Đs chuyên đề 9 ứng dụng của hàm bậc nhất để chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề 9.ỨNG DỤNG CỦA HÀM BẬC NHẤT ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A.. Một đoạn thẳng nằm phía dưới trục hoành khi và chỉ khi hai điểm đầu mút của nó nằm phía dưới trục hoành.. Khi đó các

Chuyên đề 9.

ỨNG DỤNG CỦA HÀM BẬC NHẤT

ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

A Kiến thức cần nhớ

Cho hàm số bậc nhất f x  ax b , với x1x2 Ta có:

 

1

2

0

0

f x

f x









Đẳng thức xảy ra khi

 

1

1 0

x x

f x









 hoặc

 

2

2 0

x x

f x











 

1

2

0

0

f x

f x









Đẳng thức xảy ra khi

 

1

1 0

x x

f x









 

2

2 0

x x

f x









Ý nghĩa hình học:

Một đoạn thẳng nằm phía trên trục hoành khi và chỉ khi hai điểm đầu mút của nó nằm phía trên trục hoành

Một đoạn thẳng nằm phía dưới trục hoành khi và chỉ khi hai điểm đầu mút của nó nằm phía dưới trục hoành

Nhận xét:

Nếu hệ số a 0 thì f x  b (hàm hằng) Khi đó các tính chất trên cũng đúng do đồ thị của hàm hằng cũng là một đường thẳng Các tính chất khác của hàm hằng chúng tôi sẽ trình bày ở chương III của cuốn sách này

B Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho 0x y z, , 2 Chứng minh rằng 2x y z    xy yz zx   4

Giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương:

2 x y z   xy yz zx   4 x 2 y z 2 y z  yz 4 0

Coi x là biến số và y, z là tham số, đặt f x  x2 y z 2y z  yz 4

Xét hàm f x  với 0 x 2.Ta có:

 0 2  4 2   2 0

f  y z  yz   y z 

 2 0

f  yz

Như vậy, ta có f x   0 với mọi x thõa mãn 0 x 2 .

Đẳng thức xảy ra khi

0

x







 

2

0

x









0

2

x

y





 



 hoặc 0

2

x z









 hoặc 2

0

x y









 hoặc 2

0

x z











Nhận xét:

Để giải bài toán chứng minh bất đẳng thức sử dụng tính chất hàm bậc nhất chúng ta chia thành các bước sau:

Bước 1: Tạo ra một hàm số dạng f t  at b

Bước 2: Xác định t t1, 2 sao cho: t1 t t2

Bước 3:

1) Chứng minh f t  1 0 và f t  2 0 Từ đó suy ra f t   0 , với mọi t thỏa mãn t1 t t2 2) Chứng minh f t  1 0 và f t  2 0 Từ đó suy ra f t   0, với mọi t thỏa mãn t1 t t2

Ví dụ 2: Cho 3 số thực không âm x, y , z thỏa mãn: x y z  1

2

27

xy yz xz   xyz

Giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

27

Đặt t yz , coi t là biến và x là tham số

Ta được       2 7

27

Theo bất đẳng thức Cô – si:  2 1 2 1 2

0

tyz      t 

Mà  

2

    x ;

0

f         

 x 0

Suy ra f t   0 với mọi t thõa mãn 1 2

0

4

x

t 

 

Dấu bằng xảy ra khi

2

1 4

0

x yz

x

y z















1

1 3

3

x

y z







 



Nhận xét:

Với cách làm tương tự ta có thể giải được bài tổng quát sau:

Cho hằng số 9

4

m  và x, y, z là các số thực không âm thõa mãn: x y z  1

0

27

m

Ví dụ 3: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a b c  1

Giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương



27abc 9 ab bc ca 4 25 ab bc ca 25abc

52abc 16 ab bc ca 4 0

52 16 16 1  4 0

Do tính đối xứng với các biến a, b, c nên không mất tính tổng quát, giả sử a b c 

Do a b c  1 nên 1

3

c 

,0

t ab  t ab   

Đặt f t  t52c1616 1c  c 4 VT *

Ta lại có:

 0 16 2 16 4 4 2 12 0

 

2

1

4

c

f    c  c  c c c  c

2

1

3

c

 

Từ đó suy ra 52abc16ab bc ca   4 0

Đẳng thức xảy ra khi

0

ab







 (Vô lý vì ab dương)

Nhận xét:

Bài toán trên là hệ số của bài toán gốc sau đây:

Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x y z  1 và hằng số m thỏa mãn 9

9

4

0

4

xy yz zx mxyz

Ví dụ 5: Cho 0a b c, , 1 Chứng minh rằng: 1 a 1 b 1 c   a b c 1

Giải

Coi a là biến và b, c là các tham số

Xét hàm số f a   1 a 1 b 1 c   a b c 1 với 0 a 1

f   0  1 b 1 c   b c 1 bc0

f  1   b c 0

Suy ra f a   0 , với mọi 0 a 1

Đẳng thức sảy ra khi a b ,  0,0 hoặc b c ,  0, 0 hoặc c a ,  0, 0.

Nhận xét:

Từ bài toán trên ta có bài toán tương tự:

Cho 0a b c d, , , 1

Chứng minh rằng 1 a 1 b 1 c 1 d   a b c d 1

Ví dụ 6: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x y z  1 Chứng minh rằng:

4 x y z 15xyz1

Giải

Xét biểu thức

Lại có:

 3 3 3

Đặt t xy , coi z là biến ta được hàm số: Pf t  t27z123 4 z2 4z1

Lại có  2 1 2

0

 0 4 2 12 0

f  z  với mọi z

2

2

1

4

z

f    z  z  z z z  z  z z 

với mọi số dương z

Từ đó suy ra P 0

Đẳng thức xảy ra khi 1

3

x  y z

Nhận xét:

4 x y z 3 xy yz zx  27xyz 1

27xyz 12 xy yz zx 3

Đến đây, ta thấy bài toán trên chỉ là hệ quả của bài toán sau:

Cho hằng số 9

4

m và x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn: x y z  1 Khi đó ta có

9 0

27

m

C Bài tập vận dụng

9.1 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a b c  3

Chứng minh rằng a2b2c2 abc4

Hướng dẫn giải – đáp số

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương a2b2c2abc 4 0  *

Do a b c   3 a b  3 c Từ đó ta có:

 * 2 2 2 4

VT a b c abc

a b 2 2ab c 2abc 4

3 c2 2ab c 2abc 4

ab c  22c2 6c5

Do vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử c b a  Mà

a b c    c

Xét hàm số bậc nhất biến t là:

   2 2 2 6 5

f t t c  c  c ,với t ab và  2 3 2

0

Ta có:  

2

2

f     c  c  c       

với mọi c

Từ đó ta có: f t   0 với mọi 3 2

0

4

c

 

Suy ra f t   0 với mọi 3 2

0

4

c

  Tức là bất đẳng thức  * đúng

Đẳng thức xảy ra khi  

2

2

3

1 4

0 4

a b

c



 

















9.2 Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x y z  1

xy yz zx   xyz 

Hướng dẫn giải – đáp số

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương 9 1

0

xy yz zx   xyz   *

Ta có: Do x y z   1 x y  1 z Khi đó

 * 9 1

1 9   1

1 9 1  1

Do vai trò x, y, z như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

1 0

4z

Xét hàm số bậc nhất biến t là :

f t t  z z  z 

    với t xy và  2 1 2

0

Ta có:  

2

f  z  z  z  

3

z 

2

f        z   z  z      

Từ hai điều trên ta có  * đúng

Đẳng thức xảy ra khi 1

3

x  y z

9.3 Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x y z  1

Chứng minh rằng: 3 3 3 1

6

3

Hướng dẫn giải – đáp số

Do vai trò x, y, z như nhau, ta giả sử x y z 

Mà

1

1

z

x y z







    

   



Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

3x 3y 3z 18xyz1 0  *

Xét biểu thức:

3x y 3 9xy x y  3x318xyz1

3 1  z3 9xy1 z3x318xyz1

xy27z 99z2 9z2

Đặt t xy , coi t là biến và z là tham số ta được hàm số:

f t t z  z  z với  2 1 2

0

Ta có: f  0  3z2 3  z1 0 với mọi 1

3

z 

 

2

3 1

4

z

f    z 

với mọi số dương z

Từ hai điều trên ta có  * đúng

Đẳng thức xảy ra khi 1

3

x  y z