Đồ thị của ánh xạ
Định nghĩa đồ thị của ánh xạ
Ánh xạ từ tập hợp A đến tập hợp B, còn gọi là quy luật f, là một hàm xác định mỗi phần tử x trong A sẽ ánh xạ thành một phần tử f(x) thuộc B Ký hiệu của ánh xạ này là f : A −→ B, thể hiện rõ mối quan hệ phân phối giữa các phần tử của hai tập hợp Trong toán học, định nghĩa này là cơ sở để hiểu và xây dựng các mối liên hệ giữa các tập hợp khác nhau, đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết hàm số và các ứng dụng thực tiễn.
Cho ánh xạ f : A −→ B Xét tập mới kí hiệu là A× B được gọi là tích Descartes của A và B gồm tất cả các cặp có thứ tự (a,b) trong đó a ∈ A và b ∈ B.
Tập Gf = {(x, f(x))|x ∈ A} ⊂ A×B được gọi là đồ thị của ánh xạ f. Đồ thị của ánh xạ f có tính chất: ∀x ∈ A tồn tại duy nhất x ∈ B để(x, y) ∈ G f
Trong chương trình Trung học phổ thông, hàm số được định nghĩa là mối quan hệ giữa hai đại lượng Cới định nghĩa 1.2, nếu một đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho mỗi giá trị của x xác định duy nhất một giá trị của y, thì y được gọi là hàm số của x, còn x được gọi là biến số Đây là khái niệm nền tảng giúp học sinh hiểu rõ về mối quan hệ giữa các biến trong toán học trung học phổ thông.
Khái niện dưới dạng ánh xạ : f : D −→R, (x −→ y = f(x)).
Một hàm số là một quy tắc ánh xạ mỗi số x thuộc tập D sang một số thực duy nhất f(x), được ký hiệu là y = f(x) Trong đó, x là biến số và y là giá trị của hàm số Tập D được gọi là tập xác định của hàm số, thể hiện phạm vi các giá trị đầu vào của hàm.
Khái niệm đồ thị hàm số : Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên D là tập hợp tất cả các điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ với mọi x∈ D
Ví dụ
Bài Toán 1.3 Hàm số cho bởi bảng sau:
Tập giá trị T = {1; 3; 5; 7; 9; 11}. Đồ thị hàm số trên hệ trục OXY được biểu diễn bởi năm điểm
Bài Toán 1.4 Hàm số cho bởi công thức y = 2x+ 1.
Tập giá trị: T = R. Đồ thị hàm số là đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x đi qua gốc tọa độ.
Các lớp hàm cơ bản, đồ thị hàm số cho bởi
Các lớp hàm số cơ bản trong chương trình THPT.
1) Hàm số bậc nhất y = ax+b (a 6= 0).
Chiều biến thiên : Với a > 0 hàm số đồng biến trên R Với a < 0 hàm số nghịch biến trên R.
Hình 1.5 Đồ thị là đường thẳng song song với đường thẳng y = ax+b.
Bài Toán 1.5 Vẽ đồ thị hàm số y = 2x+ 3 và y = −2x+ 1.
Hình 1.6 Đồ thị hàm số vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ:
2) Hàm số bậc hai y = ax 2 +bx+c, (a 6= 0).
Chiều biến thiên: a > 0 hàm số đồng biến trên (−b
2a). a < 0 hàm số nghịch biến trên (−b
Bài Toán 1.6 Vẽ hai đồ thị hàm số y = x 2 + 4x−5 và y = −x 2 −6x+ 7. Tập xác định: D = R.
Hình 1.9 Đồ thị trên cùng một hệ trục:
3) Hàm số bậc ba: y = ax 3 +bx 2 +cx+d, (a 6= 0)
Các dạng đồ thị bậc ba:
Bài Toán 1.7 Vẽ đồ thị hàm số y = x 3 + 3x 2 −4. Tập xác định: D = R.
Bài Toán 1.8 Vẽ đồ thị hàm số: y = −x 3 + 3x+ 2. Tập xác định: D = R.
4) Hàm số trùng phương: y = x 4 + bx 2 + c (a 6= 0).
Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương:
Bài Toán 1.9 Vẽ đồ thị hàm số y = x 4 −2x 2 −3. Tập xác định: D = R.
Bài Toán 1.10 Vẽ đồ thị hàm số: y = −x 4 + 2x 2 + 3.
1) Hàm số bậc nhất trên bậc nhất: y = ax+b cx+d (c 6= 0, ad−bc 6= 0).
Các dạng đồ thị của hàm số : y = ax+b cx+d (c 6= 0, ad−bc 6= 0).
Bài Toán 1.11 Vẽ đồ thị hàm số: y = −x+ 2 x+ 1 Tập xác định: D = R{−1}.
Bảng biến thiên. Đồ thị
Bài Toán 1.12 Vẽ đồ thị hàm số: y = x−2
Bảng biến thiên: Đồ thị
2) Hàm số bậc hai trên bậc nhất: y = ax 2 +bx+ c ax+b (a 6= 0)
Định nghĩa tập xác định của hàm số là D = R \ {−b / a}, tức là tất cả các số thực trừ đi điểm –b chia cho a Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng tại x = –b / a, đồng thời có một tiệm cận xiên phản xạ đối xứng qua tâm đối xứng của đồ thị Giao điểm của hai đường tiệm cận này chính là điểm duy nhất mà đồ thị của hàm số đối xứng nhau qua tâm đối xứng.
Bài Toán 1.13 Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 −3x+ 6 x−1 Tập xác định: D = R{1}.
Bảng biến thiên: Đồ thị
Bài Toán 1.14 Vẽ đồ thị hàm số: y = x 2 −3x+ 5
Bảng biến thiên: Đồ thị
Tập xác định: D = R Tập giá trị:[−1; 1]. Đồ thị:
Tập xác định: D = R Tập giá trị:[−1; 1]. Đồ thị:
Tập xác định: D = R{kπ} Tập giá trị:R.
5) Các hàm số lượng giác khác
Sử dụng phần mềm vẽ đồ thị giúp dễ dàng hơn trong việc hình dung và phân tích các đặc điểm của hàm số lượng giác Việc này hỗ trợ học sinh và sinh viên trong việc hiểu rõ hơn về đồ thị hàm số, cũng như rút ra các tính chất quan trọng một cách nhanh chóng và chính xác Nhờ đó, việc học tập và nghiên cứu các hàm số lượng giác trở nên thuận tiện hơn rất nhiều.
Bài Toán 1.15 Vẽ đồ thị hàm số. a) y = 2 sinx 2 −sinx.
Hình 1.29 D) Hàm số lũy thừa y = x α
Ta xét tập khảo sát là khoảng(0; +∞).
Khi vẽ đồ thị hàm số lũy thừa cụ thể ta phải xét hàm số trên toàn bộ tập xác định của nó.
Bài Toán 1.16 Vẽ đồ các hàm số lũy thừa sau trên cùng một hệ trục tọa độ: y = x 3 ; y = x π ; y = x −2 ; y = x 0,5 ; y = 1.
Các hàm số lũy thừa đều có đồ thị đi qua điểm (1; 1).
Bài Toán 1.17 Vẽ các hàm số y = 2 x ; y = (0.5) x và hàm số y = e x trên cùng một hệ trục tọa độ.
Hình 1.32 Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm (1; 0) và (a; 1) nằm phía bên phải trục hoành
F) Lớp hàm số logarít y = log a x (a > 0; a 6= 1).
Bài Toán 1.18 Vẽ đồ thị hàm số y = log 2 x; y = log 0,5 x và hàm số y = lnx trên cùng một hệ trục tọa độ.
Hình 1.34 Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm (1; 0) và (a; 1) nằm phía bên phải trục hoành
G)Lớp hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đồ thị có thể suy ra từ đồ thị tương ứng bằng các phép biến đổi đồ thị, ở phần này chúng tôi nêu dạng đồ thị bằng các ví dụ cơ bản cho đồ thị các hàm số: y = |f(x)|; y = f(|x|); y = |f(|x|)|.
Bài Toán 1.19 Vẽ đồ thị các hàm số: a) y = |2x 4 −4x 2 |.
H)Lớp hàm số vô tỉ.
Với hàm số vô tỉ việc sử dụng phần mềm vẽ cũng rất thận lợi, một ví dụ cụ thể:
Bài Toán 1.20 Vẽ đồ thị hàm số: a) y = √ x+ 2
. Đồ thị cho bởi tham số:
Giả sử quan hệ y là hàm của x được cho thông qua hệ phương trình với tham số t,
Bạn muốn khảo sát sự phụ thuộc của y và x Khi có thể giải đơn trị theo x từ phương trình x = x(t), ta có thể thay vào y = y(t) để khảo sát sự phụ thuộc trực tiếp của y và x, điều này đã được nghiên cứu kỹ ở lớp 12 Tuy nhiên, khó khăn ở đây là không thể giải t theo x từ x(t) Quá trình khảo sát đường cong do phương trình I cho bởi cũng tương tự như đường cong của hàm y = f(x), nhưng được thực hiện đối với cả hai hàm x = x(t) và y = y(t).
Nó được thực hiện theo các bước sau:
(i) Tìm miền xác định ( thông thườngα vàβ chưa biết), đểm gián đoạn của x(t) và y(t) Tính chẵn, lẻ, tuần hoàn của chúng.
(ii) Khảo sát chiều biến thiên của x vày theo tbằng cách tính đạo hàm x 0 (t) và y 0 (t).
Tìm tiệm cận của đồ thị là xác định các đường thẳng mà đồ thị tiệm cận tới khi t tiến tới các giới hạn nhất định Nếu t → t₀ (hoặc t → ∞), x(t) → a, |y(t)| → ∞ thì đó là tiệm cận đứng của đồ thị; nếu x(t) → +∞, y(t) → b thì đó là tiệm cận ngang Ngoài ra, nếu x(t) → +∞, |y(t)| → +∞ và giới hạn limₜ→ₜ₀ y(t)/x(t) = k, cùng với limₜ→ₜ₀ [y(t) − kx(t)] = b, thì đồ thị có tiệm cận xiên là đường y = kx + b.
(iv) Vẽ đường cong: Để việc vẽ được thuận lợi, nên cho thêm một số điểm đặc biệt.
Bài Toán 1.21 Vẽ đồ thị hàm số: a)
Bảng biến thiên: Đồ thị:
Bảng biến thiên Đồ thị
Các phương pháp xác định đồ thị của hàm số
Xác định đồ thị bằng phương pháp khảo sát hàm số
Sơ đồ chung khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
1.Tìm tập xác định của hàm số, xét tính chẵn, lẻ, tính tuần hoàn (nếu có).
2 Sự biến thiên: a) Xét chiều biến thiên của hàm số: Tính đạo hàm y 0 Tìm các điểm mà tại đó y 0 = 0 Xét dáu đạo hàm y 0 cà suy ra chiều biến thiên của hàm số. b) Tìm cực trị. c) Tìm các giới hạn tại vô cực (x → ±∞), các giới hạn có kết quả là vô cực (= ±∞) và timg tiệm cận của nó nếu có. d) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
3)Đồ thị: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox và Oy, các điểm cực đại, cực tiểu (nếu có):
Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T, thì chỉ cần khảo sát hàm số trên một chu kì rồi tịnh tiến đồ thị theo trục Ox.
Đặc trưng của đồ thị thể hiện rõ qua dáng điệu của bảng biến thiên, giúp nhận biết các điểm cực trị, điểm uốn và các tiệm cận của hàm số Dáng điệu của đồ thị phản ánh chính xác sự biến đổi của hàm số theo biến độc lập, từ đó hỗ trợ trong việc vẽ đồ thị chính xác hơn Việc phân tích bảng biến thiên là bước quan trọng để hình dung rõ hơn về hình dạng và các đặc điểm của đồ thị hàm số.
Trong chương trình toán học lớp 12, việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là kỹ năng quan trọng giúp hiểu rõ đặc điểm của các loại hàm Tôi đã lựa chọn ba loại hàm số phổ biến để minh họa, nhằm giúp học sinh nắm bắt cách phân tích và vẽ đồ thị chính xác Quá trình này không chỉ nâng cao kỹ năng phân tích toán học mà còn giúp hình dung rõ nét các đặc điểm của hàm số như cực trị, điểm giao điểm và các tính chất nổi bật Việc thực hành khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là bước quan trọng để nắm vững kiến thức trong chương trình môn giải tích lớp 12.
Bài Toán 1.23 Khảo sát và vẽ các đồ thị hàm số sau:
Bảng biến thiên: x = 0 ⇒y = 2 y = 0 ⇔x = −2 hoặc x = 1 Đồ thị
Bảng biến thiên: Đồ thị: x = 0 ⇒y = −3. y = 0 ⇒x = ±√
3.Hàm đã cho là hàm số chẵn ⇒ Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
Bảng biến thiên: Đồ thị x = 0 ⇒y = 3
2. y = 0 ⇒x = ±1. Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
Bảng biến thiên: Đồ thị: x = 0 ⇒y = 2. y = 0 ⇒x = 2.
Giao điểm hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.
2.Bảng biến thiên: Đồ thị: x = 0 ⇒y = 2. y = 0 ⇒x = 2.
Giao điểm hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.
Hình 1.48 Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
Vẽ đồ thị bằng phép biến đổi đồ thị
Trong chương trình lớp 10, học sinh đã làm quen với các phép biến đổi đồ thị hàm số bậc hai, giúp hiểu rõ hơn về cách thức hình thành và biến đổi của đồ thị Đến lớp 12, các em gặp lại kiến thức này trong các dạng bài toán cao cấp hơn, yêu cầu vận dụng linh hoạt các phép biến đổi để vẽ đồ thị chính xác Việc nắm vững các phép biến đổi đồ thị là kỹ năng quan trọng giúp các học sinh dễ dàng nhận diện và phân tích các đặc điểm của hàm số, từ đó nâng cao khả năng giải quyết các vấn đề phức tạp trong toán học Chúng tôi giới thiệu phương pháp vẽ đồ thị bằng cách áp dụng các phép biến đổi đồ thị, giúp học sinh hình dung rõ hơn các dạng biến đổi và phát triển tư duy logic trong học tập.
Vấn đề ta xét từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) suy ra cách vẽ đồ thị các hàm số sau.
Vì vậy, phần đồ thị của (C), ký hiệu (L), được xác định bởi phần của ellipsis (C) không nằm dưới trục hoành (y(C) ≥ 0) là (C₁), và phần đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị này nằm phía dưới trục hoành là (C₂) Do đó, (L) = (C₁) ∩ (C₂) Khi xét hàm số, vì |−x| = |x| nên y = f(|x|) là hàm số chẵn, khiến đồ thị (H) có tính đối xứng qua trục tung Từ đó, (H) được phân chia thành (C₃), là phần đồ thị nằm bên phải trục tung (x ≥ 0), và (C₄), là phần đồ thị đối xứng của (C₃) qua trục tung, với (H) = (C₃) ∩ (C₄) Cuối cùng, tập hợp (K) được xác định bằng (H₁) ∩ (H₂), trong đó (H₁) là phần đồ thị của (H) không nằm dưới trục hoành (y(H) ≥ 0), và (H₂) là phần đối xứng của đồ thị (H) qua trục hoành ở phía dưới trục hoành (y(H) < 0).
Bài Toán 1.24 Từ đồ thị (C) của hàm số y = 2x 3 −9x 2 + 12x−4 suy ra đồ thị các hàm số sau:
Sử dụng phần mềm vẽ đồ thị hàm số, phân tích các tính chất
Trong giảng dạy toán học, việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số để phân tích các tính chất của hàm số là công việc khó khăn, đôi khi không thể thực hiện triệt để bằng phương pháp truyền thống Thực tế cho thấy có những hàm số mà việc khảo sát các tính chất và vẽ đồ thị bằng phương pháp thông thường không đạt hiệu quả, gây ra nhiều khó khăn cho quá trình giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh.
Ngày nay, với sự phát triển nhanh chóng của công nghệ thông tin, máy tính và phần mềm hỗ trợ trở thành công cụ đắc lực cho giáo viên trong quá trình giảng dạy Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng các phần mềm như Graph 4.3, GSP (Sketchpad) và Maple 12 để mô tả đồ thị hàm số một cách chính xác và sinh động hơn, đặc biệt trong các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số mà phương pháp truyền thống không thể thực hiện được Các phần mềm này có ưu điểm vượt trội về khả năng vẽ đồ thị tĩnh và động, giúp minh họa rõ nét các bài toán toán học phức tạp Trong nội dung này, chúng tôi sẽ sử dụng phần mềm Maple 12 để mô tả các đồ thị hàm số thông thường, qua đó hỗ trợ việc khảo sát và phân tích các hàm số một cách hiệu quả hơn Dưới đây là một số ví dụ minh họa cụ thể từ các phần mềm này để làm rõ hơn các ứng dụng trong giảng dạy và nghiên cứu.
Bài Toán 1.25 Vẽ đồ thị hàm số f(x) = sin(x+x 2 )
Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 sin(x) +x trên đoạn [−4; 4] bằng lệnh:
Bài Toán 1.27 Vẽ đồ thị đừng cong y = sin(x 2 +x−1)−cos(x 2 −x+ 1) bằng lệnh:
Hình 1.55 ii) Sử dụng maple vẽ đồ thị hàm số nâng cao:
1 Đồ thị trong mặt phẳng. Đồ thị hàm ẩn.
Bài Toán 1.28 Vẽ đường cong: x 2 −y 2 −x 4 +y 3 = 0.
Hình ảnh trên đồ thị gần đúng với thực tế Để hình vẽ trung thực hơn ta có thể tăng độ chính xác lên cao hơn.
2 Đồ thị trong không gian ba chiều.
Bài Toán 1.29 Vẽ đường cong z = x 2 cosy +y 2 cosx−xysinysinx.
Đồ thị phức tạp trên không thể vẽ thủ công một cách chính xác, đòi hỏi các công cụ hỗ trợ để tạo ra hình ảnh rõ nét và chuyên nghiệp Ngoài ra, hình ảnh mặt cong có thể được tùy chỉnh theo nhiều yếu tố như góc nhìn, ánh sáng và màu sắc để vẫn giữ được tính thẩm mỹ và phù hợp với mục đích sử dụng Việc thay đổi các yếu tố này giúp tăng tính sáng tạo và mang lại trải nghiệm thị giác phong phú cho người xem.
Bài Toán 1.30 Vẽ mặt cong: y = x.e −x 2 −y 2
Bài Toán 1.31 Vẽ mặt cong: z = cos(ty).sin(ty) với x, y nhận giá trị trên đoạn [−π;π].
Vẽ đường ống với đường dẫn tâm là: [x(t), y(t), z(t)] = [10 cost,10 sint] và có bán kính thiết diện thay đổi theo công thức R(t) = 2 +cos(7t). Bằng lệnh:
>with (plots): tubeplot([10 cos(t),10 sin(t), 0, t=0 2 Pi,radiuns=2+cos(7t), numpoints0, tubepoints$]);
Trong Chương 1 chúng tôi đã trình bày:
- Đồ thị của ánh xạ.
Các phương pháp xác định đồ thị của hàm số đóng vai trò quan trọng trong phân tích toán học, giúp hiểu rõ các đặc điểm của hàm như tính liên tục, giới hạn, cực trị và điểm uốn Trong đó, phương pháp sử dụng phần mềm vẽ đồ thị ngày càng được ưa chuộng nhờ khả năng giúp phân tích chính xác các tính chất của đồ thị một cách dễ dàng và nhanh chóng Việc ứng dụng phần mềm vẽ đồ thị không chỉ hỗ trợ hình dung rõ ràng hình dạng của hàm số mà còn giúp xác định các điểm đặc biệt như điểm cực trị, điểm uốn, và nghiệm của phương trình một cách hiệu quả Nhờ đó, người học và các nhà nghiên cứu có thể dễ dàng phân tích và lựa chọn phương pháp phù hợp để mô tả chính xác đồ thị hàm số trong các bài toán thực tiễn và lý thuyết.
Chương 2 Ứng dụng của đồ thị hàm số vào toán học phổ thông.
Trong chương trình Toán Trung học phổ thông, đồ thị của hàm số đóng vai trò quan trọng trong việc giải và phân tích các bài toán Ứng dụng của đồ thị hàm số giúp dễ dàng xác định nghiệm của phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, cũng như hệ bất phương trình Việc sử dụng đồ thị mang lại lợi ích lớn trong việc biện luận và trực quan hóa các bài toán toán học trong chương trình trung học phổ thông.
Ứng dụng của đồ thị hàm số vào phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình 46
Ứng dụng của đồ thị hàm số vào giải và biện luận theo tham số số nghiệm của phương trình 46
Bài toán biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình
Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Biến đổi phương trình về một trong bốn dạng sau:
Bước 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số f(x) đồ thị (C).
Bước 3: Số nghiện của phương trình (2.1) là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng là đồ thị hàm số bên phải.
Bài Toán 2.1 Tìm m để phương trình: x 3 −3x+ 2 +m = 0 có ba nghiệm phân biệt.
Số nghiệm của phương trình (2.2) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 3 −3x+ 2 (C) và đường thẳng y = −m.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x 3 −3x+ 2.
Bảng biến thiên: Đồ thị :
Nhìn vào đồ thị hàm số ta thấy, để phương trình có ba nghiệm phân biệt khi 0< −m < 4⇔ −4< m < 0.
Bài Toán 2.2 Cho hàm số y = −x 4 + 2x 2 + 3 (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C). b) Dựa vào đồ thị hàm số (C), biện luận số nghiệm của phương trình: x 4 −2x 2 +m = 0.
Lời giải. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
Bảng biến thiên: Đồ thị:
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị(C)và đường thẳng y = m+ 3
Dựa vào đồ thị (C) ta có:
Nếu m+ 3 > 4 ⇔m > 1đồ thị (C) và đường thẳng không có điểm chung nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Trong bài toán, nếu m + 3 = 4 ⇔ m = 1 hoặc m + 3 < 3 ⇔ m < 0, thì đồ thị (C) và đường thẳng có hai điểm chung, do đó phương trình có hai nghiệm Ngược lại, khi m + 3 = 3 ⇔ m = 0, đồ thị (C) và đường thẳng cắt nhau tại ba điểm, tạo thành phương trình có ba nghiệm.
Nếu 3 < m+ 3 < 4 ⇔ 0 < m < 1 thì đồ thị (C) và đường thẳng có bốn điểm chung nên phương trình đã cho có bốn điểm phân biệt.
Bài Toán 2.3. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) : y = f(x) = 4x 3 −3x−1. b) Tìm m để phương trình 4|x| 3 −3|x| −mx+m −1 = 0 có bốn nghiệm phân biệt.
Lời giải a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) : y = f(x) = 4x 3 −3x−1.
Bảng biến thiên: Đồ thị:
Hình 2.3 b) Tìm m để phương trình 4|x| 3 −3|x| −mx+m−1 = 0 có bốn nghiệm phân biệt.
Đồ thị (C₀) được hình thành bằng cách giữ nguyên phần đồ thị (Ca) của (C) với x ≥ 0, sau đó đối xứng phần đồ thị (Ca₀) qua trục Oy và ghép với (Ca), tạo thành (C₀) = (Ca) ∪ (Ca₀) Các hàm số liên quan được mô tả qua phương trình 4|x|³ − 3|x| − m x + m − 1 = 0, tương đương với hàm f(|x|) = 4|x|³ − 3|x| − 1 = m(x − 1), giúp xác định đặc điểm của đồ thị dựa trên các giá trị của m.
Nghiệm của phương trình (2.3) chính là hoành độ giao điểm của đường thẳng dm: y = m(x−1) với đồ thị (C 0): y = f(|x|), hai đường này luôn đi qua điểm B(0, 1) Đặc biệt, đường thẳng AB: y = x−1 có hệ số góc k₁ = 1, thể hiện mối liên hệ trực tiếp giữa các điểm trên hai đoạn thẳng Ngoài ra, đường thẳng thuộc họ d m tiếp xúc với (C a 0) tại điểm có hoành độ x₀ < 0 là nghiệm của hệ phương trình, phản ánh mối liên hệ giữa các yếu tố xác định nghiệm và hình dạng của đồ thị.
3−9. Vậy nhì vào đồ thị (C 0 ) ta thấy để phương trình có bốn nghiệm phân biệt thì d m : y = m(x−1) phải cắt đồ thị (C 0 ) : y = f(|x|) tại bốn điểm phân biệt ⇔k 1 < m < k 2 ⇔1 < m < 6√
Bài Toán 2.4. a) khảo sát và vẽ đồ thị (C) : y = f(x) = x 2 +x+ 1 x+ 1 b) Biện luận số nghiệm của phương trình x 2 + (1−m)|x|+ 1−m = 0. c) Biện luận số nghiệm x ∈ [0;π] của phương trình : sin 2 x−(1−a) sinx+ 1−a = 0.
Lời giải. a) khảo sát và vẽ đồ thị (C) : y = f(x) = x 2 +x+ 1 x+ 1 Tập xác định: D = R\ {−1}.
Bảng biến thiên: Đồ thị:
Hình 2.5 b) Biện luận số nghiệm của phương trình x 2 + (1−m)|x|+ 1−m = 0. Phương trình: x 2 + (1−m)|x|+ 1−m = 0 ⇔f(|x|) = x 2 +|x|+ 1
Số nghiệm của phương trình tương ứng với số giao điểm giữa đường thẳng d: y = m và đồ thị (C0) của hàm số f(|x|) Đồ thị (C0) được hình thành từ đồ thị (C) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị (Ca) của (C) với x ≥ 0 và đối xứng phần đồ thị (Ca) qua trục Oy để tạo thành (Ca0) Vì vậy, (C0) là sự hợp nhất của hai phần đồ thị: (Ca) và (Ca0), thể hiện rõ mối liên hệ giữa đồ thị hàm số và đường thẳng cần tìm nghiệm.
Dựa vào đồ thị (C 0 ) ta có: nếu m < 1 thì đường thẳng d không cắt đồ thị (C 0 ) vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Nếu m = 1 thì đường thẳng d cắt đồ thị (C 0 ) tại một điểm, vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 1.
Nếu m > 1, đường thẳng d cắt đồ thị (C₀) tại hai điểm phân biệt, dẫn đến phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt Để xác định số nghiệm của phương trình trong khoảng x ∈ [0, π], ta đặt t = sin x, t ∈ [0, 1], và biến đổi phương trình thành hàm số f(t) = (t² + t + 1) / (t + 1) = a.
Với t ∈ [0; 1] Do vậy số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với t∈ [0; 1] và với đường thẳng d :y = a
Dựa vào đồ thị (C) với t ∈ [0; 1] Ta kết luận:
Nếu 1 < a < 1.5 thì phương trình có một nghiệm.
Nếu a > 1.5 hoặc a < 1 thì phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài Toán 2.5 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
Xét hàm số: y = 2x+ 1 Tập xác định: D = R.
Bảng biến thiên của hàm số y = 2x + 1 thể hiện đường thẳng đi qua hai điểm A(0, 1) và B(−1, −1) Đồ thị của hàm số y = |2x + 1| gồm hai phần: phần nằm phía trên của đường thẳng y = 2x + 1 và phần đối xứng phía dưới trục hoành của đồ thị y = 2x + 1 qua trục Ox Đồ thị này phản ánh sự thay đổi của hàm số theo giá trị của x, giúp dễ dàng hình dung và phân tích các đặc điểm của hàm số tuyệt đối.
Khi đó, số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của (C) và đường thẳng y = m.
Với m < 0: Phương trình (2.4) vô nghiệm.
Với m = 0: Phương trình (2.4) có một nghiệm.
Với m > 0: Phương trình (2.4) có hai nghiệm. Đồ thị minh họa
Bài Toán 2.6 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
Lời giải Xét hàm số (P): y = x 2 + 2x−3
Bảng biến thiên: Đồ thị ta lấy thêm hai điểm A(−3,0) và B(1,0).
Đồ thị hàm số y = |x² + 2x − 3| gọi là (C), gồm hai phần chính: phần trên nằm phía trên trục hoành của (P), và phần đối xứng phía dưới trục hoành của (P) qua trục Ox Đặc điểm nổi bật của đồ thị này là sự đối xứng qua trục Ox, thể hiện rõ qua cấu trúc của hàm số chứa giá trị tuyệt đối Phần bên trên của đồ thị phản ánh giá trị của biểu thức trong khoảng không âm, trong khi phần bên dưới là hình ảnh đối xứng của phần trên qua trục hoành, tạo thành hình dạng đặc trưng của đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối.
Khi đó nghiệm của phương trình (2.5) là số giao điểm của (C) và đường thẳng y = m.
Với m < 0: phương trình (2.5) vô nghiệm.
Với m = 0 hoặc m > 4: phương trình (2.5) có hai nghiệm.
Với 0 < m < 4: phương trình (2.5) có bốn nghiệm.
Với m = 4: phương trình (2.5) có ba nghiệm. Đồ thị:
Bài Toán 2.7 Với giá trị nào của m thì phương trình
= m 2 +m+ 1 (2.6) có bốn nghiệm phân biệt.
Vì m 2 +m + 1 > 0 ∀m nên lấy logarit cơ số 1
3 hai vế phương trình (2.6) ta được:
Khi đó phương trình (2.7) được viết lại |x 2 −2x| = a.
Phương trình (2.6) có bốn nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = |x 2 −2x| tại bốn điểm phân biệt.
Xét hàm số y = |x 2 −2x|. y = |x 2 −2x| = x 2 −2x khi x < 0 hoặc x > 2. y = |x 2 −2x| = 2x−x 2 khi 0 < x 0.
Bài Toán 2.10 Tìm m để phương trình √ 3 m−x + √ x+ 2 = 1 có ba nghiệm phân biệt.
Khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình:
Xét đồ thị hàm số (C): y = f(t).
3 Vậy ta có cực trị f 4±√
Ta có hình dạng đồ thị (C):
Với mỗi gía trị t ≥ 0 thì cho ta một nghiệm x = t 2 − 2 nên để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì f(t) = m phải có ba nghiệm phân biệt t≥ 0.
Nghiệm của phương trình f(t) = m chính là hoành độ giao điểm của đồ thị y = f(t) với đường thẳng y = m Khi quan sát đồ thị, ta nhận thấy phương trình f(t) = m có ba nghiệm phân biệt t ≥ 0 chỉ khi và chỉ khi f(t) phù hợp với điều kiện đặc biệt, như f(t) = √(4−t) Điều này giúp hiểu rõ hơn về số nghiệm của phương trình dựa trên hình dạng đồ thị và các giá trị của m.
Bài Toán 2.11 [9] Biện luận theo m số nghiệm của phương trình p12−3x 2 = 2m−x.
Lời giải. Điều kiện: 12 − 3x 2 ≥ 0 Đặt y = √
12−3x 2 Khi đó phương trình đã viết lại như sau:
Ta thấy các điểm M(x;y) thỏa mãn (1) và (2) là phương trình của nửa Elip lấy phần dương (như hình vẽ) Ta thấy các điểm M(x;y) thỏa mãn
(3) là phương trình đường thẳng luôn luôn di động và có hệ số góc bằng -1 Ta xét các vị trị tới hạn của nó:
Qua điểm A ứng với m = −1 Vị trí tiếp xúc trên
Tại B ứng với m = 1 Vậy ta có:
Nếu 1 ≤ m 2 hoặc m < −1 thì phương trình vô nghiệm.
Bài toán biện luận bất phương trình bằng đồ thị
Bài Toán 2.12 Tìm m để bất phương trình: p
(C) là đường tròn phía trên Ox với tâm I(1; 0), bán kính R = 5.
(Pm) : y = x 2 −2x+m là một Parabol có đỉnh D(1;m−1) thuộc đường thẳng x = 1.
(4 +x)(6−x) ≤ x 2 − 2x + m ∀x ∈ [−4; 6] ⇔ (C) nằm dưới (P m ) ∀x ∈ [−4; 6] ⇔điểm T(1; 5)của (C) nằm dưới đỉnhD(1, m−1)⇔ m−1≥ 5⇔ m ≥ 6. Đồ thị minh họa:
Bài Toán 2.13 Cho bất phương trình: q x(2−x) +m+ 1 ≥ x 2 −2x+ 3 (2.12) a) Tìm m để bất phương trình (2.12) có nghiệm. b) Tìm m để độ dài miền nghiệm của (2.12) bằng 2.
Ta có Parabol (P): y = x 2 −2x+ 3 có đỉnh D((1; 2) Khi đó y q x(2−x) +m+ 1 ⇔
Ta có (C m ) là nửa đường tròn ở phía trên Ox với tâm I(1; 0), bán kính
R = √ m + 2 và có đỉnh T(1;√ m+ 2). a) Để bất phương trình có nghiệm thì đỉnh T(1;√ m+ 2) phải nằm ở phía trên D(1; 2) ⇔ √ m + 2≥ 2 ⇔m+ 2 ≥ 4⇔ m ≥ 2. b) Giả sử (C m ) ∪ (P) tại hai điểm A 1 (x 1 ;y o ), A 2 (x 2 ;y o ) ⇒ miền ngiệm của bất phương trình (2.13) là [x 1 ;x 2 ] ⇒ x 2 −x 1 = 2 (1)
Vì A1, A2 thuộc (P) nên ta có x1, x2 là nghiệm của phương trình: x 2 −2x+ 3−y o = 0 ⇒x 1 +x 2 = 2.
Bài Toán 2.14 Tìm m để bất phương trình:
Lời giải Bất phương trình:
(C) là đường tròn phía trên Ox với tâm I(0; 1), bán kính R = 3.
4 là một Parabol quay bề lõm xuống dưới và nhận đường thẳng x = 1 là trục đối xứng.
(C)∩Ox tại A(−2; 0) và B(4; 0) đối xứng qua x = 1 Ta xét Parabol (P) thuộc họ (P m ) đi qua A, B : 0 = −4 2
Nhìn đồ thị suy ra để (2.14) đúng ∀x ∈ [−2; 4] thì a ≥ 10. Đồ thị minh họa:
Bài Toán 2.15 Cho bất phương trình q x(6−x) ≥ x 2 −6x+m+ 2 (2.14) Tìm m để tập nghiệm p của (2.14) thỏa mãn 2≤ p ≤4.
(C) là nửa đường tròn phía trên Ox với tâm I(3; 0), bán kính R = 3. (P m ) : y = x 2 −6x+m+ 2 là một Parabol quay bề lõm lên trên và nhận x = 3 là trục đối xứng.
Giả sử(C)∩(P m )tại hai điểm phân biệtM 1 (x 1 ;y o ), M 2 (x 2 ;y o )vớix 1 < x 2
⇒M 1 , M 2 đối xứng với nhau qua đường thẳngx = 3⇒ x 1 +x 2 = 2.3 = 6. Nghiệm của bất phương trình (2.14) là x ∈ [x 1 ;x 2 ] ⇒ tập nghiệm p của (2.15) là: p = x 2 −x 1 = 2(x 2 −3) Để 2 ≤ p ≤ 4 thì 1 ≤ x 2 −3 ≤ 2 ⇔
4 ≤ x 2 ≤ 5 Xét các Parabol (P 1 ), (P 2 ) thuộc họ (P m ) lần lượt qua hai điểm A(2; 2√
5. Nhìn vào đồ thị suy ra bất phương trình (2.15) có tập nghiệm thỏa mãn
Bài Toán 2.16 Tìm m để bất phương trình: (x−2) 2 + 2|x−m| ≥ 3 đúng
2 quay bề lõm xuống dưới Đồ thị (D m ) : y = |x −m| là hình vẽ chữ V đỉnh M(m; 0) gồm hai nửa đường thẳng nằm phái trên Ox và tạo với Ox các góc 45 o và 135 o
Xét nhánh phải của (D m ) tiếp xúc với (C), khi đó hoành độ tiếp điểm là nghiệm của:
Xét nhánh trái của (D m ) tiếp xúc với (C), khi đó hoành độ tiếp điểm là nghiệm của:
Nhìn vào đồ thị ta có: Bất phương trình đúng ∀x ∈ R ⇔ Đỉnh M(m; 0) của (D m ) nằm bên trái đỉnh (0; 0) của (D o ) hoặc bên phải đỉnh (4; 0) của (D 4 ) ⇔m ≤ 0 hoặc m ≥ 4. Đồ thị minh họa:
Giải và biện luận bất phương trình theo a : |x 2 −5x+ 4| < a.
Giọ (C 1 ) là phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành của y = x 2 −5x + 4 còn (C 2 ) là phần đồ thị đối xứng qua Ox với phần đồ thị nằm phái dưới
2 Nhìn vào đồ thị ta có:
Nếu a ≤0 thì bất phương trình vô nghiệm.
4 thì bất phương trình có nghiệm x ∈ (x1;x3)∪ (x4;x2).
4 thì bất phương trình có nghiệm x ∈ (x 1 ;x 2 ). Đồ thị minh họa:
Bài Toán 2.18. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = x 2 + 2x+ 1 x−1 b) Tìm số a nhỏ nhất để: a(x 2 +x−1)≤ (x 2 +x+ 1) 2 đúng ∀x∈ [0; 1]. Lời giải. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = x 2 + 2x+ 1 x−1 Tập xác định: R{1}.
Cực trị: Cực đại (−1; 0), cực tiểu (3; 8).
Tiệm cận xiên y = x+ 3, tiệm cận đứng x = 1.
Bảng biến thiên: Đồ thị:
Hình 2.21 b) Tìm số a nhỏ nhất để: a(x 2 +x−1) ≤(x 2 +x+ 1) 2 đúng ∀x∈ [0; 1]. Đặt t = x 2 + x ∈ [0; 2] ⇒ a(x 2 + x− 1) ≤ (x 2 + x + 1) 2 ∀x ∈ [0; 1] ⇔ a(t−1) ≤(t+ 1) 2 ∀t ∈ [0; 2].
Vậy số a nhỏ nhất để a(x 2 + x−1) ≤ (x 2 + x+ 1) 2 đúng ∀x ∈ [0; 1]. thì a = −1.
Bài Toán 2.19. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) : y = f(x) = x 2 −3x+ 3 x−2 b) Tìm số a lớn nhất để x 2 −6x+ 12 ≥ 4a(x−2) đúng ∀x∈ [4; 5].
Hàm số đồng biến ∀x ∈ (−∞; 1) ∪ (3; +∞) Hàm số nghịch biến ∀x ∈ (1; 2)∪ (2; 3).
Cực trị: Cực đại (−1; 1), cực tiểu (3; 3).
Tiệm cận xiên y = x−1, tiệm cận đứng x = 2.
Bảng biến thiên: b) Tìm số a lớn nhất để x 2 −6x+ 12 ≥ 4a(x−2) đúng ∀x ∈ [4; 5].
4 ⇔ (x −2) 2 = 4 ⇔ x = 4 ∈ [4; 5] ⇒ Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với (d) là: (D) : y = 3
2. Nhìn hình vẽ suy ra: Số a lớn nhất để x 2 −6x + 12 ≥ 4a(x −2) đúng
2.1.3 Bài toán biện luận hệ phương trình bằng đồ thị.
Phương pháp giải hệ phương trình bằng cách biểu diễn các điều kiện bằng hình học giúp dễ dàng hình dung và phân tích, khi đó nghiệm của hệ chính là giao điểm của các đường cong biểu diễn các điều kiện Phương pháp này tận dụng khả năng nhìn nhận các điều kiện dưới dạng các đường hoặc hình học, từ đó xác định chính xác điểm chung thỏa mãn tất cả các điều kiện của hệ phương trình Việc xét tính tương giao giữa các đường cong là bước quan trọng trong quá trình tìm nghiệm, giúp xác định vị trí chính xác của nghiệm và hiểu rõ mối liên hệ giữa các điều kiện Đây là phương pháp trực quan, hiệu quả trong việc giải các hệ phương trình phức tạp, nhất là trong các bài toán có điều kiện phản ánh mối quan hệ hình học rõ ràng.
Bài Toán 2.20 Tìm a để hệ
Nếu a < −1 thì hệ vô nghiệm.
Xét a ≥ −1 : (C) : x 2 +y 2 = 2(a+ 1) là đường tròn tâm O(0; 0) bán kính
Nghiệm của phương trình (x + y)² = 4 là x + y = ±2, xác định tọa độ các giao điểm của đường thẳng (4 1): x + y + 2 = 0 và (4 2): x + y − 2 = 0, cắt đường cong (C a) Do hai đường thẳng (4 1) và (4 2) đối xứng nhau qua gốc O, nên hệ phương trình này có đúng hai nghiệm, tương ứng với hai điểm tiếp xúc của chúng với (C a) Điều này xảy ra khi khoảng cách từ tâm O đến các đường thẳng bằng bán kính R, dẫn đến điều kiện R = d(O, (4)), và hệ số a thỏa mãn p²(a + 1)√2 = 0, từ đó suy ra a = 0 Đồ thị minh họa thể hiện rõ mối quan hệ giữa các đường thẳng và đường cong trong bài toán.
x+ay −a = 0 x 2 +y 2 −x = 0 a) Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biêt. b) Gọi (x 1 ;y 1 ), (x 2 ;y 2 ) là các nghiệm của hệ.
Chứng minh rằng: (x 2 −x 1 ) 2 + (y 2 −y 1 ) 2 ≤ 1 Dấu bằng xảy ra khi nào? Lời giải Ta có
(4 2 ) là đường thẳng quay quanh điểm A(1; 0) cố định. a) Để hệ có hai nghiệm phân biệt thì (4 a ) cắt (C) tại hai điểm phân biệt
3 thì đường thẳng (4 a ) cắt (C) tại hai điểm phân biệt
M(x 1 ;y 1 ); N(x 2 ;y 2 ) ⇒ M N ≤ 2R = 1 (đường kính là dây cung lớn nhất) ⇔px 2 −x 1 ) 2 + (y 2 −y 1 ) 2 suy ra (đpcm).
Dấu bằng xảy ra ⇔ M N = 2R ⇔ (4 a ) đi qua I(1
Lời giải Nếu a < 0 thì hệ vô nghiệm Xét a ≥ 0 : Đặt
u, v ≥ 0 u+v = a u 2 +v 2 = 3(a+ 1) (C) : u 2 + v 2 = 3(a + 1) là họ các đường tròn tâm O(0; 0) bán kính
Dựa trên phân tích, đường thẳng (d): u + v = a là đường thẳng song song với nhau và tạo với trục Ou góc 135º Đường thẳng (d₁): u + v = p₃(a+1) đi qua các điểm A(R, 0) và B(0, R) thuộc đường tròn (C), trong khi đó, đường thẳng (d₂): u + v = p₆(a+1) tiếp xúc với (C) tại điểm M Theo hình học, để hệ có nghiệm thì (d) phải cắt (C) tại điểm có tọa độ dương, tức là (d) nằm giữa (d₁) và (d₂), điều này tương ứng với bất đẳng thức p₃(a+1) < p₆(a+1).
|x−1|+ |y+ 1| = 1 x 2 +y 2 = m có bốn nghiệm phân biệt.
(L) : |x−1|+|y + 1| = 1⇔ x+y −1 = 0, x ∈ [1; 2], y ∈ [−1; 0]hoặc (L) : |x−1|+|y+ 1| = 1 ⇔x−y−3 = 0, x ∈ [1; 2], y ∈ [−2;−1] hoặc (L) : |x−1|+|y+ 1| = 1 ⇔x+y + 1 = 0 x ∈ [0; 1], y ∈ [−2;−1] hoặc (L) : |x−1|+|y + 1| = 1⇔ −x+ y+ 1 = 0 x ∈ [0; 1], y ∈ [−1; 0]. (L) có hình biểu diễn là bốn cạnh của hình vuông ABCD với:
(C) : x 2 +y 2 = m là đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R = √ m.
Xét đường tròn tâm O tiếp xúc với BC có bán kính là:
√2. Đường tròn tâm O đi qua hai điểm B, C có bán kính là:
Nhìn vào đồ thị ta có: Hệ có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (L) cắt (C) tại bốn điểm ⇔R 1 < R < R 2 ⇔ 3
Tìm m để hệ sau có nghiệm:
Lời giải. Đặt u = sinx, v = cosx Khi đó bài toán trở thành tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
Các điểm thỏa mãn bất phương trình (3) và (4) là những điểm nằm trên hình vuông ABCD như hình vẽ Phương trình (2) là phương trình đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R r2−m
2 , do đó số giao điểm của đường thẳng và đường tròn là số nghiệm Vậy để hệ phương trình có nghiệm thì đường tròn phải cắt đường thẳng u + v = 1
2 nằm trong hình vuông Ta thấy M(1;−1
2 ) và OM = ON Có OM r5
√8. Suy ra yêu cầu bài toán là:
2.1.4 Bài toán giải và biện luận hệ bất phương trình bằng đồ thị.
Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình sau:
Dưới đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình 3x + y ≤ 6, x + y ≤ 4, x ≥ 0 và y ≥ 0 Miền nghiệm được xác định bằng cách giao các miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ Sử dụng đồ thị, ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng miền nghiệm là phần không bị gạch chéo phía trên của hình, tượng trưng cho các điểm thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.
Bài Toán 2.26 Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình: 1
Lời giải Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền vành khăn nằm giữa hai (E) như hình vẽ:
Cho hệ bất phươnh trình:
x 2 + 2x+a ≤ 0 x 2 −4x−a ≤ 0 a) Tìm a để hệ có nghiệm. b) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.
6 (P 1 ) : y = f(x) là một Parabol quay bề lõm xuống dưới và có đỉnh là (−1; 1).
(P 2 ) : y = g(x) là một Parabol quay bề lõm lên trên và cắt (P 1 ) tại x = 0 và x = −8
Hệ đã cho có nghiệm nếu và chỉ nếu đường thẳng y = a đi qua miền gạch chéo tạo bởi (P₁) và (P₂), điều này xảy ra khi 0 ≤ a ≤ 1 Hệ có nghiệm duy nhất khi đường thẳng y = a cắt miền gạch chéo tại một điểm duy nhất, tương ứng với các giá trị a bằng 0 hoặc 1.
Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
Có (p) : y = f(x) là Parabol quay bề lõm xuống dưới và có đỉnh D(1; 5). Xét (C) : y = g(x).
Nhìn vào đồ thị ta có hệ (2.18) có nghiệm ⇔ Đường thẳng y = m đi qua miền gạch chéo tạo bởi (P) và (C) ⇔ −6≤ m ≤ 5. Đồ thị minh họa:
Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
x+y > 0 x+y ≤x 2 + y 2 < 1 hoặc x+y ≥ x 2 +y 2 > 1 Điều này tương đương với:
(C 1 ) : x 2 +y 2 = 1 là đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R 1 = 1
(1) là miền ghạch chéo (như hình vẽ) trong đó không lấy biên của (C 1 ), lấy biên của (C 2 ).
Xét đường thẳng thuộc họ (4 m ) : x+ 2y = m đi qua A là(4 1 ) : x+ 2y −1√
2 Đường thẳng thuộc họ (4 m ) tiếp xúc với (C 2 )
2 nằm ở phía trên và tiếp xúc (C 2 ). Để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm thì (4 m ) cắt miền gạch chéo
Trong Chương 2 chúng tôi đã trình bày: Ứng dụng của đồ thị hàm số vào phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình.
Các ví dụ cụ thể giúp thể hiện rõ tính ứng dụng của đồ thị hàm số như là một công cụ mạnh mẽ trong phân tích toán học, đặc biệt khi được hỗ trợ bởi các phần mềm vẽ hình chuyên dụng như Maple, Sketchpad, Graph, Điều này cho phép người học dễ dàng hình dung và hiểu các đặc điểm của hàm số một cách trực quan và chính xác.
Kết luận của luận văn về đồ thị hàm số nhấn mạnh tầm quan trọng của khái niệm này trong chương trình Toán trung học phổ thông, góp phần nâng cao hiệu quả học tập và ứng dụng thực tiễn Đồ thị hàm số không chỉ giúp làm rõ các dạng toán phức tạp mà còn mang lại lợi ích thiết thực trong việc giải quyết các bài toán về toán học phổ thông Luận văn trình bày các vấn đề quan trọng liên quan đến lý thuyết và ứng dụng của đồ thị hàm số, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập môn Toán ở cấp trung học phổ thông.
- Trình bày được khái niệm hàm số của ánh xạ, nêu và hệ thống các lớp hàm cơ bản trong chương trình toán trung học phổ thông.
Để xác định đồ thị của hàm số một cách chính xác, có thể sử dụng ba phương pháp chính Phương pháp khảo sát và vẽ đồ thị hàm số giúp người học hiểu rõ các đặc điểm của hàm số như điểm cực trị, cực đại, cực tiểu, và các giới hạn của nó Phương pháp dùng phép biến đổi đồ thị hàm số giúp dễ dàng hình dung sự biến đổi của đồ thị khi áp dụng các phép biến đổi như dịch chuyển, co dãn, hoặc phản xạ Ngoài ra, sử dụng phần mềm vẽ đồ thị hàm số là cách nhanh chóng và chính xác để dựng hình các đồ thị phức tạp, giúp tiết kiệm thời gian và nâng cao tính chính xác trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Đồ thị hàm số là công cụ quan trọng trong việc giải và biện luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, cũng như hệ bất phương trình Ứng dụng của đồ thị hàm số giúp trực quan hóa các nghiệm và mối quan hệ giữa các biến trong bài toán toán học Ngoài ra, đồ thị hàm số còn được sử dụng để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục tọa độ và các đường thẳng liên quan Bên cạnh đó, việc sử dụng đồ thị hàm số còn hỗ trợ trong tính thể tích của các vật thể tròn xoay, giúp đưa ra các giải pháp chính xác trong các bài toán hình học không gian.
