các nguyên lý cơ bản của lý thuyết ánh xạ bảo giác

Định lý 9 tính duy nhất của hàm giải tích Nếu hai hàm số f z và ϕ z chỉnh hình trong miền G nào đó và nhận các giá trị bằng nhau trên mọi tập hợp E gồm vô hạn các điểm của G, trong đó

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

về sự hướng dẫn tận tình của cô trong suốt quá trình tôi thực hiện luận văn

Xin trân trọng cảm ơn quí thầy cô thuộc khoa Toán – Tin trường đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh đã truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm quí báu cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường

Xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong lớp cao học K19 đã hỗ trợ tôi nhiều mặt trong thời gian học tập và nghiên cứu

Và cuối cùng, lời thân thương nhất tôi xin được gửi đến gia đình tôi, nơi đã tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành luận văn này

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 0 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

Chương 1 ÁNH XẠ BẢO GIÁC 8

1.1 Khái niệm ánh xạ bảo giác 8

1.1.1 Ý nghĩa hình học của argument đạo hàm 8

1.1.2 Ý nghĩa hình học của môđun đạo hàm 10

1.1.3 Ánh xạ bảo giác 11

1.1.4 Ánh xạ bảo giác loại hai 12

1.2 Điều kiện xác định ánh xạ bảo giác 15

1.2.1 Ánh xạ hình tròn đơn vị lên chính nó 15

1.2.2 Điều kiện xác định duy nhất của ánh xạ bảo giác 18

Chương 2 CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA ÁNH XẠ BẢO GIÁC 20

2.1 Nguyên lí bảo toàn miền 20

2.2 Nguyên lí ánh xạ một-một 26

2.3 Nguyên lí đối xứng Riemann-Schwars 27

2.4 Tổng quát hóa nguyên lí đối xứng 33

2.5 Nguyên lý thác triển giải tích Schwars 34

2.6 Nguyên lí đối xứng đối với hàm điều hòa 36

2.7 Ứng dụng nguyên lí đối xứng 40

Chương 3 ÁNH XẠ BẢO GIÁC TỪ CÁC MIỀN GIỚI HẠN BỞI ĐƯỜNG

CONG BẬC HAI LÊN NỬA MẶT PHẲNG TRÊN 42

3.1 Miền giới hạn bởi hyperbol 42

3.2 Miền giới hạn bởi parabol 44

3.3 Miền giới hạn bởi parabol và ellip 50

3.4 Ánh xạ miền trong ellip lên nửa mặt phẳng 58

MỞ ĐẦU

Trong lĩnh vực lý thuyết hàm biến phức, việc xác định ánh xạ bảo giác biến miền này thành miền khác là một công việc rất hữu ích Nó giúp cho việc tính toán một số đại lượng hay khảo sát tính chất một số miền cho trước trở nên linh hoạt và

dễ dàng hơn Tuy nhiên, để việc xác định ánh xạ bảo giác biến miền này thành miền kia thực hiện được đơn giản hơn thì ngoài việc nắm được khái niệm, ta cần nắm vững các nguyên lý của nó trong quá trình thực hiện ánh xạ

Chính vì vậy, trong luận văn này, sau khi nêu khái niệm và điều kiện xác định duy nhất của ánh xạ bảo giác, chúng tôi tập trung vào hệ thống sáu nguyên lý

cơ bản của ánh xạ bảo giác (có kèm theo chứng minh cụ thể từng nguyên lý) Đồng thời, để người đọc thấy rõ hơn vai trò của các nguyên lý khi xác định ánh xạ bảo giác biến miền này thành miền khác, chúng tôi đã đưa ra một số ví dụ minh họa Luận văn gồm bốn chương:

- Chương 0 trình bày các kiến thức chuẩn bị cho các chương sau

- Chương 1 nêu ý nghĩa hình học của argument và môđun đạo hàm, từ đó đưa ra khái niệm ánh xạ bảo giác và điều kiện để ánh xạ bảo giác tồn tại và xác định duy nhất

- Chương 2 phát biểu các nguyên lý cơ bản của lý thuyết ánh xạ bảo giác và chứng minh các nguyên lý đó

- Chương 3 đưa ra một số ví dụ về ứng dụng các nguyên lý trên để xây dựng ánh

xạ bảo giác từ các miền giới hạn bởi các đường: parabol, ellip, lên nửa mặt phẳng trên

Cuối cùng là phần kết luận và tài liệu tham khảo

Chương 0 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1 Các khái niệm

0.1.1 Một số khái niệm của số phức

- Cho số phức z x iy= + Trong mặt phẳng Oxy, ta xác định được điểm M( )x y, gọi

0.1.2 Dạng mũ và dạng lượng giác của số phức

Mọi số phức z x iy= + đều có thể biểu diễn dưới dạng lượng giác

(cos sin )

z r= ϕ+i ϕtrong đó r= z,ϕ∈Argz

0.1.4 Miền

- Miền là tập hợp con X của ^ có hai tính chất

i Với mỗi điểm thuộc X luôn tồn tại hình tròn đủ bé nhận điểm đó làm tâm và nằm hoàn toàn trong X (tập mở)

ii Có thể nối hai điểm bất kỳ thuộc X bằng một đường cong nằm hoàn toàn trong

X (tập liên thông)

- Miền X có biên là một tập liên thông được gọi là miền đơn liên Ngược lại, miền

X có biên không phải tập liên thông là miền đa liên

0.1.5 Một số khái niệm liên quan đến đường cong

- Một đường cong có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là đường cong đóng Đường cong không có điểm tự cắt gọi là đường cong Jordan Đường cong Jordan đóng gọi là chu tuyến

- Giả sử ϕ( )t và µ( )t là các hàm thực trên đoạn [ ]a b, của đường thẳng thực Khi

đó phương trình z z t= ( )=ϕ( )t +iµ( )t a t b, ≤ ≤ biểu diễn tham số một đường cong

0.1.6 Cung giải tích

- Một cung của đường cong được gọi là giải tích nếu tọa độ chạy x y, của nó là hàm

số của tham số t trong khoảng a t b< < và khai triển được thành chuỗi lũy thừa ở lân cận của mỗi điểm t

- Ta lại gọi một cung là giải tích đều nếu nó không có điểm bội mà tại đó x y', ' triệt tiêu đồng thời

0.1.7 Hàm đơn trị

Xét hàm số w= f z( ), nếu mỗi giá trị của đối số có một giá trị duy nhất của hàm số thì hàm số đó được gọi là hàm đơn trị Ngược lại, với mỗi giá trị của đối số ta nhận

- Phần thực, phần ảo của một hàm giải tích là những hàm điều hòa

0.1.11 Không điểm và cực điểm

- Điểm z a= gọi là điểm không (hay không điểm) của hàm f z( ) nếu lim ( ) 0

Ta quy ước yếu tố là tập hợp gồm một điểm và một hướng qua nó

0.2 Một số định lý sử dụng trong luận văn

0.2.1 Định lý 1 (tính chất của phép biến đổi tuyến tính)

Mọi ánh xạ tuyến tính có tính chất biến vòng tròn này thành vòng tròn kia (Coi đường thẳng là đường tròn với bán kính vô cùng lớn)

Nếu hàm f giải tích trong miền đơn liên D⊂ ^ thì tích phân của nó theo

chu tuyến đóng γ :I→D bất kỳ là bằng không, tức là

0.2.4 Định lý 4 ( công thức tích phân Cauchy)

Cho hàm f giải tích trên miền D và γ là một chu tuyến trong D sao cho

miền Dγ hữu hạn giới hạn bởi γ nằm trong D Khi đó, ∀ ∈z0 Dγ ta có

- Công thức tích phân Cauchy

0

1 2

0.2.5 Định lý 5 (công thức tích phân cơ bản thứ hai của Cauchy)

Giả sử f giải tích trên miền D và D∗ là miền giới nội thuộc D cùng với

biên gồm một số hữu hạn đường cong đóng Jordan đo được Khi đó

Giả sử γ là đường cong đóng Jordan đo được và f :γ → ^ là hàm liên tục

trên γ Khi đó tích phân

−

∫

sẽ xác định những hàm chỉnh hình trên các thành phần liên thông của phần bù ^\γ

0.2.7 Định lý 7 (bất đẳng thức Cauchy đối với hệ số của chuỗi lũy thừa)

Nếu chuỗi lũy thừa

0.2.8 Định lý 8 (nguyên lý môđun cực đại)

Môđun của hàm số chỉnh hình trong miền mở G không đạt được cực đại tại mọi điểm của miền này, ngoại trừ hàm đồng nhất là hằng số

0.2.9 Định lý 9 (tính duy nhất của hàm giải tích)

Nếu hai hàm số f z( ) và ϕ( )z chỉnh hình trong miền G nào đó và nhận các giá trị bằng nhau trên mọi tập hợp E gồm vô hạn các điểm của G, trong đó E có ít nhất một điểm giới hạn nằm bên trong G, thì hai hàm số này bằng nhau khắp nơi trên G

khúc) không trừ điểm nào, thì tích phân ( )

( )

'1

2 ∫Γ f z− dz

π cho ta số nghiệm của phương trình f z( )=a ở trong chu tuyến Γ

Chương 1 ÁNH XẠ BẢO GIÁC 1.1 Khái niệm ánh xạ bảo giác

1.1.1 Ý nghĩa hình học của argument đạo hàm

Giả sử hàm w= f z( ) là hàm số giải tích trên miền G Ta sẽ biểu diễn gía trị của hàm số w u iv= + bởi điểm trên mặt phẳng w Mỗi diểm z x iy= + trên mặt phẳng của biến số độc lập z sẽ tương ứng với một điểm w u iv= + trên mặt phẳng

w (hình 1.1 và 1.2) Khi điểm z chuyển động trên mặt phẳng z theo một đường cong C nào đó thì điểm tương ứng w nó sẽ chạy trên đường cong Γ trong mặt phẳngw, là ảnh của đường cong C

x 0

Lấy điểm bất kỳ z0+ ∆z0 trên đường cong C và ký hiệu w0+ ∆w0 là điểm

tương ứng với nó trên mặt phẳng w thuộc đường cong Γ Khi điểm z0+ ∆z0 tiến về

điểm z0 trên đường cong C thì điểm tương ứng w0+ ∆w0 sẽ tiến về điểm w0 trên

đường cong Γ, trong đó ∆ ∆z0, w0 cùng tiến về 0

lim

z

w r z

∆ là vecto nối từ điểm w0 đến điểm w0+ ∆w0 Suy ra, arg z∆ 0 là góc ϕ nằm giữa

hướng dương của trục Ox và vecto ∆z0 tương ứng, còn arg w∆ 0 là góc φ giữa trục

Ở vị trí giới hạn, hướng của vecto ∆z0 sẽ trùng với hướng của tiếp tuyến với

đường cong C tại điểm z0 (hình 1.1), còn hướng của vecto ∆w0 trùng với hướng

của tiếp tuyến với Γ tại điểm w0 (hình 1.2), tiếp tuyến này tồn tại theo đẳng thức

(1.2’) Ký hiệu ψ và Ψ là các góc của trục Ox và Ou với các tiếp tuyến tương ứng

của C và Γ tại z0 và w0 Ta có thể viết (1.2’’) dưới dạng

ψ α

Ψ − = hay Ψ = +ψ α (1.3)

Ta quy ước hướng dương của các trục Ox và Ou trùng nhau Khi đó, từ (1.3) ta có α là góc mà tiếp tuyến với C tại điểm z0 đã quay trong ánh xạ

( )

w= f z Nói một cách khác, α là góc giữa hướng ban đầu với hướng sau ánh xạ

Để ý rằng đường cong C được chọn tùy ý, khi hướng của C thay đổi thì ψ và Ψ

đều thay đổi nhưng góc α không đổi Do đó, nếu tại z0 ta có đường cong C' khác

và gọi đường cong tương ứng với nó tại w0 là Γ' (hình 1.1 và 1.2) thì (1.3) có dạng

Vậy ánh xạ bởi hàm giải tích có tính chất bảo toàn góc giữa tất cả các điểm

z + ∆z (hình 1.1); tương tự, ∆w0 là khoảng cách giữa các điểm w0 và w0 + ∆w0

tương ứng (hình 1.2) Đẳng thức (1.1’) chỉ ra rằng tỷ số giữa khoảng cách vô cùng

bé giữa các điểm ảnh và điểm ban đầu khi lấy giới hạn sẽ là r= f z'( )0 không phụ thuộc vào hướng của C Do đó có thể xem r= f z'( )0 là đại lượng đo tỷ lệ tại điểm

0

z trong ánh xạ bởi hàm số w= f z( ) Nếu r>1 thì tỷ lệ tăng, nghĩa là có sự giãn của phần tử vô cùng bé tại z0; nếu r<1 thì ngược lại có sự co; nếu r=1 thì tỷ lệ này không đổi, nghĩa là phần tử vô cùng bé tại z0 được thay thế bởi phần tử vô cùng

bé tương đương với nó tại điểm w0

Vì r= f z'( )0 chỉ phụ thuộc vào z0 mà không phụ thuộc vào hướng của C

nên tỷ lệ này thường được gọi là sự biến dạng tại điểm z0 và nó sẽ không phụ thuộc vào hướng Vậy có thể nói rằng ánh xạ bởi hàm số giải tích w= f z( ) có độ co giãn không phụ thuộc vào hướng tại mọi điểm z0 sao cho f z'( )0 ≠ 0

1.1.3 Ánh xạ bảo giác

1.1.3.1 Khái niệm

Ánh xạ có tính chất bảo toàn góc và có độ co giãn không đổi được gọi là ánh

xạ bảo giác

1.1.3.2 Mối quan hệ giữa ánh xạ bảo giác và ánh xạ giải tích

Ta đã biết mọi ánh xạ giải tích, tức là ánh xạ cho bởi hàm số giải tích

( )

w= f z tại mọi điểm z0 mà tại đó f z'( )0 ≠ 0 đều có hai tính chất

1 Bảo toàn góc;

2 Độ co giãn không đổi

Nếu trên mặt phẳng của biến số phức z, ta lấy một tam giác vô cùng bé sao cho z0 là một trong các đỉnh của nó thì trên mặt phẳng của biến w sẽ có tam giác cong vô cùng bé với một đỉnh là w0 (hình 1.3 và 1.4) Các góc tương ứng của hai tam giác này sẽ bằng nhau theo tính chất bảo toàn góc; tỷ số các cạnh tương ứng chính xác đến vô cùng bé sẽ bằng số cố định r≠ 0 Hai tam giác vô cùng bé như vậy được gọi là đồng dạng với nhau Vậy ánh xạ giải tích là ánh xạ đồng dạng trong

vô cùng bé (tại lân cận mỗi điểm z sao cho f z'( )≠ 0)

xác định ánh xạ bảo giác thì hàm số f z( ) là hàm giải tích với đạo hàm khác không.

1.1.4 Ánh xạ bảo giác loại II

1.1.4.1 Khái niệm

Mọi ánh xạ từ mặt phẳng của biến số phức z(hay một phần của nó) lên mặt phẳng w trong đó góc được bảo tồn về độ lớn, còn hướng quy chiếu thay đổi thành hướng ngược lại và có độ co giãn không đổi được gọi là ánh xạ bảo giác loại II

Cần phân biệt, ánh xạ bảo giác loại II với ánh xạ giải tích được gọi là ánh xạ bảo giác loại I Cả hai loại ánh xạ này đều được cho bởi hàm số có liên quan chặt chẽ với hàm giải tích

1.1.4.2 Ví dụ

Cho ánh xạ w z= Ta sẽ biểu diễn số w trên cùng một mặt phẳng với z, khi

đó ta thấy rằng mọi điểm của z sẽ ánh xạ vào điểm đối xứng với nó qua trục thực

Rõ ràng trong ánh xạ này, hai hướng bất kỳ xuất phát từ z và tạo thành góc α nào

đó sẽ biến thành hai hướng tương ứng đối xứng với hai hướng ban đầu, góc giữa chúng sẽ là −α, nghĩa là độ lớn của góc được bảo toàn nhưng hướng quy chiếu được thay đổi thành hướng ngược lại (hình 1.5) Ngoài ra, ánh xạ này có độ co giãn không đổi vì không có sự thay đổi nào về tỷ lệ xích trong ánh xạ này

Vậy ánh xạ w z= đã cho là ánh xạ bảo giác loại II

0

y

x z

Giả sử f z( ) là hàm giải tích, ta sẽ chứng minh rằng ánh xạ w= f z( ) là ánh

xạ bảo giác loại II

Thật vậy, phép biến đổi này có thể tách thành hai ánh xạ liên tiếp: ζ = f z( )

và w=ζ Trong ánh xạ thứ nhất, góc được bảo toàn về hướng và độ lớn Trong ánh

xạ thứ hai, hướng quy chiếu thay đổi thành hướng ngược lại Do đó sau hai ánh xạ, góc được bảo toàn về độ lớn nhưng hướng quy chiếu biến đổi thành hướng ngược lại Ngoài ra, ánh xạ này có độ co giãn không đổi vì cả hai ánh xạ thành phần đều có tính chất này

Vậy ta có điều phải chứng minh

Định lý 2

Mọi ánh xạ bảo giác loại II đều được cho bởi hàm số liên hợp với một hàm giải tích nào đó

Vậy định lý đã được chứng minh

Ta đã thấy rằng ánh xạ giải tích có hai tính chất đặc trưng: bảo toàn góc và

độ co giãn không đổi Vấn đề đặt ra là: phải chăng mọi ánh xạ liên tục có tính chất bảo toàn góc đều là ánh xạ giải tích, nghĩa là tính chất bảo toàn góc có kéo theo tính chất độ co giãn không đổi? Nói cách khác, phải chăng mọi ánh xạ liên tục có độ co giãn không đổi luôn là ánh xạ bảo giác lọai I hoặc loại II Không đi sâu vào việc giải quyết hai vấn đề này, ta chỉ nhận xét rằng cả hai vấn đề này đều đã được giải quyết bởi câu trả lời khẳng định bằng các phương pháp sơ cấp Ta có giả thiết với

w u iv= + thì u và v đều có các đạo hàm riêng liên tục Vấn đề sẽ khó giải quyết hơn nếu ta chỉ xét các ánh xạ liên tục bất kỳ mà không có điều kiện các đạo hàm riêng của u và v liên tục Tuy nhiên gần đây người ta đã giải quyết được hai bài toán trên trong trường hợp tổng quát

Cụ thể, người ta đã chứng minh được rằng: mọi ánh xạ liên tục và là song ánh mà bảo toàn góc đều là ánh xạ giải tích Câu hỏi: “Liệu điều kiện ánh xạ song ánh có thể bỏ qua được không?” đến giờ vẫn chưa giải quyết được triệt để

Ngoài ra, người ta cũng chứng minh được rằng: mọi ánh xạ song ánh liên tục

có độ co giãn không đổi đều là ánh xạ bảo giác loại I hoặc loại II Ở đây điều kiện ánh xạ là song ánh là bắt buột vì ta có thể xét một ví dụ sau đây

Rõ ràng ánh xạ này liên tục trên toàn bộ mặt phẳng của biến số phức z và có

độ co giãn không đổi nhưng nó không là ánh xạ giải tích trên cả mặt phẳng cũng

không là ánh xạ liên hợp của ánh xạ giải tích

1.2.Điều kiện xác định ánh xạ bảo giác

1.2.1 Ánh xạ hình tròn đơn vị lên chính nó

Theo định lý 1, mọi phép biến đổi tuyến tính đều có tính chất biến vòng tròn

thành vòng tròn Bây giờ ta chứng minh tính chất đó đặc trưng cho ánh xạ tuyến

tính Thật vậy, giả sử w= f z( ) là ánh xạ song ánh và bảo giác biến mặt tròn thành

mặt tròn khác Ta sẽ chứng minh nó là ánh xạ tuyến tính

Đầu tiên, ta gọi Γ là ánh xạ tuyến tính biến mặt tròn đã cho của mặt phẳng z

thành mặt tròn đơn vị của mặt phẳng τ , và Γ1 là ánh xạ tuyến tính biến mặt tròn đã

cho của mặt phẳng w thành mặt tròn đơn vị đó của mặt phẳng τ Vậy thì ánh xạ

1

1

S = Γ Γf − sẽ biến mặt tròn đơn vị trên mặt phẳng τ thành chính nó Nếu chứng

minh được S là tuyến tính thì ta kết luận 1

1

f = Γ−SΓ cũng là tuyến tính

Thế thì, vấn đề được đưa về xét tính đặc trưng của ánh xạ song ánh và bảo

giác biến mặt tròn đơn vị thành chính nó

Ánh xạ tuyến tính biến mặt tròn đơn vị thành chính nó như đã biết ở định lý

trong đó α < 1 và θ là số thực bất kỳ Nó chứa ba tham số thực tùy ý, nên được xác

định duy nhất bởi ba điều kiện

Cho trước một yếu tố gồm điểm α và hướng θ đi qua điểm đó, thì ánh xạ

tuyến tính biến yếu tố đó thành yếu tố gồm gốc tọa độ và hướng dương trục thực,

được xác định duy nhất bởi công thức (2.1) Về giải tích, dữ kiện cho trước có thể

viết là

w α = w α =θ (2.2)

Để chứng minh rằng phép biến đổi (2.1) là ánh xạ song ánh và bảo giác duy nhất biến mặt tròn đơn vị thành chính nó, thỏa mãn điều kiện đầu (2.2) thì chỉ cần chứng minh ánh xạ song ánh và bảo giác w= f z( ) biến mặt tròn đơn vị thành chính nó với điều kiện đầu

( )0 0, '( )0 0

f = f > (2.3)

là phép biến đổi đồng nhất

Thật vậy, giả sử w F z= ( ) là ánh xạ song ánh và bảo giác biến mặt tròn đơn

vị thành chính nó thỏa mãn (2.2) Bằng cách ký hiệu L là phép biến đổi tuyến tính (2.1), ta xét phép biến đổi bổ trợ FL−1 thỏa mãn điều kiện (2.3) và biến mặt tròn đơn

vị thành chính nó Nếu chứng minh được FL−1 là phép biến đổi đồng nhất thì từ đó

ta có được

( ) ( )

F z =L z

nên khi đó L là duy nhất

Vậy tóm lại, ta phải chứng minh rằng ánh xạ song ánh và bảo giác w= f z( )

biến mặt tròn đơn vị thành chính nó với điều kiện (2.3) là phép đồng nhất

Ta chứng minh mệnh đề tổng quát hơn sau đây

Mệnh đề

“Nếu hàm số f z( ) thỏa mãn điều kiện f ( )α =α, f'( )α > 0 và là song ánh bảo giác, biến miền G nằm trong phần hữu hạn của mặt phẳng có chứa điểm α thành chính nó thì f z( )≡z”

7, ta có

( )' 0

n n

và vế phải của bất đẳng thức đó có số không phụ thuộc n, vậy b= 0 Như vậy,

( )

f z =z

Vậy ta có điều phải chứng minh

1.2.2 Điều kiện xác định duy nhất của ánh xạ bảo giác

Giả sử cho miền đơn liên G nào đó trong mặt phẳng số phức z.Vấn đề đặt

ra là có chăng một hàm số w= f z( ) chỉnh hình trong miền G, và ánh xạ một đối một G thành mặt tròn đã cho trong mặt phẳng w

Đây là vấn đề cơ bản của lý thuyết ánh xạ bảo giác được Riemann đưa ra và

đã được giải quyết triệt để đối với miền có biên chứa nhiều hơn một điểm

Với giả thiết tồn tại một hàm w= f z( ) như vậy, thì ta thấy rằng tập hợp các hàm số đó là vô số

Thật vậy, ta đã biết có vô số các hàm tuyến tính biến mặt tròn thành chính

nó Chẳng hạn, nếu w= f z( ) là hàm số ánh xạ miền G thành mặt tròn w < 1 thì hàm số w1=we iθ cũng sẽ ánh xạ miền G thành mặt tròn w < 1 với θ bất kỳ

đều là ánh xạ bảo giác biến miền G thành mặt tròn sao cho một yếu tố của miền G

với cả hai ánh xạ đều biến thành cùng một yếu tố của mặt tròn Vậy thì,

Vậy tất cả những tính chất trên của ánh xạ miền đơn liên G thành mặt tròn đều đúng với ánh xạ miền G thành miền đơn liên bất kỳ∆ (hình 1.7)

Thật vậy, ta dùng phép ánh xạ từ miền G lên mặt tròn làm trung gian: đầu tiên ánh xạ miền G thành mặt tròn và sau đó ánh xạ mặt tròn thành ∆

Chương 2 CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT

ÁNH XẠ BẢO GIÁC 2.1 Nguyên lý bảo toàn miền

mở rộng như vậy khi xét các hàm số z e n, z và sin z Để tượng trưng cho ảnh của mặt phẳng z trong phép ánh xạ thực hiện nhờ các hàm số đó, ta lập diện Riman nhiều tờ tạo nên bằng cách dán các nửa mặt phẳng dọc theo phần trục thực tương ứng

Phương pháp đó biểu diễn bằng những nửa mặt phẳng, các miền biến thiên của hàm

số giải tích là không thích hợp trong trường hợp tổng quát và cần phải thay đổi bằng cách lập miền nhờ những mặt tròn một tờ và nhiều tờ Để đơn giản, giới hạn vào những hàm số đơn trị, ta xét hàm số f z( ) giải tích trong miền G nào đó và giả sử

a là một điểm hữu hạn nào đó của miền

ŠNếu f a'( )≠ 0 thì có thể lấy một lân cận khá bé của điểm a để trong nó hàm số f z( ) là đơn diệp

Vậy ta có điều phải chứng minh, hay f z( ) là hàm đơn diệp

Như vậy, hàm số w= f z( ) ánh xạ mặt tròn z a− <ρ đơn trị hai chiều thành một miền nào đó của mặt phẳng w chứa điểm trong f a( )=a0 Nếu ta vẽ mặt tròn tâm a0 nằm trong miền đó, thì trong miền z nó tương ứng với một miền nào đó nằm trong mặt tròn z a− <ρ và chứa điểm a

Vậy với mọi điểm a mà ở đó f a'( )≠ 0 đều có thể tìm một miền G a chứa

nó thế nào để hàm số w= f z( ) ánh xạ miền đó một đối một lên mặt tròn C a của mặt phẳng w với tâm tại điểm f a( )=a0

ŠNếu ta giả thiết rằng f a'( )= 0, thì ở một lân cận nào đó của điểm ấy f z( )

có thể biểu diễn dưới dạng

( ) ( ) ( ) ( )

( )

' '

1

k

k k

k

πcủa mặt tròn C a'( ), điểm ζ vạch nên toàn bộ mặt k

tròn, vậy toàn mặt tròn C a'( ) tương ứng với mặt tròn bội k Ta tưởng tượng nó như

là k mặt tròn giống nhau và chồng lên nhau, bị cắt dọc theo bán kính hướng dương của trục và dán theo theo nhát cắt sao cho bờ dưới của nhát cắt mặt tròn nằm dưới dính với bờ trên nhát cắt của mặt tròn nằm trên, còn bờ dưới của mặt tròn nằm trên này thì dán với bờ trên nhát cắt mặt tròn nằm dưới nó

( )

w= f z nhận cùng một giá trị Tuy nhiên, các điểm tương ứng đặt trên những tờ khác nhau của mặt tròn k tờ C a (tờ này đặt lên tờ kia) và vì vậy xem chúng là khác nhau

Bây giờ ta chỉ cách kết hợp giữa các mặt tròn một tờ và nhiều tờ C a khác nhau như thế nào để nhận được một miền đa diệp (diện Riman) biến thiên của hàm

số w= f z( ) Để thiết lập thứ tự phải biết trong sự kết hợp các mặt tròn, ta hãy tưởng tượng có một dãy vô hạn miền G n n( =1, 2,3, )bị chứa trong cảnh giới

( n )

G G ⊂G , cái này bao cái kia (G n+1⊂G n) và vét cạn miền G theo nghĩa rằng mỗi một điểm a của G bắt đầu từ một số n nào đó sẽ nằm trong tất cả các G n Một dãy như vậy có thể thu được chẳng hạn bằng cách chia nhỏ mặt phẳng z liên tiếp thành những hình vuông với độ dài các cạnh giảm vô hạn và gộp trong cùng một miền G n

những hình vuông của lần chia thứ n kề liền nhau và nằm trong G

Vì mỗi điểm a của miền kín G1 là thuộc miền G thì đối với nó có thể tìm được miền G a hoàn toàn nằm trong G chứa điểm trong a và thế nào cho hàm

a

G thế nào cho mỗi miền bất kỳ G n đều bị phủ kín bởi một số hữu hạn miền G a Để đơn giản cho lý luận về sau, ta thừa nhận rằng hai miền G a tương ứng với những mặt tròn nhiều tờ là không có điểm chung Điều đó luôn luôn có thể đạt được vì: Thứ nhất là trong mỗi miền G n chỉ chứa một số hữu hạn điểm a mà tại đó

( )

f a = (dựa vào tính duy nhất của hàm giải tích) và thứ nhì là miền G a có thể lấy khá bé Bây giờ ta đánh số các miền G a thế nào sao cho hai miền liên tiếp nhau thì

có một phần chung và ta cũng gán cùng số hiệu đó cho các mặt tròn một hay nhiều

tờ tương ứng C a Nếu ta lấy lần lượt các miền G a và dán chúng với nhau dọc theo phần chung (không cần chúng có số hiệu kề nhau hay không) thì ta nhận được một

miền nằm trong G và bao miền G n với một số lượng khá lớn miền G a Nói cách khác, miền thu được bằng cách dán như vậy sẽ vét cạn miền G Vậy tất cả miền G

có thể xem như tạo ra bằng cách dán tập hợp vô số (đếm được) miền G a

Tương tự như vậy có thể thành lập trên mặt phẳng w miền biến thiên của hàm số w= f z( ) Nói rõ hơn, lấy các mặt tròn C a theo thứ tự số hiệu, ta sẽ gặp trong chúng có những mặt tròn tương ứng với những miền G a có phần chung (điều

đó đúng với những mặt tròn có số hiệu kề nhau, nhưng không phải chỉ với chúng

mà thôi) Dựa vào tính đơn trị của hàm w= f z( ), phần chung đó sẽ tương ứng với những miền bằng nhau (tương đẳng) trong mỗi một trong hai mặt tròn như vậy Bằng cách đặt mặt tròn này lên trên mặt tròn kia để cho các miền đó trùng nhau, ta dán các mặt dọc theo các miền đó Hai mặt tròn mà các miền G a không có phần chung thì không được dán trực tiếp với nhau Tuy nhiên hai miền bất kỳ ( )m

g và

( )n ( )

g n m> đều nối với nhau bởi chuỗi miền g( )m ,g(m+1), ,g( )n , mà cứ hai miền kề nhau lại có phần chung Làm lớn số mặt tròn thì ta được thêm các miền nhiều tờ tổng quát mới nữa, mà tất cả chúng đều bị chứa trong miền tổng quát biến thiên của hàm w= f z( ) và sẽ vét cạn miền này theo nghĩa là với một số đủ lớn mặt tròn, ta sẽ đạt đến mọi điểm bất kỳ của miền đó Tập hợp điểm mà chúng ta được bằng cách dán như vậy có thể gọi là một miền vì chúng có hai tính chất đặc trưng của miền một tờ thông thường: Thứ nhất, mỗi điểm cùng một lân cận nào đó của nó đều thuộc tập hợp (lân cận hiểu theo nghĩa là một mặt tròn đơn, và như thế điểm tương ứng là điểm thông thường; hoặc mặt tròn k tờ, khi đó điểm tương ứng gọi là điểm

rẽ nhánh cấp k− 1) Thứ hai là hai điểm bất kỳ của tập hợp có thể nối nhau bằng đường cong liên tục mà tất cả các điểm đó đều thuộc tập hợp Điều cuối cùng này suy từ chỗ rằng có một chuỗi hữu hạn mặt tròn nối hai mặt tròn bất kỳ với nhau

Tất cả những điều ta đã nói trên đây đều có thể mở rộng cho điểm vô tận mà không thay đổi gì Rõ hơn, khi a= ∞thì khai triển có dạng

w = f z với sự tương ứng một- một giữa hai miền (hình 2.1) Vì vậy f z( )

không thể đạt đến cực đại của nó tại điểm z0 vì trong ∆ còn có điểm xa gốc tọa độ hơn f z( )0 Thế thì một hàm số f z( ) chỉnh hình trong miền G không đạt được môđun cực đại tại một điểm trong của miền

Hình 2.1

Ở trên ta đã giả thiết rằng f z( ) không phải là hằng số Vì vậy, nếu f z( )

chỉnh hình trong miền Gvà f z( ) đạt cực đại tại một điểm trong của miền đó thì

( )

f z là hàm hằng

Cuối cùng, ta chú ý rằng chứng minh còn đúng nếu hàm số f z( ) trong miền

G thỏa các điều kiện tổng hơn

- f z( ) chỉnh hình ở lân cận mỗi điểm của cảnh giới G

- f z( ) là hàm số đơn trị trong miền G

2.2 Nguyên lý ánh xạ một-một

Cho chu vi kín Γ là trơn (hay ít ra cũng trơn từng khúc); ta giả sử hàm

( )

w= f z chỉnh hình khắp trong (kể cả những điểm thuộc chu vi) Γ Ta gọi Γ'là chu

vi kín có được nhờ hàm số w= f z( ) ánh xạ một đối một từ chu vi kín Γ Khi đó ta

Gọi G là miền giới hạn bởi Γ Theo giả thiết, chu vi Γ sẽ tương ứng với

chu vi Γ' chia mặt phẳng w thành hai phần: trong và ngoài

Ta chứng minh không có điểm nào nằm ngoài Γ' có thể là giá trị của f z( )

lấy trong Γ Đồng thời, chứng minh mỗi điểm nằm trong Γ' là một trong các giá trị

mà f z( ) lấy trong Γ và chỉ với một giá trị của z Như vậy, vấn đề đưa đến là

chứng minh phương trình f z( )−w0 = 0 đối với w0 nằm ngoài Γ' không có nghiệm

nào trong Γ, còn đối với w0 nằm trong Γ'thì có và chỉ có một nghiệm z trong Γ

Theo định lý thặng dư loga, số nghiệm của phương trình f z( )−w0 = 0 bằng tích

phân

( ) ( )

'

0

1 2

f z

dz

i f z w

π ∫ − (2.4) trong đó tích phân lấy theo chu vi Γ với hướng dương, đặt f z( )=w, thì tích phân

thành dạng

1 2

dw

i w w

π Γ∫ − (2.4’) Tích phân này bằng không nếu w0 nằm ngoài Γ' và bằng ±1 (tùy theo

hướng lấy tích phân dọc theo Γ') nếu w0 nằm trong Γ' Nhưng giá tri −1 loại vì ý

nghĩa của tích phân

Vậy tích phân ở (2.4) triệt tiêu nếu w0 nằm ngoài Γ' và bằng +1 nếu w0 nằm trong Γ'

Từ chứng minh trên ta suy rằng nếu điểm z quay theo hướng dương thì

( )

w= f z vạch nên Γ' cùng với hướng dương (nếu khác đi thì tích phân ở (2.4’) có giá trị là −1): nói cách khác, trong sự tương ứng thiết lập giữa các chu vi Γ và Γ'

nhờ hàm số chỉnh hình trong Γ hướng quay cần được bảo toàn

Đồng thời điều vừa chứng minh trên còn đúng với miền vô hạn vì nhờ một phép biến đổi đơn trị hai chiều sơ cấp có thể thay miền vô hạn bằng một miền giới nội

Vậy nguyên lý đã được chứng minh

2.3 Nguyên lý đối xứng Riemann-Schwars

2.3.1 Nguyên lý

“Hàm số f z( ) chỉnh hình trong miền G mà chu vi có chứa cung tròn γ (hoặc đoạn thẳng γ ) nhận tại các điểm trong của γ (từ bên trong G1) những giá trị liên tục sẽ thác triển giải tích được qua γ Giá trị thác triển giải tích của f z( ) ở ngoài miền G1 sẽ liên hợp với f z( ) ở những điểm đối xứng đối với γ ”

( )

F z là thác triển giải tích của hàm số f z( ) qua cung γ Như đã biết ở định lý 9,

sự thác triển như vậy có thể làm được thì nó là duy nhất

Trước khi chứng minh nguyên lý, ta giải quyết vấn đề sau: với một hàm số

( )

f z đã biết có thể thác triển nó qua một mảnh cung chu vi nào đó của miền G1

được không? Và nếu được thì thác triển như thế nào? Ta có mệnh đề

Mệnh đề

“Nếu mảnh cung γ chu vi của miền G1 là cung của một vòng tròn nào đấy

và nếu giá trị của hàm số f z( ) tại các điểm của cung đó là những số thực thì hàm

số có thể thác triển giải tích qua cung γ ”

Chú ý: Gía trị của hàm số f z( ) trên cung γ ta phải hiểu là giới hạn của dãy liên tục những giá trị từ bên trong miền G1

Z

ζ

C A