra lời giải nhận được từ trực giác Giai đoạn này là cần thiết vì tri thức nhận được bằng trực giác là chưa chắc chắn, có tính giả thuyết và như đã nói trên

nó có thể “đánh lừa” các nhà Toán học Công việc của nhà Toán học trong giai đoạn này là hoàn toàn có ý thức và rất tích cực

Trong bốn giai đoạn kể trên của quá trình sáng tạo, thì hai giai đoạn quan trọng nhất nhưng chưa được nghiên cứu đầy đủ và có nhiều quan điểm khác nhau là giai đoạn ấp ủ và giai đoạn bừng sáng

Và dường như các giai đoạn này của quá trình sáng tạo đều ẩn chứa một vẻ đẹp Toán học và phẩm chất thẩm mỹ của các nhà Toán học, như tác giả Nguyễn Cảnh Toàn: “Ở những “nút” đệm có thể xuất hiện những khái niệm mới lạ, có khi người làm toán cần tư duy hình tượng, cần một trí tưởng tượng thật bay bổng, thật táo bạo như là với một nhà văn viết chuyện viễn tưởng hay thần thoại Để phát hiện ra vấn đề, nhiều khi người làm toán cũng

cần có óc thẩm mỹ để thưởng thức cái đẹp trong Toán học, và từ chổ thưởng thức cái đẹp đó mà có ý muốn đi sâu vào cái thâm thúy bên trong”[40, tr.5]

Theo quan điểm của các tác giả đã nghiên cứu thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn đề mới, không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có

Nội dung sáng tạo gồm hai vấn đề chính: có tính chất mới (khác với cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích tốt (có giá trị hơn cái cũ, cái đã biết) Như vậy, sự

sáng tạo cần thiết cho tất cả các lĩnh vực hoạt động nào của xã hội loài người

Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều bình diện như một quá trình phát sinh ra cái mới, như một kiểu tư duy, như một năng lực của con người và thậm chí một hiện tượng tồn tại của sự tiến bộ của tự nhiên

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” [8]

Trong cuốn “Sáng tạo Toán học”, tác giả G Polya cho rằng: “Một tư

duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào

đó Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này Các bài toán vận dụng những tư liệu, phương tiện này có

số lượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: Lúc những cố gắng của người giải vạch ra được các phương thức giải áp dụng cho những bài toán khác, việc làm của người giải

có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả” [29]

Còn tác giả Lene đã chỉ ra các thuộc tính sau đây của TDST:

- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kĩ năng sang một tình huống sáng tạo Nhìn thấy những vấn đề mới của đối tượng quen biết

- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

- Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu

- Kĩ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu lời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đã biết thành một phương thức mới)

- Kĩ năng sáng tạo một PP giải độc đáo tuy đã biết những phương

Tư duy độc lập

Tư duy sáng tạo

Về quan hệ giữa các khái niệm “Tư duy tích cực”, “Tư duy độc lập” và

“Tư duy sáng tạo” tác giả V.A Krutexki cho rằng có thể biểu diễn quan hệ đó dưới dạng những vòng tròn đồng tâm Đó là những mức độ tư duy khác nhau

mà mức độ tiếp sau là “chủng” đối với mức độ trước đó loại “loại” [18] Không phải mọi tư duy tích cực đều là tư duy độc lập và không phải mọi tư duy độc lập đều là TDST

Từ những phân tích trên, quan niệm của chúng tôi về TDST là : Tư duy

sáng tạo là dạng đặc biệt của tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới, độc đáo và

có hiệu quả cao trong giải quyết vấn đề

1.1.3 Một số yếu tố đặc trƣng của tƣ duy sáng tạo

A Sáng tạo Toán học trong hoạt động dạy học

Trong dạy học nói chung và trong dạy học Toán nói riêng chúng ta cần bồi dưỡng, rèn luyện và phát triển năng lực TDST cho HS Theo các nhà tâm

lí học, con người chỉ tư duy tích cực khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục, một tình huống gợi vấn đề Theo tác giả Rubinstein:

“ Tư duy sáng tạo luôn luôn bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề” [dẫn

theo 19] Do đó, trong dạy học toán cần rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề, khơi dậy những ý tưởng mới, tạo tình huống có vấn đề cho HS tìm tòi sáng

tạo Có nhiều cách thức để rèn luyện khả năng tư duy cho HS chẳng hạn: Tập cho HS giải quyết vấn đề bằng nhiều PP khác nhau và lựa chọn cách giải tối

ưu hay hướng dẫn HS sáng tạo ra các bài toán mới từ các bài toán đã có Đi sâu tìm hiểu nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán có vai trò rất lớn trong việc rèn luyện kĩ năng củng cố kiến thức, phát huy trí thông minh, óc sáng tạo cho HS

Để bồi dưỡng, phát triển TDST của HS, giáo viên phải biết giúp HS hệ thống kiến thức, vận dụng các kĩ năng, kĩ xảo trong bài; Biết không chấp nhận một cách giải quen thuộc mà luôn tìm tòi ra những cách giải mới, từ đó tập hợp được nhiều lời giải và tìm ra được lời giải tối ưu cho bài toán Trong dạy học GV không chỉ đưa ra những câu hỏi mang tính chất gợi nhớ kiến thức mà cần phải có những câu hỏi tạo được tình huống mới, có vấn đề để góp phần phát triển tư duy cho HS Giáo viên rèn luyện cho HS khả năng vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích tổng hợp, trừu tượng hóa, cụ thể hóa các PP suy luận; Chuyển từ hoạt động tư duy này sang hoạt động tư duy khác, không suy nghĩ rập khuôn, máy móc Từ đó tạo được hứng thú học tập, lòng say mê khám phá, tìm tòi, phát hiện ra những cách giải quyết khác nhau cho một vấn

đề góp phần bồi dưỡng rèn luyện và phát triển khả năng TDST

Theo nhiều nhà nghiên cứu, sáng tạo trong hoạt động dạy học giải toán

có một số dấu hiệu cơ bản sau:

- Biết nhận ra những vấn đề mới trong các điều kiện đã biết Biết dự đoán trước các hướng sai lầm và hướng khắc phục

- Nhìn thấy được cấu trúc mới của bài toán Biết kết hợp các phương thức giải đã biết, tạo thành phương thức mới để giải quyết bài toán

- Nhìn bài toán ở những góc độ khác nhau để tìm cách giải quyết có thể có Cố gắng tìm nhiều lời giải, luôn luôn có ý tưởng tìm cách giải mới lạ, độc đáo và ngắn gọn Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng

- Biết kết hợp, hoàn thiện các PP đã có, vận dụng vào Toán học Biết Toán học hóa các tình huống cụ thể

- Biết hệ thống hóa các tri thức PP khi giải toán Biết xây dựng các PP chung, các thuật giải để giải các bài toán thuộc cùng một loại

- Biết khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa PP giải cho các bài toán mở rộng

B Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

Trong quá trình học toán thì kĩ năng vận dụng Toán học là quan trọng nhất, nhà trường phổ thông không chỉ cung cấp cho HS những kiến thức Toán học, mà còn luyện cho HS kĩ năng vận dụng tính độc lập, sự độc đáo và khả năng sáng tạo

Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập (HTBT) cần phải được khai thác và sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển TDST biểu hiện ở các mặt như: Khả năng tìm hướng đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán)

Vì lí do trên nên chúng tôi đề cập đến ba trong số nhiều yếu tố đặc trưng của TDST đó là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn và tính độc đáo

PP suy luận qui nạp, suy diễn, tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại

Ví dụ 1.1: Giải phương trình x4x2 4x 4  0 (1.1)

Cách 1: (Dùng PP phân tích)

 2 2 0 0

0 2

2 2

x x

x x

Từ đó tìm được x

Cách 2: x4 x2 4x 4  0 x4 x2 4x 4

x4 x 22x2  x 2 (1.1.1) Giải phương trình (1.1.1) bằng hai cách

- Dùng định nghĩa dấu giá trị tuyệt đối

1 2

1

x x

x y

Ngoài ra học sinh có thể giải theo cách khác như

Hoạt động phân tích:

Nhân hai vế của phương trình (1.2) với 2, khi đó

 1 2 x2 y2 xyx.y 1

2 2 2 2 2

0 1 0

2 2 2

y x

y x

y x

Tính mềm dẻo còn thể hiện ở suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới trong đó có những yếu tố đã thay đổi Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

Ví dụ 1.3: Giải phương trình

(x2 – 5x + 3)(2x2 + 5x – 1) = (x2 + 5x + 3)(2x2 – 5x -1) (1.3) Khi gặp bài toán này, đối với HS trung bình thường suy nghĩ rập khuôn: nhân các số hạng với nhau, sau đó đơn giản rồi giải, như vậy rất phiền phức Thực ra đối với HS khá giỏi thì các em chăm chú suy nghĩ, chú ý đến đặc điểm phương trình, các hệ số có mặt ở hai vế phương trình, nghĩ tới cách học cấp phương trình, dùng PP xác định hệ số để giải

4

2

x x

z z

z y

y y

y x

x x

4 1 5 3

4 1 5 3

4 1 5 3

2 3

2 3

2 3

(1.4)

Ở bài toán này nếu ta dùng phép biến đổi tương đương để đưa về HPT hai ẩn thông thường thì không thể giải được Nhưng nếu quan sát, phân tích đặc điểm của HPT (1.4) thấy: Các biểu thức biểu thị trong hệ có sự bình đẳng tức là HPT không thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với x, y, z Từ đó ta có thể giả thiết x = max (x, y, z) và xét tính chất của hàm đặc trưng vế trái (thể hiện tính độc đáo trong xử lí tình huống có vấn đề)

Giải

Xét hàm đặc trưng f(t) = t3

– 3t2 + 5t +1  Hàm số f(t) luôn đồng biến HPT có dạng

z y f

y x f

4 4 4

Vì HPT không thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với x, y, z nên có thể giả thiết xy, yz

Nếu x > y thì f(x) > f(y) y > z  f(y) > f(z) z > x (mâu thuẫn) Tương tự, nếu x > z thì z > y (mâu thuẫn)

1 0

1 2

1 2

x

x x

x

Vậy HPT có nghiệm x = y =z =1; x = y = z =1  2 Qua lời giải của bài toán HS nhìn nhận vấn đề một cách tổng quát Nếu HPT có dạng

z g y f

y g x f

, trong đó f(t), g(t) cùng đồng biến (hoặc

cùng nghịch biến) thì có thể suy ra được x = y = z, từ đó giải hệ dễ dàng

Bằng phương pháp suy luận tương tự thì cũng có thể giải HPT như sau

Ví dụ 1.5: Cho (b – 1)2 – 4ac < 0, chứng minh HPT sau vô nghiệm

z c by ay

y c bx ax

2 2

2

a 0 (1.5)

Bằng cách để ý giả thiết (b – 1)2 – 4ac < 0 làm ta nghĩ đến hàm cần xét f(t) = at2 + (b–1)t + c

Điều đó cho phép ta nghĩ cộng các vế của HPT (1.5) lại với nhau

Giả sử HPT có nghiệm (x0, y0, z0), nghĩa là

2 0

0 0

2 0

0 0

2 0

x c bz az

z c by ay

y c bx ax

Cộng vế theo vế ta được

ax02 b 1x0cay02b 1y0caz02b 1z0c 0 (1.5.1) Đặt f(t) = at2

+ (b – 1)t + c thì (1.5.1) f(x0) + f(y0) + f(z0) = 0

0 0 0

z f

y f

x f

=> Vế trái (1.5.1) > 0 ( Vô lý)

- Nếu a < 0 tương tự  Vế trái (1.5.1) < 0 ( Vô lý)

Vậy HPT đã cho vô nghiệm

Tính nhuần nhuyễn còn đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo

Tính nhuần nhuyễn của tư duy còn thể hiện rõ nét qua hai đặc trưng và tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn đề cần giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó sẽ tìm được phương án tối ưu

Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau để có một cách nhìn sinh động từ nhiều phía đối với các sự vật và hiện tượng, chứ không phải là cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc

Ví dụ 1.6: Tìm m để phương trình có nghiệm

m x

x   

 2 1 (1.6) Bằng việc chuyển vế và bình phương hai vế, đưa về phương trình

2mx = – m2 – 1 (1.6.1)

HS phải xác định được: Phương trình (1.6) có nghiệm không tương đương với phương trình (1.6.1) có nghiệm, nghiệm của phương trình (1.6) là nghiệm của phương trình (1.6.12) nhưng ngược lại không luôn đúng, vì phép biến đổi là phép biến đổi hệ quả

Như vậy, khi giải bài toán cần chú ý rèn luyện cho HS nhuần nhuyễn

tư duy giữa phép biến đổi hệ quả và phép biến đổi tương đương thì HS mới chuyển đổi đúng: Để phương trình (1.6) có nghiệm thì phương trình (1.6.1) phải có nghiệm x–m

c) Tính độc đáo

Tính độc đáo được đặc trưng bởi các khả năng

- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới

0 2

2

0 2.1.x.cos6 1

x

x2 1 x

x 1 x

AB  2  

Biểu thức trong căn thứ hai là độ dài cuả BC

0 2

2

0 2.1.x.cos3 1

x

x2 1  3x

x 1 x

x x

y 2 1   2 1  3

4

1 2

3 4

3 2

Vì u v uv ;    ; 2321

2

1 2

3

v u

2 2

1 2

3 2

1 2

Do vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2

Ví dụ 1.8: Giải và biện luận phương trình

x4 2ax2a2xa 0 (1.8) Với sự liên tưởng và huy động kiến thức khác nhau của học sinh sẽ có các lời giải khác nhau

Ví dụ 1.9: Như ở phương trình (1.3), nếu không dừng lại ở cách giải

đó, tiếp tục suy nghĩ, xem xét phân tích đặc điểm phương trình Phương trình cho ở dạng tích nên có thể biến đổi thành dạng tỉ lệ

1 5x 2x

1 5x 2x 3 5x x

3 5x x

2 2 2

d c a b

b a d

c a

x x

x x

10

2410

161

81

41

21

11

1

16 8

1

16 1

8 1

4 1

2 1

1

x x

x x





16 8

4 4

1

16 1

8 1

4 1

4

x x

x

x      



 Theo hướng này có thể tính ngay kết quả

Vậy phương trình (1.10) vô nghiệm

Các yếu tố: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn và tính độc đáo không tách rời nhau, chúng quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau, thể hiện ở khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo), tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên

nhiều góc độ (tính nhuần nhuyễn) và nhờ có nhiều phương án khác nhau mà

có thể tìm được phương án lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố này có quan

hệ khắng khít với các yếu tố khác như tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm

Trong quá trình học toán ở trường trung học phổ thông (THPT), các yếu tố cơ bản của TDST đã thể hiện rõ nét ở học sinh khá và giỏi toán Các

em đã biết di chuyển nhanh chóng các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng PP phân tích và tổng hợp, dùng PP phân tích để tìm lời giải, dùng PP tổng hợp để trình bày lời giải Khi làm các bài toán cùng loại, đã biết phân tích, so sánh, phát hiện sự khác biệt của các bài toán để tránh cách giải rập khuôn, máy móc Các

em tích cực tìm nhiều cách giải của bài toán và tìm ra cách giải hay nhất, đẹp nhất Điều quan trọng là người giáo viên phải có PP dạy học thích hợp để có thể bồi dưỡng và phát triển tốt hơn năng lực sáng tạo ở các em

1.2 PHƯƠNG HƯỚNG CHỦ YẾU ĐỂ RÈN LUYỆN MỘT SỐ YÊÚ TỐ CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI QUA MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

1.2.1 Bồi dưỡng TDST cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác

Trước hết cần bồi dưỡng cho học sinh về mục đích, động cơ học tập môn Toán, hứng thú học toán

Cho học sinh nắm vững những kiến thức cơ bản Toán học một cách chính xác, tự giác và có hệ thống, đặc biệt là các tri thức phương pháp

Nắm vững kiến thức là “hiểu – nhớ – biết” vận dụng các kiến thức đó Hiểu sâu và chính xác bản chất từng khái niệm, từng quy tắc, từng định lý, phân biệt rõ các thuộc tính bản chất, thuộc tính không bản chất của mỗi khái niệm đang nghiên cứu

Hiểu được cách xây dựng, sự phát triển những kiến thức về các khái niệm, quá trình tìm kiếm các kiến thức mới

Phải thường xuyên quan tâm nâng cao dần từng bước năng lực trí tuệ của học sinh Tập dượt cho học sinh suy luận có lý (thông qua quan sát, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa, quy nạp, tương tự ) để tự mình tìm tòi, dự đoán và phát hiện vấn đề như dự đoán kết qủa, tìm được hướng giải quyết bài toán, tìm ra được hướng chứng minh định lý Hay còn nói là “Tăng cường cả hai bước suy đoán và suy diễn” trong quá trình dạy toán

Ví dụ 1.11 : Giải phương trình

2 2

1 2

1 1

CH: Nhận xét gì về đặc điểm của hai biểu thức dưới dấu căn? Chúng có

quan hệ với nhau không?

Nếu tinh ý học sinh sẽ phát hiện ra

1  là nghịch đảo của nhau, từ đó các em sẽ hình thành được hướng giải bài toán này như sau

Điều kiện: x0 và x-1

Đặt 3

1 x

2x t



 ; t ≠ 0  3

2x

1 2

1 t

Việc đặt 3

1 x

2x t



 với điều kiện t≠0 là ta đã hình thành sự tương ứng

giữa t và x, đồng thời thông báo tri thức phương pháp “quy lạ thành quen” thông qua phương trình trung gian

Phương trình trên có nghiệm duy nhất x = 1 chứng tỏ sự tương ứng

giữa giá trị x và t để   3 3

2x

1 2

1 1 x

2x x



 nhận giá trị bằng 2 là đơn trị

Việc rèn luyện TDST cho học sinh cần được tiến hành trong mối quan

hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương

tự, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa, hệ thống hóa trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò nền tảng

Để rèn luyện và bồi dưỡng TDST cho học sinh cụ thể là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy, học sinh cần được luyện tập thường xuyên năng lực nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau trong các mối liên hệ khác nhau Khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất Các hoạt động này góp phần rèn luyện và bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn cũng như tính độc đáo của tư duy

1.2.2 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần chú ý vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới

Quan tâm rèn luyện cho HS năng lực độc lập suy nghĩ, giáo viên phải biết hướng dẫn HS thâm nhập vấn đề, phát hiện vấn đề và hướng dẫn tìm cách giải quyết Học sinh cần được tạo điều kiện để độc lập tìm tòi phát hiện vấn

đề, gây cho các em hứng thú suy nghĩ độc lập

Nội dung kiến thức chủ đề “Phương trình và hệ phương trình” (Đại số 10) có điều kiện liên hệ với thực tiễn, do vậy có thể dùng PP đặc biệt hóa, khái quát hóa, qui nạp, tương tự kết hợp với tạo tình huống có vấn đề để dẫn dắt học sinh khám phá, xây dựng kiến thức mới Cần cho học sinh làm quen

với PP tập dượt nghiên cứu ở mức độ hợp l‎í, để các em tự tìm tòi, dự đoán, tự mình phát hiện ra vấn đề cần giải quyết Cần rèn luyện tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn và tính độc đáo thông qua hệ thống bài toán đã lựa chọn, để các

em nắm chắc bản chất của khái niệm, quy tắc, định lí…(nhận biết, củng cố, vận dụng, khái niệm, quy tắc, định lí…)

Ví dụ 1.12: Một công ty thuê xe vận chuyển 140 người và 9 tấn hàng

hóa Nơi cho thuê xe chỉ có 10 loại xe Huyndai và 9 loại xe Toyota, một chiếc

xe loại Huyndai có thể chở 20 người và 0,6 tấn hàng hóa, một chiếc xe Toyota

có thể chở 10 người và 1,5 tấn hàng hóa, tiền thuê một xe Toyota là 3 triệu đồng và tiền thuê một xe Huyndai là 4 triệu đồng

Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí là thấp nhất?

Ở bài này, HS phải biết vận dụng linh hoạt những thao tác phân tích, tổng hợp và so sánh các đại lượng trong bài toán (Chẳng hạn: Bài toán cho biết những đại lượng nào? Mối liên hệ giữa các đại lượng ấy như thế nào? )

Ta biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng đó như sau Loại xe Số lượng hàng hóa (9 tấn) Số người (140)

Từ cách phân tích đó các em sẽ tìm được lời giải của bài toán

140 10

20

9 0

10 0

y x

y x y x

14 2

9 0

10 0

y x

y x y x

Thực chất của bài toán này là tìm x, y nguyên, không âm thỏa mãn hệ thức (1.12) sao cho T(x, y) nhỏ nhất Bước tiếp theo là ta tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình  miền nghiệm là miền tứ giác lồi IABC Ta cần xác định tọa độ (x ;y) của một điểm thuộc miền tứ giác IABC (kể cả biên) sao cho T(x, y) = 4x + 3y đạt cực tiểu

Xét họ đường thẳng cho bởi phương trình T(x, y) = 4x + 3y TR hay

3 3

Như vậy thuê 5 xe hiệu Huyndai và 4 xe hiệu Toyota thì chi phí vận tải

là thấp nhất

Ví dụ 1.13: (Tạo tình huống có vấn đề)

Giải phương trình 5 x6 3 3x4 2  1 (1.13) Nhìn vào phương trình (1.13) HS không khỏi ái ngại, không biết lựa chọn phương pháp nào để giải Đây là phương trình vô tỷ mà bậc của căn thức

ở biểu thức thành phần lại khác nhau, không thể khử dấu căn bằng biến đổi tương đương

Nhưng nếu để ý, nhận thấy x=1 là nghiệm của phương trình Vậy ngoài x=1 ra, phương trình còn nghiệm nào khác không? Lúc này cần huy động kĩ năng đánh giá giá trị các biểu thức thành phần ở HS Xem xét kĩ càng hơn, nhận thấy bậc của ẩn x dưới dấu căn là bậc chẵn nên khi xét x≠1, có thể gộp 3 trường hợp x < -1; -1 < x < 1; x > 1 bằng cách xét x 1 và x  1

Trường hợp 1:

1.13.2

2 x 5

1.13.1 2 3x 2

x 5

1 2 3x 4

5 0 1

1 2 3 1 1

6

4 4

x

x x

x x

Lấy (1.13.1) cộng với (1.13.2) ta được:

1 2 3x x

1.13.3 2 3x 2

x 5

1 2 3x 4

5 1

1 2 3 1 1

6

4 4

x

x x

x x

Cộng (1.13.3) và (1.13.4) ta có:

2 3x x

5  6  3 4  

Vế trái (1.13) > 1= vế phải (1.13)

 Phương trình (1.13) vô nghiệm

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = - 1

Trong quá trình dạy học khi HS tự khám phá, tự mình tìm ra lời giải, cách chứng minh mà HS đó chưa biết, tự mình nghiên cứu để tìm ra hướng giải bài toán là quá trình HS độc lập suy nghĩ tự phát hiện vấn đề và tự mình giải quyết vấn đề

Khi khai thác nội dung các vấn đề giảng dạy, đề xuất các câu hỏi và câu trả lời thông minh là quá trình giúp các em nhìn nhận vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau để các em nắm vững bản chất của từng khái niệm, từng quy tắc, định lí, từng nội dung của bài toán, tránh được lối học máy móc, vận dụng thiếu sáng tạo

Những bài toán có cách giải riêng, đơn giản hơn là cách áp dụng công thức một cách tổng quát để khắc phục “tính ỳ” (hành động máy móc, không thay đổi phù hợp với điều kiện mới)