Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
Khách thể và đối tượng nghiên cứu của đề tài bao gồm:
- HS GDTX của một số Trung tâm GDTX trên địa bàn tỉnh Trà Vinh
- Giáo viên dạy toán GDTX trên địa bàn tỉnh Trà Vinh
- Môi trường sư phạm của một số trung tâm GDTX trên địa bàn tỉnh Trà Vinh, đặc biệt là trong giờ dạy toán.
Giả thiết khoa học
Việc thường xuyên quan tâm, chú trọng và coi trọng đúng mức đến việc rèn luyện năng lực giải Toán thông qua phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải Tích 12 sẽ nâng cao năng lực giải toán của học sinh Đầu tư vào phương pháp này giúp cải thiện chất lượng giáo dục tiểu học, giúp học sinh phát triển kỹ năng tư duy logic và khả năng giải quyết các bài toán khó khăn Nhờ đó, học sinh sẽ có nền tảng vững chắc hơn trong học tập môn Toán, góp phần thúc đẩy thành tích học tập chung của nhà trường.
Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận:
Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về giáo dục học, tâm lý học, sách giáo khoa, sách bài tập, tạp chí, báo chí liên quan đến logic toán học, tư duy thuật toán, năng lực tư duy thuật toán nhằm nâng cao khả năng tư duy cho học sinh GDTX Các phương pháp rèn luyện năng lực tư duy thuật toán được thiết kế thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải bài tập Giải Tích 12, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học và phát triển tư duy logic trong quá trình học tập.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:
Bước đầu tìm hiểu tình hình dạy học và rút ra một số nhận xét về việc
“Rèn luyện năng lực giải Toán cho HS thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải Tích 12”
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Trong quá trình thực nghiệm giảng dạy tại một số lớp đã chọn, các biện pháp đề ra đã được thể hiện rõ nét qua các giờ dạy thực tế Việc kiểm tra, đánh giá đã giúp xác định hiệu quả của từng biện pháp và từ đó, tiến hành bổ sung, sửa đổi nhằm nâng cao tính khả thi và phù hợp của các phương pháp giảng dạy đã đề xuất Các hoạt động này đảm bảo quá trình cải tiến nhằm nâng cao chất lượng dạy học diễn ra liên tục và hiệu quả hơn.
Đóng góp của luận văn
Bài viết làm rõ nội dung "Rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải Tích 12", nhấn mạnh tầm quan trọng của việc phát hiện sai lầm để nâng cao tư duy phản biện và kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh Các phương pháp hướng dẫn giúp học sinh nhận diện lỗi sai, từ đó củng cố kiến thức và nâng cao năng lực tư duy logic trong môn giải tích lớp 12 Việc tạo điều kiện để học sinh tự vận dụng kiến thức qua việc sửa lỗi góp phần phát triển khả năng độc lập trong tư duy và nâng cao hiệu quả học tập Nội dung này góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán, đặc biệt là ở lĩnh vực Giải Tích 12, thông qua việc hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ năng tự phát hiện, tự chỉnh sửa sai lầm.
Xây dựng một số biện pháp “Rèn luyện năng lực giải Toán cho HS thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải Tích 12”
Vận dụng các biện pháp trên vào thực tiễn để sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán Giải Tích 12.
Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết thúc và tài liệu tham khảo, luận văn chúng tôi thực hiện gồm 3 chương:
- Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiển
- Chương 2 : Một số biện pháp rèn luyện năng lực giải Toán cho HS thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải Tích 12
- Chương 3 : Thực nghiệm sư phạm.
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Năng lực, năng lực toán học
Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng trong tâm lý học, và đếnnay vẫn còn nhiều cách tiếp cận cũng như diễn đạt khác nhau về khái niệm này Theo các tác giả, năng lực thể hiện qua khả năng thực hiện công việc, thích nghi với môi trường và đạt thành tích cao trong các lĩnh vực khác nhau Các quan điểm khác nhau về năng lực giúp làm rõ tính chất phức tạp của khái niệm này trong quá trình phát triển cá nhân và xã hội Nhiều nghiên cứu nhấn mạnh rằng năng lực không chỉ là kiến thức lý thuyết mà còn bao gồm kỹ năng thực hành và thái độ phù hợp để ứng dụng hiệu quả trong thực tiễn.
Năng lực được định nghĩa là khả năng các kỹ năng tác động một cách tự nhiên phù hợp với nội dung của các tình huống cụ thể nhằm giải quyết những vấn đề do tình huống đó đặt ra.
Phạm Minh Hạc nhấn mạnh rằng năng lực là một tổ hợp đặc điểm tâm lý của một người, vận hành theo một mục đích nhất định để tạo ra kết quả trong các hoạt động Năng lực không chỉ phản ánh khả năng cá nhân mà còn ảnh hưởng đến hiệu quả công việc, giúp người lao động đạt được mục tiêu đề ra Hiểu rõ về năng lực là yếu tố quan trọng trong việc phát triển bản thân và nâng cao hiệu suất công việc trong các lĩnh vực khác nhau.
C Mác chỉ rõ: “Sự khác nhau về tài năng tự nhiên của các cá nhân không phải là nguyên nhân mà là kết quả của sự phân công lao động” [17, tr
167] Ph Ăng ghen thì cho rằng: “Lao động đã sáng tạo ra con người” [1, tr
Trường phái tâm lí học Xôviết, nổi bật với các nhà nghiên cứu như A G Côvaliov và N X., đã góp phần quan trọng vào lĩnh vực nghiên cứu về năng lực trí tuệ B M Chieplôv, tiêu biểu trong số đó, xác định năng lực trí tuệ là những đặc điểm tâm lý cá nhân liên quan đến kết quả tốt đẹp trong việc hoàn thành các hoạt động Ông nhấn mạnh rằng, theo quan điểm của ông, có hai yếu tố cơ bản liên quan đến khái niệm năng lực trí tuệ, góp phần làm sáng tỏ khả năng của cá nhân trong các hoạt động khác nhau.
NL phản ánh những đặc điểm tâm lý mang tính cá nhân, thể hiện rõ ràng qua sự khác biệt về năng lực giữa các cá thể trong cùng một lĩnh vực Mỗi người đều có những nét đặc trưng về tâm lý phù hợp với khả năng và sở thích của riêng mình, do đó không thể khẳng định rằng tất cả mọi người đều có cùng mức năng lực.
Năng lực không chỉ là đặc điểm tâm lý chung của con người mà còn phải liên kết với hoạt động cụ thể để đạt được kết quả tốt, thể hiện tính hướng đích Tại Việt Nam, người ta nhấn mạnh đến tính mục đích và nhân cách của năng lực, với định nghĩa của Phạm Tất Dong và Phạm Minh Hạc cho rằng: “Năng lực chính là một tổ hợp các đặc điểm tâm lý của một con người, vận hành theo một mục đích nhất định nhằm tạo ra kết quả của một hoạt động nào đó”.
Năng lực là tổ hợp các thuộc tính tâm lý hoặc kỹ năng của con người để thực hiện thành công một hoạt động cụ thể, đặc biệt trong việc giải quyết các yêu cầu mới mẻ Nó liên quan đến khả năng hoàn thành nhiệm vụ và gắn liền với tính sáng tạo, dù ở mức độ khác nhau Năng lực có thể được rèn luyện và phát triển qua quá trình học tập và thực hành, và sự khác biệt về năng lực giữa các cá nhân phản ánh mức độ phát triển của các thuộc tính này (theo Chung Bích Ngọc).
1.1.2 Khái niệm năng lực toán học
Theo V A Krutecxki năng lực toán học được hiểu theo 2 ý nghĩa, 2 mức độ:
Năng lực học tập, hay còn gọi là năng lực tái tạo, đề cập đến khả năng tiếp thu và nắm bắt kiến thức toán học một cách nhanh chóng và hiệu quả trong chương trình giáo dục phổ thông Đây là kỹ năng quan trọng giúp học sinh hiểu rõ các kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo liên quan đến môn toán, từ đó nâng cao khả năng học tập và ứng dụng kiến thức trong thực tế.
Năng lực sáng tạo trong toán học, theo nghĩa khoa học, đề cập đến khả năng hoạt động sáng tạo để tạo ra những kết quả mới, khách quan và có giá trị lớn đối với xã hội loài người.
Năng lực học tập toán không tách rời khỏi khả năng sáng tạo, thể hiện qua những học sinh tự chủ trong việc nắm vững kiến thức và phát triển các phương pháp giải quyết vấn đề độc đáo Một số em có năng lực sáng tạo, tự đặt ra và giải các bài toán không phức tạp, tìm ra các con đường, phương pháp chứng minh sáng tạo, độc lập suy ra các công thức và khám phá phương pháp giải mới lạ Tuy nhiên, tỷ lệ những học sinh này còn rất nhỏ, và nghiên cứu của luận văn tập trung chủ yếu vào năng lực toán học theo góc độ tổng quát, đặc biệt là khả năng phản xạ và sáng tạo trong học tập.
Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân, chủ yếu là các đặc điểm hoạt động trí tuệ, giúp học sinh đáp ứng yêu cầu của hoạt động toán học Những đặc điểm này hỗ trợ việc hiểu sâu, nhanh chóng và sáng tạo giáo trình toán, từ đó hình thành kỹ năng và kỹ xảo toán học một cách dễ dàng và hiệu quả.
Năng lực học toán là những đặc điểm tâm lý cá nhân, chủ yếu là các đặc điểm hoạt động trí tuệ, giúp đáp ứng yêu cầu của hoạt động toán học Những năng lực này là yếu tố quyết định thành công trong việc hiểu và vận dụng kiến thức toán học một cách sáng tạo, nhanh chóng và sâu sắc Khi có nền tảng vững chắc, các cá nhân sẽ dễ dàng nắm vững kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo trong lĩnh vực toán học, từ đó nâng cao hiệu quả học tập và thành tích trong môn học.
Học sinh có năng lực toán học là những học sinh có trí thông minh trong việc học toán, có khả năng nắm bắt chương trình trung học, mặc dù khả năng này khác nhau giữa các em Những năng lực này không cố định mà ngày càng phát triển qua quá trình học tập và luyện tập, phản ánh sự hình thành và mở rộng của kỹ năng toán học.
Trong quá trình dạy học toán, việc lựa chọn nội dung và phương pháp phù hợp là điều rất quan trọng để nâng cao năng lực toán học cho từng học sinh, vì mức độ khả năng toán học của mỗi người là khác nhau Nhà toán học Xôviết, Viện sĩ A., nhấn mạnh rằng các phương pháp giảng dạy cần được điều chỉnh phù hợp để đảm bảo mọi đối tượng học sinh đều có cơ hội phát triển toán học một cách toàn diện Điều này giúp đảm bảo sự tiến bộ liên tục và nâng cao năng suất học tập của toàn bộ học sinh trong quá trình học toán.
Một số biểu hiện năng lực giải toán của học sinh
Năng lực đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện và phát triển nhân cách cũng như nâng cao năng lực trí tuệ của học sinh Việc bồi dưỡng hứng thú và nhu cầu học tập giúp thúc đẩy tinh thần ham học, khuyến khích học sinh tích cực tìm tòi, sáng tạo và phát triển toàn diện khả năng của bản thân.
Trong quá trình học tập, giáo viên đã đưa ra các bài tập sáng tạo nhằm phát triển năng lực của học sinh qua hoạt động rèn luyện và vận dụng kiến thức, phương pháp học đã học Các biểu hiện của năng lực này được sắp xếp theo thứ tự tăng dần, giúp học sinh dần hình thành khả năng giải toán tích hợp, đặc biệt trong việc giải các bài tập giải tích lớp 12 Những hoạt động này giúp học sinh nâng cao khả năng vận dụng kiến thức, phát triển tư duy sáng tạo và giải quyết vấn đề một cách linh hoạt hơn.
1.2.1 Có khả năng vận dụng những kiến thức, kỹ năng đã biết vào hoàn cảnh mới
Khả năng áp dụng các thuật giải đã có sẵn để giải bài toán mới hoặc vận dụng kiến thức, kỹ năng đã học trong các bài toán tương tự là một trong những năng lực quan trọng mà học sinh cần phát triển trong quá trình học toán Học sinh biểu hiện năng lực này bằng cách biến đổi các bài tập trong tình huống mới thành các dạng quen thuộc hoặc đã biết để dễ dàng áp dụng kiến thức và kỹ năng đã học Giáo viên cần chú trọng phát hiện và bồi dưỡng khả năng này để nâng cao năng lực giải toán của học sinh.
Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: a/ y = x 4 – 2x 2 + 1 b/ y = x + e x Giải: a/ TXĐ: D y / = 4x 3 – 4x, cho y / = 0
Kết luận: - Hàm số đồng biến trong các khoảng (-1; 0); (1; + )
- Hàm số nghịch biến trong các khoảng ( ; -1); (0; 1) b/ TXĐ: D y/ 1 e x vì e x 0, x nên y / > 0, x Kết luận: Hàm số đồng biến trên
1.2.2 Có khả năng phát hiện, đề xuất cái mới từ một vấn đề quen thuộc
Khi đối mặt với bài tập mới, học sinh nhận ra các vấn đề trong điều kiện học tập, phát hiện chức năng mới của các đối tượng quen thuộc, giúp tránh sự rập khuôn máy móc Điều này tạo điều kiện để học sinh điều chỉnh linh hoạt hướng giải quyết phù hợp với các tình huống mới, qua đó rèn luyện tính mềm dẻo và linh hoạt của năng lực giải toán.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số y x 3 x 2 3x10 tăng trên Giải:
Vậy hàm số tăng trên
Trước khi giao bài tập cho học sinh, giáo viên có thể đặt câu hỏi gợi mở như "Nhìn vào bài tập này, điều gì khiến nó đặc biệt?" để hướng dẫn học sinh phân tích và nhận diện điểm nổi bật của bài tập Việc đặt ra câu hỏi mở giúp trẻ tư duy sáng tạo, kích thích khả năng suy nghĩ phản biện Thầy cô có thể dẫn dắt học sinh đi sâu hơn vào nội dung, giúp các em hiểu rõ hơn về đặc điểm và yêu cầu của bài tập, từ đó nâng cao hiệu quả học tập và phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề.
HS đi vào giải bài tập này
1.2.3 Có khả năng nhìn nhận đối tượng dưới các khía cạnh khác nhau
Khi học sinh gặp thất bại trong quá trình giải bài toán, họ thường cảm thấy chán nản thay vì tìm kiếm các phương pháp tiếp cận mới và sáng tạo hơn Thất bại chỉ mang ý nghĩa tích cực nếu học sinh biết phân tích lại toàn bộ quá trình, xem xét các yếu tố liên quan và điều chỉnh chúng để đạt kết quả tốt hơn Thay vì tự hỏi “ Tại sao mình lại thất bại?”, học sinh nên tự hỏi “ Mình đã làm được những gì rồi?”, từ đó nhìn nhận vấn đề từ các góc độ khác nhau để khám phá những cách giải quyết mới phù hợp hơn Theo Aristotle, ẩn dụ là một biểu hiện của sự thiên tài, thể hiện khả năng liên kết các khái niệm riêng biệt và diễn đạt sự tương đồng giữa chúng, qua đó thể hiện năng lực tư duy sáng tạo và đặc biệt của con người.
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số yf(x) x 3 (2m-1) x 2 (m 5) x 1 đạt cực trị tại x = 1
/ 2 y 3x 2(2m 1) x (m 5) Thuận: Hàm số đạt cực trị tại x = 1 f (x) 0/ 3 2(2m-1) (m-5) 0 m 2
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Kết luận: Với m = - 2 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
1.2.4 Có khả năng phối hợp nhiều công cụ, phương pháp khác nhau để giải quyết một vấn đề Đứng trước một bài tập toán mang tính sáng tạo cao, đòi hỏi học sinh phải vận dụng rất nhiều kiến thức khác nhau và nhiều phương pháp, cách giải khác nhau Đồng thời học sinh cũng phải biết phối hợp các kiến thức và phương pháp đó, huy động những kỹ năng, kinh nghiệm của bản thân cộng với sự nỗ lực, phát huy năng lực giải toán của cá nhân để tìm tòi, giải quyết vấn đề
Ví dụ 4: Chứng minh e x 1 x Giải: x x e 1 x e x 1 0 Đặt f(x) e x x 1 x ; f (x) / e x 1 ; f (x) / 0 x 0 Bảng biến thiên: x 0 + f (x)/ - 0 + f(x) + +
1.2.5 Có khả năng tìm được nhiều cách giải khác nhau đối với bài toán đã cho Đây là biểu hiện của học sinh khi đứng trước những bài toán có những đối tượng, những quan hệ có thể xem xét dưới nhiều khía cạnh khác nhau Đứng trước những bài toán loại này học sinh biểu hiện khả năng, năng lực chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, thể hiện năng lực nhìn một đối tượng toán học dưới nhiều khía cạnh khác nhau
Ví dụ 5: Giải phương trình : x x 5 5 (1)
Ta thấy : x = 5 nghiệm đúng của phương trình (1) Đặt f(x) x x 5 (x 5) f (x) / 1 1 0 (x > 5)
5 Vậy : đồ thị hàm số yf(x)x x 5 cắt đường thẳng y = 5 tại x = 5
Do đó x = 5 là nghiệm duy nhất
1.2.6 Có khả năng tìm được cách giải độc đáo đối với bài toán đã cho
Trong nhiều bài toán, các yếu tố được trình bày rõ ràng qua đề bài, giúp học sinh dễ nhận biết và phân tích Tuy nhiên, cũng có những bài toán yếu tố ẩn, được diễn đạt một cách không dễ phát hiện hoặc mang tính đánh lừa tư duy của học sinh Việc xác định trọng tâm và phát hiện điểm mới, khác lạ trong quá trình giải bài giúp sinh thể hiện được năng lực tư duy logic và khả năng xử lý các yếu tố phức tạp của đề bài Những yếu tố này đóng vai trò quan trọng trong việc nâng cao kỹ năng giải quyết các bài toán một cách linh hoạt và sáng tạo.
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 2 x - x+1 f(x) x + x+1 xác định x Gọi y 0 là một giá trị của hàm số, phương trình 0
2 2 x - x+1 y = x + x+1 phải có nghiệm x Phương trình 0
* y 0 1; = 3y 0 2 10 y 0 3 Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm x 0
Vậy f(x) có GTLN là 3 và có GTNN là 1
Các dạng sai lầm chủ yếu trong giải toán Giải tích 12
1.3.1 Sơ lược về nội dung chương trình toán Giải tích 12 ở trường THPT hiện nay
1.3.1.1 Mục tiêu dạy học toán Giải tích 12 trường THPT
Nội dung Về kiến thức Về kỹ năng
I ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
1 ứng dụng đạo hàm cấp một để xét tính đơn điệu của hàm số
Biết mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu đạo hàm cấp một của nó
Biết cách xét sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu đạo hàm cấp một của nó
2 Cực trị của hàm số - Biết các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số
- Biết các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số
Biết cách tìm điểm cực trị của hàm số
3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Biết các khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số
Biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng
4 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Định nghĩa và cách tìm các đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang
Biết khái niệm đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang của đồ thị
Biết cách tìm đường tiệm đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
5 Khảo sát hàm số Sự - Biết các bước khảo sát - Biết cách khảo sát và tương giao của hai đồ thị Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và vẽ đồ thị hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị vẽ đồ thị của các hàm số y = ax 4 + bx 2 + c (a 0), y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a 0) và y = ax b cx d
(ac 0), trong đó a, b, c, d là các số cho trước
- Biết cách dùng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của một phương trình
- Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị hàm số
II Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
1 Luỹ thừa Định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ, số mũ thực Các tính chất
Hiểu rõ các khái niệm về luỹ thừa với số mũ nguyên của số thực, giúp bạn nắm vững các quy tắc tính toán và ứng dụng trong toán học Ngoài ra, việc nắm vững luỹ thừa với số mũ hữu tỉ còn mở rộng khả năng xử lý các bài toán phức tạp hơn, đặc biệt trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật Đặc biệt, khi áp dụng luỹ thừa với số mũ thực của số thực dương, bạn có thể tính toán dễ dàng trong các tình huống thực tế, từ đó nâng cao khả năng phân tích và giải quyết vấn đề một cách chính xác.
- Biết các tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa
Biết dùng các tính chất của luỹ thừa để đơn giản biểu thức, so sánh những biểu thức có chứa luỹ thừa với số mũ thực
2 Lôgarit Định nghĩa lôgarit cơ số a (a > 0, a 1) của một số dương Các tính chất cơ bản của lôgarit
Lôgarit thập phân Số e và lôgarit tự nhiên
- Biết khái niệm lôgarit cơ số a (a > 0, a 1) của một số dương
- Biết các tính chất của lôgarit (so sánh hai lôgarit cùng cơ số, quy tắc tính lôgarit, đổi cơ số của lôgarit
- Biết các khái niệm lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên
- Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản
- Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài tập biến đổi, tính toán các biểu thức chứa lôgarit
Hàm số mũ Hàm số lôgarit Định nghĩa, tính chất, đạo hàm và đồ thị
- Biết khái niệm và tính chất của hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
- Biết công thức tính đạo hàm của các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
- Biết dạng đồ thị của các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
- Biết vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ và lôgarit
- Biết vẽ đồ thị các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
- Tính được đạo hàm các hàm số y = e x , y = lnx
4 Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
- Biết trình, bất phương trình mũ: phương pháp đưa về luỹ thừa cùng cơ
Để giải phương trình và bất phương trình mũ một cách hiệu quả, ta có thể sử dụng các phương pháp như đưa số về cùng cơ số, áp dụng phương pháp lôgarit hóa để biến đổi biểu thức phức tạp thành dạng dễ giải hơn, dùng ẩn số phụ để chuyển đổi các bất phương trình phức tạp thành dạng đơn giản hơn, và khai thác các tính chất của hàm số mũ để tìm nghiệm nhanh chóng và chính xác hơn.
Bạn cần nắm vững các phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit như đưa về lôgarit cùng cơ số, phương pháp mũ hóa và dùng ẩn số phụ để đơn giản hóa bài toán Hiểu rõ về luỹ thừa cùng cơ số giúp xác định giải pháp nhanh chóng, trong khi phương pháp lôgarit hoá giúp chuyển đổi các biểu thức phức tạp thành hàm số dễ xử lý Sử dụng tính chất của hàm số và các phương pháp này sẽ nâng cao hiệu quả trong việc giải các bài toán liên quan đến lôgarit và luỹ thừa.
- Giải được phương trình, bất phương trình lôgarit: phương pháp đưa về lôgarit cùng cơ số, phương pháp mũ hoá, phương pháp dùng ẩn số phụ
1 Nguyên hàm Định nghĩa và các tính chất của nguyên hàm
Kí hiệu họ các nguyên hàm của một hàm số
Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Phương pháp đổi biến số Tính nguyên hàm từng phần
- Hiểu khái niệm nguyên hàm của một hàm số
- Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm
- Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và cách tính nguyên hàm từng phần
- Sử dụng được phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính nguyên hàm
- Biết khái niệm về diện tích hình thang cong cong Định nghĩa và các tính chất của tích phân
Phương pháp đổi biến số Phương pháp tính tích phân từng phần
- Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằng công thức Niu-tơn
- Biết các tính chất của tích phân
3 ứng dụng hình học của tích phân
- Biết các công thức tính diện tích, thể tích nhờ tích phân
- Tính được diện tích một số hình phẳng, thể tích một số khối nhờ tích phân
1 Dạng đại số của số phức Biểu diễn hình học của số phức Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức
- Biết dạng đại số của số phức
- Biết cách biểu diễn hình học của số phức, môđun của số phức, số phức liên hợp
- Thực hiện được các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức
2 Giải phương trình bậc hai với hệ số thực
Biết được phương trình bậc hai với hệ số thực (nếu < 0)
Biết tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực (nếu
Rèn luyện kỹ năng suy luận hợp lý và logic là yếu tố then chốt giúp nâng cao khả năng phân tích và tổng hợp thông tin Khả năng quan sát và dự đoán chính xác hỗ trợ phát triển tư duy phản biện, từ đó cải thiện khả năng sử dụng ngôn ngữ một cách chính xác và rõ ràng Việc rèn luyện những kỹ năng này không chỉ giúp tăng cường tư duy phân tích mà còn giúp phát triển tư duy sáng tạo, góp phần nâng cao hiệu quả học tập và công việc.
Bồi dưỡng phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập và sáng tạo giúp hình thành thói quen diễn đạt chính xác và rõ ràng ý tưởng cá nhân Đồng thời, phát triển khả năng hiểu và tiếp thu ý tưởng của người khác để nâng cao kỹ năng tư duy logic và phản biện.
- Góp phần hình thành các phẩm chất cần thiết của con người lao động trẻ
1.3.1.2 Phân phối chương trình Giải tích 12 ở trường THPT tỉnh Trà Vinh
Cả năm 123 tiết Giải tích 78 tiết
I Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số §1 Sự đồng biến, nghich biến của hàm số
Lí thuyết I,II (đến hết vd 4) 1
Lí thuyết còn lại +Bài tập 2 §2 Cực trị của hàm số 3 - 5
Từ đầu đến hết mục II 3
Bài tập (1,2,3,4) 5 §3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Từ đầu đến hết mục 1 của mục II 6 Mục 2 của mục II đến hết lí thuyết 7
Bài tập (1,2) 11 §5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đa thức
Từ đầu đến hết hàm số y= ax 3 +bx 2 + cx+d
Khảo sát hàm số y=ax 4 +bx 2 +c 13
Khảo sát hàm số y= ax b cx d
Sự tương giao của các đồ thị 15
Bài tập 7+… 17 Ôn tập chương 1 18 - 19 Ôn tập lý thuyết và chữa bài tập (6,7) 18 Bài tập (8,9) 19
Kiểm tra 45 phút 20 §1 Luỹ thừa 21 - 23
Bài tập (1,2,3,4) 23 §2 Hàm số Luỹ thừa 24- 25
II- Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Bài tập (1,2,3,4,5) 28 §4 Hàm số mũ và Hàm số Logarit
Bài tập (2,3,5) 31 §5 Phương trình mũ, phương trình Logarit
Bài tập (1,2,3,4) 34 §6 Bất phương trình mũ, phương trình Logarit Luyện tập
III- Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Bài tập (1.b.d.g; 2a,b,c,d) 45 Ôn tập, kiểm tra Ôn tập học kì I 46- 47
Hàm số và một số dạng bài tập điển hình vêg hàm số
Một số dạng bài tập diển hình về pt
III- Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (tiếp) §2 Tích Phân 49 -50
Bài tập1(a,c,e),3,4,5 50 §3 ứng dụng của tích phân trong hình học
Bài tập 1,2,3,4 54 Ôn Tập chương III 55 - 56 Ôn tập lí thuyết + Bài tập 3,4 55
IV- Số phức ( 10 tiết ) §1 Số phức 58 §2 Cộng, trừ và nhân số phức 59 - 60
Bài tập 1(a,b),2(a,b),3(a,b),4,5 60 §3 Phép chia số phức 61 - 62
Kiểm tra 45 phút 63 §4 Phương trình bậc hai với hệ số thực
Bài tập 1,2(a,b),3,4 65 Ôn tập chương IV 66 - 67 Ôn tập lí thuyết + Bài tập 3,4,5 66
Bài tập 6,7,8,9 67 Ôn tập, kiểm tra Ôn tập cuối năm 68 - 69
Bài tập ôn cuối năm (từ 1 đến 10) 68 Bài tập ôn cuối năm (từ 10 đến 16) 69
Tổng ôn tập cho thi tốt nghiệp 71 - 78
1.3.2 Các dạng sai lầm chủ yếu khi giải toán 12
Chương trình Toán Giải tích lớp 12 bao gồm các kiến thức cơ bản về đạo hàm, ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị, cũng như nghiên cứu các hàm lũy thừa, hàm số mũ, logarit Sinh viên được hình thành vốn kiến thức về nguyên hàm, tích phân và các dạng toán về số phức, nhằm giúp các em tiếp tục học chương trình toán học cao hơn và vận dụng hiệu quả vào các môn học khác Các lỗi phổ biến của học sinh thường xuất hiện qua quá trình giải các dạng toán đã học, như sai lầm trong tính toán, vận dụng khái niệm, định nghĩa, định lý, hoặc qua các phép biến đổi phức tạp, thậm chí có những sai lầm tinh vi liên quan đến nhận thức và tư duy khó phát hiện Trong bậc THPT, có nhiều tài liệu phân tích các sai lầm của học sinh, ví dụ như Nguyễn Hữu Hậu liệt kê các lỗi liên quan đến hoạt động, còn Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang hệ thống các dạng sai lầm phổ biến trong quá trình học và giải toán.
1.3.2.1 Sai lầm khi biến đổi công thức
Trong quá trình biến đổi công thức, nhiều người thường mắc phải sai lầm khi sử dụng các đẳng thức không phải là hằng đẳng thức đúng trong mọi điều kiện Những "đẳng thức" này chưa xác định rõ điều kiện ràng buộc nên dễ gây nhầm lẫn Đôi khi, sai lầm xảy ra do hiểu nhầm hoặc sử dụng công thức mà quên mất các điều kiện cần thiết để đảm bảo tính chính xác của phép biến đổi.
1.3.2.2 Sai lầm khi giải phương trình, bất phương trình
Học sinh thường gặp phải những sai lầm khi giải phương trình do vi phạm quy tắc biến đổi phương trình và bất phương trình tương đương, dẫn đến những lỗi nghiêm trọng Đặt thừa hoặc thiếu các điều kiện cần thiết gây ra những sai sót, thậm chí khiến không thể giải được phương trình Ngoài ra, một nguyên nhân quan trọng là biến đổi công thức không chính xác, làm ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng.
1.3.2.3 Sai lầm khi khi chứng minh bất đẳng thức
Các sai lầm phổ biến trong chứng minh bất đẳng thức thường bắt nguồn từ việc vận dụng các bất đẳng thức cổ điển mà không chú ý đến các điều kiện cần thiết để bất đẳng thức đó đúng đắn Ngoài ra, việc sử dụng sai quy tắc suy luận khi chuyển từ bất đẳng thức này sang bất đẳng thức khác cũng là nguyên nhân chính dẫn đến những sai sót trong quá trình chứng minh.
1.3.2.4 Sai lầm khi tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
Những sai lầm phổ biến khi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức nhiều ẩn thường bắt nguồn từ việc vi phạm quy tắc suy luận logic chính xác Việc xác định cực trị cần tuân thủ các quy trình rõ ràng, chính xác để tránh những sai lầm trong phân tích Học sinh cần chú ý đảm bảo rằng các bước trong quá trình tối ưu hóa được thực hiện đúng, từ việc xác định miền xác định đến việc tính đạo hàm và kiểm tra các điểm đặc biệt Nhận biết các lỗi logic giúp nâng cao độ chính xác trong quá trình tìm cực trị của hàm số phức tạp.
- Đối với biểu thức nhiều ẩn cũng có quy tắc tương tự
1.3.2.5 Sai lầm khi giải các bài toán tam thức bậc hai
Khi giải toán tam thức bậc hai, các sai lầm phổ biến thường xuất phát từ việc thiếu chú ý đến giả thiết của các định lý, dẫn đến việc áp dụng sai hoặc lạm dụng suy luận không phù hợp Ngoài ra, việc xem xét thiếu các trường hợp cần thiết để biện luận cũng gây ra những lỗi nghiêm trọng trong quá trình giải bài tập Để tránh những sai lầm này, người học cần nắm vững giả thiết của các định lý và cẩn thận phân tích tất cả các trường hợp có thể xảy ra.
1.3.2.6 Sai lầm khi giải hệ phương trình, bất phương trình
Một trong những nguyên nhân chính gây ra sai lầm khi xét các loại hệ phương trình là do không nắm vững các phép biến đổi tương đương Ngoài ra, việc bỏ qua việc biện luận đầy đủ các trường hợp xảy ra cũng dẫn đến những sai sót trong quá trình giải hệ phương trình Do đó, việc hiểu rõ các phép biến đổi tương đương và đảm bảo biện luận toàn diện các trường hợp là yếu tố quan trọng để tránh mắc phải lỗi trong phân tích hệ phương trình.
1.3.2.7 Sai lầm khi tính giới hạn
Khi học các bài toán tính giới hạn, học sinh thường chuyển từ "vùng đất hữu hạn" sang "vùng đất vô hạn" với các đại lượng vô cùng bé hoặc vô cùng lớn, dễ gây nhầm lẫn Những sai lầm phổ biến trong dạng toán này bắt nguồn từ việc thiếu kiến thức vững chắc về các quy tắc và định lý liên quan đến giới hạn, đặc biệt là hiểu rõ phạm vi có hiệu lực của các định lý đó Việc nắm vững các nguyên tắc này sẽ giúp học sinh tránh mắc lỗi khi giải các bài toán về giới hạn, đảm bảo kết quả chính xác và giúp nâng cao khả năng tư duy logic trong môn toán.
1.3.2.8 Sai lầm khi giải toán liên quan tới đạo hàm
Các sai lầm liên quan tới khái niệm đạo hàm thường gặp khi tính đạo hàm và khi vận dụng đạo hàm để giải toán
1.3.2.9 Sai lầm khi xét bài toán về tiếp xúc và tiếp tuyến
Các sai lầm khi xét bài toán loại này bắt nguồn từ việc không nắm vững thuật ngữ hoặc hiểu đúng về khái niệm tiếp xúc của hai đồ thị Hiểu rõ thuật ngữ là yếu tố quan trọng để đưa ra phương pháp giải chính xác và hiệu quả hơn Việc không nhận biết chính xác sự tiếp xúc giữa các đồ thị có thể dẫn đến các lỗi trong quá trình phân tích và giải bài toán Vì vậy, nắm vững kiến thức về thuật ngữ và khái niệm tiếp xúc là bước nền tảng để tránh những sai lầm không đáng có.
1.3.2.10 Sai lầm khi xét các đường tiệm cận của đồ thị
Thực trạng sai lầm trong giải toán 12 của HS trên địa bàn tỉnh Trà Vinh
Trà Vinh là tỉnh nghèo, chủ yếu là đồng bào dân tộc Khmer, với hệ thống giáo dục gồm 32 trường THPT, 7 trung tâm GDTX huyện và 1 trung tâm GDTX thành phố Một số trung tâm có cơ sở vật chất và đội ngũ giảng viên đầy đủ, đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh, tuy nhiên vẫn còn nhiều trường học gặp khó khăn về cơ sở vật chất và nhân lực Việc nâng cấp hạ tầng và tăng cường đội ngũ giáo viên là yếu tố cần thiết để nâng cao chất lượng giáo dục tại Trà Vinh.
GV thiếu về số lượng và chất lượng chưa cao Chất lượng HS còn thấp và chưa đồng đều giữa các trường
Qua các giờ dạy, giờ dự giờ và ý kiến khảo sát từ một số giáo viên, người viết nhận thấy thực trạng dạy và học bài tập Giải tích 12 hiện nay vẫn còn nhiều khó khăn và tồn tại Mặc dù giáo viên đã nỗ lực tổ chức các phương pháp dạy học tích cực để phát huy năng lực giải toán và tính tích cực, chủ động của học sinh, nhưng hiệu quả vẫn chưa đạt yêu cầu Nguyên nhân chủ yếu xuất phát từ cả yếu tố khách quan và chủ quan, dẫn đến chất lượng dạy học còn hạn chế.
Hệ quả này xuất phát từ sự tồn tại của phương pháp dạy học cũ, nặng về truyền thụ một chiều, lấy người dạy làm trung tâm, dẫn đến việc một số giáo viên còn chậm đổi mới phương pháp giảng dạy để phù hợp với yêu cầu hiện đại và thúc đẩy hiệu quả học tập của học sinh.
Thứ hai, hệ thống học tập bài tập Giải tích 12 còn chưa đa dạng về nội dung, dẫn đến các giờ dạy thiếu phong phú Các bài tập hiện tại đơn giản về hình thức, cần được cải thiện để nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập môn học này.
+ Thứ ba, việc thực hành làm bài tập tại lớp của học sinh còn mang tính hình thức, đối phó
Thứ tư, việc ra những bài toán mang tính sáng tạo còn chưa được chú trọng đúng mức, dẫn đến việc chưa đủ kích thích khả năng sáng tạo của người học Do đó, các bài tập này chưa phù hợp và đáp ứng tốt nhu cầu của từng đối tượng học sinh, gây ra hạn chế trong quá trình phát triển năng lực tư duy sáng tạo.
Vào thứ năm, năng lực làm bài tập Giải tích 12 của các học sinh còn hạn chế, dẫn đến tâm lý coi nhẹ việc thực hành và thiếu tự tin khi gặp các bài toán khó Điều này khiến các em dễ cảm thấy chán nản, nặng nề và mất động lực học tập, ảnh hưởng đến kết quả thi và khả năng tiếp thu kiến thức.
Thứ Sáu, việc rèn luyện và phát triển năng lực giải toán cho học sinh chưa được chú trọng đủ, dẫn đến học sinh không chủ động và tích cực trong việc tiếp nhận và vận dụng kiến thức vào thực tế học tập.
Trong thực tiễn, việc nâng cao năng lực giải toán và tính chủ động của học sinh trong giờ thực hành làm bài tập Giải tích 12 là yếu tố then chốt Để học sinh có thể trở thành những chủ thể tích cực trong học tập cũng như trong đời sống xã hội, cần thúc đẩy phát triển toàn diện năng lực tư duy và khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn Điều này không chỉ giúp học sinh nâng cao thành tích học tập mà còn góp phần hình thành nhân cách và trách nhiệm xã hội của thế hệ trẻ, từ đó đóng góp tích cực vào sự phát triển của đất nước.
1.4.2 Tình hình thực tế qua điều tra 1.4.2.1.Điều tra từ giáo viên
Tìm hiểu năng lực giải toán của HS lớp 12 khi học chủ đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, nguyên hàm và tích phân
Chúng tôi đã phát phiếu điều tra cho 12 giáo viên dạy môn Toán tại Trung tâm GDTX TP Trà Vinh vào tháng 4 năm 2015 để khảo sát về phương pháp giảng dạy và hiệu quả học tập của học sinh Qua cuộc điều tra, chúng tôi nhận thấy các đối tượng giáo viên đều có kiến thức chuyên môn vững vàng và tích cực áp dụng các phương pháp đổi mới trong giảng dạy để nâng cao chất lượng giáo dục Kết quả này giúp đánh giá thực trạng và đề xuất các giải pháp cải thiện phương pháp giảng dạy môn Toán trong trung tâm.
Học sinh còn mắc phải nhiều lỗi khi giải toán, đặc biệt là trong các bài tập về ứng dụng đạo hàm để khảo sát giá trị của hàm số, nguyên hàm và tích phân Các giáo viên đã chia sẻ rằng nguyên nhân chính dẫn đến sai sót của học sinh là thiếu kiến thức nền tảng vững chắc, hiểu chưa đúng các khái niệm cơ bản và chưa nắm rõ các quy tắc, công thức trong quá trình học Ngoài ra, còn có thể do học sinh chủ quan, không kiểm tra lại kết quả hoặc thiếu phương pháp tư duy logic trong việc giải bài Việc giáo dục cần chú trọng hơn đến việc hướng dẫn học sinh nắm vững lý thuyết, rèn luyện kỹ năng làm bài và kiểm tra kỹ trước khi nộp, nhằm hạn chế tối đa các lỗi sai trong quá trình học tập và làm bài tập về đạo hàm, nguyên hàm, tích phân.
Nguyên nhân sai lầm của HS Ý kiến đồng ý (%)
Không hiểu khái niệm, nội dung, tính toán nhầm lẫn 75.8 Xét thiếu trường hợp, không logic trong suy diễn 79.3
Hiểu sai đề toán, thiếu điều kiện, quên xét điều kiện 78.9 Nhớ sai công thức, tính chất, diễn đạt kém 75
1.4.2.2 Điều tra từ học sinh
Chúng tôi đã tiến hành kiểm tra 134 học sinh khối 12 gồm 4 lớp tại Trung tâm GDTX TP Trà Vinh, đảm bảo môi trường học tập nghiêm túc và tạo điều kiện tốt nhất để học sinh làm bài kiểm tra Các giáo viên tổ chức kỳ thi một cách chặt chẽ, góp phần nâng cao hiệu quả kiểm tra toàn diện năng lực của học sinh Kỳ thi diễn ra vào tháng 2 năm 2015 với thời gian làm bài là 45 phút, giúp đánh giá chính xác khả năng hiểu biết của học sinh trong thời gian ngắn nhất.
Câu 1/ Tính đạo hàm của hàm số y = (5 1) x x
Câu 2/ Tính các tích phân sau : a/ A 1
Câu 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (c) y = f(x) = x 3 – 2x 2 + 3 tại điểm A (2; 3)
Các sai lầm mà giáo viên điều tra quan tâm là:
S1: HS áp dụng sai công thức (u ) / .u 1 / u vì là một hằng số ( Câu 1)
S2: HS giải sai bài toán là vì áp dụng nhầm giữa hai công thức nguyên hàm x dx
S3: HS giải sai bài toán là vì áp dụng không đúng phương pháp tính tích phân
S4: HS giải bài toán thiếu tiếp tuyến vì đồ thị (c) nhận điểm A làm tiếp điểm
Dưới đây là thống kê số HS mắc các sai lầm:
Tỉ lệ HS mắc sai lầm (%) 62.7 81.3 85.1 78.4
Kết quả điều tra đối với giáo viên và học sinh cho thấy đa số học sinh thường mắc nhiều sai lầm trong quá trình giải toán Việc nghiên cứu năng lực giải toán của học sinh, phát hiện và sửa chữa các sai lầm là vấn đề cấp thiết nhằm nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán Đồng thời, đề xuất các biện pháp khắc phục các sai lầm này góp phần bổ sung và hoàn thiện phương pháp giảng dạy, giúp nâng cao chất lượng giáo dục Toán học.
1.4.3 Những sai lầm chủ yếu
Dựa trên cách hiểu này, nghiên cứu các lớp học Trung GDTX tại thành phố Trà Vinh cho thấy học sinh GDTX vẫn thường gặp phải nhiều sai lầm khi giải toán, bất kể đối tượng học sinh nào đều có thể mắc lỗi Một số nguyên nhân nổi bật gây ra tình trạng này bao gồm những nguyên nhân chủ yếu như thiếu kiến thức nền vững chắc, kỹ năng tư duy còn hạn chế, và phương pháp dạy học chưa phù hợp để giúp học sinh hiểu bài sâu hơn Việc xác định các nguyên nhân này góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và giúp học sinh đạt hiệu quả tốt hơn trong môn Toán.
- Không hiểu khái niệm, nội dung, tính toán nhầm lẫn
- Xét thiếu trường hợp, không logic trong suy diễn
- Hiểu sai đề toán, thiếu điều kiện, quên xét điều kiện
Những lỗi phổ biến trong lời giải toán của học sinh bao gồm ghi nhớ sai công thức, sai tính chất và diễn đạt kém rõ ràng Đây là những sai lầm thường gặp nhất trong môn Giải tích 12 trung học phổ thông, ảnh hưởng tiêu cực đến kết quả học tập của học sinh Việc nắm vững công thức và tính chất đúng là yếu tố then chốt giúp nâng cao chất lượng bài làm, tránh các lỗi sai không đáng có.
1.4.4 Nguyên nhân dấn đến sai lầm 1.4.4.1 Hiểu không đầy đủ và chính xác các thuộc tính của các khái niệm toán học
Khái niệm trong toán học là sản phẩm của tư duy logic, gồm nội hàm phản ánh bản chất của đối tượng và ngoại diện là tập hợp các dấu hiệu đặc trưng Hiểu sai nội hàm có thể dẫn đến nhận thức sai lệch và sai lầm trong giải toán, đặc biệt khi các khái niệm mới như vectơ, biến hình, nguyên hàm, tích phân được giới thiệu trong chương trình phổ thông Việc học sinh nắm vững các khái niệm mở rộng hoặc thu hẹp của các khái niệm trước đó rất quan trọng để đảm bảo khả năng hiểu và biểu tượng hóa các khái niệm mới, góp phần nâng cao hiệu quả học tập và rèn luyện tư duy logic trong toán học Phối hợp phương pháp dạy phù hợp và kịp thời giúp học sinh vượt qua khó khăn trong việc lĩnh hội các kiến thức mới, đảm bảo sự liên kết chặt chẽ giữa các khái niệm và phát triển tư duy phản biện trong học tập.
Kết luận chương 1
Qua nghiên cứu lý luận và thực tiễn về dạy và học Giải tích 12, bài viết đã làm rõ tầm quan trọng của việc rèn luyện năng lực giải toán thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong quá trình học tập Đồng thời, nghiên cứu chỉ ra những thuận lợi và khó khăn mà giáo viên và học sinh gặp phải khi thực hiện phương pháp này, nhấn mạnh tính cấp thiết của đề tài trong việc nâng cao năng lực giải toán cho học sinh Kết quả cho thấy, giáo viên cần chú trọng phát triển kỹ năng giải toán để giúp học sinh trở thành những chủ thể tích cực trong học tập và cuộc sống xã hội, từ đó góp phần phát triển toàn diện học sinh và đất nước.
MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HS THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH 12
Nội dung, chương trình chủ đề Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ
Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau
- Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số:
+ Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu với mọi x 1 , x 2 thuộc K, x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 )
+ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng K nếu với mọi x1, x2 thuộc
- Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến:
+ Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên
D thì tổng f(x) + g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D Tính chất này nói chung không đúng với hiệu f(x) - g(x)
Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số dương và cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên miền D, thì tích f(x)·g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D Tuy nhiên, tính chất này không đúng khi f(x) và g(x) không cùng dấu trên miền D, nghĩa là khi một hàm dương còn hàm kia âm hoặc không có dấu cố định.
- Công thức tính đạo hàm:
Hàm số hợp y = u có đạo hàm y ' = u -1 ' u (*) + công thức (*) chỉ đúng với số mũ là hằng số
+ Nếu không nguyên thì công thức (*) chỉ đúng khi u nhận giá trị dương
- Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số dựa trên định lí sau:
+ Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng K
Trong toán học, ký hiệu K được sử dụng để biểu thị khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng Nếu đạo hàm của hàm số f'(x) dương trên khoảng K, tức là ф'(x) > 0, thì hàm số f(x) đồng biến trên K, giúp xác định xu hướng tăng của hàm Ngược lại, nếu ф'(x) < 0 trên K, hàm số f(x) nghịch biến, biểu thị xu hướng giảm của hàm Khi ф'(x) bằng zero trên K, hàm số f(x) không đổi, thể hiện trạng thái cân bằng hoặc ổn định trong phạm vi đó Các đặc điểm này quan trọng trong việc phân tích và xác định tính chất của hàm số trong tối ưu hóa và phương trình toán học.
Quy tắc 1 để xét tính đơn điệu của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần
- Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau:
+ Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng
K = (x - h; x + h) 0 0 và có đạo hàm trên K hoặc trên K\ x 0 , với h > 0 a Nếu f '(x) > 0 trên khoảng (x - h; x ) 0 0 và f '(x) < 0 trên khoảng
(x ; x + h) thì x 0 là một điểm cực đại của hàm số f(x) b Nếu f '(x) < 0 trên khoảng (x - h; x ) 0 0 và f '(x) > 0 trên khoảng
(x ; x + h) thì x 0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
+ Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng
(x - h; x + h), với h > 0 Khi đó: a Nếu f '(x 0 ) = 0, f ''(x 0 ) > 0 thì x 0 là điểm cực tiểu b Nếu f '(x 0 ) = 0, f ''(x 0 ) < 0 thì x 0 là điểm cực đại
Quy tắc 2 để tìm điểm cực trị của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần Do vậy, điều ngược lại nói chung không đúng
- Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D:
x 0 D: f(x ) = m 0 (hay x 0 D: f(x )= M 0 ) thì dấu "=" không xảy ra Khi đó, không tồn tại giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền
Trong quá trình tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm số f(x) trên miền D, khi chuyển sang xét hàm số g(t) với phép đặt t = u(x), cần thiết phải chuyển đổi các điều kiện để đảm bảo bài toán trở thành bài toán tương đương Điều này giúp đơn giản hóa việc xác định cực trị của hàm số, đồng thời đảm bảo tính chính xác trong quá trình tối ưu hóa Việc thay đổi biến và điều chỉnh điều kiện là bước quan trọng để thuận tiện cho việc phân tích và tính toán giá trị cực trị của hàm số.
- Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x):
+ Tiếp tuyến tại điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) (C) có phương trình: y = f '(x 0 ).(x - x 0 ) + y 0 + Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k, đi qua điểm M 1 (x 1 ; y 1 ) có phương trình: y = k.(x - x 1 ) + y 1 Trong đó hệ số góc k thỏa mãn hệ:
Nếu điểm M 1 (x 1 ; y 1 ) nói trên thuộc (C) thì hệ số góc k vẫn thỏa mãn hệ (*,*) Trong trường hợp này, số tiếp tuyến có thể nhiều hơn 1 tiếp tuyến
2.1.1 Một số khó khăn của HS trong học tập Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số
Trong thực tế, khi học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khăn sau:
- Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng, không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số
- Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng
- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x 0
- Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền D
Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị số và tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho có thể dẫn đến hiểu sai về cách xác định và vẽ các tiếp tuyến Hiểu rõ sự khác biệt này là yếu tố quan trọng để áp dụng đúng kỹ thuật trong hình học giải tích và tối ưu hóa các bài toán liên quan đến tiếp tuyến Việc nắm vững kiến thức về đặc điểm của tiếp tuyến tại điểm trên đồ thị số giúp nâng cao khả năng phân tích đồ thị hàm số một cách chính xác và hiệu quả.
2.1.2 Một số biện pháp giúp đỡ HS sửa chữa sai lầm khi giải bài toán Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2.1.2.1 Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số a Một số học sinh thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số
Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của hàm số: x-2 y = f(x) x+2
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = R\ -2 { } , Ta có: y' = 4 2 > 0, x D
Suy ra: Hàm số đồng biến trên ( - ¥ - ; 2) È - ( 2; + ¥ )
Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng cần chú ý đến kết luận của bài toán để tránh nhầm lẫn Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D, thì với mọi x₁, x₂ thuộc D và x₁ < x₂, ta có f(x₁) < f(x₂) Trong bài toán này, nếu chúng ta lấy x₁ = -3 và x₂ = 0 thuộc D, mặc dù x₁ < x₂, nhưng lại có f(x₁) = 5 > -1 = f(x₂), điều này cho thấy hàm số không đồng biến trên tập D.
Tập xác định: D = ¡ \ { - 2 } Ta có: 4 2 y' = 0, x D
(x+ 2) Bảng biến thiên: x y ' + + y Suy ra: Hàm số đồng biến trên từng khoảng ( - ¥ - ; 2) và ( 2; - + ¥ )
2 b Nhiều khi các học sinh không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai
Xét tính đơn điệu của hàm số: y = f(x) = x-1+ 9- x 2
Một số học sinh trình bày như sau:
Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau: x y ' - 0 + 0 - y 3 2 2
Suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng ( 3 ; 3 )
- và nghịch biến trên các khoảng ( 3; 3 )
Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn 3; 3
2 é ù ê - - ú ê ú ở ỷ giỏ trị của hàm số giảm từ -4 xuống 3 2 2
- không phải là điểm tới hạn của hàm số
Tập xỏc định: D= - ộ ở 3;3 ự ỷ Ta cú:
2 Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau: x y ' + 0 - y 3 2 2
Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng ( 3; 3 )
- và nghịch biến trên khoảng
2.1.2.2 Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức a Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm số để vận dụng
Ví dụ 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban cơ bản)
Chứng minh rằng: tanx > x, với 0; x ổ ỗ p 2 ử ữ
Một số học sinh trình bày như sau:
Xét hàm số f(x) = tanx - x, với 0; x ẻ ỗ ổ ỗ ỗ ố p 2 ử ữ ữ ữ ứ
- = > " ẻ p , suy ra hàm số f(x) đồng
Từ x > 0 ị f(x) > f(0) Û tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với 0; x ổ ỗ p 2 ử ữ
Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá tinh vi
Sau khi kết luận f(x) đồng biến trên khoảng 0;
2 ổ p ử ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ thỡ vỡ sao từ x > 0 ị f(x) > f(0) ? Sai lầm ở đây là 0 0;
2 ổ p ử ỗ ữ ẽ ỗ ỗ ố ữ ữ ứ Nhớ rằng: Nếu f(x) đồng biến trờn đoạn ộ ở a; b ự ỷ (tức là f(x) liờn tục trờn ộ ở a; b ự ỷ và f '(x)> 0 với " ẻ x ( a;b ) ) thỡ với "x , x1 2 ẻ ộ ở a;b , x ự ỷ 1 > x2 ị f(x )1 > f(x )2
Xét hàm số f(x) = tanx - x, với x 0;
Ta có: f '(x) = 1 2 1 tan x 2 0 , x 0; cos x ộ ờ ờ ở 2 ửữ ữ ữ ứ
- = ³ " ẻ p , dấu "=" xảy ra chỉ tại x = 0, suy ra hàm số f(x) đồng biến trên nửa khoảng 0;
Từ x > 0 ị f(x) > f(0) Û tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với x 0;
" ẻ p b Các em học sinh cũng hay mắc những sai lầm khi vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến
Chứng minh rằng nếu với " ẻx Ă , x > - 1 thỡ x e 1 e x > -
Một số học sinh trình bày như sau:
Hàm số \(f(x) = x\) và \(g(x) = e^x\) đều đồng biến trên tập \( \mathbb{R} \), vì vậy, hàm số \(h(x) = x \cdot e^x\) cũng đồng biến trên tập này Do đó, khi \(x > -1\), ta có \(f(x) > f(-1)\) nghĩa là \(x \cdot e^x > -1 \cdot e^{-1}\), giúp xác định vùng tăng của hàm số và tối ưu hóa các bài toán liên quan đến hàm này.
Lời giải trên sai lầm ở chỗ: tích của hai hàm đồng biến là một hàm đồng biến chỉ đúng khi hai hàm đó dương
Xét hàm số f(x) = x.e x , ta có f '(x) = e x (x+1) ³ 0, " ³ - x 1, dấu "=" xảy ra chỉ tại x= -1 Suy ra, hàm số đồng biến trờn nửa khoảng [ - 1; + Ơ ) Từ x > - 1 ị f(x) > f(-1) hay x.e 1 e x > -
2.1.2.3 Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm a Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm
Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số y = (3x+1) x
Một số học sinh trình bày như sau:
Lời giải trên đã vận dụng công thức ( ) u a / = a u a - 1 u / Vận dụng như vậy là sai, vì công thức này chỉ áp dụng cho số mũ a là một hằng số
Lời giải đúng là: Điều kiện: x 1 , x 0
+ b Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức
( ) u a / = a u a - 1 u / , a ẻ Ă , nhưng quờn rằng nếu như a khụng nguyờn thỡ công thức này chỉ đúng khi u nhận giá trị dương
Ví dụ 6: Cho hàm số y = x 3 2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = - 1
Một số học sinh trình bày như sau:
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2 y = (x+1) +1
Trong phân tích, sai lầm chính là các em không để ý đến điều kiện của lũy thừa khi số mũ không là số nguyên, yêu cầu cơ số phải dương để đảm bảo tính hợp lý Do đó, việc viết (1)^-1 - 3 là không đúng, gây ra sai lệch trong quá trình tính toán và lý thuyết Hiểu rõ quy tắc này giúp nâng cao độ chính xác khi xử lý các phép tính lũy thừa phức tạp. -Cải thiện kỹ năng viết bài chuẩn SEO với công cụ hỗ trợ phân tích chính xác và ngắn gọn! [Learn more](https://pollinations.ai/redirect/2699274)
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2 y = - (x+1) +1
2.1.2.4 Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số a Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số các em học sinh quên rằng đó là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần
y / > 0 , " ẻx (a;b) ị hàm số đồng biến trờn khoảng (a; b) y / < 0 , " ẻx (a;b) ị hàm số nghịch biến trờn khoảng (a; b) Điều ngược lại nói chung là không đúng
Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 - mx 2 + x- 2 đồng biến trên ¡
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = ¡ y / = 3x 2 - 2mx + 1 Hàm số đồng biến trờn Ă Û y / > 0 , " ẻx Ă
Phân tích: Chẳng hạn, hàm số y = x 3 đồng biến trên ¡ , nhưng y ' = 3x 2
Trong miền xác định (a; b), nếu hàm số y = f(x) liên tục và luôn có giá trị dương trên khoảng đó, thì hàm số này đồng biến trên (a; b) Điều quan trọng là dấu '=' chỉ xảy ra tại các điểm hữu hạn trong khoảng (a; b), và điểm x = 0 là nơi xảy ra điều kiện đặc biệt Nhớ rằng, nếu hàm số f(x) ≥ 0 và chỉ có dấu '=' tại một số điểm hữu hạn trong (a; b), thì hàm số vẫn duy trì tính đồng biến trên toàn khoảng đó.
Hàm số đồng biến trờn Ă Û y / ³ 0 , " ẻx Ă 0
Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số, các em cần nhớ rằng đây chỉ là điều kiện đủ, không phải điều kiện cần Điều này có nghĩa là, việc hàm số thoả mãn quy tắc II không đảm bảo chắc chắn rằng điểm đó là cực trị, mà chỉ là một trong những điều kiện để xác định cực trị Hiểu rõ sự khác biệt này giúp các em áp dụng phương pháp đúng cách và tránh nhầm lẫn trong quá trình giải bài tập về cực trị của hàm số.
< là điểm cực đại Điều ngược lại nói chung là không đúng
Ví dụ 8: Cho hàm số y = f(x) = mx 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại x = 0
Một số học sinh trình bày như sau: f '(x) = 4mx 3 , f ''(x) = 12mx 2 Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là: f (0) / / / 0 f (0) 0 ớùù ỡ ùùợ
Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0
Ta thấy, với m = - 1, hàm số y = - x 4 có y ' = - 4x 3 , y ' = 0 Û x = 0
Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0 (!) Vậy lời giải trên sai ở đâu ?
Nhớ rằng, nếu x 0 thỏa mãn
Điểm cực đại của hàm số xảy ra khi \( x_0 \) thỏa mãn các điều kiện nhất định, nhưng điều ngược lại chưa chắc đã đúng Nếu \( x_0 \) là điểm cực đại, vẫn có thể \( f''(x_0) = 0 \), bởi vì điều kiện \( f''(x_0) < 0 \) chỉ là điều kiện đủ để hàm số \( g(x) = \frac{f(x)}{x} \) nghịch biến trong một lân cận của \( x_0 \) (cụ thể là trong khoảng \( (x_0 - h; x_0 + h) \) với \( h > 0 \)), nhằm xác định tính chất của hàm số trong phạm vi gần điểm đó.
< = " ẻ + ị là điểm cực đại của hàm số
Cách 1: Ta có y' = 4mx 3 Để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì y'(x) > 0
" ẻ - , với h > 0 Tức là: 4 mx 3 0 h x 0 ớùù ỡ ùùợ
Thử lại, ta thấy với m < 0 là điều kiện cần tìm
+ m = 0: Ta có y = f(x) = 0 là hàm hằng nên hàm số không có cực trị + m > 0: Ta có y ' = 4mx 3 , y ' = 0 Û x = 0 Lập bảng biến thiên ta thấy x 0 là điểm cực tiểu của hàm số
+ m < 0: Ta có y ' = 4mx 3 , y ' = 0 Û x = 0 Lập bảng biến thiên ta thấy x 0 là điểm cực đại của hàm số
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 khi và chỉ khi m < 0
Ví dụ 9: Cho hàm số y = f(x) = x 4 + mx 3 + 3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ?
Một số học sinh trình bày như sau: f '(x) = 4x 3 + 3mx 2 , f ''(x) = 12x 2 + 6mx Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là:
Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
Ta thấy, với m = 0, hàm số y = x 4 + 3 Ta có y ' = 4x 3 , y ' = 0 Û x = 0
Bảng biến thiên: x y ' - + y Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
Cách 1: Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 thì /
Vậy với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0
Cách 2: xét 3 trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0) + m = 0: Ta có y = x 4 + 3 có y ' = 4x 3 , y ' = 0 Û x = 0
Bảng biến thiên: x y ' - + y Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
4 Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = 0 (nghiệm bội bậc chẵn) Do đó hàm số không có cực trị tại x = 0
4 Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = 0 (nghiệm bội bậc chẵn) Do đó hàm số không có cực trị tại x = 0
Kết luận: với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0
2.1.2.5 Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D
Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = 2 1 2 1 cos x+ + 2 cosx+ -1 cos x cosx ổ ử ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ
Một số HS trình bày như sau: Đặt t = 1 cosx+ cosx ị
Ta được: g(t) = t 2 + 2t - 3 = (t+1) 2 - 4 ³ - 4, " ẻ t Ă Vậy min f(x)= - 4, khi t = - 1
Phân tích: Sai lầm ở đây là chuyển bài toán không tương đương Giá trị nhỏ nhất của hàm f(x) khụng trựng với giỏ trị nhỏ nhất của hàm g(t), " ẻt Ă
Có thể thấy ngay khi t = - 1 thì không tồn tại giá trị của x để cosx+ 1 cosx = - 1 Nhớ rằng, số
Lời giải đúng là: Đặt t = cosx+ 1 cosx, với x D \ k , k
1 1 t cosx+ cosx 2 cosx cosx ị = = + ³ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi cosx = 1
Khi đó: cos x+ 2 1 2 cos x = t 2 - 2 Ta được hàm số: g(t) = t 2 + 2t - 3
Lập bảng biến thiên hàm số g(t) (với t ³ 2): t g '(t) - - + + g(t)
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: min ( ) m D f x min ( ) 2 t g t
= - 3 Đạt được khi t = - 2 1 cosx+ = -2 Û cosx Û cosx= - 1 x k 2 , k Û = p + p ẻ Â
2.1.2.6 Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Cho hàm số y = f(x) = - x 3 + 3x 2 + 1, có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1; 5)
Một số học sinh trình bày như sau: f '(x) = - 3x 2 + 6x
Ta cú điểm A(-1; 5) ẻ đồ thị (C) suy ra phương trình tiếp tuyến là: y = f '(-1).(x+1) + 5 Û y = - 9( x + + 1) 5
Phương trình tiếp tuyến y = -9x - 4 là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm A, nơi A đóng vai trò là tiếp điểm của tiếp tuyến này Tuy nhiên, vẫn tồn tại các tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm A mà không nhất thiết phải có A là tiếp điểm của chúng Điều này có nghĩa rằng một điểm A có thể nằm trên các tiếp tuyến khác của đồ thị mà không phải là điểm tiếp xúc chính của chúng Các tiếp tuyến qua A có thể đảm bảo độ chính xác trong phân tích hình học của đồ thị, đồng thời giúp hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các tiếp tuyến và các điểm trên đồ thị.
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 5) và có hệ số góc k là: y = k(x + 1) + 5 Điều kiện để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có nghiệm:
Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y = 5 và y = - 9x - 4.
Nội dung, chương trình chủ đề Nguyên hàm - Tích phân
Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau:
+ Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F x / f x với mọi x thuộc K
+ Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K
+ Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+ C với C là một hằng số
Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là f(x)dx
Khi đó: f(x)dx = F(x)+C (C: hằng số)
- Tính chất của nguyên hàm:
Tính chất 2: kf x dx =k f x dx (k là hằng số khác 0)
Tính chất 3: f x ±g x dx = f x dx ± g x dx
- Sự tồn tại của nguyên hàm: Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
- Bảng công thức tính nguyên hàm của một số hàm thường gặp α xα+1 x dx = +C
lna a mx+n dx = m lna 1 a mx+n +C cosx.dx =sinx+C
1 cos(ax+b)dx = sin(ax+b)+C
sin(ax+b)dx =- cos(ax+b)+C1
1 dx = (1+tan x)dx=tanx+C cos x
2 1 dx = tan(ax+b)+C1 cos (ax+b) a
1 dx= (1+cot x)dx =-cotx+C sin x
- Phương pháp tính nguyên hàm + Phương pháp đổi biến số Định lí: Nếu f t dt = F t +C và t = u x là hàm số có đạo hàm liên tục thì f u x u' x dx =F u x +C
+ Phương pháp nguyên hàm từng phần Định lí: Nếu hai hàm số u = u x và v = v x có đạo hàm liên tục trên
Hay viết gọn là udv = uv- vdu
- Tích phân + Định nghĩa tích phân
Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b], đảm bảo tính định nghĩa và khả năng tính tích phân Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trên cùng đoạn, thì hiệu số F(b) − F(a) chính là tích phân xác định của f(x) từ a đến b, ký hiệu là ∫ₐᵇ f(x) dx Tích phân này thể hiện diện tích dưới đường cong của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], đóng vai trò quan trọng trong phép tính tích phân trong phân tích toán học.
- Tính chất của tích phân
Tính chất 1: b b a a kf x dx = k f x dx
Tính chất 2: b b b a a a f x ± g x dx = f x dx ± g x dx
Tính chất 3: b c b a a c f x dx = f x dx + f x dx
- Phương pháp tính tích phân + Phương pháp đổi biến số
Cho hàm số f x liên tục trên a; b Giả sử hàm số x = φ t có đạm hàm liên tục trên ; sao cho a = φ α , b = φ β và a (x)b với mọi t ; Khi đó: b β a α f x dx = f φ t φ' t dt
+ Phương pháp tích phân từng phần
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần dựa trên định lý sau: Nếu \( u = u(x) \) và \( v = v(x) \) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn \( [a, b] \), thì nguyên hàm của tích hai hàm này được tính bằng công thức: \(\int_{a}^{b} u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) \big|_a^b - \int_{a}^{b} u'(x) v(x) dx \) Định lý này là nền tảng để thực hiện phép tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần một cách chính xác và hiệu quả.
Hay viết gọn là b b b a a a u.dv = uv - vdu
2.2.1 Một số khó khăn của HS trong học tập Nguyên hàm -Tích phân
Kiến thức về nguyên hàm và tích phân là những kiến thức mới mẻ đối với học sinh, nhưng có liên quan đến kiến thức đạo hàm mà các em đã học từ lớp 12, giúp hình thành công thức nguyên hàm dựa trên công thức đạo hàm Tuy nhiên, nhiều học sinh thường nhầm lẫn giữa hai loại công thức này, gây khó khăn trong việc áp dụng vào bài tập Các kiến thức căn bản về biến đổi đại số đã học từ cấp trung học cơ sở, nhưng học sinh trung bình, yếu thường mất gốc phần này, dẫn đến gặp khó khi giải các bài tập liên quan đến nguyên hàm tích phân Ngược lại, học sinh khá, giỏi thường vội vàng trong quá trình giải bài, thiếu sự kiểm tra các thao tác như phân tích đề, kiểm tra điều kiện, phép tính, điều này dễ dẫn đến những sai sót không đáng có.
Kinh nghiệm cho thấy việc phát hiện lỗi sai của người khác dễ dàng hơn so với việc nhận ra lỗi của chính mình Trong quá trình dạy học, tôi khuyến khích các em tự tư duy theo cách riêng, giúp các em theo dõi, nhận xét lời giải của nhau để phát hiện lỗi, phân tích nguyên nhân và hiểu rõ bản chất vấn đề Qua đó, các em có thể khắc phục sai sót, tổng kết những kinh nghiệm quý báu để nâng cao khả năng tự kiểm tra và phát triển tư duy logic.
Việc luôn chỉ trích những sai lầm của học sinh có thể khiến các em cảm thấy nhàm chán và mất đi động lực học tập Do đó, tôi linh hoạt vận dụng phương pháp giảng dạy để giữ cho các em hứng thú và tích cực hơn trong quá trình học Bên cạnh đó, tôi cung cấp những gợi ý cần thiết nhằm hỗ trợ các em tự tìm kiếm lời giải, phát triển tư duy và sự tự lập trong học tập.
Trong quá trình giảng dạy, tôi gặp khó khăn trong việc phân hóa học tập theo từng đối tượng học sinh, đặc biệt là lớp 12S2 chủ yếu gồm học sinh trung bình và yếu Vì vậy, giáo án, ví dụ và bài tập của tôi phải phù hợp với từng nhóm, ưu tiên giúp các em trung bình, yếu nắm bắt kiến thức trước, sau đó mới mở rộng hơn với các bài toán mang tính hướng dẫn, giới thiệu để phát triển năng lực của từng học sinh.
2.2.2 Một số biện pháp giúp đỡ HS sửa chữa sai lầm khi giải bài toán Nguyên hàm - Tích phân và ví dụ minh họa
2.2.2.1 Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm
Ví dụ 1 Chứng minh rằng F x( ) (2 2 )x e x là một nguyên hàm của hàm ( ) 2 x f x xe trên R Từ đó hãy tìm nguyên hàm của hàm g x( )(2x2)e x
* Lời giải có sai lầm:
F’(x) = -2e - x + (2 + 2x)e - x =f(x) với mọi x =>F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên R
(2 2 ) 2 2 x x x x x x x x g x dx x e dx xe dx e dx x e C e C x e e xe
* Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm
2 2 2 x x x x x g x dx x e dx xe dx e dx x e C e C
Ví dụ 2 Tính tích phân tan xdx
* Lời giải có sai lầm: tan sin
1 sin cos cos sin cos
* Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm
* Lời giải đúng: s inx cos tan ln cos cosx cosx
2.2.2.2 Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản
Ví dụ 3 Tính tích phân 6
* Lời giải có sai lầm: 6 3x 1 7
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
Học sinh vận dụng công thức x dx n x n 1 c n 1
6 6 7 3x 1 7 dt dt t dt 3dx dx 3x 1 dx t C C
2.2.2.3 Sai lầm do nhớ nhằm công thức nguyên hàm
Ví dụ 4 Tính tích phân 3
* Lời giải có sai lầm: 3 3 3
Nguyên nhân dẫn đến sai lầm trong quá trình học nguyên hàm thường liên quan đến sự nhầm lẫn với kiến thức đạo hàm Các em thường gặp khó khăn trong việc phân biệt và áp dụng đúng các công thức liên quan đến nguyên hàm và đạo hàm, dẫn đến những lỗi không đáng có Hiểu rõ mối liên hệ giữa đạo hàm và nguyên hàm là chìa khóa giúp các bạn tránh những sai sót và nâng cao khả năng làm bài tập về nguyên hàm một cách chính xác.
Để khắc phục hiệu quả, cần yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản để ghi nhớ công thức chính xác Ngoài ra, việc hình thành thói quen kiểm tra lại công thức bằng cách lấy đạo hàm của nguyên hàm đã tìm được để xem có khớp với hàm số đã cho hay không là rất quan trọng Điều này giúp các em củng cố kiến thức, nâng cao khả năng nhận biết và thực hành đúng các quy tắc nguyên hàm trong quá trình học tập.
Ví dụ 5 Tính tích phân 1 5
* Lời giải có sai lầm: 1 5 6 1
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm của hàm hợp, đã dùng α x α+1 x dx = +C
(Có thể hướng dẫn các em giải cách khác: Đặt t = 3x+1)
Để khắc phục khó khăn, yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản cũng như nguyên hàm của hàm hợp tương ứng, đồng thời tự làm đi làm lại các ví dụ liên quan đến nguyên hàm của hàm hợp với u = ax + b Việc này giúp các em làm quen và nhớ lâu các công thức nguyên hàm Ngoài ra, nên hình thành thói quen kiểm tra công thức bằng cách lấy đạo hàm của nguyên hàm đã tìm được để xem có đúng bằng hàm số ban đầu hay không, đảm bảo sự chính xác và tin cậy trong quá trình học tập.
2.2.2.4 Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân
Ví dụ 6 Tính tích phân
* Lời giải có sai lầm :
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
* Lời giải đúng: Hàm số
không xác định tại x 2 3;1 suy ra hàm không liên tục trên 3;1 , nên không sử dụng được công thức Newton – Leinbitz như cách giải trên
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em nhớ định nghĩa tích phân Giúp các em tạo thói quen: Khi tính b a f (x)dx
Cần kiểm tra xem hàm số y = f(x) có liên tục trên đoạn [a, b] hay không để xác định khả năng tính tích phân Nếu hàm số liên tục trên đoạn này, bạn có thể áp dụng các phương pháp tích phân đã học để tính giá trị của tích phân Ngược lại, nếu hàm không liên tục, kết luận ngay rằng tích phân đó không tồn tại, giúp tiết kiệm thời gian và công sức trong quá trình tính toán.
2.2.2.5 Sai lầm do nhớ nhằm tính chất tích phân
Ví dụ 7 Tính tích phân 1 x
* Lời giải có sai lầm :
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc nguyên hàm của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần
Để khắc phục khó khăn trong việc học toán, các em cần yêu cầu học thuộc các tính chất của nguyên hàm và tích phân Việc này giúp các em nắm vững kiến thức nền tảng và vận dụng linh hoạt trong các bài tập Ngoài ra, cần giúp các em tổng quát hoá các dạng toán sử dụng phương pháp tích phân từng phần để nâng cao kỹ năng giải toán hiệu quả và chính xác hơn.
Cách làm: Biểu diễn f x dx về dạng u.dv = u.v dx /
- Chọn u sao cho du dễ tính
- Chọn dv sao cho dễ tính v = dv
2.2.2.6 Sai lầm khi đổi biến số
Ví dụ 8 Tính tích phân 1 2
* Lời giải có sai lầm: Đặt x = sint dx = costdt
* nhân dẫn đến sai lầm Nguyên: Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận
* Lời giải đúng: Đặt x = sint dx = cost.dt Đổi cận: x 0 t 0; x 1 t
Để khắc phục vấn đề này, yêu cầu các em thực hiện từng bước tính tích phân theo phương pháp đổi biến số, bao gồm đổi biến và đổi cận Khi gặp các tích phân dạng b, học sinh cần chú ý áp dụng đúng kỹ thuật đổi biến để biến đổi tích phân sang dạng dễ dàng tính toán hơn, giúp nâng cao hiệu quả và độ chính xác trong quá trình giải.
I c x dx, nếu tích phân tồn tại thì thông thường ta tính tích phân bằng cách đặt x = c.sint (hoặc x = c.cost) đổi cận, chuyển về tính tích phân theo t
Ví dụ 9 Tính tích phân
* Lời giải có sai lầm: Đặt t = 2x + 1 Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t 4
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên không tính vi phân dt
* Lời giải đúng: Đặt t = 3x+1dt = 3dx; Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t 4
Để khắc phục vấn đề này, học sinh nên học thuộc các bước thực hiện phương pháp đổi biến số một cách cẩn thận và chính xác Đồng thời, tạo thói quen kiểm tra lại bài làm và xác nhận kết quả bằng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi để đảm bảo tính chính xác của câu trả lời.
2.2.2.7 Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số
Ví dụ 10 Tính tích phân
* Lời giải có sai lầm: 2 2 2 2 2 2 2
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh sử dụng phép biến đổi sai
x 1 2 x 1 với x 0; 2 thay vì dùng x 1 2 x 1 với x 0; 2
I x 2x 1 dx x 1 dx x 1dx 1 x dx x 1 dx 1
Để khắc phục tích phân hàm vô tỉ chứa hàm số dạng 2n ⌊f(x)⌋², bạn cần áp dụng phép biến đổi sao cho 2n ⌊f(x)⌋² = f(x) (với n ≥ 1, n nguyên) Sau đó, xét dấu của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] và sử dụng tính chất tách cận để phân tích tích phân thành tổng các tích phân nhỏ hơn, từ đó loại bỏ phần dấu tuyệt đối.
2.2.2.8 Sai lầm khi thực hiện đổi biến số
Ví dụ 11 Tính tích phân
* Lời giải có sai lầm: Đặt x = sint dx = costdt Đổi cân: x 0 t 0; x 1 t arcsin 1
I cos t.dt cos t.dt sin t.dt cos t
Đến đây học sinh thường rất lúng túng vì số lẻ, do đó các em không tìm ra được đáp số
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu thức 1 x 2 thông thường ta đặt x = sint (hoặc x = cost); nhưng đối với ví dụ
11, nếu làm theo cách này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận Cụ thể khi x = 1
2 ta không tìm chính xác được t
* Lời giải khác: Đặt t = t 1 x 2 t 2 1 x 2 2tdt 2xdx xdx tdt Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t 3
* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu thức
Khi giá trị của biến x là dạng lượng giác của góc đặc biệt, ta có thể tính tích phân bằng cách đặt x = sin t hoặc x = cos t Tuy nhiên, nếu không phải là các giá trị lượng giác đặc biệt, cần phải áp dụng các phương pháp tính tích phân khác để đưa ra kết quả chính xác.
Biện pháp thực hiện
Để khắc phục những khó khăn mà HS thường gặp phải, chúng tôi đã thực hiện một số giải pháp như sau:
2.3.1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà HS thiếu hụt
- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để HS nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó
- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí
- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng
- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải
2.3.2 Rèn luyện cho HS về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp
- Thao tác tư duy: Phân tích, so sánh,
- Kỹ năng: Lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề
- Phương pháp: Phương pháp giải toán
2.3.3 Đổi mới phương pháp dạy học (lấy HS làm trung tâm)
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho HS
Sử dụng phương tiện và thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng trở nên sinh động, giảm cảm giác khô khan và giúp học sinh không nhàm chán Việc sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, kết hợp với giáo án điện tử và trình chiếu hình ảnh động trực quan sẽ tăng tính hấp dẫn và khả năng tiếp thu của học sinh trong quá trình giảng dạy.
2.3.4 Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
- Ra đề kiểm tra với 6 mức độ nhận thức: nhận biết – thông hiểu – vận dụng – phân tích – tổng hợp – đánh giá
Giáo viên cần áp dụng hình thức dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh để nâng cao hiệu quả giảng dạy Đồng thời, giáo viên nên chỉ ra những sai lầm thường gặp khi học sinh giải các bài toán để giúp các em nhận thức và khắc phục hạn chế Hướng dẫn học sinh tự học và tự làm bài tập là cách phát huy tính chủ động, nâng cao khả năng tư duy và tự lập trong học tập Việc kết hợp các phương pháp giảng dạy phù hợp sẽ giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách hiệu quả và tự tin hơn trong quá trình học tập.
2.3.6 Phân dạng bài tập và phương pháp giải
- Hệ thống kiến thức cơ bản
- Phân dạng bài tập và phương pháp giải
- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao
Sau mỗi lời giải, việc nhận xét và củng cố giúp học sinh hiểu rõ hơn về phương pháp giải và những điểm cần lưu ý Điều này thúc đẩy sự phát triển tư duy phản biện và sáng tạo trong quá trình học tập Ngoài ra, việc phát triển bài toán thành các bài toán mới, có phần mở rộng phù hợp giúp học sinh rèn luyện khả năng tư duy linh hoạt, thích nghi với các tình huống khác nhau Như vậy, bài học không chỉ giúp nắm vững kiến thức mà còn tạo điều kiện để học sinh phát triển tư duy logic, sáng tạo và tư duy phản biện một cách toàn diện.
Kết luận chương 2
Chương này đề xuất các biện pháp nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh bằng cách giúp học sinh phát hiện và sửa chữa lỗi sai trong quá trình học giải tích 12 Việc phát hiện sai lầm là chìa khóa để nâng cao khả năng tư duy và rút ra bài học từ những sai sót, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Áp dụng các phương pháp thích hợp sẽ giúp học sinh phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề và tự tin hơn khi xử lý các bài toán khó trong chương trình giải tích.
Trong đó chú trọng vào việc xây dựng hệ thống bài tập đa dạng và phong phú, phù hợp với trình độ và năng lực của học sinh
Các đề xuất của tác giả nhằm góp phần cụ thể hóa đổi mới phương pháp dạy học, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy giải tích nói riêng và môn Toán nói chung trong bối cảnh hiện nay.