bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao

Lý do chọn đề tài Lý thuyết bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân thường và phương trình vi phân hàm ra đời từ thế kỷ 18, song đến nay vẫn được nhiều người quan tâm nhờ các ứn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

 

Nguyễn Tăng Vũ  

BÀI TOÁN BIÊN TUẦN HOÀN CHO

Chuyên ngành : Toán Giải Tích

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS Nguyễn Anh Tuấn

LỜI CẢM ƠN  

Đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn, mặc dù bận rất nhiều việc nhưng đã tận tâm hướng dẫn và tạo điều kiện tối đa để tôi có thể hoàn thành luận văn. Nhân đây em cũng xin lỗi thầy vì đã làm thầy thất vọng về mình trong thời gian làm luận văn, và mong thầy luôn có sức khỏe tốt và thành công trong công việc.  

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã giành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp cho tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn chỉnh. 

Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng KHCN-Sau Đại học cùng toàn thể thầy cô khoa Toán-Tin học  trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại trường. 

Tôi cũng chân thành cảm ơn gia đình, các anh chị đồng nghiệp và bạn bè thân hữu đã động viên, giúp đỡ tôi  hoàn thành luận văn này. 

Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của Quý Thầy Cô và bạn đọc nhằm bổ sung và hoàn thiện đề tài hơn. 

Xin chân thành cảm ơn. 

 

1

1 1

n

n k

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân thường và phương trình vi phân  hàm  ra  đời  từ  thế  kỷ  18,  song  đến  nay  vẫn  được  nhiều  người  quan  tâm  nhờ  các  ứng dụng rộng rãi của nó trong các lĩnh vực vật lý, cơ học, kinh tế, nông nghiệp, …. Đặc biệt, bài toán  biên  tuần  hoàn  cho  phương  trình  vi  phân  hàm  đạt  được  nhiều  kết  quả  bắt  đầu  từ  năm 

1995 nhờ các kết quả của các tác giả như I. Kiguradze, B. Puza cho hệ phương trình vi phân hàm tổng quát. Các kết quả về phương trình vi phân hàm bậc cao cũng được nghiên cứu một cách rộng rãi và cũng đạt được nhiều kết quả đáng chú ý. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài này làm nội dung nghiên cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển đề tài của mình theo hướng của các tác giả trên. 

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tính giải được của bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao. Từ đó, áp dụng các kết quả đạt được cho phương trình vi phân đối số chậm, đối số lệch.  

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Lý thuyết bài toán biên, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân hàm. Lý thuyết bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao. 

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu

Luận  văn  là tài  liệu tham khảo cho tất cả  mọi  người quan tâm  đến bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao. 

5 Cấu trúc luận văn

Chương 1 BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO 

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN  

     Trong phần hai ta nghiên cứu các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của phương trình (1.1), (1.2). Trong phần ba, ta thiết lập các tiêu chuẩn cho sự tồn tại nghiệm của bài toán biên:  

1.2  Định lý tồn tại nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) 

iii) Tồn tại số  thực  dương sao cho  với  mọi  x C I R  ; n, q C I R  ; n và c0R n, 

và  với  mọi  nghiệm  bất  kỳ  y  của  bài  toán  biên: 

  * 

0,

C

y  y t  t   hầu hết tI   (1.14) trong đó 0    0   L, * t  t,0 0   t  

Đặt u C I R:  ; nC I R ; n  là toán tử đặt tương  ứng  mỗix C I R  ; n  với  nghiệm  ytrong bài toán (1.13). Từ hệ quả (1.6) ( hệ quả của định lý về tính xấp xỉ nghiệm của bài toán biên 

của hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính trong [5]), thì toán tử u liên tục. Mặt khác, từ các 

bất đẳng thức (1.14) ta có:    0,       * 

t C

Nếu  (1.17)  thỏa.  Khi  đó  theo  (1.10)  và  (1.15)  thì 0,  suy  ra  x  là  nghiệm  của  bài  toán 

(1.130). Điều này là không thể vì (1.130) chỉ có nghiệm tầm thường.  

Từ các điều trên ta thấy x thỏa (1.9).  

Do đó, từ (1.9), (1.10), (1.15) rõ ràng 1, suy ra x là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2).     

Chứng minh

Theo bổ đề 2.2 của [6], nếu p,O0n thì p ,  là nhất quán, nên từ định lý 1.3 ta có điều cần chứng minh.   

Định nghĩa 1.7

Toán tử  p0:C I R ; nL I R ; nđược gọi là bị chặn mạnh nếu tồn tại một hàm khả tích : I R sao cho với mọi y C I R  ; nthì bất đẳng thức  p0  y t   t y C thỏa mãn với hầu hết tI   

Do đó p,O0n. Từ đó theo hệ quả 1.6 thì bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm.  

1.3 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán (1.3), (1.4)

Trong bài toán (1.3), (1.4) thì ta xét vectơ hàm  f0:IR n R n thỏa điều kiện 

Caratheodory, các toán tử t C I R i:  ; nI i 1,2 và A C I R:  ; nR n n  là tiên tục.  Đặt  

Chương 2 NGHIỆM TUẦN HOÀN CHO  PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO

2.1 Giới thiệu bài toán  

    0 0_

02

Do đó        

0

0

12

2

1

1 0

Chứng minh tương tự với u k Cn 1 k và   u k 0k 1, ,n thì ta có (2.10) ■ 

Bổ đề 2.3

Cho u C n1 và      

1 1

0 0

1 0

1

n

k k k

C k

0

1 1

k

C k

n k k

n

k k k

1

n

k k k

   

1 1 0 0

1

n k k

n

n k C

1 1

0

n k k

0 1

1

0 0

k n k k

   

1 1

0 0

n k k

 n     

với điều kiện tuần hoàn (2.34) chỉ có nghiệm tầm thường và với bất kỳ 0;1 mỗi nghiệm của phương trình vi phân  

      u n  t p u t    1    f u t     (2.37) 

thỏa điều kiện(2.34) và thỏa      

a   và r 0 0 sao cho với bất kỳ 0;1, mỗi  nghiệm - tuần hoàn  của phương trình vi phân hàm  

- Nếu hàm u là một nghiệm-tuần hoàn  của bài toán (2.1) thì ta xét u là hạn chế của u

lên 0;  , khi đó u  thỏa (2.34) tức là  u i1 0 ui1  i1, 2, ,n, từ (2.40) ta có

Mặt khác, nếu  p u t  au 0 , thì bài toán (2.33), (2.34) chỉ có nghiệm tầm thường. Theo các điều kiện của bổ đề (2.6), bài toán (2.33), (2.34) có nghiệm với mọi 0;1. 

Giả sử u là nghiệm của bài toán (2.34), (2.37)  với 0;1. Khi đó mở rộng tuần hoàn lên 

R với chu kỳ  là nghiệm của bài toán (2.39) và thỏa (2.26) nên thỏa (2.38) ■  

2.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (2.1)

2.3.1 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán (2.1) 

Trong phương trình (2.1) ta giả sử toán tử  f  thỏa một trong các điều kiện sau trong không gian Cn1: 

           1 1  

1 0

n

k k

C k

n k

C k

k k

C k

n

k k k

C k

C k

2 1

C k

1 1

1

n

k k

C k

n

n

k k

C k

1 1

0 1

C k

C n

k k

1

n

k k k

0 sgn 00

0 0

C k

n

k k

C k

n

k k

C k

C k

n

k k

C k

C k

n

k k

C k

C k

C k

n

k k

C k

C k

C k

n

k k

C k

n

k k

C k

C k

10 1 1

n

n

k k

C k

Giả sử tồn tại hằng số 0 0 và   1;1, toán tử  f thỏa  điều  kiện (2.63), (2.64) 

C k

1

n

k k k

2.4 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (2.3)

2.4.1 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán (2.3) 

 

 

21 0

11 0

1 1

C k

C k

C k

11 0

11 0

k t

KẾT LUẬN    

Luận  văn  đã  trình  bày  các  vấn  đề  cơ  bản  của  lý  thuyết  bài  toán  biên  tuần  hoàn  cho phương trình vi phân hàm bậc cao. Cụ thể, trong chương 1, chúng tôi đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm đối với bài toán biên tổng quát cho phương trình vi phân hàm phi tuyến, các kết quả chính của chương là định lý 1.3 và hệ quả 1.8. Trong chương 2, khi áp dụng các kết quả của  chương  1  chúng  tôi  đã  thiết  lập  các  điều  kiện  đủ  cho  sự  tồn  tại  nghiệm  tuần  hoàn  cho phương trình vi phân hàm bậc cao (2.1), kết quả cụ thể là các định lý (2.8), (2.9). Tiếp theo chúng tôi đã thiết lập các điều kiện đủ cho bài toán (2.1) có duy nhất nghiệm tuần hoàn, kết quả  chính  là  các  định  lý  (2.10),  (2.11).  Khi  áp  dụng  các  kết  quả  trên  cho  phương  trình  vi phân đối số  lệch (2.3), chúng tôi cũng thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tại  và duy  nhất nghiệm tuần hoàn cho phương trình (2.3) với kết quả là định lý (2.12), (2.13), (2.14).    

Từ những vấn đề đưa ra trong luận văn, một câu hỏi đặt ra là các kết quả trên còn đúng hay  không  cho  bài  toán  biên  nhiều  điểm  cho  phương  trình  vi  phân  hàm  bậc  cao.  Hơn  nữa chúng tôi còn chưa nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm của các bài toán trên do thời gian có hạn.   

Chính  vì  vậy  thông  qua  các  kết  quả  đã  đạt  được  trong  luận  văn  này,  tôi  mong  muốn được mở rộng và tiếp tục nghiên cứu các vấn đề nêu trên. Tôi rất mong sự góp ý và chỉ bảo của Quý Thầy Cô trong hội đồng. 

         TP Hồ Chí Minh tháng 10 năm 2010 

TÀI LIỆU THAM KHẢO  

[1]   N.V Azbelev, V. P. Maksimov and  L.  F. Rakhmatullina, Introduction to the Theory of Functional Differential, (Russian) Nauka, Moscow, 1991 

[2]    J.  Cronin,  Periodic solutions of some nonlinear differential equations, J.  Differential 

[8]    I.  Kiguradze,  On periodic solutions of n – th order ordinary differential equation,

Nonlinear  analysis:  Theory,  Methods  &  applications,  vol.  40,  no.  1- 8,  pp.  309  –  321,