Kts-C2-Dai So Logic.pdf

Slide 1 Chöông 2 ÑAÏI SOÁ LOGIC Đại số logic còn được gọi là đại số Boole, do nhà toàn học người Anh George Boole đưa ra năm 1847 Là công cụ toán học được dùng cho hệ đếm nhị phân, hệ thống đếm chỉ dù[.]

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

- Đại số logic cịn được gọi là đại số Boole, do nhà tồn học người

Anh George Boole đưa ra năm 1847

- Là cơng cụ tốn học được dùng cho hệ đếm nhị phân, hệ thống

đếm chỉ dùng hai chữ số là 0 và 1 để biểu diễn các con số

- Đặc điểm của đại số logic là các hàm và các biến chỉ nhận một

trong hai giá trị 0 hoặc 1

- Hai giá trị này biểu thị hai trạng thái logic khác nhau đúng hoặc

sai,

- Đối với mạch điện tử hai giá trị 1 hoặc 0 dùng để biểu thị hai mức

điện áp: điện áp cao (V H ) hoặc thấp (V L), cơng tắc đĩng hoặc ngắt,

cĩ hoặc khơng cĩ dịng điện chạy trong mạch

2.1 Ba phép tính cơ bản trong đại số logic

Là cấu trúc đại số được định nghĩa trên 1 tập phần tử nhị phân B = {0, 1} và các phép toán nhị phân: AND (.), OR (+), NOT (’).

0 1

1 1

x x’ (NOT x, x )

0

1

1 0

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

2.2 Các định luật cơ bản của đại số Boole

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

- Các mệnh đề cơ sở

- Định luật hấp thụ

- Định luật phủ định của phủ định

- Định luật kết hợp

2.2 Các định luật cơ bản của đại số Boole

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

- Định luật giao hốn

- Định luật phân phối

- Định lý De Morgan

Mở rộng x1 + x2 + + xn = x1 x2 xn

x1 x2 xn = x1 + x2 + + xn

2.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

a) Khái niệm minterm (số hạng tối thiểu) và maxterm (số hạng tối

đa)

- Một hàm logic cĩ n biến, mỗi biện nhận một trong hai giá trị 0

hoặc 1, như vậy sẽ cĩ 2n tổ hợp biến

- Mỗi tổ hợp biến cĩ thể tạo thành một số hạng là tích của tất cả

các biến cĩ trong cùng 1 tổ hợp biến (gọi là minterm): gọi là sốhạng tối thiểu vì nĩ là tích các biến cĩ trong một tổ hợp biến, tíchnày chỉ bằng 1 khi tất cả các biến đều bằng 1

- Mỗi tổ hợp biến cĩ thể tạo thành một số hạng là tổng tất cả các

biến cĩ trong một tổ hợp biến (gọi là maxterm): chỉ cần 1 trongcác biến bằng 1 thì maxterm bằng 1, maxterm bằng 0 chỉ trongmột trường hợp duy nhất khi tất cả các biến đều bằng 0

- Một hàm cĩ n biến ta cĩ 2n minterm và 2n maxterm

2.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

a) Khái niệm minterm (số hạng tối thiểu) và maxterm (số hạng tối

đa)

- Ví dụ một hàm F(A, B, C) cĩ 3 biến là A, B, C ta cĩ 8 tổ hợp biến

được xếp theo mã nhị phân là: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110,

111 Tương ứng cĩ 8 minterm (m0, m1……m7) và 8 maxterm (M0,

M1….,M7)

2.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGICb) Các tính chất của minterm và maxterm

- Hai maxterm và minterm của số hạng cĩ cùng chỉ số là phủ địnhcủa nhau

- Tổng logic của tất cả minterm =1

- Tích logic của tất cả các maxterm =0

- Tích hai minterm khác nhau bất kỳ =0

- Tổng hai maxterm khác nhau bất kỳ =1

2.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

c) Phương pháp biểu diễn hàm logic

- Cĩ 4 phương pháp được dùng để biểu diễn hàm logic là: bảngchân lý, bảng Karnaugh, phương trình logic, ký hiệu logic

- Cần nắm vững từng phương pháp biểu diễn hàm, biết vận dụngnhững ưu việt của từng phương pháp, chuyển đổi từ phươngpháp này sang phương pháp kia

2.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

c) Phương pháp biểu diễn hàm logic

- Ưu điểm của bảng trạng thái: rõ ràng, trực quan

- Nhược điểm chủ yếu của bảng chân lý là phức tạp nếu số biến quánhiều, khơng thể dùng các cơng thức và định lý để tính tốn

2.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

c) Phương pháp biểu diễn hàm logic

 Bảng chân lý

- Ví dụ ta cĩ hàm logic:

- Ta cĩ bảng chận lý được trình bày như sau

2.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

c) Phương pháp biểu diễn hàm logic

 Phương trình logic

- Biểu diễn hàm logic bằng các phương trình logic cho thấy mốiquan hệ giữa hàm và biến thơng qua các phép tốn cộng, nhân vàphủ định, là phương pháp biểu diễn thích hợp trong mọi trườnghợp, kể cả các quan hệ logic phức tạp, hàm nhiều biến

- Dùng phương trình logic sẽ đơn giản, gọn ghẽ hơn là dùng bảngchân lý và rất tiện để thực hiện các phép tốn logic và tối thiểuhĩa các hàm bằng phương pháp đại số

- Phương trình logic được xác lập theo các cách sau:

+ Dạng tuyển SOP: lấy tổng của các tích tức tổng của các minterm (đủ biến), ký hiệu bằng chữ m i

Chỉ lấy tổng các minterm nào cĩ giá trị tương ứng của hàm fi=1

i i

F   f m

2.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

c) Phương pháp biểu diễn hàm logic

2.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

c) Phương pháp biểu diễn hàm logic

 Phương trình logic

Ví dụ: Một hàm 3 biến cĩ bảng chân lý được cho trong bảng sau:

Ta cĩ thể xác định hàm logic theo 2 cách nĩi trên

2.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

c) Phương pháp biểu diễn hàm logic

 Phương trình logic

Ví dụ: Một hàm 3 biến cĩ bảng chân lý được cho trong bảng sau:

Cách 1: lấy tổng chuẩn các minterm ứng với fi=1 ta cĩ:

Cách 2: lấy tích chuẩn các maxterm ứng với fi=0 ta cĩ

2.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

c) Phương pháp biểu diễn hàm logic

 Phương trình logic

Ví dụ: Biểu diễn hàm sau theo dạng minterm F(A, B, C)=A+BC

- Đây là dạng minterm khơng đầy đủ, muốn đưa về dạng chuẩn tắc(đủ biến) ta sử dụng một số định lý để biến đổi

2.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

c) Phương pháp biểu diễn hàm logic

 Phương trình logic

Ví dụ:

Biểu diễn hàm sau theo dạng maxterm F(A, B, C)=A+BC=(A+B)(A+C)

- Đây là dạng maxterm khơng đầy đủ, muốn đưa về dạng chuẩn tắc(đủ biến) ta sử dụng một số định lý để biến đổi

2.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

c) Phương pháp biểu diễn hàm logic

2.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

c) Phương pháp biểu diễn hàm logic

 Phương trình logic

Ví dụ:

2.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

2.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

c) Phương pháp biểu diễn hàm logic

 Bảng Karnaugh

- Bảng Karnaugh dạng maxterm: với tổ hợp biến nào mà hàm cĩ giátrị 0 thì ơ vuơng đĩ được ghi giá trị 0, các tổ hợp biến cĩ giá trị 1thì bỏ trống

Ví dụ của các hàm 2, 3 biến

2.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

c) Phương pháp biểu diễn hàm logic

 Bảng Karnaugh

Ví dụ của các hàm 4 biến

* Bìa 3 bieán:

AB C

F

0 1

00 01 11 10

0 1

2 3

6 7

4 5

1

1

1

AB C

F

0 1

CD

F 00

00 01 11 10

01 11 10

0 1

4 5

8 9 3

2

7

15 13

12

11

* Bìa 5 bieán:

30 31 29 28

BC DE

F

00

00 01 11 10

01 11 10

10 11 01 00

0 1

4 5

8 9 3

2

7

15 13

12

11

18 19 17 16

22 23 21 20

26 27 25 24

2.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

d) Phương pháp tối giản hàm logic

- Trong việc thiết kế các khối chức năng logic, tìm ra được một sơ đồlogic đơn giản đáp ứng đầy đủ các yêu cầu của khối chức năng cầnthiết kế, thì yêu cầu hàng đầu là tính kinh tế và mạch phải cĩ tính

ổn định, độ tin cậy cao

- Để đảm bảo các yêu cầu này thì sơ đồ logic phải bao gồm số cácphần tử logic cơ bản ít nhất, các sơ đồ càng đơn giản càng cĩ độtin cậy và ổn định cao

- Để xây dựng được một sơ đồ như vậy ta phải tìm ra một phươngtrình logic tối giản mơ tả đúng chức năng logic của mạch điện tửcần thiết kế

- Các hàm logic ta thường gặp thường khơng tối giản, nếu ta xâydựng mạch dựa trên phương trình này thì sẽ tốn kém vì phải dùngnhiều phần tử linh kiện logic, sơ đồ phức tạp, độ ổn định kém

2.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

d) Phương pháp tối giản hàm logic

- Vì thế trước khi xây dựng mạch bao giờ cũng phải tìm cách rút gọnhàm, đưa phương trình về dạng tối giản

- Cĩ hai cách rút gọn hàm logic:

+ Rút gọn theo phương pháp đại số thơng thường

+ Rút gọn theo phương pháp hình học dùng bảng Karnaugh

 Rút gọn theo phương pháp đại số

- Áp dụng các định lý, tính chất của đại số logic để đơn giản hàmlogic sao cho hàm cuối cùng đơn giản, thực hiện cần ít phần tửlogic cơ bản nhất

- Khơng cĩ một quy trình tối ưu để biến đổi, tùy thuộc vào kỹ năng,kinh nghiệm mỗi người trong quá trình làm bài tập

- Giống như tối giản các biểu thức đại số thơng thường

2.3 Phương pháp biểu diễn hàm logic

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

d) Phương pháp tối giản hàm logic

 Rút gọn theo phương pháp đại số

Ví dụ: Đơn giản biểu thức

Trong biểu thức trên cĩ số hạng , cộng thêm vào vế phảicùng số hạng này rồi nhĩm thừa số chung ta cĩ

Trong cách làm này ta đã vận dụng định lý hấp thụ x + x = x và mệnh

đề cơ sở

 Rút gọn theo phương pháp dùng bảng Karnaugh

- Liên kết đôi: Khi liên kết (OR) hai ô có giá trị 1 (Ô_1) kề cận với nhau trên bìa K, ta sẽ được 1 số hạng tích mất đi 1 biến so với tích chuẩn (biến mất đi là biến khác nhau giữa 2 ô) Hoặc khi liên kết (AND) hai ô có giá trị 0 (Ô_0) kề cận với

nhau trên bìa K, ta sẽ được 1 số hạng tổng mất đi 1 biến so với tổng chuẩn (biến mất đi là biến khác nhau giữa 2 ô).

F

0 1

00 01 11 10

0 0

A +B

- Liên kết 4: Tương tự như liên kết đôi khi liên kết 4 Ô_1 hoặc 4 Ô_ 0 kề cận với nhau, ta sẽ loại đi được 2 biến (2 biến khác nhau giữa 4 ô)

1 1

B

AB C

F

0 1

00 01 11 10

C

- Liên kết 8: liên kết 8 ô kề cận với nhau, ta sẽ loại đi được 3 biến (3 biến khác nhau giữa 8 ô)

AB CD

F

00 01 11 10 00

F

00 01 11 10 00

01 11 10

0 0

0 0 0

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11 10

1 1

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11

0Các ví dụ về 2 ô kế cận

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11

00 01 11

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11 10

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11 10

1 1

D A

D A

D B

Các ví dụ về 4 ô kế cận

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11 10

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11 10

0 0

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11 10

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11 10

0 0

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11 10

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11 10

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11 10

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11 10

1 1

D C

C A

D B

C B

Các ví dụ về 4 ô kế cận

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11 10

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11 10

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11 10

00 01 11 10

F

AB CD

00 01 11 10

A

Các ví dụ về 8 ô kế cận

* Các bước thực hiện rút gọn theo dạng S.O.P:

- Biểu diễn các Ô_1 lên bìa Karnaugh

- Thực hiện các liên kết có thể có sao cho các Ô_1 được liên kết ít nhất 1 lần; mỗi liên kết cho ta 1 số hạng tích (Nếu Ô_1 không có kề cận với các Ô_1 khác thì ta có liên kết 1: số hạng tích chính bằng minterm của ô đó)

- Biểu thức rút gọn có được bằng cách lấy tổng (OR) của các số hạng tích liên kết trên

F(A, B, C) =  (0, 1, 3, 5, 6)

AB C

F

0 1

* Các bước thực hiện rút gọn theo dạng P.O.S:

- Biểu diễn các Ô_0 lên bìa Karnaugh

- Thực hiện các liên kết có thể có sao cho các Ô_0 được liên kết ít nhất 1 lần; mỗi liên kết cho ta 1 số hạng tổng

- Biểu thức rút gọn có được bằng cách lấy tích (AND) của các số hạng tổng liên kết trên

F(A, B, C, D) =  (0, 4, 8, 9, 12, 13, 15)

AB CD

F

00 01 11 10 00

01 11 10

(A + B + D)

0 0

0

= (C + D) (A + C) (A + B + D)

Rút gọn hàm sau

00 01 11 10

F AB

CD

00 01 11 10

1

1 1

1

1 1

1



) ,

, ,

( A B C D

Rút gọn hàm sau



) D , C , B , A

00 01 11 10

1

1 1

1

1

1 1

1



) D , C , B , A (

* Trường hợp rút gọn hàm Boole có tùy định: thì ta có thể coi các Ô tùy định này là Ô_1 hoặc Ô_0 sao cho có lợi khi liên kết (nghĩa là có được liên kết nhiều Ô kề cận nhất)

F

00 01 11 10 00

01 11 10

C D

B D

= B D + C D

X

X 0

AB CD

F

00 01 11 10 00

01 11 10

= D (B + C)

- Ta coi các tùy định như là những ô đã liên kết rồi

- Có thể có nhiều cách liên kết có kết quả tương đương nhau

Vd: Rút gọn các hàm

2.4 Các hàm logic cơ bản

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

b) Hàm và ( AND )- Phép nhân logic

- Hàm logic: y = x1 x2

- Bảng chân lý

- Ký hiệu logic:

2.4 Các hàm logic cơ bản

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

d) Hàm khơng hoặc ( NOR )

- Hàm logic: y=x1 + x2

- Bảng chân lý

- Ký hiệu logic:

2.4 Các hàm logic cơ bản

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

f) Hàm hoặc tuyệt đối – hoặc loại trừ ( XOR )

- Hàm logic: được biết là:

- Bảng chân lý

- Ký hiệu logic:

2.4 Các hàm logic cơ bản

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

f) Hàm hoặc tuyệt đối – hoặc loại trừ ( XOR )

- Cĩ nhiều cách xây dựng mạch XOR

• Sử dụng NOT và NOR

• Chỉ sử dụng mạch NAND

- Y=x1xഥ2+ ഥx1x2+x1xഥ1+x2xഥ2

2.4 Các hàm logic cơ bản

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

g) Hàm Khơng hoặc tuyệt đối – ( XNOR )

- Cửa XNOR được tạo thành khi ta mắc nối tiếp cửa XOR với cửaNOT

- Hàm logic:

- Bảng chân lý:

- Ký hiệu logic:

2.4 Các hàm logic cơ bản

Chương 2: ĐẠI SỐ LOGIC

g) Hàm Khơng hoặc tuyệt đối – ( XNOR )

- Cĩ nhiều cách xây dựng mạch XNOR từ các phần tử logic cơ bản

• Từ AND, OR, NOT

• NAND và NOT

• NOT và NOR

• NOT và NAND

• Chỉ NOR

Thực hiện hàm Boole bằng cổng logic:

1 Cấu trúc cổng AND _ OR:

Cấu trúc AND_OR là sơ đồ logic thực hiện cho hàm Boole biểu diễn theo dạng tổng các tích (S.O.P)

F(A, B, C, D) = A B D + C D

F(A, B, C, D)

A B C D

AND 0R

2 Cấu trúc cổng OR _ AND :

Cấu trúc OR_AND là sơ đồ logic thực hiện cho hàm Boole biểu diễn theo dạng tích các tổng (P.O.S).

3 Cấu trúc cổng AND _ OR _ INVERTER (AOI):

Cấu trúc AOI là sơ đồ logic thực hiện cho hàm Boole biểu diễn theo dạng bù (INVERTER = NOT) của tổng các tích

4 Cấu trúc cổng OR _ AND _ INVERTER (OAI):

Cấu trúc OAI là sơ đồ logic thực hiện cho hàm Boole biểu diễn theo dạng bù của tích các tổng

5 Cấu trúc toàn cổng NAND:

Cấu trúc NAND là sơ đồ logic thực hiện cho hàm Boole có

biểu thức là dạng bù của 1 số hạng tích

- Dùng định lý De-Morgan để biến đổi số hạng tổng thành tích

- Cổng NOT cũng được thay thế bằng cổng NAND

F(A, B, C, D) = A B D + C D

= A B D C D

A B C D

F(A, B, C, D)

NAND NAND

- Trong thực tế người ta chỉ sử dụng 1 loại cổng NAND 2 ngõ vào; khi đó ta phải biến đổi biểu thức sao cho chỉ có dạng bù trên 1 số hạng tích chỉ có 2 biến

6 Cấu trúc toàn cổng NOR:

Cấu trúc NOR là sơ đồ logic thực hiện cho hàm Boole có

biểu thức là dạng bù của 1 số hạng tổng

- Dùng định lý De-Morgan để biến đổi số hạng tích thành tổng

- Cổng NOT cũng được thay thế bằng cổng NOR

Với cổng AND có nhiều ngõ vào, ngõ ra sẽ là 1 nếu tất cả các ngõ vào đều là 1

y z = x+y

x y

Với cổng OR có nhiều ngõ vào, ngõ ra sẽ là 0 nếu tất cả các ngõ vào đều là 0

x y

z Với cổng NAND có nhiều ngõ vào, ngõ ra sẽ là 0 nếu tất cả các ngõ vào đều là 1

x y

Với cổng NOR có nhiều ngõ vào, ngõ ra sẽ là 1 nếu tất cả các ngõ vào đều là 0

x y

z Với cổng XOR có nhiều ngõ vào, ngõ ra sẽ là

1 nếu tổng số bit 1 ở các ngõ vào là số lẻ

z = xy = x y + x y = (x + y)(x + y)

x y

z Với cổng XNOR có nhiều ngõ vào, ngõ ra sẽ là 1

nếu tổng số bit 1 ở các ngõ vào là số chẵn

x

y z = xy

z = xy = x y + x y = (x + y)(x + y)

BÀI TẬP CHƯƠNG 2:

2.1 Chứng minh các đẳng thức sau bằng đại số

2.2 Cho bảng chân lý sau

Chính tắc 1: Tổng của tích (SOP)

Chính tắc 2: Tích của tổng (POS)

BÀI TẬP CHƯƠNG 2:

2.5 Rút gọn các hàm sau bằng bảng Karnaugh

BÀI TẬP CHƯƠNG 2:

Chứng minh F được thực hiện bằng 1 cổng logic duy nhất

BÀI TẬP CHƯƠNG 2:

BÀI TẬP CHƯƠNG 2:

Hãy thực hiện F bằng các cổng NOR 2 lối vào