Đs chuyên đề 2 liên hệ phép nhân, phép chia và phép khai phương

Quan sát kĩ đề bài, ta thấy có hai biểu thức trong căn có dạng a b và a b nên ta dùng tính chất giao hoán và thực hiện phép tính... Ta cần biến đổi bài toán về dạng a2 b và giải theo

Trang 1

Chương 1 CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA

Chuyên đề 2 LIÊN HỆ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

A Kiến thức cần nhớ

1 Với A0,B0 thì: A B  A B và ngược lại A B  A B

Đặc biệt, khi A 0, ta có:  A2  A2 A

2 Với A0,B0 thì A A

B  B và ngược lại

B

B 

3 Bổ sung

 Với A A1, 2, ,A  n 0 thì: A1 A2 A n  A A A1 .2 n

 Với a0;b0 thì: a b  a b (dấu “=” xảy ra  a0 hoặc b 0).

 Với a b 0 thì: a b  a b (dấu “=” xảy ra  a b hoặc b 0).

B Một số ví dụ

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

a) 8 15 8 15 ;

b)  6 11 6 112

Giải

a) 8 15 8 15  64 15  49 7

b)  6 11 6 112  6 11 2 6   11 6   11  6 11

12 2 36 11 22

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau: P  2 2 2 4 8 2 2 2

Giải Tìm cách giải Quan sát kĩ đề bài, ta thấy có hai biểu thức trong căn có dạng a b và a b

nên ta dùng tính chất giao hoán và thực hiện phép tính

Trình bày lời giải

4 2 2 2

Trang 2

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: A  10 2 21  3.

Giải Tìm cách giải Để rút gọn biểu thức có dạng a2 b ta chú ý tới hằng đẳng thức

2

x xy y  x y

Ta cần biến đổi: a2 b   x y2 , do vậy ta xác định x và y thông qua x y a xy b  ;  Chẳng hạn: x y 10; x y21  x y;   3;7

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: B  4 7  8 3 5  2

Giải Tìm cách giải Đề bài chưa xuất hiện dạng a2 b

Ta cần biến đổi bài toán về dạng a2 b và giải theo cách trên

Ta có: B 2  8 2 7  16 6 7 2 

Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: A  2 3 4 2 3  21 12 3

Giải Tìm cách giải Với những bài toán có nhiều căn “chồng chất”, ta có thể giảm bớt số căn, bằng cách

đưa các căn ở phía trong về dạng a2 b sau đó dùng hằng đẳng thức A2 A và giải như các

ví dụ trên

Ta có A  2 3 4 2 3  21 12 3

Trang 3

 2

Suy ra A 2

Ví dụ 6: Rút gọn: C  2 2 5 2  2 2 5 2

Giải Tìm cách giải

Ví dụ này không thể biến đổi để đưa về dạng a2 b   x y2

Do vậy để rút gọn biểu thức dạng C x y  x y ta thường tính C2 sau đó nhận xét dấu

của C, từ đó tìm được C.

Xét C  2 2 2 5 2 2   2 5 2 2 2    2 5 2 2   2 5 2 

C     Vì C 0 nên C  1 5.

Ví dụ 7: Cho x y, thỏa mãn x1x2  y1y2 Chứng minh rằng: xy

Giải Tìm cách giải Nhận xét giả thiết x, y có vai trò như nhau Phân tích từ kết luận để có xy, chúng

ta cần phân tích giả thiết xuất hiện nhân tử x y 

Dễ thấy x2 y2 có chứa nhân tử x y  , do vậy phần còn lại để xuất hiện nhân tử x y  chúng ta

vận dụng  a b  a b  a b từ đó suy ra: a b

a b



 Lưu ý rằng mẫu số khác 0

Từ đó chúng ra có lời giải sau:

Từ đề bài ta có điều kiện: x1; y1

- Trường hợp 1: Xét x1;y 1 xy

- Trường hợp 2: Xét ít nhất x hoặc y khác 1 Ta có:

x  y  x  y 

Trang 4

     1  1 0

x y x y

Ví dụ 8: Cho 1 2

2

a  Tính giá trị biểu thức 16a8 51a

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, Tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2011 – 2012)

Giải

Tìm cách giải Để thay giá trị trực tiếp 1 2

2

a  vào biểu thức thì khai triển dài dòng, dễ dẫn đến sai lầm Do vậy chúng ta nên tính từ từ, bằng cách tính a a2; 4 và a8 bằng hằng đẳng thức Bài toán

sẽ đơn giản và không dễ mắc sai lầm

2

2a 1 2 2a1 2 4a  4a 1 2

4a 1 4a 1 2 1 2 3 2 2 16a 9 12 2 8 17 12 2

256 289 408 2 288 577 408 2 16

16

Xét 8 577 408 2 51 1 2

577 408 2 408 408 2 169

16 4

a  a  

Ví dụ 9: Tính giá trị 7 7

S

a b

;

Giải Tìm cách giải Nếu thay giá trị của a và b vào biểu thức và biến đổi thì bài toán sẽ phức tạp, có thể

dẫn đến sai lầm Bài toán có dạng đối xứng cơ bản, ta có thể tính tổng và tích của a và b, sau đó

dùng các hằng đẳng thức để tính dần dần

Trang 5

Từ đề bài suy ra: a b  6; ab1

Ta có: a2b2 a b 2 2ab4;

a b  a b  ab a b   

Xét a2b2 a3b3 a5a b2 3a b3 2b5 a5b5a b a b2 2  

4.3 6a b 1 6

Từ đó tính được: a5b5 11 6

Xét a2 b2 a5b5a7a b2 5a b5 2b7 a7b7a b a2 2 3b3

Suy ra: 4.11 6a7b71.3 6 a7b7 41 6

41 6

a b

Ví dụ 10: Cho b0; a b Chứng minh đẳng thức:

a b      

Giải

Đặt vế phải là:

Ta có B 0

4

B  a   B  a b

Vì B 0 nên B a b

Vế phải bằng vế trái Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 11: Cho các số thực x y; thỏa mãn: x x22 y 1 y2  2y3 2 Chứng minh rằng: x3y33xy1

Giải

Đặt y1z từ giả thiết ta có: x x22 z z222 * 

Nhân hai vế với x2 2 x ta được

Trang 6

x2 2 x2 z z22 2 x2 2 x

Nhân hai vế của đẳng thức (*) với z2 2 z ta được

x x22 z2 2 z22 z2 2 z

 

Từ (1) và (2) cộng vế với vế, rút gọn ta được:

x z   x y    x y 

x y  xy x y x  xy y  xy x  xy y  xy

x xy y x y

Vậy x3y33xy1 Điều phải chứng minh

C Bài tập vận dụng

2.1 Tính:  2 3 5  2 3 5  2 3 5  2 3 5

Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có:   2    2

2.2 Chứng minh rằng các số sau là số tự nhiên.

a) A  3 5 3  5  10 2;

b) B  2 3 1   2 3

a) Ta có A  3 5 3  5 2  5 1   6 2 5 5 1 3      5

 5 1 5 1 3 2   5  5 1 5 1 3    5

5 2 5 1 3  5 2 3 5 3  5 2 9 5  8

Vậy A là số tự nhiên.

b) Ta có B  3 1 4 2 3    3 1    3 1 2

Trang 7

 3 1   3 1 3 1 2

B

Vậy B là số tự nhiên.

2.3 Rút gọn biểu thức:

a) 3 10 20 3 6 12

a) Ta có: 10 3 2 6 3 2 3 2  10 6

3 2 2  5 3

3 2 2



2.4 Rút gọn các biểu thức:

2

3

a) 1 2 3 2 2 2 3 2 6 1 2 3 2 2 2 3 2 6

2

2 2

2

C  

b) 3 3 2 2  6 3 2 2 2 1 6

1

Trang 8

2.5 Cho x  3 2 Tính giá trị B x 5 3x4  3x36x2 20x2018.

(Thi học sinh giởi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2012 – 2013)

Từ x  2 3, bình phương hai vế ta được:

 

x  x   x  x 

Ta có B x x 3 2 4x1x x2 2 4x15x2 4x12013

Kết hợp với (*) ta có: B 2013.

2.6 Tính giá trị biểu thức A x 22002x 2003 với

27 10 2 27 10 2 27 10 2 27 10 2

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2002 – 2003)

Ta có: 27 10 2  5 22  5 2

27 10 2  5 2  5 2

Tử số là: 5 2 5 2  2  5 2 5 2  2

5 2 23 5 2 23 46 2

Xét a 13 3  13 3;  a0

a

Do đó

46 2

46

2 13 2 : 13 2

Vậy giá trị biểu thức A 4622002.46 2003 92205 

2.7 So sánh:

a) 6 20 1và  6 ;

b) 17 12 2 và 2 1  ;

c) 28 16 3 và 3 2 

Trang 9

a) Ta có 5 2 5 1    5 1 2  5 1  6 1

Vậy 6 20  1 6

b) Ta có 17 12 2 = 9 12 2 8 =  3 2 2 2

= 3 2 2 = 2 2 2 1=   2 1  2 1

c) 16 16 3 12 =  4 2 3 = 4 2 3 2 

= 3 2 3 1=  3 1 = 3 1   3 2

Vậy 28 16 3  3 2

2.8 a) Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thỏa mãn:

a b   b   a

Chứng minh rằng a2b2 1

b) Chứng minh rằng số 200922009 20102 220102 là số nguyên dương

(Tuyển sinh lớp 10, chuyên toán ĐHSP Hà Nội, năm học 2010 – 2011)

a) Ta có a 1 a2  b 1 b2

Bình phương hai vế không âm, ta được:

a  a  a   a b  b  b   b  a  a b  b

Bình phương hai vế không âm, ta được:

a  a b  b  a  b  a b 

1 0

Do a, b là hai số dương khác nhau nên a2 b2 0

a b

    hay a2b2 1 Điều phải chứng minh

b) Đặt a 2009, ta có:

a a a  a  a a  a a  a

Trang 10

a2 a 1 20092 2009 1

2.9 Cho b0; a b Chứng minh đẳng thức:

2

a b  a b  a a  b

Đặt A a b  a b ta có A 0.

Xét A2  a b2 a b a   b  a b

Vì A 0 nên A 2a a2 b Suy ra điều phải chứng minh

2.10 Cho x 1 3 5 và x 2 3 5 Hãy tính: A x x B x 1 ; 2  12x C x22;  13x D x23;  15x25

Ta có: A x x 1 2  3 5 3 5  9 5 2 

Ta có: B x 12x22  3 5 3  5 6

C x x x  x x x     

C 6 2 5 6 2 5 2 2

 5 1 5 1 2 2 4 10

C

Xét  2 2  3 3 5 2 3 3 3 5

x x x x x x x x x x

6.4 10 x x x x x x

24 10 x x 6 2 5 6 2 5 2 2

24 10 x x 5 1 5 1 2 2

1 2 20 10

D x x

Trang 11

2.11 Rút gọn biểu thức: 7 5 7 5

3 2 2

7 2 11

(Tuyển sinh lớp 10, chuyên toán, TP Hồ Chí Minh, năm học 2010 – 2011)

Xét B  7 5 7 5

2

B

2 14 2 49 5 14 4 11

B

Mà B 0 nên B  14 4 11 .

Từ đó suy ra: 14 4 11  2 12 2  2 1 1

7 2 11



2.12 Cho x y, là các số thực thỏa mãn: x1 y y  y1 x x Tìm giá trị nhỏ nhất của S x23xy 2y2 8y12

Tập xác định x1;y1

 Trường hợp 1: Xét x y 1 suy ra:

 

1 3.1.1 2.1 8.1 12 6 1

 Trường hợp 2: Xét ít nhất x 1 hoặc y 1 Ta có:

x x y y  x  y 

x y x xy y

  

x y x xy y

x y

x y x xy y

x y

x xy y



Suy ra x y  0 xy

Ta có: S x23x2 2x2 8x12

2

Trang 12

Dấu bằng xảy ra khi x 2.

Do đó giá trị nhỏ nhất của S là 4 khi x 2 2  .

Từ (1) và (2) vậy giá trị nhỏ nhất của S là 4 khi x 2.

2.13 Rút gọn các biểu thức sau:

4 5 3 5 48 10 7 4 3

 3 1 6 2 2 3 2 12 18 128

a) Ta có: P  4 5 3 5 48 10 4 4 3 3   

4 5 3 5 48 10 2 3

4 5 3 5 28 10 3

4 5 3 5 25 10 3 3

b) Q  3 1 6 2 2 3    2 12 16 8 2 2 

 3 1 6 2 2 3 2 12 4 22

 3 1 6 2 2 3 2 2 3 4 2

 3 1 6 2 2 3 3 2 3 1

 3 1 6 2 2 3 3 1  3 1 6 2 2 2 3

Trang 13

 3 1 6 2 4 2 3  3 1 6 2  3 1

 3 1 4 2 3  3 1  3 1 2

3 1





a) Ta có: 6 2 5 12 4 3 1

3 1



A

6 2 3 2 3 1

1

b) Ta có 2 3 3 13 4 3 2 3 3 2 3 12

T

2

1

3 1

2.15 Rút gọn biểu thức: 2 10 30 2 2 6 2

:

Trang 14

Ta có:    

2



2



 3 12 3 1 3 1 3 1 3 1 1

2.16 Biết x  2 2 3  6 3 2  3

Tính giá trị biểu thức: S x416x2

Xét x  2 2 2 3 6 3 2   3 2 2   2 3 6 3 2   3

2

8 2 2 3 2 3 4 2 3

x

2 8 2 2 3 2 6 3 3

x

2

Bình phương hai vế ta được:

64 16 x x 4 2  3 6 3 3 2 2    3 6 3 3 

64 16x x 32

Tính giá trị của A x y 

Đặt x 2019a y;  2019b

2020 2020 2020 *

a a  b b  

Nhân hai vế của đẳng thức (*) với a22020 a, ta được:

Trang 15

a22020 a2 b b2 2020  a22020 a.2020

 

Nhân hai vế của đẳng thức (*) với b22020 b, ta được:

a a22020 b22020 b2 2020. b22020 b

 

Từ (1) và (2) cộng vế với vế và rút gọn ta được:

a b   x  y 

Vậy A x y  4038

: 2 1

3

A

x



: 2 3

A

x





Điều kiện xác định  3 x3,

: 2 3

A

x





3

A

x x



2.19 Cho biểu thức Pa2013 8a201211a2011  b2013 8b201211b2011

Tính giá trị biểu thức của P với a  4 5 và b  4 5

(Thi học sinh giỏi lớp 9, TP Hà Nội, năm học 2012 – 2013)

Xét a  4 5 bình phương hai vế ta được:

a  a   a  a 

Xét b  4 5 bình phương hai vế ta được:

b  b   b  b 

P a a  a b b  b

0

P

Trang 16

2.20 Cho 3 3

2 x 2 x



   và 3 2 x 3 2 x a

Tính giá trị của biểu thức

2

6 2 9 4x P

x

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2013 – 2014)

Ta có: 3 2x 2 3 2 x 3 2x 3 2x

P

x



P

a

2.21 Tính giá trị của biểu thức: A2x33x2 4x2

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2014 – 2015)

2

a

x   x   x   x  x 

Ta có: A2x33x2 4x2

A x x  x  x  x  

2.22 Đố Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64 6  4 Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên

Trang 17

Đặt số đó là ab Theo đầu bài, ta có:

ab a  b ab a  a b b

2

10a a 2a b a 2 b 10

 a chẵn Đặt a2K K  2K2 b 10 K b 5

Do b 9 nên b 0;1; 4;9.

 Nếu b 0 K  5 a10 (loại)

 Nếu b 1 K  4 a 8 Số đó là 81

 Nếu b 4 K  3 a 6 Số đó là 64 (đã cho)

 Nếu b 9 K 2 a 4 Số đó là 49

Tiêu đề	Liên hệ phép nhân, phép chia và phép khai phương
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Giáo trình
Năm xuất bản	2012
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	0,91 MB