(Luận án) Nghiên cứu các hiệu ứng trong không gian giới hạn của ngưng tụ bose einstein hai thành phan

1.1 Khai trien hàm sóng ngưng tụ ở moi phía m t phân cách theo phương pháp DPA. 17 2.1 H¾ BECs bị giới hạn bởi m t tường cáng tại z˜ = −h˜, m t phân cách giãa hai thành phan tại z˜ = z˜0 27 2.2 Cau hình ngưng tụ với đieu ki¾n biên Dirichlet (φj(−h) = 0), K = 1.01, ξ = 1; h = 20(a) và h = 50(b). Đường màu đỏ và đường màu xanh tương áng là MDPA và GP 29 2.3 Sự phụ thu c của vị trí m t phân cách vào vị trí của tường cáng với K = 1.01 30 2.4 Cau hình ngưng tụ với đieu ki¾n biên Robin (λW 1), K = 3, h = 20; ξ = 1(a), 3(b). 32 2.5 (GCE) Sự bien thiên của sác căng m t phân cách theo 1K với h = 0(đường màu đỏ) và h → +∞(đường màu xanh). 35 2.6 (GCE) Sự phụ thu c của sác căng m t phân cách vào vị trí tường cáng với K = 1.01, ξ = 1 35 2.7 (GCE) Sự bien thiên của γh theo ζ = (h + z0) với ξ = 1(đường màu đỏ) và ξ = 2(đường màu xanh). 38 2.8 Pha không dính ướt(a), pha dính ướt(b) của ngưng tụ trên be m t tường cáng. 38 2.9 (GCE) Giản đo pha ướt của thành phan 2 trên be m t tường cáng áng với h = 0 (đường màu đỏ) và h → +∞(đường màu xanh). 39 2.10 (GCE) Sự bien thiên của sác căng m t phân cách theo 1K với ξ = 1.0, 3.0, vị trí của tường cáng tại z = −20 42 2.11 (GCE) Hi¾u áng giới hạn không gian của sác căng m t phân cách với ξ = 1 42 2.12 (GCE) Giản đo pha ướt của thành phan 2 trên be m t tường cáng với ζ = (h + z0) = 20 và ζ = (h + z0) → +∞

B® KHOA HOC VÀ CÔNG NGHN B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VI N NĂNG LƯ NG NGUYÊN TỬ VI T NAM

٨ ٨ ٨ ٨ ٨

Phạm The Song

NGHIÊN CỨU CÁC HIỆU ỨNG TRONG KHÔNG GIAN GIỚI HẠN

CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHAN

Chuyên ngành: V t lý lý thuyet và V t lý toán

L I CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan lu n án này là công trình nghiên cáu của tôi dưới sự hướng dan của GS TSKH Tran Hǎu Phát và TS Nguyen Văn Thụ Các ket quả nghiên cáu của

lu n án là trung thực và chưa tàng được công bo trên bat kì công trình nào trước đây.

Hà N®i, ngày tháng năm 2017

Tác giả lu n án

Phạm The Song

L I CẢM ƠN!

Trước tiên, tác giả lu n án xin bày tỏ lòng biet ơn sâu sac đoi với GS TSKH Tran Hǎu Phát Sự hướng dan t n tụy và nhǎng đ®ng viên khích l của thay là nguon đ®ng lực to lớn cho tác giả trong suot quá trình hoàn thành chương trình đào tạo và làm lu n án Thay mãi là tam gương sáng ve đạo đác, ve tinh than làm

vi c nghiêm túc, cong hien het mình vì khoa hoc đe tác giả hoc t p và noi theo Tác giả xin trân trong cảm ơn TS Nguyen Văn Thụ, thay đã t n tình hướng dan

và cùng thảo lu n giúp đơ tác giả hoàn thành các tính toán quan trong nhat trong

Tác giả xin trân trong cảm ơn Trung Tâm Đào Tạo Hạt Nhân - Vi n Năng Lượng Nguyên Tả Vi t Nam, Khoa Toán Lý Tin - Trường Đại Hoc Tây Bac, Khoa V t Lý - Trường Đại Hoc Sư Phạm Hà N®i 2 đã giúp đơ và tạo moi đieu ki n thu n lợi nhat

đe tác giả hoàn thành chương trình đào tạo, hoàn thành lu n án.

Con xin bày tỏ lòng biet ơn vô hạn đoi với Cha và Me, người đã cho con được thay ánh sáng M t Trời, cho con nghị lực vượt qua moi khó khăn và trở ngại Xin cảm ơn người vợ hien dịu, cảm ơn các con Gia đình luôn là nguon đ®ng lực to lớn cho tôi trên con đường nghiên cáu khoa hoc đay gian nan và thả thách.

Hà N®i, ngày tháng năm 2017

Tác giả lu n án

Phạm The Song

Mnc lnc

L i cam đoan ii

Danh sách tfi viet tat vi

Danh sách hình vẽ viii

M đau 1

Chương 1 Tong quan ve ngưng tn Bose-Einstein và lj thuyet ve h ngưng tn Bose-Einstein hai thành phan phân tách

7 1.1 Tong quan ve ngưng tn Bose-Einstein 8

1.1.1 Hi¾n t ượng ng ng ng ư tụ Bose-Einstein 8

1.1.2 Ph ương trình Gross-Pitaevskii và các ph ng ương trình thu đ ng l c ng ực hoc c a ủa hàm sóng ng ng ư tụ 10 1.2 Lj thuyet Gross-Pitaevskii cho h BECs không gi i hạn 12

1.3 Phương pháp DPA cho h BECs không gi i hạn 16

1.4 Phương pháp MDPA cho h BECs bị gi i hạn b i các tư ng cfíng 18 1.5.Năng lư ng dư trên m t phân cách của h BECs 22

1.5.1 Năng l ượng dư trong t¾p h p ng ợng chính tac l n ớn

. 22

1.5.2 Năng l ượng ng dư trong t¾p h p ợng chính tac

.

23 Chương 2 Sfíc căng m t phân cách và hi n tư ng chuyen pha ư t trong h BECs bị gi i hạn b i m t tư ng cfíng

26

2.1.Trạng thái cơ bản của h BECs bị gi i hạn b i m t tư ng cfíng 27

2.1.1 Tr ng ạng thái cơng b n ản v i ớn đieu ki¾n biên Dirichlet t i ạng t ng ường cáng 27 2.1.2 Tr ng ạng thái cơng b n ản v i ớn đieu ki¾n biên Robin t i ạng t ường cáng ng

2.2 Sfíc căng m t phân cách và hi n tư ng chuyen pha ư t của h BECs trong t p h p chính tac l n 33

2.2.1 Sác căng m t phân cách và hi¾n t ượng chuyen pha ng ướn v i t ớn đieu ki¾n biên Dirichlet

t i ạng t ường cáng ng

33 2.2.2 Sác căng m t phân cách và hi¾n t ượng ng chuyen pha ướn ớn t v i đieu ki¾n biên Robin

t i ạng t ường cáng ng

40

2.3 Sfíc căng m t phân cách của h BECs trong t p h p chính tac 45

2.3.1 Sác căng m t phân cách v i ớn đieu ki¾n biên Dirichlet t i ạng t ường cáng 46 ng 2.3.2 Sác căng m t phân cách v i ớn đieu ki¾n biên Robin t i ạng t ường cáng 48 ng

Chương 3 Hi u fíng kích thư c hfiu hạn của sfíc căng m t phân cách

trong h BECs bị gi i hạn b i hai tư ng cfíng

53

3.1 Trạng thái cơ bản của h BECs bị gi i hạn b i hai tư ng cfíng 54

3.1.1 Tr ng ạng thái cơng b n ản v i ớn đieu ki¾n biên Dirichlet t i ạng hai t ường cáng 54 ng 3.1.2 Tr ng ạng thái cơng b n ản v i ớn đieu ki¾n biên Robin t i ạng hai t ường cáng 55 ng

3.2 Hi u fíng kích thư c hfiu hạn của sfíc căng m t phân cách v i đieu

ki n biên Dirichlet tại hai tư ng cfíng Lfic Casimir-like

59

3.2.1 Hi¾u áng kích th ướn hãu h n c ạng c a ủa sác căng m t phân cách trong h¾ t¾p

h p ợng chính tac l n ớn

59 3.2.2 Hi¾u áng kích th ướn hãu h n c ạng c a ủa sác căng m t phân cách trong h¾ t¾p

h p ợng chính tac

63 3.2.3 L c ực Casimir-like 68

3.3 Hi u fíng kích thư c hfiu hạn của sfíc căng m t phân cách v i đieu

ki n biên Robin tại hai tư ng cfíng

70

3.3.1 Hi¾u áng kích th ướn hãu h n c ạng c a ủa sác căng m t phân cách trong h¾ t¾p

80

Danh sách tfi viet tat

BEC Bose-Einstein condensate ngưng tụ Bose-Einstein

BECs two segregated Bose-Einstein

condensates

ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phan phân tách

CE Canonical ensemble t p hợp chính tac

GCE Grand canonical ensemble t p hợp chính tac lớn

DPA Double-parabola

MDPA Modified double-parabola

ap-proximation gan đúng parabol kép mở r®ng

Gross-TPA Tripple-parabola

MFA Mean-field approximation gan đúng trường trung bình

Danh sách hình vẽ

1.1 Khai trien hàm sóng ng ng ư tụ ở moi phía m t phân cách theo ph ương pháp DPA ng 17

2.1 H¾ BECs bị giớni hạngn bởi m t tườngng cáng tạngi z˜ = −h˜, m t phân cách giãa hai thành

phan tạngi z˜ = z˜0 27

2.2 Cau hình ngưng tụ vớni đieu ki¾n biên Dirichlet (φ j (−h) = 0), K = 1.01, ξ = 1; h = 20(a) và h = 50(b) Đường màu đỏ và đ ng ường màu xanh t ng ương áng là MDPA và GP ng 29

2.3 Sực phụ thu c c a ủa vị trí m t phân cách vào vị trí c a ủa t ường cáng v i ng ớn K = 1.01 30

2.4 Cau hình ng ng ư tụ v iớn đieu ki¾n biên Robin (λ W 1), K = 3, h = 20; ξ = 1(a), 3(b) 32

2.5 (GCE) Sực bien thiên c aủa sác căng m t phân cách theo 1/K v i ớn h = 0(đường màu ng

đ )ỏ và h → +∞(đường màu xanh) ng 35

2.6 (GCE) Sực phụ thu c c a ủa sác căng m t phân cách vào vị trí t ường cáng v i ng ớn K =

1.01, ξ = 1 35

2.7 (GCE) Sực bien thiên c aủa γ h theo ζ = (h + z0 ) v iớn ξ = 1(đường màu đ ) ng ỏ và ξ =

2(đ ường màu xanh) ng 38

2.8 Pha không dính ướn t(a), pha dính ướn t(b) c a ủa ng ng ư tụ trên be m t t ường cáng ng 38

2.9 (GCE) Gi n ản đo pha ướn c a t ủa thành phan 2 trên be m t t ường cáng áng v i ng ớn h = 0

(đ ường màu đ ) ng ỏ và h → +∞(đường màu xanh) ng 39

2.10 (GCE) Sực bien thiên c aủa sác căng m t phân cách theo 1/K v i ớn ξ = 1.0, 3.0, vị trí

c a ủa t ường cáng t i ng ạng z = −20 42

2.11 (GCE) Hi¾u áng gi i ớn h n ạng không gian c a ủa sác căng m t phân cách v iớn ξ = 1 42

2.12 (GCE) Gi n ản đo pha ướn c a t ủa thành phan 2 trên be m t t ường cáng v i ng ớn ζ = (h + z0 ) =

20 và ζ = (h + z0 ) → +∞ 43

2.13 (GCE) nh Ảnh h ưở c a ng ủa đieu ki¾n biên t i ớn sác căng m t phân cách v iớn ξ = 1, h = 20 44

lien) và trong lý thuyet GP (đ ường g ch), ng ạng K = 3; ξ = 0.5(a), 1(b), 2(c) 57 3.3 Cau hình ng ng ư tụ v iớn đieu ki¾n biên Robin (λ W1 , λ W2

1) trong MDPA (đ ường ng

g ch) ạng và trong lý thuyet GP (đ ường lien) ng 58 3.4 (GCE) Hi¾u áng kích th ướn hãu h n c ạng c a ủa sác căng m t phân cách t iạng ξ = 1(a) và

cham) 62 3.5 (CE) Sực bien thiên c aủa sác căng m t phân cách theo h t i ạng ξ = 1(a) và ξ = 3(b) v iớn

3.6 (GCE, CE) Sực bien thiên c aủa sác căng m t phân cách theo 1/K t i ạng ξ = 1(a) và

xanh và màu đỏ lan l ượng t t ương áng v i ng ớn GCE và CE 67

t iạng ξ = 1(a) và ξ = 3(b) v i ớn K = 1(đ ường lien), K = 1.1 (đng ường g ch), ng ạng K = 3(đường ng cham) 69 3.8 (GCE) Hi¾u áng kích th ướn hãu h n c ạng c a ủa sác căng m t phân cách t iạng ξ = 1, v iớn các

giá trị khác nhau c aủa K = 1.0(đ ường lien), 1.1 (đng ường g ch), ng ạng 3 (đ ường cham-g ch) ng ạng 72 3.9 (GCE) Sực phụ thu c c aủa sác căng m t phân cách vào 1/K t i ạng ξ = 1 v i ớn h = 4, 7, 10

và h → ∞ 72 3.10 (GCE) Sực phụ thu c c aủa sác căng m t phân cách vào 1/K t i ạng h = 10 v i ớn ξ = 0.5, 1 73 3.11 (CE) Sực phụ thu c c aủa sác căng m t phân cách vào h t i ạng n21 = 1, ξ = 1 v i ớn K = 1.1, 2.0, 3.0.74

M đau

1 Lj do chon đe tài

BEC là trạng thái lượng tả vĩ mô của m®t so lượng lớn các hạt vi môkhi phan lớn các hạt boson cùng chiem m®t mác năng lượng thap nhatneu nhi t đ® của h hạt nhỏ hơn nhi t đ® tới hạn Trạng thái lượng tả

đ c bi t này liên quan m t thiet tới nhieu đ c tính quan trong của v t

chat chȁng hạn như siêu dan (superconductivity), roi lượng tả (quantum entanglement), đ® trung thành lượng tả (quantum fidelity) Vì v y, các

nghiên cáu cơ bản ve BEC có áng dụng quan trong trong các lĩnh vựccông ngh then chot như v t li u, đi n tả, thông tin lượng tả

Không lâu sau thành công của thí nghi m ve sự ton tại của BEC (1995),pha phân tách trong h BEC hai thành phan đã được nghiên cáu lý thuyet(1998) [1, 2] và sau đó là nghiên cáu thực nghi m (1999) [3–12] Ke tà

đó, nghiên cáu ve BECs đã thu hút rat nhieu sự quan tâm của các nhàkhoa hoc trên toàn cau và đạt được nhieu thành tựu Nhieu công trìnhnghiên cáu ve tính chat tĩnh, tính chat đ®ng lực hoc của BECs đượccông bo [13–44] Trong đó đien hình là các nghiên cáu ve trạng thái cơbản, sác căng be m t [2, 16, 40–44], dao đ®ng kích thích be m t (sóng be

m t) [13, 15, 17, 20, 28, 29] Tà đây, nhieu hi n tượng v t lý quan trong

của BECs đã được khám phá chȁng hạn như chuyen pha ướt (wetting phase transition) [42–44], bat őn định Rayleigh-Taylor (Rayleigh-Taylor instability), bat őn định Kelvin-Helmholtz (Kelvin-Helmholtz instability)

[18, 24–27] Sả dụng phương pháp MFA và các phương pháp gan đúngkhác (DPA, TPA), các nghiên cáu ve sác căng be m t và chuyen pha ướt

của h BECs không giới hạn đã được giải quyet m®t cách có h thongtrong [40–42], sau đó phát trien thêm trong [43, 44] với rat nhieu ket quảquan trong Tuy nhiên, tat cả các nghiên cáu đó đeu chưa xem xét tớiảnh hưởng của sự giới hạn không gian tới các đ c tính v t lý của h Trongkhi đó, hi n tượng chuyen pha và đ c tính v t lý của các h lượng tả trongkhông gian giới hạn đã và đang được nghiên cáu chuyên sâu do ý nghĩa

đ c bi t của nó đoi với sự phát trien của công ngh [45–59] Do v y, đãhình thành m®t lĩnh vực nghiên cáu mới đó là V t lý của các h lượng tảtrong không gian giới hạn

Vì các lý do nêu trên, chúng tôi đã quyet định chon đe tài của lu n

án là Nghiên cfíu các hi u fíng trong không gian gi i hạn của

ngưng tn Bose-Einstein hai thành phan.

2 Lịch sfi van đe

BEC được tiên đoán bang lý thuyet bởi Bose S N và Einstein A.cách đây hơn 90 năm [60] Thí nghi m ve BEC của khí boson siêu lạnh

nghi m xác nh n sự ton tại của BEC đã được ghi nh n bang giải Nobel v

t lý năm 2001 trao cho Conell E A., Wieman C E và Ketterle W vìnhǎng thành tựu nghiên cáu thực nghi m ngưng tụ khí loãng của cácnguyên tả kiem [64] Ke tà đó, ky thu t thực nghi m ve khí siêu lạnhphát trien rat mạnh mě, người ta đã tạo ra được BEC tà hai thànhphan khí khác nhau Phương pháp c®ng hưởng Feshbach cho phép đieukhien được hau het các tham so quan trong, chȁng hạn như cường đ®tương tác giǎa hai thành phan, nham tạo ra nhǎng trạng thái bat kỳtheo ý muon [12] Nhờ đó, nhieu hi n tượng lượng tả trong h BECs

như các bat őn định, sự hình thành các xoáy (votex), các vách ngăn (domain wall) giǎa hai thành phan, các trạng thái soliton, các đơn cực (monopole) [67–76] đã được kiem cháng bang thực nghi m, tạo đ®ng lực

mạnh mě cho các nhà khoa hoc nghiên cáu ve loại v t chat đ c bi t này

Bước phát trien cực kỳ quan trong của nghiên cáu lý thuyet ve BECđược đánh dau bởi thành công của Gross E P và Pitaevskii L P trong

vi c thiet l p GPE(s) dựa trên MFA [59, 65, 66] GPE(s) cho thay hàmsóng ngưng tụ thỏa mãn các phương trình thủy đ®ng lực hoc [65,66].Thực nghi m cũng đã xác nh n BEC có nhǎng tính chat tương tự với

trien vong đó là nghiên cáu các hi n tượng lượng tả của BEC tương tựvới các hi n tượng đã biet trong thủy đ®ng lực hoc cő đien, trong đó cósác căng be m t và chuyen pha ướt

Đe nghiên cáu đ c tính v t lý của h BECs, vi c quan trong đau tiên

là phải tìm được hàm sóng của h hạt ở trạng thái ngưng tụ thông qualời giải của GPEs Tuy nhiên, GPEs là h phương trình vi phân b c haiphi tuyen tính liên ket nên vi c tìm được lời giải chính xác cho tới nayvan còn là m®t thách thác, ta chỉ giải quyet được trong m®t so trườnghợp đ c bi t [43], chủ yeu van phải dựa vào tính so ket hợp với cácphương pháp gan đúng [2, 29, 43, 44, 77]

Bang giải pháp tuyen tính hóa các tham so tr t tự ở moi phía của m

t phân cách, Ao P và Chui S T đã tìm được nghi m gan đúng củaGPEs cho h BECs, tà đó tính được sác căng m t phân cách của h có sohạt xác định bị giam trong m®t gieng the hǎu hạn [2]

Trên cơ sở xem xét các giới hạn phân tách yeu và phân tách mạnh củaBECs, Barankov R A đã tìm được lời giải cho GPEs ở các đieu ki n tươngáng và xác định được sác căng m t phân cách của h theo hàm sóng ngưng

V [41], các nghiên cáu này đã được hoàn thi n trong [42]

Phát trien ý tưởng tuyen tính hóa các tham so tr t tự của Ao P và Chui

S T [2], Indekeu J O và các c®ng sự đã xây dựng thành công phương

pháp DPA [43], sau đó được mở r®ng thành TPA [44], nhờ đó tìm đượcnghi m giải tích gan đúng của GPEs Tà đây, các tác giả đã tính toánm®t cách chi tiet ve sác căng m t phân cách, sác căng be m t của ngưng

tụ tại tường cáng, dựa trên qui tac Antonov đe vě giản đo chuyen phaướt So sánh với ket quả thu được tà các tính toán bang lý thuyet GP chothay cau hình ngưng tụ, sác căng m t phân cách, giản đo pha ướt trongDPA và TPA rat ti m c n với ket quả tính so ở moi trạng thái phân tách

của h tà phân tách yeu (weak segregation) tới phân tách mạnh (strong segregation) [43, 44].

Ket quả của các nghiên cáu trên đeu có m®t điem chung đó là sác căng

m t phân cách là năng lượng tương tác giǎa hai thành phan ngưng tụ trênm®t đơn vị di n tích m t phân cách, đóng góp của moi thành phan vào sáccăng m t phân cách tỉ l thu n với đ® dài hoi phục của hàm sóng ngưng

Nghiên cáu ảnh hưởng của sự giới hạn không gian tới các tính chat v t

lý của h BECs bị giới hạn bởi các tường cáng song song với m t phâncách, ở trạng thái cân bang

4 Đoi tư ng, nhi m vn, phạm vi nghiên cfíu

• Đoi tượng nghiên cáu: H BECs bị giới hạn bởi m®t tường cáng và hai tường cáng

• Nhi m vụ nghiên cáu:

♦ Tìm hàm sóng ngưng tụ của h thoả mãn đieu ki n biên Dirichlet, đieu ki n biên Robin tại các tường cáng;

♦ Xác định sác căng m t phân cách giǎa hai thành phan;

♦ Xác định sác căng be m t của ngưng tụ tại tường cáng;

♦ Vě giản đo chuyen pha ướt của ngưng tụ trên be m t tường cáng;

♦ Chỉ ra ảnh hưởng của sự giới hạn không gian đoi với các tínhchat v t lý của h ;

♦ Đe xuat mô hình thí nghi m kiem cháng ket quả nghiên cáu vàm®t so van đe nghiên cáu tiep theo

• Phạm vi nghiên cáu: H BECs ở nhi t đ® cực thap, không phụ

thu®c thời gian, trong GCE và CE

5 Phương pháp nghiên cfíu

Phương pháp MFA, phương pháp MDPA, phương pháp tính so với sự

ho trợ của các phan mem tính toán

Chương 1 Tong quan ve ngưng tn Bose-Einstein và lj thuyet

ve h ngưng tn Bose-Einstein hai thành phan phân tách

1.1 Tőng quan ve ngưng tụ Bose-Einstein

1.2 Lý thuyet Gross-Pitaevskii cho h BECs không giới hạn

1.3 Phương pháp DPA cho h BECs không giới hạn

1.4 Phương pháp MDPA cho h BECs bị giới hạn bởi các tường cáng1.5 Năng lượng dư trên m t phân cách của h BECs

Chương 2 Sfíc căng m t phân cách và hi n tư ng chuyen pha ư t trong h BECs bị gi i hạn b i m t tư ng cfíng

2.1 Trạng thái cơ bản của h BECs bị giới hạn bởi m®t tường cáng2.2 Sác căng m t phân cách và hi n tượng chuyen pha ướt của h BECs trong t p hợp chính tac lớn

2.3 Sác căng m t phân cách của h BECs trong t p hợp chính tac

Chương 3 Hi u fíng kích thư c hfiu hạn của sfíc căng m t phân cách trong h BECs bị gi i hạn b i hai tư ng cfíng

3.1 Trạng thái cơ bản của h BECs bị giới hạn bởi hai tường cáng3.2 Hi u áng kích thước hǎu hạn của sác căng m t phân cách với đieu ki n biên Dirichlet tại hai tường cáng Lực Casimir-like

3.3 Hi u áng kích thước hǎu hạn của sác căng m t phân cách với đieu ki n biên Robin tại hai tường cáng

−

1.1 Tong quan ve ngưng tn Bose-Einstein

1.1.1 Hi n tư ng ngưng tn Bose-Einstein

Trong h khí boson lý tưởng (không tương tác) gom N hạt có spinnguyên chiem the tích V và tuân theo quy lu t thong kê Bose-Einstein, so

1n¯(εk) = εk− µ

e kBT − 1

(1.1)

là công thác thong kê Bose-Einstein xác định so hạt trung bình lap đay

1/2

là khoi lượng của hạt, k là hang so Planck rút gon

Vì N hạt chiem tat cả các mác năng lượng có the có nên so hạt của hđược xác định bởi

0

Sả dụng (1.2) và (1.3) ta tính được tőng so hạt của h theo nhi t đ®

với n = N/V là m t đ® hạt.

c

T

được xác định tương tự như (1.4)

N(ε > 0) = 2.31

tụ Bose-Einstein BEC cũng xảy ra đoi với nhǎng hạt fermion trongtrường hợp chúng ket c p với nhau tạo thành các hạt "giả" boson [45].Dựa vào (1.5) ta ước lượng được nhi t đ® xuat hi n chuyen pha BEC

lạnh nhat trong vũ trụ Các thí nghi m đau tiên đã xác nh n nhi t đ®

Vì boson là nhǎng hạt có spin nguyên, so hạt cùng chiem m®t trạngthái lượng tả không bị khong che bởi nguyên lý loại trà Pauli, nên sohạt ngưng tụ càng lớn neu tőng so hạt (N) của h càng nhieu và nhi t

cùng ở trạng thái ngưng tụ tại T = 0(K), không có hạt nào ở trạng thái

∫

δ ψ

2

1.1.2 Phương trình Gross-Pitaevskii và các phương trình thu

đ ng lfic hoc của hàm sóng ngưng tn

a Phương trình Gross-Pitaevskii

Đe mô tả trạng thái ngưng tụ của h N hạt boson, ta thiet l p GPE

trong MFA tà Lagrangian L =

V

Ld→x [65, 66] đây,

với ψ = ψ(→x, t) = √N ϕ(→x, t) là hàm sóng của h hạt, ϕ(→x, t) là hàm sóngđơn hạt thỏa mãn đieu ki n chuȁn hóa,

2

|ψ|

(1.10)

cường đ® tương tác giǎa các hạt, a là đ® dài tán xạ sóng s (s-wave scattering length) xác định kieu tương tác giǎa các hạt (a > 0 áng với

tương tác đȁy, a < 0 áng với tương tác hút)

đői trường ψ → ψ + δψ, tác dụng S cũng bien đői S → S + δS Các bien đői

dụng S gây nên bởi sự bien đői của trường bang 0 Tà đây ta có phươngtrình Euler-Lagrange

k2 2

2m

∇goi là GPE phụ thu®c thời gian

2

phụ thu®c thời gian Lời giải của (1.13) cho biet hàm sóng ở trạng thái cơbản của h hạt boson.

b Các phương trình thủy đ®ng lực hoc của ngưng tự

quả nhân liên hợp phác của nó với ψ và thực hi n m®t vài bien đői toánhoc ta thu được

hay

trong đó n = ψ 2, →v = i k ψψ∗ ψ∗ ψ là v n toc của ngưng tụ,

(1.15) được goi là phương trình liên tục của ngưng tụ

M®t cách đơn giản, bieu thác của hàm sóng được viet dưới dạng haithành phan gom biên đ® và pha của nó là

Thay (1.16) vào (1.12) roi tách riêng phan thực - phan ảo ta thu được

∂t|ψ0|2 = k

−m

là phương trình chuyen đ®ng của pha

(1.15), (1.17) và (1.18) cho thay ta có the nghiên cáu các h ở trạng thái BEC trên quan điem xem chúng như các chat lỏng lượng tả

1.2 Lj thuyet Gross-Pitaevskii cho h BECs không

ψ2

2

j j=1

là m t đ® the tương tác giǎa các hạt (goi tat là m¾t đ® the tương tác).

hạt khác loại là gjj ′ = 2πk2(1/mj + 1/m j ′ )ajj ′ > 0, ajj và a jj ′ là đ® dài

tán xạ sóng s.

Đieu ki n đe h ở trạng thái phân tách là g2 − g11g22 > 0 [2]

Áp dụng nguyên lý tác dụng toi thieu ta tìm được phương trình Lagrange cho moi thành phan

= Ψj(→x)e−iµ j t/k, trong đó Ψj = Ψ j(→x) là các hàm thực, µj là the

hóa hoc của thành phan j, với giả thiet hàm sóng ở trạng thái cơ bản

m t đ® Hamiltonian (1.20a) và m t đ® the tương tác (1.20b) trởthành

V(Ψ1, Ψ2) =GPEs (1.22) trở thành

k2

−2m2

∂2Ψ1 − µ1Ψ1 + g11|Ψ1|3

∂2Ψ2 − µ2Ψ2 + g22|Ψ2|3

+ g12|Ψ2|+ g12|Ψ1|

H phương trình (1.24) được goi là TIGPEs, ở dạng không thá nguyên

là (1.26), nghi m của nó cho biet trạng thái cơ bản của h BECs với m t

phân cách giǎa hai thành phan là m t phȁng nam tại z˜0 Do tính chat

nhǎng vùng không gian đủ xa các biên sao cho ngưng tụ tại đó ở trạng

thái đong nhat (homogeneous state).

P là áp suat của ngưng tụ có đ® lớn như nhau trong cả hai thành phankhi chúng cùng ở pha cân bang [41]

cách trên đó hàm sóng ngưng tụ tăng tà 0 đen giá trị cực đại

K là đại lượng đ c trưng cho mác đ® phân tách của h BECs Trongkhuôn khő lu n án này, ta chỉ nghiên cáu h BECs ở trạng thái khôngtr®n lan (K > 1) và trạng thái demixing (K = 1) Với K > 1 và hǎu hạn,hai thành phan không phân tách hoàn toàn mà chúng thâm nh p lannhau Nói cách khác là chúng chong lan lên nhau ở vùng giáp danh với m

t phân cách Đ® sâu thâm nh p (hay đ® r®ng của vùng không gianchong lan) giǎa hai thành phan phụ thu®c vào cường đ® tương tácgiǎa các hạt (K) và đ® dài hoi phục của các hàm sóng ngưng tụ (ξ).Các hàm sóng ngưng tụ và đạo hàm b c nhat của nó theo toa đ® z

là các hàm liên tục Do đó, m t đ® the tương tác (1.25b) cũng là hàmliên tục theo toa đ® Lay đạo hàm của (1.25b) theo các tham so tr t tự

φj roi so sánh ket quả với (1.26) ta tìm được TIGPEs không thá nguyên

Các phương trình này cho thay đạo hàm b c hai của hàm sóng theo z

và đạo hàm b c nhat của m t đ® the tương tác theo các tham so tr t tựkhông liên tục

Vì h BECs đang xét là vô hạn và sự phân tách giǎa hai thành phanxảy ra trên m t phȁng (xOy) nên các hàm sóng ngưng tụ trong TIGPEs

(1.26) thỏa mãn đieu ki n biên Dirichlet

Tìm nghi m của (1.26) là m®t trong nhǎng bài toán cơ bản khi nghiêncáu các h BECs Tuy nhiên cho tới hi n nay, vi c tìm lời giải chính xáccho h phương trình vi phân phi tuyen tính b c hai liên ket mới chỉ giảiquyet được trong m®t so trường hợp đ c bi t, chủ yeu van phải dựa vàocác phương pháp gan đúng và tính so Sau đây là m®t so trường hợp màlời giải chính xác của (1.26) thỏa mãn (1.28) được tìm thay [43]

• Trường hợp 1: K → +∞ Khi đó, hai thành phan ngưng tụ không

còn chong lan lên nhau, moi thành phan chiem giǎ hoàn toàn m®tnảa không gian tựa như chúng bị ngăn cách bởi m®t "tường cáng" có

(1.30) cho thay càng gan m t phân cách m t đ® ngưng tụ càng giảm,

nó chính xác bang 0 tại m t phân cách Toc đ® giảm m t đ® ngưng

tụ của moi thành phan khi tien ve m t phân cách t l với nghịch

ngưng tự).

22

nhau roi lay tích phân theo z trong khoảng (−∞; +∞), chú ý tới đieu ki n

(∂zφ1)2 + ξ2(∂zφ2)2 +

Σj=

1 h|φj| −

12

Như trên đã nêu, cho tới nay, tìm lời giải chính xác của (1.26) van còn

là m®t thách thác Do đó, ta phải tìm nghi m của nó dựa vào các phươngpháp gan đúng Mác đ® chính xác của phương pháp gan đúng được đánhgiá thông qua vi c so sánh nghi m gan đúng với nghi m tính so Phươngpháp DPA được đe xuat bởi Indekeu J O và các c®ng sự trong [43] nhưsau

Đoi với h BECs thoả mãn ( 1 2 6 ) và ( 1 2 8 ) , trong vùng z ≥ z0(z ≤ z0)

cách được khai trien theo các h thác

4i

Thay (1.34) vào (1.26), bỏ qua các so hạng cháa b c hai của εj và δ j ′

ta thu được TIGPEs không thá nguyên trong DPA cho moi nảa khônggian giới hạn bởi m t phân cách A

bên phải m t phân cách (z ≥ 0)

VDP A(φ1, φ2) = 2(|φj| − 1)

— 2

bởi m t phân cách giǎa hai thành phan

Sả dụng (1.35), (1.36), đieu ki n biên (1.28) cùng với đieu ki n liên tụccủa hàm sóng và đạo hàm b c nhat của hàm sóng theo toa đ® tại z = 0

ta tìm được các hàm sóng ngưng tụ trong DPA

neu z ≥ 0,

2

+ η|φj ′ |

z ≤ z

, (j, j′) =

φ1 = 

√2e

− √ ηzz

η +

√2

neu z ≥ 0,

φ2 = 



√ηe

neu z ≤ 0

De thay rang các hàm sóng này thỏa mãn đieu ki n phân tách hoàntoàn của hai ngưng tụ (1.29), chúng chỉ là hàm thực neu K > 1 Các ketquả tính so cho thay (1.38) và (1.39) ti m c n với nghi m của TIGPEskhông thá nguyên ( 1 2 6 ) tìm được bang phương pháp sai phân [43, 77]

b i các tư ng cfíng

Trong phan này, ta mở r®ng phương pháp DPA đe áp dụng cho h BECs

t

ξ

khoảng không gian doc theo trục z˜ mà trên đó hai thành phan chong lan

Hàm sóng ngưng tụ tại các be m t (m t phân cách, các tường cáng)

sóng ngưng tụ tại vị trí các be m t tương áng

Chuyen sang dạng không thá nguyên, (1.40) trở thành

ở đây HˆbDP A được xác định tương tự (1.37) với lưu ý rang tính đoixáng ve không gian của h bị phá vơ do sự xuat hi n của các tường

hạn, nó nam tại vị trí z0 /= 0, z0 → 0 trong m®t so trường hợp đ c bi t,chȁng hạn

W

i

được TIGPEs không thá nguyên trong MDPA cùng với các đieu ki n

biên tại m t phân cách và tại các tường cáng

roi so sánh ket quả với (1.43) và (1.44) ta tìm được TIGPEs không thá

λ

Xuat phát tà vi c định nghĩa trường be m t φA = φj(z0) và φW i =

bị giới hạn bởi các tường cáng, goi là phương pháp MDPA Trong DPA vàMDPA, mô hình nghiên cáu h BECs tà dạng phi tuyen tính liên ket đượcchuyen ve dạng tuyen tính không liên ket Trong đó, hàm sóng ngưng tụ

và m t đ® the tương tác van đảm bảo các tính chat quan trong của chúngnhư trong lý thuyet GP

Vi c xác định trường be m t và thiet l p các m t đ® Hamiltonian (1.40),(1.41) thông qua trường be m t có ý nghĩa rat quan trong trong phươngpháp MDPA, bởi vì dựa vào đó ta xác định được các đieu ki n biên (1.45)cho h ở trạng thái cân bang Đieu này cũng có nghĩa là phương phápMDPA được áp dụng trong nhǎng trường hợp mà trạng thái cơ bản của

h trong lý thuyet GP chac chan ton tại Trong nhǎng tính toán đau tiênbang cách tuyen tính hóa các tham so tr t tự [2], Ao P và Chui S T đãngam thàa nh n sự ton tại của trường m t phân cách

Giả sả m t phân cách hơi l ch tà vị trí z0 đen vị trí z = z0 + ϑ(x, y),

ở đây ϑ(x, y) bien đői rat ch m trên m t phân cách, trường m t phâncách trở thành φA = φ(z0 + ϑ(x, y)) ≈ φ(z0) + ϑ(x, y)∂zφ(z)|z = φ(z0) +

1 φj(z0)ϑ(x, y) H thác này cho thay các dao đ®ng của m t phân cách

j

sinh ra các thăng giáng của trường m t phân cách và ngược lại M t khác,các dao đ®ng lượng tả ϑ(x, y) tạo ra sóng be m t với các h thác tánsac sóng mao dan [78, 79] Vì v y, theo quan điem của lý thuyet trườnglượng tả, các riplon xem như được sinh ra tà t p hợp các dao đ®ng kíchthích của m t phân cách Đây là van đe quan trong ve tính chat be m t

∫

Σ2

Năng lượng dư của h xét trong hai t p hợp này liên h với nhau bởi phép

bien đői Legendre (Legendre transform).

1.5.1 Năng lư ng dư trong t p h p chính tac l n

Xét m®t h BECs có so hạt không xác định, chiem the tích V , hàm

Pj là áp suat trong moi thành phan, V j là the tích không gian mà moi

thành phan chiem giǎ