Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu
Chúng tôi phân tích các điểm giống nhau và khác nhau của tính liên tục của hàm số trong toán phổ thông theo hai loại tôpô: tôpô Zariski và tôpô thông thường Việc so sánh này giúp làm rõ đặc điểm của tính liên tục trong từng loại tôpô, từ đó nâng cao hiểu biết về cấu trúc và thuộc tính của các hàm số trong toán học phổ thông Các nghiên cứu này có ý nghĩa quan trọng trong việc áp dụng lý thuyết toán học vào thực tiễn và các lĩnh vực liên quan.
Phương pháp nghiên cứu
Chủ yếu là phương pháp nghiên cứu lý thuyết và minh họa qua các ví dụ
Luận văn sử dụng các phương pháp như so sánh, phân tích, tương tự hóa, khái quát hóa và tổng hợp để đánh giá tính liên tục của các hàm số trong toán học phổ thông Các phương pháp này giúp xác định chính xác đặc điểm và đặc tính của hàm số, từ đó nâng cao hiểu biết và ứng dụng trong giảng dạy và nghiên cứu Việc phân tích tính liên tục của hàm số đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển các kiến thức toán học cơ bản, đảm bảo tính chính xác và logic của các công thức toán học phổ thông.
Dự kiến đóng góp
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày hệ thống các kiến thức cơ bản phục vụ cho luận văn về hàm số trong toán phổ thông liên tục đối với tôpô Zariski Bên cạnh đó, chúng tôi đã xác định rõ các hàm số liên tục đối với tôpô thông thường nhưng không liên tục với tôpô Zariski, giúp hiểu rõ hơn về sự khác biệt giữa hai loại tôpô trong toán học Các phân tích này góp phần làm sáng tỏ mối liên hệ giữa các loại hàm số và đặc điểm của chúng trong các cấu trúc tôpô khác nhau.
Kế cấu luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được kết cấu thành hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Tính liên tục trên tôpô Zariski của các hàm số trong toán phổ thông.
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Không gian mêtric, không gian tôpô và tính liên tục của ánh xạ
1.1.1 Không gian mêtric, không gian tôpô tôpô
Cho X là một tập Một mêtric trên X là một hàm d: X x X →ℝ thỏa mãn các tính chất sau:
Không gian mêtric X = (X, d) là một tập X cùng với một mêtric d trên nó
Trường ℝ là một không gian mêtric với mêtric d (x, y) = |x-y|
Cho X là một không gian mêtric Với mọi a X và số > 0 ta gọi:
B(a, ) ={xX: d(x, a) < } là -lân cận của điểm a
Tập con M X gọi là mở nếu hoặc M = hoặc mọi a M, tồn tại sao cho B(a, ) M
Không gian tôpô là một cặp (X, ) trong đó X là một tập hợp, là một họ các tập con của X thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
3) U t ( t T ) ⋃ Mỗi phần tử của được gọi là một tập mở của X; Họ được gọi là tôpô trên X Mổi phần tử x của X được gọi là một điểm Không gian tôpô sẽ được ký hiệu là (X, ) Hoặc ngắn gọn là X Khi chỉ kí hiệu không gian tôpô là X thì ta ngầm hiểu rằng trên X đã được trang bị một tôpô nào đó
Các họ tập mở trong không gian metric, như đã trình bày trong Ví dụ 1.1.1.3, tạo thành một topology Vì vậy, các không gian metric đều là không gian topology và topology sinh bởi metric chính là topology được xác định bởi metric đó.
1) X và là những tập mở;
2) Giao của hai tập mở là mở;
3) Hợp của một họ tùy ý các tập mở là mở
1.1.1.7 Ví dụ là họ các tập con của tập của tập các số thực ℝ sao cho A khi và chỉ khi A là hợp của một họ nào đó các tập có dạng:
Khi đó, (ℝ, ) là một không gian tôpô
Giao hữu hạn các tập mở là mở
Tập V X được gọi là lân cận của x nếu tồn tại tập mở G trong X sao cho x G V
G là tập mở khi và chỉ khi nó là lân cận của mọi điểm thuộc nó
Họ tất cả các lân cận của điểm x được gọi là hệ lân cận của x, ký hiệu V x 1.1.1.12 Định nghĩa
Họ B x Vx được gọi là một cơ sở lân cận của điểm x nếu VV x ,
Cơ sở tôpô của không gian tôpô X là một họ các tập con của X mà mổi tập mở là hợp tùy ý của những phần tử trong họ này
1.1.1.14 Định nghĩa Cho không gian tôpô (X, ): tập FX được gọi là một tập đóng, nếu phần bù của F (ký hiệu là X\F) là mở
Ta có kết quả hiển nhiên suy từ định nghĩa tôpô
Họ tất cả các tập đóng của không gian tôpô X có tính chất:
2) Họ tập đóng đóng kín với phép giao tùy ý, nghĩa là giao tùy ý các tập đóng là tập đóng
3) Họ tập đóng đóng kín với phép hợp hữu hạn, nghĩa là hợp hữu hạn các tập đóng là tập đóng
Xét tập hợp các số thực ℝ Tập Aℝ là mở khi và chỉ khi:
Họ các tập mở của ℝ là một tôpô trên ℝ, được gọi là tôpô tự nhiên trên ℝ (hay tôpô thông thường trên ℝ)
Họ tất cả các khoảng mở với các điểm đầu mút hữu tỉ là một cơ sở của tôpô tự nhiên
1.1.1.17 Định nghĩa Cho dãy số {x n }ℝ Ta nói rằng dãy số này có giới hạn là x 0 và được ký hiệu bởi → = x 0 nếu 0, n * sao cho m n thì |x m – x 0 | <
Nếu Aℝ, thì A đóng đối với tôpô tự nhiên khi và chỉ khi
Tôpô trên ℝ n sinh bởi mêtric d(x, y) = 2
n i i i y x , x, y ℝ n , gọi là tôpô tự nhiên hay tôpô thông thường
1.1.1.19 Định nghĩa Giả sử trên X trang bị hai tôpô
1 tức là mỗi tập mở đối với
Cho (X, ) là không gian tôpô và AX là tập bất kỳ
Khi đó họ A : = {T A| T } lập thành một tôpô trên A Cặp (A, A ) được gọi là không gian con của (X, ); A được gọi là tôpô cảm sinh bởi
Trong lĩnh vực toán học, một ánh xạ f: X → Y giữa hai không gian tôpô (X, ) và (Y, ) được gọi là liên tục tại điểm x₀ ∈ X nếu với mỗi lân cận W của điểm f(x₀) trong Y, tồn tại một lân cận V của x₀ trong X sao cho hình ảnh của V qua f nằm trong W.
Nếu f liên tục tại x X thì f được gọi là liên tục trên X
Nếu f: (X, ) →(Y, là ánh xạ liên tục thì ta còn nói ánh xạ f là ( , ) -liên tục
Cho (X, ), (Y, ) là hai không gian tôpô, ánh xạ f: X Y liên tục tại điểm x X khi và chỉ khi với mọi lân cận W của f(x) thì f 1 (W) là lân cận của x (xem [6])
Cho ánh xạ f: (X, ) (Y, ) Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
2) Nghịch ảnh của mỗi tập mở trong Y là tập mở trong X;
3) Nghịch ảnh của mỗi tập đóng trong Y là tập đóng trong X (xem [6])
Cho ba không gian tôpô (X, ), (Y, ), (Z, ) và hai ánh xạ liên tục f:
X Y, g:Y Z Khi đó ánh xạ tích h = gof : X Z cũng liên tục (xem [6])
Giả sử X là không gian tôpô, ℝ là tập các số thực với tôpô tự nhiên, f: X ℝ liên tục x X , 0 , tồn tại lân cận U của x sao cho
Cho (X, d) và (ℝ, |.| ) là các không gian mêtric và ánh xạ f: X ℝ Khi đó các điều kiện sau tương đương:
Giả sử f, g: X ℝ liên tục Khi đó, các hàm số |f|, f + g, f - g, fg, min(f, g), max(f, g) liên tục Nếu g(x)0(x X), thì f/g cũng liên tục (xem [6] )
1.1.3 Các hàm sơ cấp cơ bản
Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản Hàm lũy thừa y = là số thực)
Hàm số lôgarít y = log a x (a > 0 và a )
Hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx
Các hàm số lượng giác ngược: y = arcsinx; y = arccosx; y = arctanx; y = arccotx
1.1.4 Tính liên tục của các hàm số sơ cấp cơ bản
Mổi hàm số sơ cấp cơ bản đều liên tục đối với tôpô thông thường tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó (xem [8]).
Tôpô Zariski
Cho A là vành giao hoán có đơn vị
Vành đa thức n biến x 1 , x 2 ,…, x n trên A là tập A[X]: = A[x 1 , x 2 ,…., x n ]
Mỗi phần tử f của A[X] được gọi là đa thức, nó có dạng
với d là một số tự nhiên nào đó và , , , r r 1 2 rn
A gọi là các hệ tử
Khi A là trường và , , , r r 1 2 rn
0, ta gọi chúng là các hệ số
Các biểu thức x x 1 r 1 2 r 2 x n r n với hệ tử tương ứng khác 0 gọi là các đơn thức
Bậc của đơn thức x x 1 r 1 2 r 2 x n r n là tổng các số mũ r 1 + r 2 +… + r n
Bậc của f 0 là bậc lớn nhất của các đơn thức trong f và ký hiệu là degf Nếu f = 0, ta quy định deg f =
Khi degf = 1, ta nói f là đa thức bậc nhất, nó luôn có dạng f = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + a n+1 , trong đó ít nhất phải có một hệ số khác không
Người ta thường viết một đa thức nhiều biến theo thức tự các biến và theo giá trị giảm dần của bậc các đơn thức, nghĩa là:
1 r 2 r n r n 1 s 2 s n s n x x x x x x nếu r1 + r2 +… + rn > s1 + s2 +… + sn hoặc r 1 + r 2 +… + r n = s 1 + s 2 +… + s n và tọa độ khác không đầu tiên của vectơ (r 1 - s 1 , r 2 - s 2 ,… , r n - s n ) là dương
Nếu A là miền nguyên (nghĩa là với mọi c, dA mà cd = 0 thì hoặc c = 0 hoặc d = 0, khi này ta còn nói A không có ước của 0) thì deg fg = deg f + deg g [5]
Nếu A là miền nguyên thì vành đa thức A[X] cũng là miền nguyên và các phần tử khả nghịch của A[X] là phần tử khả nghịch của A (xem [5])
Cho f là đa thức hệ số trên trường K Coi K n là không gian afin n- chiều Điểm a = (a 1 , a 2 ,…., a n )K n gọi là nghiệm của f nếu
Chú ý rằng, mỗi đa thức f xác định một ánh xạ f: K n K a f(a) gọi là ánh xạ đa thức
Nếu trường K vô hạn thì f(a) = 0 với a K n f = 0(xem [5]) 1.2.1.6 Hệ quả
Nếu trường K vô hạn và f (a) = g(a) với mọi a = (a 1 ,a 2 ,…., a n )K n thì f = g (xem [7])
Nếu K là trường hữu hạn thì các tính chất trên không còn đúng Từ đây trở đi, ta luôn giả thiết trường K là vô hạn
Cho K là trường, tập con V K n gọi là tập đại số nếu nó là nghiệm của một họ (hữu hạn hay vô hạn) các đa thức n biến trong K[X]
1> Tập rỗng là tập đại số vì phương trình f = 0 với f K mà f 0 là vô nghiệm
2> Tập 1 điểm a = (a 1 , a 2 ,…., a n ) K n là tập đại số vì đó là nghiệm của hệ n phương trình tuyến tính:
Tập nghiệm của họ các đa thức bậc nhất (n ẩn) được gọi đa tạp tuyến tính
3> Các m - phẳng trong không gian afin K n là các tập đại số vì đó là nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính dạng:
a p1 x 1 +a p2 x 2 + +a pn x n +b p =0 Trong đó n-m p n và ma trận hệ số có hạng bằng n-m 4> K n là tập đại số vì nó là nghiệm của phương trình 0 = 0
Khái niệm “Tập đại số” không phụ thuộc vào việc chọn tọa độ, nghĩa là nếu V là nghiệm của một hệ các đa thức f(x 1 , x 2 , , x n) S, thì với tọa độ mới
thì các điểm trong V với tọa độ mới là nghiệm của hệ phương trình f(c 10 + c 11 y 1 +….+ c 1n y n ,… , c n0 + c n1 y 1 +….+ c nn y n ) = 0, f S
Ta ký hiệu tập nghiệm của đa f là Z(f)
Nếu deg f > 0 thì Z(f) gọi là siêu mặt
Nói riêng, nếu deg f = 1 (nghĩa là f là đa thức bậc nhất) thì Z(f) là một siêu phẳng
Cho S là tập con bất kỳ của K[X]
Ký hiệu Z(S) ={a K n : f(a) = 0, f S} là tập nghiệm của tất cả các đa thức trong S (thường gọi vắn tắt là tập nghiệm của S), nghĩa là Z(S) là một tập đại số
Z(S) = Z(f) f S khi này ta cũng nói Z(S) là tập đại số của tập các đa thức S
Tương ứng S Z(S) cho một ánh xạ từ họ tất cả các tập con của vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của không gian afin K n
1> Nếu f là đa thức 1 biến, thì các tập đại số Z(f) chỉ có thể là: tập rỗng ; là tập hữu hạn hoặc toàn bộ K
Khi n = 1, mọi đa thức bậc dương có hữu hạn nghiệm, do đó tập đại số trong K là tập hữu hạn Ngược lại, mọi tập hữu hạn trong K có thể được biểu diễn dưới dạng tập nghiệm của một đa thức một biến, cho thấy sự liên kết chặt chẽ giữa các đa thức bậc dương và tập nghiệm của chúng trong lý thuyết đại số.
2> Cho f = x 2 - y, thì Z(f) = { (a, a 2 ) ; a K } Nó là một parabol x 2 - y = 0
Cho S 1 và S 2 là hai tập các đa thức trong K[X] Đặt S = {fg │f S 1 , g S 2 } Ta có: Z(S 1 ) Z(S 2 ) = Z(S) (xem [7]) 1.2.2.7 Định lý
Cho {S i } iI là một họ các tập đa thức trong K[X]
Cho S K[X] và T K[Y] là hai hệ đa thức tùy ý Nếu ta coi ST như một tập đa thức trong K[X, Y] thì: Z(S) x Z(T) = Z(S T) (xem [7])
Từ các kết quả trên ta tóm tắt lại như sau:
3/ Hợp của hai tập đại số là một tập đại số
4/ Giao của một họ bất kỳ các tập đại số cũng là một tập đại số
5/ Tích của hai tập đại số là một tập đại số
6/ Tương ứng Z: K[X] K n , cho bởi S Z(S) là một ánh xạ từ họ tất cả các tập con của vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của không gian afin K n
Từ nhận xét trên ta có kết quả sau
Trong lĩnh vực đại số, tất cả các tập hợp trong không gian \(K^n\) đều tạo thành một tôpô gọi là tôpô Zariski, giúp nghiên cứu các tập đóng trong không gian này Mỗi phần tử của tôpô Zariski, hay chính là các tập dạng \(Z(S)\), đều được gọi là tập đóng Zariski, đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết đại số và hình học đại số Tôpô Zariski cung cấp một cấu trúc hữu ích để phân tích các tập hợp đại số trong không gian \(K^n\), đặc biệt trong việc xác định các tập đóng và tính chất topo của chúng.
Mỗi tập mở trong tôpô Zariski là tập dạng
Ký hiệu D(f) = K n \ Z(f), thì họ tất cả các D(f) lập thành một cơ sở
1.2.2.12 Định lý Tôpô Zariski trên ℝ n thực sự thô hơn tôpô thông thường (nghĩa là
A ℝ n là mở trong tôpô Zariski trên ℝ n thì A là tập mở trong tôpô thông thường trên ℝ n nhưng điều ngược lại không đúng) (xem [7])
Nếu A ℝ n là mở Zariski, nghĩa là
, trong đó Z(f) là tập nghiệm trong ℝ n của đa thức f thuộc vành đa thức ℝ n [X]
Nhưng Z(f) đóng trong tôpô Zariski và đóng trong tôpô thông thường vì đa thức f cho ta ánh xạ liên tục
K[x 1 , x 2 ,…, x n ] ℝ n ℝ a f(a) và Z f f ({0}) 1 đóng trong tôpô Zariski và đóng trong tôpô thông thường vì {0} là tập đóng trong ℝ ℝ n \Z f mở trong tôpô thông thường
là tập mở trong tôpô thông thường
Trong topology thông thường, có tập đóng A nhưng lại không đóng trong topology Zariski Ví dụ, khi A là tập đóng trong topology thông thường nhưng không phải tập đóng trong topology Zariski, điều này xảy ra vì A là tập vô hạn và topology Zariski có cách xác định tập đóng khác biệt so với topology thông thường.
1.2.2.13 Định lý Tập A ℝ là tập đóng với tôpô Zarski trên ℝ khi và chỉ khi A thuộc một trong ba loại sau:
Vì mổi đa thực một biến f (x) ℝ [x] chỉ có thể có tập nghiệm là :
3) Hoặc là tập hữu hạn khi (degf ≥ 1) do đó tập nghiệm của một họ các đa thức 1 biến chỉ có thể có một trong ba dạng trên (đpcm)
1.2.2.14 Hệ quả Cho A ℝ đối với tôpô Zarski cảm sinh trên A khi đóW A là đóng trong A theo tôpô Zarski khi và chỉ khi W là rỗng hoặc cả ℝ hoặc tập hữu hạn
Tập con I của vành A gọi là iđêan của A nếu I là vành con của A thoả mãn điều kiện: hf I với mọi h A và f I
1> Tập {0} và A là iđêan của A Chúng gọi là các iđêan tầm thường Những iđêan còn lại gọi là iđêan thực sự
2> Với mọi f A, tập (f): = {gf ; g A} là một iđêan, gọi là iđêan chính sinh bởi f
3> Cho S A là tập con bất kỳ Thế thì tập
(S): = { h 1 f 1 + h 2 f 2 +……+ h r f r ; h 1 , h 2 ,…, h r S; f 1 , f 2 ,…., f r A } là một iđêan bé nhất chứa S, gọi là iđêan sinh bởi S
Cho I và J là hai iđêan tuỳ ý trong A
Một iđêan tổng của các phần tử của I và J là tập hợp các phần tử sinh bởi các phần tử của I và J, ký hiệu là I+J Trong khi đó, iđêan tích của I và J gồm các phần tử sinh bởi tích của các hàm f với f thuộc I và g với g thuộc J, ký hiệu là IJ.
1) I+J = {f+g | fI, gJ} là iđêan nhỏ nhất chứa I và J,
2) IJ = {f 1 g 1 +…+ f r g r | f 1 ,…,f r I, g 1 ,…;g r J, r ≥ 1} là một iđêan (xem [5])
IJ IJ nhưng nhìn chung thì hai iđêan này khác nhau
Cho S là một hệ đa các đa thức trong K[X] và I =(S)
Cho I và J là hai iđêan tuỳ ý trong K[X] Ta có:
Bây giờ ta xét một một khái niệm như là ánh xạ “ngược” của Z Cụ thể, cho V là tập bất kỳ trong K n Ký hiệu
Thế thì I V làiđêan lớn nhất có tập nghiệm chứa V Ta gọi nó là iđêan của tập V Khi V chỉ có 1 điểm, ta viết I a thay cho I { a }
Như vậy, cách xác định tập Z(S) và tập I V cảm sinh hai ánh xạ và I được cho trong sơ đồ sau
P(X) là ký hiệu họ tất cả các tập con của X
4> Nếu VK 2 là tập vô hạn điểm trên parabol y = x 2 thì I V = (x 2 - y); 5> Nếu V là d- phẳng trong K n mà ta có thể giả sử nó là tập hợp có dạng V = {(x 1 , x 2 ,…., x d, 0, …0) K n } thì I V = (x d+1 , x d+2 ,…., x n )
Cho V là tập con của K n Ta có
1) V = Z(I ), V V là bao đóng (trong tôpô Zariski) của V;
Cho I là iđêan của vành A Ký hiệu
I:= {f A; f r I với r là một số tự nhiên nào đó}
Cho I là iđêan, thế thì I cũng là iđêan và I I (xem [10])
Nếu I = I thì I gọi là iđêan căn
0 là tập hợp các phần tử lũy thừa của A, thể hiện tất cả các phần tử mà khi nhân với chính nó một số lần vẫn thuộc A Do đó, 0 là ideal căn khi và chỉ khi trong tập A không có phần tử lũy thừa, đảm bảo tính phụ thuộc và đóng của nó Những vành như vậy được gọi là vành rút gọn, mang ý nghĩa giảm thiểu các phần tử lũy thừa không cần thiết Ví dụ, mọi miền nguyên đều là vành rút gọn, thể hiện tính tối giản và rõ ràng trong cấu trúc vành.
I V là một iđêan căn (xem [7])
1.2.3.12 Định lý Giả sử I, J là các iđêan trong K[X] Khi đó:
Các ánh xạ và I trong sơ đồ
P P thu hẹp trên họ (K n ) tất cả các tập đại số trong K n là hai ánh xạ ngược nhau: Z(I V ) = V Nói cách khác, trong sơ đồ sau,
P I Z và I là hai ý tưởng đối lập, giúp chuyển hướng nghiên cứu từ các tập đại số sang các ý tưởng dạng I V Các ý tưởng dạng I V có dạng {I; V K n}, thể hiện mối liên hệ và kỹ thuật phân tích trong lĩnh vực đại số, mở ra hướng tiếp cận mới và đa dạng hơn trong nghiên cứu toán học.
V là tập đại số} lập nên một tôpô trong K[X] đồng phôi với tôpô Zariski trong K n
1.2.4 Vành tọa độ và iđêan của tập hợp con
Cho V K n Hàm F: V K gọi là hàm đa thức nếu tồn tại đa thức f K[X] sao cho F = f |V , nghĩa là F(a) = f(a) với mọi a V
Khái niệm hàm đa thức không phụ thuộc việc chọn tọa độ, vì khi đổi tọa, tính “đa thức” của F vẫn được bảo tồn
K[V] là tập hợp tất cả các hàm đa thức trên không V, đóng kín dưới phép cộng và phép nhân, nhờ đó tạo thành một vành giao hoán có đơn vị là hàm F = 1 Vành K[V] còn được gọi là vành tọa độ của V, phản ánh cấu trúc đại số của không V trong lĩnh vực đa thức.
Khi V = {a} là tập 1 điểm thì mọi hàm đa thức trên nó là hàm hằng
Vì vậy, vành đa thức của tập 1 điểm là trường K
Một hàm đa thức có thể được cho bởi nhiều đa thức khác nhau Tuy nhiên, do f |V g | V suy ra f - g I V , nên ta có khái niệm sau
Cho I là iđêan thực sự của vành A và f, g A
Ta nói f đồng dư với g trên I nếu f - g I
Quan hệ đồng dư trên tập A là một quan hệ tương đương, tạo thành các lớp đồng dư chứa tập hợp f, được định nghĩa là f + I = {f + h | h ∈ I} Tập thương A/I được xây dựng dựa trên quan hệ này và các phép toán cộng, trong đó phép cộng trên các lớp đồng dư được xác định bởi (f + I) + (g + I) = (f + g) + I, đảm bảo tính nhất quán và cấu trúc của không gian thương.
(f + I) (g + I) = fg + I thì A/I lập thành một vành
Ký hiệu :A A/I ; f (f) = f + I gọi là ánh xạ chính tắc
Ta thấy là một toàn cấu vành và ker = I
Với mọi iđêan J chứa I, ký hiệu J/I : { f + I ; f J}
Thế thì J/I là iđêan của A/I Ngược lại, mọi iđêan Q trong A/I đều có dạng Q = J/I trong đó
Vì vậy, có sự tương ứng 1-1 giữa các ý tưởng chứa I và các ý tưởng trong A/I, cho phép chuyển đổi nghiên cứu các ý tưởng trong A chứa I sang các ý tưởng trong A/I.
1.2.5 Cấu xạ trong tôpô Zariski
Với m ánh xạ F 1 , F 2 ,…, F m : V K gọi là hàm tọa độ thứ i của F Chú ý rằng, Fi = pi.F ; pi là phép chiếu lên toạ độ thứ i
Cho V và W là hai tập đại số Ánh xạ F nói trên gọi là ánh xạ đa thức nếu F 1 , F 2 , , F m là các hàm đa thức (nghĩa là chúng cho bởi các đa thức) Nếu
K là trường đóng đại số thì ánh xạ đa thức được gọi là cấu xạ
Các hàm số đa thức trên V là các ánh xạ đa thức từ V vào K, trong đó K = K Ánh xạ đồng nhất Id V trên V là một ánh xạ đa thức, được định nghĩa bởi Id V : V → V với quy ước: Id V (a) = (p₁(a), p₂(a), , pₙ(a)), trong đó mỗi pᵢ : V → K là phép chiếu lên tọa độ thứ i.
3> Nếu F: V K là ánh xạ đa thức thì mọi tập đóng theo tôpô Zariski
T V, ánh xạ F thu hẹp trên T cũng là ánh xạ đa thức
4> Với mọi hàm G: W K, ta gọi hợp thành G F: V K là hàm lùi của G theo F
F: V W là ánh xạ đa thức khi và chỉ khi G F K[V] với mọi
Mỗi ánh xạ đa thức F: V W cảm sinh ánh xạ
Rõ ràng F * là một đồng cấu vành, vì với mọi G, H K[W] ta có
1> Với mọi hàm đa thức F:VK thì F * :K[x]K[V] cho bởi
2> Id * V = IdK[V] vì Id * (G) = G Id = G với mọi G K[V]
1.2.5.6 Nhận xét Ánh xạ đa thức F được xác định hoàn toàn bởi đồng cấu F*, vì F được xác định bởi hàm tọa độ F i , nhưng F i = p i F = F*(p i )
Với mọi tập điểm U V trong tập đại số V ta có
Theo các kết quả trên, nói riêng ta có
Cho V và W là các tập đại số thì mọi ánh xạ đa thức F
K n V F W Km là liên tục với tôpô Zariski Hơn nữa, với mọi tập đóng Zariski T trong W ta có
Mối quan hệ F và F * cho tương ứng 1 - 1 giữa các ánh xạ đa thức từ V vào W với các đồng cấu vành từ K[W] vào K[V] qua định lý sau
1.2.5.9 Định lý Ánh xạ f: ℝ ℝ liên tục trên tôpô Zariski thì liên tục trên tôpô thông thường, khi tập nguồn ℝ cho bởi tôpô Zariski và tôpô thông thường còn tập đích ℝ cho bởi tôpô thông thường, nhưng điều ngược lại không đúng
Vì tôpô Zariski thô hơn tôpô thông thường (Định lý 1.2.2.12), nên hàm số liên tục trên tôpô Zariski thì liên tục trên tôpô thông thường
Hàm f(x) = sinx có tập ngược đầy đủ của tập {1} là tập vô hạn {2kπ | k ∈ ℤ}, khiến nó không phải là tập đại số trong ℝ Trong khi đó, tập cố định {1} lại là tập đóng trong tôpô thông thường Do đó, hàm sin không liên tục trên tôpô Zariski vì ngược ảnh của một tập đóng trong tôpô thông thường không phải là tập đóng trong tôpô Zariski Tuy nhiên, hàm f(x) = sinx vẫn duy trì tính liên tục trên ℝ trong tôpô thông thường.
Với mọi đồng cấu vành : K[W] K[V] thì tồn tại duy nhất ánh xạ đa thức F: V W sao cho F * = (xem [7]).
Ta có thể coi ánh xạ F: V W là ánh xạ từ V lên F(V) nhưng khi đó
HÀM LIÊN TỤC ĐỐI VỚI TÔPÔ ZARISKI
Tính liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản
Trong phần này, ta đã chứng minh rằng, nếu H là một tập đóng bất kỳ trong topology Zariski trên ℝ, thì H hoặc là bằng tập rỗng hoặc là tập hữu hạn điểm (theo Định lý 1.2.2.13) Do đó, từ đây ta sẽ lấy H là tập gồm các điểm cụ thể, tức là H = { , , , }; với m và * là các yếu tố liên quan đến các phần tử của tập này.
2.1.1 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm lũy thừa y = x a là số thực)
(n là số tự nhiên) liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski
Gĩa sử f(x) = Ta xét hai trường hợp sau:
1) Nếu n là số lẽ thì f là song ánh và
; f -1 (a i ) ={x ℝ | f(x) = ai = a i √ }, f -1 (H 1 ) =⋃ (a i ) là tập đóng Zariski
ℝ ℝ ; f liên tục trên tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski
2) Nếu n là số chẵn ta có: ; Giả sử H = H 1 H 2 với H 1 ={ , , , }; H 2 ={ , , , }
Xét f -1 (c i ) ={x ℝ | y(x) = ci = c i √ }, f -1 (H 1 ) =⋃ (c i ) là tập đóng Zariski trong ℝ f -1 (b j ) ={x ℝ | f(x) = bj = b j phương trình vô nghiệm}= , Hay là tập hữu hạn là tập đóng Zariski
ℝ ( , 0 [0, ) , 0 [0, ∅ ℝ ℝ ; Vậy f liên tục trên tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski
Vậy y = liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski (đpcm)
Hàm số f: ℝ → ℝ (n là số tự nhiên) liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski
Cho f(x) = = 1 x n Ta xét hai trường hợp sau:
1) Nếu n là số lẽ thì f là song ánh và ; f -1 (ai) ={x ℝ | y(x) = ai = ai [ √ 0
ℝ ℝ ; f liên tục trên tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski
2)Nếu n là số chẵn ta có:
Xét f -1 (c i ) ={x ℝ | y(x) = c i = c i √ }, f -1 (H1) =⋃ (ci) là tập đóng Zariski trong ℝ f -1 (b j ) ={x ℝ | y(x) = b j = b j phương trình vô nghiệm}= , Hay là tập hữu hạn là tập đóng Zariski
Vậy f liên tục trên tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski (Hệ quả 1.2.2.14)
Vậy f(x) = liên tục trên , 0 0, theo tôpô Zariski
Hàm số f: ℝ → ℝ (n là số nguyên) liên tục theo tôpô Zariski trên , 0 0,
Kết hợp Mệnh đề 2.1.1.1 và Mệnh đề 2.1.1.2 ta có điều phải chứng minh 2.1.1.4 Mệnh đề
√ liên tục theo tôpô Zariski trên [0,
Xét f -1 (c i ) ={x [0, | y(x) = ci √ = c i }, f -1 (H 1 ) =⋃ (c i ) là tập đóng Zariski trong ℝ f -1 (b j ) ={x [0, | y(x) = b j = b j phương trình vô nghiệm}= ,
Hay là tập hữu hạn là tập đóng Zariski
Vậy f liên tục trên[0, theo tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski (Hệ quả 1.2.2.14)
Vậy f(x) = √ liên tục trên [0, theo tôpô Zariski (đpcm)
√ (n là số tự nhiên) liên tục theo tôpô Zariski trên [0,
Hàm số f: ℝ → ℝ √ (n là số tự nhiên) liên tục theo tôpô Zariski
Cho f(x) = √ Ta có f(x) là song ánh và
; f -1 (ai) ={x ℝ | f(x) = ai √ = ai } f -1 (H) =⋃ (ai) là tập đóng Zariski
ℝ ℝ ; f liên tục trên tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski
Vậy f(x) = √ liên tục theo tôpô Zariski trên ℝ (đpcm)
Hàm số f: 0, → ℝ ( là số thực) liên tục theo tôpô Zariski trên 0,
Cho f(x) = ( là số thực) Ta có
Xét f -1 (ci) ={x 0, | y(x) = ci = ci √ }, f -1 (H 1 ) = ⋃ (c i ) là tập đóng Zariski trong ℝ f -1 (b j ) = {x 0, | y(x) = bj = b j }= , Hay là tập hữu hạn là tập đóng Zariski
Vậy f liên tục trên 0, theo tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski (Hệ quả 1.2.2.14)
Vậy f(x) = ( là số thực) liên tục trên 0, theo tôpô Zariski (đpcm)
2.1.2 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm số mũ
2.1.2.1 Mệnh đề Hàm số : ℝ → ℝ (a là số thực dương và a 1) liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski
Cho f(x) = (a là số thực dương và a 1) Ta có :
∅ 0 f -1 (H) = ⋃ (ai) là tập đóng Zariski
ℝ ℝ ; Vậy f = liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski
Vậy y = liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski (đpcm)
2.1.3 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm số lôgarít:
2.1.3.1 Mệnh đề Hàm số : 0, → ℝ (a là số thực dương và a 1) liên tục theo tôpô Zariski trên (0,
; Xét f -1 (a i ) ={x 0, | f(x) = ai = ai} = a i a f -1 (H) = ⋃ (a i ) là tập đóng Zariski
ℝ 0, ; Vậy f = liên tục trên 0, theo tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski
Vậy y = liên tục trên 0, theo tôpô Zariski (đpcm)
2.1.4 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm số lượng giác
Hàm số sinx: ℝ → ℝ không liên tục theo tôpô Zariski trên ℝ
Hàm sin không liên tục trên tôpô Zariski vì ảnh của một tập đóng Zariski qua hàm sin không phải là tập đóng Zariski Cụ thể, tập {1} là tập đóng trong tôpô Zariski, nhưng tập xác định của f^{-1}({1}) là tập vô hạn {2kπ | k ∈ ℝ}, không phải là tập đại số trong ℝ Do đó, f^{-1}({1}) không phải là tập đại số, dẫn đến kết luận rằng hàm sin không giữ tính liên tục trong tôpô Zariski.
Rõ ràng hàm f(x) = sinx xác định trên ℝ nên liên tục trên ℝ tôpô thông thường
Hay f(x) = sinx liên tục trên ℝ theo tôpô thông thường và không liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski (đpcm)
Chứng minh tương tự với hàm số f(x) = sinx, ta có hàm số f(x) = cosx; f(x) = tanx; f(x) = cotx không liên tục trên tập xác định của chúng theo tôpô
Zariski nhưng liên tục trên tập xác định của chúng theo tôpô thông thường
Hàm số y = sinx và y = cosx đều liên tục trên ℝ theo tôpô thông thường, mang lại sự ổn định và mượt mà trong phạm vi này Tuy nhiên, theo tôpô Zariski, các hàm này không còn đảm bảo tính liên tục trên ℝ, phản ánh sự khác biệt trong cách đánh giá liên tục của hai tôpô Trong khi đó, hàm y = tanx lại liên tục trên các khoảng (−π/2, π/2) theo tôpô thông thường, nhưng không liên tục trên các khoảng mở khác do các điểm x tại x = ±π/2 gây gián đoạn Điều này cho thấy sự khác biệt rõ rệt về tính liên tục của hàm trong các phạm vi khác nhau dựa trên từng loại tôpô.
( , ) , theo tôpô Zariski Hàm y = cotx liên tục trên các khoảng
, , Z theo tôpô thông thường và không liên tục trên các khoảng , , Z theo tôpô Zariski
2.1.5 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm số lượng giác ngược
2.1.5.1 Mệnh đề Hàm số arcsinx: [ , ] → ℝ arcsinx liên tục trên [ , ] theo tôpô Zariski
; Xét f -1 (a i ) = {x [ , ] | f(x) = ai c = ai}={ sin a i } f -1 (H) = ⋃ (a i ) là tập đóng Zariski
ℝ [ , ] ; Vậy f(x) = c liên tục trên [ , ] theo tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập ℝ là tập đóng Zariski
2.1.5.2 Mệnh đề Hàm số arccosx: [ , ] → ℝ arccosx liên tục trên [ , ] theo tôpô Zariski
Chứng minh tương tự đối với hàm y = arcsinx, ta có y = arccosx liên tục trên [ , ] theo tôpô Zariski (đpcm)
| f(x) = a i c = a i }={ tang a i } f -1 (H) =⋃ (a i ) là tập đóng Zariski
theo tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski
Vậy f(x) = arctanx liên tục trên ( , )
Hàm số arccotx : (0, ) → ℝ arccotx liên tục trên (0, ) theo tôpô Zariski
Chứng minh tương tự đối với hàm số f(x) = c , ta có f(x) = arccotx cũng liên tục trên (0, ) theo tôpô Zariski (đpcm)
2.1.6 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm số hypebôlníc
Hàm số shx: ℝ → ℝ (hàm số shx gọi là hàm sin hyperbolic) liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski
= a i } = { lnx 0 } với x 0 là nghiệm dương của phương trình
ℝ ℝ ; Vậy f(x) = liên tục trên trên ℝ theo tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong ℝ là tập đóng Zariski
Vậy f(x) = liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski và tôpô thông thường (đpcm)
Hàm số chx : ℝ → ℝ (hàm số chx gọi là hàm cosin hyperbolic) liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski
Chứng minh tương tự đối với hàm số shx, ta có hàm chx = liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski (đpcm)
Hàm số thx : ℝ → ℝ liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski
Chứng minh tương tự đối với hàm số chx, ta có thx = liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski
Hàm số f: ℝ → ℝ liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski
Chứng minh tương tự đối với hàm số chx, hàm cthx = liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski
1> f(x) = sinx, f(x) = cosx, f(x) = tanx, f(x) = cotx không liên tục trên tập xác định của chúng theo tôpô Zariski nhưng liên tục trên tập xác định của chúng theo tôpô thông thường
2> Các hàm sơ cấp cơ bản còn lại liên tục trên tập xác định của chúng theo tôpô Zariski và tôpô thông thường
Thay vì kiểm tra tính liên tục của hàm số trên tập xác định theo tôpô thông thường, bạn chỉ cần xem xét tính liên tục của hàm theo tôpô Zariski Điều này nghĩa là chỉ cần đánh giá tính liên tục của hàm trên một tập hạn chế gồm các điểm hữu hạn theo tôpô Zariski, giúp đơn giản hóa quá trình kiểm tra và phù hợp với các khái niệm trong lý thuyết hình học.
Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski đối với các hàm số thường gặp
Trong phần này, chúng ta sẽ phân tích tính liên tục của các hàm số theo tôpô Zariski dựa trên các kết quả đã trình bày ở mục trước Việc khảo sát này giúp hiểu rõ hơn về đặc điểm của các hàm số phổ biến trong toán học, đồng thời mở rộng khả năng áp dụng của tôpô Zariski trong nghiên cứu hàm số Các kết quả thu được sẽ cung cấp cái nhìn sâu sắc về tính ổn định và biến đổi của các hàm số theo tôpô Zariski, góp phần nâng cao kiến thức về cấu trúc của không gian hàm số trong toán học.
2.2.1 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm số đa thức
2.2.1.1 Mệnh đề Hàm số y: ℝ → ℝ y = f(x): (f(x) là hàm đa thức) liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski
Ta biết y = f(x):(f(x) là hàm đa thức) là hàm liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski (đpcm)
2.2.1.2 Mệnh đề : Cho f(x) là hàm đa thức một biến
Thế thì hàm số g: D → ℝ , y = là số nguyên) liên tục trên D theo tôpô Zariski Ở đây D := {x ℝ| f(x) 0} \ {b1, b 2 , , b k }
, ̅̅̅̅̅) là nghiệm của phương trình f(x) = 0)
Vì hàm số f(x), liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski
Và hàm số là hàm liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski
Nên hàm số hợp y = liên tục trên D theo tôpô Zariski (đpcm)
2.2.2 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm số phân thức y = : f(x), g(x) là hàm đa thức g(x) 0 2.2.1.1 Mệnh đề
Hàm số y: → ℝ y = : liên tục trên D theo tôpô Zariski (D := {x ℝ| g(x) 0} ℝ { } ; với , ̅̅̅̅̅) là nghiệm của phương trình g(x)=0)
Do f(x), g(x) là hàm đa thức nên f(x)- a i g(x) là hàm đa thức y -1 (H) = ⋃ (a i ) là tập đóng Zariski
Vậy y = là hàm liên tục trên D theo tôpô Zariski (đpcm)
2.2.3 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm số căn thức
2.2.3.1 Mệnh đề Hàm số y: → ℝ (D : ℝ| f(x) > 0 ) y = √ : f(x) là hàm đa thức là số nguyên, f(x) là hàm đa thức) liên tục trên D theo tôpô Zariski
Ta có y = f(x) là hàm đa thức liên tục trên ℝ y= √ là số nguyên) là hàm liên tục trên (0, + ) theo tôpô Zariski
Do đó hàm số hợp y = √ liên tục trên D theo tôpô Zariski.
Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm số khác
0 Không liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski
Vậy y -1 (0) không là tập đóng theo tôpô Zariski nên hàm số đang xét không liên tục đối với tôpô Zariski trên tập xác định của nó là ℝ
Ta có: → = 0 = f(0) hàm số liên tục tại x = 0 Từ đó ta suy ra hàm số liên tục trên ℝ trên tôpô thông thường
0 là hàm liên tục trên ℝ trên tôpô thông thường nhưng không liên tục trên ℝ trên tôpô Zariski (đpcm) 2.3.2 Ví dụ Hàm số y: ℝ → ℝ y = { 0
0 liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski Chứng minh ; y -1 (a i ) ={x ℝ | y(x) = ai { 0
Trong không gian số thực ℝ, tập hợp các điểm y = 0 (H) là tập đóng theo thuật toán Zariski Hàm số liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski đồng nghĩa với việc hàm số đó cũng liên tục theo tôpô thông thường, do tính liên tục trong môi trường này đảm bảo tính liên tục trong môi trường kia Do đó, tập hợp y = {0} là hàm liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski Ví dụ điển hình là hàm số y: ℝ → ℝ, y = √x, thể hiện rõ tính liên tục của hàm này trong không gian số thực theo cả hai tôpô.
0 liên tục trên tôpô Zariski
0 y -1 (H) =⋃ (a i ) là tập đóng Zariski ℝ ℝ ; Hàm số liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski Vậy y = { √ 0
0 là hàm liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski 2.3.4 Ví dụ Hàm số y: ℝ → ℝ y = { 0
0 không liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski
Chứng minh rằng tập hợp f⁻¹({1}) = {x ∈ ℝ | sin x = 1} = {2kπ | k ∈ ℤ} là tập vô hạn, do đó không phải là tập đại số trong ℝ Trong khi đó, tập {1} là tập đóng trong topology Zariski Vì vậy, hàm số liên tục trên topology Zariski phải giữ tính đóng của các tập, nhưng vì ngược ảnh của tập đóng Zariski qua hàm sin không phải là tập đóng Zariski, nên hàm số này không liên tục trên topology Zariski.
Ta có: → 0 → nên → = f(0) nên hàm số liên tục tại x = 0 trên tôpô thông thường Từ đó ta suy ra hàm số liên tục trên ℝ trên tôpô thông thường
Hay f(x) = { 0 0 liên tục trên ℝ theo tôpô thông thường và không liên tục theo tôpô Zariski (đpcm)
Hàm số y: ℝ → ℝ y = { liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski
; y -1 (a i ) ={x ℝ | y(x) = ai { cc y -1 (H) =⋃ (a i ) là tập đóng Zariski
ℝ ℝ ; Hàm số liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski
Vậy y = { c là hàm liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski
* Hàm số y = sinx ; y = cosx không liên tục theo tôpô Zariski trên ℝ nhưng liên tục trên các khoảng (a,b) ; [a,b) ; (a,b]; [a,b]; a< b , a, b là các số thực
* Hàm số y = tanx; không liên tục theo tôpô Zariski trên tập xác định của nó nhưng liên tục trên các khoảng (a+k , b+k ); [a+k , b+k ); (a+k , b+k ]; [a+k , b+k ]; ( < a < b < a,b là các số thực, k là số nguyên)
* Hàm số y = cotx; không liên tục theo tôpô Zariski trên tập xác định của nó nhưng liên tục trên các khoảng (a+k , b+k ); [a+k ,b+k ); (a+k ,b+k ]; [a+k ,b+k ]; (0 < a < b < a, b là các số thực, k là số nguyên).
Tính liên tục của các hàm số có đồ thị là các hình trong hình học phổ thông
Ở mục này ta xét tính liên tục của các hàm số có đồ thị là các hình trong toán phổ thông
2.4.1 Xét tính liên tục của các hàm số có đồ thị là các hình trong mặt phẳng tọa độ Oxy ( theo tôpô thông thường và tôpô Zariski) Ở ví dụ 1.2.5.14 ta có: đường thẳng, parabol đồng phôi với đường Ox, mọi đường tròn đồng phôi với đường tròn đơn vị, mọi đường hypebol đồng phôi với đường hypebol y =
Do đó ta chỉ xét tính liên tục các hàm số có đồ thị là đường thẳng Ox, đường tròn đơn vị, hypebol y =
Trong mặt phẳng, đường thẳng Ox là đồ thị của hàm số y: ℝ → ℝ
0 liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski
Hàm số y = 0 là hàm hằng và hiển nhiên nó liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski
2.4.1.2 Ví dụ Đường tròn đơn vị là hợp của hai đồ thị của các hàm số sau:
Hàm số y: [ , ] → ℝ với y = √ và y = - √ hai hàm số này liên tục trên [-1,1] theo tôpô Zariski
Hàm số \(x\) là hàm đa thức một biến liên tục trên \(ℝ\) theo tôpô Zariski, đảm bảo tính liên tục của hàm số trong tập thực Hàm số căn bậc hai \(\sqrt{\cdot}\) cũng liên tục trên \([0,+\infty)\) theo tôpô Zariski Do đó, các hàm hợp \(y = \sqrt{x}\) và \(y = -\sqrt{x}\) đều liên tục trên khoảng \([-1,1]\) theo tôpô Zariski, đảm bảo tính liên tục của các hàm này trong miền dự kiến.
Vậy y = √ và y = - √ liên tục trên [-1,1] theo tôpô Zariski (đpcm)
Tương tự đối với đường Elip là hình tạo bởi đồ thị hai hàm số liên tục trên tập xác định của nó theo tôpô Zariski
2.4.1.3 Ví dụ Đường hypebol y là đồ thị của hàm số y : * → ℝ
= hàm số này liên tục trên * theo tôpô Zariski
Hàm số y = là hàm số phân thức nên liên tục trên * theo tôpô Zariski (đpcm)
2.4.2 Xét tính liên tục của các hàm số có đồ thị là hình trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz (đối với tôpô thông thường và tôpô Zariski) Ở ví dụ 1.2.5.14 ta có: mọi mặt phẳng trong không gian đồng phôi với mặt phẳng Oxy, mọi đường thẳng trong không gian đồng phôi với đường thẳng Ox, mọi mặt cầu mặt Elipxôit đều đồng phôi trong tôpô Zariski với mặt cầu đơn vị.Do đó ta chỉ xét tính liên tục của các hàm số có đồ thị là đường thẳng Ox, mặt phẳng Oxy, mặt cầu đơn vị
2.4.2.1 Ví dụ Trong không gian Oxyz, mặt phẳng Oxy là đồ thị của hàm số f(x, y) : ℝ → ℝ
( , = f(x, y) = 0 liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski
Hàm số f(x, y) = 0 là hàm hằng nên liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski (đpcm)
Trong không gian, mọi mặt phẳng đều là đồ thị của các hàm số liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski, phản ánh tính liên tục và đặc điểm hình học của các mặt phẳng trong lý thuyết tôpô Đường thẳng, là giao của hai mặt phẳng, cũng được xem là đồ thị của các hàm số liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski, giúp mở rộng hiểu biết về cấu trúc hình học trong hệ thống này.
2.4.2.2 Ví dụ Trong không gian, mặt cầu đơn vị là hợp của hai đồ thị của hai hàm số f(x, y) Hàm số f(x, y): → ℝ (D: ={(x,y) ℝ | |)
( , = f(x, y) với z = f(x, y) = √ và z = f(x, y) = - √ hàm số này liên tục trên D theo tôpô Zariski
Hàm g(x, y) = là hàm đa thức hai biến, hàm này liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski
Và h(x) = √ là hàm số liên tục trên [0, theo tôpô Zariski
Do đó hàm số hợp của f(x,y) của hàm số f (x, y) = hog (x, y) : → ℝ
( , = f(x, y) với z = f(x, y) = √ hàm số liên tục trên D theo tôpô Zariski
Tương tự ta có z = f(x, y) = - √ hàm số liên tục trên D theovà tôpô Zariski (đpcm).