Lịch sử phát triển và cơ sở lý thuyết
Lịch sử phát triển
1.2 Hệ tọa độ Đề - các vuông góc trong không gian
1.3 Phương trình đường, mặt và các quan hệ
1.4 Một số bài tập vận dụng
Chương II Phương pháp tọa độ Đề - các vuông góc trong hình học không gian
2.1 Sơ lược về phương pháp
Thư viện Đại học Thăng Long
2.2 Vận dụng phương pháp tọa độ Đề - các vuông góc để giải một số bài tập hình học không gian (tính khoảng cách, tính góc, thể tích, )
2.3 Một số bài tập tương tự
Chương III Trình bày một số bài tập hình học không gian được giải theo hai phương pháp, phương pháp tọa độ và phương pháp tổng hợp cũng như vận dụng phương pháp giải một số bài tập đại số để thấy được tính ưu việt của phương pháp Qua đó, giúp cho chúng ta có thể linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải sao cho phù hợp với từng bài tập hình học không gian cũng như Đại số
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Tiến sỹ Nhâm Ngọc Tần, Giảng viên khoa Toán trường Đại học Thăng Long, đã tận tình hướng dẫn và định hướng đề tài trong quá trình hoàn thành luận văn Đồng thời, tác giả cũng trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo bộ môn sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi, hỗ trợ quá trình thực hiện luận văn này.
Các kiến thức phục vụ cho luận văn, dù không mới nhưng đòi hỏi kỹ thuật cao và góc nhìn sâu rộng Do trình độ và kinh nghiệm còn hạn chế, luận văn có thể còn nhiều thiếu sót, mong nhận được sự chỉ bảo tận tình từ các thầy cô và sự đóng góp của bạn bè, đồng nghiệp để hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN VÀ CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1.1 Ba vấn đề lớn trong toán học cổ điển [12]
Trong thực tế, hình học chứa đựng nhiều vấn đề phức tạp, nhưng các hình vẽ cơ bản nhất vẫn là đường thẳng và đường tròn Nhân loại đã biết cách vẽ những hình này từ rất sớm bằng các công cụ đơn giản như thước kẻ và compa Đường thẳng được vẽ bằng thước có cạnh bên thẳng, còn đường tròn được tạo ra bằng compa có cạnh cố định và cạnh có thể xoay tròn, góp phần hình thành các công cụ hỗ trợ trong hình học như thước kẻ và compa.
Trong thời kỳ cổ đại, người Hy Lạp chưa sử dụng đơn vị đo lường cụ thể cho thước kẻ Thay vào đó, họ dựa vào trực giác và kinh nghiệm trong việc đo đạc, sử dụng thước và compa để vẽ các hình học chính xác mà không cần phải có các đơn vị đo lường cố định.
Các hình vẽ trong hình học rất đa dạng, đòi hỏi các ký hiệu đo phù hợp để thể hiện chính xác các yếu tố hình học Nhờ vào việc sử dụng các công cụ thô sơ, người ta vẫn có thể từng bước hoàn thành các bài vẽ một cách chính xác Tuy nhiên, toán học cổ đại vẫn gặp phải ba vấn đề lớn mà chưa thể tìm ra câu trả lời rõ ràng.
*1 Vấn đề chia ba góc đều nhau: Chia một góc xác định thành ba góc bằng nhau
Trong chủ đề bội tích lập phương, nhiệm vụ chính là vẽ đường chéo của khối lập phương sao cho thể tích của khối lập phương mới gấp đôi thể tích ban đầu Yêu cầu này đòi hỏi phải xác định chính xác chiều dài đường chéo để đảm bảo thể tích tăng lên gấp đôi, giúp người học hiểu rõ mối liên hệ giữa chiều dài đường chéo và thể tích khối lập phương Việc tính toán và hình dung bài toán này là bước quan trọng trong việc nắm vững các kiến thức về hình học không gian và đại số liên quan đến khối lập phương.
*3 Vấn đề chuyển đường tròn thành hình vuông: Yêu cầu vẽ một hình vuông sao cho diện tích của nó bằng với diện tích hình tròn đã biết
Thư viện Đại học Thăng Long
Ba vấn đề tưởng chừng đơn giản và dễ hiểu qua các hình vẽ, nhưng sau hơn 2000 năm nghiên cứu, nhiều nhà khoa học đã đề xuất các phương pháp giải quyết đa dạng, phù hợp với kỹ thuật vẽ bằng thước kẻ và compa Tuy nhiên, sau khi phân tích kỹ lưỡng, vẫn còn tồn tại những thách thức chưa được giải quyết hoàn toàn trong lĩnh vực này, cho thấy các vấn đề này vẫn chưa có lời giải tối ưu.
Trong quá trình tìm kiếm lời giải cho các vấn đề khó của hình học, các nhà bác học đã phát hiện ra nhiều vấn đề liên quan chặt chẽ, như đường thẳng trong đường tròn, chia đều đường tròn, và hình nội tiếp đa giác Tuy nhiên, vẫn chưa có phương pháp giải quyết triệt để cho những vấn đề này, gây ra nhiều khó khăn và thử thách cho các nhà khoa học Nhiều người đã dành nhiều công sức để tìm ra lời giải nhưng đều thất bại, dẫn đến những suy nghĩ ngờ vực liệu chỉ dùng thước kẻ và compa có thể dựng nên các hình này hay không.
Các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu về các loại hình vẽ có thể được dựng bằng phương pháp sử dụng thước kẻ và compa, nhằm xác định chính xác các hình vẽ có thể hoặc không thể vẽ bằng công cụ này Tiêu chuẩn đánh giá thường dựa trên khả năng dựng hình dựa trên các bước sử dụng thước không có thước chia hoặc đo và compa để vẽ các đường tròn và đường thẳng, đồng thời giới hạn của phương pháp nằm ở việc không thể dựng các hình phức tạp hoặc có yêu cầu đo lường chính xác quá cao Nghiên cứu này giúp xác định các dạng hình vẽ phù hợp với giới hạn của phương pháp dựng hình cổ điển, từ đó mở ra các công cụ và phương pháp mới phù hợp với các yêu cầu hình học hiện đại.
1.1.2 Bước chuyển biến lớn [11], [12] Đến thế kỷ XVII, nhà toán học pháp Đề - các ( René Descartes ) đã đưa ra những phán đoán tính khả năng vẽ hình bằng thước kẻ và compa dựa trên phương pháp tiến hành nghiên cứu từ Đại số Đây thực sự là bước chuyển biến lớn nó đã trở thành chìa khóa để giải quyết ba vấn đề trên cũng như nhiều vấn đề khác của toán học
Sau nhiều năm nghiên cứu và chiêm nghiệm, ông tin rằng tất cả các lĩnh vực khoa học đều có mối liên hệ mật thiết và chìa khóa để hiểu điều này chính là Toán học, như đã trình bày trong cuốn sách “Discours de la Méthodes” xuất bản năm 1637 Ông cho rằng các luận điểm đơn giản và dễ hiểu mà các nhà Hình học sử dụng để chứng minh các kết luận phức tạp thể hiện mối liên hệ chặt chẽ giữa mọi vật trong kiến thức của con người Ông nhấn mạnh rằng mọi thứ đều liên quan theo cách riêng của nó, và không có gì bị loại bỏ khỏi khả năng hiểu biết hoặc quá bí ẩn để chúng ta phát hiện ra, miễn là chúng ta duy trì tư duy chính xác và trật tự trong quá trình diễn giải thông tin Phương pháp của ông chính là sự kết hợp trong “Giải tích”, giúp tổng hợp các khái niệm một cách logic để mở rộng hiểu biết một cách toàn diện.
(Hình học) của người xưa” và “Đại số của người hiện đại” và đề ra 4 quy tắc cơ bản của quy trình khi nói rằng “Bằng cách này tôi tin rằng tôi có thể vay mượn tất cả những gì tốt nhất trong Giải tích hình học và trong Đại số, và chỉnh sửa tất cả các khiếm khuyết của cái này nhờ sự trợ giúp của cái kia” Nói rằng
Descartes đã thành công trong việc hợp nhất tất cả các thứ khoa học là hơi quá đáng, nhưng ông đã làm được việc tái hợp hai họ toán học lớn là số lượng và hình dạng ở một trong ba phụ chương của quyển “Discours de la Méthode”, có tựa đề đơn giản là “La Géometrie” (Hình học) Đây là ấn bản đầu tiên về Hình học giải tích Trong phụ chương này ông đã áp dụng phương pháp đại số vào hình học khi biểu diễn và phân loại các đuờng cong và các hình hình học khác bằng các phương trình đại số liên kết với một hệ toạ độ Ông đã dùng cách tiếp cận đại số này để khảo sát và giải quyết một số các câu hỏi hình học, trong đó có ba vấn đề lớn trên mà cho tới lúc đó vẫn còn chưa giải đuợc
Thư viện Đại học Thăng Long
Sau khi hình học giải tích ra đời (Sự hợp nhất số lượng và hình dạng) người ta đã biết được rằng đường thẳng và đường tròn được phân biệt bằng quỹ tích của phương trình bậc I và phương trình bậc II Trên phương diện đại số mà nói vấn đề giao điểm của đường thẳng và đường thẳng, giao điểm của đường thẳng và đường tròn, đường tròn và đường tròn, không chỉ là vấn đề giải phương trình bậc I, bậc II mà còn có cách giải sau cùng là thông qua cộng, trừ, nhân chia, khai phương bậc hữu hạn từ hệ số phương trình để giải Do đó, một đơn vị đo của hình học không chỉ dùng thước kẻ và compa vẽ ra nó, mà còn giải được bằng cách tính toán từ số đo đã biết thông qua cộng, trừ, nhân chia, khai phương
1.1.3 Vài nét về nhà Toán học Descartes
René Descartes chào đời tại
La Haye thuộc tỉnh Touraine nước
Pháp, ngày 31 tháng 3 năm 1596 trong một gia đình quý tộc Cậu
René này là con thứ ba của ông
Joachim Descartes, cố vấn Nghị
Viện Rennes và bà Jeanne
Phương trình đường, mặt và các quan hệ
1.4 Một số bài tập vận dụng
Chương II Phương pháp tọa độ Đề - các vuông góc trong hình học không gian
2.1 Sơ lược về phương pháp
Thư viện Đại học Thăng Long
2.2 Vận dụng phương pháp tọa độ Đề - các vuông góc để giải một số bài tập hình học không gian (tính khoảng cách, tính góc, thể tích, )
2.3 Một số bài tập tương tự
Chương III Trình bày một số bài tập hình học không gian được giải theo hai phương pháp, phương pháp tọa độ và phương pháp tổng hợp cũng như vận dụng phương pháp giải một số bài tập đại số để thấy được tính ưu việt của phương pháp Qua đó, giúp cho chúng ta có thể linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải sao cho phù hợp với từng bài tập hình học không gian cũng như Đại số
Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nhâm Ngọc Tần, Giảng viên khoa Toán trường Đại học Thăng Long, người đã hướng dẫn tận tình và hỗ trợ đề tài trong suốt quá trình thực hiện luận văn Đồng thời, tác giả cũng trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo phòng sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành bản luận văn này.
Các kiến thức phục vụ cho luận văn mặc dù không mới nhưng đòi hỏi kỹ thuật cao và cách nhìn sâu rộng Do trình độ và kinh nghiệm còn hạn chế, luận văn có thể gặp phải những thiếu sót, mong nhận được sự chỉ bảo tận tình từ các thầy cô và sự đóng góp của bạn bè, đồng nghiệp để hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN VÀ CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1.1 Ba vấn đề lớn trong toán học cổ điển [12]
Hình học chứa đựng nhiều vấn đề phức tạp, trong đó đường thẳng và đường tròn là những hình vẽ cơ bản nhất Nhân loại đã biết vẽ đường thẳng và đường tròn từ rất sớm, sử dụng công cụ phù hợp như thước kẻ có cạnh thẳng để vẽ đường thẳng và compa với cạnh cố định cùng khả năng xoay để vẽ đường tròn Những công cụ này đã giúp hình thành nền tảng cho việc phát triển các kỹ thuật vẽ hình học cơ bản.
Trong thời kỳ Hy lạp cổ đại, thước kẻ chưa có đơn vị đo chính thức, mà người Hy lạp dựa vào kinh nghiệm để đo đạc Họ sử dụng đơn vị đo dựa trên khả năng cảm nhận và trực quan từ việc vẽ, thường chỉ cần thước và compa để tạo ra các hình học chính xác Phương pháp này phản ánh sự tinh giản và sáng tạo trong kỹ thuật vẽ của người Hy lạp cổ, giúp họ thực hiện các công trình hình học mà không cần dụng cụ đo đạc hiện đại.
Các hình vẽ trong hình học rất đa dạng, phù hợp với nhiều ký hiệu đo lường khác nhau để dễ dàng thực hiện bằng công cụ thô sơ Tuy nhiên, toán học cổ đại vẫn phải đối mặt với ba vấn đề lớn chưa thể tìm ra lời giải rõ ràng.
*1 Vấn đề chia ba góc đều nhau: Chia một góc xác định thành ba góc bằng nhau
Trong bài tập về vấn đề bội tích lập phương, yêu cầu chính là vẽ đường chéo của khối lập phương sao cho thể tích của khối lập phương mới gấp đôi thể tích của khối lập phương đã biết Đây là bài toán liên quan đến việc xác định chiều dài đường chéo phù hợp để đạt được mục tiêu tăng thể tích, giúp hiểu rõ hơn về công thức tính thể tích của khối lập phương và mối quan hệ giữa chiều dài đường chéo và thể tích Việc phân tích và vẽ đúng đường chéo sẽ giúp dễ dàng hình dung và giải quyết bài toán một cách chính xác, phù hợp với các nguyên lý hình học lập phương.
*3 Vấn đề chuyển đường tròn thành hình vuông: Yêu cầu vẽ một hình vuông sao cho diện tích của nó bằng với diện tích hình tròn đã biết
Thư viện Đại học Thăng Long
Bề ngoài, ba vấn đề này dường như rất đơn giản và dễ hiểu qua hình vẽ, khiến nhiều người nghĩ rằng chúng có thể giải quyết ngay lập tức Tuy nhiên, sau hơn 2000 năm nghiên cứu, các nhà khoa học đã đề xuất nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết những thử thách này Các phương pháp này phù hợp với kỹ thuật vẽ bằng thước kẻ, compa, nhưng khi đi sâu vào phân tích, người ta nhận thấy vẫn còn nhiều khó khăn chưa được giải quyết triệt để.
Trong quá trình tìm kiếm lời giải cho các vấn đề khó trong hình học, các nhà bác học đã phát hiện ra một số vấn đề liên quan chặt chẽ như đường thẳng trong đường tròn, chia đều đường tròn, và đường tròn nội tiếp hình đa giác, nhưng vẫn chưa có phương pháp giải quyết dứt điểm Những thử thách này khiến nhiều người phải nỗ lực vắt óc, đều thất bại trong việc tìm ra lời giải Sau đó, có người vô vọng ngộ nhận kết quả của các vấn đề này, trong khi một số nghi ngờ liệu chúng có thể dựng bằng thước kẻ và compa hay không, cho thấy độ phức tạp của các vấn đề hình học này vẫn còn bỏ ngỏ.
Các nhà toán học bắt đầu khảo sát các loại hình vẽ có thể vẽ bằng phương pháp thước kẻ và compa, đồng thời xác định hình vẽ nào không thể sử dụng các công cụ này Tiêu chuẩn để phân loại các hình vẽ dựa trên khả năng tái tạo bằng các dụng cụ đơn giản như thước thẳng, compa và không dựa trên các phép dựng phức tạp hơn Họ cũng đặt câu hỏi về giới hạn của các phương pháp này để xác định phạm vi của các hình vẽ có thể đạt được, từ đó làm rõ ràng hơn về khả năng tạo dựng các hình học cơ bản và những giới hạn trong xây dựng hình học.
1.1.2 Bước chuyển biến lớn [11], [12] Đến thế kỷ XVII, nhà toán học pháp Đề - các ( René Descartes ) đã đưa ra những phán đoán tính khả năng vẽ hình bằng thước kẻ và compa dựa trên phương pháp tiến hành nghiên cứu từ Đại số Đây thực sự là bước chuyển biến lớn nó đã trở thành chìa khóa để giải quyết ba vấn đề trên cũng như nhiều vấn đề khác của toán học
Sau nhiều năm nghiên cứu và chiêm nghiệm, ông tin rằng tất cả các lĩnh vực khoa học đều có mối liên hệ chặt chẽ, trong đó Toán học chính là chìa khóa quan trọng để khám phá những mối liên hệ này Trong cuốn sách “Discours de la Méthodes” xuất bản năm 1637, ông nhấn mạnh rằng các lập luận đơn giản và dễ hiểu của các nhà Hình học giúp hình thành niềm tin rằng mọi vật đều liên quan chặt chẽ trong kiến thức của con người Ông cho rằng không có gì bị loại bỏ hoặc quá bí ẩn để chúng ta không thể hiểu thấu, miễn là chúng ta duy trì tư duy chính xác và giữ vững trật tự logic trong quá trình diễn giải kiến thức Phương pháp của ông là sự hợp nhất giữa Giải tích và lý luận khoa học, nhằm mục đích khám phá mối liên hệ tổng thể giữa các lĩnh vực kiến thức.
Trong bài viết này, tác giả nhấn mạnh sự liên kết giữa "Hình học của người xưa" và "Đại số của người hiện đại", qua đó đề xuất bốn quy tắc cơ bản trong quy trình tích hợp kiến thức Ông tin rằng bằng cách vay mượn những điểm mạnh của Giải tích hình học và Đại số, chúng ta có thể sửa chữa các nhược điểm của từng lĩnh vực nhờ sự hỗ trợ lẫn nhau Phương pháp này giúp phát triển một phương pháp học tập và sáng tạo linh hoạt, tối ưu hoá khả năng ứng dụng trong toán học hiện đại.
Descartes đã thành công trong việc kết hợp hai lĩnh vực lớn của toán học là số lượng và hình dạng trong phần "La Géometrie" của "Discours de la Méthode", đánh dấu sự ra đời của Hình học giải tích Ông đã áp dụng phương pháp đại số vào hình học để biểu diễn và phân loại các đường cong và hình học bằng các phương trình đại số liên kết với hệ tọa độ Phương pháp này giúp ông khảo sát và giải quyết nhiều câu hỏi hình học phức tạp, trong đó có ba vấn đề lớn chưa được giải trước đó.
Thư viện Đại học Thăng Long
Sau khi hình học giải tích ra đời, người ta nhận biết rằng đường thẳng và đường tròn có sự phân biệt dựa trên quỹ tích của phương trình bậc I và phương trình bậc II Trong đại số, việc xác định giao điểm của các đường thẳng và đường tròn không chỉ dựa vào giải phương trình bậc I hoặc II mà còn thông qua các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, khai phương từ hệ số của phương trình Vì vậy, một đơn vị đo trong hình học không chỉ được vẽ bằng thước kẻ và compa mà còn có thể được tính toán chính xác dựa trên các số đo đã biết.
1.1.3 Vài nét về nhà Toán học Descartes
René Descartes chào đời tại
La Haye thuộc tỉnh Touraine nước
Pháp, ngày 31 tháng 3 năm 1596 trong một gia đình quý tộc Cậu
René này là con thứ ba của ông
Joachim Descartes, cố vấn Nghị
Viện Rennes và bà Jeanne
Bài tập vận dụng
Bài tập 1.1 Chứng minh rằng:
Lời giải: a) Theo định nghĩa ta có: ⃗ | | | ⃗ | ( ⃗ )
Vì ( ⃗ ) | | | ⃗ | ⃗ | | | ⃗ | dấu “ = ” xảy ra khi ( ⃗ ) ⃗ với b) Ta có: | ⃗ | | | | ⃗ |
28 dấu “ = ” xảy ra ⃗ với c) Trường hợp 1: | | | ⃗ | bất đẳng thức luôn đúng
| | | | | ⃗ | | ⃗ | (| | | ⃗ |) | ⃗ | | | | ⃗ | dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi ⃗ với
Bài tập 1.2 Chứng minh rằng [ ⃗ ] vuông góc với cả ⃗
Trong hệ tọa độ với , ⃗ Khi đó:
Bài tập 1.3 Chứng minh rằng và ⃗ cùng phương khi và chỉ khi [ ⃗ ] ⃗
Thư viện Đại học Thăng Long
Bài tập1 4 Chứng minh rằng |[ ⃗ ]| | ⃗⃗⃗ | | ⃗ | ⃗ )
Giả sử trong không gian với: ⃗ Xét | ⃗⃗⃗ | | ⃗ | ⃗ | ⃗⃗⃗ | | ⃗ | ( ⃗ )
Bài tập 1.5 Cho tam giác Chứng minh rằng diện tích tam giác có thể tính bởi công thức |[ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]|
Theo công thức tính diện tích tam giác ta có: ̂
Trong không gian cho tam giác với ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Khi đó:
Bài tập1.6 Chứng minh rằng thể tích khối hình hộp có thể tính bới công thức:
Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng và , xem Hình 1.9
Vì hai vectơ [ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ là hai vectơ cùng phương nên:
Vận dụng: Trong không gian cho hình hộp Giả sử ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Thư viện Đại học Thăng Long
Bài tập1.7 Cho khối tứ diện Chứng minh rằng thể tích tứ diện có thể tính bởi công thức |[ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ |
Từ khối tứ diện ta dựng khối hộp , xem Hình 1.10
|[ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ | Vận dụng: Trong không gian cho tứ diện Biết
Trong bài tập 1.8, ta xét các vectơ chỉ phương ⃗ và ⃗ của hai đường thẳng chéo nhau, đồng thời chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng có thể được tính bằng công thức cụ thể Công thức tính khoảng cách dựa trên các vectơ này giúp xác định chính xác khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Việc sử dụng các vectơ chỉ phương và công thức này là cơ sở để giải quyết các bài toán liên quan đến khoảng cách giữa các đường thẳng chéo trong hình học không gian.
Dựng hình hộp chữ nhật với thuộc , thuộc
Khi đó khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau bằng chiều cao của hình hộp nên ta có:
Bài tập 1.9 Gọi là góc giữa đường thẳng có vectơ chỉ phương ⃗ và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến ⃗ Chứng minh rằng:
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng ( ), F là giao điểm của và mp , xem Hình 1.12.
Thư viện Đại học Thăng Long