200 đề hsg toán 8 tam kỳ 22 23

6,0 điểm Cho hình chữ nhật ABCD.. Chứng minh EF/ /ACvà ba điểm E F P, , thẳng hàng c Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAFkhông phụ thuộc vào vị trí của điểm P Câu 5... 6

PHÒNG GIÁO DỤC THÀNH PHỐ TAM KỲ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8_NĂM HỌC 2022-2023 Câu 1 (5,0 điểm)

1) Cho biểu thức

2

A

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức A với

1

9 4 5

x 

 2) Phân tích đa thức thành nhân tử : x2  x 1 x2  x 2 12

Câu 2 (3,0 điểm)

1) Chứng minh rằng nếu a2b2c2 ab ac bc  thì a b c 

2) Cho đa thức f x x3 3x23x 4 Với giá trị nguyên nào của xthì giá tri của đa thức f x chia hết cho giá trị của đa thức x 2 2

Câu 3 (4,0 điểm)

1) Giải phương trình nghiệm nguyên 5x4 10x22y64y3 6 0

2) Giải phương trình sau : 2 2

y

y  y  y    y

Câu 4 (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BDlấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của C qua P

a) Tứ giác AMDBlà hình gì ? Vì sao ?

b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AD AB, Chứng minh EF/ /ACvà

ba điểm E F P, , thẳng hàng

c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAFkhông phụ thuộc vào vị trí của điểm P

Câu 5 (2,0 điểm)

1) Chứng minh rằng n4  7 7 2  n2

chia hết cho 64 với mọi nlà số nguyên lẻ 2) Cho x y z, , là các số dương thỏa mãn x y z  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

16 4

P

x y z

ĐÁP ÁN Câu 1 (5,0 điểm)

3) Cho biểu thức

2

A

c) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A

2

2

2

A

d) Tính giá trị của biểu thức A với

1

9 4 5

x 



9 4 5 2 5

9 4 5

x



4) Phân tích đa thức thành nhân tử : x2  x 1 x2  x 2 12

Đặt x2    x 1 t x2   x 2 t 1

t t   t t  x  x x  x  x x x  x

Câu 2 (3,0 điểm)

3) Chứng minh rằng nếu a2b2c2ab ac bc  thì a b c 

a b  a c  b c 

0

a b  a c  b c   a b c 

4) Cho đa thức f x x3 3x23x 4 Với giá trị nguyên nào của xthì giá tri của

đa thức f x chia hết cho giá trị của đa thức x 2 2

Chia f x cho x 2 2được thương là x  3dư x 2

Để f x chia hết cho x 2 2thì x2x22

Mà x2  2 2 x2 2 3;6  x   1; 2

Thử lại ta thấy x1,x2thỏa mãn

Vậy với x1,x2thì f x chia hết cho x 2 2

Câu 3 (4,0 điểm)

3) Giải phương trình nghiệm nguyên 5x410x22y64y3 6 0

Vì

2 3

1 1





2

Vậy phương trình có một nghiệm nguyên x y ;  0;1

4) Giải phương trình sau : 2 2

y

y  y  y    y(1)

ĐKXĐ :

1 3;

3

y y

 

1

y

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  1

Câu 4 (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BDlấy điểm P, gọi M

là điểm đối xứng của C qua P

I

E

F

M

C

A

D

B

P

d) Tứ giác AMDBlà hình gì ? Vì sao ?

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có O là trung điểm của AC, P là trung điểm của MC

Hay PO là đường trung bình của ACM hay AM / /PO

Vậy BD AM/ / hay tứ giác AMDBlà hình thang

e) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AD AB, Chứng minh

/ /

EF ACvà ba điểm E F P, , thẳng hàng

Do AM / /BDhay OBAMAE(đồng vị)

Xét OABcân ta có : OBAOAB

Gọi I là giao điểm của MAvà EF, ta thấy AEIcân ở I hay IAEIEA

Suy ra FAEOABhay EF/ /AC 1

Mặt khác IPlà đường trung bình của MACsuy ra IP/ /AC 2

Từ (1) và (2) suy ra E F P, , thẳng hàng

f) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAFkhông phụ thuộc vào vị trí của điểm P

MF AD MAF DBA g g

FA AB

không đổi

Câu 5 (2,0 điểm)

3) Chứng minh rằng n47 7 2  n2

chia hết cho 64 với mọi nlà số nguyên lẻ

4 7 7 2 2 4 14 2 49 2 7

n   n n  n   n 

nlà số nguyên lẻ nên n2k1k Z 

Khi đó n272 2k127 2 4k24k 1 72  4k2 k 22 16k k 122

k k  là hai số nguyên liên tiếp nên k k  1chia hết cho 2

 1 2

k k

   chia hết cho 2 nên  

2

1 2

k k  

  chia hết cho 4

16k k  1 2

chia hết cho 64 Vậy n47 7 2  n2

chia hết cho 64 với mọi nlà số nguyên lẻ

2) Cho x y z, , là các số dương thỏa mãn x y z  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

16 4

P

x y z

               

Theo BĐT Cô si ta có :

1

x y  Dấu bằng xảy ra khi y2x

Tương tự

1

z x

x z  Dấu bằng xảy ra khi z4x

1

4

z y

y z  , Dấu bằng xảy ra khi z2y

49

16

P

Dấu bằng xảy ra khi

x y z

Vậy

49 16

Min P 

khi với

x y z