Quan niệm của giáo viên và học sinh về khái niệm vô hạn

trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT Nguyễn Chí Thanh đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi và động viên tôi hoàn th

QUAN NIỆM CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH VỀ KHÁI NIỆM VÔ HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành : LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

Mã số : 60.14.10

Thành phố Hồ Chí Minh – 2005

trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT Nguyễn Chí Thanh đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi và động viên tôi hoàn thành luận văn này Đặc biệt tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến :

Tiến sĩ Lê Văn Tiến, người đã tận t nh hướng dẫn tôi v à mặt nghiên cứu khoa học, luôn động viên giúp tôi có đủ niềm t n và nghị lực trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Phó giáo sư Tiến sĩ Lê Thị Hoài Châu, Tiến sĩ Lê Văn Tiến, Tiến

sĩ Đoàn Hữu Hải Phó giáo sư Tiến sĩ Annie Bes ot Tiến sĩ Alain Bib rent Phó giáo sư Tiến sĩ Claude Comi i đã nhiệt t nh giảng dạy, giải đáp những thắc mắc, dẫn dắt chúng tôi t m hiểu và nghiên cứu v à một chuyên ngành rất thú vị – Didact que Toán

Tiến sĩ Nguyễn Xuân Tú Huyên đã giúp tôi dịch luận văn này sang t ếng Pháp

Thầy Trần Anh Dũng- hiệu trưởng, thầy cô tổ Toán cùng các em học sinh khối 10, 11 - trường THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai Thầy cô tổ Toán trường TH Thực hành và trường THPT Bình Long- Bình Phước đã nhiệt t nh giúp đỡ và hợp tác khi tôi t ến hành phần thực nghiệm của luận văn

Các bạn cùng lớp Thư Hương, Anh Dũng, Hữu Tài và gia đình đã luôn nâng đỡ tôi về mọi mặt

4 Tổ ch ùc của u än v ên 3

” CHƯƠNG 1 : ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM VÔ HẠN I MỤC ĐÍCH PHÂN TÍCH 5

I ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM VÔ HẠN 5

Giai đ ạn 1 Từ h øi Hy ạp cổ đ ïi đ án h á k û XVI – Vô h ïn ềm n ên 5

Giai đ ạn 2 TỪ h á k û XVI đ án giữa h á k û XIX – Sự x ất hiện của ∞ . 1

Giai đ ạn 3 Từ giữa h á kỉ XIX rở v à sa – Vô h ïn h øn đ än 1

I I KẾT LUẬN .1

Các giai đ ạn n ûy sin v ø p át riển 1

Ph ïm vi ác đ än v ø các b øi o ùn ch û y áu có ên q a 1

Qu n niệm v à v â h ïn 1

Các đ ái ư ïn có ên q a 1

Bản óm ắt 2

” CHƯƠNG 2 : MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM VÔ HẠN I MỤC ĐÍCH PHÂN TÍCH 2

I SỰ XUẤT HIỆN VÀ TIẾN TRIỂN CỦA KHÁI NIỆM VÔ HẠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK VIỆT NAM 2

1.Vô h ïn ro g n h ốn x ây d ïn h ä h án số (p ạm vi số) 2

2.Vô h ïn ro g n h ốn x ây d ïn k ái niệm c u vi đ ờn ròn v ø diện c hìn ròn 2 3 Vô h ïn ro g n h ốn n hiên cứu giới h ïn của d õy số v ø giới h ïn h øm số 2

3.1 Tìn h ốn x ây d ïn địn n hĩa giới h ïn d õy số 3

3.2 Tìn h ốn x ây d ïn địn n hĩa giới h ïn h øm số 3

3.3 Tìn h ốn n giới h ïn của d õy số v ø h øm số 3

a Về kiểu n iệm v ï n giới h ïn của d õy số 3

b Về kiểu n iệm v ï n giới h ïn h øm số 3

- Dấu v át của một "đ ïi số các v â cực v ø mâu h ẫn của No sp ere 3

- Hiện ư ïn “thiếu côn n h ä” 4

I I KẾT LUẬN .4

Giả h y át n hiên cứu 4

1.2 Nội d n h ïc n hiệm 4

A Th ïc n hiệm đ ái v ùi h ïc sin 1 v ø 1 4

B Th ïc n hiệm đ ái v ùi giáo viên 4

2 Ph ân ch chi iết b ä câu h ûi 4

2.1 Ph ân ch n óm 1 4

2.2 Ph ân ch n óm 2 5

2.3 Ph ân ch n óm 3 5

I PHÂN TÍCH HẬU NGHIỆM 6

1 Qu n niệm của giáo viên v ø h ïc sin v à v â h ïn v ø v â cực 6

2 Mối q a h ä b ä p ận – o øn h å 7

3 Sự ồn ại của "đ ïi số các v â cực v ø của "Nh ùm các địn côn n h ä k ôn có ro g SGK" .8

I I KẾT LUẬN PHẦN THỰC NGHIỆM 8

” KẾT LUẬN CHUNG . 9

” TÀI LIỆU THAM KHẢO 9

” PHỤ LỤC 9

Ph ï ục 1: Các b ûn h án k â số ệu ừ sản p ẩm h ïc n hiệm 9

Ph ï ục 2 Phiếu h ïc n hiệm 9

Ph ï ục 3 Trả ời của giáo viên v à câu 2 p a 1 v ø h ïc sin v à câu 1 p a 3 1 5

Ph ï ục 4 Trả ời của giáo viên v à câu 3 p a 1 1 0

Ph ï ục 5 Trả ời của giáo viên v à câu 4 p a 1 2

Luận văn Thạc sĩ: Quan niệm của giáo viên và học sinh về khái niệm vô hạn 1

tro g n iều n àn k oa h ïc k ác n ư Triết h ïc, Vật l , Thiên văn,… Tu n iên, “ ô hạn d ờn n ư lu ân là một k ái niệm k ôn đ ợc địn n hĩa Ng ời ta d øn và thao tác n ù t n ư n ù đã tồn tại hiển n iên và rõ ràn !

Tro g p ạm vi môn toán ở trư øn p ổ th ân , k ái niệm v â hạn cũn k ôn p ải là một đ ái tư ïn đ ợc giản dạy Tu n iên n ù lại tác đ än n ầm ẩn hay tư øn min tro g việc h ïc tập n iều n äi d n k ác n au đ ợc trải dài từ c áp t ểu h ïc đ án c áp tru g

h ïc p ổ th ân n ư : xây d ïn tập số tự n iên, xây d ïn k ái niệm ch vi đ ờn tròn và diện t ch hìn tròn, tập h ïp số th ïc, sự biến thiên của hàm số, Đặc biệt, tro g p ạm

vi Giải t ch, n iều n hiên cứu k oa h ïc luận và sư p ạm ch thấy rằn sự nảy sin và

p át triển của k ái niệm Giới hạn k ôn th å tách rời k ái niệm “Vô hạn (“ ô cực”,

“ ô cùn ”, “ ô tận ,…), v â hạn là một tro g c ùc y áu tố q an trọn c áu thàn n ân n hĩa của k ái niệm Giới hạn.

Ch ùn tôi tự h ûi : Làm th á nào giáo viên và h ïc sin t ếp c än một k ái niệm có vai trò q an trọn n ư g lại k ôn đ ợc giản dạy một c ùch tư øn min n ư vậy ? Họ hiểu và thao tác k ái niệm này n ư th á nào tro g việc dạy h ïc c ùc đ ái tư ïn toán h ïc k ác

Vì sao n ù lại k ôn p ải là một đ ái tư ïn đ ợc giản dạy tư øn min ?

Nh õn g ïi h ûi trên dẫn ch ùn tôi tới c ùc c âu h ûi k ởi đầu ch n hiên cứu n ư sau :

∗ Khái niệm v â hạn đã có l ch sử p át triển n ư th á nào? Nh õn q an điểm nào v à

v â hạn đã tồn tại tro g l ch sử ?

∗ Khái niệm v â hạn đã x ất hiện và tác đ än n ư th á nào tro g toán h ïc đ ợc giản dạy ở trư øn p ổ th ân ? Tro g n ữn t n h ốn nào ? Đặc biệt, n ù tác đ än

n ư th á nào tro g t n h ốn dạy h ïc k ái niệm giới hạn ?

∗ Giáo viên và h ïc sin hiểu ra sao v à v â hạn ? Họ ứn x û th á nào tro g t n

h ốn có sự tác đ än của đ ái tư ïn v â hạn?

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu và câu hỏi của nghiên cứu

Mục đích n hiên cứu của ch ùn tôi là t m c âu trả lời ch n ữn c âu h ûi đã n âu ở trên Để làm đ ợc điều đ ù, ch ùn tôi đặt n hiên cứu của mìn tro g p ạm vi của Dida t q e Toán Cụ th å h n, k ái niệm mối q an h ä th å ch á và mối q an h ä c ù n ân

v ùi một đ ái tư ïn tri th ùc (tro g l th y át n ân ch ûn h ïc), k ái niệm h ïp đ àn dida t c tro g l th y át t n h ốn sẽ là c ùc côn cụ ch û y áu ch n hiên cứu này.

Ng ài ra, c âu h ûi đầu t ên dẫn tới sự c àn thiết th ïc hiện một n hiên cứu k oa h ïc luận v à đ ái tư ïn v â hạn.

Tro g p ạm vi l th y át đã ch ïn, c ùc c âu h ûi k ởi đầu có th å đ ợc trìn bày lại n ư sau :

a) Nh õn đặc trư g k oa h ïc luận nào của k ái niệm v â hạn, n ữn q an điểm nào

v à k ái niệm này có th å đ ợc làm rõ q a một p ân t ch k oa h ïc luận l ch sử hìn thàn và p át triển của đ ái tư ïn này ?

b) Mối q an h ä th å ch á v ùi đ ái tư ïn v â hạn đã đ ợc hìn thàn và t ến triển ra sao tro g h ä th án dạy h ïc toán ở trư øn p ổ th ân ? Nh õn q y tắc đặc biệt nào của

h ïp đ àn dida t c gắn l ền v ùi đ ái tư ïn này có th å đ ợc làm rõ ?

c) Mối q an h ä c ù n ân của giáo viên và h ïc sin v à k ái niệm v â hạn có n ữn đặc trư g nào ? Mối q an h ä th å ch á tư n ứn ản h ởn n ư th á nào trên c ùc mối q an

h ä c ù n ân này ?

3 Phương pháp và tổ chức nghiên cứu

Để đạt đ ợc n ữn mục đích đ à ra, p ư n p áp n hiên cứu mà ch ùn tôi sẽ ch ïn là:

• Th ïc hiện một p ân t ch tổn h ïp một số côn trìn n hiên cứu k oa h ïc luận đã biết v à k ái niệm v â hạn đ å làm rõ n ữn đặc trư g cơ bản tro g sự nảy sin và t ến triển của k ái niệm này, cũn n ư n ữn q an điểm v à n ù đã tồn tại tro g l ch sử.

Luận văn Thạc sĩ: Quan niệm của giáo viên và học sinh về khái niệm vô hạn 3

• Xây d ïn c ùc t n h ốn th ïc n hiệm ch p ép n hiên cứu mối q an h ä c ù n ân của giáo viên và h ïc sin v à đ ái tư ïn v â hạn, cũn n ư ản h ởn của mối q an h ä

th å ch á lên c ùc mối q an h ä c ù n ân này.

Đặc biệt, th ïc n hiệm có mục đích đ a vào kiểm ch ùn t n th ả đán của c ùc giả

th y át n hiên cứu sau đây Nh õn giả th y át này đ ợc hìn thàn từ k át q ả của

n hiên cứu k oa h ïc luận và n hiên cứu th å ch á.

• Giả th y át 1 (v à p ía h ïc sin ) : Tồn tại ở h ïc sin một “đ ïi số các vô cực” Nói cách kh ùc, h ïc sin giải thích n ữn mo g đ ïi của giáo viên n ư là q y àn đ ợc th ïc hiện các p ép to ùn kiểu đ ïi số trên các vô cực (th ûa th ận n ầm ẩn của h ïp đ àn did ct q e).

• Giả th y át 2 (v à p ía giáo viên) : Có một sự p ân h ùa tro g q a hệ cá n ân của giáo viên v à "đ ïi số các vô cực" Cụ thể, có một b ä p ận giáo viên kh ân ch áp n ận đ ïi số n øy, n ư g n ư ïc lại cũn có giáo viên th øa n ận sự tồn tại của n ù.

• Giả th y át 3 : Tồn tại một n óm các địn l côn n hệ g én l ền với đ ái tư ïn vô

h ïn, kh ân có mặt tro g sách giáo kh a, n ư g vẫn đ ợc vận d ïn b ûi giáo viên và h ïc sin tro g việc giải q y át các kiểu n iệm vụ v à t n giới h ïn.

4 Tổ chức của uận văn

Luận văn này đ ợc tổ ch ùc g àm n ữn p ần sau đây : Ph àn mở đ àu, ch ơ g ,

ch ơ g 2, ch ơ g 3 và p ần k át lu än ch n

Phần đ ët vấn đề trìn bày n ữn g i n ận ban đầu và n ữn c âu h ûi x ất p át Từ

đ ù, ch ùn tôi đ à x ất mục đích n hiên cứu của luận văn là t m hiểu mối q an h ä c ù

n ân của giáo viên và h ïc sin v à một tri th ùc cụ th å – k ái niệm v â hạn.

Tro g ch ơ g 1, bằn việc p ân t ch tổn h ïp từ côn trìn n hiên cứu k oa h ïc luận đã biết v à k ái niệm v â hạn, ch ùn tôi làm rõ c ùc đặc trư g k oa h ïc luận l ch sử

của k ái niệm này Đặc biệt, ch ùn tôi sẽ rút ra n ữn q an điểm v à v â hạn có th å đã từn tồn tại tro g l ch sử.

Ở ch ơ g 2 , trên cơ sở k át q ả ch ơ g 1, ch ùn tôi n hiên cứu mối q an h ä th å ch á

v ùi k ái niệm v â hạn tro g dạy h ïc Toán ở trư øn p ổ th ân Việt Nam bằn việc p ân

t ch ch ơ g trìn và sách giáo k oa Từ k át q ả của ch ơ g 1 và ch ơ g này ch ùn tôi sẽ đ a ra giả th y át n hiên cứu và n ữn th ïc n hiệm tư n ứn

Ch ơ g 3 là ch ơ g th ïc n hiệm Ch ùn tôi đ a ra hai b ä c âu h ûi, một b ä dàn ch giáo viên đã từn tham gia giản dạy toán k ối 1 , b ä còn lại dàn ch h ïc sin c û hai

k ối lớp 1 và 1 Tro g ch ơ g này, ch ùn tôi sẽ đi sâu vào p ân t ch chi t ết c ùc

th ïc n hiệm đ å từ đ ù rút ra n ữn đặc trư g của mối q an h ä c ù n ân của giáo viên và

h ïc sin v ùi k ái niệm v â hạn, cũn n ư ản h ởn của mối q an h ä th å ch á lên c ùc mối q an h ä c ù n ân này Đồn th øi q a th ïc n hiệm ch ùn tôi cũn k ẳn địn t n xác đán của giả th y át th ïc n hiệm đã n âu lên tro g ch ơ g trư ùc.

Ph àn k át lu än n âu lên một c ùch tổn q át c ùc k át q ả đạt đ ợc từ việc p ân t ch

k oa h ïc luận, từ việc p ân t ch ch ơ g trìn và sách giáo k oa tro g th å ch á dạy h ïc

ở Việt Nam, từ c ùc th ïc n hiệm dàn ch giáo viên và h ïc sin

Chương 1 ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM VÔ HẠN

• Khái niệm v â hạn x ất hiện và p át triển q a c ùc th øi kì n ư th á nào? Tro g p ạm

vi và n ữn kiểu bài toán nào?

• Nh õn đ ái tư ïn , n ữn k ái niệm toán h ïc nào có mối q an h ä v ùi k ái niệm v â hạn, đặt điều kiện hay ràn b ộc ch sự nảy sin và p át triển của n ù ?

• Nh õn q an điểm nào v à k ái niệm v â hạn đã x ất hiện? Ch ùn t ến triển ra sao? Điểm tựa ch tổn h ïp và p ân t ch này là c ùc tài l ệu [3], [6], [1 ], [1 ] – [2 ],

I Đặc trưng khoa học uận của khái niệm vô hạn

Lịch sử hìn thàn k ái niệm v â hạn đ ợc bắt đầu từ th øi Hylạp cổ đại ch đ án k i có sự ra đ øi lý th y át v â hạn của G Cantor vào cu ái th á k û XIX Lịch sử này có th å chia thàn ba giai đ ạn ch û y áu sau đây:

• Giai đ ạn 1: Từ Hy lạp cổ đại đ án th á k û XVI

• Giai đ ạn 2: Từ th á k û XVI đ án giữa th á k û XIX

• Giai đ ạn 3: Từ giữa th á k û XIX trở v à sau.

1 Giai đ ạn 1: Từ thời Hy lạp cổ đ ïi đ án thế kỷ XVI – Vô hạn tiềm năng

Ch đ án nay k ôn có một v át t ch nào của b ổi đầu n àn văn min đ à c äp h ặc bàn luận v à k ái niệm v â hạn Vì th á, c ùc n hiên cứu k oa h ïc luận đ àu bắt đầu từ

Hy lạp cổ đại Th øi kì này đán dấu sự x ất hiện của k ái niệm v â hạn tro g n iều

p ạm vi k ác n au mà ch ùn tôi sẽ đ à c äp d ới đây.

™ Ph ïm vi triết học : Anaximan re (6 0 – 5 6 TCN), một n à triết h ïc d y vật của trư øn p ái Mi et ch rằn n u àn g ác của th á giới k ôn th å là vật chất xác địn

n ư n ớc h ặc đất mà p ải là vật ch át kh ân xác địn – c ùi mà ôn g ïi là Vô hạn

( Apeiro ) Từ Apeiro này v øa chỉ v â hạn, v øa chỉ sự k ôn xác địn Ôn ch rằn

v â hạn là vĩn viễn, k ôn sin ra cũn n ư k ôn mất đi Vô hạn k ôn có bắt đầu cũn k ôn có k át th ùc Vô hạn lu ân lu ân vận đ än k ôn bao giờ n ừn n hỉ Tro g

q á trìn vận đ än mu ân th ở này th á giới sẽ đ ợc hìn thàn

Nh vậy, v ùi mo g mu án giải thích n u àn g ác của th á giới, lần đầu t ên k ái niệm

v â hạn đ ợc d øng để chỉ một d ïng vật chất không x ùc định Đó là cơ sở đầu t ên của

th á giới . Dạn vật chất này chỉ hiểu đ ợc bằn tư ûn tư ïn vì n ù là k ôn xác địn

đ ợc và rất trừu tư ïn

™ Ph ïm vi v ät lý: Liên q an đ án không gian, thời gian v ø chất l ệu có hai q an niệm trái n ư ïc n au.

Một vài trư øn p ái ch rằn k ôn gian, th øi gian và chất l ệu có th å chia n ỏ một c ùch v â hạn Với h ï, v â hạn đ ợc hiểu như một “ u ù trìn ”g én l ền v ùi việc

“chia” l ên tục, không c ù điểm kết thúc. Chín k ả năn n ận th ùc b à n oài v à sự chia n ỏ v â tận này đã mở ra ý tư ûn v à cái n ỏ vô cùn và q á trìn vô h ïn Ý tư ûn này đ ợc th å hiện rõ ràn h n tro g p ạm vi toán h ïc mà ta sẽ đ à c äp tro g p ần sau.

Tu n iên cũn có q an niệm n ư ïc lại - q a niệm n uy ân tử ch rằn k ôn gian, th øi gian và vật chất có n ữn y áu tố ban đầu k ôn th å chia n ỏ đ ợc.

Zenon (4 5 – 4 0 TCN) đã đ a ra c ùc n hịch lý n ằm vạch rõ n ữn mâu th ẫn tro g c û hai q an niệm trên.

Chẳn hạn, đ å chỉ ra t n p i lý của q an điểm l ên tục, ôn đ a ra n hịch l Achi is đ ổi rùa : n áu trư ùc k i x ất p át, Rùa ở trư ùc Achi is một k oản nào đ ù, thì

k ôn bao giờ Achi is có th å đ ổi kịp rùa Th o ôn , Achi is đã th a vì trư ùc k i v ợt

q a co rùa, Achi is p ải chạy đ án điểm x ất p át ban đầu của Rùa Nh n k i chạy

đ án ch ã đ ù thì Rùa đã đi đ ợc một đ ạn rồi và điều này có th å tái lập bao n iêu lần cũn đ ợc Nếu ta ch rằn v õ trụ và th øi gian có th å chia mãi đ án v â tận n ư q an điểm l ên tục, thì bất chấp n ữn điều này, tro g th ïc tế Achi is lu ân chiến thắn Rùa, h ặc k át th ùc b ûi việc bắt kịp Rùa, h ặc í n ất thì cũn t ến v à p ía Rùa ở mọi mức đ ä gần mà an ta mu án.

Ôn cũn đ a ra n hịch lý “ chia đ âi” đ å vạch rõ sự p i l của q an điểm n u ên tử : “ Cái gì vận đ än đến đích thì trư ùc hết p ải đi q a p ân n ûa co đ ờn đến đích ấy Còn p ân n ûa còn lại, trư ùc hết p ải đi q a p ân n ûa của p ân n ûa ấy…một cách

vô cùn ” 1 (th o [1 ] tran tr.4 ) Su ra ch y ån đ än k ôn bao giờ có th å có đ ợc

k å c û n ay từ lúc bắt đầu Nh õn n hịch lý này h àn toàn k ôn có ý địn giải q y át

n ữn mâu th ẫn của hai q an niệm trên, n ư g một mặt ch ùn ẩn ch ùa một q á trìn vô h ïn , mặt k ác ch ùn gây ra sự lo lắn ch c ùc n à toán h ïc th øi đ ù Chín vì

th á h ï đã t m c ùch lẩn trán n ữn vấn đ à l ên q an tới k ái niệm v â hạn.

™ Ph ïm vi to ùn h ïc :

Đầu t ên, ch ùn tôi mu án đ à c äp đ án l nh vực số b ûi đây đ ợc x m là l n v ïc

k ởi điểm của toán h ïc Vào th á k û I I trư ùc CN, một b ớc t ến q an trọn tro g sự

p át triển k ái niệm số tự n iên là sự n ận th ùc đ ợc t n v â hạn của dãy số này Tín v â hạn của dãy số tự n iên đ ợc hìn d n bằn việc “ ếm” c ùc số tro g dãy số tự n iên và k ôn th å “ ếm” h át đ ợc Vô hạn đ ợc hiểu q a hình ảnh nối d øi v â tận của d õy số tự nhiên . Về dãy c ùc số n u ên tố, Eucl d đã ch ùn min số lư ïn

c ùc số n u ên tố là v â hạn bằn một p ư n p áp k ø diệu – p ư n p áp p ản

ch ùn Cách ch ùn min đ ù n ư sau:

Trư ùc h át ôn giả hiết số ư ïn c ùc số n u ên ố à h õu hạn , ức à c ỉ c ù c ùc số n u ên ố sa

đ ây: 2, 3, 5, …, p.(*) ro g đ ù p à số n u ên ố ớn n ất Ôn ấy c c ûa ất c û c ùc số n u ên ố ấy rồi c än h âm 1 v ø g ïi k át q ả à A A = 2.3.5.7 p + 1

Vì A > 1 n ân A p ải c ù một ư ùc n u ên ố q n øo đ ù Dễ h áy c ùc số n u ên ố ro g (*) đ àu k ôn

p ải à ư ùc c ûa A Vậy q à số n u ên ố k ác ất c û c ùc số n u ên ố ro g (*) Điều đ ù rái v ùi giả thiết Vậy số ư ïn c ùc số n u ên ố à v â h ïn (th o [6] tran 2 ,2 ).

Ng ài việc k ẳn địn đ ợc t n v â hạn của dãy c ùc số n u ên tố, ch ùn min này còn ẩn ch ùa (ở giả thiết p ản ch ùn ) một c ùch hiểu v à v â hạn: v â hạn là phủ định của hữu hạn

Nh vậy, ở th øi điểm này, tro g p ạm vi lý th y át số, v â hạn đ ợc hiểu là cái gì đó lớn hơn tất cả các số Vô hạn là phủ định của hữu hạn.

Trở lại n ữn n hịch lý của Ze o , ta sẽ x m ch ùn đã gây ra n ữn “són gió”,

k ó k ăn gì ch toán h ïc.

Ng ịch lý “chia đ âi”: Nếu c ù h å c ét đ âi một đ ái ư ïn , b èn c ùc ặp q i rìn n øy một c ùc

v â h ïn, hì v à mặt o ùn h ïc u ân c øn ại một đ ạn n øo đ ù Ng ợc ại v à mặt v ät ý a biết rằn sẽ c ù một h øi điểm a k ôn c øn c ù h å c ét đ âi đ ợc n õa ( th o [1 ] Kh ù k ăn là ở ch ã ta k ôn

1 Trích theo “Bút ký triết học”, Lênin toàn tập, t 29, NXB Tiến bộ, M.1981, tr.272

th å trừ một số v â hạn c ùc đ ä dài n ày c øn b ù và k ó k ăn đ å q an niệm tổn này có

th å là một đại lư ïn h õu hạn.

Vào th á kỉ I I trư ùc côn n u ên, Aristot e đã n hiên cứu và đ a ra n ữn p ê

p án đ ái v ùi n hịch lý của D Ze o , chẳn hạn, v ùi n hịch lý “chia đ âi” ôn n ùi

“ kh ân gia và th øi gia có thể p ân chia đến vô h ïn,….n ư g kh ân p ải đ õ bị p ân chia đến vô h ïn 2 (th o [1 ]ø, tr.4 ) Phải chăn “ ô hạn có th å hìn d n đ ợc n ư g

n ù là “một c ùi gì đ ù kh ân b o giờ đ ït tới ”? Tu p ê p án n ư g ôn cũn ch a giải thích thấu đáo đ ợc sai lầm tro g n ữn n hịch lý có í n iều l ên q an đ án h õu hạn,

v â hạn và q á trìn v â hạn, d đ ù ôn ch rằng v â hạn chỉ tồn tại trong t ềm năng, nghĩa là chỉ tồn tại trong ý nghĩ của c n ng ời. Đó chỉ là một sự xây d ïn của trí óc

c àn thiết ch việc giải q y át n ữn vấn đ à toán h ïc mà k ôn tư n ứn v ùi một th ïc tế vật lý nào Th o ôn , ch ỗi 1 1 1 1

2 4 8

− − − −⋅⋅⋅ k ôn đ å lại một c ùi gì c û, n ay c û k i tro g th ïc tế n ù vẫn còn lại một c ùi gì đ ù rất b ù Chín kiểu su n hĩ này sau đ ù đã dẫn tới c ùch viết 1 1 1 1 0

2 4 8

− − − − ⋅⋅⋅ = Nh vậy, Aristot e x m v â hạn là “v â hạn t ềm năng”, không c ù thực

Tro g p ạm vi hình h ïc, một tro g n ữn t ếp c än đầu t ên v à v â hạn gắn l ền v ùi

n hịch l nảy sin tro g su n hĩ của n ư øi Tru g cổ Họ ch rằn một đ ờn tròn lớn

p ải có n iều điểm h n v øn tròn n ỏ, n ư g v ùi hìn v õ sau thì ch ùn lại có tư n ứn một – một.

Nếu n ư trư øn p ái Pytag re ch rằn đ ạn thẳn là tập h ïp n ữn y áu tố “ h ân chia n ỏ đ ợc”, thì Ze o đã bác b û bằn lập luận sau: “ Giả sử đ ạn h ún g àm một số v â

h ïn c ùc p ần ử k ôn c ia n ỏ đ ợc, k i đ ù n áu đ ä d øi mỗi p ần ử n øy b èn k ôn (tức mỗi p ần ử

đ ù à một điểm) hì đ ä d øi c ûa đ ạn h ún b èn k ôn Còn n áu đ ä d øi c ûa mỗi p ần ử à một đ ïi ư ïn

n øo đ ù hì đ ä d øi c ûa đ ạn h ún p ải à v â c øn ớn ” (th o [3] tr.2 ) Lập luận này một mặt

ch ùn tỏ rằn k ôn n ân địn n hĩa đ ä dài đ ạn thẳn là tổn đ ä dài c ùc p ần tử

k ôn chia n ỏ đ ợc, mặt k ác n ù cũn th å hiện q an điểm ch rằn số đ của một đ ä dài có th å n ận một giá trị rất lớn nào đ ù thật trừu tư ïn , k ôn th å chỉ ra cụ th å đ ợc.

Vô hạn đ ợc g ùn cho giá trị v â cùng lớn.

Do ản h ởn của q an niệm ch rằn có th å chia n ỏ v â tận k ôn gian, th øi gian và chất l ệu đã mở ra ý tư ûn v à cái n ỏ vô cùn và q á trìn vô h ïn Tu n iên k ái niệm v â hạn v ãn bị né tránh. Tro g tác p ẩm “Nh õn n uy ân lý cơ b ûn của Eucl d

(3 0 – 2 5TCN), chín địn n hĩa v à điểm ( điểm là cái kh ân có b ä p ận ) (th o [2 ], tr.3) đã có n ữn ý tư ûn của việc chia k ôn gian ra một c ùch v â tận Tro g một t n

h ốn k ác, Eucl d trán k ái niệm v â hạn k i địn n hĩa một đ ờn bằn c ùch n ùi rằn : khi cần thiết, đ ờn có thể k ùo d øi b o xa cũn đ ợc ) (th o [2 ], tr 3) Chẳn hạn, t ên đ à v à n ữn đ ờn thẳn so g so g cũn đ øi h ûi n ữn đ ờn này p ải đ ợc

k ùo dài v â tận Việc k ùo dài ra xa, k ùo dài v â tận chỉ có th å hiểu bằn trực giác ch ù

k ôn th å th ïc hiện đ ợc Vô hạn vẫn còn là v â hạn t ềm năn Vô hạn đ ợc hiểu một cách trực giác b èng hình ảnh ở x hai đ àu của một đ ờng thẳng.

Ar hime es cũn đã ch ïn giải p áp lẩn trán vấn đề vô h ïn bằn c ùch d øn

p ư n p áp “ ét c ïn đ å giải c ùc bài toán v à đ ä dài, diện t ch, th å t ch của c ùc hìn

đ ợc giới hạn b ûi n ữn đ ờn co g Đây là p ư n p áp đ ợc đ à x ất b ûi Eu o e

(4 8 – 3 5 TCN) d ïa trên n u ên tắc chia n ỏ v â hạn c ùc đại lư ïn : Do việc b û đi l ên

t ếp một n ûa h ặc h n của một đ ái tư ïn , mà cỡ của n ù có thể bị n ỏ d àn vô h ïn .

Ph ơ g p áp này loại trừ t n v â hạn bằn c ùch n ờ tới c ùc su luận k ùo th o một số

h õu hạn c ùc b ớc và c ùc thao tác v ùi h õu hạn Vấn đ à là ch ïn một số th ïc ε và chỉ ra rằn ta có th å giải bài toán v ùi ε này Sau đ ù chỉ ra là ta có th å giải bài toán n ờ vào một su luận tư n tự ch mọi ε b ù tùy ý Vì vậy, v ùi Archime es không có v â h ïn.

Kĩ th ật tro g p ư n p áp “ ét c ïn này đã ch ùa đ ïn n ầm ẩn tư tư ûn ch y ån

q a giới hạn, là đ än cơ th ùc đẩy c ùc n à toán h ïc địn n hĩa min bạch k ái niệm giới hạn – một k ái niệm làm n àn tản ch việc p át triển l th y át v à p ép t n vi

p ân ở th á kỉ XVI Kết luận v à điều này tro g luận văn Thạc sĩ của Ng y ãn Thàn

Lo g (2 0 ) n ư sau : Kỹ h ật c ûa p ư n p áp n øy đ õ b o h øm ý ư ûn c ûa ý h y át giới h ïn v à

sa n øy b ûi n ù c ứa đ ïn y áu ố rất q a rọn c ûa k ái niệm giới h ïn à:c ù h å m đ ợc giá rị g àn

đ ùn c ûa một đ ïi ư ïn v ùi đ ä c ín x ùc b o n iêu c õn đ ợc ( th o [1 ],tr.1 ).

Nh vậy, giới hạn là một k ái niệm gắn l ền v ùi k ái niệm v â hạn và l ên tục Tu

n iên giới hạn lúc này ch a đ ợc địn n hĩa tư øn min mà mới th å hiện n ầm ẩn q a

tư tư ûn ch y ån q a giới hạn Với k ái niệm giới hạn thì v â hạn có vai trò v øa n ư một

ch ớn n ại v øa n ư một đ än cơ Kh ân th å hiểu đ ợc k ái niệm giới hạn n áu k ôn có q an niệm th ûa đán v à v â hạn Mặt k ác, chín vì lẩn trán sự v â hạn mà

Archime es đã d øn đ án p ư n p áp “ ét kiệt” ch ùa đ ïn ý tư ûn v à giới hạn th ùc đẩy sự c àn thiết p ải có một địn n hĩa min bạch v à k ái niệm giới hạn.

Tro g th øi k ø này, đã x ất hiện sự lẫn lộn giữa hữu hạn v ø v â h ïn ở một số n à toán h ïc Đặc biệt, việc vận d ïn c ùc q i tắc của h õu hạn vào q á trìn v â hạn đã dẫn

đ án n ữn sai lầm hay n hịch l Tu n iên n ữn sai lầm và n hịch l này đã k ôn

đ ợc làm rõ bằn một lý th y át toán h ïc nào c û.

Ch ún h ïn ở h á k û V, Ant fo t đ õ giải q y át b øi o ùn cầu p ư n hìn ròn n ư sa :

“ Ta h õy n äi iếp ro g đ ờn ròn một đ giác đ àu; đ ái v ùi đ giác đ àu n øy a c ù h å b èn h ớc v ø

c mp d ïn một hìn v ôn c ù c øn diện c Bây giờ a ại n äi iếp ro g đ ờn ròn một đ giác đ àu

c ù c ïn g áp đ âi v ø d ïn hìn v ôn c ù c øn diện c v ùi n ù Nh n vì hìn ròn c ín à đ giác đ àu

v ùi số c ïn à v â h ïn, c o n ân ừ đ ù su ra a u ân u ân c ù h å d ïn hìn v ôn c ù diện c b èn diện

t c c ûa hìn ròn ” (th o [3],tr.1 ,2 ).

Nh vậy Ant fo t đã từ một mện đ à đ ùn đ ái v ùi đa giác đ àu có số c ïn h õu hạn

ch y ån thàn một mện đ à v ùi đa giác đ àu có số c ïn v â hạn, và n ay h ài đ ù lập luận của ôn đã k ôn đ ợc th øa n ận.

Với bài toán Achi is đ ổi rùa của D.Ze o : Giả sử Achi is chạy n an h n rùa 1 0 lần Nếu Achi s ở c ùch rùa 1 0 km và hai b ân cùn chạy một lúc thì lực sĩ Achi is có

đ ổi kịp rùa k ôn ? D Ze o lý giải rằn , k i Achi is chạy đ ợc 1 0 m, tức là đ án

đ ợc ch ã rùa x ất p át (R) thì rùa đã chạy đ ợc 1 m (R 1 ) Achi is chạy th âm đ ợc

1 m thì rùa đã chạy đ án R 2 c ùch R 1 là 1/1 0 km, …Do vậy giữa Achi is và rùa lu ân có

k oản c ùch và k ôn bao giờ Achi s đ ổi kịp rùa! Ng ịch l này x ất p át từ q an niệm ch rằn tổn vô h ïn sau đây k ôn th å là một số h õu hạn:

( tổn th øi gia Achi is ch ïy các q ãn đ ờn AR, RR1, R1R2,…)

Cũn tro g giai đ ạn này, n iều n à toán h ïc tro g đ ù có Aristote, đã đ ái lập k ái niệm “toàn th å”, k ái niệm “một” v ùi k ái niệm “ ô số”, k ái niệm “ ô hạn Nhiều

n hịch l mới đ ợc trìn bày đ å làm rõ k ái niệm “vô h ïn h øn đ än ” – v â hạn tồn tại

n oài tư d y – n ư là một c ùi gì p i l Chẳn hạn, su luận sau đã đ ợc đ à n hị :

Nếu ổn h å c ûa c ùc số n u ên à v â h ïn, hì ổn h å c ùc số n u ên c ẵn c õn n ư v äy Nh n c ùc số n u ên c ẵn à một b ä p ận c ûa c ùc số n u ên v ø vì o øn h å hì ớn h n b ä p ận, n ân a c ù một v â

h ïn ớn h n một v â h ïn k ác (th o [1 ]

Tất c û c ùc t ến trìn thao tác p ép t n trên c ùc v â hạn, so sán c ùc v â hạn đ àu

k ôn có n hĩa v ùi h ï, vì ch ùn dẫn tới việc x m x ùt lại n u ên tắc “ to øn thể p ải lớn

Ta cũn có th å tư ûn tư ïn v â hạn bằn p ép chia : x ùt một sợi dây n ư một sợi

g àm hai đ ạn bằn n au n ư g có v â số đ ạn n ái t ếp n au thàn sợi dây đ ù.

Tiếp th o h ï đ a “ hép đếm” vào k ái niệm v â hạn, v ùi mỗi số tự n iên, ta có th å đặt tư n ứn v ùi một số tự n iên chẵn ( n 6 2 n ) Tư n ứn này là d y n ất, mỗi số tự

n iên chỉ tư n ứn v ùi một và chỉ một số tự n iên chẵn và n ư ïc lại Do đ ù ta có một sự bằn n au v à lực lư ïn : có n iều số tự n iên n ư là số tự n iên chẵn.

Ở th á kỉ 9, cũn n ư Aristote, Tha it Ibn Qur a – một tro g n ữn n à toán h ïc lớn n ất Ảrập th øi cổ đại – đã trìn bày n ữn x m x ùt v à t n kh ân thể đếm hết của các tập vô h ïn Ôn đã viết rằn v â hạn có th å bằn h ặc gấp đ âi v â hạn (tư n ứn giữa tập số tự n iên và tập số tự n iên chẵn là một ví d ï), cũn có th å gấp ba lần v â hạn Tro g k i mà trư ùc đ ù kiểu l lẽ này đã đ ợc d øn đ å ch án lại t n v â hạn, thì bây giờ n ù lại mở ra ch ôn n ữn p ép t n mới Ôn đã cố gắn p át triển một h ä

th án toán h ïc tro g đ ù coi v â hạn như một số mà n ư øi ta có th å áp d ïn n ữn p ép

t n cổ điển n ư p ép n ân, p ép cộn , hay p ép lũy th øa Dù sao thì lý th y át này cũn k ôn th ïc sự thàn côn và chỉ một n hìn năm sau đ ù một số h ïc của v â hạn mới đ ợc thiết lập b ûi Cantor.

Vào th øi kì này, ở p ư n Tây n ư øi ta lờ đi tất c û lý th y át của Achime e và Aristote tro g một xã h äi p ải chiụ sự c n thiệp q á mạn của n à th ø (và q á có hại

ch k oa h ïc) Việc t m hiểu v à v â hạn chỉ d øn lại ở t n lý th y át của vấn đ à Phần lớn c ùc n à toán h ïc của th øi này th ờn cũn là n ữn tu sĩ n à th ø đã coi v â hạn n ư là đại diện của ch ùa S inoza viết rằn : “ Tôi cảm n ận ch ùa là vô h ïn (th o [2 ], tr.1) Desc rtes đã d øn v â hạn đ å ch ùn min sự tồn tại của ch ùa, v ùi ôn ch ùa là tồn tại mãi mãi tro g ch ùn ta và đ án v â hạn.

Dù có rất n iều k ó k ăn, một vài n à k oa h ïc đã làm việc v à mặt toán h ïc th ần túy trên v â hạn Ở th á kỉ XI I, Ro ert Gros eteste – thầy tu, n à bác h ïc n ư øi An đã

x m một vài v â hạn lớn h n c ùc v â hạn k ác và ch rằn n ư ùi ta có th å so sán

ch ùn Ví d ï tập h ïp c ùc số n u ên là v â hạn và n ù p ải lớn h n tập c ùc số n u ên chẵn, mà tập này dĩ n iên cũn là v â hạn Th o n hĩa nào đ ù, tác p ẩm của ôn cũn có ích vì ôn là n ư øi đầu t ên đã thấy rằn v â hạn có v â số c ùch k ác n au 6 0 năm trư ùc Ge rg Cantor.

2 Giai đo ïn2 : Từ th á kỷ XVI đ án giữa thế kỷ XIX- sự x ất hiện của ∞ .

Tư tư ûn của c ùc n à toán h ïc cổ Hylạp mãi đ án th á kỉ XVI mới đ ợc c ùc n à toán

h ïc Châu Âu biết đ án, k á th øa và p át triển Từ đây bắt đầu một th øi k ø mà đ à c äp

đ án k ái niệm v â hạn k ôn còn bị coi là c ám k n ư trư ùc đây.

Ng ời đầu t ên đ à c äp một c ùch có ý th ùc tới th ïc chất của v â hạn có lẽ là n à bác

h ïc vĩ đại Gal le Gal éi(1 6 – 1 4 ) Ôn đ a toàn b ä số n u ên d ơ g x áp tư n ứn từn c ëp v ùi bìn p ư n của ch ùn thì thấy ch ùn n iều n ư n au :

Nh n rõ ràn dãy bìn p ư n số tự n iên chỉ là một b ä p ận của dãy số n u ên

d ơ g Mà b ä p ận thì làm sao bằn toàn th å đ ợc G Gal lei c ûm thấy bị mê h ặc vì điều này Nh n ch đ án lúc q a đ øi ôn vẫn ch a t m ra đầu mối của vấn đ à Vào năm 1 0 ôn đ à n hị g äp số v â hạn vào n ữn k oản trốn v â cùn n ỏ Nh n ôn đã hiểu đ ợc vấn đ à là k ôn th å thao tác trên v â hạn n ư v ùi h õu hạn Ôn n ùi “ th ät là sai khi n ùi đến n ữn số (lư ïn ) vô h ïn n ư là một số lớn h n, n ỏ h n h ặc b èn với

n ữn số kh ùc ” (th o [2 ], tr.5) Bằn c ùi tài n ìn thấu mọi ch y än, ôn q ả q y át rằn v â hạn k ôn p ải là một k ái niệm p i l , n ư g đ ùn h n là n ù tuân th o một

q i tắc riên Nh n n ữn q i tắc ấy là gì thì k ôn đ ợc ôn làm rõ.

Le nard Fib nac i (1 8 –1 5 ) đã ch ùn min rằn n áu k ôn th øa n ận

n ữn số có dạn a ± b , v ùi a, b là số h õu t thì một p ư n trìn bậc ba k ôn th å giải đ ợc Số v â t x ất hiện k i giải n ữn p ư n trìn bậc ba đã đ ợc th øa n ận,

k ôn n ư trư ùc đây n ù bị x m là số kh ân ch ân chín Do đ ù n u c àu hiểu tư øn min v à số v â t và n ữn ý tư ûn v à v â hạn đã trở n ân rõ ràn h n.

Micha l Stifel (1 8 – 1 6 ) tro g q y ån sách Ari hmet ca Integra ( Phép t nh số học) của mìn x ất bản năm 1 4 , đã đ a ra n ận x ùt sau đây v à số v â t : Có n ữn số

v â vì c ún đ ợc đ a v øo ro g việc c ứn min n ữn hìn v õ hìn h ïc Nh n àm sa đ å c ún c ù

th å ồn ại đ ợc b ûi k i b ïn c á g én c o một sự biểu diễn h äp p ân hì c ún sẽ biến mất n a ập ức.

Ch ùn a k ôn h å n ém giữ c ún đ ợc Do v äy, một số v â k ôn p ải à một c n số h ïc sự, mà n ù

n èm ẩn ro g đ ùm mây c ûa v â c øn (th o [2 ], tr.5) Phải chăn c ùc số k ôn tồn tại tro g

“ iện th ïc” thì th ộc v à v â hạn? Điều này là điển hìn ch sự lộn x än tro g việc hiểu bản chất của số v â t và sự l ên h ä cơ bản của n ù v ùi v â hạn Đây cũn là điều hiển

n iên b ûi mãi ch đ án giữa th á k û 1 một lý th y át đầy đ û v à số v â t mới ra đ øi.

Jo n Wal is (1 1 -1 3 ) là một n à toán h ïc q an trọn n ất tro g th á k û 1 của

n ớc An , sau Newto Tro g tác p ẩm Ari hmet ca Inf ni orum (Số h ïc c ùc v â cùn ) của mìn , ôn đã mở rộn côn trìn của Tor icel i (1 0 -1 4 ) và của Ca al eri

(1 9 -1 4 ) v à n ữn số k ôn th å chia đ ợc bằn một b ớc n ảy vĩ đại của p ư n

p áp ch ùn min q i nạp, ôn chỉ ra rằn :

Vào năm 1 5 Wal is đ a ra ký hiệu ∞ đ å chỉ v â hạn Đây là số 8 nằm n an mà

k i v õ ta có th å v õ mãi k ôn bao giờ k át th ùc, n ù biểu thị một đ ờn co g vô tận . Ký hiệu này n ay lập tức trở n ân n åi t ến và mặc n iên đ ợc sử d ïn k i n hiên cứu giải

t ch Th ïc ra, kí hiệu ∞ đã đ ợc sử d ïn b ûi n ư øi La Mã đ å chỉ 1 0 và sau đ ù h ï

d øn đ å chỉ một số rất lớn Với h ï ∞ là số lớn h n tất cả các số Phải chăn k i lấy lại

kí hiệu này Jo n Wal s cũn có ý q an niệm v à v â hạn giốn n ư øi La Mã?

Th á k û 1 đã đán dấu bằn sự ra đ øi của p ư n p áp tọa đ ä đ ợc đ à x ất và

n hiên cứu b ûi Fermat (1 0 – 1 6 ) và Desc rtes (1 9 – 1 5 ) Đây là p ư n p áp

d øn đ å ch y ån đ åi c ùc vấn đ à hìn h ïc san p ạm vi số Bằn c ùch đ a vào c ùc số,

k ái niệm v â hạn đã đ ợc đ a vào.

Từ giữa th á k û XVI ch đ án cu ái th á k û XVI I, toán h ïc đã có n ữn t ến b ä q an trọn v à mặt lý th y át Đầu t ên là sự ra đ øi và p át triển của p ép t n v â cùn b ù đã

đ ợc Newto và Leib i z h ä th án h á Qua n ûa đầu th á k û 1 , một p ân môn mới của toán h ïc ra đ øi : Giải tích, đ ợc đán dấu b ûi sự sát n ập v â cùn chặt ch õ của p ép

t n v â cùn b ù và đại số Phần lớn n ữn k át q ả của th øi k ø này th ộc v à n ư øi

k ổn lồ Euler và Lagran e Ng ời ta bắt đầu nắm đ ợc việc c ét n ỏ c ùc đại lư ïn

n ày c øn b ù và t n tổn của ch ùn Điều này d øn ch việc t n diện t ch và th å t ch : Đó là p ép t n t ch p ân Phải chăn v â hạn đã đ ợc th ần h ùa từ đ ù? Tu n iên vì mải th o đ ổi n ữn p ép t n mới n ân c ùc n à toán h ïc n ư Newto , Leib i z, an

em n à Bern ul i, Euler và n ữn n ư øi k ác đã í q an tâm đ án bất k ø lý th y át nào

v à giới hạn và c ùi v â hạn Khái niệm v â hạn đã x ất hiện tư øn min n ư g sự xu át hiện của ∞ tro g t n to ùn vẫn có thể bị q i th øn n hịch lý Chẳn hạn

Xét hai ch ỗi đ ợc Euler n hiên cứu:

2

1

1 2 3 4 (*) ( x 1) = − x + x − x

Kiểu của n ữn sự ư ùc t n rất th ân d ïn tro g n àn giải t ch hiện nay n ư g

th øi đ ù đ ợc n ư øi ta g ïi là n hịch lý Bằn việc thay th á x = -1 tro g (* ) Euler cũn đã n ận thấy:

Bolzano (1 8 –1 4 ) ch rằn v â hạn v ø hữu h ïn có v i trò như nha Ôn cũn là n ư øi đầu t ên bảo v ä ý kiến th o đ ù v â hạn có th å đ ợc đ a vào t n toán tro g toán

h ïc, đặc biệt là tro g t n toán v â cùn b ù Nh n năm 1 3 – Carl Fre erich Ga s

(1 7 – 1 5 ) đã k ôn đ àn ý v ùi ý kiến này: “ Tôi p ản đ ái việc d øn một số v â c ïc n ư à một đ ái ư ïn h ïc sự; Điều n øy à k ôn b o giờ đ ợc c o p ép ro g o ùn h ïc Vô c ïc c ỉ à c ùc n ùi mà ro g c ùc n ùi n øy c ù một c ùc n ùi v à n ữn giới h ïn à đ ùn đ én, c ắc c ắn đ ù à n ữn số c ù

th å đ ït đ ợc g àn b èn n ư mo g mu án, ro g k i đ ù, n ữn c ùc n ùi k ác hì đ ợc c o p ép ăn ên mà

k ôn c ù biên giới ” (th o[2 ],tr.1 ).Nh vậy có th å hiểu rằn v â hạn t ềm năn chỉ là

c ùch n ùi, k ôn tồn tại tro g th á giới vật lý.

3 Giai đo ïn 3 : Từ giữa th á kỷ XIX trở v à sa – Vô hạn h ønh đ äng

Vấn đ à v à ch ỗi lư ïn giác đã đ ợc đ à c äp đ án ở th á k û 1 b ûi Euler, D’Alemb rt, Clairaut và Daniel Bern ul i Tu n iên việc biểu diễn hàm số bằn một ch ỗi lư ïn giác là vấn đ à gây ra sự tran c õi lâu dài Mãi ch đ án đầu th á k û 1 , vấn đ à này mới

đ ợc J Fo rier (1 6 – 1 3 ) giải q y át cùn v ùi sự hìn thàn lý th y át v à ch ỗi

Fo rier Ôn đã ch rằn mọi hàm số đ àu có th å biểu diễn đ ợc b ûi một ch ỗi lư ïn giác ( ch ù ý là Fo rier x m h øm số theo n hĩa hẹp h n n iều so với ch ùn ta n ày n y Theo ôn , một h øm số là h øm l ên tục từn mản , diễn tả b èn một số h õu h ïn n ữn mản h øm p ân t ch đ ợc) (th o [2 ] tr.1 ) Nh n c âu h ûi của n ày đ ù và cũn n ư trư ùc đây đã đặt ra là: Ph ân lo ïi n ữn h øm số mà ch ỗi Fo rier của n ù h äi tụ Câu h ûi

đ n giản này đã có một tác đ än sâu sắc đ ái v ùi sự p át triển của giải t ch và th o một

n hĩa nào đ ù n ù bắt b ộc sự chín xác trên n iều vấn đ à, đầu t ên là n ữn tư tư ûn của sự l ên tục, rồi đ án sự địn n hĩa v à số, và cu ái cùn là k ái niệm tập h ïp Điều này tự n ù đã b ộc c ùc n à toán h ïc điều chỉn trở lại k ái niệm v â hạn – đ ù p ải là v â hạn h ønh đ äng. Phải chăn đây chín là n u àn g ác của v â hạn?.

Đón g ùp của De ekind tro g việc n hiên cứu vấn đ à v â hạn hàn đ än có n u àn

g ác từ côn trìn của ôn v à so sán hai tập h ïp Ôn đã k ẳn địn rằn t ên đ à

“ To øn thể thì lớn h n b ä p ận k ôn p ải lúc nào cũn đ ùn Ôn cũn là n ư øi đã

đ a ra k ái niệm tư n ứn một–một (so g án ) Từ k ái niệm này mà Ge rg Cantor (1 4 – 1 1 )–h ïc trò của De e in –đã tấn côn th ïc sự vào vấn đ à v â hạn.

Ng iên cứu x ất sắc của G.Cantor bắt đầu từ năm 1 7 Ôn đã dàn th øi gian và sự n ã lực của mìn đ ái v ùi n ữn k ía c ïn th ộc lý th y át tập h ïp Trên cơ sở k ái niệm tư n ứn một – một, ôn địn n hĩa :

Một tập hợp là v â hạn nếu c ù một song ánh từ nó tới một trong các tập c n của nó Chẳn hạn, tập c ùc số tự n iên là v â hạn vì có một so g án giữa n ù và tập c ùc số tự n iên chẵn ( n 6 2 n ) Đây là một tro g n ữn ví d ï ch ùn tỏ rằn t ên đ à b ä p ận – toàn th å k ôn p ải lu ân đ ùn

Nh vậy k ái niệm v â hạn đã k ôn đ ợc địn n hĩa một c ùch đ äc lập mà lu ân gắn

l ền v ùi k ái niệm tập h ïp, k ái niệm so g án Cũn giốn n ư địn n hĩa p ư n trìn gắn v ùi k ái niệm đ ún th ùc

Với p ư n p áp lập tư n ứn một – một, Cantor đã ch ùn min đ ợc:

• Tập h ïp c ùc số h õu t là tư n ứn một – một v ùi tập c ùc số tự n iên.

• Giữa tập {0;1] và tập c ùc số tự n iên k ôn tồn tại một tư n ứn một – một Do

đ ù, tập h ïp số th ïc k ôn th å đặt tư n ứn một – một v ùi tập số tự n iên.

Cantor g ïi hai tập h ïp mà giữa c ùc p ần tử của ch ùn có th å lập đ ợc tư n ứn một – một là h i tập h ïp tư n đ ơ g. Năm 1 7 , ôn lại đ a ra k ái niệm lực lư ïn của tập h ïp (th ờn g ïi là b ûn số của tập h ïp) Ôn địn n hĩa lực lư ïn của tập h ïp là cái ch n ch tất c û c ùc tập h ïp tư n đ ơ g v ùi tập đã ch Do đ ù, hai tập h ïp

tư n đ ơ g thì có cùn lực lư ïn Quan điểm lực lư ïn ch một sự diễn tả kích cỡ của một tập h ïp.

Tiếp đ ù, ôn k ù hiệu ℵ 0 (ale – k ôn ) là bản số của tập ` ( alep là mẫu tự đ àu t ên của t ến Hêbrơ ) Việc đặt tên bản số của ` mở ra một co đ ờn vào số h ïc của v â hạn cũn n ư việc t m ra số kh ân (0) đã mở đ ờn vào p ép t n Vô hạn giờ đ ây có

th å hiểu là lực lượng của một tập h ïp v â hạn. Khái niệm v â hạn đã c ùch mạn h ùa

c ùc k ái niệm trư ùc, d từ nay v â hạn đ ợc x û l n ư là một tổn th å : Đó là v â h ïn hành động.

Xuất p át từ n ữn k ái niệm đ n giản: tập h ïp v â hạn, hai tập h ïp tư n đ ơ g, lực lư ïn của tập h ïp, ale – k ôn , Cantor đã xây d ïn số h ïc “siêu h ïn”

(transfini) th ật n ữ này d chín ôn đ a ra).

Câu h ûi mà ôn đặt ra t ếp th o là có tập h ïp mà lực lượng của nó lớn hơn lực lượng ℵ 0 của tập số tự nhiên kh âng

Xuất p át từ tập P có n p ần tử, ta có số tập co của P là 2 n Lại lấy 2 n tập h ïp co này làm c ùc p ần tử của tập h ïp mà ch ùn ta g ïi là tập h ïp số mũ của tập P Nh vậy lực lư ïn của tập h ïp số mũ là 2 n Ta mở rộn số p ần tử của P là v â hạn có lực lư ïn là ℵ 0 , thì lực lư ïn của tập số mũ của n ù cũn có th å viết một c ùch hìn th ùc là 2 ℵ 0 Vào năm 1 7 , G.Cantor đã ch ùn min đ ợc 0

0

2 ℵ > ℵ Nh vậy ch ùn ta đã đ ợc một số 2 ℵ 0 lớn h n ℵ 0 , Cantor k ù hiệu là ℵ 1 Cứ t ếp tục d øn p ư n p áp t m tập h ïp số mũ, ch ùn ta lại n ận đ ợc n ữn lực lư ïn v â hạn ℵ ℵ 2 , 3 lớn h n ℵ 1 Việc làm này của Cantor k ôn n ữn đã ch ùn tỏ rằn tồn tại n iều tập h ïp có lực lư ïn lớn h n 0

ℵ mà còn chỉ rõ c ùch t m ra n ữn tập h ïp này Kết q ả của q i trìn này là một “ ia tộc alep đ ợc tạo ra:

0 , 1 , 2 , 3 ,

tro g đ ù đ øi th ù n ất ℵ 0 là v â hạn đ ám đ ợc, và đ øi th ù hai ℵ 1 sau này đ ợc ôn xác địn là lực lư ïn của tập số th ïc – v â hạn k ôn đ ám đ ợc Nh vậy Cantor đã

k ốn ch á hai c áp bậc của v â hạn đ ù là: v â hạn đ ám đ ợc và v â hạn k ôn đ ám đ ợc Tiếp đ án, một c âu h ûi đ ợc Cantor đặt ra là có tồn tại một tập hợp có lực lượng lớn h n ℵ 0 như g nhỏ h n ℵ 1 không Ôn bắt đầu t m một tập h ïp có lực lư ïn ở giữa hai tập h ïp này (th ờn g ïi là giả thiết Cantor n ư g ch đ án lúc q a đ øi ôn cũn ch a t m đ ợc một tập h ïp nào n ư vậy Vấn đ à này đã đ ợc làm rõ b ûi Kurt

Go el vào năm 1 3 và Pa l Co en vào năm 1 6 Go el th øa n ận giữa tập h ïp

đ ám đ ợc và tập h ïp co t n m (k ôn đ ám đ ợc) có tồn tại một tập h ïp tru g gia h y

kh ân cũn k ôn h à mâu th ẫn v ùi h ä t ên đ à của lý th y át tập h ïp Còn P Co e lại

ch ùn min đ ợc rằn giữa tập h ïp đ ám đ ợc và tập h ïp co t n m kh ân thể ch ùn min có tồn tại một tập h ïp tru g gian mà cũn kh ân b ùc b û đ ợc giả th y át n øy. Vậy

n ư øi ta có th å trả lời “có” h ặc “ h ân ” ch c âu h ûi trên Do vậy, tùy th ộc vào việc

n ư øi ta x m giả th y át này đ ùn hay sai mà h ï sẽ tạo ra n ữn lý th y át to ùn h ïc kh ùc

n a Vì th á, n ư øi ta k ôn th å th ần h á c ùc v â hạn n ờ vào một số h õu hạn c ùc t ên

đ à của lý th y át tập h ïp Vô hạn th ïc sự là k ôn th å ch á n ự đ ợc, n ù là một th á giới

“ g ân cu àn ”!

I I Kết Luận

Ng iên cứu trên đã ch p ép làm rõ một số đặc trư g k oa h ïc luận của k ái niệm

v â hạn Ch ùn tôi điểm lại d ới đây n ữn k át q ả chín của n hiên cứu này.

1 Các giai đoạn nảy sinh và phát triển

Khái niệm v â hạn đã x ất hiện và p át triển th o ba giai đ ạn.

¾ Giai đ ạn 1 (từ Hy lạp cổ đ ïi đến thế k û XVI )

Vô hạn tro g giai đ ạn này là v â hạn t ềm năn , tức chỉ tồn tại tro g su n hĩ, tro g trí tư ûn tư ïn của co n ư øi Do vậy, n ù là một c ùi gì đ ù k ôn th å hiểu đ ợc một

c ùch rõ ràn , k ôn th å đạt tới.

Tu n iên, q an niệm coi v â hạn là v â hạn hàn đ än cũn đã bắt đầu x ất hiện,

n ư g ch a đ ợc n hiên cứu một c ùch bản chất, vì th á n ù k ôn có sức th y át p ục.

¾ Giai đ ạn 2 (từ thế k û XVI đến giữa thế k û XIX)

Cùn v ùi sự p át triển của c ùc n àn toán h ïc k ác n au n ư hìn h ïc giải t ch, giải t ch, v â hạn đã đ ợc th ần h ùa Nó k ôn còn là một k ái niệm chỉ tồn tại tro g tư

d y n õa Vô hạn đã đ ợc g ïi tên và có kí hiệu, đ ợc x û d ïn rộn rãi tro g q á trìn

t n toán giải t ch Tu n iên, v â hạn vẫn ch a đ ợc địn n hĩa, ch a p ải là đ ái tư ïn

n hiên cứu của toán h ïc n ân n ù lấy cơ ch á của một k ái niệm gần toán (paramath mat q e).

¾ Giai đ ạn 3 (từ giữa thế k û XIX trở v à sa )

Đến giai đ ạn này, v â hạn chín th ùc có cơ ch á của một k ái niệm toán h ïc Nó

v øa là đ ái tư ïn , v øa là côn cụ của h ạt đ än toán h ïc Nó đ ợc địn n hĩa n ờ vào

k ái niệm tư n ứn 1 - 1, n ư g k ôn ở dạn đ äc lập mà lu ân gắn l ền v ùi địn

n hĩa k ái niệm Tập h ïp vô h ïn

2 Phạm vi tác động và các b øi toán chủ y áu c ù l ên q an

Triết h ïc : Khi giải thích n u àn g ác của th á giới th o q an điểm d y vật, n à triết

h ïc An xima dre đã x m v â hạn ( Apeiro ) là một dạn vật chất k ôn cụ th å, k ôn xác địn c áu tạo n ân th á giới Nh vậy, k ởi đầu v â hạn là một k ái niệm rất trừu

tư ïn , chỉ tồn tại tro g su n hĩ của co n ư øi.

Vật l : Hai k ái niệm th øi gian và k ôn gian tro g vật lý cũn gắn l ền v ùi v â hạn Th øi gian có th å chia n ỏ v â tận Kh ân gian, v õ trụ thì rộn lớn, bao la Chín ý

tư ûn v à sự chia n ỏ đã làm nảy sin k ái niệm v â cùn b ù, nảy sin q á trìn v â hạn,

l ên tục g ùp p ần ch sự p át triển của b ä môn giải t ch sau này.

To ùn học :

• Trư ùc h át, tro g p ạm vi lý th y át số,ø bài toán v à sự k ôn tồn tại số n u ên tố lớn n ất đ ợc ch ùn min b ûi Eucl d Ch ùn min này k ẳn địn đ ợc số c ùc số

n u ên tố là v â hạn Cũn n ư th á, việc n ận th ùc đ ợc t n v â hạn của dãy số tự

n iên đã đ a đ án một hìn ản trực q an v à v â hạn, v â hạn là k ôn có giới hạn, là

p ủ địn của h õu hạn.

• Việc vận d ïn v â t n n ữn q i tắc của h õu hạn vào q á trìn v â hạn đã dẫn đ án một số n hịch lý Ta có th å k å n ữn n hịch lý tro g bài toán c àu p ư n hìn tròn của Ant fo t, bài toán Achi is đ ổi rùa của Ze o Một tro g n ữn n u ên tắc c ûn trở sự

ra đ øi của một vô h ïn h øn đ än đ ù là n u ên tắc “ to øn thể thì lớn h n b ä p ận Tu

n iên, mầm mốn của v â hạn hàn đ än cũn x ất hiện q a việc một số n à toán h ïc đã n ận th ùc đ ợc tồn tại n iều v â hạn, đã cố gắn p át triển một h ä th án toán h ïc tro g đ ù có sự tham gia của v â hạn.

• Sự tồn tại của số vô t đ ợc th øa n ận k i giải một số p ư n trìn bậc ba đã tạo

cơ h äi ch việc làm rõ mối l ên h ä của n ù v ùi v â hạn th ân q a việc biểu diễn thập

p ân của n ữn số v â t này.

• Đến th á kỉ XVI , v â hạn đã có kí hiệu, và k ôn th å thiếu tro g c ùc bài toán th ộc

p ạm vi giải t ch v à giới hạn, l ên tục, vi p ân, t ch p ân Bất chấp sự có mặt đ ù, một địn n hĩa và một h ä th án c ùc q i tắc v à v â hạn đã k ôn đ ợc đặt ra.

• Bài toán p ân loại n ữn hàm số mà ch ỗi Fo rier của n ù h äi tụ là c ên n u ên

ch việc dẫn tới hìn thàn lý th y át tập h ïp De e in đã k ẳn địn rằn t ên đ à

“ to øn thể thì lớn h n b ä p ận k ôn p ải lúc nào cũn đ ùn

• Ge rg Cantor đã xây d ïn một số h ïc v à vô h ïn trên n àn tản v õn chắc: lý

th y át tập h ïp Trư ùc t ên, d ïa vào tư n ứn một – một, ôn địn n hĩa một tập h ïp là v â hạn n áu có một tư n ứn một – một từ n ù đ án tập co của n ù Ôn đã ch ùn min tập số tự n iên là v â hạn và g ïi lực lư ïn của N là ℵ 0 (ale - k ôn ) Tiếp th o ôn cũn đã t m c ùch xác địn lực lư ïn của tập c ùc số n u ên, tập số h õu t , tập số

th ïc Sau đ ù, trên n u ên tắc lấy n ữn tập co của một tập v â hạn làm p ần tử ch một tập h ïp mới ôn đã ch ùn min đ ợc tập h ïp mới này cũn v â hạn và có lực lư ïn là siêu h ïn – tra sf ni Hơ n õa ôn còn ch ùn min đ ợc lực lư ïn của tập c ùc điểm trên đ ờn thẳn , lực lư ïn của tập số th ïc là ℵ 1 > ℵ 0 Cứ t ếp tục n ư th á, một than bậc của v â hạn đã đ ợc xây d ïn d ïa trên n u ên tắc này và ℵ 0 là v â hạn n ỏ n ất có

th å có Nh vậy, v â hạn đ ợc x m x ùt từ bản chất – một vô h ïn h øn đ än

• Sau k i k ốn ch á đ ợc hai c áp bậc của v â hạn : vô h ïn đếm đ ợc ℵ 0 và vô h ïn

kh ân đếm đ ợc ℵ 1 , Cantor đã đặt vấn đ à: l ệu có tồn tại một lực lư ïn v â hạn ở giữa 0

ℵ và ℵ 1 ? Oân p ỏn đ án rằn k ôn tồn tại lực lư ïn n ư th á Vấn đ à này sau đ ù

đ ợc t ếp tục n hiên cứu b ûi c ùc n à toán h ïc và n iều lý th y át toán h ïc k ác n au đã đ ợc hìn thàn

3 Những q an điểm về v â hạn

Bằn sự p ân ch v ø ổn h ïp, ch ùn ôi rút ra đ ợc n ữn q a điểm k ác n a v à v â

h ïn:

ƒ Vô h ïn chỉ một d ïn vật ch át kh ân xác địn ù là cơ sở đ àu t ên của thế giới.

ƒ Vô h ïn đ ái với các số là một “ ố” lớn h n tất cả các số.

ƒ Vô h ïn là một “q á trìn ” l ên tục, kh ân có điểm k át th ùc.

ƒ Vô h ïn là p ủ địn của h õu h ïn.

ƒ Vô h ïn là một cái gì đ ù kh ân có b ø, mên môn , vư ït q a tất cả n ữn giới h ïn đ õ biết, kh ân xác địn đ ợc ra h giới.

ƒ Vô h ïn đ ợc hiểu một cách trực giác b èn hìn ản ở xa h i đ àu của một đ ờn th ún

ƒ Vô h ïn là đ ïi lư ïn d øn để chỉ lực lư ïn của một tập h ïp vô h ïn.

4 Các đối tượng c ù l ên q an

Sự nảy sin và p át triển của k ái niệm v â hạn gắn l ền v ùi c ùc k ái niệm k ác

p át triển đ àn th øi v ùi n ù.

Trư ùc h át, k ái niệm đầu t ên p ải k å đ án là k ái niệm giới h ïn Lịch sử của k ái niệm này gắn b ù mật thiết v ùi l ch sử của v â hạn Chín vì sự d d ï k i sử d ïn v â hạn tro g toán h ïc đã k iến n ư øi Hy lạp t m đ án p ư n p áp v ùt c ïn – một p ư n p áp đã ch ùa đ ïn y áu tố q an trọn của k ái niệm giới hạn là: có thể t m đ ợc giá trị g àn

đ ùn của một đ ïi lư ïn với đ ä chín xác b o n iêu cũn đ ợc. Ng ợc lại, k ôn th å hiểu đ ợc k ái niệm giới hạn n áu k ôn có một q an niệm th ûa đán v à v â hạn.

Do ản h ởn của q an niệm ch rằn có th å chia n ỏ v â tận k ôn gian, th øi gian và chất l ệu đã nảy sin ý tư ûn v à cái vô cùn bé, q á trìn vô h ïn, q á trìn l ên tục Sau này, tro g sự p át triển rực rỡ của giải t ch k ôn th å k ôn n ùi đ án sự tồn tại và

p át triển của k ái niệm l ên tục, v â cùn lớn, v â cùn b ù.

Tro g p ạm vi lý th y át số, sự kiện côn n ận việc tồn tại h ïp lý của số v â t đã bắt

b ộc p ải làm rõ k ái niệm v â hạn.

Vấn đ à p ân loại n ữn hàm số mà ch ỗi Fo rier của n ù h äi tụ đã có một tác đ än sâu sắc đ ái v ùi sự p át triển của giải t ch và th o một n hĩa nào đ ù n ù bắt b ộc sự chín xác trên n iều vấn đ à, đầu t ên là n ữn tư tư ûn của sự l ên tục, rồi đ án địn

n hĩa v à số, và cu ái cùn là lý th y át tập h ïp Vì th á, k ái niệm v â hạn cũn đ øi h ûi

đ ợc x m x ùt từ bản chất Tro g lý th y át tập h ïp, n ữn k ái niệm có q a hệ đ ëc biệt mật thiết v ùi k ái niệm v â hạn là k ái niệm tư n ứn một – một , k ái niệm đếm

đ ợc , k ái niệm lực lư ïn và k ái niệm tập co của một tập h ïp.

Bảng tóm tắt

Bản tóm tắt sau đây ch p ép thấy rõ h n sự nảy sin và t ến triển của k ái niệm

v â hạn q a c ùc th øi kì l ch sử k ác n au.

Ph ïm vi tác đ äng Các đ ái tư ïng ên q a Giai đ ạn

ƒ Tập số ự n iên, số n u ên ố.

ƒ Ng y ân ắc: b ä p ận–to øn h å.

ƒ Kh ân gia , th øi gia , c ất

l ệu.

ƒ Điểm, đ ờn h ún

Giai đ ạn

1 ( Hy ạp c å

n ỏ v â h ïn h ặc k ôn h å c ia n ỏ).

ƒ Nh än h ùc v à sự v â h ïn c ûa ập số ự n iên.

ƒ Ch ùn min số c ùc số n u ên ố à v â h ïn

b èn p ư n p áp p ản c ứn

ƒ Địn n hĩa điểm, đ ờn h ún c ûa Eu l d.

ƒ So sán số c ùc số n u ên v ø số c ùc số

n u ên c ẵn; đ a “ p ép đ ám” v øo k ái niệm

v â h ïn (đ ët ư n ứn giữa ập số ự n iên v ùi tập số ự n iên c ẵn); c ứn min c ù n iều

“ iểu v â h ïn.

Tiền to ùn

h ïc (protomath ù mat q e):

ƒ Cái k ôn c ù giới

h ïn, là p ủ địn c ûa

ƒ Biểu diễn h äp p ân c ûa số v â

ƒ Cắt n ỏ c ùc đ ïi ư ïn n ày c øn b ù v ø n tổn c ûa c ún

t q e)

- Có tên, kí hiệu,

- Ch a c ù địn n hĩa

3

(Giữa thế kỷ XIX rở về sau)

ƒ Ph ân o ïi n ữn h øm số mà c u ãi Fo rier

c ûa n ù h äi tụ - n u àn g ác c ûa sự x ất hiện

k ái niệm ập h ïp.

ƒ So sán ực ư ïn giữa c ùc ập v â h ïn số tự n iên, số h õu , số h ïc,…

ƒ Xây d ïn một h ï c ùc alép b èn việc x ùt ập

c ùc ập c n c ûa một ập v â h ïn.

To ùn h ïc

- Có ên v ø địn n hĩa.

- Côn c ï

tư øn min -Đối tư ïn

n hiên c ùu

Vô h ïn h øn đ äng

ƒ Đại lư ïn d øn đ å

c ỉ lực ư ïn c ûa một tập h ïp v â h ïn.

Chương 2 MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM VÔ HẠN

I Mục đích phân tích

Mục đích của ch ơ g này là n hiên cứu mối q an h ä th å ch á v ùi k ái niệm v â hạn tro g dạy h ïc toán ở trư øn p ổ th ân th ân q a p ân t ch ch ơ g trìn , sách giáo

k oa (SGK) và sách giáo viên (SGV) Cụ th å, trên cơ sở n hiên cứu k oa h ïc luận ở

ch ơ g trư ùc, ch ùn tôi sẽ t m c âu trả lời ch n ữn c âu h ûi chín sau đây :

• Khái niệm v â hạn x ất hiện và t ến triển ra sao tro g th å ch á dạy h ïc toán ở trư øn p ổ th ân ? Nó x ất hiện tro g n ữn p ạm vi, n ữn t n h ốn và bài toán nào?Đặc trư g của n ù? Mối q an h ä nào đ ợc thiết lập giữa n ù v ùi c ùc đ ái tư ïn k ác

• Có n ữn c ùch hiểu nào v à v â hạn ? Nh õn t n h ốn ch p ép nảy sin n ữn

c ùch hiểu ấy ?

Ph ân tích trên dựa v øo các tài l ệu sa đây :

• Toán 6 – tập 2– Lê Hải Châu, Ng y ãn gia Cốc, Phạm Gia Đức, NXBGD 2 0

• Đại số 7 – Hoàn Xuân Sín , Ng y ãn Tiến Tài, NXBGD 2 0

• Hìn h ïc 9 – Ng y ãn Bá Kim, Trần Kiều, NXBGD 2 0

• Đại số 1 – Trần Văn Hạo, Cam Du Lễ, NXBGD 2 0

• Đại số và giải t ch 1 – Trần Văn Hạo, Cam Du Lễ, Ng â Th ùc Lan , Ng â Xuân

Sơ , Vũ Tuấn, NXBGD 2 0

• Tài l ệu h ớn dẫn giản dạy Toán c ùc k ối lớp, mà ch ùn tôi g ïi tắt là sách giáo viên (SGV).

I Sự xuất hiện và tiến triển của khái niệm vô hạn tro g chương trình và sách giáo kho Việt nam

Bản thân k ái niệm v â hạn k ôn p ải là đ ái tư ïn n hiên cứu tro g h ä th án dạy

h ïc toán ở trư øn p ổ th ân Nh n n ù lại tác đ än n ầm ẩn hay tư øn min tro g việc h ïc tập n iều n äi d n k ác n au Nói c ùch k ác, tùy từn c áp đ ä mà n ù sẽ lấy cơ

ch á của một k ái niệm t ền toán h ïc (protomath ùmat q e) hay c än toán h ïc (paramath ùmat q e).

Quả th ïc, tro g ch ơ g trìn của cu ái c áp t ểu h ïc và đầu c áp THCS n ù đã n ẩm ẩn tro g c ùch xây d ïn và h àn chỉn h ä th án số Tro g ch ơ g trìn lớp 9, v â hạn và

k ái niệm giới hạn cùn hiện diện n ầm ẩn tro g địn n hĩa đ ä dài đ ờn tròn và diện

t ch hìn tròn Đến c áp PTTH, n áu ở lớp 0 v â hạn x ất hiện n ầm ẩn q a một số kí hiệu tro g việc h ïc tập c ùc y áu tố của l th y át tập h ïp và hàm số, thì ở ch ơ g trìn toán lớp 1 , n ù x ất hiện tư øn min và đ ùn vai trò q an trọn tro g việc h ïc c ùc vấn

đ à l ên q an đ án giới hạn Bất chấp n ữn điều đ ù, ch ơ g trìn đã k ôn đặt ra vấn

đ à v â hạn.

Tro g p ần này ch ùn tôi mu án làm rõ c ùch x ất hiện của k ái niệm v â hạn và k ù hiệu ∞ tro g SGK hiện hàn của Việt nam.

1 Vô hạn trong tình huống xây dựng hệ thống số (phạm vi số)

a. Co đ ờn xây d ïn c ùc h ä th án số ở trư øn p ổ th ân đ ợc x ất p át từ h ä

th án số tự n iên ` , q a h ä th án số h õu t k ôn âm _ + Cũn từ ` , h ä th án c ùc số n u ên ] đ ợc hìn thàn , t ếp sau là h ä th án số h õu t _ và cu ái cùn là tập c ùc số th ïc \ Sự xây d ïn th o kiểu mở rộn này đ ợc tóm tắt th o sơ đ à sau:

• Ở đầu c áp t ểu h ïc, ch ơ g trìn toán của c ùc lớp 1, 2, 3 đã n hiên cứu v à số tự

n iên tro g p ạm vi h õu hạn (lớp 1: p ạm vi 1 ; lớp 2: p ạm vi 1 0; lớp 3: p ạm vi

1 0 ) Điều đán lư ý là SGK có giới thiệu c ùch biểu diễn n ữn số này trên t a số.

Nh vậy ở c áp bậc này, vấn đ à là làm toán trên h õu hạn n ữn số tự n iên Số lớn n ất có th å chỉ là 1 0 và sẽ tư d y th o kiểu “ ữu hạn

Tu n iên, sau k i trìn bày “ số có n iều ch õ số ”, SGK toán lớp 4 đã giới thiệu dãy

c ùc số tự n iên th o c ùch n ư sau :

- Các số 0, 1, 2, 3, 4, …, 9, 1 , 1 , 1 , à c ùc số ự n iên.

- Có h å biểu diễn c ùc số ự n iên rên a số, c ẳn h ïn: (Vẽ hìn ra g 2 – To ùn 4)

- Mỗi số ự n iên ứn v ùi một điểm rên a số.

- S á 0 ứn v ùi điểm g ác c ûa a.

- Từ điểm g ác , kéo d øi mãi ia số , a đ ợc c ùc điểm biểu hị c ùc số c øn ớn.

- Th âm 1 v øo b át kì số ự n iên n øo ta c õn đ ợc số ự n iên ền sa số đ ù.

- Không c ù số ự n iên ớn n ất ; S á 0 à số ự n iên b ù n ất [SGK4, r.2 ]

Nh vậy, dãy số tự n iên trư ùc t ên đ ợc giới thiệu q a đại diện một vài số mà h ïc sin đã làm q e trư ùc đây n ư g bây giờ mới có tên g ïi ch n Sau đ ù, so g so g v ùi

việc biểu diễn c ùc số tự n iên trên t a số, một số t n chất đặc trư g ch tập số tự n iên đã đ ợc n âu ra.

Đặc biệt, hai cụm từ “ k ùo d øi mãi t a số ” ; “ Kh ân có số tự n iên lớn n ất ” ch một

ý niệm đầu t ên v à k ái niệm v â hạn :

Vô hạn thể hiện q a hìn ảnh kéo d øi mãi của d õy các số tự nhiên và kéo d øi mãi của t a số

• Phân số (v à bản chất là tập c ùc số h õu t d ơ g), đ ợc n hiên cứu ở ch ơ g trìn toán c ùc lớp 4 và 5.

Đặc biệt, ch ơ g trìn toán lớp 5 có đ à c äp k ái niệm Số thập p ân h õu hạn Khi

n hiên cứu v à số thập p ân ở lớp 6, th ật n ữ “ v â hạn ” lần đầu t ên x ất hiện một

c ùch tư øn min , n ư g k ôn đ äc lập mà lu ân gắn v ùi cụm từ “ số th äp p ân v â hạn

tu àn h àn Cụm từ này nảy sin tro g t n h ốn biểu diễn một p ân số thàn một số thập

p ân SGK đã viết :

“ Ng ài c ùc h øa số n u ên ố 2 v ø 5 mà mẫu c ûa p ân số c øn c ứa h øa số n u ên ố k ác hì p ân số đ ù c ỉ biểu diễn d ới d ïn số h äp p ận v â hạn u àn h àn ” [SGK 6, tr 6 ]

Đây chín là t êu ch ẩn n ận biết k i nào một p ân số có th å biểu diễn đ ợc d ới dạn thập p ân v â hạn tuần h àn Sau đ ù, sách đã đ a ra một ví d ï đ å giải thích tại sao lại g ïi là thập p ân “ vô h ïn , “ tu àn h àn :

“Hãy biểu diễn p ân số 118

55 d ới d ïn số h äp p ân.

Ta h áy k ôn h å biểu diễn 118

55 d ới d ïn số h äp p ân vì n áu a c ù chia mãi hì h áy ro g h ơ g

c ùc c ữ số 4 v ø 5 đ ợc ặp đi ặp ại Ta n ùi rằn : a đ ợc một số g ïi à số hập phân v â hạn uần ho øn

2,1 5 5 …viết g ïn à 2,1(4 ) .” [SGK 6, tr 6 ]

Nh vậy, d thao tác “chia mãi” n ân k ôn có ch õ số cu ái cùn tro g c ùch biểu diễn thập p ân của p ân số 118

55

Ở đ ây, v â hạn đ ợc hiểu như một q y trình (chia) không b o giờ d ùt hay khả năng

c ù thể kéo d øi mãi các chữ số ở phần thập phân theo một q i lu ät tu àn hoàn Vẫn ở bài “Số thập p ân v â hạn tuần h àn , SGK có n âu điều ch ù ý sau: Da h từ số th äp p ân còn đ ợc g ïi là số th äp p ân h õu h ïn. [SGK 6, tr 6 ] Còn SGV thì giải thích th âm : “ sa k i giới hiệu ừ “ ố h äp p ân v â h ïn u àn h àn” hì ư ý số h äp p ân đ õ h ïc

đ ợc g ïi à số h äp p ân h õu h ïn ” [SGV 6, tr 7 ] Cách giải thích này có th å dẫn tới một c ùch hiểu n ầm ẩn : h õu hạn và v â hạn là hai

k ái niệm trái n ư ïc, p ủ địn của n au Liệu q an điểm này có hiện diện ở giáo viên và h ïc sin ?

Tập số h õu t đ ợc t ếp tục h àn chỉn ở ch ơ g trìn lớp 7 Đến lớp 9, k ái niệm

v à số v â t đ ợc hìn thàn q a hìn ản cụ th å của n ù – một biểu diễn dạn thập p ân

vô h ïn kh ân tu àn h àn , k át h ïp v ùi lập luận rằn dạn này k ôn là biểu diễn thập

p ân của số h õu t , n ân n ù p ải là biểu diễn của một loại số k ác mà ta g ïi là số v â t :

“ ố vô t là số có biểu diễn th äp p ân là vô h ïn kh ân tu àn h àn [SGK 9, tr.4] Từ “ ô hạn tro g trư øn h ïp này cũn x ất hiện rất tự n iên, k ôn có một giải thích đi k øm và cũn man cùn một n hĩa n ư v ùi số thập p ân v â hạn tuần h àn Vô hạn g én l ền v ùi hìn ảnh c ù thể kéo d øi hay thêm vào một cách tùy ý các chữ số ở phần thập phân

Tóm lại tro g p ạm vi h ä th án số, v â hạn x ất hiện d ới dạn hìn ản k ùo dài tùy ý (có th å th âm vào mãi) có q i luật h ặc k ôn của c ùc ch õ số tro g p ần thập

p ân của số thập p ân (biểu diễn số h õu t hay v â t ) Tu đã x ất hiện tư øn min ,

n ư g k ái niệm v â hạn k ôn p ải là đ ái tư ïn đ ợc địn n hĩa và n hiên cứu Nói

c ùch k ác, n ù k ôn h ạt đ än v ùi cơ ch á đ ái tư ïn

b Sự x ất hiện của các kí hiệu + ∞ v ø - ∞

• Các kí hiệu +∞ ; −∞ cùn v ùi biểu diễn của ch ùn trên trục số đ ợc đ a vào lần đầu t ên tro g SGK Đại số 1 , k i đ à c äp một số tập co th ờn gặp của tập số th ïc R:

“Ta th ờn g ëp một số tập co của tập h ïp \ sa đ ây:

- Kh ản ( −∞ ; ) a = { x ∈ \ / x < a } ; ( ; a +∞ = ) { x ∈ \ / x > a }

- Nửa kh ản ( −∞ ; ] a = { x ∈ \ / x ≤ a } ; [ ; a +∞ = ) { x ∈ \ / x ≥ a }

- Ch ù ý rằn kh ản ( −∞ +∞ ; ) là tập h ïp \ .”

Biểu diễn trên trục số :

Vậy p ải ch ên , việc trìn b øy “cách đ ïc” các kí hiệu n øy cũn n ư việc làm rõ

n hĩa của ch ùn là trách n iệm của giáo viên Hay tự h ïc sin p ải biết n ữn điều đ ù?

Về n hĩa, rõ ràn tro g t n h ốn này, c ùc kí hiệu +∞ ; −∞ k ôn lấy n hĩa một

c ùch đ äc lập, mà gắn l ền v ùi “ g ĩa” của k ái niệm k oản hay n ûa k oản là c ùc tập

co của R Nói c ùch k ác, n ư øi ta hiểu đ ợc c ùc kí hiệu này q a việc mô tả c ùc

k oản và n ûa k oản Chẳn hạn : ( ; a +∞ = ) { x ∈ \ / x > a } .

Ch ùn tôi đặt ra giả th y át rằn , c ùch mô tả k oản n ư vậy có th å dẫn tới q an điểm ch rằn :

• + ∞ là một số lớn h n tất cả các số, còn - ∞ là một số bé h n tất cả các số, h ặc

• +∞ ; −∞ là n ữn cái gì đ ù ở xa mãi h i đ àu của trục số.

• +∞ ; −∞ : thể hiện h ớn đi tới kh ân b o giờ k át th ùc của một đ ái tư ïn n øo đ ù (số, điểm,…).

Nh vậy, n ữn q an niệm này d ờn n ư k ôn đ àn n ất v ùi q an niệm v à v â hạn n ư là một “ u trìn ” có th å k ùo dài mãi k ôn d øn , n ư đã thấy trư ùc lớp 1 Nhận x ùt này đ ợc củn cố h n, n áu ta p ân t ch v à c ùch đ ïc c ùc kí hiệu +∞ ; −∞ ,

n iệm v ï mà th å ch á đ å lại trách n iệm ch giáo viên hay h ïc sin Quả th ïc, ch ùn tôi n hĩ rằn , th o tru ền th án ở Việt Nam n ư øi ta có th å đ ïc +∞ là d ơ g v â cực (hay v â cực d ơ g), -∞ là âm v â cực (hay v â cực âm) h ặc d ơ g

v â cùn , âm v â cùn Nh n k ó có th å đ ïc là “Dư n v â hạn hay “Vô hạn d ơ g

Ph ûi ch ên có sự p ân biệt giữa h i th ật n ữ “Vô h ïn và “Vô cực” ? Có h y kh ân sự p ân biệt n øy ở giáo viên và h ïc sin ? Nếu có, ch ùn đ ợc p ân biệt n ư thế n øo ?

Vẫn ở lớp 1 , c ùc kí hiệu +∞ ; −∞ lại một lần n õa x ất hiện tro g t n h ốn n hiên cứu sự biến thiên của một số hàm số cơ bản n ư y = ax + b; y = ax 2 + b + c, y = ⏐x⏐

và y = x Cụ th å, ch ùn hiện diện tro g việc mô tả c ùc miền xác địn của c ùc hàm số này và tro g bản biến thiên.

Nh n , cũn k ôn có một giải thích nào v à c ùch đ ïc và n hĩa của c ùc kí hiệu này Chẳn hạn, bản biến thiên của hàm số bậc hai y = ax 2 + bx c + ( a ≠ 0) tro g trư øn

h ïp a > 0 và hàm y = x :

2

b a

Ch ùn tôi n hĩ rằn sự x ất hiện n ư vậy có th å sẽ củn cố th âm hai q an điểm v à

+∞ ; −∞ đã n âu ở trên.

2 Vô hạn trong tình huống xây dựng khái niệm chu vi đường tròn và diện tích hình tròn (phạm vi hình học)

Kh ùi niệm ch vi đ ờn ròn v ø diện ích hìn ròn đ ợc SGK ớp 9 x ây d ïn h o cùn một cách g àm h i b ớc sa :

Bước 1 :

Tiếp cận hìn h ïc một k ái niệm

n ầm ẩn

“Xấp xỉ”

“Nhiều th n g ã cạn th ún có thể g ép

th øn một th øn g ã có miện và đ ùy g àn tròn Miện và đ ùy càn g àn với đ ờn tròn nếu số th n g ã g ép càn n iều, tức là chiều rộn của mỗi th n g ã càn hẹp (Xem hìn 7 )”

“Nhìn hìn v õ ta hìn d n th áy rằn để

sơ một đ giác đều n äi t ếp tro g một

đ ờn tròn thì khi số cạn của đ giác

đ ợc g áp đ âi l ên t ếp, ta cần một lư ïn

sơ n ày càn n iều và càn sai kh ùc í

so với lư ïn sơ cần thiết để sơ kín cả hìn tròn.(Xem hìn 7 )”

Bước 2 :

Đư v øo

k ái niệm mới q a hìn ản trực q a

ở b ớc 1

“Ng ời ta ch ùn min đ ợc rằn : Lấy một đ giác đều tùy ý n äi t ếp một

đ ờn tròn rồi g áp đ âi mãi số cạn của

n ù sa ch các đ giác l ên t ếp th đ ợc đều là đ giác đều, thì ch vi đ giác đều sẽ tăn lên và n ày càn g àn một giá trị xác địn (kh ân p ụ th ộc đ giác đều

ch ïn b n đ àu), giá trị đ ù g ïi là đ ä d øi

đ ờng tròn.” [SGK hìn h ïc , r 5 ,5 ]

“Ng ời ta ch ùn min đ ợc rằn : Lấy một đ giác đều tùy ý n äi t ếp một

đ ờn tròn rồi g áp đ âi mãi số cạn của

n ù sa ch các đ giác l ên t ếp th đ ợc đều là đ giác đều, thì diện t ch đ giác đều sẽ tăn lên và n ày càn g àn một giá trị xác địn (kh ân p ụ th ộc đ giác đều

ch ïn b n đ àu), giá trị đ ù g ïi là diện t ch hìn tròn.” [SGK hìn h ïc 9, r 6 ]

Các k ái niệm trên đ ợc xây d ïn bằn p ư n p áp mô tả k át h ïp c ûm n ận trực giác hìn h ïc, p ù h ïp v ùi sự nảy sin của ch ùn tro g l ch sử ( vào kh ản n êm 4 0 TCN, Ant p o ch rằn b èn cách cứ l ên t ếp n ân đ âi số cạn của một đ giác đều

n äi t ếp tro g một đ ờn tròn thì hiệu số giữa diện t ch hìn tròn với diện t ch đ giác

cu ái cùn sẽ kh ân còn n õa ) [Văn Nh Cư n (1 7 ),tr.1 ,2 ] Ngầm ẩn tác đ än tro g c ùc t n h ốn trên là c ùc k ái niệm v â hạn, giới hạn và

l ên tục.

Khái niệm v â hạn hiện diện n ầm ẩn q a th ật n ữ “ ấp đôi mãi số cạn ”, còn

k ái niệm giới hạn lại th å hiện q a cụm từ “ tăng lên và ng øy càng g àn một giá trị x ùc định ” h ặc “ ần tới ” n ư tro g c ùc t n h ốn d ới đây của SGK Hìn h ïc 9.

Tìn h ốn đ a vào số π và ch ùn min côn th ùc diện t ch hìn tròn: [SGK hìn

h ïc 9,tr 5 ]

“ Với h i đ ờn ròn b át kì (O;R) v ø(O’ R’ , a c o n äi iếp mỗi đ ờn ròn n øy một đ giác ều n

c ïn v ø g ïi c u vi c ûa h i đ giác đ ù à p v ø p’ Ta c ù: '

R R Nh v äy: ỉ số giữa đ ä d øi đ ờn ròn v ø

đ ờn kín c ûa n ù à một số k ôn đ åi n hĩa à n ư n a c o mọi đ ờn ròn Ng ời a kí hiệu số k ôn

đ åi ấy b èn c ữ π […].

Để n diện c hìn ròn, a c o n äi iếp ro g đ ù một đ giác đ àu

n c ïn Gọi p à c u vi tru g đ ạn à a hì diện c S n c ûa n ù à 1

2

=

S n pa Khi số c ïn c ûa đ giác đ àu n äi iếp đ ợc g áp đ âi ên mãi hì diện c

S n c ûa n ù d àn ới diện c S c ûa hìn ròn, c u vi p c ûa n ù d àn ới đ ä d øi

đ ờn ròn 2 π R, đ àn h øi ru g đ ạn a c ûa n ù d àn ới R Vậy diện íc

hìn ròn à S = π R 2 .

Bàn v à c ùc t n h ốn này, SGV cũn làm rõ :

“Học sin q a niệm đ ợc đ ä d øi đ ờn ròn (h ặc diện c hìn ròn) d ïa v øo sự hìn d n g áp

đ âi mãi số c ïn c ûa một đ giác đ àu n äi iếp.” [SGV 9, r.4 ]

Hơ n õa, c ùc tác giả SGK còn lư ý giáo viên :

“ c âm c ư ùc ín c ặt c ẽ v à mặt k o h ïc b ûi vì h ïc sin c ư h ïc k ái niệm giới h ïn [SGV

9, r.4 ].

“Ta đ ït đ ợc k át q ả rên b èn ập u än c ù d ïa v øo sự hìn d n rực giác ở giai đ ạn c ối Tro g

to ùn h ïc n ư øi a đ õ c ứn min đ ợc k át q ả đ ù một c ùc c ặt c ẽ.” [SGK hìn h ïc 9, r.5 ]

Ta cũn lư ý rằn c ùc k ái niệm v â hạn và giới hạn đ ùn vai trò côn cụ n ầm ẩn chỉ tro g c ùc t n h ốn đã n âu ở trên Sau k i đã đạt đ ợc c ùc côn th ùc v à diện t ch hìn tròn và ch vi đ ờn tròn, ch ùn k ôn còn đ ợc sử d ïn tro g việc giải q y át

c ùc bài toán l ên q an tới c ùc đ ái tư ïn này.

Quả th ïc, SGV n âu rõ trọn tâm của hai bài :

“HS hiểu đ ợc đ ờn h ớn đi đ án c ùc c ân h ùc n đ ä d øi đ ờn ròn, đ ä d øi c n ròn v ø biết

v än d ïn c ùc c ân h ùc đ ù.” [SGV 9, r 4 ]

“HS hiểu đ ợc đ ờn h ớn đi đ án c ùc c ân h ùc n diện c hìn ròn, hìn q ạt ròn v ø c ù kĩ

n ên v än d ïn c ùc c ân h ùc đ ù.” [SGV 9, r.4 ].

Ý đ à này của SGV th å hiện rõ tro g p ần bài tập của SGK Kiểu n iệm v ï chín

l ên q an đ án ch û đ à này là tính to ùn : t n đ ä dài đ ờn tròn, cu g tròn; t n diện t ch hìn tròn, hìn vàn k ăn, hìn viên p ân,…; t n c ùc y áu tố n ư bán kín , đ ờn kín , giá trị gần đ ùn của số π , đ ä lớn g ùc ở tâm …) d ïa trên kĩ th ật vận d ïn c ùc côn

Tóm lại, tro g p ạm vi hìn h ïc, k ái niệm v â hạn x ất hiện n ầm ẩn ở t n h ốn xây d ïn địn n hĩa và côn th ùc t n đ ä dài đ ờn tròn và diện t ch hìn tròn.

Nh tro g t n h ốn xây d ïn c ùc tập h ïp số, n ù đ ợc hiểu n ư một q á trìn vô

h ïn, một h øn đ än có thể th ïc hiện mãi kh ân d øn Nó l ên q an mật thiết v ùi k ái niệm giới hạn, đặt điều kiện ch sự nảy sin n ầm ẩn của k ái niệm này.

3 Vô hạn tro g các tình huống nghiên cứu giới hạn của dãy số và giới hạn hàm số (phạm vi giải tích)

Tro g p ạm vi Giải t ch, ch ơ g “Giới hạn của SGK Đại số và Giải t ch 1 là n i đầu t ên mà c ùc th ật n ữ “ ô cực”, “ ô cực d ơ g và “ ô cực âm” x ất hiện một

c ùch tư øn min cùn v ùi c ùc kí hiệu tư n ứn Chín vì th á ch ùn tôi sẽ dàn một

p ân t ch chi t ết h n th øi điểm này.

Để hiểu h n c ùc đặc trư g của k ái niệm trên, ch ùn tôi t ến hàn p ân t ch đ àn

th øi c û ch ơ g trìn , SGK và SBT Đại số và giải t ch 1 , cùn v ùi SGV tư n ứn Sự

p ân t ch này sẽ th o h ớn :

- Ng iên cứu n ữn t n h ốn có sự x ất hiện và tác đ än của c ùc k ái niệm trên và c ùc kí hiệu tư n ứn

- Phân t ch lời giải của một số bài toán t n giới hạn đ ợc SGK và SBT trìn bày Qua n ữn p ân t ch này, ch ùn tôi sẽ chỉ ra sự tồn tại n ầm ẩn của một “ Đại số các vô cực “ 1 và hiện tư ïn mà ch ùn tôi g ïi là “ Hiện tư ïn thiếu côn n hệ ” của SGK.

3.1 Tình hu áng x ây dựng định ng ĩa giới hạn d õy số

Ta x m x ùt ví d ï mở đầu đ ợc giới thiệu trư ùc k i vào địn n hĩa giới hạn h õu hạn của dãy số Sau k i ch biểu diễn hìn h ïc sau đây (hìn 2 ) của dãy số 3 1

“Ta n ận h áy k i n c øng ớn hì k o ûn c ùc ừ u n tới điểm 1 (tức à u n − 1 ) c øn n ỏ, n ù c ù h å

n ỏ b o n iêu c õn đ ợc miễn à n đủ ớn [SGK1 , r.1 6 ].

Nhận x ùt này mô tả một tư tư ûn : từ một lúc nào đ ù trở đi, c ùc p ần tử của dãy

c øn gần sát điểm 1.

Ngay l ền sau đ ù, sách đã k át luận : “ Ta n ùi rằn d õy số đ õ ch có giới h ïn là 1

(h y d àn tới 1) khi n d àn tới v â cực , viết là: lim 3 1 1

3

n

n n

→∞

+ =

”. [SGK 1 ,tr.1 7]

1 Mô p ỏn th o th ật n ữ “số h ïc c ùc v â hạn n ư tro g p ân t ch ở ch ơ g 1, ch ùn tôi d øn th ật n ữ “Đại số

v â cực” Ở đây, ch ùn tôi d øn th ật n ữ Vô cực mà k ôn p ải Vô hạn x ất p át từ k át q ả p ân t ch SGK : Tro g th å ch á dạy h ïc toán ở Việt nam, c ùc kí hiệu ∞, +∞, -∞ lần lư ït đ ợc đ ïc là v â cực, d ơ g v â cực và âm v â

Từ “ ô cực” x ất hiện ở đây n ư một đích đ án n ư g k ôn th å “ ạt đ ợc” mà chỉ là “ ần tới” của số tự n iên n Tín chất “ gày c øn lớn của số tự n iên này ch hìn ản trực giác của th ật n ữ “ ần tới v â cực”.

Ở t n h ốn xây d ïn k ái niệm d õy số dần tới v â cực, SGK giới thiệu bằn c ùch

đ a ra một dãy cụ th å có k øm lời giải thích và một địn n hĩa hìn th ùc :

“ Xét d õy số ( u n ) v ùi u n = − ( 1) 2 n n Dạn k ai riển c ûa n ù à:

Ta viết : l mu n = ∞ h y u n → ∞ » [SGK 1 , r.1 3]

Nh vậy, t n chất “lớn b o nhiêu tùy ý” của u n k ùo th o c ùch g ïi d àn tới v â cực

Nếu n ư x m v â cực là “số” thì cụm từ “ càn lớn d øn tro g hai t n h ốn trên đây sẽ man n ữn ý n hĩa k ác n au Tro g trư øn h ïp đầu “số” này cùn loại v ùi n, tức n ù là số tự nhiên rất lớn nào đ ù, còn trư øn h ïp sau, “số” này là số thực b ûi n ù gắn v ùi u n là giá trị tu ệt đ ái của c ùc số hạn của dãy Nh vậy, tro g trư øn h ïp sau v â cực đ ợc đ àn n ất số nh û hơn v ø số lớn h n tất cả các số.

Sau k i n âu địn n hĩa v à dãy số dần tới v â cực th o n ôn n ữ (M; N), SGK đã

d øn kí hiệu lim u n = ∞ đ å chỉ dãy dần tới v â cực (lúc này c ùc kí hiệu +∞ và −∞ ch a

x ất hiện) và đ a vào ch ù ý:

“Khi d õy số ( u n ) d àn ới v â c ïc hì n ù k ôn bị c ặn, d đ ù h o địn 1 2 n ù k ôn c ù giới h ïn,

so g đ å c o ện n ư øi a v ãn d øn kí hiệu lim u n = ∞ Tu n iên, vì ro g rư øn h ïp n øy ( u n ) k ôn

c ù giới h ïn n ân a k ôn đ ợc p ép áp d ïn c ùc địn v à giới h ïn c ûa d õy số”. [SGK r.1 3]

Hơ th á n õa, SGV tran 6 còn n ùi rõ rằn ∞ k ôn p ải là một số :

“Về kí hiệu n øy, điều q a trọn là giáo viên p ải làm ch h ïc sin n ớ rằn đ ù chỉ là một q y ư ùc,… Vả lại ∞ kh ân là một số.” [SGV 1 ,tr.6 ]

Liệu mối q an h ä th å ch á, th o đ ù ∞ p ải đ ợc hiểu là một q y ư ùc ch ù k ôn p ải là một số, có đ ợc thiết lập ở h ïc sin ?

2 Định lí về điều kiện cần để dãy số có giới hạn: “nếu một dãy số có giới hạn thì nó bị chặn”

3.2 Tình hu áng x ây dựng định ng ĩa giới hạn h øm số

Tuân th û th o đ ùn q i địn của ch ơ g trìn , SGK đã xây d ïn địn n hĩa giới hạn hàm số th ân q a giới hạn dãy số Việc mở rộn k ái niệm giới hạn hàm số đã tạo

cơ h äi đ å v â hạn tái x ất hiện v ùi cơ ch á côn cụ tư øn min Trư ùc h át, SGK trìn bày địn n hĩa h øm số d àn tới vô cực :

“ Ta n ùi rằn h øm số (x) d àn ới v â c ïc k i x d àn ới a, n áu v ùi mọi d õy số (x n ) (x n ≠ a) sa c o

lim x n = a hì lim ( f x n ) = ∞ Ta viết lim ( )

x a f x

→ = ∞ ” [SGK 1 , r.1 1]

Sau đ ù, SGK1 tran 1 1 lại n ấn mạn lần n õa rằn :

“ Tu viết v äy, n ư g vì ∞ k ôn p ải à một số n ân h ät ra h øm số k ôn c ù giới h ïn, … ”

SGV cũn n ấn mạn :

Kh ân d øn ở đây, SGK còn t ếp tục đ a ra c ùc kí hiệu: +∞ −∞ n ư sau:

“Nếu h øm số f x ( ) → ∞ k i x → a mà (x) > 0 v ùi mọi x đ û g àn a hì a kí hiệu: lim ( )

Điều đặc biệt là SGK đã k ôn n ùi gì v à việc đ ïc c ùc kí hiệu trên.

Nh vậy, +∞ , −∞ cũn đ ợc x m n ư là giới hạn của một hàm số th ûa hai điều kiện:

• Hàm số n øy k ông có giới hạn h õu hạn

• Giá rị của h øm số n øy u ân ma g một dấu k i x đ û g àn a Hàm số ma g d áu gì hì v â cực có d áu đ ù.

Tiếp th o, SGK đã trìn bày c ùc giới h ïn tại vô cực Biến số x lần lư ït t ến v à ∞ , +∞ , −∞ tư n ứn v ùi ba địn n hĩa sau:

™ Ta n ùi rằn h øm số (x) c ù giới h ïn à L k i x d àn ới v â cực , n áu v ùi mọi d õy số (x n ) sa c o

lim x n = ∞ hì lim ( f x n ) = L Ta viết: lim ( )

v â cực d ơ g và “ dần tới v â cực âm” Mặt k ác, th ật n ữ tại v â cực n âu trên ch một c ûm giác rằn c ùc đ ái tư ïn ∞ , +∞ , −∞ d ờn n ư cũn có một vị trí xác địn nào đ ù trên trục số hay tro g k ôn gian.

Liệu cảm giác n øy có tạo điều kiện củn cố ở h ïc sin cách hiểu theo đ ù d ơ g vô cực là một số lớn h n tất cả các số, âm vô cực là một số bé h n tất cả các số, h y ch ùn là n ữn đ ái tư ïn ở xa mãi h i đ àu của trục số ?.

Nếu ở lớp 1 , hai loại v â cực +∞ , −∞ đ ợc d øn đ å kí hiệu c ùc k oản co của tập số th ïc h ặc x ất hiện tro g bản biến thiên của hàm số, thì đ án th øi điểm này n oài

+∞ , −∞ , còn x ất hiện v â cực ∞ và ch ùn là kí hiệu q i ư ùc ch một hàm (h ặc dãy)

k ôn có giới hạn h õu hạn Điều này l ệu có gây ra sự thắc mắc nào từ thầy giáo và

h ïc sin k ôn vì cùn kí hiệu +∞ , −∞ n ư g man n ữn ý n hĩa k ác n au ở mỗi

t n h ốn

3.3 Tình h ống tính giới h ïn của d õy số v ø h øm số – Tồn tại ng àm ẩn một " ại số các v â cực" v ø hiện tượng “thiếu công ng ệ”

Tín giới hạn của dãy số hay của hàm số là n ữn kiểu n iệm v ï chiếm vị trí gần

n ư đ äc q y àn tro g việc n hiên cứu giới hạn Chín vì vậy, ch ùn là đ ái tư ïn q an tâm đặc biệt của ch ùn tôi.

SGK đã n âu rõ rằn đ å t m giới hạn của dãy số và hàm số, n ư øi ta th ờn k ôn vận d ïn địn n hĩa của giới hạn mà áp d ïn một số địn l ch p ép t m đ ợc d ã dàn giới hạn đ ù Ng ài một số giới hạn cơ bản (đ ợc ch ùn min bằn địn n hĩa),

n ư øi ta côn n ận (k ôn ch ùn min ) một lư ïn v øa đ û c ùc địn l làm cơ sở ch việc đ ïi số h ùa vấn đ à t m giới hạn, n hĩa là q y việc t n giới hạn v à việc th ïc hiện

c ùc p ép toán đại số giới hạn, mà k ôn c àn n ờ đ án địn n hĩa hay kĩ th ật chặn trên, chặn d ới hay xấp xỉ của Giải t ch.

Bản sau đây tóm tắt c ùc y áu tố làm cơ sở ch việc đại số h ùa vấn đ à t n giới hạn:

Giới h ïn của d õy số

Nếu một d õy số c ù giới h ïn hì giới h ïn đ ù là d y n ất Nếu h a hì giới øm số f h ïn đ x) c ù à d ù giới y n h ất ïn k i x d àn ới

lim( u n ± v n ) = lim u n + lim v n

lim( u v n ) n = lim u n lim v n

lim lim

lim

n n

u u

v = v ( n áu lim v n ≠ 0 )

Nếu c ùc h øm số f x) v ø g(x) đ àu c ù giới

h ïn k i x d àn ới a hì lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )

lim ( ) lim ( )

Ch b d õy số (u n ); (v n ); (w n ) Nếu

*

n

∀ ∈ ` a c ù

v n ≤ u n ≤ w n v ø m v n = m w n = A thì im v n = A

Ch b h øm số f x); g(x); h(x) c øn x ùc địn rên một k o ûn K c ứa a (c ù h å rừ điểm a) Nếu v ùi mọi điểm x c ûa k o ûn

đ ù g(x) ≤ f x) ≤ h(x) v ø lim ( ) lim ( )

h ïn 0 và

∞ .

Nếu im u n = 0 (u n ≠ 0, ∀ ∈ ` n * ) hì 1

một d õy số c ù giới h ïn hì n ù bị c ặn.

( Điều kiện đ û đ å d õy c ù giới h ïn ) Một d õy số ăn v ø bị c ặn rên hì c ù giới h ïn.

Một d õy số giảm v ø bị c ặn d ới thì c ù giới h ïn.

a Về kiểu n iệm vụ tín giới hạn của dãy số

Nh đã n ùi ở trên, kiểu n iệm v ï ch û y áu l ên q an đ án giới hạn của dãy số là tính

giới hạn. Hơ n õa, hầu h át c ùc giới hạn c àn t n bằn c ùch áp d ïn địn l đã n âu đ àu

th ộc hai dạn : ∞ ∞ và ∞ − ∞ Th ïc chất đây là hai dạng v â định, n ư g ở th øi điểm này SGK ch a d øn c ùch g ïi tư øn min n ư th á.

Bản sau đây ch một th án k â số bài tập th ộc kiểu n iệm v ï này.

Đặc rư g c ûa d õy Ph ân th ùc Ch ùa căn

Tro g p ần bài h ïc và bài tập có 1 +7 = 1 bài (chiếm 8 ,6%) th ộc hai dạn v â địn đã n âu Tỉ lệ này là k á c o Hơ n õa, k i giới hạn có dạn ∞

∞ thì dãy đ ợc ch

ch û y áu ở dạn p ân th ùc h õu t và giới hạn th ộc dạn ∞ − ∞ thì dãy sẽ ch ùa c ên

th ùc.

Các kĩ th ật tư n ứn (kĩ th ật k ử dạn v â địn ) x ất hiện q a c ùc ví d ï min

h ïa Kĩ th ật này đ øi h ûi th ïc hiện c ùc biến đ åi đại số (chia c û tử số và mẫu số của

p ân th ùc h õu t ch lũy th øa bậc c o n ất của n; h ặc n ân chia v ùi lư ïn l ên h ïp, …), sau đ ù áp d ïn c ùc địn l đại số v à giới hạn đ å t m k át q ả.

Điều làm ch ùn tôi q an tâm ở đây là: tro g việc t n giới hạn này, n oài vai trò

k ôn th å thiếu đ ợc của c ùc p ép toán đại số và c ùc địn l v à giới hạn, có hay k ôn sự vận d ïn của c ùc q i tắc thao tác trên v â hạn ?

Nói cách kh ùc, có tồn tại h y kh ân một “đ ïi số vô cực” tư n tự n ư sự tồn tại của một “ ố h ïc các vô h ïn tro g l ch sử ? Nếu có thì n ữn q i tắc đ ù là gì và xu át hiện ở

th øi điểm n øo ?

Trư ùc h át, cũn c àn n ấn mạn rằn , n ư đã làm rõ tro g c ùc p ân t ch trư ùc, th å

ch á c ám áp d ïn c ùc địn l v à giới hạn tro g c ùc trư øn h ïp dãy số dần tới v â cực, vì

∞, +∞ hay -∞ chỉ là c ùc kí hiệu q y ư ùc mà k ôn p ải là c ùc số Nói c ùch k ác, n ư øi

ta c ám áp d ïn c ùc p ép toán đại số trên c ùc kí hiệu này (hay ta n ùi, trên c ùc v â cực).

Tu n iên, n ư ïc v ùi mo g mu án này của th å ch á, c ùch tổ ch ùc c ùc kiến th ùc gắn

l ền v ùi giới hạn tro g SGK d ờn n ư đã n ầm áp d ïn c ùc thao tác trên c ùc v â cực, và n ư vậy đã tạo điều kiện ch ch sự tồn tại n ầm ẩn một đại số v â cực.

Để min ch ùn điều đ ù, ta bắt đầu từ ví d ï l ên q an tới dạn v â địn ∞ − ∞ , đ ợc

ch tro g SGK.

Ví d ï 2 : Tìm lim( 3 n + − 2 3 n ) [SGK 1 ,tr.1 4]

Lời giải mong đợi :

« Nh ân v ø c ia biểu h ùc ( 3 n + − 2 3 n ) v ùi biểu h ùc ( ( 3 n + 2) 2 + 3 n + 2 3 n + 3 n 2 ) , ta đ ợc :

(vì ử số b èn n + 2 – n = 2, c øn mẫu số d àn ới v â cực ) »

Hai c âu h ûi c àn đặt ra v à lời giải này :

9 Vì sao mẫu số dần tới v â cực ?

9 Yếu tố côn n h ä nào giải thích ch k át luận : « k i tử số dần tới 2, mẫu số dần tới

v â cực thì p ân th ùc dần tới 0 » ?

‘ Về câu hỏi thứ nhất :

Làm sao giải thích đ ợc u n = 3 ( n + 2) 2 + 3 n + 2 3 n + 3 n 2 dần tới v â cực ? Để có c âu trả lời, ch ùn tôi th û d ï đ án c ùc c ùch giải thích có th å có.

• Cách 1 : Viết

1

= n n

1 3 2

u

u thiếu tự n iên.

- Việc giải thích k á dài d øn p ức tạp Do đ ù, đ å hiểu đ ợc c àn p ải trìn bày cụ

th å, chi t ết tro g lời giải bài toán ở ví d ï trên, ch ù k ôn th å viết n ắn g ïn n ư « còn mẫu số d àn tới vô cực »