Dáng đi u nghi m cua các bất đẳng thức vi biến phân

ở đóvi csảdụng phương trình viphân thường không the mô tả được het các yeu toràngbu®c.Tuynhiên,khinghiêncáuhđ ® n g lựctiepxúccómasátcủa vttheđadi n hay các hlai ghép cơ hoc, cácODEvàDAE

HàNi-2019

DÁNGĐIUNGHIMCUACÁCBAT ĐANGTHỨCVIBIENPHÂN

HàNi-2019

1.1 NỦAN H Ó M M ® T T H A M S O 20

1.1 1 Nảa nhómtuyentính 20

1.1.2 Nảanhómphituyen 23

1.2 Đ®ĐOKHÔNGCOMPACT(MNC)VÀCÁCƯCLƯNG 27 1.3 GIẢITÍCHĐATR±,ÁNHXẠNÉNVÀCÁCбNHLÝĐIEM BATĐ®NG 33

1.3.1 M®tsovanđevegiảitíchđatrị 33

1.3.2 Ánhxạnénvàm®tsođịnhlýđiembatđ®ng 35

1.4 TP HÚTT OÀ N C Ụ C C Ủ A NỦ A D ÒN G Đ A T R ± 36

1.5 M®TS O K E T Q U Ả B Ő T R 37

1.5.1 M®tsobatđȁngthácthườngdùng 37

1.5.2 M®tsobőđevàđịnhlý 38

1.5.3 M®tsokhônggianhàm 39

Chương2 BATĐANGTHỨCVIBIENPHÂNTRONGKHÔNGGIANHữUH Ạ N C H I E U 41 2.1 ĐT BÀITOÁN 41

2.2 SỤT O N T Ạ I N G H I N M 42

3

2.3 SỤTONTẠINGHINMPHÂNRÃ 48

2.4 TPHÚTTOÀNCỤCCHONỦADÒNGĐATR±SINHBI DVI 51

Chương3 BATĐANGTHỨCVIBIENPHÂNDẠNGPARABOLIC-ELLIPTICT R O N G K H Ô N G G I A N V Ô H Ạ N C H I E U 57 3.1 ĐT BÀITOÁN 57

3.2 SỤT O N T Ạ I N G H I N M 58

3.3 SỤTONTẠITP HÚTTOÀNCỤC 69

3.4 ÁPDỤ NG 74

Chương4 BATĐANGTHỨCVIBIENPHÂNDẠNGPARABOLIC-PARABOLICT R O N G K H Ô N G G I A N V Ô H Ạ N C H I E U 78 4.1 ĐT BÀITOÁN 79

4.2 SỤT O N T Ạ I N G H I N M 85

4.3 SỤTONTẠITP HÚTTOÀNCỤC 94

4.4 ÁPDỤ NG 99

KETLU¾NVÀKIENNGH± 103 1 Nhǎngk e t q u ả đ ã đ ạ t đ ư ợ c 103

2 Đex u a t m ® t s o h ư ớ n g n g h i ê n c á u ti e p t h e o 103

Lu n án được hoàn thành dưới sự hướng dan nghiêm khac, t n tình, chuđáocủa PGS.TS Tran Đình Ke Tác giả xin bày tỏ lòng kính trong và biet ơnsâusactớiThayvìsựtntâmhướngdanmàThaydànhchotácgiảtrongsuotquátrình hoc t p.Thay đã luôn sȁn sàng đón nh n nhǎng ý kien, luôn sát sao giảithích và chỉ dan cho tác giả Tác giả xin cảm ơn Thay moichieu thá tư hàngtuan đã dành thời gian của mình, không ngan ngại chỉ bảo, chia

đőicácvanđemới,cácphươngpháp,đườnghướngchotácgiảvàchonhómnghiêncáu.Ngoàinhǎnghànhtrangquýbáuvemtkhoahoc,sựđ®ngviêncủaThaydànhchotácgiảlànguonđ®nglựclớngiúptácgiảsaymêtrongnghiêncáu

Tác giả xin trân trong gải lời cảm ơn đen Ban Giám hi u, Phòng SauĐạihoc, Ban Chủ nhi m Khoa Toán-Tin và các thay cô B® môn Giải tích,khoaToán-Tin, Trường Đại hoc Sư phạm Hà N®i, nơi tác giả hoc t p và côngtác,đã luôn giúp đơ, đ®ng viên, tạo môi trường thu n lợi cho tác giả Tácgiả

xinđcbitcảmơnTS.TranThịLoan,PGS.TS.CungTheAnh,TS.NguyenNhưThang, TS.Dương Anh Tuanvì sự khíchlv à s ự t n tình góp ýlun án

Tác giả xin gải lời cảm ơn sâu sac đen các thay cô trong các H®i đong,đãdành nhieu thời gian, công sác và tâm huyet đe đóng góp nhǎng ý kien quýbáugiúpcholunáncủatácgiảđượchoànthànhtotnhat

NguyenThịVânAnh

6

Pb (E) ={A∈P(E):Alàt pb ị c h n}P c (E)

={A P ∈ (E) :Alàt pđóng}K(E)

parabolic

7

MĐ A U

1 Lýdochon đe tài

Lýthuyet định tính của phương trình vi phân(ODE)trải qua hơnm®tthek p h á t t r i e n , đ ã c h á n g t ỏ v a i t r ò q u a n t r o n g c ủ a n ó t r o n g v i cmôh

ì n h hóav à g i ả i q u y e t n h i e u b à i t o á n c ủ a t ự n h i ê n v à k ĩ t h u t.Trongn h ǎ n g t

h pkỉ cuoi the kỉXX,phương trình vi phân đại so được quan tâm nghiên cáuvànhieuketquảquantrongđãđượcthietlp(xem[12,47]).Theođó,cácphươngtrình vi phânđại so(DAE)đã được sả dụng trong nghiên cáu bài toán vehthong mạng đi n,hcơhoc có ràng bu®c, các phản áng hóa hoc, ở đóvi csảdụng phương trình viphân thường không the mô tả được het các yeu toràngbu®c.Tuynhiên,khinghiêncáuhđ ® n g lựctiepxúccómasátcủa vttheđadi

n hay các hlai ghép cơ hoc, cácODEvàDAElại trở nên hạn che, do phátsinh đieukinràng bu®c nam ở dạng bat đȁng thác (ràng bu®c m®t phía), vàđieuki nve ngatquãng trong cơ hoc tiep xúc ho c trong các bài toán kĩ thutchuyen mạch (xem[4,22]) Chính vì v y, đe nghiên cáu cáchvi phân với ràngbu®c thỏa mãn yêu cau

tà thực tien như trên đòi hỏi các nhà toán hoc phảikhảo sát lớp bài toán r®ng

hơn, đó là cácbat đȁng thúc vi bien phân, trong

đóbaogomm®tlớpbàitoánquantronglàcáchbùviphân

Thu t ngǎbat đȁng thúc vi bien phân (Differential variational inequality

-DVI)được sả dụng lan đau tiên bởi Aubin và Cellina [5] năm 1984 trongcuonsáchchuyênkhảovebaohàmthácviphân.Trongđócáctácgiảxétbàitoán

Tà đó, các tác giả đã sả dụng công cụ của giải tích đa trị đe nghiên cáutínhgiải được của bài toán (1) Đen năm 1997, bài toán bat đȁng thác vi bienphânđược mở r®ng bởi Avgerinous và Papageorgiou trong bài báo [6] Hai nhàtoánhocđãnghiêncáuvenghi

và yeu to ràng bu®c dạng bien phân Bài toánDVI[49] đã được

phátbieutőngquátvớimôhìnhcụthenhưsau:Tìmcphàm(x,u),t r on gđ ó x làhàmliên tụctuytđoivàulàhàmkhảtíchthỏa mãnh:

M®tt r on gn hǎ n glớ p bà it oá nđ cb itc ủ a c ác ba t đȁ n g th á cvib ien p hâ n là

bài toán bù vi phân, khiK=Clà m®t nón Trong trường hợp này, bat

đȁngthácvibienphân(2)-(3)đượcvietdướidạng

xJ

(t)=f(t,x(t),u(t)), Csu(t)⊥F(t,x(t),u(t)) C∈ ∗,

vớiC∗l ànónđoingaucủa C

Công trình [49] của J.S Pang và D.E Stewart đã chỉ rõ được tam quantrongcủa các DVI trong rat nhieu lĩnh vực: đ®ng lực hoc tiep xúc (ContactDynamics),mạngđ i n( E l e c t r i c C i r c u i t ) , đ ® n g l ự c h o c k i n h t e ( E c o n o

m i c D y n a m i c s ) , b à i toánt r ò c h ơ i v i p h â n N a s h B a n g v i cđ e x u a t m ô h

ì n h (2)-(3),J S P a n g v à

D.E Stewart đã đưa DVI trở thành mô hình tőng quát của nhieu bài toánquantrongđượcnghiêncáutrướcđónhưphươngtrìnhviphânđạiso,bàitoánbùviphân,batđȁngthácbienphântien hóa,

Sauc ô n g t r ì n h c ủ a J S P a n g v à D E S t e w a r t , đ ã c ó k h á n h i e u n g h i ê n c

á u sâu sac ve DVI Các DVI cùng với nhǎng áng dụng của chúng trở thành m®tvanđemởthuhútsựquantâmcủanhieunhàtoánhoc.CôngtrìnhcủaZ.Liuvàcác c®ng sự năm 2013 đã nghiên cáu ve bài toán ton tại và tính rě nhánh toàncục của nghi m tuan hoàn cho

trongkhônggia n Eu clid h ǎ u h ạ n c h i eu b a n g p h ư ơn g p há p b ct

ô-p ô c h oá n h xạ đ a trị (xem [37]) M®t so ket quả ve tính giải được và đieu ki n rěnhánh cho cácDVI có the được tham khảo trong các công trình [26,35,37,41]

đó,Gwinnerthuđượccácketquảvetính őnđịnhchom®tlớpmớicácDVI(xem

[27]).T ín h őn đ ị n h c a u t r ú c củ a m ® t s o l ớ p DV I c ũ n g đ ư ợ c n g h i ê n cá u t r on

g [25,50]vàcáctàiliuthamkhảotrongđó

Các áng dụng cụ the của mô hình DVI cũng được các nhà toán hocquantâm.CôngtrìnhcủaChenvàWangnăm2014sảdụngmôhìnhDVItőngquátđe khảosát bài toán cân bang Nash đ®ng với ràng bu®c chia sẻ (xem [19]) Liênquan đen áng dụng này là mô

mởr®ngtàbàitoáncânbangNash(xem[10,19,52]).Chúýrang,đoivớitrườnghợp bàitoán cân bang Nash, người ta phải giải quyet bài toán đieu khien toi ưuđược thiet l p bởi hàm quan sát riêng lẻ (tương áng chom®t đoi tượng đưa raquyet định) Tuy nhiên trên thực te, có nhǎng tình huong đòi hỏiphải có nhieuhơn m®t đoi tượng tham gia quyet định, theo đó moi phương ánquan sát đeuco gang đạt được trạng thái toi ưu thỏa mãn ràng bu®c ởdạng

viphân.Tàđó,lýthuyettròchơiviphânđượcrađờimàmôhìnhhóatoánhoccủanóchínhlàcácDVI(cóthexemchitiettrong[52]).Ngoàiracóthekeđencác áng dụng của DVI mô

tả các hlai ghép trong ky thu t với cau trúcbienthiên(xem[17,20,30]),đ®nglựchocchatranvớitiepxúcmasát(xem[4,49]),mạchđincódiode,

Bên cạnh nhǎng áng dụng phong phú vàa được ke đen của các DVIhǎuhạnchieu,vicxétbàitoánDVItrênkhônggianvôhạnchieucũnggiǎm®tvaitròquantrong.Đieunàyhoàntoàntựnhiêndocácbàitoánnảysinhtrongkĩthu t, trong nghiên cáu giảiphau, hđ®ng lực kinh te, cơ hoc tiep xúc, đượcmô tả bởi các hphương trìnhđạo hàm riêng Có hai mô hình DVI vô hạn chieuđược quan tâm nghiên cáugan đây Mô hình thá nhat là DVI với ràng

bu®cdạngelliptic ,đượcmôtảbởih

xJ

trong đóAvàBlà các toán tả trên các không gian vô hạn chieu,∂φφlà ký hi udưới

vi phân của phiem hàmφ Chú ý rang (6) có the viet dưới dạng batđȁngthácbienphânsuyr®ng

⟨Bu(t)ưg(x(t),u(t)),vưu(t)⟩+φ(v)ưφ(u(t))≥0,vớim o i v ∈ D(φ). (7)

KhiB l à t o á n t ả đ ạ o h à m r i ê n g l o ạ i e l l i p ti c , b a t đ ȁ n g t h á c b i e n p h â n (

7)đ ã được nghiên cáu trong [9] Trong trường hợpAvàBlà các toán tả đạo hàmriêng elliptic vàφlà hàm trơn, (5)-(6) là m®t h phương trình đạo hàm riêngkieuparabolic-elliptic, được sả dụng trong mô hình hóa các bài toán sinh-hóa[31],bàitoánkhôiphụchìnhảnh[32],

M®ttrongnhǎngvanđequantrongliênquanđenhđ®nglựcliênketvớicác DVI, đó

là nghiên cáu dáng đi u của các hàm trạng thái của hkhi bienthời gian đủ lớn Theo hieu biet củachúng tôi, các ket quả theo hướng này chocác DVI còn khá hạn che Ket quảgan đây ve dáng đi u nghi m cho các DVItrong không gian hǎu hạn chieu đãđược công bo trong công trình [34] Còn ratnhieu câu hỏi mở được đ t ra trong nhǎng nghiêncáu định tính với các DVI,bao gom: tính őn định nghi m theo nghĩa Lyapunov, sự ton tại

t p hút toàn cụccho hđ®ng lực liên ket với DVI, sự ton tại các lớp nghi m đ c

bi t của DVInhư nghi m dao đ®ng, nghi m phân rã, Đ c bi t, bài toán DVItrong khônggian vô hạn chieu hi n đang là van đe mới, có tính thời sự Khókhăn

chínhtrongnghiêncáucácDVIvôhạnchieunamởvicxácđịnhtínhgiảiđượccủabatđȁngthácbienphân(VI)đikèm,sauđólàvicxácđịnhtínhchatcủaánhxạnghimcủanó.Neuánhxạnghimnàykhôngcótínhchínhquy,vicnghiên

Tà nhǎng phân tích trên, chúng tôi chon đe tài nghiên cáu dáng đi u nghimchocácbatđȁngthácvibienphân,baogomm®tsolớptiêubieutrongcảkhônggianhǎuhạnvàvôhạnchieu

• Đoi tượng nghiên cáu: Bài toán bat đȁng thác vi bien phân trongtrườnghợp được đưa ve bao hàm thác vi phân Chúng tôi nghiên cáum®t so lớpDVI hǎu hạn chieu và hai lớp DVI vô hạn chieu dạng parabolic-elliptic,dạngparabolic-parabolic

• Phạmvinghiêncáu:

٨Ni dung 1: Batđang thfíc vi bienphân trongkhông gianhfiuhạn chieu.

Trong lý thuyet phương trình vi phân, h (10)-(12) được goi là m®t hviphân với ràng bu®c m®t phía (unilateral constrain) Bat đȁng thác vi bienphân(10)-(12) được mở r®ng khi xét thêm đieu ki n tre lên hàm trạng tháix(·).

Trongtrường hợp bài toán không có tre, J.S Pang và các c®ng sự đã giải quyet nhieulớp bài toán liên quanđen van đe ton tại nghi m, tính duy nhat của nghi m vàsự phụ thu®c nghi mvào các dǎ ki n ban đau (xem [49,18]) Nhǎng ket quảvetínhchínhquyvàőnđịnhcholớpbàitoánbùviphâncũngđượcnghiêncáubởi

J.S.Pang và các c®ng sự, tương áng với trường hợp đ c bi tK=R m, đượcángdụng r®ng rãi trong kĩ thutmạch đi n (xem [15,16,20,22,30]) Trongnhǎngcông trình này, công cụ chính được sả dụng là giải tích bien phân,phương

pháplpEuler,p h ư ơ n g p h á p l pNewton,n h a m r ờ i r ạ c h ó a b à i t o á n đ e v ư ợ t

q u a các đieu ki n khi mà tính chính quy của ánh xạ nghi m của bat đȁng thác bienphânbịphávơ

Trong bài toán (10) - (12), chúng tôi cháng minh được sự ton tại nghi m,sựtont ạ i n g h i mp h â n r ã t o c đ ® m ũ , v à s ự t o n t ạ i t ph ú t c ủ a n ả a d ò n g đ a t r

ị chohđ ® n g lựcsinhbởi(10)-(12)

٨N idung2:Bàitoánbatđangthfícvibienphântrongkhônggianvôhạnchie

udạngparabolic-elliptic

ChoXlàm®tkhônggianBanachvàUlàm®tkhônggianBanachphảnxạ.

nảanhómtrênX;B:U→ U ∗làm®ttoán tả tuyen tính liên tục được xác định thông qua phiem hàm song

tuyen tính,trongđóU ∗ làkhônggianđoingaucủaU.

trongđóx(t)∈Evàu(t)∈K⊂E1vớiE, E1là các không gian Banach,Klàm®t t p loi

khác rong Trong công trình này, các ket quả ve tính giải được vàtính chat

của t p nghi m với giả thiet t pKlà compact được cháng minh.đây,đieukinvetínhcompactcủatpKđảmbảorangánhxạnghimcủabatđȁngt

hácbienphâncótínhnảaliêntụctrên.Chúngtabietrangkhisảdụngnhǎng phương pháp giảitích nham đưa DVI ve m®t phương trình vi phân hocbaoh à m t h á c v i p h â n , tí n h c h í n h q u y c ủ a á n h x ạ n g h i mn h ư tí n h đ o đ ư

ợ c , tínhnén,tính liêntụclàcácđieukincanthiet

Liên quan đen bài toáncủa chúng tôi,có the chỉ ra nhieu mô hình

đượcs i n h bởicác phương trình đ ạo hàm ri ê ng khi Xv à Ul à các khô ng gian v

ô hạn c hi e u

trình kieu

—∆u+h(u)=g(Z,u),t r ê n Ω)×(0,∞), (17)

ở đóZ=Z(x, t) vàu=u(x, t) là các hàm được xác định trên Ω)×R+thỏa mãnđieu ki

n biên Dirichlet thuan nhat ho c đieu ki n biên Neumann thuannhat.Bàitoánnàyxuathintrongnghiêncáuvesựdichuyencủavikhuȁndướitácđ®ngcủahóachat(xem[31]),hoctrongxảlýkhôiphụchìnhảnhkythutso(xem [32]) Dưới

nhǎng đieu ki n thích hợp, hàmhtrong (17) được viet ở dạngh(u)=∂φj(u)

j(u)=



H(u(x))dx,neuH (u)∈L1

(Ω)), +∞,t r o n g cáctrườnghợpcònlại

ở đóH(u)= u h(s)ds Có the thay rang (16)- (18) là m®t trường hợp riêngcủabàitoán(13)-(15)

Ket quả thu được đoi với bài toán (13)-(15) bao gom sự ton tại nghi m,cáctính chat của t p nghi m và sự ton tại m®t t p hút toàn cục cho hđ®nglựcsinhbởibàitoánnày

)-ả đạohàmriêngelliptic.

Ket quả gan đây ve tính giải được của bài toán (19)-(21) được trìnhbàytrong công trình [44] Ngoài ra, theo khảo sát của chúng tôi, chưa có ketquảnàođecpđentínhchatđịnh tính củanghimđoivớih(19)-

(21).Tronglunánnày,chúngtôisětrìnhbàycácketquảvetínhgiảiđượcvàsựtontạim®ttphúttoàncụccủam®tnảadòngđatrịsinhbởihđ®nglựcliênketvới(19)-(21)

3 Phươngphápnghiêncfíu

Lu n án sả dụng các công cụ của giải tích đa trị, lý thuyet nảa nhóm(xem[46]), lý thuyet điem bat đ®ng, lý thuyet őn định đe thực hi n các n®idungnghiêncá u n êu tr ên N go à ir a đoiv ớ ic á c n ®i d u n g c ụ t h ec h ú n g t ôis ả

d ụ n g m®tsokythuttươngáng:

1

2

• Nghiên cáu tính giải được của các bài toán phi tuyen: Phương phápướclượngt heođ ® đ o khôngcom pact [3]vàcác đị nh lý đie mbat đ® ng.

• Nghiên cáu dáng đi u nghi m của bat đȁng thác vi bien phân thôngquanghiên cáu sự ton tại nghi m phân rã, sả dụng các định lý điem batđ®ngchoánhxạnén

• Nghiên cáu sự ton tạitp hút toàn cục theo lược đo của Melnik vàValero[43]

4 Cautrúcvàcácketquacualunán

Ngoài phan mở đau, ket lu n, danh mục các công trình được công bovàdanhmụctàiliuthamkhảo,lunángom4chương:

• Chương 1:Kien thúc chuȁn b Trong chương này, chúng tôi nhac lại cácket

quả ve lý thuyet nảa nhóm, lý thuyet đ® đo không compact, ánh xạnén

và các định lý điem bat đ®ng, m®t so kien thác ve giải tích đa trị,lýthuyetőnđịnhcủacáchv i phân

• Chương 2:Bat đȁng thúc vi bien phân trong không gian hũu hạn

chieu.Trongchươngnày,chúngtôichángminhtínhőnđịnhcủanghimchom®tlớpc

ácba tđȁngthácvibienphânvới tre hǎuhạn.Chúngt ôi chỉrasựtont ạ i

m ® tt ph ú t t o à n c ụ c c h o n ả a d ò n g đ a t r ị l i ê n k e t v ớ i b a t đ ȁ n g thácvibienphânvàsựtontạinghimphânrã

• Chương3:Bat đȁng thúc vi bien phân dạng parabolic-elliptic trong

khônggian vô hạn chieu Trong chương này, chúng tôi đưa ra lớp bat đȁng

thácvi bien phân dạng parabolic-elliptic và cháng minh ket quả ve sự tontạinghi

m,s ự t o n t ạ i m ® t t ph ú tt o à n c ụ c c h o n ả a d ò n g đ a t r ị s i n h b ở i nghimcủalớpbàitoánnày

• Chương 4:Bat đȁng thúc vi bien phân dạng parabolic-parabolic trong

chieu.Trongchươngnày,chúngtôixétm®tlớpbatđȁngthácvibienphândạngpa

rabolic-parabolicvàchángminhketquảvetínhgiải

∈

ω t

,v ớ i moit≥0.

n=0

Khiđó

(i) D(A)=Evà{e tA}t≥0là nảa nhóm compact

(ii) {e tA}lànảanhómkhảvi

Đ cbi t,neuE=R n , do moi toán tả tuyen tính trênEđeu bị chnnênAđược

bieu dien thông qua ma tr n capn×n Khi đó ta cũng có dạng bieu diencủa nảa

nhóm sinh bởiAtheo bieu dien chuoi lũy thàa như trên Trường

tiepbởic ô n g t h á c G r e e n V ớ i ξ ∈ D (A),đ tu (t)= S(t)ξ.G o i f : R+→R+

ω t

ChotphợpDsaocho∅}=/ D⊂ E D ưới đ â y t at rì nh b à y cá ck h ái n i m

ve nảa nhóm phi tuyen không giãn, toán tả sinh của m®t nảa nhóm phituyen.Chú ý rang m®t nảa nhóm là phi tuyen khi moi thành phan của nó không

cònthu®clớpcácánhxạtuyentính trênE.

Định nghĩa 1.1.8.M®t ho{S(t)} t≥0 các hàmS(t) :D→Dđược goi là m®tnủanhómcácánhxạkhônggiãnt r ê n Dneu

S(t+s) =S(t)S(s),∀t, s≥0,S(0)=I,

Tương tự như trong trường hợp nảa nhóm tuyen tính, ta cũng có khái ni

mve toán tả sinh của m®t nảa nhóm phi tuyen Toán tảA0được goi là toán

tảsinhcủanảanhóm{S(t)} t≥0n e u nóxácđịnhbởi

A0x=l i m

h→0+ S ( h ) x − x

, h

Ω)

vớinhǎngx∈Dsao chogiớihạntrêntontại.

Ta nêu ra định nghĩa ve toántả tăng trưởng vàω-tăng trưởng trên khônggianBana ch E Trước he t ,vớ iX, Yl à hai kh ôn g gian tu ye n tính, k íh i uX

×YlàtíchCartesiancủachúng.NeuTl à m®t ánh xạđa trịtà Xv à o Y,tacó theđo

ngnhatTvới đo thị của nó{(x, y) :x∈D(A), y∈Tx} Ngược lạineuT⊂X×Yt h ì

t a x á c đ ị n h đ ư ợ c á n h x ạ đ a

t r ị TtrênD(T)⊂XbởiTx={y∈Y:(x,y)∈T}.

GoiE∗làkhônggianđoingaucủaEvớichuȁnǁ·ǁ∗,và ·⟨ ,·⟩làtíchvôhướng

củac pđoingauE,E∗.TakíhiuJ:E→P(E∗)làánhxạđoingaucủaE,táclà

(iii) m-tăngtrướngn e u nótăngtrưởngvàR(A+I)=E;

(iv) ω-m-tăngt r ư ớ n g n e u nól àω-tăngt rưởngv à m-tăngt rưởng.

Vem tt h u tn g ǎ , t a c ó t h e g o i t o á n t ả A t ă n g t r ư ở n g ( ω-tăngt r ư ở n g ,

m-tăngt r ư ở n g , ω -m-tăngt r ư ở n g ) t r ê n E ×E.

Địnhnghĩa1.1.10.ToántảA:D(A)⊂E→P(E∗)(haytpA⊂E×E∗)đượcgoilà

(i)đơ n đ i un e u ⟨ x1−x2,y1−y2⟩≥0,∀(x1,y1),(x2,y2)∈A;

(ii)đ ơ n điucựcđạineunókhôngbịcháatrongbatkìm®ttpđơnđiunàocủaE×E∗

ǁx(t)−uǁ≤ ǁx(s)−uǁ+

s [x(τ)−u,v]+dτ,0≤s≤t≤T,∀(u,v)∈A.

Trong trường hợpE=Hlà m®t không gian Hilbert ta có m nh đe nói lênmoiliênhgiǎatoántảm-tăngtrưởngvàtoántảđơnđiucựcđại.

M nh đe 1.1.11(Định lý Minty).Cho H là m®t không gian Hilbert và A là

m®ttoántủ(đatr)tăngtrướngtrênH.KhiđóAlàm-tăngtrướngneuvàchíneunól àt oá nt ủđ ơ n điuc ự c đạ i.

Ta thay rang neu nảa nhóm không giãn{S(t)} t≥0 nh nAlàm m®t toán tảsinh thìAcó tính chat tiêu hao (xem [7]) Bây giờ đe nói lên moi quan h

Theo[9,trang102],giớihạnvephảit o n t ạ i v à t a g o i [ x, y]+l à tí c h c ủ a h a i phan

tảxvày Sau đây ta đưa ra định nghĩa nghi m tích phân của bài toán(1.1)-(1.2)

Định nghĩa 1.1.12.[9, trang 132] M®t hàmx∈C([0, T];E) vớix(0)

S(t)x=

max(0,x−t) vớix>0

Khiđó{S(t)} t≥0l à nảanhómcácánhxạphituyenkhônggiãntrênRvớitoántảsinhxácđịnhbởi

Đ® đo không compact (measure of noncompactness - MNC) là m®t

trongnhǎng khái ni m quan trong trong lý thuyet giải tích đa trị Trong mục

này, tađưa ra khái ni m ve đ® đo không compact, các tính chat của m®t đ® đo

(i) đơnđ i un e u Ω)1,Ω2∈ Pb (E),Ω1⊂ Ω2k é o t h e o β (Ω)1)≤β(Ω)2);

(ii) khôngs u y b i e n neuβ ({x} Ω)∪Ω) = β (Ω))v ớ i m o i x ∈ Ω P E, ∈ b (E);

(iii) batbienvớinhieucompactn e u β(K∪Ω)=β(Ω))vớimoitpcompacttươ

ngđoiK⊂EvàΩ)∈P b (E);

(iv) nủac®ngtínhn e u β(Ω)0∪Ω) Ω1)≤max{β(Ω)0),β(Ω)1)}v iới moiΩ)0,Ω1∈ Pb (E); (v) nủac ® n g tí n h đ ạ i s o neuβ (Ω)1+Ω)2)≤ β (Ω)1)+β(Ω)2)v ớ i m o i Ω)1,Ω2∈ Pb (E

);

(vi) chínhquyneuβ(Ω))=0tươngđươngvớitínhcompacttươngđoicủaΩ).

Dưới đây ta chỉ ra hai ví dụ ve các đ® đo không compact thỏa mãn tatcảcác tính chat trên Đó là đ® đo Hausdorff và đ® đo Kuratowski, cho phépchúngtaquansátm®ttpbịchn"ganvới"m®ttpcompactnhưthenào

Tacómnhđesauveướclượngđ®đokhôngcompactcủam®tt pbịchnthôngquam®tdãytrongtpđó.

Mnhđe1.2.4.C h o Ω⊂Elàm®t t¾p bch¾n.Khiđó,vớimoi ϵ>0,tontại m®tdã

(J):=L1

(J;R+)saocho

ǁf(t)ǁ≤ν(t), vớimoif∈Dvàvớihaukhapt∈J.

compacttươngđoicủa látcat D(t)vàtínhđongliêntụccủa t pD.Tà đóneu

χ T (D)=ω T (D)+mod T (D),

thìχ T làm ® t đ ® đ o k h ô n g c o m p a c t c h í n h q u y t r ê n C(J;E).

BâygiờchoE=R n Xét không gianBC([0,∞);R n) các hàm liên tục bịch n trên

đoạn [0,∞) lay giá trị trongR n Kí hi uπ T là toán tả hạn che trênBC([0,∞);R n ),táclàπ T (x)làhạnchecủaxtrênJ.Khiđó

do đó{f k }không là m®t dãy Cauchy trongBC([0,∞);R Tà đóχ T (π T ({f k}))

=0vớimoiT>0,suyraχ∞({f k })=0,nhưngf k khôngphảilàm®tdãycompacttươngđoi.

Khiđóχ∗làm®tđ®đokhôngcompacttrênBC([0,∞);R n).Tasěchángminhrangđ®đ

oχ∗cótínhnảachínhquy,táclàχ∗(D)=0kéotheoDlàtpcompacttươngđoitrongB

C([0,∞);R n)

Bőđe 1.2.9.Đ®đokhôngcompactχ∗cótínhchatnủachínhquy.

Chúngminh.ChoD⊂BC([0,∞);R n )làm®ttpconbịchnsaochoχ∗(D)=

0.T a s ě c h ỉ r a r a n g D l à m ® t t pc o m p a c tt ư ơ n g đ o i L a y PBC([0,∞);R n)l àkhônggiancáchàmbịchn,liêntụctàngkhúctrênR+,nhngiátrịtrongRn

Khiđ ó , PBC([0,∞);R n)l à m ® t k h ô n g g i a n B a n a c h v ớ i c h u ȁ n

ǁxǁ PBC = supǁx(t)ǁ,

t≥0

ởđ â y B∞(x,r)l àh ì n h c a u t r o n g PBC([0,∞);R n )t â m x b á n k í n h r T a t h a y rang neux D ∈ t hì tontạik∈{1,2, ,N}saocho

i=1 Vìvyx∈B∞(xˆ k ,ϵ).TacóD⊂∪Ω) N B∞(xˆ i ,ϵ)vàdođóDlàtpcom-

pact tương đoi trongPBC([0,∞);R n ) Đe chỉ raDcũng compact tương đoitrongBC([0,∞);R n ),tathayrangvớimoi{x n }⊂D,tontạim®thàmx∈PBC([0,∞);

Địnhnghĩa1.3.1.Á n h xạđatrịF: Y→ P(E)đượcgoilà:

(i) nủaliêntựctrênn e u F−1(V)={y∈Y: F(y)∩V/

= }∅} làtpconđóngcủaYvớimoitpđóngV⊂ E;

(ii) nủaliêntựctrênyeun e u F−1(V)làtpconđóngcủaYvớimoitpđóngyeuV⊂

E;

(iii) đóngn e u đ ot hị ΓF={(y,z):z∈F(y)}làtpđóngtrong Y× E;

(iv) compactn e u F(Y)compacttươngđoitrong E;

(v) tựacompactn e u ánhxạhạnchetrênm®tt pconcompactA⊂Ybatkìlàco

mpact

Ta có ket quả sau ve đieu ki n đủ cho tính nảa liên tục trên của m®t ánhxạđatrị

Bő đe 1.3.2([33, Định lý 1.1.12]).Cho G:Y→ P(E)là ánh xạ đa tr

đóng,tựacompactvàcógiátrc o m p a c t KhiđóGlànủaliêntựctrên.

Bő đe 1.3.3([11, M nh đe 2]).ChoElà m®tkhônggian Banach vàΩ)là

m®tt¾pkhác rőng của m®tkhônggian BanachX.Giả sủ rang G: Ω)→P(E)làánh

xạ đa trcó giá tr loi, compact yeu Khi đó, G nủa liên tực trên yeu neuvà chí neu{x n }⊂Ω)với x n →x0∈Ω)và y n ∈G(x n )kéo theo ton tại dãy

concủay n h ® i tự yeuvey0∈G(x0).

Sauđây,tanhaclạikháinimhàmchonvànêum®tsoketquảđượcdùngtrongcácchươngsaucủalu nán

K(E)đ ư ợ c g o i l à h à m đ o đ ư ợ c m ạ n h n e u tontạim®tdãycáchàmđatrịbcth ang{F n}∞

n=1saocho

h(F n (t),F(t))→0,k h i n→∞,h k.n.t∈J, trong đóhlàkhoảng cáchHausdorffgiǎa haitp hợptrênK(E).

Bőđesauđ ược suyrat à [33,Bő đ e 1.3 3 ].

Bő đe 1.3.8.NeuElà không gian Banach và F:J→K(E)là hàm đa tr

Cácnguyênlýđiembatđ®ngsauđâyđượccoilàhquảcủaĐịnhlý1.3.10

Địnhlj1.3.11.ChoMlà m®t t¾p con khác rőng, loi, compact

trongEvàF:M→P(M)là m®t ánh xạ đa trđóng với giá trloi.Khiđó,Fix(F)là t¾pkhácr ő n g

Địnhlj1.3.12.ChoMlàm®tt¾p conkhácrőng,loi, đóng,bch¾ncủaEvàF:M

→Mlà m®t ánh xạ liên tực và β-nén.Khiđó,Fix(F)là m®t

t¾pcompactk h á cr őn g.

Địnhlýđiembatđ®ngsauđâylàm®ttrường hợpđcbitcủa[33,Hq u ả 3.3.1]

Địnhlj1.3.13.ChoMlà m®t t¾p khác rőng, loi, đóng và bch¾n của khônggian

BanachEvà giả sủ ánh xạ đa trF:M→P(M)là m®t ánh xạ compact,nủa liên tực trên với giá trloi, compact.KhiđóFix(F)là m®t t¾p compactkhácr ő n g.

T(B) T(B) T(B)

S

T(B)

1.4 T¾PHÚTTOÀNCỤCCUANƯADÒNGĐATR±

Trongmụcnày,tanhaclạicáckháinimvenảadòngđatrịvàtphúttoàncục cho nảa dòng

đa trị theo lược đo của Melnik và Valero (xem [43]) Giả sảΓlàm®tnảanhómconkhôngtamthườngcủanảanhómc®ngtính cácsothựcRvàΓ+=Γ∩[0,∞).

Địnhn g h ĩ a 1 4 1 Á n h x ạ G :Γ+×E→ P(E)đ ược goil à m®t n ủa d ò n g đ a t r

B⊂ E ,t o n t ạ i s o T (B)> 0 s a o c h o γ+

(B)làb ịch n.đ â y , γ+

(B)là tpcácq u yđ ạ os a u t h ờ iđ ie m T (B):γ+

(B)= G(t,B).G đư ợc g o i l à

t≥T(B) timcntrênnảacompactneuvớimoiBlàm®ttpđóngtrongEsaochovới

+

τ(B) (B) ⊂B1

Định nghĩa 1.4.4.T pconA⊂Eđược goi làt¾p hút toàn cựccủa nảa

dòngđatrịGneunóthỏamãncácđieukinsau:

1 Ahútmoit pB B∈ (E), nghĩa là dist(G(t, B), A)→0 khit→ ∞,với moi t p

bị ch nB⊂E, trong đó dist(·,·) kí hi u nảa khoảng cáchHausdorffcủahaitpcontrongE;

γ

vớimő i t ∈Γ+.

1.5 MTSOKETQUÁBŐTR

Ta đưa ra m®t vài bat đȁng thác quan trong được sả dụng trong lu n

án:batđȁng thúc Gronwall,bat đȁng thúc Halanay([28,29]),bat đȁng thúc

Poincaré([48])

٨B a t đ ȁ n g t h á c G r o n w a l l : G i ả s ả x (t)l à m ® t h à m l i ê n t ụ c t u y tđ

o i trên[0;T]vàthỏamãn

dx dt≤ g(t)x+h(t),h.k.n.t∈[0,T],

vớimoiu∈H k (Ω)).Trongtrườnghợpk=1,C=λt−1trongđóλt1chínhlàgiá

trịriêngđautiên củatoántảLaplace−∆D vớiđieukinbiênDirichlet.

Bőđe1.5.1(BőđeMazur).

[ 48 ,Bőđe10.19]ChoXlàm®tkhônggianBanachvàg i ả s ủ

u n ~u¯,

α k (n)=1t h ó a m ã n N(n)

v n := α(n) k u k

k=n

h®itựmạnhđenu¯trongX.

Địnhl ý s a u n ê u r a m ® t ti ê u c h u ȁ n đ e x á c đ ị n h tí n h c o m p a c t c ủ a m ® ttpcontrongkhônggiancáchàmliêntục

1/2

x∈

Ω) 2