1.2. Dãy Số Cho Bởi Công Thức Truy Hồi.docx

1 2 DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI Bài 1 Cho dãy số ( )nu biết 1 1 2 3 1, 2 n n u u u n       Xác định số hạng tổng quát của dãy Hướng dẫn giải 1 1 1 1 3 1 1 3 1 3 3( )(1) 2 2 2 2n n n n[.]

1.2 DÃY SỐ CHO BỞI CƠNG THỨC TRUY HỒI.

Bài 1. Cho dãy số( )u n biết

1

1

2

u







Hướng dẫn giải

u  u    u   u    u   u  

1 1 1

v

n n

v v n



Đặt

Dãy ( ) là v n cấp số nhân với cơng bội làq 3 .

Nên

1

5

2

n

v v q   

Do đĩ

1

n

n n

Bài 2. a) Tính giới hạn Alim3 n3n21 n

b) Cho dãy số (un) xác định bởi :

1 1

11

u







Hướng dẫn giải

A n n   n

Ta cĩ:

2

3 3 2

3

1

n



2 2

1 1 lim

n





Vậy

1

3

A 

b) Ta cĩ:

2

3

11 10 1

10.11 1 9 102 100 2

10.102 1 9.2 1003 1000 3

u

u

u

n

u  n

Chứng minh:

Ta có: u  1 11 10 11 , công thức (1) đúng với n  1

Giả sử công thức (1) đúng với n k ta có: u k 10k k

k

Công thức (1) đúng với n k  1

Vậy u n 10nn,  n N

Bài 3. Cho dãy số ( )u xác định bởi: n

1

* 1

4 1

9

u









Tìm công thức của số hạng tổng quát ( )u ? n

Hướng dẫn giải

Đặt x n  1 2 u n  x n2  1 2 ,u n

2 1 0

2

n

x

x   u  

Thay vào giả thiết:

n

x

1

(3x n ) (x n 4)

   3x n1x n4, n N x*, n  0

y  x  y  y   n N

1

n



n



n

x   y   y  

Suy ra

* 1

1

3

x     n N 1 41 212 *

Bài 4. Cho dãy số  u n

xác định bởi: u  1 1;

*

n n

n

u

u

n

u theo n.

Hướng dẫn giải

n n

u u





Với mọi n  *,đặt 1

1

1;

n n

u

v  v    n * Suy ra, dãy số  v n

là cấp số cộng có v 1 1 và công sai d  2

Do đó, v n  v1 n1d2n1,   n *

Vậy

n

n

u

Bài 5. Cho dãy số ( )u n xác định bởi: u 1 1; *

n

u theo n

Hướng dẫn giải

Với mọi n  *, ta có

1

n n

v u     Ta có: n v n12 v n Do đó, dãy số ( )v n là một cấp số nhân có

công bội q 2 và số hạng đầu bằng 2.

n

v v q 

Vậy u n v n 3n 3n 2 n

Bài 6. Cho dãy số ( )u n xác định bởi:

*

n

n n





hạng tổng quát u n theo n

Hướng dẫn giải

Với mọi n  *, ta có

n



dãy số

3 ( ),

1

n n n

v v u

n

 là cấp số nhân có công bội

3 2

q 

và 1

1 2

v 

n



Bài 7. Cho dãy số (un) xác định bởi:

1

* 1

3

,

n n

n

u

u

u

















Xét dãy số  v n

với

1 , 1

n n n

u v u





   n * Chứng minh dãy số  v n

là một cấp số cộng Tìm số hạng tổng quát của dãy số  u n

Hướng dẫn giải

Ta có

1

1

1

1

1

n

n

n

n

v

v

v

v



















1 1





v  v 

hay v n1v n 3 và v 1 2 Suy ra dãy số  v n

là một cấp số cộng có v 1 2 và công sai d  3

Ta có v n  v1 n1d  2 3n13n1

Do đó

n

u

 

Vậy số hạng tổng quát của dãy số  u n

là

3

n

n u

n



 n  *

Bài 8. Cho dãy số ( )u n xác định bởi:.

1

* 1

4

1

9

u









Tìm công thức của số hạng tổng quát ( )u n ?.

Hướng dẫn giải

Đặt

2

2

n

x

x   u  x   u x   u  

Thay vào giả thiết:

1

1

* 1

n

x







y  x  y  y   n N

1

1

6 2.3

n n n

n n









Ta có 1 3 1 9 3 2.3n

n

x   y   y   Suy ra

* 1

*

1 2 2

1

3

