Chuyên đề 1 rút gon và bài toán phụ có đấp án

Thậm chí như đề năm 2016 thì cả 3 ý hỏi là độc lập với nhau do đó học sinh không làm được ý này có thể vẫn sử dụng kết quả của ý đó để làm khác... Nếu đề cho như năm 2016 thì chúng ta đã

CHUYÊN ĐỀ 1: RÚT GỌN VÀ BT PHỤ Bài 1 (2016)

Cho

7

8

A

x



 và

9 3

B

x x





 với x0; x9 1) Tính giá trị của A khi x 25

2) CMR:

8 3

x B

x





 3) Tìm x để P = A.B có giá trị nguyên

Giải:

 Ta thấy x 25 thoả mãn điều kiện x0; x9

 Thay x 25 vào A ta được:

5 8 13

25 8



 Vậy khi x 25 thì

7 13

A 

2)

3

B

x



Vậy

8

3

x

x





 ĐPCM

3) ĐK: x0; x9 (*), ta có:

x



+) Vì x 0 nên

3 3

x

 +) Do đó:

7

3

+) Vậy P   P1; 2

 TH1:

7

3

x

 TH2:

3

x

Vậy P nguyên

1 16;

4

Bài 2 (2015)

Cho

3 2

x

P

x





 và

4 2

Q

x x



 với x0, x4 1) Tính giá trị của P khi x 9

2) Rút gọn Q

3) Tìm x để

P

Q đạt GTNN

Giải:

 Ta thấy x 9 thoả mãn điều kiện x0, x4

 Thay x 9 vào P ta được:

9 3 12

12

3 2

9 2



 Vậy khi x 9 thì P 12

 

 

2

2

2)

2

Q

x

x





x

x



 ĐPCM

3) ĐK: x0, x4 (*)

2

x

 +) Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương:

3

x và

x, ta có:

P

Q

+) 2 3

P

Q   dấu “=” trong BĐT Cô – si xảy ra x 3  x 2 3 x 3

x

(tmđk*)

Vậy x 3 thì

P

Q đạt GTNN

Bài 3 (2015)

1) Tính giá trị của

1 1

x A x





 khi x 9 2) Cho

.

P

  với x0, x1

a) CMR:

1

x P

x





b) Tìm x sao cho: 2P2 x5

Giải:

1) +) A xđ

0

0, 1

1 0

x

x





 

 +) Ta thấy khi x 9 thoả mãn điều kiện: x0, x1

+) Thay x 9vào A, ta được:

9 1 3 1 4

2

3 1 2

9 1



 +) Vậy khi x 9 thì A 2

2

1 2

P

x x





Vậy

1

x

x



 ĐPCM 3) ĐK: x0, x1 (*)

 

1

1

2

1 1

*

0

2 2

2

2 0

1

4

x

x

x

t

x x x

mđ

x













Vậy

1

4

x 

thì 2P2 x5

Bài 4 (2013)

Với x 0 , cho

;

 1) Tính giá trị của A khi x 64

2) Rút gọn B

3) Tìm x, để

3 2

A

B 

Giải:

1) +) x 64 thoả mãn điều kiện: x 0

+) Thay x 64vào A, ta được:

2 64 2 8 5

64

+) Vậy khi x 64 thì

5 4

A 

2)

1

1 1

B

x x

x

x x









Vậy:

2

1

x

x





3) ĐK: x 0 (*)

.

1 3 2

x x





(Nhân cả hai vế với 2 x 0)

2 4

x x

Kết hợp với (*) ta được: 0 x 4 thì

3 2

A

B 

Bài 5 (2012)

1) Cho

4 2

x A x





 Tính giá trị của A khi x 36 2) Rút gọn

:

B

  với x0, x16 3) Tìm x nguyên để B A . 1 là số nguyên

Giải:

1) +) A xđ  x0

+) Ta thấy x 36 thoả mãn điều kiện x 0

+) Thay x 36 vào A ta được:

36 4 6 4 10 5

36 2



 +) Vậy khi x 36 thì

5 4

A 

2)

16

B

x





2

.



Vậy:

2

16

x

x



 3) +) ĐK: x0, x16

+)

B A

.

-)  

2

16

B A

x



16

x

  Ư(2)   1 ; 2  (Vì khi x   thì x 16  )

  tất cả đều thoả mãn điều kiện: x0, x16 Vậy x 14; 15; 17; 18 là các giá trị nguyên của x để B A . 1 nhận giá trị nguyên

Bài 6 (2011)

Cho

25

A

x



  với x0, x25 1) Rút gọn A

2) Tính giá trị của A khi x 9

3) Tìm x để

1 3

A 

Giải:

1) +)

A



2

2

5

5 5

x

x

x











 Vậy:

5

5

x

x





2) +) Ta thấy x 9 thoả mãn điều kiện: x0, x25

+) Thay x 9 vào A, ta được:

9 5

A     



 Vậy khi x 9 thì

1 4

A 3) +) ĐK: x0, x25 (*)

+)

x A

x



 (Nhân cả 2 vế với 3 x 5  0

)

10 100

x x x

Kết hợp điều kiện (*), ta có:

25

x x

 







 thì

1 3

A 

Bài 7:

Cho

1

M

x



1

x N

x





với x0, x1 1) Tính giá trị của N khi x = 25

2) Rút gọn S = M.N

3) Tìm x để S  1

Giải:

1) +) Ta thấy x 25 thoả mãn đk: x0, x1

2) +)   2   

1

x M

x



       

2

2

2

2

x







S M N

x



1



Vậy:

2

1

x

3) +) ĐK: x0, x1 (*)

+)

2

1

S

x

    

 2

1 0 1

0 1 1 0 1

x x x x x



 





 Vì: x  1 1 0, x 0 nên:

1

1

x

x



 +) Kết hợp điều kiện (*), ta được: 0x1 thì S  1

Bài 8:

Cho

A

    và

3 1

x B x





 với x0, x1 1) Tính giá trị của B khi x 36

2) Rút gọn A

3) Tìm x để S = A.B đạt giá trị lớn nhất

Giải:

1) +) Ta thấy x 36 thoả mãn ĐK: x0, x1

+) Thay x 36 vào B ta được:

36 3 6 3 9

6 1 7

36 1



 +) Vậy khi x 36thì

9 7

B 

A

2

1

1 2

x

x

x









 Vậy

1

2

x

x



 3) +) ĐK: x0, x1

S A B



S

) x 0

  thoả mãn đk: x0, x1

Vậy x 0 thì S = A.B đạt GTLN

Bài 9: Cho

.

a A



1) Rút gọn A 2) Tìm a để

1 3

A 

3) Tìm a để

9 4

B A

nhận giá trị nguyên

Giải:

1) +) A xác định

 

0

0

4 2

a

a a

a a







    











+)

.

A

a



2

a





Vậy

2

2

A

a



 với a0, a4 2) +) ĐK: a0, a4

+)

A

a

 (nhân cả hai vế với 3 a 2  0

)

+) Kết hợp đk a0, a4 ta được: 0a16, a4

3) +) ĐK: a0, a4

.

 Dễ thấy: B0; a 0,a4

  a 0, a 4

4

a



 Vậy: 0B2,25; a 0, a4

Do đó: B   B1 ; 2

a



(thoả mãn đk *)

a



(thoả mãn đk *)

Vây:

1 25

;

16 4

a   

  thì B 

Bài 10: Cho

1 5

x A x





 và

1

B

x





  với x0, x1 1) Tính giá trị của A khi x  9 4 5

2) Rút gọn B

3) Tìm GTNN của S = A.B

Giải:

1) +) Ta thấy x  9 4 5  52 2.2 5 2  2  5 2  2

(thoả mãn Đk: x0, x1) +) Thay x  5 2  2

hay x  5 2  5 2 vào A, ta được:

5 2 4

5 3





Vậy: A  5 2 khi x  9 4 5

2) +)

B



2

1 1

x

x x







 Vậy:

1

1

x

x



 3) +) ĐK: x0, x1

+)

S A B

5 5

5 5

5 5 5

x x x







 )

 Ta thấy x 0 hay x 0 thì

1 5

S 

Vậy GTNN của S là

1 5



Bài 11: Tìm x   để

3 1

x P

x

Giải:

* Cách 1:

 Đk: x 0

 TH1: x 0 P  0  nhận x 0

 TH2: x 0

+) Dễ thấy: P0,  x 0

+)

3 1

P

 +) Vậy: 0 P 3

Do đó: P P1; 2

-)

1

x

x

1

4  )

-)

3

1

x

x

 KL: x 0; 4 thì P 

*) Cách 2: Với x   ta chia 2 trường hợp sau:

 TH1: x là số chính phương  x  :

3

x P

Vì x   1 nên: P   x 1 Ư(3)

1 1; 3

x

4 2

x x



 (đều là các số chính phương)

 TH2: x không là số chính phương

x

 là số vô tỉ  x1 là số vô tỉ

3 1

x





 là số vô tỉ 3

3

1

x

 

 là số vô tỉ

P

Vậy: x   để P  là x 0; 4

Bài 12: Tìm x0, x4 sao cho:

2

3 1

x

x x





 ĐK: x0, x4 (*)



2

3 1

x

x x





2

8

3

7

6

    (không thoả mãn đk (*))

 Vậy không có x thoả mãn yêu cầu bài toán

Bài 13: Tìm GTNN của

1

P

x





Giải:

 ĐK: x 0

 Đặt a x 1 1

+) x  a 1

+)

P

a



2

2

2 1 3 3 2

5

a

a

    



+) Áp dụng BĐT Cô – si cho 2 số dương: a và

2

a , ta có:

+) Ta thấy khi

2

a a

 tức là a  2 thì P 2 2 5

 Vậy GTNN của P 2 2 5

Bài 14: Cho

2

x A

x





với x0, x4 Tìm x để: AA

Giải:

 ĐK: x0, x4

 AA  A 0

2 0

x x



2 0

x

   (vì: x 0, x 0, x4)

4

x

 Kết hợp đk: x0, x4, ta có: x 4 thì AA

Bài 15: Cho

3

x A

x





với x0, x9 Tìm x để A2A2

Giải:

 ĐK: x0, x9

 A 2A2  A1 2  A  0

  1 2A 0 (vì:

3

x

x



)

x



2 6

0 6

0

x x x

 

6 0

x

    (vì x 0)

6

x

   (vô nghiệm)

 Vậy không có giá trị nào của x thoả mãn yêu cầu bài toán

CHÚ Ý

1 Trong những năm gần đây đề ra theo hướng tránh sự phụ thuộc của ý 2 và 3 vào ý 1

– Rút gọn Thậm chí như đề năm 2016 thì cả 3 ý hỏi là độc lập với nhau do đó học sinh không làm được ý này có thể vẫn sử dụng kết quả của ý đó để làm khác

2 Theo cấu tạo mới thì ý 1 là ý tính giá trị của biểu thức với biến số nhận giá trị cho

trước Đây là một ý dễ nhưng học sinh lại hay mất điểm trình bày ở bước 1 - đặt và ktđk và bước 3 _ kết luận Do đó học sinh cần lưu ý điều này

3 Ý 2 là ý rút gọn biểu thức Nếu đề cho như năm 2016 thì chúng ta đã biết trước kết

quả của việc rút gọn và do đó dễ làm đúng hơn Nhưng nếu đề chỉ yêu cầu rút gọn biểu thức mà chưa cho biết kết quả trước việc rút gọn chính xác rất quan trọng vì kết quả rút gọn thường được sử dụng cho ý sau nữa Do đó, học sinh cần thận trọng các khâu tính toán cộng, trừ, nhân, chia đa thức, đặc biệt là việc xử lí các dấu trừ Khi ra kết quả rút gọn cuối cùng rồi thì cũng nên kiểm tra lại bằng cách cho biến số ít nhất là hai giá trị đặc biệt vào biểu thức (ban đầu và kết quả rút gọn) Nếu thấy các kết quả của các biểu thức ban đầu và sau khi đã rút gọn khác nhau thì chắc chắn việc rút gọn là sai, do đó cần xem xét lại Khi rút gọn xong cần kết luận và kèm theo cả đkxđ đã đặt ra hay đề bài cho từ ban đầu

4 Bài toán liên quan đến giá trị nguyên.

 Nếu đề toán như đề năm 2016 hay Bài 9: “Tìm x sao cho P  ” Thì chúng ta giải bài này bằng phương pháp giới hạn miền giá trị của P, tức là tìm hai số m, M sao cho: m < P < M, sau đó xét các trường hợp của P bằng các số nguyên trong khoảng (m; M)

 Nếu như đề toán hỏi: “Tìm x nguyên để P nguyên” thì ta vẫn có thể thực hiện theo cách trên nếu tình hình thực tế cho phép (như bài 11) Nhưng ta cũng có thể lập luận tận dụng giả thiết x   để giải bài toán bằng cách khác (cách mà mọi người hay làm) như bài 11 Nếu sử dụng cách này thì nên nhớ rằng:

Với A, B thì

A

B

B  Ư(A)

Rất nhiều người lập luận kiểu như

3

1

x    Ư(3) Đây là một lập luận sai

vì rằng chưa có gì đảm bảo x   1

5 Bài toán tìm x

Dạng toán này cần có 3 bước giải:

B1: Đặt đk của x

B2: Biến đổi giải ra x

B3: Kiểm tra đk đã đặt ra và KL

Rất nhiều HS giải thiếu bước 1 và do đó thiếu bước 3 dẫn tới việc mất điểm

 Dạng toán giải pt như bài 3, bài 12

B1: Đặt đk cho ẩn số x

B2: Biến đổi tương đương để giải x

+) Chuyển vế đổi dấu

+) Quy đồng, bỏ mẫu cả hai vế

‖Trong bư ớ c này chú ý k ế t qu ả phân tích đa th ứ c b ậ c hai thành nhân t ử đó là :a x2

+bx +c =a(x−x1)(x−x2) ‖

B3: Ktđk và kết luận

 Dạng toán giải bpt như bài 4, 6, 7, 15.

b1: Đặt đk cho ẩn số x

b2: Biến đổi tương đương để giải x

+) Chuyển vế đổi dấu

+) Quy đồng, bỏ mẫu nếu mẫu chung luôn dương Còn mẫu chung không luôn dương, tức là đổi dấu thì không được bỏ mẫu Trong trường hợp này ta hay dùng lập luận:

0

A

B   A và B cùng dấu

0

A

B   A và B trái dấu

b3: Ktđk và kết luận

6 Bài toán GTLN, GTNN

 Nếu bài toán yêu cầu tìm x để biểu thức đạt GTLN (hay GTNN) thì chúng ta phải giải đủ 3 bước như bài toán tìm x nói chung (Bài 2, 8)

b1: Đặt đk của x

b2: Đánh giá biểu thức để đưa ra GTLN (hay GTNN) nghi ngờ Sau đó giải x từ pt: Biểu thức bằng giá trị nghi ngờ đó (Như bài 2, 8)

b3: Ktđk và kết luận

 Nếu bài tốn yêu cầu tìm GTLN (hay GTNN) của biểu thức P(x) thì chúng ta thực hiện như bài 10, 13

b1: Đặt đk của x

b2: Đánh giá P: Giả sử P M

b3: Chỉ ra x sao cho P(x) = M (khơng cần nĩi rõ cách tìm x) và kết luận GTLN của

P là M

7 Một số kiến thức hay dùng

a) BĐT Cơ – si: a b 2 ab a b , 0

dấu “=” xảy ra  a b

b)

0 0

c) ax2bx c a x x    1 x x 2 trong đĩ x x1 , 2 là 2 nghiệm của pt: ax2bx c 0

d)

 

  











 



 

0 0

0 0

0

0

và B cùng d

B

A

A

A

B

A A và B trái

ấu B

dấu B

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1: Cho

;

3 3

x





 với x0, x1 1) Tính A khi x 49

2) Rút gọn B

3) Tìm x để PA B. cĩ giá trị nguyên

Bài 2: Cho

;

1

x



  với x0, x1

1) Tính P khi

1 4

x 

2) Rút gọn Q

2) Tìm x để

P S Q

 đạt GTNN

Bài 3: Cho

      với x0, x2 1) Tính A khi x 36

2) Rút gọn B

3) Tìm x sao cho: 2B x5

Bài 4: Cho

1) Tính A khi

1 100

x 

2) Rút gọn B

3) Tìm x để

3 2

A

B 

Bài 5: Cho

      với x0, x16 1) Tính giá trị của A khi x 9

2) Rút gọn B

3) Tìm x nguyên để 4B A  1 là số nguyên

Bài 6: Cho

A

    với x0, x16 1) Rút gọn A

2) Tính giá trị của A khi x 9

3) Tìm x để

1 3

A 

Bài 7: Cho

2

M

x N

x



 với x0, x1, x4

1) Tính N khi

1 9

x 

2) Rút gọn S = M.N

3) Tìm x để S < -1

Bài 8: Cho

A

5 3

x B x





 với x 0 1) Tính B khi x 25

2) Rút gọn A

3) Tìm x để S = A.B đạt GTLN