Chủ đề 5 tìm x để biểu thức rút gọn là số nguyên

Khi đó lập bảng Ưa và tìm giá trị x thỏa mãn Chú ý: Giá trị x   tìm được phải thoả mãn điều kiện của biểu thức rút gọn mới nhận.

CHUYÊN ĐỀ 5: TÌM x ĐỂ BIỂU THỨC RÚT GỌN LÀ SỐ NGUYÊN

I/ BTRG có dạng

a A

cx d



 hoặc

a A

c x d





LOẠI 1: Tìm x   để A

* Nếu

a A

cx d



 thì ta làm như sau:

+ Lập luận: A  Mẫu thức là Ư(a)

+ Liệt kê Ư(a)

+ Lập bảng: Mẫu thức bằng Ư(a) tìm ra x

* Nếu

a A

c x d



 thì ta làm như sau:

+ Với điều kiện của x, ta xét hai trường hợp xảy ra:

+ Trường hợp 1: Nếu x không là số chính phương => c x d là số vô tỉ =>

a

A

c x d



 là số vô tỉ => A  Z (loại trường hợp này)

+ Trường hợp 2: Nếu x là số chính phương =>

a A

c x d



 ∈ Z  c x d ∈ Ư(a) Khi đó lập bảng Ư(a) và tìm giá trị x thỏa mãn

Chú ý: Giá trị x   tìm được phải thoả mãn điều kiện của biểu thức rút gọn mới nhận

VD: Cho

3

A

x



 Tìm x nguyên để A nguyên

+ Điều kiện x ≥ 0

+ Trường hợp 1: Nếu x không là số chính phương => 2 x1 là số vô tỉ =>

3





A

x là số vô tỉ => A  Z (loại trường hợp này)

+ Trường hợp 2: Nếu x là số chính phương =>

3





A

x ∈ Z  2 x1 ∈ Ư(3)

2 x 1 -3 1 1 3

LOẠI 2: Tìm x để A thường áp dụng với biểu thức rút gọn

a A

c x d





Phương pháp:

+ Xuất phát từ điều kiện x 0 rồi suy ra miền bị chặn của A m A r   

+ Chọn các giá trị nguyên a1 thuộc miền chặn rồi giải phương trình A a 1 để tìm x + Kết luận giá trị x thoả mãn

VD1: Cho

7

A

x



 Tìm x để A

ĐK:

0 2 3 3

3

x

 Do đó

7 0

3

A

 

mà A A1;2 Với

7

x



Với

x



VD2: Cho

5

A

x





 Tìm x để A

ĐK:

5

x





Do đó    5 A 0 mà A  A  5; 4; 3; 2; 1     

Giải phương trình A = giá trị nguyên => Tìm được x

II/ Biểu thức rút gọn có dạng

a x b A

c x d







Phương pháp tách phần nguyên:

+ Lấy tử chia cho mẫu được thương là số k   và dư số m  

+ Ta có:

 

+ Việc tìm x để A nguyên quy về bài toán tìm x để 

m

c x d nguyên như phần I)

VD1: Cho

3

x A

x





 tìm x   để A

Ta có

2

x A

 

Với

2

3 3

x



Ư(2) và x là số chính phương  x

VD2: Cho

1

x A

x





 Tìm x để A

Ta có

2

x A

 

6 1

A

x



Với

6

1

x

x

 6 1, 2,3, 4,5,6

x



BÀI TẬP VẬN DỤNG

A

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm x nguyên để A nguyên

Bài 2: Cho biểu thức: P=√a+2

5

1

4 2

a P a







a/ Rút gọn P

b/ Tìm a ∈ Z để P nguyên

Bài 3: Cho biểu thức: P = (a+3√ √ab+b a −

3 a

a√a−b√b+

1

√a−√b):(a−1).( √a−√b)

2 a+2√ab +2 b

a/ Rút gọn P

b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên

Bài 4: Cho biểu thức: A =

2 x 2 x 1

x x 1 x x 1

:

x 1



1) Rút gọn A

2) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.

Bài 5: Cho biểu thức: Q =

.

x 1



  , với x > 0 ; x  1

a) Chứng minh rằng Q =

2

x 1 

b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị nguyên

Bài 6: Cho biểu thức:

A

a) Rút gọn A

b) Tìm x Z để biểu thức A nhận giá trị nguyên.

Bài 7 Cho biểu thức P =

x





     

a) Rút gọn P

c) Tìm x để P là một số nguyên

Bài 8 * : Cho biểu thức A =

.

x





 

a) Rút gọn A

c) Tìm tất cả các giá trị của x để

7 3

B A

đạt giá trị nguyên