Đề luyện thi môn toán số 1 và đáp án
Trang 1NHểM CỰ MễN ĐỀ LUYỆN THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề
Cõu 1 (1 điểm): Cho hàm số:
(Cm): y = x3 2m(x + 1) + 1, với m là tham số
a Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
b Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2
Cõu 2 (1 điểm) Giải phương trỡnh 2
4
4
2 sin 2x sin 3x
cos x
Cõu 3 (1 điểm) Giải hệ phương trỡnh:
Cõu 4 (1 điểm) Tớnh tớch phõn I =
1 2004 1
x sin xdx
Cõu 5 (1 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a , SA = a và vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) Gọi E là trung điểm của cạnh CD Tớnh theo a khoảng cỏch từ điểm S đến đường thẳng BE
Cõu 6 (1 điểm) Giả sử x, y là hai số dương thỏa món điều kiện 4(x + y) = 5 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức S 4 1
Cõu 7 (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường trũn:
(C1): x2 + y2 – 2x 2y + 1 = 0, (C2): x2 + y2 − 4x + 2y + 1 = 0
Viết phương trỡnh cỏc tiếp tuyến chung của hai đường trũn (C1) và (C2)
Cõu 8 (1 điểm) Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng () và mặt phẳng (P):
(d): x 2
2
= y 1
3
= z 1
5
, (P): 2x + y + z 8 = 0
a Chứng tỏ rằng (d) cắt (P) và không vuông góc với (P), từ đó xác định toạ độ giao điểm
I của (d) và (P)
b Lập phương trình đường thẳng (d1) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P)
Cõu 9 (1 điểm) Tớnh giới hạn
3
x 0
x
Cõu 10 (1 điểm) Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng:
2
C + 2C 3 + + (n1)C n > (n2)2n1
-Hết - (DỰA THEO ĐỀ THI DỰ BỊ 1 ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2002 KHỐI B)
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ LUYỆN THI SỐ 1
Cõu 1
HƯỚNG DẪN: Yờu cầu của cõu a) thuộc dạng “Số giao điểm của hai đồ thị”
Ta thực hiện theo cỏc bước:
Bước 1: Thiết lập phương trỡnh hoành độ giao điểm
(x + 1)(x2 x + 1 2m) = 0
Bước 2: Đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phõn biệt khi (*) cú hai nghiệm
phõn biệt khỏc 1
Giỏ trị của m.
LỜI GIẢI CHI TIẾT:
a Phương trình hoành độ giao điểm:
x3
2m(x + 1) + 1 = 0 (x3
+ 1) 2m(x + 1) = 0
(x + 1)(x2
x + 1 2m) = 0 x 1 02
Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt điều kiện là:
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
1 4(1 2m) 0
3 2m 0
m 3/8
m 3/ 2
3 3 m
8 2
Vậy, với 3 m 3
8 2 thoả mãn điều kiện đầu bài
BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ SÁNG TẠO
Cho hàm số (C): y = x4
2x2 3
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b Với các giá trị nào của m đường thẳng y = m cắt đồ thị của hàm số đã cho tại bốn điểm phân biệt ?
Cỏch sỏng tạo: Chọn một phương trỡnh bậc ba ở dạng tớch:
(x 2)(x2 2mx + m + 2) = 0
x3 (2m + 2)x2 + (5m + 2)x 2(m + 2) = 0 (*)
Như vậy, ta cú ngay một bài toỏn tương tự:
Bài 1: Cho hàm số:
(Cm): y = x3 (2m + 2)x2 + (5m + 2)x 2(m + 2)
a Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
b Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2
Để tăng độ khú ta biến đổi (*) về dạng tương giao của hàm số bậc ba với đường thẳng
x3 (2m + 2)x2 + (5m + 3)x 2m 1 = x + 3
Bài 2: Cho hàm số:
(Cm): y = x3 (2m + 2)x2 + (5m + 3)x 2m 1
a Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng (d): y = x + 3 tại
ba điểm phân biệt
b Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1
Trang 3Câu 2
HƯỚNG DẪN: Phương trình chứa tang, sin, cosin cùng các cung góc x, 2x, 3x
Với
4 4
4
sin x tan x
cos x
ta chuyển được phương trình về dạng đơn:
sin x co s x 2 sin 2x sin 3x
Tới đây, ta được phương trình bậc cao chứa sin, cosin cùng các cung góc x, 2x, 3x Và nhận xét rằng:
sin x cos x 1 sin 2x
2
2 sin 2x 2
Từ đó, phương trình được chuyển về dạng tích:
2 sin 2x (2 sin 3x 1) 0.
LỜI GIẢI CHI TIẾT: Điều kiện cosx 0
Biến đổi phương trình về dạng:
4
2 sin 2x sin 3x sin x
1
sin x 4 co s x 4 2 sin 2x sin 3x 2
1
2
2 sin 2x (2 sin 3x 1) 0
1 sin 3x
2
6 5
6
2k x
, k
x
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm
BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ SÁNG TẠO
Thay vai trò của tan bởi cot, ta được bài toán tương tự:
Giải phương trình:
4
4
2 sin 2x sin 3x
sin x
Câu 3
HƯỚNG DẪN: Đặt điều kiện có nghĩa cho hệ phương trình
Biến đổi phương trình thứ hai của hệ về dạng:
log2f = log2g
log4x = log2y log4x = log4y2 x = y2
Khi đó, phương trình thứ nhất của hệ có dạng:
y2 4y + 3 = 0 Giá trị y, x
LỜI GIẢI CHI TIẾT: Điều kiện:
4
2
x 0 & log x 0
y 0 & log y 0
x 1
y 1
Biến đổi phương trình thứ hai của hệ về dạng:
log4x = log2y log4x = log4y2 x = y2
Trang 4Khi đó, phương trình thứ nhất của hệ có dạng:
y2 4y + 3 = 0 y 1 x 1
Vậy, hệ có hai cặp nghiệm (1; 1) và (9; 3)
BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ SÁNG TẠO
Thay vai trò của tan bởi cot, ta được bài toán tương tự:
Giải hệ phương trình:
Bài làm thêm: Giải hệ phương trình:
x
x y x y
log (3x y) 2 log (x y) 3
Giải
Điều kiện:
Đặt t = logx + y(3x + y), phương trình thứ hai của hệ được biến đổi về dạng:
2
t
t2 3t + 2 = 0 t = 1 hoặc t = 2
Ta lần lượt:
Với t = 1 thì:
logx + y(3x + y) = 1 3x + y = x + y x = 0
Khi đó, phương trình thứ nhất của hệ có dạng:
4 2.4 20 4y = 18 y = log418
Với t = 2 thì:
logx + y(3x + y) = 2 3x + y = (x + y)2 2x + (x + y) = (x + y)2
2x
1 x y.
x y
Khi đó, phương trình thứ nhất của hệ có dạng:
2x 1 2(x y) x y
x y
x y
2 5 (loai)
x + y = 2
Ta có hệ mới:
2x
1 2 2
x 1
y 1
x 1
Vậy hệ có hai cặp nghiệm (0; log418) và (1; 1)
Trang 5Cõu 4
HƯỚNG DẪN: Với tớch phõn
b
a f(x).sinx.dxta thường sử dụng phương phỏp tớch phõn từng phần để
hạ bậc dần f(x)
Nhưng với f(x) cú bậc 2004 ta khụng thể sử dụng 2004 lần tớch phõn từng phần do vậy cần đỏnh giỏ cận của tớch phõn
Với tớch phõn cú cận đối xứng
a
a f(x)dx
ta thường tỏch đụi thành
f(x)dx f(x)dx rồi sử dụng phộp đổi biến t = x
Trong trường hợp này cần chỳ ý tớnh chất:
f(x)dx f(t)dt
LỜI GIẢI CHI TIẾT: Viết lại I dưới dạng:
I =
0
2004
1
J
x sin xdx
+
1 2004 0
Xét tính phân J bằng phép đặt x = t suy ra dx = dt
Đổi cận:
x = 1 thì t = 1
x = 0 thì t = 0
Khi đó:
J =
0
2004 1
( t) sin( t)dt
1 2004 0
t sint.dt
1 2004 0
x sinxdx
Thay (2) vào (1) ta được I = 0
BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ SÁNG TẠO
Chọn cỏc hàm số lẻ cho dưới dấu tớch phõn, ta được bài toỏn tương tự:
Tớnh cỏc tớch phõn sau:
1
2015
1
a I x co s x.dx
1 4 1
b I x tan x.dx Cõu 5
HƯỚNG DẪN: Bạn đọc tự phỏc thảo hỡnh vẽ
Sử dụng phương phỏp tọa độ húa:
a
A O, B(0; a; 0), E a; ; 0 , S(0; 0; a)
2
LỜI GIẢI CHI TIẾT: Ta cú thể trỡnh bày theo cỏc cỏch sau:
Cỏch 1: Hạ SH vuụng gúc với BE rồi sử dụng hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng
Cỏch 2: Thiờt lập hệ tọa độ Oxyz với:
a
A O, B(0; a; 0), E a; ; 0 , S(0; 0; a)
2
Trang 6Từ đó, suy ra:
SB; BE 3a 5
5 BE
BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ SÁNG TẠO
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = b, SA = c và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi E là trung điểm của cạnh CD Tính theo a, b, c khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE
Câu 6
HƯỚNG DẪN: Sử dụng phương pháp tách hệ số của bất đẳng thức Côsi với định hướng x, y cùng hệ
số bởi đẳng thức điều kiện 4(x + y) = 5
Từ đó, ta có biểu diễn:
S
Để đồng hệ số với 4y
LỜI GIẢI CHI TIẾT: Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có biến đổi:
S
5
5 x.x.x.x.4y
x x x x 4y
25 5 5
Suy ra MinS = 5, đạt được khi:
4(x y) 5
x 4y
x 1 1 y 4
Cách 2: Sử dụng biểu thức điều kiện 4y = 5 4x, ta có biến đổi:
Suy ra:
S'
5
0 x 4
Từ bảng biến thiên suy ra MinS = 5, đạt được khi x = 1 và y = 1/4
Cách 3: Ta có biến đổi:
2
25 4
S 5
Suy ra MinS = 5, đạt được khi:
4(x y) 5
4(x y) 5
x 4y
x 1 1 y 4
BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ SÁNG TẠO
Thay đổi đẳng thức điều kiện và biểu thức S tương ứng, ta được bài toán tương tự:
Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 3x + 4y = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S 3 1 .
Trang 7Cõu 7
HƯỚNG DẪN: Xỏc định thuộc tớnh của cỏc đường trũn (C1), (C2)
Sử dụng điều kiện tiếp xỳc của đường thẳng với đường trũn
LỜI GIẢI CHI TIẾT: Ta cú:
(C1) cú tõm I1(1; 1) và bỏn kớnh R1 = 1
(C2) cú tõm I2(2; 1) và bỏn kớnh R3 = 2
Giả sử tiếp tuyến chung (d) có phương trình:
(d): Ax + By + C = 0, với A2
+ B2
Ta có (d) tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi
d(I ,(d)) R
| A B C |
1
| 2A B C |
2
| A B C | A2 B2
| 2A B C | 2 | A B C |
| A B C | A B
C 3B
1
3
C 3B
| A B 3B | A B 1
3 1
| A B (4A B) | A B
3
3B
C 3B&A
4
Khi đó, ta được hai tiếp tuyến chung:
(d1): Ax = 0 (d1): x = 0,
(d2): 3B
4 x + By 3B = 0 (d2): 3x + 4y 12 = 0
Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến chung (d1), (d2) của (C1) và (C2)
BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ SÁNG TẠO
Cho hai đường tròn (C1) và (C2) có phương trình:
(C1): (x + 1)2 + (y + 1)2 = 1, (C2): (x 2)2 + (y + 1)2 = 4
Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn trên
Cõu 8
HƯỚNG DẪN: Ta lần lượt:
Với cõu a) ta xột vtcp của (d) với vtpt của (P)
Với cõu b) là bài toỏn cơ bản
LỜI GIẢI CHI TIẾT:
a Gọi
a, n theo thứ tự là một vtcp của (d) và vtpt của (P), ta có:
a
(2; 3; 5), n
(2; 1; 1) suy ra:
a
.n
= 4 + 3 + 5 = 12 a
và n không cùng phương
Vậy (d) cắt (P) và không vuông góc với (d)
Trang 8Xét hệ phương trình tạo bởi (d) và (P):
8
3
(d) (P) = I 8; 0;8
b Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:
Cách 1: Lấy A(2; 1; 1) (d)
Gọi () là đường thẳng qua A và vuông góc với (P), ta được:
(): qua A(2; 1;1)
vtcp n(2;1;1)
x 2 2t
z 1 t
, t
Vì hình chiếu vuông góc HA của A lên (P) chính là giao điểm của () và (P), do đó:
2(2 + 2t) + t 1 + t + 1 8 = 0 t = 2
3 HA(10
3 ; 1
3 ; 5
3 )
Phương trình hình chiếu vuông góc (d1) của (d) lên (P) được cho bởi:
(d1):
A
A
8 8 qua H ;0;
3 3
2 1 vtcp IH ; ; 1
3 3
1
y
Cách 2: Lấy A(2; 1; 1)(d)
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa (d) và vuông góc với (P):
(d) (Q)
(P) (Q)
(Q): qua A(2; 1;1)
hai vtcp a(2;3;5) và n(2;1;1)
(Q):
1
qua A(2; 1;1) vtpt n (1; 4;2)
(Q): x 4y + 2z 8 = 0
Hình chiếu vuông góc (d1) của (d) lên (P) là giao tuyến của (P) và (Q), có phương trình:
(d1): 2x y z 8 0
x 4y 2z 8 0
1
Cách 3: Chuyển phương trình (d) về dạng tham số:
(d):
x 2t 2
y 3t 1
z 5t 1
, t
Đường thẳng (d1) là hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) khi và chỉ khi với mỗi điểm M1(x; y; z) (d1) luôn tồn tại M(2t + 2; 3t 1; 5t + 1) (d) thoả mãn:
1
1
1
1
M (P )
M M // n
2x y z 8 0
x 2y 4 4t
y z 2t 2
(2) 2(3)
2x y z 8 0
x 4y 2z 8 0
1
y
Trang 9 BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ SÁNG TẠO
Trong không gian, cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình:
x 2t (d) : y 2 4t , t
z 2 5t
, (P): x 2y + 2z 10 = 0
a Chứng minh rằng đường thẳng (d) cắt mặt phẳng (P) tại điểm A Tìm toạ độ A, tính góc giữa (d)
và (P)
b Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên (P)
c Viết phương trình đường thẳng () đi qua A, nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (d)
d Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và tạo với (P) một góc có số đo nhỏ nhất
e Viết phương trình mặt cầu có bán kính bằng 10/3, tâm thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với (P)
f Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng (d) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm E(2; 2; 2)
g Viết phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3 tiếp xúc với (d) tại điểm B(0; 2; 2) và tiếp xúc với (P) Cõu 9:
HƯỚNG DẪN: Giới hạn dạng 0/0 với hai căn cú bậc khỏc nhau nờn cần sử dụng phương phỏp tỏch
Và giỏ trị trung gian được lựa chọn ở đõy là 1 bởi:
(x 0) (x 0)
Khi đú:
x 0
x 1 1 x 1 1
L lim
x
3
LỜI GIẢI CHI TIẾT: Ta biến đổi:
x 0
x 1 1 x 1 1
L lim
x
3
Ta lần lượt:
x 0
x 1 1 L1 lim
1 lim
x 1 1
1
; 2
x 1 1
1 lim
1 3
Từ đú, suy ra L 1 1 5
BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ SÁNG TẠO
Tớnh cỏc giới hạn:
3
x 0
x
5
x 0
x
Trang 10Cõu 10
HƯỚNG DẪN: Sử dụng khai triển Niuton (1 + x)n
Để cú được hệ số lệch k
n
(k 1)C , ta cần sử dụng x = 1 và đạo hàm của khai triển
LỜI GIẢI CHI TIẾT: Ta lần lượt thực hiện:
Với mọi x, và với n là số nguyên dương ta có:
(1 + x)n = C 0 + C 1x + C 2x2
+ + C n1xn 1
+ C nxn
Thay x = 1 vào (1), ta được:
2n = 0
C + 1
C + 2
C + + n 1
C + n
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1), ta được:
n(1 + x)n 1
= C 1 + 2C 2x + + (n 1)C n1xn 2
+ nC nxn 1
(3) Thay x = 1 vào (3), ta được:
n.2n 1
= 1
C + 2 2
C + + (n 1) n 1
C + n n
C (4) Lấy (4) (2), ta được:
n.2n 1 2n = 0
C + 2
C + + (n 2) n 1
C + (n 1) n
C
2
C + 2 3
C + + (n 1) n
C = (n 2)2n 1 + 1 > (n 2)2n 1, đpcm
BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ SÁNG TẠO
Các em học sinh hãy thực hiện theo lược đồ sau để xây dựng:
Sử dụng khai triển (1 + x)n
(1 + x)n = 0 n
C + 1 n
C x + 2
n
C x2 + + n 1
n
C xn 1
+ n n
C xn
Thay x = 1 để nhận được (2)
Lấy tích phân hai vế của (1) rồi thayx = 1 để nhận được (3)
Xây dựng đẳng thức cần chứng minh bằng việc sử dụng các phép toán cho (2) và (3)
Bài làm thêm: Chứng minh rằng với các số m, n, p nguyên, dương sao cho p n và p m ta có:
p m
C = 0
m
C + 1
C p 1 m
C + + p 1
n
C 1 m
C + p
m
C
