Chuyên đề 24 phương trình bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A.. * Tìm cách giải: Các phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng đơn có một dấu | |.. Ta sử dụng định nghĩa về giá trị tuyệt đối để giải.

Chuyên đề 24.

PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

A Kiến thức cần nhớ

1 Định nghĩa về giá trị tuyệt đối: nÕu 0

nÕu < 0

A











2 Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:

a) Dạng 1: * ( )f x       f x( )  ( 0)

* ( )f x g x( ) g x( ) f x( )g x( )

( )

f x

f x

f x

 



     

  



* ( ) ( ) ( ) ( )

f x g x

f x g x

f x g x





    

 c) Dạng 3: f x( )  g x( )  f x( )2 g x( )2

3 Một số bất đẳng thức quan trọng về giá trị tuyệt đối:

a  b  a b xảy ra dấu đẳng thức: ab 0

và a  b  a b xảy ra dấu đẳng thức: ab 0 và a b

B Một số ví dụ

Ví dụ 1: Giải các phương trình:

(x 3) 2x 5 (x4)(x 4)0

* Tìm cách giải: Các phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng đơn (có một dấu | |) Ta sử dụng định

nghĩa về giá trị tuyệt đối để giải

Giải

a) Cách 1:

* Nếu 2 9 0

2

x   x thì 2x 9 2x 9

Ta có 2x 92015 2x2024 x1012 (Thỏa mãn)

2

x   x thì 2x 9  9 2 x

Ta có 9 2 x2015 2x2006 x1003 (thỏa mãn)

Nghiệm của phương trình là: x1003;x1012

x

b) * Với x 1, 5 thì 2x 3 2x 3

Phương trình thành 2x 33x 4 x1 loại vì x 1, 5

* Với x 1, 5 thì 2x 3  3 2x

Phương trình trở thành 3 2 x3x 4 5x7 x1, 4 thỏa mãn

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x 1, 4

Chú ý: Tránh mắc sai lầm 2 3 3 4 2 3 3 4 1

Rồi kết luận luôn nghiệm của phương trình là x 1 và x 1, 4

Sai lầm ở chỗ vế trái luôn không âm nên 3 4 0 4

3

x   x Do đó nếu giải kiểu này thì phải thử lại nghiệm trước khi kết luận

PT x  x  x  x    x  x

* Với x 2, 5 ta có 2x 56x 25 x5

* Với x 2, 5 ta có 5 2 x6x 25 x3, 75 (loại)

Phương trình có nghiệm duy nhất x 5

Ví dụ 2: Giải các phương trình:

a) 2

x  x 

x  x  x x 

* Tìm cách giải: Sử dụng định nghĩa về giá trị tuyệt đối.

Giải

x x x  x   x  x 

3

6

x

x





 Loại x 3

x x x  x   x  x 

3

6

x

x





 Loại x 3

Nghiệm của phương trình là x 6

b)

2

4

x

x





 Phương trình 2

x  x  vô nghiệm

x  x  x   x

Vậy nghiệm của phương trình là x 8 và x 4

c) Do x  2x 4 (x1)  3 0,x nên

PT x  x  x x 

2

x

x







Ví dụ 3:

a) Giải phương trình: 2x  5  7  9 21

b) Giải phương trình: 2x 1 4 810 15.

* Tìm cách giải: Các phương trình trên có nhiều dấu giá trị tuyệt đối lồng vào nhau (Dạng lồng):

axb c d e hoặc ax b c d e h    

Ta sử dụng phương pháp bỏ dần các dấu giá trị tuyệt đối từ ngoài vào trong

Giải



x

x





x x

x



Ví dụ 4: Giải các phương trình:

a) x 33x 6 5 2 x 8.

b) x2 9  x2 25 26

c) x 1 x2 2x5 10x

* Tìm cách giải: Các phương trình có nhiều dấu giá trị tuyệt đối nhưng rời nhau (dạng rời)

axb  cxd   pxq m

Ta lập bảng xét các giá trị tuyệt đối rồi giải phương trình Câu c) ta nhận xét vế trái không âm nên suy ra ngay x 0

Giải

a) Lập bảng xét giá trị tuyệt đối (hay bảng phá dấu GTTĐ):

x 2 2,5 3

3

x  3 – x | 3 - x | 3 – x 0 x – 3

3x  6 6 – 3x 0 3x – 6 | 3x – 6 | 3x – 6

5 2x 2x – 5 | 2x – 5 0 5 – 2x | 5 – 2x

Vế trái 14 – 6x | 0x + 2 | 4x – 8 | 6x – 14

Vậy: + Với x 2 thì 14 6 x 8 x1 (thỏa mãn)

+ Với 2 x 2, 5 thì 0x  2 8 Vô nghiệm

+ Với 2x3 thì 4x 8 8 x4 (loại)

+ Với x 3 thì 6 14 8 11

3

x   x (thỏa mãn)

Nghiệm của phương trình: x 1 và 32

3

x 

b) Lập bảng xét GTTĐ:

2

x 9 2,5 2

9

x  2

9 x 0 2

9

x  | 2

9

x  2

25

25 x | 2

25 x 0 2

25

x 

Vế trái 2

34 2x | 2

0x  16 | 2

2x  34

9x 25; 0x 1626 (Vô nghiệm)

Vậy nghiệm của phương trình là x 2 và x  30

c) Phương trình x 1 2x5 3x2 10x có vế trái không âm nên 10x 0 x0 do đó:

x  x  x  x x

Ví dụ 5: Giải phương trình 3x 4  5  x2 1

* Tìm cách giải: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có dạng hỗn hợp (vừa lồng vừa rời):

axb c  dxe   mxn p

Ta phối hợp linh hoạt các cách giải ở các ví dụ trên:

Giải

(1) 3x 4  5  1 x2

3 4 5 1 2 3 4 2 6

a) Với 3x 4  x2 6 ta lập bảng xét giá trị tuyệt đối:

x

-2 4

3

3x  4 4 3x | 4 3x 0 3x  4 2

x   2 x 0 x 2 | x 2

Vế trái 6 2x | 4x2 | 2x  6

Với x2; 6 2 x 6 x0 (thỏa mãn)

3

        (thỏa mãn)

3

x x   x (thỏa mãn)

b) Với 3x 4  x2 4 lập bảng xét giá trị tuyệt đối:

x

-2 4

3

3x  4 4 3x | 4 3x 0 3x  4 2

x   2 x 0 x 2 | x 2

Vế trái 2 4x | 2x6 | 4x  2

Với x2; 2 4x 6 x1 (không thỏa mãn)

3

        (thỏa mãn)

x x   x (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình là 1; 0; 1; ; 63

2

S  

Ví dụ 6: Giải các bất phương trình:

a) 4x  5 25 b) 2x 6  x 2

Tìm lời giải: Các bất phương trình có dạng ( ) f x   và ( )f x g x( ) Do đó ta sử dụng định nghĩa về giá trị tuyệt đối để giải hoặc giải theo cách giải sau

* ( )f x       f x( )    ( 0)

* ( )f x g x( ) g x( ) f x( )g x( ) ( ( )g x 0)

Sau khi giải xong lưu ý khi tập hợp nghiệm: nghiệm bất phương trình

( )

f x   phải thỏa mãn đồng thời cả hai bất phương trình ( )f x   và ( )f x   ; nghiệm bất phương trình ( )f x g x( ) phải thỏa mãn đồng thời cả hai bất phương trình ( )f x g x( ) và ( )f x  g x( )

Giải

a) 4x 5 25 25 5 4x25 5

       

b) Cách 1: Ta có 2 x 6 2x 6 nếu x 3

2x 6  6 2x nếu x 3

Vì thế:

* Nếu x 3 thì 2x 6 x 2 2x 6x 2 x 8 3 x 8

x   x  x   x x   x  x

Kết hợp ta được nghiệm của bất phương trình là 4 8

3x

Cách 2: Ta có với x  2 thì x  2 0

Ta có: 2x 6    x 2 x 22x 6 x 2

8

4

3

x





   

Nghiệm của bất phương trình là 4 8

3x

Ví dụ 7: Giải các bất phương trình và biểu diễn nghiệm trên trục số:

1

x x





 (với x 1) c) 2

x    x

* Tìm lời giải: Các bất phương trình dạng ( ) f x   và ( )f x g x( )

Do đó ta sử dụng định nghĩa về giá trị tuyệt đối để giải hoặc giải theo cách giải sau:

( )

f x

f x

f x

 



     

  



f x g x

f x g x

f x g x





    

 Sau khi giải xong lưu ý khi tập hợp nghiệm: nghiệm bất phương trình ( )f x   chỉ cần thỏa mãn một trong hai bất phương trình ( )f x   hoặc ( )f x   ; nghiệm bất phương trình ( )f x g x( )chỉ cần thỏa mãn một trong hai bất phương trình ( )f x g x( ) hoặc ( )f x  g x( )

x

      

b)

1

    

Giải (*) có 4

1

x

x

 







 Giải (**) có 2 1

   Hợp nghiệm

4 2 3

x

x

 





  



4

* 1

x x

 



 

 2

  

4 2 3

x

x

 





  



Nghiệm của bất phương trình đã cho là

4 2 3

x

x

 





  



c)

2

     

4

x

x





          



x  x  x   x nên (**) vô nghiệm

Biểu diễn nghiệm:

Ví dụ 8: Giải các bất phương trình:

a) x 4  3x9 ;

b) x  x12x 5 3 x 6

* Tìm cách giải: Các bất phương trình đã cho (viết tắt BPT) đều có nhiều biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối

nhưng rời nhau Ta lập bảng xét giá trị tuyệt đối của các biểu thức để giải bất phương trình

Giải

a) Cách 1: Lập bảng xét giá trị tuyệt đối:

x -3 4

 4

x 4 x | 4 x 0 x  4



3x 9 3x 9 0 3x9 | 3x9

* Với x  3 thì (1) 4 x 3x 9 x 6,5

* Với   3 x 4 thì BPT  4 x3x 9 x 1, 25

* Với x 4 thì BPT  x 4 3 x 9 x 6,5 (loại)

Hợp hai khoảng nghiệm: 6,5 x 3 và 3   x 1,25 ta được nghiệm của bất phương trình là 6,5 x 1, 25

   

Chú ý: Ta còn cách giải khác đơn giản hơn dựa vào:

( )  ( )  ( )  ( )

Cách 2: Bình phương hai vế ta có:

BPT  x  x  x  x  x  x 

(4x 5)(2x 13) 0 6,5 x 1, 25

        

b) Lập bảng xét giá trị tuyệt đối:

x -1 0 2,5

x x | x 0 x | x

1

x x1 0 x 1 | x 1 | x 1



2x 5 5 2x | 5 2x | 5 2x 0 2x 5

* Với x 1 BPT   x x   1 5 2x3x 6

5x 12 x 2, 4

      (loại)

* Với   1 x 0 BPT   x x   1 5 2x3x 6

2

7

      (loại)

* Với 0 x 2,5 BPT  x x   1 5 2x3x 6

     

* Với x2,5 BPT   x x  1 2x 5 3 x 6

   (đúng với mọi x )

Vậy nghiệm của bất phương trình làx 2

C Bài tập vận dụng

24.1 Giải các phương trình:

a) 6 16.

x

x

x x

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Biến đổi PT  5x 12 10 x 32

Ta có vì 5x 12 0 nên 10x 32 0  x3, 2

Khi ấy 5x12 5x12 Phương trình trở thành 5x12 10 x 32 ta tìm được x 4 (thỏa mãn); Vậy nghiệm của phương trình là x 4

b) Biến đổi PT  5 3x 4 22 6 x

Xét với 4

3

x  ta tìm được x 2 Xét với 4

3

x  ta tìm được 2

9

x 

24.2 Giải các phương trình:

Hướng dẫn giải – đáp số

0,5

x x





b) * Với x  thì 2 x  2 x  2

Phương trình trở thành  x  2 2 x 6 x 2x 4

Với x 0, ta có x2x 4 x4 (thỏa mãn)

Với x  ta có 0, 2 4 4

3

     (loại)

* Với x  thì 2 x  2  2 x

Phương trình trở thành  2 x 2x 6 x  8 2x

Với x  ta có: 0, 8 2 8

3

x  x x (loại vì x 2)

Với x  ta có: 0,  x 8 2x x8 (loại)

Phương trình có nghiệm duy nhất là x 4

24.3 Giải các phương trình:

a) 4x5 4x 5 10 b) 2x 6  x 5 x2 5

c) x4 2 1 2 x  3 x  5 4 x

Hướng dẫn giải – đáp số

Lập bảng xét giá trị tuyệt đối rồi giải các phương trình

a) Tập nghiệm là 5 5

b) Bảng xét giá trị tuyệt đối:

x -2 3 5



2x 6 6 2x | 6 2x 0 2x  6 | 2x  6

 5

x 5 x | 5 x | 5 x 0 x 5

 2

x x 2 0 x 2 | x 2 | x 2

Vế trái 2x13 | 4x9 | 0x  3 | 2x 13

* Với x 2 PT  2x13 5  x4 (loại)

* Với 2  x 3 PT  4x   9 5 4x 4 x1

* Với 3 x 5 PT  0x 3 5  0x8 (vô nghiệm)

* Với x2,5 PT  2x13 5  2x18 x9

Tập nghiệm là S 1;9

c) Lập bảng xét GTTĐ Nghiệm là x0,25;x0,5

24.4 Giải phương trình:

a) 2

x  x

x   x  x  x

Hướng dẫn giải – đáp số

a) PT

2

2 2

( 3)( 1) 0

x



Tập nghiệm: S   1;3;1 

b) Lưu ý: x 0 Tập nghiệm: S 2;3

4x x  4 (4 4 x x ) 4 (2   x) 4

Vế phải: áp dụng bất đẳng thức a b  a b ta có

Vế trái: x1 x 5  x 1 5  x    x 1 5 x 4

Suy ra vế phải bằng vế trái bằng 4 x2

d) Áp dụng bất đẳng thức: a  b  a b ta có:

Vế trái x2 25  x2 9 x2 25 x29 16

x  x  x   Suy ra vế phải bằng vế trái và bằng 16  x1

24.5 Cho phương trình x 2  x 5 m (với m là tham số) Hãy cho biết với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm, vô số nghiệm, vô nghiệm?

Hướng dẫn giải – đáp số

Lập bảng xét giá trị tuyệt đối:

x 2 5

 2

x 2 x 0 x  2 | x  2 5

x  5 x | 5 x 0 x  5

Vế trái 7 2x | 0x 3 | 2x  7

* Với x 2 thì (1) 7 2 7

2

m

2

m

m



  

* Với 2 x 5 thì (1)  0xm 3 vô số nghiệm nếu m 3

2

m

2

m

m



Vậy nếu m 3 thì (1) có hai nghiệm là 7

2

m

2

m

x  Nếu m 3 thì (1) có vô số nghiệm 2 x 5

Nếu m 3thì (1) vô nghiệm

24.6 Giải phương trình 2 x  5  x 34

Hướng dẫn giải – đáp số

Lập bảng xét giá trị tuyệt đối tìm được tập nghiệm là S   12;6

24.7 Giải phương trình 2 x 5 9 2 x 5 11 12

Hướng dẫn giải – đáp số

Đặt x 5 t t( 0) Phương trình trở thành 2t 9  2t11 12

Lập bảng xét giá trị tuyệt đối tìm được t 2 và t 8

3

x

x







3

x

x







24.8 Giải các bất phương trình:

a) 2

x x  x

c) 2 5 2 5

3

x

Hướng dẫn giải – đáp số

a) BPT

2 2

2

   



       



* 2

x  x  x x    x

Nghiệm của bất phương trình là 2x6

b)

2

2

6 0



              

  



*

2

x   x x     x

3

x

x





       



Nghiệm của bất phương trình là 0

3

x x







 



x





24.9 Giải các bất phương trình:

2

x  

3

x

Hướng dẫn giải – đáp số

a) BPT

0,6

1

15

x







     



Nghiệm bất phương trình là

0,6 1 15

x

x







 

 b) Với x 2 bất phương trình đã cho tương đương với:

x

x

x

x





           

Hợp nghiệm được 7 5

4 x2 trừ x 2

c) Với x 3 Tương tự (b) hoặc biến đổi 3 2

3

x BPT

x



 Tìm được 9x 1 trừ x 3

    

và 2

2018 0,

BPT x  x x 

24.10 Giải các bất phương trình:

2 5 8 89 91

x 



2 xx  4

2 3x 5 x x 1

Hướng dẫn giải – đáp số

a) 2 5 8 89 (2 89).30 91.15

2



x

b) BPT 2

2

2

2

3

 

x

x

x

Tổng hợp nghiệm: 1

3

x x











c) BPT

       

(1c)  x x(  6) 0 0x6

(2) Vô nghiệm

Nghiệm của bất phương trình là 0x6

d) Ta có 2 3 x 5 0;x và

2

x  x x    x

Nên bất phương trình vô nghiệm

24.11 Giải các bất phương trình:

a) x5  x 3 b) x 5 x 6 3x 11

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Bình phương hai vế Hoặc lập bảng xét giá trị tuyệt đối

Nghiệm của (1) là x  1

b) Lập bảng xét giá trị tuyệt đối:

x 5 6 5

x  5 x 0 x  5 | x  5 6

x  6 x | 6 x 0 x  6

Vế trái 11 2x | 0x 1 | 2x 11

* Với x 5 thì (2) 11 2 x3x11 x4, 4