SKKN: Một số phương pháp chứng minh hình học

Trong chương trình trung học cơ sở môn toán được coi là môn khoa học luôn được chú trọng nhất và cũng là môn có nhiều khái niệm trừu tượng. Đặc biệt phải khẳng định rằng phân môn hình học có nhiều khái niệm trừu tượng nhất. Nhiều bài tập ở dạng chứng minh đòi hỏi phải suy diễn chặt chẽ, logic và có trình tự.Trong chương trình phân môn hình học 7 tiếp tục bổ sung của hình học 6 và làm quen với các nội dung mới: Chương III: Góc và đường thẳng song song Chương IV: Tam giác bằng nhau. Chương IX: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Chương X: Một số hình khối trong thực tiễn.Chương trình hình học lớp 7 là bước chuyển tiếp quan trọng về tư duy cũng như kiến thức để học sinh học tốt phân môn hình học của chương trình hình học 8 và 9.Với nhiều năm giảng dạy tôi nhận thấy đại đa số học sinh về cơ bản đều nắm được lí thuyết hình học. Nhưng khi cần chứng minh một bài toán nào đó thì học sinh lại không biết bắt đầu từ đâu và trình bày như thế nào? Chẳng hạn: Khi giảng dạy đến “chương IV: Tam giác bằng nhau” Sách Toán 7 tập 1 (bộ sách kết nối tri thức với cuộc sống) tôi nhận thấy như sau: Nội dung chứng minh hai tam giác bằng nhau thì học sinh chứng minh rất tốt. Nội dung chứng minh hai cạnh bằng nhau, về góc bằng nhau, chứng minh tam giác cân, chứng minh tia phân giác của một góc, .... thì học sinh lại không biết cách chứng minh. (Số liệu ở bảng 1 trang 3)

ộc lập - Tự do - Hạnh phúc.

BÁO CÁO SÁNG KIẾN (Phương pháp chứng minh hình học trong môn Toán lớp 7, tại trường THCS Nà Giàng, giúp học sinh hình thành các năng lực Toán học)

I Tác giả sáng kiến

- Họ và tên: Trịnh Xuân Thức

- Tỉ lệ đóng góp 100%

- Chuyên môn: Toán - Lý

- Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn tổ KHTN

- Đơn vị: Trường THCS Nà Giàng

II Lĩnh vực áp dụng:

Giảng dạy môn Toán lớp 7

III Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến:

1.Thực trạng ban đầu:

Trong chương trình trung học cơ sở môn toán được coi là môn khoa học luôn được chú trọng nhất và cũng là môn có nhiều khái niệm trừu tượng Đặc biệt phải khẳng định rằng phân môn hình học có nhiều khái niệm trừu tượng nhất Nhiều bài tập ở dạng chứng minh đòi hỏi phải suy diễn chặt chẽ, logic và

có trình tự

Trong chương trình phân môn hình học 7 tiếp tục bổ sung của hình học 6

và làm quen với các nội dung mới:

- Chương III: Góc và đường thẳng song song

- Chương IV: Tam giác bằng nhau

- Chương IX: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác

- Chương X: Một số hình khối trong thực tiễn

Chương trình hình học lớp 7 là bước chuyển tiếp quan trọng về tư duy cũng như kiến thức để học sinh học tốt phân môn hình học của chương trình hình học 8 và 9

Với nhiều năm giảng dạy tôi nhận thấy đại đa số học sinh về cơ bản đều nắm được lí thuyết hình học Nhưng khi cần chứng minh một bài toán nào đó thì học sinh lại không biết bắt đầu từ đâu và trình bày như thế nào?

Chẳng hạn:

Khi giảng dạy đến “chương IV: Tam giác bằng nhau” Sách Toán 7 tập 1 (bộ sách kết nối tri thức với cuộc sống) tôi nhận thấy như sau:

- Nội dung chứng minh hai tam giác bằng nhau thì học sinh chứng minh rất tốt.

- Nội dung chứng minh hai cạnh bằng nhau, về góc bằng nhau, chứng minh tam giác cân, chứng minh tia phân giác của một góc, thì học sinh lại không biết

cách chứng minh (Số liệu ở bảng 1- trang 3)

2 Giải pháp đã sử dụng:

Qua nhiều năm giảng dạy tôi nhận thấy nguyên nhân dẫn đến tình trạng học sinh chưa biết cách chứng minh một bài toán hình học, theo tôi là do giáo viên khi giảng dạy hướng dẫn học sinh trình bày giống lời giải trong sách giáo khoa hoặc lời giải mà giáo viên đã chuẩn bị trước Với phương pháp này tôi gọi

là “phương pháp suy luận thuận”.

Với “phương pháp suy luận thuận” mặc dù đã hoàn thành xong một bài

toán chứng minh và học sinh cũng hiểu nội dung bài Nhưng nếu giải một bài toán khác vẫn ở dạng này thì rất nhiều học sinh sẽ không biết bắt đầu từ đâu và lập luận như thế nào để dẫn đến nội dung cần chứng minh Nếu giáo viên cứ sử dụng phương pháp này thì sẽ không phát huy được tính chủ động, tích cực của học sinh Từ đó dẫn đến các năng lực toán học sẽ không được hình thành ở mức

độ cao nhất

Chẳng hạn trong sách Toán 7 tập 1 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống) có một ví dụ ở trang 85 như sau:

Ở ví dụ trên ở ý a học sinh tự thực hiện được ngay, còn ở ý b và ý c có học sinh thắc mắc như sau:

- Tại sao đề bài ở ý b đề bài yêu cầu chứng minh MAN MBN mà cách trình bày lại đi xét hai tam giác MAN và MBN? Tại sao lại xét tam giác MAN và MBN

mà không phải là hai tam giác khác?

- Tại sao ở ý c đề bài yêu cầu chứng minh tam giác AMN cân tại A mà ta lại đi xét hai tam giác vuông AOM và AON để làm gì?

Sau khi học xong bài “Luyện tập chung” ở trang 85 sách giáo khoa Toán

7 bộ sách “Kết nối tri thức với cuộc sống” tại lớp 7A (26 học sinh) tôi có giao học sinh làm các bài tập 4.29 đến 4.32 thì kết quả như sau:

Bài Ý Học sinh giải được bài tập Học sinh không giải được

bài tập

Bảng 1

Hình ảnh các bài tập từ 4.29 đến 4.32

Chính vì những thực trạng như trên nên tôi đã có sáng kiến kinh nghiệm:

“Phương pháp chứng minh hình học trong môn Toán lớp 7, tại trường

THCS Nà Giàng giúp học sinh hình thành các năng lực toán học” Phương

pháp này tôi gọi là: “Phương pháp suy luận ngược”.

IV Mô tả bản chất của sáng kiến:

1.Tính mới, tính sáng tạo, tính khoa học:

a) Tính mới:

* Các thuật ngữ:

- Chứng minh hình học: Là một cách trình bày thuyết phục rằng một khẳng định

hình học là đúng đắn

- Suy luận: Là quá trình rút ra kết luận dựa trên những kết luận được cho là

đúng

- Phương pháp suy luận thuận: Là một phương pháp suy luận logic bắt đầu từ

giả thiết và sử dụng giả thiết để đưa ra kết luận

- Phương pháp suy luận ngược: Là một phương pháp suy luận logic bắt đầu từ

kết luận và suy ra các giả thiết để đạt được kết luận

* Nội dung:

Vì “phương pháp suy luận ngược” trong chứng minh hình học không

được đề cập trong sách giáo khoa, sách giáo viên nên học sinh và một bộ phận không nhỏ giáo viên chưa biết đến phương pháp này, nhưng ngược lại những giáo viên có năng lực chuyên môn tốt lại thường xuyên sử dụng và hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp này khi chứng minh hình học

b) Tính sáng tạo:

Để học sinh hình thành các năng lực toán học khi học nội dung chứng minh hình học thì giáo viên cần trang bị cho học sinh các nội dung kiến thức và phương pháp chứng minh một bài toán hình học Cụ thể như sau:

- Các bài toán chứng minh hình học thường gồm:

+ Chứng minh các yếu tố bằng nhau (Hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, hai tam giác bằng nhau, )

+ Chứng minh hai hay nhiều đường thẳng song song

+ Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

+ Chứng minh các đường đồng quy

- Phương pháp chung để chứng minh một bài toán hình học:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán: Xác định giả thiết, kết luận, vẽ hình,

các kiến thức cần sử dụng

Bước 2: Phân tích bài toán.

Bước 3: Trình bày lời giải.

Bước 4: Kiểm tra, đối chiếu lại kết quả.

Ở bốn bước trên thì bước 1 và bước 2 là hai bước quan trọng nhất và cũng trừu tượng nhất đối với học sinh Khi hướng dẫn học sinh hai bước này thì giáo

viên nên sử dụng “phương pháp suy luận ngược”, cụ thể như sau:

- Bài toán yêu cầu chứng minh điều gì? (Kết luận)

- Để chứng minh được kết luận ta phải chứng minh được điều gì? (Ta chứng minh: kết luận 1)

- Để chứng minh được kết luận 1 ta dựa vào định nghĩa, định lí, tính nhất hoặc dấu hiệu nào? (Chứng minh: kết luận 2)

- Quá trình phân tích trên dừng lại đến khi nào ta sử dụng đến giả thiết của bài toán đã cho

Lưu ý: Khi trình bày lời giải ta trình bày theo chiều ngược lại.

Sơ đồ như sau:

Chẳng hạn, khi hướng dẫn học sinh chứng minh ý b, c ví dụ 2 trong sách

giáo khoa toán 7, trang 86 như đã nêu trên, ta sử dụng “phương pháp suy luận

ngược” như sau:

Ví dụ 2: (SGK Toán 7, tập 1)

b)

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

- Ý b yêu cầu chứng minh điều gì?

- Để chứng minh được MAN MBN ta

phải chứng minh điều gì?

- Để chứng minh MAN MBN ta sử

dụng nội dung kiến thức nào?

- Yêu cầu học sinh sử dung giả thiết,

các kiến thức đã học để chứng minh

 

- MAN MBN (Kết luận)

- Chứng minh MAN MBN (Kết

luận 1)

- Sử dụng ba trường hợp bằng nhau

của hai tam giác (Kết luận 2)

- Học sinh thực hiện theo yêu cầu của

giáo viên.(Giả thiết)

SƠ ĐỒ PHÂN TÍCH NGƯỢC TRÌNH BÀY LỜI GIẢI

KẾT LUẬN 1

KẾT LUẬN 1

KẾT LUẬN 2

GIẢ THIẾT

KẾT LUẬN

KẾT LUẬN 2

KẾT LUẬN 1

KẾT LUẬN GIẢ THIẾT

c)

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

- Ý c yêu cầu chứng minh điều gì?

- Để chứng minh được AMN cân tại A

ta phải chứng minh điều gì?

- Để chứng minh AM = AN ta phải

chứng minh điều gì?

- Yêu cầu học sinh sử dung giả thiết,

các kiến thức đã học để chứng minh

 

- AMN cân tại A (Kết luận)

- Chứng minh AM = AN (Kết luận 1)

- AOM AON (Kết luận 2)

- Học sinh thực hiện theo yêu cầu của

giáo viên (Giả thiết)

Sau khi đã hướng dẫn học sinh sử dụng “phương pháp suy luận ngược” thì ta mới có cách trình bày như lời giải trong sách giáo khoa

Dưới đây là một số ví dụ sử dụng “phương pháp suy luận ngược” khi chứng minh bài toán hình học:

Ví d 1: ụ 1:

Hãy chứng minh CB = AD ở hình bên:

1

1

C D

Sử dụng “phương pháp suy luận ngược” để tìm lời giải cho bài toán

như sau:

Hoạt động của giáo

viên

Hoạt động của học

sinh

Trình bày lời giải

- Yêu cầu của bài toán

chứng minh điều gì?

- Để chứng minh được

CB = AD ta phải chứng

minh điều gì?

- Yêu cầu học sinh sử

dung giả thiết, các kiến

thức đã học để chứng

minh ABC CDA

- CB = AD

(Kết luận)

- Chứng minh

 

(Kết luận 1)

- Học sinh thực hiện theo yêu cầu của giáo

viên (Giả thiết)

Xét ABC và CDA có:

AB = CD (giả thiết)  

A C (giả thiết)

AC là cạnh chung Nên ABC=CDA (c-g-c)

CB AD

  (đpcm)

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Trên

tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA

Chứng minh rằng

a) AB = CE

b) AC // BE

Sau khi hướng dẫn học sinh vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận xong Giáo

viên hướng dẫn học sinh sử dụng “phương pháp suy luận ngược” để tìm lời

giải cho bài toán như sau:

Hoạt động của giáo

viên

Hoạt động của học

sinh

Trình bày lời giải

a)

- Ý a yêu cầu chứng

minh điều gì?

- Để chứng minh được

AB = CE ta phải chứng

minh điều gì?

- Yêu cầu học sinh sử

dung giả thiết, các kiến

thức đã học để chứng

minh MABMEC

- AB = CE

(Kết luận)

- Chứng minh

 

(Kết luận 1)

- Học sinh thực hiện theo yêu cầu của giáo

viên (Giả thiết)

Xét MAB và MEC có:

MA = ME (giả thiết) AMB EMC  (đối đỉnh)

MB = MC (giả thiết) Nên MAB=MEC(c-g-c)

AB CE

  (đpcm)

b)

- Ý b yêu cầu chứng

minh điều gì?

- Để chứng minh được

AC // BE ta phải chứng

minh điều gì?

- Để chứng minh được

MAC MEB ta phải

chứng minh điều gì?

- Yêu cầu học sinh sử

dung giả thiết, các kiến

thức đã học để chứng

minh MACMEB

- AC // BE

(Kết luận)

- Học sinh đưa ra nhiều phương án sau đó lựa chọn phương án phù hợp nhất (Hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau) MAC MEB  

(Kết luận 1)

- Chứng minh

 

(Kết luận 2)

- Học sinh thực hiện lời

giải (Giả thiết)

Xét MAC và MEC có:

MA = ME (giả thiết)

AMC EMB  (đối đỉnh)

MC = MB (giả thiết) Nên MAC MEB   (c-g-c)

MAC MEB

Mà MAC và MEB ở vị trí

so le trong

Vậy: AC // BE (đpcm)

Sau khi hướng dẫn học sử dụng “phương pháp suy luận ngược” để giải hai ví dụ trên Giáo viên yêu cầu học sinh tự làm ví dụ 3,

Ví d 3:ụ 1:

Học sinh:

Quách Hảo Như

Sơ đồ phân tích sử dụng

“phương pháp suy luận

ngược”

Kết quả

Hình ảnh học sinh thực hiện ví dụ 3

c) Tính khoa học:

Sau khi thực hiện xong sáng kiến “Phương pháp chứng minh hình học

trong môn Toán lớp 7, tại trường THCS Nà Giàng giúp học sinh hình thành các năng lực toán học” Cụ thể ở đây là “phương pháp suy luận ngược” học

sinh không chỉ được hình thành các năng lực chung mà còn hình thành các năng lực toán học sau:

- Năng lực tư duy và lập luận toán học:

+ Biết so sánh, phân tích, tổng hợp, các nội dung theo yêu cầu

+ Chỉ ra được những chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận trước khi kết luận

- Năng lực mô hình hóa toán học:

+ Sử dụng các mô hình toán học như định lí, công thức,

+ Giải quyết được các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập

- Năng lực giải quyết vấn đề:

+ Nhận biết được yêu cầu của bài toán

+ Lựa chọn được cách thức giải quyết vấn đề

+ Sử dụng các kiến thức, kĩ năng để giải quyết vấn đề

+ Đánh giá giải pháp đề ra

- Năng lực giao tiếp toán học:

+ Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các thông tin toán học

+ Trình bày, diễn đạt được các nội dung toán học

+ Sử dụng được các kí hiệu hình học

- Năng lực sử dụng công cụ và phương tiện toán học:

+ Sử dụng thành thạo thước thẳng, thước đo góc, e ke, compa khi vẽ hình

+ Sử dụng thành thạo máy tính cầm tay

2 Hiệu quả

Sau khi nhận thấy học sinh đã sử dụng “phương pháp suy luận ngược” tương đối thành thạo Tôi đã giao học sinh thực hiện bài tập có nội dung như sau:

Bài tập:

Cho góc xOy khác góc bẹt Ot là tia phân giác của góc xOy, trên tia Ot lấy điểm H Kẻ đường thẳng vuông góc với Ot tại H, đường thẳng này cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B

a) Chứng minh rằng: OA = OB

b) Trên tia Ot lấy điểm C Chứng minh rằng: CO là tia phân giác của góc ACB

Kết quả cụ thể như sau:

Điểm 9; 10 Điểm 7; 8 Điểm 5; 6 Điểm dưới 5 7A (26 HS) 10 - 38,5% 11- 42,3% 5 – 19,2% 0

Bảng 2

a) Khả năng áp dụng sáng kiến: Sáng kiến có khả năng áp dụng cho tất cả

giáo viên dạy môn Toán bậc trung học cơ sở và học sinh trung học cơ sở

b) Điều kiện áp dụng sáng kiến:

- Học xong chương III: Góc và đường thẳng song song

- Học xong chương IV: Tam giác bằng nhau

4 Thời gian và những người tham gia tổ chức áp dụng sáng kiến lần đầu a)Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu:

- Sáng kiến được áp dụng lần đầu: 20/10/2022

- Áp dụng trong suốt năm học 2022 – 2023 và các năm học tiếp theo

b) Những người tham gia lần đầu:

(Có danh sách kèm theo)

V Kết luận:

Với sáng kiến “Phương pháp chứng minh hình học trong môn Toán

lớp 7, tại trường THCS Nà Giàng giúp học sinh hình thành các năng lực toán học”như đã trình bày ở trên Sẽ giúp học sinh hình thành các năng lực toán

học

Trong quá trình thực tế giảng dạy khi áp dụng sáng kiến như đã nêu tôi thấy nội dung sáng kiến phù hợp với tâm sinh lí học sinh Đồng thời trang bị cho học sinh phương pháp và kỹ năng khi chứng minh hình học

Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong bài viết là đúng sự thật và chịu trách nhiệm hoàn toàn trước pháp luật

XÁC NHẬN CỦA TỔ TRƯỞNG CHUYÊN

MÔN/PHÒNG CHUYÊN MÔN

Hà Quảng, ngày 12 tháng 4 năm 2023

NGƯỜI BÁO CÁO

Trịnh Xuân Thức

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ