Bộ đề thi môn toán tuyển sinh vào THPT chuyên Vĩnh Phúc từ 1996 đến 2012

Tuyển tập các đề thi môn toán tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Vĩnh Phúc từ năm 1996 đến năm 2012

LỜI NÓI ĐẦU

Các em học sinh khá giỏi ở trường THCS không chỉ muốn dừng lại ở kếtquả thi đỗ vào trường một THPT, dường như tất cả đều mong muốn bước vàotrường chuyên THPT, nơi mà năng khiếu của các em được phát triển tốt hơn.Tuyển tập “Những đề thi vào trường THPT chuyên Vĩnh Phúc” nhằm mụcđích góp thêm một tư liệu cho các em học sinh khá giỏi lớp 9 trên con đường tựrèn luyện bộ môn toán Đặc biệt, giúp các em có một cái nhìn tổng quan về cácvấn đề thường gặp trong đề thi vào lớp 10 của trường chuyên Vĩnh Phúc

Ngoài ra, trong tài liệu này, thầy giới thiệu thêm với các em quy trình để giải một bài toán (của George Polya, nhà toán học và nhà sư phạm Mỹ gốc

Hungary nổi tiếng) Quy trình này rất thiết thực cho những ai muốn giỏi toán.Thầy mong rằng tài liệu này góp phần giúp các em thi vào lớp 10 với kếtquả cao nhất

Vì sự thành công của các em!

Xuân Hòa, ngày 28 tháng 2 năm 2012

NGUYỄN ĐÌNH PHÚ

POLYA: GIẢI BÀI TOÁN NHƯ THẾ NÀO?

GEORGE POLYA sinh năm 1887 ở Hungary Ông tốt nghiệp đại học và bảo vệ luận án tiến sĩ tại Đại học tổng hợp Budapest Năm 1940 ông sang Mỹ, từ 1942 ông là giáo sư Đại học tổng hợp Stanford Ông mất năm 1985 tại California.

Ngoài những công trình về lí thuyết số, giải tích hàm, toán thống kê và giải tích tổ hợp, G Polya rất nổi tiếng với những nghiên cứu về quá trình giải toán và quá trình sáng tạo toán học, được đúc kết trong bộ ba quyển sách (đã được dịch ra rất nhiều thứ tiếng trên thế giới, trong đó có tiếng Việt): How to Solve it? (Giải một bài toán như thế nào?), Mathematical Discovery (Sáng tạo toán học) và Mathematics and Plausible Reasoning (Toán học và những suy luận có lí).

Mặc dù được viết cách đây đã gần một thế kỉ, các quyển sách của G Polya đến nay vẫn giữ nguyên giá trị to lớn đối với thầy cô giáo các cấp, đối với sinh viên và học sinh muốn dạy

và học toán học (và cả những nhà khoa học khác) một cách thông minh và sáng tạo.

Đây là bài viết tóm lược những ý chính trong quyển sách “Giải bài toán như thế nào?” – cũng cần nói thêm ở đây rằng từ “Giải bài toán” theo G Polya

không đơn thuần chỉ dừng lại ở việc tìm ra đáp số, như nhiều học sinh thậm chí

cả sinh viên vẫn thường hay hiểu, “Giải bài toán” ở đây bao quát toàn bộ quá trình suy ngẫm, tìm tòi lời giải cũng như lý giải nguyên nhân phát sinh bài toán, và cuối cùng là phát triển bài toán vừa làm được, hoặc ít ra nêu ra những hướng đi mới trên cơ sở đã hiểu nguồn gốc từ đâu bài toán phát sinh.

I Tìm hiểu bài toán:

-Đâu là ẩn? đâu là dữ kiện? đâu là điều kiện? có thể thỏa mãn điều kiện bài toán?điều kiện có đủ để xác định ẩn? Hay là thừa, hay còn thiếu? Hay có mâu thuẫn?

- Vẽ hình

II Tìm tòi l ời giải bài toán:

- Bạn đã gặp bài toán nào tương tự thế này chưa? Hay ở một dạng hơi khác?

- Bạn có biết một định lý, một bài toán liên quan đến bài toán này không?

- Hãy xét kỹ cái chưa biết, và thử nhớ xem có bài toán nào có cùng cái chưa biết

- Nếu bạn chưa giải được bài toán này, hãy thử giải một bài toán phụ dễ hơn có

liên quan, một trường hợp riêng, tương tự, tổng quát hơn? Hãy giữ lại một phần

giả thiết khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào? Từ các điều đó bạn có thểrút ra được điều gì có ích cho việc giải bài toán? Với giả thiết nào thì bạn có thể

giải được bài toán này?

- Bạn đã tận dụng hết giả thiết của bài toán chưa?

III Giải bài toán:

Thực hiện lời giải mà bạn đã đề ra Bạn có nghĩ rằng các bước là đúng? Bạn

có thể chứng minh nó đúng?

IV Khai thác bài toán:

- Bạn có nghĩ ra một hướng khác để giải bài toán? Lời giải có ngắn hơn, đặc sắchơn

- Bạn đã áp dụng cách giải đó cho bài toán nào chưa?

- Bạn có thể áp dụng bài toán này để giải các bài toán khác đã biết?

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 1997 - 1998

b) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên

Câu 2 Giải phương trình: 2 2

2x − −8x 3 x −4x− =5 12

Câu 3.

Cho Parabol (P) có phương trình y = x2 và điểm A có hoành độ bằng 2 thuộc (P)

a) Viêt phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) tại A

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) với các trục tọa độ Ox, Oy.c) Tính diện tích của hình tam giác giới hạn bởi đường thẳng (d), trục Ox

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 1997 - 1998

Câu 5.

Cho tam giác ABC, các đường phân giác của các góc A, B, C kéo dài cắt đườngtròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại các điểm A1, b1, C1 Chứng minh rằng:

AA1 + BB1 + CC1> AB + BC + AC

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 1998 - 1999

Cho tam giác ABC, về phía ngoài của tam giác ta dựng các tam giác vuông ABE

và ACF đỉnh A Chứng minh rằng trung tuyến AI của tam giác ABC vuông gócvới EF và AI = 1EF

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 1998 - 1999

Cho ba số dương phân biệt p0, p1, p2, có tổng bằng 1

Chứng minh rằng nếu phương trình: p2x2 + p1x + p0 = x có nghiệm x0 thỏa mãnđiều kiện: 0 < x0 <1 thì p1+ 2p2> 1

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 1999-2000

Giải và biện luận phương trình: x − + − = 3 5 x 2 a.

Câu 3 Cho x2+ y2 + z2= 1, chứng minh rằng:

xyz + 2(1 + x + y + z + xy + yz + zx)≥ 0

Câu 4.

Cho ΔABC có ba góc nhọn, trực tâm H Người ta dựng hình bình hành BHCD vàgọi I là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành BHCD

a)Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn

b) So sánh BAH OAC , (trong đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC)

c) Gọi G là giao điểm của AI và OH Chứng minh G là trọng tâm của ΔABC

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 1999-2000

a)Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1, x2thỏa mãn 3x1– 4x2= 11

b) Tìm một hệ thức liện hệ giữa hai nghiệm của phương trình mà không phụthuộc vào m

Cho hình vuông ABCD tâm O, gọi K, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,

BC và F là trung điểm của NC Từ A kẻ đường thẳng song song với KF cắt CDtại G

Chứng minh FG là tiếp tuyến của đường tròn tâm O nội tiếp trong hình vuông

Câu 5.

Chứng minh rằng nếu phương trình bậc ba: ax3

+ bx2 + cx + d = 0 có hai nghiệmthực thì tích của 2 nghiệm đó không nhỏ hơn

2 2

4 4

ac b a

−

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2000-2001

Dành cho các thí sinh vào lớp chuyên Toán, Tin, Lí, Hóa, Sinh

Câu 2.

a) Chứng minh rằng với mọi số thực x ta luôn có:

2 2

a) Cho tam giác ABC Gọi O là tâm đường tròn bàng tiếp cạnh BC của ΔABC, D

là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABO

Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn

b)Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức:

( a b b c c )( )( a )

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2001-2002

Dành cho các thí sinh vào lớp chuyên Toán, Tin, Lí, Hóa, Sinh

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.

b P b

Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2– mx + 1 = 0 (1)

a) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có các nghiệm đều dương

b) Gọi a và b là hai nghiệm dương của phương trình (1), tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức: Q a b 1

(1 điểm)

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2002-2003

Dành cho tất cả các thí sinh Ngày thi 30 – 7 - 2002

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.

b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để hệ có nghiệm (x; y) với x, y nguyên

Bài 3 Cho phương trình

Cho đường tròn tâm O bán kính R, BC là một dây cung của đường tròn

(BC≠ 2R) Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giácABC Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H Gọi A’ làtrung điểm của BC

a) Chứng minh AH = 2.A’O

b) Gọi A1 là trung điểm của EF, chứng minh rằng:

1

' '

c) Xác định vị trí của điểm A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhất

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2002-2003

Dành cho các thí sinh vào lớp chuyên Toán, Tin

1 Chứng minh rằng biểu thức F(x) = x2+ mx + 1 có giá trị nhỏ nhất bằng - 1 khi

và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây: x2+ mx + 2 = 0 có nghiệm kép

2 Tìm tất cả các giá trị của các số thực a, b sao cho biểu thức:

1 Chứng minh rằng tiếp tuyến tại A của (O) vuông góc với BC

2 Giả sử ABC có diện tích lớn nhất có thể được, hãy tính độ dài AD

Bài 4.

Trong một hình vuông có diện tích 5m2 có chứa 9 hình vuông con, diện tích mỗihình vuông con là 1m2 Chứng minh: tồng tại ít nhất hai hình vuông con có diệntích phần chung không nhỏ hơn 1 2

m

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2003-2004

2

q=b) Gọi x1, x2là hai nghiệm của phương trình và thỏa mãn điều kiện:

Hãy tính giá trị của x1, x2

Bài 3.Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

a) Chứng minh OK = KH

b) Tìm quỹ tích cácđiểm K khi M di động

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2003-2004

Dành cho các thí sinh vào lớp chuyên Toán, Tin

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Bài 4.

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Điểm M di động trên nửađường tròn đó, M kông trùng A và B Tiếp tuyến tại M cắt hai tiếp tuyến tại A, Bcủa nửa đường tròn tương ứng tại C, D Gọi E là giao điểm của OC và AM, F làgiao điểm của OD và BM, H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, J làchân đường vuông góc hạ từ O xuống CD

a) Chứng minh rằng:

2 2

1

OC OD MH

AM MB OJ = và tứ giác CEFD nội tiếp trong một

đường tròn tâm K

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2005-2006

c) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho P < 0

Câu 2.Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m

b) Xác định m để phương trình có nghiệm

Câu 4.

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, I là trung điểm của OA.Đường thẳng (d) qua I vuông góc với AB và cắt nửa đường tròn tại K Điểm Cthuộc đoạn thẳng IK (C không trùng với I và K), đường thẳng AC cắt nửa đườngtròn tại M Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại M cắt (d) tại điểm N, đường thẳng

BM cắt cắt (d) tại D

a) Chứng minh ΔCMN cân

b) Tính độ dài CD theo R trong trường hợp C là trung điểm của đoạn IK

c)Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp ΔACD luôn nằm trên một đườngthẳng cố định khi điểm C di động trên đoạn IK (C không trùng với I, K)

Câu 5 Cho a, b, c là ba số dương; x, y, z là ba số có giá trị thuộc đoạn 1

0; 2

 

 

 .Biết rằng a + b + c = x + y + z = 1

Chứng minh rằng ax + by + cz ≥ 8abc

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2005-2006

Dành cho lớp chuyên tin

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.

a)Giải hệ phương trình theo tham số m

b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên

Câu 4 Cho góc xAy Một đường tròn (O) cắt các tia Ax, Ay tại các điểm M, N,

P, Q sao cho N nằm trên tia Mx và Q nằm trên tia Py, kẻ dây cung MR song songvới PQ

a) Chứng minh rằng góc PMR bằng góc MNQ

b) Chứng minh rằng ΔANQ đồng dạng với ΔPNR

c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp ΔANP luôn tiếp xúc với đườngthẳng PR

Câu 5 Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn − ≤1x x y z y; ;z ≤32

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2005-2006

Dành cho lớp chuyên toán

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.

a)Giải hệ phương trình theo tham số m

b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên

Câu 4 Cho góc xAy Một đường tròn (O) cắt các tia Ax, Ay tại các điểm M, N,

P, Q sao cho N nằm trên tia Mx và Q nằm trên tia Py, kẻ dây cung MR song songvới PQ

a) Chứng minh rằng góc PMR bằng góc MNQ

b) Chứng minh rằng ΔANQ đồng dạng với ΔPNR

c) ChoMR = PQ và gọi I là giao điểm của MR với NQ Chứng minh rằng đườngtròn ngoại tiếp ΔANP tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ΔINR

Câu 5 Cho n là một số nguyên dương Biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính

phương Chứng minh rằng n chia hết cho 40

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2006-2007

 

 

  D Đi qua hai điểm (0; 2) và 1

; 0 2

 

 

 c) Đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác đều MNP có bán kính tương ứng là

Câu 4 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Gọi K là trung điểm của cung

AB, M là điểm di động trên cung nhỏ AK (M khác A và K), hai đường thảng AM

và OK cắt nhau tại D Lấy N trên đoạn BM sao cho BN = AM

TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2006-2007

Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.

1 Chứng minh 5 điểm A, B, I, O, M nằm trên một đường tròn

2 Chứng minh IC là phân giác của góc AIB

3 Chứng minh ΔIAC đồng dạng với ΔICB

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2007-2008

Dành cho tất cả các thí sinh

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1: Cho phương trình: x2

- 2(m-1)x + 2m - 3 = 0 (m là tham số)

a) Tìm mđể phương trình có 2 nghiệm trái dấu

b) Tìm mđể phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng bình phương

a) Hai ôtô cùng xuất phát từ hai địa điểm A và B đi ngược chiều nhau trên một

quãng đường Ô tô xuất phát từ A sau khi đi được một phần ba quãng đường thìtăng vận tốc lên gấp đôi nên hai ô tô gặp nhau ở chính giữa quãng đường Tính

vận tốc ban đầu của ô tô xuất phát từ A và vận tốc của ô tô xuất phát từ B, biết

rằng vận tốc của ô tô xuất phát từ B lớn hơn vận tốc ban đầu của ô tô xuất phát từ

Câu 4: Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ các tiếp tuyến MC và

MD với đường tròn (C và D là tiếp điểm); một cát tuyến đi qua M cắt đường tròn

tâm O tại hai điểm A và B (B nằm giữa A và M) Phân giác của góc ACB cắt AB

ở E Gọi I là trung điểm đoạn AB

a) Chứng minh MC = ME

ứng minh DE là phân giác của góc ADB

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2007-2008

Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.

——————————————

Câu 1: Cho phương trình: x2 – mx + m – 1 = 0 (m là tham số)

1) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2với mọi m

và tính giá trị của biểu thức 1 2

2 2

1 2 1 2

2 3 2(1 )

x x P

+

= + + + theo tham số m

2) Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P

Câu 2: Cho hệ phương trình: 2 2

1) Giải hệ phương trình khi a = - 1, b = 2

2) Tìm ađể hệ phương trình đã cho có nghiệm (x, y) với mọi b

Câu 3:

1) Giải phương trình: x x ( + 1 ) + x x ( + 2 ) = x x ( − 3)

2) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn:

x2– (2007 + y)x + 3 + y = 0

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A và AC > AB Đường tròn tâm I nội tiếp

tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC tương ứng tại P, Q Gọi F là trung điểm AC;đường thẳng FI cắt cạnh AB tại E; đường thẳng PQ cắt đường cao AH của tam

giác ABC tại M; đường thẳng AI cắt đường trung trực cạnh AC tại N

1) Chứng minh tứ giác QICN nội tiếp

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2008-2009

a) Giải hệ phương trình khi m=1

b) Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm thoả mãn: 1 2 2

a) Giải phương trình (1) với p=1,q= −2

b) Tìm p q và các nghi, ệm của (1), biết rằng khi thêm 1 vào mỗi nghiệm của (1)

thì chúng trở thành các nghiệm của phương trình 2 2

C©u 4 Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A LÊy ®iÓm D trªn c¹nh AC (sao cho AC >

2DC) lµm t©m vÏ ®­êng trßn tiÕp xóc víi BC t¹i E Tõ B kÎ tiÕp tuyÕn thø hai BF,

c¾tD t¹i I vµ c¾t AE t¹i K Trung tuyÕn AM cña tam gi¸c ABC c¾t BF t¹i N.

TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2008-2009

Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

C©u 4 Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M và N tương ứng là trung điểm các đoạn

thẳng AD và BC Đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E, đường thẳng BM và AN

cắt nhau tại F Gọi diện tích tứ giác MENF là S , di1 ện tích tam giác DEC là S ,2

diện tích tam giác FAB là S Ch3 ứng minh rằng: