Đs chuyên đề 16 phương trình bậc hai và công thức nghiệm

HÀM SỐ Y AX2A0PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN VÀ CÔNG THỨC NGHIỆM A.. Phương trình bậc hai có một ẩn nói gọn là phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax bx c  trong đó x: ẩn

Chương 4 HÀM SỐ Y AX2A0

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

VÀ CÔNG THỨC NGHIỆM

A Kiến thức cần nhớ

1 Định nghĩa.

Phương trình bậc hai có một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

ax bx c  trong đó x: ẩn số.

a b c a  : là hệ số

2 Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Xét phương trình ax2 bx c 0a0 và biệt thức  b2  4ac

 Nếu  0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

     

 Nếu  0 thì phương trình có nghiệm kép: 1 2

2

b

x x

a

 Nếu  0 thì phương trình vô nghiệm

Chú ý: Nếu phương trình ax2 bx c 0a0 có a và c trái dấu tức là ac 0 thì

b ac

    Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt

3 Công thức nghiệm thu gọn

Đối với phương trình ax2 bx c 0a 0 và b2 ,b  b2  ac

 Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

     

 Nếu   0 thì phương trình có nghiệm kép: 1 2

b

x x

a



 Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm

B Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho hai số thực a b; không âm thỏa mãn 18a4 2013b  Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: 18ax2 4bx671 9 a0

(Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hà Nam, Năm học 2012 – 2013)

Giải

Tìm cách giải Để chứng minh phương trình ax2 bx c 0 luôn có nghiệm, nếu chưa có điều kiện gì của a Ta cần xét hai trường hợp:

Trường hợp 1 Xét a 0, chứng tỏ phương trình bx c 0 có nghiệm

Trường hợp 2 Xét a 0, chứng tỏ  0 (hoặc   0)

Trình bày lời giải

 Xét a 0, từ giả thuyết suy ra 4b2013 b0 nên phương trình 4bx671 9 a0 luôn có nghiệm

 Xét a 0

Ta có:   4b2  18 671 9a  a 4b2  12078a162a2

4b 6 2013 162a a 4b 6 18a a 4b 162a

 2

4b 24ab 54a 2b 6a 18a 0



Suy ra phương trình luôn có nghiệm

Ví dụ 2: Cho hai phương trình bậc hai x2 ax b 0 và x2 cx d 0 Trong đó ac2b d  Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm

Giải Tìm cách giải Những bài toàn chứng minh ít nhất một trong hai phương trình bậc hai có

nghiệm ta chứng minh ít nhất một trong hai  không âm Tức là chứng minh    1 2 0

Trình bày cách giải

Xét  1 a2  4 ;b  2 c2  4d

1 2 a 4b c 4d a c 2ac a c 0

    Vậy ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm

Ví dụ 3: Tìm các giá trị của tham số m để hai phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm chung:

x mx  (1) và x2 4x m 0 (2)

(Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Vĩnh Long, năm học 2009 – 2010)

Giải

thỏa mãn cả hai phương trình Từ đó ta được hệ phương trình, sau đó:

 Khử x02

 Tìm x0 hoặc tìm m (có bài biểu thị x0 theo m)

 Thử lại với m tìm được, rồi kết luận

Trình bày cách giải

Gọi m là nghiệm chung của hai phương trình, ta có:

2

2

4 0

x mx





 Suy ra m 4x0  4 m 0 m 4 x0 1 0

 Với m 4 Hai phương trình có dạng x2 4x4 0  x2

Vậy hai phương trình có nghiệm chung là x 2

 Với x 0 1 thay vào phương trình (1) hoặc (2) ta được m 5 Với m 5 thì phương trình (1)

là x2  5x4 0 có nghiệm x1;x4, thì phương trình (2) là x2 4x 5 0 có nghiệm

x x Do đó hai phương trình có nghiệm chung là x 1 Vậy với m 4; 5  thì hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung

Ví dụ 4: Giải phương trình x3 ax2 bx 1 0, biết rằng a b; là các số hữu tỉ và 1 2 là một nghiệm của phương trình

(Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hà Tĩnh, năm học 2010 – 2011)

Giải

phương trình, ta lưu ý rằng a b, là các số hữu tỉ nên vận dụng tính chất: Nếu x y, , p là các số hữu tỉ mà x p y0, trong đó p không phải là bình phương của số hữu tỉ thì x y 0

Trình bày cách giải

Ta có: x  1 2 là một nghiệm của phương trình nên:

1 23 a1 22 b1 2 1 0

2a b 5 2 3a b 8 0

Vì a b; là số hữu tỉ nên 2 5 0 3



Thay vào phương trình, tra được:

2

1 0

x

 



 Giải ra, ta được tập nghiệm của phương trình là: S 1;1 2;1 2

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 xy trong đó x y; là các số thực thỏa mãn

2013 2013 2 1006 1006

x y  x y (1)

(Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Phú Yên năm học 2012 – 2013)

Giải

Trường hợp 1: Nếu x 0 thì y 0 (hoặc ngược lại) suy ra P 1

Trường hợp 2: Xét x 0; y 0

Chia hai vế của (1) cho x1006.y1006 ta được:

1006 1006

2

 

 

Đặt

2 1

 

 

Đây là phương trình bậc hai đối với t Xét    1 xy

Để tồn tại x y; tức là tồn tại t thì    0 1 xy0;P0

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0 khi t là nghiệm kép của phương trình

1006

2012

 

 

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0 Khi x y 1

C Bài tập vận dụng

16.1 Cho phương trình 4x2  2a b x ab   0 (1) (a b; là tham số)

a) Giải phương trình (1) với a1;b 2

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a b;

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Với a1;b 2 phương trình có dạng: 2  

4x  2 1x  2 x 2 0 Xét    1 22  4 2  1 22 0

;

b) Xét   a b 2  4aba b 2 0 với mọi a b;

Vậy phương trình luôn có nghiệm

16.2 Cho a b c d, , , là các số thực a2 b2 1 Chứng minh rằng phương trình:

a2 b2  1x2  2ac bd  1x c 2 d2 1 0 luôn có hai nghiệm

(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2004 – 2005)

Hướng dẫn giải – đáp số

Xét   ac bd  12  a2 b2  1 c2 d2  1 (*)

+ Do a2 b2  1 a2 b2 1 0

Nếu c2 d2  1 c2 d2  1 0   0

Nếu c2 d2 1 Đặt u  1 a2  b v2;  1 c2  d2

(Điều kiện 0u1;0v1)

Xét 4  2 2 ac 2bd2  4uv

 a b  u p d  v ac bd  uv

0



   Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm

16.3 Cho phương trình ax2 bx 1 0 với a b; là các số hữu tỉ Tìm a b; biết 5 3

x 

 là nghiệm của phương trình

Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có: 5 3  5 32

5 3









4 152  4 15  0 31 4 1  8   15 0

Do a và b là các số hữu tỷ nên: 31 4 1 0 1



16.4 Với giá trị nào của b thì hai phương trình 2011x2 bx1102 0 (1) và 1102x2 bx2011 0 (2) có nghiệm chung

(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Tiền Giang, năm học 2009 – 2010)

Hướng dẫn giải – đáp số

Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình đã cho, ta có:



 

 

2

0



 





x bx

x

Với x0 1 thay vào phương trình (1) ta được b3113

Với x0 1 thay vào phương trình (1) ta được b3113

Thử lại:

 Với b3113, thì phương trình (1) là 2011x2  3113x1102 0 có nghiệm 1102

1;

2011

phương trình (2) là 1102x2  3113x2011 0 có nghiệm là 2011

1;

1102

x x , nghiệm chung là x1

 Với b3113, thì phương trình (1) là 2011x2 3113x1102 0 có nghiệm 1102

1;

2011

phương trình (2) là 1102x2 3113x2011 0 có nghiệm là 2011

1;

1102



1



x

Vậy với b3113 thì hai phương trình đã cho có nghiệm chung

16.5 Tìm số nguyên a để hai phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm chung

x ax  (1) và x2  x a0 (2)

Hướng dẫn giải – đáp số

Đặt x0 là nghiệm chung của ai phương trình, ta có:  

 

2

2

0 0

8 0 1

0 2







x ax

Từ phương trình (1) và (2) trừ từng vế ta được:

a1  x0  8 a 0 a 1  x0  a 8 (*)

Với a 1 0  a1 thì từ (*) không tồn tại x0 nên điều kiện a 1

Từ phương trình (*) ta có: 0

8 1







a x

a thay vào phương trình (2) ta được:

 

 

2

3 2

1 1





a a

 6  2 6 12 0

 a a  a  (**)

Ta có: a2  a12a 32  3 0 nên (**)  a6 0  a6

Với a6 thì phương trình (1) là x2  6x 8 0 có nghiệm x1 2;x2 4

Phương trình (2) là x2  x 6 0 có nghiệm x1 2;x2 3 nên hai phương trình có nghiệm chung x2

Vậy với a6 thì hai phương trình có nghiệm chung là x2

16.6 Cho hai phương trình x2 mx n 0 và x2  2x n 0 Chứng minh rằng với mọi giá trị của

m và n, ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.

(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hứng Yên, năm học 2009 – 2010)

Hướng dẫn giải – đáp số

 Phương trình x2 mx n 0 có  1 m2  4n

 Phương trình x2  2x n 0 có  2 4n4

Suy ra:    1 2 m2 4 0 với mọi m n, Do đó trong hai số  1, 2 luôn có ít nhất một  không

âm Hay nói cách khác trong hai phương trình đã cho luôn có ít nhất một phương trình có nghiệm

16.7 Chứng minh rằng với điều kiện

 2

0

2

c

a c ab bc ac







 thì phương trình: ax2 bx c 0 luôn có nghiệm

(Thi học sinh giỏi tỉnh Bình Định, năm học 2007 – 2008)

Hướng dẫn giải – đáp số

Xét các trường hợp sau:

 Nếu a0;b0 thì phương trình luôn có nghiệm duy nhất  c

x b

 Nếu a0;b0 thì c2 0 vô lí

 Nếu a0 từ a c 2 ab bc  2ac 2aca c 2  b a c  

Xét  b2  4ac b 2 2a c 2  2b a c    a c b  2 a c 2 0

Vậy  0, phương trình luôn có hai nghiệm

Tóm lại, phương trình luôn có nghiệm

16.8 Cho phương trình ẩn x tham số m: x2  2m1x m22m 3 0 Xác định m để phương

trình có hai ngiệm x x1; 2 sao cho:

2 1

2008x x 2013

(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh An Giang, năm học 2009 – 2010)

Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có:   m12  m2 2m 3 4

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 m3;x2 m 1

Phương trình có hai nghiệm:

1

2 1

2

3 2013

1 2008





x m

16.9 Chứng minh rằng phương trình:

x2 ax b  1 x2 bx a 1 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của a và b

(Thi học sinh giỏi Toán, tỉnh Vĩnh Phúc, năm học 2006 – 2007)

Hướng dẫn giải – đáp số

 

2

2

1 0 1

1 0 2



x ax b

x ax b x bx a

x bx a

Ta có  1 a2  4b4; 2 b2  4a4

Suy ra    1 2 a 22 b 22 0 với mọi a b; do đó có ít nhất một trong hai giá trị  1; 2 không âm Vậy phương trình ban đầu luôn có nghiệm với mọi giá trị của a và b