Sử dụng phép biến hình trong hình học để giải và khai thác một số bài toán của hình học sơ cấp (luận văn thạc sĩ chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp)

d Phép đối xứng tâm biến đường thẳng qua tâm thành chính nó, biến một đường thẳng không đi qua tâm thành đường thẳng song song với đường thẳng đó, biến một vectơ thành vectơ đối của nó..

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Các phép biến hình là một công cụ quan trọng để nghiên cứu hình học nói chung và hình học sơ cấp nói riêng Từ xa xưa người ta đã biết vận dụng một số phép biến hình như phép đối xứng, phép quay, phép vị tự … để vẽ , đo đạc hoặc tính toán trong các công trình xây dựng Người có công lớn trong việc nghiên cứu các phép biến hình một cách có hệ thống là nhà toán học Đức Felix Klein (1849 – 1925) Trong tác phẩm “Chương trình Erlangen” nổi tiếng ông đã nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm các phép biến hình Theo đó mỗi nhóm biến hình trong hình học gắn với hình học của nhóm đó

Từ đó giúp chúng ta thấy được mối quan hệ chặt chẽ giữa các môn hình học: Hình học xạ ảnh, hình học Afin, hình học Ơclit …

Việc sử dụng các phép biến hình vào giải các bài toán hình học sơ cấp không chỉ nhằm cung cấp cho học sinh những công cụ mới để giải toán mà còn cho học sinh làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự việc và các hiện tượng xung quanh trong cuộc sống với sự vận động

và biến đổi của chúng để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo cơ sở cho sự ra đời của những phát minh và sáng tạo trong tương lai Ngoài ra có thể dựa vào một bài toán hình học cụ thể bằng phép biến hình ta còn có thể sáng tạo ra các bài toán khác nhau và đây là một việc làm mang lại nhiều hứng thú trong việc tìm tòi, nghiên cứu hình học Hơn nữa việc lựa chọn các công cụ thích hợp cho mỗi loại toán hình học khác nhau là một việc làm cần thiết giúp chúng ta tiết kiệm được thời gian và công sức để giải các bài toán đó một cách

có hiệu quả nhất

Trong luận văn này chúng tôi chỉ đề cập đến các phép biến hình trong mặt phẳng và sử dụng chúng để giải và khai thác một số bài toán của hình học

sơ cấp nhằm phục vụ cho công việc học tập và giảng dạy hình học theo chương trình giáo dục phổ thông cấp Trung học phổ thông hiện hành của Bộ Giáo dục và Đào tạo, đồng thời cũng lựa chọn một số bài tập sử dụng phép biến hình để giải dùng cho bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS

II Nội dung

Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Trình bày các phép biến hình trong mặt phẳng

1 Đại cương về các phép biến hình trong hình học phẳng và một số vấn

đề có liên quan đến các phép biến hình đó

Ở mỗi mục của chương này chúng tôi đưa ra một số bài toán của Hình học

sơ cấp, nêu các cách giải và cuối cùng đề xuất một số hướng khai thác, mở rộng

Nhận xét: Từ định nghĩa của phép dời hình ta dễ dàng suy ra:

- Phép đồng nhất e là một phép dời hình

- Đảo ngược của một phép dời hình là một phép dời hình, nghĩa là nếu f

là một phép dời hình thì f- 1 cũng là một phép dời hình

1.1.2 Tính chất của phép dời hình

a) Định lí Phép dời hình biến ba điểm A, B, C thẳng hàng với B nằm

giữa A và C thành ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng với B’ nằm giữa A’ và C’

Hệ quả 1 Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường thẳng,

biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng

nó

Hệ quả 2 Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giác bằng nó,

biến một góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó với tâm đường tròn này thành tâm đường tròn kia

b) Định lí Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình

Hệ quả 1 Tích của n phép dời hình là một phép dời hình

Hệ quả 2 Tích của một phép dời hình với phép đảo ngược của nó là một

phép đồng nhất

c) Định lí Tích của phép dời hình có tính chất kết hợp

d) Định lí Tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm các biến hình

với phép toán là tích các phép biến hình

Sau đây chúng ta hãy đi sâu tìm hiểu kĩ hơn về các phép dời hình cụ thể như phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay trong mặt phẳng

1.2 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

1.2.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định,

phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho đoạn thẳng MM’ nhận d làm đường trung trực thì phép biến

hình đó gọi là phép đối xứng trục d Đường

thẳng d gọi là trục d đối xứng Ta kí hiệu

c) Mọi điểm của trục đối xứng d đều là điểm kép

d) Mỗi đường thẳng a vuông góc với trục đối xứng d đều biến thành chính nó với chú ý rằng ngoài giao điểm của a với d các điểm khác của a đều không phải là điểm kép

e) Phép đối xứng trục hoàn toàn được xác định nếu cho biết trục đối xứng

d của nó

1.3 PHÉP TỊNH TIẾN

1.3.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng P cho vectơ,

phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao

cho MM

uuuur

= vgọi là

phép tịnh tiến theo vectơ v và được kí hiệu là Tv

Vectơ v gọi là vectơ tịnh tiến Ta có T v (M) = M’

1.3.2 Định lí Phép tịnh tiến là một phép dời hình

Hệ quả Nếu một phép biến hình biến hai điểm A, B bất kỳ lần lượt

thành 2 điểm A’, B’ sao cho ABuuur= A' B 'uuuur thì nó là phép tịnh tiến véc tơ

v= AA 'uuur = BB 'uuur

1.3.3.Tính chất

Từ định nghĩa của phép tịnh tiến và định lí trên ta suy ra:

a) Phép tịnh tiến là một phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất của

một phép dời hình

b) Nếu phép tịnh tiến theo vectơ v ≠ 0

r

biến điểm M thành điểm M’ thì;

ta cũng có phép tịnh tiến biến điểm M’ thành điểm M với vectơ tịnh tiến là

Hình 1.2

d) Tích của hai phép tịnh tiến Tv và Tv' là một phép tịnh tiến với vectơ tịnh tiến bằng v + v'

e) Phép tịnh tiến hoàn toàn được xác định nếu ta biết được vectơ tịnh tiến

v của nó

1.4 PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

1.4.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng, cho một điểm O cố định, phép biến hình

mỗi điểm M thành một điểm M’ sao cho O là trung điểm của đoạn MM’ gọi

là phép đối xứng tâm O Điểm O gọi là tâm đối xứng Phép đối xứng tâm O này được ký hiệu là Đ0 Nếu điểm M trùng

với tâm O ta lấy M’ trùng với M

Ta viết Đ0 (M) = M’

1.4.2 Định lí Phép đối xứng tâm O là một

phép dời hình

1.4.3 Tính chất của phép đối xứng tâm

Dựa vào định nghĩa của phép đối xứng tâm và định lí trên đây ta suy ra a) Phép đối xứng tâm là một phép dời hình, nên có đầy đủ các tính chất của phép dời hình

b) Qua phép đối xứng tâm O thì tâm O là điểm kép duy nhất

c) Nếu M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm 0 thì M lại là ảnh của M’ qua phép đối xứng đó Ta suy ra tích của một phép đối xứng tâm với chính nó

là phép đồng nhất

d) Phép đối xứng tâm biến đường thẳng qua tâm thành chính nó, biến một đường thẳng không đi qua tâm thành đường thẳng song song với đường thẳng đó, biến một vectơ thành vectơ đối của nó

e) Phép đối xứng qua tâm được hoàn toàn xác định nếu cho biết tâm đối xứng O của nó

Hình 54

O M

M'

Hình 1.3

1.5 PHÉP QUAY

1.5.1 Định nghĩa Trong một phẳng P đã được định hướng, cho một điểm O

cố định và một góc định hướng  sai khác k2 Một phép quay tâm O với góc quay  là một phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm

M thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và (OM , OM') = 

Trong định nghĩa trên ta kí hiệu (OM ,OM') là góc định hướng mà tia đầu là OM và tia cuối là OM’ Ta kí hiệu phép quay tâm O với góc quay  là

O

Q hoặc Q(O;) Ta thường chọn  sao cho -  ≤ a ≤ 

Chú ý: Theo định nghĩa phép quay với  = 0 là phép đồng nhất, còn nếu

 =  hoặc  = -  thì đó là phép đối xứng tâm O

c) Nếu phép quay tâm O với góc quay  biến điểm M thành điểm M’ thì phép quay tâm O với góc quay -  biến điểm M’ thành điểm M nghĩa là nếu f = Q O thì f- 1 = Q O

d) Qua phép quay tâm O góc quay  nếu điểm A biến thành điểm A’,

điểm B biến thành điểm B’ thì (AB A B, ' ') =  nghĩa là góc giữa hai vectơ tương ứng bằng góc quay  Do đó hai đường thẳng AB và A’B’ cắt nhau tạo

nên một góc bằng a và một góc bằng  - 

e) Phép quay hoàn toàn được xác định nếu biết tâm quay O và góc quay 

1.6 MỐI QUAN HỆ GIỮA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP QUAY

1.6.1 Tích của hai phép đối xứng có trục song song

Định lí 1 Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có trục là 1 và 2

song song với nhau là một phép tịnh tiến theo một vectơ v có phương vuông góc với hai trục, có hướng từ 1 đến 2 và có môđun bằng hai lần khoảng cách giữa hai trục đó

Định lí 2 Mọi phép tịnh tiến T theo một vectơ v đều có thể phân tích bằng nhiều cách khác nhau thành tích của hai phép đối xứng trục với hai trục song song

1.6.2 Tích của hai phép đối xứng có trục cắt nhau

Định lí 3 Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có hai trục 1, 2

cắt nhau ở một điểm O là một phép quay tâm O và góc quay  = 2 ( 1, 2)

Định lí 4 Mọi phép quay tâm O góc quay  với  ≠ 0 đều có thể phân tích bằng nhiều cách khác nhau thành tích của hai phép đối xứng với hai trục cắt nhau tại O

6.3 Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay

Cho phép tịnh tiến T theo vectơ v≠ 0 và

một phép quay Q tâm O góc quay  ≠ k2, ta

hãy xét tích của hai phép đó

Phân tích phép tịnh tiến T thành tích của

hai phép

đối xứng Đ1, Đ2 theo thứ tự có trục song

song là 1 và 2 Ta chọn trục 2 đi qua O,



2 1

v O'

O

Hình 1.4

vuông góc với phương v và chọn 1 là ảnh của 2 trong phép tịnh tiến theo véc tơ

2

v

 Ta tiếp tục phân tích phép quay Q đã cho thành tích của hai phép

đối xứng là Đ2 và Đ3 có trục cắt nhau theo thứ tự là 2 và 3 Ta chọn 3 là ảnh của 2 trong phép quay tâm O với góc quay

Lí luận tương tự như trên ta thấy rằng tích của một phép tịnh tiến T và một phép quay Q là một phép quay tâm O’’ với góc quay  trong đó điểm O’’≠ O’ Ta có Q.T ≠ T.Q và như vậy tích của hai phép này không có tính chất giao hoán Ta có định lí

Định lí 5 Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay góc  là một một phép quay góc 

6.4 Tích của hai phép quay

Đối với hai phép quay cùng tâm

O với góc quay là 1 và 2 ta dễ dàng

thấy rằng tích của hai phép quay này

là phép quay tâm O với góc quay

1 + 2 Sau đây ta chỉ xét trường hợp

tích của hai phép quay khác tâm

Giả sử ta có hai phép quay Q1 và

O3

Hình 1.5

Q2 theo thứ tự có tâm là O1, O2 có góc quay là 1, 2 và giả sử 1 và 2 đều khác k2 Ta gọi đường thẳng O1O2 là đường thẳng 2 rồi chọn 1 là đường

thẳng đi qua O1 và 3 là đường thẳng đi qua O2 sao cho (1, 2) = 1

Sự phân tích trên dẫn đến kết luận:

Định lí 6 Tích của hai phép quay có tâm khác nhau, nói chung là một

phép quay với góc quay bằng tổng của hai góc quay của hai phép quay đã cho, hay đặc biệt là một phép tịnh tiến nếu hai phép quay đã cho các góc đối nhau

O2

O1

Hình 1.6

Chú ý: Trong trường hợp góc quay 1 ≠ - 2 nếu tích Q2.Q1 là phép quay tâm O = 1  3 thì bằng cách phân tích tương tự ta thấy rằng Q1.Q1 là một phép quay tâm tại O' đối xứng với O qua đường thẳng O1O2 Góc của hai phép quay trong hai trường hợp trên đầu bằng 1 + 2

Trường hợp 1 = - 2 nếu tích Q2.Q1 là phép tịnh tiến T theo véc tơ v

r

thì tích Q1.Q2 là phép tịnh tiến đảo ngược T-1 theo véc tơ - v

Như vậy phép vị tự sẽ được xác định khi biết tâm vị tự và tỷ số vị tự k của

c) Định lí 3 Phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn

d) Tâm vị tự của hai đường tròn

Cho hai đường tròn tâm I và I’ lần lượt có bán kính R và R’ Ta hãy xét những phép vị tự biến đường tròn (I, R) thành đường tròn (I’, R’)

Giả sử k là tỉ số của phép vị tự cần tìm ta có R’= │k│R nghĩa là k = R'

xét các trường hợp sau đây:

1) Nếu I khác với I’ và R = R’

thì có một điểm O duy nhất khi k ≠

3) Bây giờ ta hãy xét trong trường

hợp tổng quát với I khác I’ và R ≠R’ Gọi O1 là điểm sao cho ta được phép vị

tự tâm O1 biến đường tròn tâm I bán kính R thành đường tròn tâm I’ bán

Hình 1.8

kính R’ với tỷ số vị tự k = R'

R Người ta gọi phép vị tự đó là phép vị tự thuận vì k = R'

R > 0 (Hình 1.9)

Gọi O2 là điểm sao cho O I2 ' R'O I2

R

 ta được phép vị tâm O2 biến đường

tròn tâm I bán kính R thành đường tròn tâm I’ bán kính R’ với tỉ số vị tự

Như vậy ta có phép vị tự biến đường tròn (I, R) thành đường tròn (I’,R’)

Nếu hai đường tròn có tiếp tuyến chung ngoài là TT’ thì vì I T' ' R'IT

Nếu hai đường tròn (I,R) và (I’, R’) có tiếp tuyến chung trong là T1T’1; lập luận tương tự ta có đường thẳng T1T’1 đi qua tâm vị tự O2 (Hình 1.11)

Để ý rằng trong trường hợp với O1 là tâm của phép vị tự thuận ta có hai véc tơ ITvà I T' 'cùng phương và cùng chiều (Hình 1.10) còn trường hợp với

O2 là tâm của phép vị tự nghịch ta có hai véc tơ ITvà I T' '1 cùng phương và ngược chiều (Hình 1.11)

- Nếu hai đường tròn (I, R) và (I’, R’) tiếp xúc ngoài tại T thì T là tâm vị

tự nghịch của hai đường tròn đó Tâm vị tự thuận O1 là giao điểm của một tiếp tuyến chung với đường nối tâm II’ ( khác với T)

- Nếu hai đường tròn (I, R) và (I’, R’) tiếp xúc trong tại T’ thì T’là tâm vị

tự thuận của hai đường tròn đó

Chú ý: Muốn tìm tâm vị tự của hai đường tròn (I,R) và (I’, R’) trong

trường hợp tổng quát (I ≠ I’ và R≠ R’) ta chỉ cần thực hiện các bước sau:

- Vẽ qua I một đường kính bất kỳ cắt đường tròn tâm I tại M và M1

- Qua I’ vẽ đường thẳng song song với MM1 cắt đường tròn tâm I’ tại M’

và M’1, chú ý lấy vecto I M' ' cùng phương với vecto IM

- Đường thẳng MM’cắt đường nối tâm II’ tại tâm vị tự thuận là O1 (đường thẳng M1M’1 cũng cắt đường nối tâm II’ tại O1) (Hình 1.14)

- Đường thẳng M1M’cắt đường nối tâm II’ tại tâm vị tự nghịch là O2(Đường thẳng MM’1 cũng cắt đường nối tâm II’ tại O2 (Hình 1.15)

2.1.4 Tích của hai phép vị tự

a) Định lí 1 Tích của hai phép vị tự cùng nhận O làm tâm và có tỉ số vị

tự lần lượt là k1, k2 là một phép vị tự tâm O có tỉ số vị tự k = k2.k1

b) Định lí 2 Tích của hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự có tâm

thẳng hàng với hai tâm của hai phép vị tự đã cho, hoặc đặc biệt là một phép tịnh tiến hay phép đồng nhất

2.2 PHÉP ĐỒNG DẠNG 2.2.1 Định nghĩa Một phép biến hình f: P  P gọi là một phép đồng dạng nếu nó biến hai điểm A, B bất kỳ của một mặt phẳng thành hai điểm A’

= f(A) và B’= f(B) sao cho luôn luôn có A’B’ = kAB trong đó k là một số thực dương xác định Số k được gọi là tỉ số đồng dạng

Định lí Mỗi phép đồng dạng đều có thể xem là tích của một phép vị tự

và một phép dời hình hoặc tích của một phép dời hình và một phép vị tự

Hệ quả Phép đồng dạng tỉ số k biến một đường thẳng thành một đường

thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng

có độ dài gấp k lần đoạn thẳng ban đầu, biến một góc thành một góc bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó

2.2.3 Khái niệm về hai hình đồng dạng

Trước đây ta từng gặp các định lí nói về các tam giác đồng dạng, các tam giác đồng dạng bây giờ sau khi nghiên cứu về phép đồng dạng ta có thể mở rộng định nghĩa này đối cới hai hình phẳng như sau:

a) Định nghĩa:

Hai hình H và H’ gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng f biến hình này thành hình kia và ta viết f(H) = H’

b) Chú ý: Trong định nghĩa ta có nói tới các khái niệm đồng dạng với

nhau vì nếu có phép đồng dạng f biến hình H thành hình H’theo tỉ số k thì phép đồng dạng f-1

O, phương tích k Ta thường kí hiệu phép nghịch đảo đó là f(O, k) Phép

nghịch đảo hoàn toàn được xác định nếu biết cực O và phương tích k của nó

3.1.2 Các tính chất

a) Phép nghịch đảo có tích chất đối hợp vì OM OM ' OM OM' k nghĩa là nếu M’ = f(M) thì ta cũng có M = f(M’) Do đó f.f(M) = M hay f2 là phép đồng nhất

b) Nếu k > 0 thì 2 điểm M và M’ =f(M) cùng nằm về một phía đối với điểm O Khi đó tập hợp những điểm kép của phép nghịch đảo f(O, k) là đường tròn tâm O và có bán kính bằng k Ta gọi đường tròn này là đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo f(O, k)

c) Nếu k < 0 thì 2 điểm M và M’= f(M) nằm về hai phía đối với điểm O Khi đó ta không có điểm kép và do đó không có đường tròn nghịch đảo vì

k < 0

3.1.3 Các định lý

Định lí 1 Nếu phép nghịch đảo f(O, k) có phương tích k > 0 thì mọi

đường tròn đi qua hai điểm tương ứng M và M’=f(M) đều trực giao với đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo đó

Hệ quả Qua phép nghịch đảo với phương tích k > 0, mọi đường tròn trực

giao với đường tròn nghịch đảo đều biến thành chính nó

Định lí 2 Cho phép nghịch đảo f(O, k) với k > 0 Nếu có hai đường tròn

trực giao với đường tròn nghịch đảo tâm O và cắt nhau tại M, M’ thì hai điểm này là hai điểm tương ứng với phép nghịch đảo f(O,k) đã cho

Định lí 3 Đối với một phép nghịch đảo f(O, k) bất kì, hai điểm A, B

không thẳng hàng với cực nghịch đảo, cùng với ảnh của chúng là A’ = f(A), B’ = f(B) cùng nằm trên một đường tròn

Định lí 4 Tích của hai phép nghịch đảo có cùng cực O là f(O,k) và

f’(O,k’) là một phép vị tự tâm O tỉ số k '

k

Hệ quả Hình dạng ảnh của một hình H trong một phép nghịch đảo

không phụ thuộc vào phương tích nghịch đảo mà chỉ phụ thuộc vào vị trí của cực nghịch đảo

Thật vậy giả sử H1 là ảnh của hình H trong phép nghịch đảo f1 (O, k1) và

H2 là ảnh của hình H trong phép nghịch đảo f2 (O, k2) khi đó:

H1 = f1 (H); H2 = f2 (H) => H = f2-1 (H2) = f2 (H2)

Do đó:

H1 = f1 [f2(H2)]= (f1.f2)(H2) = V(H2)

Với V là một phép vị tự Do đó H1 và H2 là hai hình đồng dạng

Định lí 5 Cho hai điểm A, B và ảnh A’, B’ của chúng trong một phép

nghịch đảo cực O, phương tích k Độ dài các đoạn thẳng AB và A’B’ liên hệ với nhau bởi hệ thức

A’B’ = │k│

.

AB

OA OB

3.2 Sự bảo tồn góc qua phép nghịch đảo

3.2.1 Định nghĩa Cho hai đường cong (C1) và (C2) cắt nhau tại một điểm A và tại đó chúng có các tiếp tuyến Ta gọi góc giữa hai tiếp tuyến đó là góc của hai đường cong đã cho tại điểm A

3.2.2 Bổ đề Cho phép nghịch đảo f(O,k) biến đường cong () thành đường cong (') Nếu A, A’ là hai điểm tương ứng trên (), (') và tại đó chúng có các tiếp tuyến thì các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua đường trung trực của đoạn thẳng AA’

3.2.3 Định lí

Phép nghịch đảo bảo tồn góc

3 3 Ảnh của đường thẳng và đường tròn

Từ định nghĩa, ta suy ra rằng phép nghịch đảo biến mỗi đường thẳng đi qua cực nghịch đảo thành chính đường tròn đó Còn đối với đường thẳng không đi cực nghịch đảo thì ảnh của nó được xác định bởi các định lí sau đây

3.3.1 Định lí 1 Phép nghịch đảo biến đường thẳng không đi qua cực

nghịch đảo O thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo trừ điểm O

Ngược lại một đường tròn đi qua cực nghịch đảo O ( trừ điểm O) thì có ảnh là một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo đó

Hệ quả Nếu đường tròn tâm I biến thành đường thẳng d thì tâm I của nó

biến thành điểm đối xứng I’ của cực nghịch đảo O đi qua d

3.3.2 Định lí 2 Một đường thẳng và một đường tròn có thể coi là ảnh

của nhau trong hai phép nghịch đảo, nếu đường thẳng không tiếp xúc với đường tròn

3.3.3 Định lí 3 Qua một phép nghịch đảo, một đường tròn không đi qua

cực nghịch đảo O biến thành một đường tròn không đi qua điểm O đó

3.4 Phép nghịch đảo đối với hai đường tròn

Ta biết rằng một phép nghịch đảo f(O,k) một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo O có ảnh là một đường tròn và cực nghịch đảo là một tâm vị

tự của hai đường tròn đó

Ngược lại nếu cho trước hai đường tròn C(I,R) và C’(I’,R’) ta hãy xét xem chúng có thể là ảnh của nhau qua một phép nghịch đảo nào đó hay không Ta hãy xét các trường hợp sau:

3.4.1 Trường hợp tổng quát

Trường hợp hai đường tròn (C) và (C’) không bằng nhau và không tiếp

xúc nhau, có hai phép vị tự

R ' R O

V và

R ' R

O '

V- biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) Các tâm vị tự O và O’ không nằm trên hai đường tròn đó Khi đó

có hai phép nghịch đảo biến (C) thành (C’) (Hình 1.16)

C') (C)

a) Phép nghịch đảo tâm O với phương tích k = p = R 'p

R trong đó p là phương tích của điểm O đối với đường tròn (C)

b) Phép nghịch đảo tâm O’ với phương tích k’= - R 'p

R ’ trong đó p’ là phương tích của điểm O’ đối với đường tròn (C)

3.4.2 Các trường hợp đặc biệt

(C') (C)

Hình 134

O'

a) Nếu hai đường tròn (C) và (C’) bằng nhau và không tiếp xúc nhau thì

có một phép vị tự tâm O’ biến đường tròn này thành đường tròn kia Do đó ta

chỉ có một phép nghịch đảo cực O’ với phương tích k’= - R 'p

R ’, trong đó p’ là phương tích của điểm O’ đối với đường tròn (C) (bằng phương tích của O’

Hình 1.16

Hình 1.17

đối cới đường tròn (C’) (Hình 1.17)

b) Nếu hai đường tròn (C) và (C’) tiếp xúc với nhau tại điểm A nhưng không bằng nhau thì tiếp điểm là tâm vị tự nhưng không phải là cực nghịch đảo và chỉ có tâm vị tự còn lại là cực O của một phép nghịch đảo (Hình 1.18)

(C')(C)

I'I

c) Nếu hai đường tròn (C) và (C’) bằng nhau và tiếp xúc với nhau thì không có phép nghịch đảo nào biến đường tròn này thành đường tròn kia (Hình 1.19)

Chú ý: Giả sử phép nghịch đảo f(0, k) biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) thì tâm I của đường tròn (C) không biến thành tâm I’ của đường tròn (C’) Gọi J = f(I), muốn tìm J ta vẽ qua I một đường thẳng d bất kì và như vậy

A

O (C')

(C)

O I'

d vuông góc với (C) Vì d không qua cực O nên d’ = f(d) là đường tròn đi qua

O và trực giao với đường tròn (C’) = f(C) Đường kính AB của đường tròn (C’) đi qua O cắt đường tròn d’ tại J và O Ta có A, B, J, O là một hàng điểm điều hòa vì d’ trực giao với đường tròn (C’) Vậy ta có (ABJO) = - 1 và O, J

là hai điểm liên hợp đối với đường tròn (C’)

Chương 2

ỨNG DỤNG CÁC PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ GIẢI VÀ KHAI THÁC

MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG

Ký hiệu

Trong chương này ta sẽ ký hiệu:

Phép tịnh tiến theo véc tơ a (hoặc AB ) là Ta (hoặc T ) AB

Phép đối xứng qua đường thẳng d (hoặc đường thẳng AB) là Đd (hoặc Đ(AB)) Phép đối xứng tâm I là ĐI

Phép quay tâm O, góc  là QO

D A

Hình 2.1

Giả sử đường thẳng BO cắt (O) tại B và D Ta có AD//CH, vì chúng cùng vuông góc với AB Tương tự, AH//DC

Từ đó suy ra ADCH là hình bình hành Do đó AH DC không đổi

Vậy có thể xem H là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo DC Do đó khi

A chạy trên (O), H chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo DC

Nhận xét:

Bài toán này đưa về chứng minh AH không đổi Khai thác ý này, ta có thể từ bài toán này đưa về các bài toán tìm quỹ tích điểm M sao cho AM không đổi Chẳng hạn:

Hình 2.2

O'

O H

Vậy có thể xem M là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo ' 1

Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H là trực tâm của tam

giác đó Giữ B, C cố định, cho A chạy trên (O) Tìm quỹ tích những điểm M sao cho AM  AHCB

Giả sử đường thẳng BO cắt (O) tại B và D Ta có AD//CH , vì chúng cùng vuông góc với AB.Tương tự , AH//DC Từ đó suy ra ADCH là hình bình hành Do đó AH DC không đổi Ta có AM AHCBDCCBDB không đổi Vậy có thể xem M là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo DB Khi A chạy trên đường tròn (O) thì tập hợp các điểm M sao cho AM AH CB thuộc đường tròn(O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo DB

Tương tự ta có bài toán dạng tổng quát sau :

Bài 4:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H là trực tâm của tam giác đó Giữ B, C cố định, cho A chạy trên (O) Tìm quỹ tích những điểm M sao cho AM a AHbCB, a, b  R

O'

M

O H

C D

B

A

Giải

Hình 2.3

Giải

Tương tự bài 3 quỹ tích điểm M sao cho AM a AHbCB, a, b  R

thuộc đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo aDCbCB,

suy ra N là ảnh của M qua phép tịnh

tiến theo AE Vì M thuộc d, nên N

thuộc d’ là ảnh của d qua phép tịnh

tiến đó Tập hợp N là cả đường

thẳng d’

Bài 6: Cho đường tròn (O) với đường kính AB cố định, một đường kính MN

thay đổi Các đường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ?

A

 có QA là một đường cao (vì QAMP) Kẻ MM'PQ thì MM' cắt QA tại trực tâm H của MPQ, đoạn đường thẳng OA là đường trung bình của

 Ta có OA là đường trung bình của tam giác MNS nên NS  2OABA

Vậy phép tịnh tiến T theo BA biến N thành H (N không trùng A; N không trùng B) Do đó quỹ tích S là ảnh của đường tròn (O)

(không kể hai điểm A và B) qua phép tịnh tiến đó

Bài 7: Cho ABC cố định có trực tâm H Vẽ hình thoi BCDE, từ D và E vẽ các đường thẳng vuông góc với AB và AC Các đường thẳng này cắt nhau tại điểm M Tìm quỹ tích của điểm M

Hình 2.5

Tứ giác BCDE là hình thoi nên BC = CD, BC//ED H là trực tâm ABC

Nên BH  AC, ME  AC BH// ME

Suy ra HBCMED

Tương tự: HC//DM và BC//ED HCBMDE

Suy ra: HBC  MDECH DM

Phép tịnh tiến T CH D M

Ta có BC = CD nên điểm D chạy trên đường tròn (C) tâm C, bán kính R = BC

 điểm M thuộc đường tròn tâm H, bán kính R = BC là ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến T CH

Bài 8: ABC có 0

90

A Từ điểm P thay đổi trên cạnh huyền BC của ABC vẽ

các đường vuông góc PR, PQ với các cạnh vuông AB, AC ( RAB, QAC)

Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng RQ

Khi PC thì ND là trung điểm cạnh BC

Khi P thay đổi trên cạnh huyền BC thì N cũng thay đổi trên đoạn thẳng BD thuộc cạnh huyền BC

Hai thành phố M, N bị ngăn cách bởi một con sông rộng Hãy tìm vị trí

để xây một chiếc cầu nối hai bờ sông sao cho quãng đường từ M qua cầu đến

N là ngắn nhất (Giả sử hai bờ sông song song với nhau và cầu vuông góc với hai bờ sông)

Giải

Giả sử d và d’ là đường hai bờ sông Một đường thẳng vuông góc với d cắt d tại C và cắt d’ tại D Phép tịnh tiến theo CD biến M thành M’, biến C thành D

Ta thấy MC + CD + DN ngắn nhất

 MC + DN ngắn nhất  M’D

+ DN ngắn nhất  M’, D, N thẳng

hàng

Gọi A’ là giao của M’N với d’, A là

điểm trên d sao cho AA' CD Khi

đó vị trí đặt cầu thích hợp là AA’

d' d

M'

A

A'

N D

C M

Hình 2.8

Nhận xét:

Trong bài tập trên ta đã dùng phép tịnh tiến để chập hai bờ sông lại, sau

đó đưa về bài toán tìm đường ngắn nhất trong các đường gấp khúc

Khai thác ý trên ta có thể đưa ra bài toán tương tự khi giữa hai thành phố M, N có hai con sông

Bài 10:

Hai thành phố M, N bị ngăn cách bởi hai con sông rộng Hãy tìm vị trí

để xây hai chiếc cầu qua hai con sông sao cho quãng đường từ M qua cầu thứ nhất , qua cầu thứ hai đến N là ngắn nhất (Giả sử hai bờ của mỗi con sông song song với nhau và cầu luôn vuông góc với bờ sông)

Giải

Giả sử con sông thứ nhất có hai bờ là m và m’, con sông thứ hai có hai bờ là n

và n’( như hình vẽ ) Lấy các điểm C, D, E, F lần lượt trên m, m’, n, n’ sao cho CD  m, EFn Phép tịnh tiến theo CD biến M, C lần lượt thành M’, D Phép tịnh tiến theo FE biến N,F lần lượt thành N’, E Ta có:

m

Hình 2.9

MC + CD + DE + EF + FN nhỏ nhất  M’D + DE + EN’ nhỏ nhất M’,

D, E, N’ thẳng hàng

Gọi giao của M’N’ với m’ và n lần lượt là A’ và B’.Lấy A thuộc m, B thuộc n’ sao cho AA' CD , BB' FE Khi đó AA’ và BB’ là vị trí của các chiếc cầu cần xây

Bài 11: Cho  ABC Dựng hình vuông BCDE nằm trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ là BC Từ D và E lần lượt dựng DI AB; EK AC Chứng minh rằng 3 đường thẳng EK; DI và AH ( đường cao ABC) đồng quy

Giải

1 Ta muốn dời  ABC đến vị trí

mới nhận 3 đường thẳng trên là 3 đường

3 Do tính chất của phép tịnh tiến ta có AB//A'E; AC//A'D Suy ra:

DI A'E; EK A'D Còn A'H' ED, vậy DI, EK, A'H' là 3 đường cao của  A'ED nên chúng đồng quy

Hình 2.10

Bài 12:

Cho hai đường tròn bằng nhau (O1, R) và (O2;R) cắt nhau ở M và N Đường thẳng l //O1O2 cắt (O1,R) tại A và B cắt (O2, R) tại C và D Chứng minh rằng số đo góc AMC không phụ thuộc vào vị trí của l nếu các tia AB và

CD cùng hướng và 1 cắt đoạn thẳng MN

Giải

N B

Vì hai đường tròn có bán kính bằng nhau nên thực hiện

Tứ giác AMM'C là hình bình hành => AMCMCM'

Góc MCM'không đổi do MM' không đổi

Bài 13:

Gọi A1, B1, C1 là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC,

O1; O2, O3 lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AC1B;

Hình 2.11

CB1A1; BC1A1 Tính độ dài các cạnh và các góc của tam giác O1O2O3 biết:

B1

A1C1

B

CA

Gọi O1, O2, O3 lần lượt là tâm các đường ngoại tiếp các tam giác AC1B1;

2 Ứng dụng phép đối xứng trục để giải toán

Ta bắt đầu mục này bằng bài toán sau:

Bài 14:

Cho hai điểm A, B nằm cùng phía đường thẳng d Tìm trên d điểm C

để tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất

Giải

Dựng B’ là đối xứng của B qua

đường thẳng d, nối AB’ cắt d tại C Khi

đó chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi và

chỉ khi AC + BC nhỏ nhất AC + CB’

nhỏ nhất A, C, B’ thẳng hàng Vậy

điểm C là điểm cần xác định trên d

Nhận xét:

Để ý rằng tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi AC + CB nhỏ nhất

Từ đó suy ra bài toán trên có thể phát biểu dưới dạng một bài toán thực tế như sau:

Bài 14’:

Có hai địa điểm A và B nằm cùng phía đối với một con sông Người ta

tổ chức một cuộc thi chạy với thể lệ như sau: Người thi xuất phát từ A cầm một chiếc can nhựa chạy đến con sông múc đầy can nước sau đó chạy tiếp đến B Hỏi người dự thi cần múc nước ở chỗ nào để quãng đường đi là ngắn nhất (Giả thiết bờ sông là đường thẳng)

Ta còn có thể đề xuất bài toán tương tự như bài toán 1 cho hai đường thẳng

Bài 15:

Cho điểm A nằm trong góc nhọn bOc , b, c là hai cạnh của góc đó Tìm trên b điểm B, trên c điểm C để tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất

B' C

B A

d

Hình 2.13

Đối với ba đường thẳng ta có bài

toán hay và khó hơn như sau :

Ta còn phải chứng minh kết quả trên cũng đúng khi ta chọn đường cao thuộc các cạnh khác Trước hết ta giải bài toán phụ sau :

Bài 17:

Cho tam giác ABC Gọi I, J, K lần lượt là chân đường cao hạ từ A, B,

C M, N lần lượt là điểm đối xứng với I qua AB và AC.Chứng minh rằng M,

Giải

I

OH

CB

Khi A chạy trên đường tròn (O) thì K cũng chạy trên đường tròn (O)

Quỹ tích điểm H là đường tròn (O’), ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng trục BC

S(AB):(AHB)  (ABC)

S(AC): (AHC)  (ABC)

Vậy các đường tròn (BHC); (AHB); (AHC); (ABC) bằng nhau

3 Ứng dụng phép quay để giải toán

Bài 20:

Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C (B nằm giữa AC), Dựng về một phía của

đường thẳng AC các tam giác đều ABD và BCE

A

Hình 2.18

Nhận xét Từ cách chứng minh bài toán 1 ta thấy điều kiện A, B, C thẳng

hàng là không cần thiết, nên bài toán trên có thể mở rộng cho trường hợp A,

B, C không thẳng hàng Ta có:

I

L N

A

Hình 2.19

Hình 2.20